algebarske strukture i operacije grupoidi grupe prsten i...
TRANSCRIPT
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske strukture
Nikola Milosavljevic
Univerzitet u NišuPrirodno Matematicki Fakultet
februar 2010
Istraživacka stanica Petnica
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Šta je to algebra i apstraktna algebra?
Šta je to algebarska struktura?
Cemu služe algebarske strukture?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Evariste Galois (1811 - 1832) - Jedan od osnivaca teorije grupa iprvi covek koji je uveo termin "grupa".
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Definicija
Neka je G neprazan skup i f : Gn → G. Tada za f kažemo da jen-arna operacija (operacija dužine n) skupa G.Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna,binarna, ternarna.
Primeri:
Preslikavanje f : R→ R definisano sa f (x) = −x je unarnaoperacija skupa R.Preslikavanje f : N2 → N definisano sa f (x , y) = x + y je binarnaoperacija skupa N.Preslikavanje f : Z3 → Z definisano sa f (x , y , z) = x3 − 2y + z jeternarna operacija skupa Z.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Definicija
Neka je G neprazan skup i f : Gn → G. Tada za f kažemo da jen-arna operacija (operacija dužine n) skupa G.Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna,binarna, ternarna.
Primeri:
Preslikavanje f : R→ R definisano sa f (x) = −x je unarnaoperacija skupa R.Preslikavanje f : N2 → N definisano sa f (x , y) = x + y je binarnaoperacija skupa N.Preslikavanje f : Z3 → Z definisano sa f (x , y , z) = x3 − 2y + z jeternarna operacija skupa Z.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.
Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).
Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.
Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.
Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Nama ce od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je fbinarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x , y) cestokoristiti (prakticiniji) zapis xfy .Za oznacavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli+, •, ∗, ◦,−, /,M...
Definicija
Binarna operacija • skupa G je komutativna ako za svako a i b iz Gvaži
a • b = b • a.
Definicija
Binarna operacija • skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz Gvaži
(a • b) • c = a • (b • c).
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Nama ce od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je fbinarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x , y) cestokoristiti (prakticiniji) zapis xfy .Za oznacavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli+, •, ∗, ◦,−, /,M...
Definicija
Binarna operacija • skupa G je komutativna ako za svako a i b iz Gvaži
a • b = b • a.
Definicija
Binarna operacija • skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz Gvaži
(a • b) • c = a • (b • c).
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Ukoliko je skup G konacan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnubinarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n × n.
·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1
Operacija ·4 skupa Z4
• a b c da b d b cb a c d bc d a a bd b d b d
G = {a,b, c,d}
Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata?
A m-arnih?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Ukoliko je skup G konacan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnubinarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n × n.
·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1
Operacija ·4 skupa Z4
• a b c da b d b cb a c d bc d a a bd b d b d
G = {a,b, c,d}
Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata?
A m-arnih?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Algebarske struktureOperacije
Ukoliko je skup G konacan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnubinarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n × n.
·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1
Operacija ·4 skupa Z4
• a b c da b d b cb a c d bc d a a bd b d b d
G = {a,b, c,d}
Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata?
A m-arnih?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je G neprazan skup i neka je • binarna operacija skupa G.Uredjeni par G = (G, •) naziva se grupoid.Skup G se u tom slucaju naziva domen grupoida G. Grupoid G jekonacan (beskonacan) ako je G konacan (beskonacan) skup.
Grupoid = Skup + Operacija
Konacni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije •.Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je G neprazan skup i neka je • binarna operacija skupa G.Uredjeni par G = (G, •) naziva se grupoid.Skup G se u tom slucaju naziva domen grupoida G. Grupoid G jekonacan (beskonacan) ako je G konacan (beskonacan) skup.
Grupoid = Skup + Operacija
Konacni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije •.Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Šta je od navedenog grupoid?
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)
(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)
({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)
({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)
Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI GRUPOIDA
(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)
(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
(Z,−), (Q,−), (R,−)
(Q \ {0}, :), (R \ {0}, :)
(P(X ),∩), (P(X ),∪)
(AA, ◦), (T , s)
(Zn,+n), (Zn, ·n), n ∈ N
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Grupoid G = (G, •) je komutativan ako je • komutativna operacija.
Definicija
Grupoid G = (G, •) je asocijativan ako je • asocijativna operacija.
Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni?
(R,+), (R, ·), (R,−),
(Zn,+n), (R, ·n)
(AA, ◦), (P(X ),∩), (P(X ),∪)
(T , s), gde je T ranije pomenuti skup tacaka u prostoru
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Grupoid G = (G, •) je komutativan ako je • komutativna operacija.
Definicija
Grupoid G = (G, •) je asocijativan ako je • asocijativna operacija.
Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni?
(R,+), (R, ·), (R,−),
(Zn,+n), (R, ·n)
(AA, ◦), (P(X ),∩), (P(X ),∪)
(T , s), gde je T ranije pomenuti skup tacaka u prostoru
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Grupoid G = (G, •) je grupoid sa jedinicom ako postoji elemente ∈ G tako da za svaki a ∈ G važi:
e • a = a • e = a.
Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral)grupoida G.
Definicija
Ako u grupoidu G = (G, •) postoji element e tako da za svaki a ∈ Gvaži
e • a = a
tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo dagrupoid G ima levu jedinicu.Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Grupoid G = (G, •) je grupoid sa jedinicom ako postoji elemente ∈ G tako da za svaki a ∈ G važi:
e • a = a • e = a.
Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral)grupoida G.
Definicija
Ako u grupoidu G = (G, •) postoji element e tako da za svaki a ∈ Gvaži
e • a = a
tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo dagrupoid G ima levu jedinicu.Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI JEDINICA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0
(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1
(P(X ),∪) - jedinica je ∅
(P(X ),∩) - jedinica je X
(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje
(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Pitanje: Koji od sledecih grupoida sadrži jedinicu:
• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a
• a b c da b d b cb a b c dc d a a bd b d b d
TeoremaAko u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena.
TeoremaAko grupoid G ima levu jedinicu el i desnu jedinicu ed , onda jeel = ed jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Pitanje: Koji od sledecih grupoida sadrži jedinicu:
• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a
• a b c da b d b cb a b c dc d a a bd b d b d
TeoremaAko u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena.
TeoremaAko grupoid G ima levu jedinicu el i desnu jedinicu ed , onda jeel = ed jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Pitanje: Koji od sledecih grupoida sadrži jedinicu:
• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a
• a b c da b d b cb a b c dc d a a bd b d b d
TeoremaAko u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena.
TeoremaAko grupoid G ima levu jedinicu el i desnu jedinicu ed , onda jeel = ed jedinica grupoida G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je idempotent ako je a • a = a.
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je levo skrativ ako važi
(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c
Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativnaziva se grupoid sa kracenjem.
Grupoidi (R,+), (R,−), (R \ {0}, ·), (R \ {0}, :) su grupoidi sakracenjem.Da li je grupoid (AA, ◦) grupoid sa kracenjem?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je idempotent ako je a • a = a.
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je levo skrativ ako važi
(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c
Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativnaziva se grupoid sa kracenjem.
Grupoidi (R,+), (R,−), (R \ {0}, ·), (R \ {0}, :) su grupoidi sakracenjem.Da li je grupoid (AA, ◦) grupoid sa kracenjem?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je idempotent ako je a • a = a.
Definicija
Element a grupoida G = (G, •) je levo skrativ ako važi
(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c
Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativnaziva se grupoid sa kracenjem.
Grupoidi (R,+), (R,−), (R \ {0}, ·), (R \ {0}, :) su grupoidi sakracenjem.Da li je grupoid (AA, ◦) grupoid sa kracenjem?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je (G = (G, •) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo(desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je
b • a = e (a • c = e).
Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element jeinvertibilan ako je i levo i desno invertibilan.
Primeri
U grupoidima (Z,+), (Q,+), (R,+) svaki element je invertibilan
U grupoidima (Q, ·), (R, ·) svaki element osim nule je invertibilan
U grupoidu (Z, ·) jedini invertibilni elementi su −1 i 1
U grupoidima (P(X ),∩), (P(X ),∪) nema invertibilnih elemenataosim jedinice.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je (G = (G, •) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo(desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je
b • a = e (a • c = e).
Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element jeinvertibilan ako je i levo i desno invertibilan.
Primeri
U grupoidima (Z,+), (Q,+), (R,+) svaki element je invertibilan
U grupoidima (Q, ·), (R, ·) svaki element osim nule je invertibilan
U grupoidu (Z, ·) jedini invertibilni elementi su −1 i 1
U grupoidima (P(X ),∩), (P(X ),∪) nema invertibilnih elemenataosim jedinice.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Zadatak: Odrediti sve levo i desno invertibilne elemente u sledecemgrupoidu:
• a b c d ea b d b c ab a e c d bc d a a b cd b e e d de a b c d e
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je G = (G, •) grupoid i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, •|H×H) grupoid.Tada pišemo H < G.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupoid i i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G akko važi
(∀a,b ∈ H) a • b ∈ H.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka je G = (G, •) grupoid i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, •|H×H) grupoid.Tada pišemo H < G.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupoid i i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G akko važi
(∀a,b ∈ H) a • b ∈ H.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI PODGRUPOIDA
(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)
(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)
(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z
Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)
(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A
(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Da li je (Z,−) < (R,−)?
Da li je (N,−) < (Z,−)?
Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?
Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).
TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.
Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G = (G, •) i S = (S, ∗) grupoidi. Preslikavanje h : G→ S zakoje važi
(∀a,b ∈ G) h(a • b) = h(a) ∗ h(b)
naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje seh : G→ S.
Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarskustrukturu.
Skup svih homomorfizama iz G u S oznacava se sa Hom(G,S).
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G = (G, •) i S = (S, ∗) grupoidi. Preslikavanje h : G→ S zakoje važi
(∀a,b ∈ G) h(a • b) = h(a) ∗ h(b)
naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje seh : G→ S.
Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarskustrukturu.
Skup svih homomorfizama iz G u S oznacava se sa Hom(G,S).
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.
Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)
Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)
Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.
Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.
Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)
Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)
Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.
Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.
Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)
Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)
Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.
Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
Definicija
Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.
Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)
Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)
Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.
Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida
PRIMERI HOMOMORFIZAMA
Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).
Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).
Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).
Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.
Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b
2 .
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Definicija
Polugrupa je asocijativni grupoid.
Podgrupoid polugrupe naziva se potpolugrupa
Definicija
Polugrupa S = (S, •) je komutativna ako je grupoid (S, •)komutativan.Polugrupa S = (S, •) je sa jedinicom ako grupoid (S, •) imajedinicu. Polugrupa sa jedinicom se naziva monoid.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Teorema (Opšti asocijativni zakon)
Neka je S = (S, •) polugrupa, n ∈ N i a1,a2, . . . ,an ∈ S proizvoljnielementi. Tada važi:Svi proizvodi elemenata a1,a2, . . . ,an, u istom poretku, su jednaki.
Drugim recima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi odrasporeda zagrada
Definicija (Stepen u polugrupi)
Neka je S = (S, •) polugrupa, a ∈ S i n ∈ N. Tada je
a1 = aan+1 = an • a
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Teorema (Opšti asocijativni zakon)
Neka je S = (S, •) polugrupa, n ∈ N i a1,a2, . . . ,an ∈ S proizvoljnielementi. Tada važi:Svi proizvodi elemenata a1,a2, . . . ,an, u istom poretku, su jednaki.
Drugim recima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi odrasporeda zagrada
Definicija (Stepen u polugrupi)
Neka je S = (S, •) polugrupa, a ∈ S i n ∈ N. Tada je
a1 = aan+1 = an • a
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.
PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.
PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.
PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.
PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.
TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Definicija
Grupoid G = (G, •) je kvazigrupa ako za svaki a,b ∈ G svaka odjednacina
a • x = b
y • a = b
ima jedinstveno rešenje u G, tj. ako
(∀a,b ∈ G) (∃!c,d ∈ G) a • c = b ∧ d • a = b.
Primeri(Z,+), (Q,+), (R,+)
(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·)
(Zp, ·p), p - prost broj
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Na osnovu Kejlijeve tablice konacnog grupoida ne možemo lakozakljuciti da li se radi o polugrupi ali možemo lako zakljuciti da li je upitanju kvazigrupa.
Pitanje: Koji je od sledecih grupoida kvazigrupa?
• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a
• a b c da b d a cb a b c dc d c b ad c a d b
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Teorema
Konacan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuca Kejlijevatablica latinski kvadrat.
Teorema
Svaka kvazigrupa je grupoid sa kracenjem. Da li važi obrat?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PolugrupeKvazigrupe
Teorema
Konacan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuca Kejlijevatablica latinski kvadrat.
Teorema
Svaka kvazigrupa je grupoid sa kracenjem. Da li važi obrat?
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Grupa je jedna od najbitnijih algebarskih struktura.
Definicija
Polugrupa sa jedinicom u kojoj je svaki element invertibilan naziva segrupa.
Alternativna definicija grupe, polazeci od najosnovnijih pojmova,izgleda ovako:
Definicija
Grupoid G = (G, •) je grupa ako važi:1 (∀a,b, c ∈ G) (a • b) • c = a • (b • c)2 (∃e ∈ G)(∀a ∈ G) e • a = a • e = a3 (∀a ∈ G)(∃a−1 ∈ G) a−1 • a = a • a−1 = e
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
PRIMERI GRUPA
(Z,+), (Q,+), (R,+) - Jedinica je 0, a inverz za x je −x
(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) - Jedinica je 1, a inverz za x je 1x
(Zn,+n) - Jedinica je 0 a inverz za x je n − x
(Zp \ {0}), gde je p prost broj (ovo nije nimalo ocigledno)
(P(X ),4), gde je 4 simetricna razlika
(Sn, ◦), gde je Sn skup svih permutacija skupa {1,2, . . . ,n}, a ◦kompozicija permutacija
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Rubikova kocka
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Dijedarska grupa
◦ R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema
Grupa je grupoid sa kracenjem.
TeoremaJedini idempotentan element u grupi je jedinica.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupa. Tada važi1 (a−1)−1 = a2 (a • b)−1 = b−1 • a−1
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema
Grupa je grupoid sa kracenjem.
TeoremaJedini idempotentan element u grupi je jedinica.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupa. Tada važi1 (a−1)−1 = a2 (a • b)−1 = b−1 • a−1
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema
Grupa je grupoid sa kracenjem.
TeoremaJedini idempotentan element u grupi je jedinica.
Teorema
Neka je G = (G, •) grupa. Tada važi1 (a−1)−1 = a2 (a • b)−1 = b−1 • a−1
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Grupa G = (G, •) je komutativna ako je grupoid (G, •) komutativan.Takvu grupu nazivamo Abelova grupa.
Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup H odredjujepodgrupu grupe G ako je H = (H, •|H×H) grupa.Tada pišemo H < G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Grupa G = (G, •) je komutativna ako je grupoid (G, •) komutativan.Takvu grupu nazivamo Abelova grupa.
Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup H odredjujepodgrupu grupe G ako je H = (H, •|H×H) grupa.Tada pišemo H < G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Grupa G = (G, •) je komutativna ako je grupoid (G, •) komutativan.Takvu grupu nazivamo Abelova grupa.
Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup H odredjujepodgrupu grupe G ako je H = (H, •|H×H) grupa.Tada pišemo H < G.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konacna. Usuprotnom, kažemo da je grupa beskonacnog reda.
Pitanje: Ako je G grupa konacnog reda i ako je a ∈ G proizvoljan, dali se u nizu
a,a2 . . . an, . . .
mora naci jedinica grupe G?
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznacir(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za kojije ak = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =∞.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konacna. Usuprotnom, kažemo da je grupa beskonacnog reda.
Pitanje: Ako je G grupa konacnog reda i ako je a ∈ G proizvoljan, dali se u nizu
a,a2 . . . an, . . .
mora naci jedinica grupe G?
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznacir(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za kojije ak = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =∞.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Definicija
Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konacna. Usuprotnom, kažemo da je grupa beskonacnog reda.
Pitanje: Ako je G grupa konacnog reda i ako je a ∈ G proizvoljan, dali se u nizu
a,a2 . . . an, . . .
mora naci jedinica grupe G?
Definicija
Neka je G = (G, •) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznacir(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za kojije ak = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =∞.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanjapodgrupa koja sadrži a?
Teorema
Ako je G grupa konacnog reda i a ∈ G, tada je r(a) konacan ir(a) ≤ G.
Teorema
Ako je G grupa i a ∈ G element konacnog reda. Tada za svakiprirodan broj m važi
am = e⇔ r(a)|m.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanjapodgrupa koja sadrži a?
Teorema
Ako je G grupa konacnog reda i a ∈ G, tada je r(a) konacan ir(a) ≤ G.
Teorema
Ako je G grupa i a ∈ G element konacnog reda. Tada za svakiprirodan broj m važi
am = e⇔ r(a)|m.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanjapodgrupa koja sadrži a?
Teorema
Ako je G grupa konacnog reda i a ∈ G, tada je r(a) konacan ir(a) ≤ G.
Teorema
Ako je G grupa i a ∈ G element konacnog reda. Tada za svakiprirodan broj m važi
am = e⇔ r(a)|m.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema (Lagranž)
Ako je G konacna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe Hdeli red grupe G.
Teorema
Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p - a. Tada ap−1 ≡ 1mod p.
Teorema
Prostih brojeva ima beskonacno mnogo.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
Definicija. PrimeriOsobineRed elementa
Teorema (Lagranž)
Ako je G konacna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe Hdeli red grupe G.
Teorema
Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p - a. Tada ap−1 ≡ 1mod p.
Teorema
Prostih brojeva ima beskonacno mnogo.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju?
Definicija
Neka je R neprazan skup i neka su + i • binarne operacije skupa R.Ako važe uslovi
1 (R,+) je Abelova grupa2 (R, •) je polugrupa3 Za svaki a,b, c ∈ R važi
a • (b + c) = a • b + a • c
(a + b) • c = a • c + b • c
tada je uredjena trojka R = (R,+, •) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju?
Definicija
Neka je R neprazan skup i neka su + i • binarne operacije skupa R.Ako važe uslovi
1 (R,+) je Abelova grupa2 (R, •) je polugrupa3 Za svaki a,b, c ∈ R važi
a • (b + c) = a • b + a • c
(a + b) • c = a • c + b • c
tada je uredjena trojka R = (R,+, •) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
PRIMERI PRSTENA
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)
(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R
(nZ,+, ·), n ∈ N
(Zn,+n, ·n), n ∈ N
(P(x),4,∩)
(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Za jedinicu 0 Abelove grupe (R,+) kažemo da je nula prstena(R,+, ·).
Definicija
Prsten (R,+, ·) ima jedinicu ako polugrupa (R, ·) ima jedinicu.Jedinica se najcešce obeležava sa 1.
Teorema
Neka je (R,+, •) prsten. Tada za svaki element a ∈ R važia • 0 = 0 • a = 0.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Za jedinicu 0 Abelove grupe (R,+) kažemo da je nula prstena(R,+, ·).
Definicija
Prsten (R,+, ·) ima jedinicu ako polugrupa (R, ·) ima jedinicu.Jedinica se najcešce obeležava sa 1.
Teorema
Neka je (R,+, •) prsten. Tada za svaki element a ∈ R važia • 0 = 0 • a = 0.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je bez delitelja nule ako za svako x , y ∈ R važi
x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0
Pitanje: Za koje n je prsten (Zn,+n, ·n) bez delitelja nule?
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je komutativan ako je (R, •) komutativnapolugrupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je bez delitelja nule ako za svako x , y ∈ R važi
x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0
Pitanje: Za koje n je prsten (Zn,+n, ·n) bez delitelja nule?
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je komutativan ako je (R, •) komutativnapolugrupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je bez delitelja nule ako za svako x , y ∈ R važi
x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0
Pitanje: Za koje n je prsten (Zn,+n, ·n) bez delitelja nule?
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je komutativan ako je (R, •) komutativnapolugrupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva seintegralni domen.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, •) grupa.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je polje ako je (R \ {0}, •) Abelova grupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva seintegralni domen.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, •) grupa.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je polje ako je (R \ {0}, •) Abelova grupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Definicija
Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva seintegralni domen.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, •) grupa.
Definicija
Prsten R = (R,+, •) je polje ako je (R \ {0}, •) Abelova grupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Teorema
Dokazati da je komutativni grupoid (G, •) u kome važi
(x • y) • z = (z • x) • y
polugrupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Teorema
Neka je (G, •) polugrupa sa jedinicom. Ako je svaki element iz G levoinvertibilan ili desno invertibilan, onda je (G, •) grupa.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture
Algebarske strukture i operacijeGrupoidi
Polugrupe i kvazigrupeGrupe
Prsten i Polje
PrstenPolje
Teorema
Neka je (R,+, ·) polje sa elementima 0, x1, x2, . . . , xn. Dokazati da je1 + x1x2 . . . xn = 0.
Nikola Milosavljevic Algebarske strukture