algebra: apunte de vectores
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ALGEBRA DE VECTORES
Desde su introducción hace cerca de 100 años el concepto de vector sólo se asociaba con representaciones geométricas intuitivas, pero son múltiples sus aplicaciones dentro de la matemática y la física. Sólo que afirmar que un objeto físico o matemático es un vector, no adquiere sentido hasta definir ciertas operaciones y propiedades que lo caractericen.
Los vectores pueden situarse en la línea (1 dimensión), en el plano (dos dimensiones), en el espacio, (de tres a n-dimensiones).
Un vector f i j o es un segmento or ientado que va de l punto A ( or igen )
a l punto B (extremo ) .
Elementos de un vector
Dirección de un vector
Geométricamente, representamos un vector como el segmento de recta dirigido, que posee:
a) Módulo, es la longitud, la que es representada por un valor numérico (también se la denomina norma)
b) Dirección, es la de la recta a la que pertenece
c) Sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos "+" para un lado y ” –“para el otro.
Los vectores pueden situarse el plano, o sea dos dimensiones, en el
A
B
C
D Se ha considerado a A como punto inicial u origen y a B como punto final o extremo y se lo expresa . Si consideramos que tiene el mismo módulo, dirección y sentido que , entonces representa el mismo vector .
La direccc íon del vector es la direcc ión de la recta que
cont iene a l vec tor o de cua lqu ie r recta parale la a e l la .
Sentido de un vector
E l sent ido del vector es e l que va desde e l or igen A a l
extremo B .
Módulo de un vector
El módulo del vector es la longitud del segmento AB ,
se representa por .
E l módulo de un vector es un número s iempre posit ivo o cero .
Módulo de un vector a part i r de sus componentes
Módulo a part i r de las coordenadas de los puntos
Coordenadas de un vector
S i las coordenadas de los puntos ext remos , A y B , son :
Las coordenadas del vector son las coordenadas del
extremo menos las coordenadas del or igen .
Clases de vectores
Vectores equipolentes
Dos vectores son equipolentes cuando t ienen igua l módulo, d irecc ión y
sent ido .
Vectores l ibres
Suma de vectores
Para sumar dos vectores l ib res y se escogen como
representantes dos vectores ta les que e l ex t remo f ina l de uno co inc ida
con e l ex t remo or igen de l o t ro vector .
Regla del parale logramo
Se toman como representantes dos vectores con e l o r igen en común, se
t razan rec tas para le las a los vectores obten iéndose un para le logramo cuya
d iagona l co inc ide con la suma de los vectores .
Para sumar dos vectores se suman sus respect ivas componentes.
Resta de vectores
Para restar dos vectores l ibres y se suma con e l opuesto de
.
Las componentes del vector resta se obt ienen restando las
componentes de los vectores.
Producto de un número por un vector
E l p roducto de un número k por un vector es o t ro vector :
De igual d irecc ión que e l vec tor .
De l mismo sent ido que e l vec tor si k es posit ivo .
De sent ido contrar io de l vec tor si k es negat ivo .
De módulo
Las componentes del vector resultante se obt ienen
mult ip l icando por K las componentes del vector .
Dados dos vectores : y , y dos números : a y b , e l vector
se d ice que es una combinación l ineal de y .
Una combinación l ineal de dos o más vectores es e l vector que
se obt iene a l sumar esos vectores mult ip l icados por sendos
escalares .
Cua lqu ie r vector se puede poner como combinación l ineal de
o t ros dos que tengan dist inta d irecc ión .
Es ta combinac ión l inea l es ún ica .
Dados los vectores , ha l la r e l
vector combinación l ineal
E l vec tor , ¿se puede expresar como
combinación l ineal de los vectores ?
Vectores linealmente dependientes
Var ios vectores l ibres de l p lano se d ice que son l inealmente
dependientes s i hay una combinación l ineal de e l los que es igua l a l
vector cero , s in que sean cero todos los coef ic ientes de la
combinación l ineal .
Propiedades
1. S i var ios vectores son l inealmente dependientes , entonces
a l menos uno de e l los se puede expresar como combinación l ineal de
los demás .
También se cumple e l rec ip roco : s i un vector es combinación
l ineal de o t ros , entonces todos los vectores son l inealmente
dependientes .
2.Dos vectores de l p lano son l inealmente dependientes s i , y
só lo s i , son parale los .
3.Dos vectores l ibres de l p lano = (u 1 , u 2 ) y = (v 1 , v 2 ) son
l inealmente dependientes s i sus componentes son proporc iona les .
Vectores linealmente independientes
Var ios vectores l ib res son l inealmente independientes s i
n inguno de e l los puede ser escr i to con una combinación l ineal de los
res tantes .
a 1 = a 2 = · · · = a n = 0
Los vectores l inealmente independientes t i enen dist inta
d irecc ión y sus componentes no son proporc ionales .
Ejemplo
Deter rminar s i son l inea lmente depend ientes o independ ientes los
vectores . :
= (3 , 1 ) y = (2 , 3 )
Linealmente independientes
Esta base fo rmada por los vectores y se denomina base canónica .
Dos vectores y con dist inta d irecc ión fo rman una base ,
porque cua lqu ie r vector de l p lano se puede poner como combinación
l ineal de e l los .
Las coordenadas del vector respecto a la base son :
Ejemplos
Los dos vectores que forman una base no pueden
ser parale los.
E jemplo
Qué pares de los s igu ientes vectores fo rman una base :
Base ortogonal
Los dos vectores de la base son perpendiculares entre s í .
Base ortonormal
Los dos vectores de la base son perpendiculares entre s í , y además
t ienen módulo 1.
Esta base formada por los vectores y se denomina base canónica .
Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se
supone que se está trabajando en esa base.
Ejercicios
Qué pares de los s igu ientes vectores fo rman una base :
Sean los vectores l ib res = (2 , 1 ) , = (1 , 4 ) y = (5 , 6 ) . Determinar :
1. S i fo rman una base y .
2. Expresar como combinac ión l inea l de los de la base
3. Ca lcu la r las coordenadas de C respecto a la base .
Las coordenadas de respecto a la base son : (2 , 1 )
Un vector t iene de coordenadas (3 , 5 ) en la base canón ica . ¿Qué
coordenadas tendrá re fe r ido a la base = (1 , 2 ) , = (2 , 1 )?
(3 , 5 ) = a (1 , 2 ) + b (2 , 1 )
3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7 /3
5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1 /3
Las coordenadas de en la base B son (7/3, 1 /3) .
SISTEMA DE REFERENCIA
En e l p lano , un s i s tema de re fe renc ia está
const i tu ido por un punto O del p lano y una base ( , ) .
El punto O de l s i s tema de re fe renc ia se l l ama or igen .
Los vectores , no parale los forman la base.
PRODUCTO ESCALAR
E l producto escalar de dos vectores es un número real que resu l ta
a l mult ip l icar e l producto de sus módulos por e l coseno del
ángulo que forman .
Ejemplo
Expres ión ana l í t i ca de l p roducto esca la r
Ejemplo
Expres ión ana l í t i ca de l módu lo de un vector
Ejemplo
Expres ión ana l í t i ca de l ángu lo de dos vectores
Ejemplo
Cond ic ión ana l í t i ca de la o r togona l idad de dos vectores
Ejemplo
I n te rpre tac ión geométr i ca de l p roducto esca la r
El producto de dos vectores no nulos es igual a l módulo de
uno de e l los por la proyección del otro sobre é l .
Ejemplo
Hal la r la p royecc ión de l vector = (2 , 1 ) sobre e l vec tor = (−3, 4 ) .
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por s í mismo
s iempre es posit ivo.
Proyección de un vector sobre un eje.
En un eje examinemos un segmento dirigido no nulo AB.
Se llama magnitud del segmento dirigido AB en el eje a un número igual a
la longitud del segmento AB que se toma con el signo "+" si el sentido del segmento AB y el del eje coinciden y con el signo "-" si éstos son contrarios.
Ahora examinemos un vector arbitrario determinado por el vector fijo AB Bajando las perpendiculares de su origen y su extremo al eje dado construyamos en éste el segmento dirigido CD.
Se denomina proyección del vector sobre el eje a la magnitud del segmento dirigido CD construido por el método anteriormente mencionado.
Propiedades principales de las proyecciones.
1. La proyección de un vector sobre algún eje es igual al producto de la
longitud del vector por el coseno del ángulo formado entre el eje y el vector.
2. La proyección de la suma de los vectores sobre algún eje es igual a la suma de las proyecciones de los vectores sobre el mismo eje.
Por ejemplo, .
Producto escalar de vectores.
Sea que tenemos dos vectores no nulos a y b.
Se denomina producto escalar del vector a por el vector b a un número designado por el símbolo a. b y definido por la igualdad
(1)
donde φ (en otra denotación ) es el ángulo entre los vectores a y b.
Al fijar que
es la proyección del vector b sobre la dirección del vector a
podemos escribir
y análogamente,
es decir, el producto escalar de dos vectores es igual a la longitud de uno de ellos multiplicada por la proyección del otro vector sobre la dirección del primero.
Si uno de los vectores, a o b, es nulo consideremos que (a, b) = 0.
Propiedades del producto escalar.
1. El producto escalar se anula si, y sólo si, al menos uno de los vectores
multiplicados es nulo o si los vectores a y b son perpendiculares .
Esto se desprende de la fórmula (1) que define el producto escalar. Puesto que la dirección del vector nulo es indefinida podemos considerarlo perpendicular a cualquier vector. Por eso se puede enunciar la propiedad mencionada del producto escalar del modo siguiente.
2. El producto escalar es conmutativo
La validez de esta afirmación se deduce de la fórmula (1) si se toma en consideración la paridad de la función cos φ.
3. El producto escalar posee la propiedad distributiva respecto a la adición:
En efecto,
4. Se puede sacar el factor numérico λ del signo del producto escalar
(3)
En efecto, sea λ>0. Entonces
puesto que los ángulos
son iguales.
Análogamente se examina el caso de λ < 0.
Cuando λ = 0 la validez de la propiedad 4 es obvia.
Nota. En caso general
Producto escalar de los vectores determinados por las coordenadas.
Consideremos los vectores a y b expresados como combinación lineal de la base canónica {i, j, k} siendo los vectores i = (1,0,0); j = (0,1,0) y k =(0,0,1), de donde expresando los vectores y tenemos
y quedando definido el producto
escalar de los vectores a y b: .
Empleando la propiedad distributiva del producto escalar hallamos
Teniendo en cuenta que
obtenemos
(4)
Es decir, si los vectores a y b están dados como combinación lineal del sistema de coordenadas cartesiano de la base canónica, su producto escalar se calcula multiplicando las coordenadas correspondientes y adicionando los productos.
Ejemplo:
Hállese el producto escalar de los vectores .
Aplicando la fórmula (4) para b = a, obtenemos el producto escalar de un vector por sí mismo, que se expresa como:
(5)
Por otro lado,
por eso, de (5),
(6).
O sea, la longitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas.
Coseno del ángulo entre vectores. Cosenos directores.
Según la definición
donde φ es el ángulo entre los vectores a y b. De esta fórmula obtenemos
(7)
(los vectores a y b son no nulos).
Sean Entonces la fórmula (7) toma la forma
siguiente
(8)
Ejemplo:
Hállese el ángulo entre los vectores .
Empleando la fórmula (8) hallamos
Sea b = i, es decir, b = (1, 0, 0), entonces para todo vector a ≠ 0, y
vector i tenemos
o bien
(9)
donde α es el ángulo formado por el vector a y el eje Ox.
De modo análogo obtenemos
(10)
(11)
Las fórmulas (9)-(11) definen los cosenos directores del vector a, es decir, los cosenos de los ángulos formados por el vector a con los ejes de coordenadas.
Ejemplo.
Hállense las coordenadas del vector unitario no.
Por la condición |no |= 1. Sea no = xi + yj + zk. Entonces,
De este modo, las coordenadas del vector unitario son los cosenos de los ángulos formados por este vector con los ejes de coordenadas:
De aquí obtenemos
Ejemplo. Sea un vector unitario no ortogonal al eje z:
no = xi + yj.
Entonces sus coordenadas x y y son respectivamente iguales a
Por tanto,
Ejercicio:
Calcule el producto escalar de dos vectores.
7.9.2 Producto escalar de vectores.
Sea que tenemos dos vectores no nulos a y b.
Se denomina producto escalar del vector a por el vector b a un número designado por el símbolo (a, b) y definido por la igualdad
(1)
donde φ (en otra denotación ) es el ángulo entre los vectores a y b.
Al fijar que
es la proyección del vector b sobre la dirección del vector a
podemos escribir
y análogamente,
es decir, el producto escalar de dos vectores es igual a la longitud de uno de ellos multiplicada por la proyección del otro vector sobre la dirección del primero.
Si uno de los vectores, a o b, es nulo consideremos que (a, b) = 0.
Propiedades del producto escalar.
1. El producto escalar se anula si, y sólo si, al menos uno de los vectores
multiplicados es nulo o si los vectores a y b son perpendiculares .
Esto se desprende de la fórmula (1) que define el producto escalar. Puesto que la dirección del vector nulo es indefinida podemos considerarlo perpendicular a cualquier vector. Por eso se puede enunciar la propiedad mencionada del producto escalar del modo siguiente.
2. El producto escalar es conmutativo
La validez de esta afirmación se deduce de la fórmula (1) si se toma en consideración la paridad de la función cos φ.
3. El producto escalar posee la propiedad distributiva respecto a la adición:
En efecto,
4. Se puede sacar el factor numérico λ del signo del producto escalar
(3)
En efecto, sea λ>0. Entonces
puesto que los ángulos
son iguales.
Análogamente se examina el caso de λ < 0.
Cuando λ = 0 la validez de la propiedad 4 es obvia.
Nota. En caso general
Producto escalar de los vectores determinados por las coordenadas.
Consideremos los vectores a y b expresados como combinación lineal de la base canónica {i, j, k} siendo los vectores i = (1,0,0); j = (0,1,0) y k =(0,0,1), de donde expresando los vectores y tenemos
y quedando definido el producto
escalar de los vectores a y b: .
Empleando la propiedad distributiva del producto escalar hallamos
Teniendo en cuenta que
obtenemos
(4)
Es decir, si los vectores a y b están dados como combinación lineal del sistema de coordenadas cartesiano de la base canónica, su producto escalar se calcula multiplicando las coordenadas correspondientes y adicionando los productos.
Ejemplo:
Hállese el producto escalar de los vectores .
Aplicando la fórmula (4) para b = a, obtenemos el producto escalar de un vector por sí mismo, que se expresa como:
(5)
Por otro lado,
por eso, de (5),
(6).
O sea, la longitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas.
Coseno del ángulo entre vectores. Cosenos directores.
Según la definición
donde φ es el ángulo entre los vectores a y b. De esta fórmula obtenemos
(7)
(los vectores a y b son no nulos).
Sean Entonces la fórmula (7) toma la forma
siguiente
(8)
Ejemplo:
Hállese el ángulo entre los vectores .
Empleando la fórmula (8) hallamos
Sea b = i, es decir, b = (1, 0, 0), entonces para todo vector a ≠ 0, y
vector i tenemos
o bien
(9)
donde α es el ángulo formado por el vector a y el eje Ox.
De modo análogo obtenemos
(10)
(11)
Las fórmulas (9)-(11) definen los cosenos directores del vector a, es decir, los cosenos de los ángulos formados por el vector a con los ejes de coordenadas.
Ejemplo.
Hállense las coordenadas del vector unitario no.
Por la condición |no |= 1. Sea no = xi + yj + zk. Entonces,
De este modo, las coordenadas del vector unitario son los cosenos de los ángulos formados por este vector con los ejes de coordenadas:
De aquí obtenemos
Ejemplo. Sea un vector unitario no ortogonal al eje z:
no = xi + yj.
Entonces sus coordenadas x y y son respectivamente iguales a
Por tanto,
Ejercicio:
Calcule el producto escalar de dos vectores.
Producto vectorial de vectores.
Se denomina producto vectorial de un vector a por un vector b al vector designado por el símbolo [a , b ] ó a × b y tal que:
1) La longitud o módulo del vector a × b es igual a, | a × b |= |a| · |b| sen φ , donde φ es el ángulo entre los vectores a y b.
2) La dirección del vector a × b es perpendicular a los vectores a y b, o sea, perpendicular al plano de estos vectores.
3) El sentido del vector a × b es tal que desde el extremo de este vector se ve que el giro más breve de a a b pasa en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj. En otras palabras, los vectores a, b y a × b forman la terna derecha de vectores, es decir, se encuentran situados de modo igual que el pulgar, el índice y el dedo medio de la mano derecha.
Si los vectores a y b son colineales, entonces consideremos que a × b = 0.
Por definición, la longitud del producto vectorial es | a × b |= |a| · |b| sen φ y numéricamente igual al área del paralelogramo construido sobre los vectores
multiplicados a y b como sobre los lados: | a × b |=
Propiedades del producto vectorial.
1. El producto vectorial es igual al vector nulo si, y sólo si, al menos uno de los vectores multiplicados es nulo o bien si estos vectores son colineales (si los vectores a y b son colineales, el ángulo entre ellos es igual a 0 ó a π.
Es fácil deducirlo de lo que. | a × b |= |a| · |b| sen φ .Si se considera que el
vector nulo es colineal a cualquier vector, se puede expresar la condición de colinealidad de los vectores a y b como: a // b a x b = 0
2. El producto vectorial es anticonmutativo, es decir: b x a = - a x b. Estos vectores a x b y b x a tienen igual longitud y son colineales. Los sentidos de estos vectores son contrarios, ya que desde el extremo del vector a x b se ve que el giro más breve de a a b pasa en sentido contrario a las agujas del reloj y desde el extremo del vector b x a en sentido de las agujas del reloj.
3. El producto vectorial posee la propiedad distributiva respecto a la adición
(a + b) x c =a x c + b x c
4. El producto vectorial no es asociativo. En caso general la igualdad
(a x b) x c = a x ( b x c) no es válida.
Por ejemplo: ( i x j) x j = k x j = - i y i x ( j , j ) = i x 0 = 0
Producto vectorial de dos vectores determinados por las coordenadas.
Sea que los vectores a y b están determinados por sus coordenadas en R3
Empleando la propiedad distributiva del producto
vectorial hallamos
Escribimos los productos vectoriales de los vectores de coordenadas.
Por eso, para el producto vectorial de los vectores a y b, obtenemos:
Esto puede escribirse en forma simbólica muy fácil para guardar en la memoria si se usa el determinante de tercer orden:
Descomponiendo este determinante según los elementos de la primera fila, obtenemos lo anterior.
Ejemplos:
1. Halle el área del paralelogramo construido sobre los vectores
a = i - j + k, b = 2i + j - k.
El área buscada es . Por eso hallamos
de donde
2. Halle el área del triángulo OAB .
Sabemos que el área del triángulo OAB es igual a la mitad del área del paralelogramo OACB. Calculando el producto vectorial [a, b] de los vectores
, obtenemos
Producto mixto de vectores.
Supongamos los vectores a, b y c. Multipliquemos vectorialmente el vector a por el vector b. Resulta el vector a x b. Lo multipliquemos escalarmente por el vector c: (a x b)· c
El número (a x b)· c se llama producto mixto de los vectores a, b y c.
Sentido geométrico del producto mixto.
De un punto común O tracemos vectores a, b y c. Si todos los cuatro O, A, B, C se sitúan en un plano (en este caso los vectores a, b y c se llaman coplanares), el producto mixto (a x b)· c =0. Esto se deduce de lo que el vector a x b es perpendicular
al plano en que se encuentran los vectores a y b y, por consiguiente perpendicular el vector c.
Si los puntos O, A, B, C no se sitúan en un plano (los vectores a, b y c no son coplanares), construimos el paralelepípedo sobre las aristas OA, OB y OC.
Según la definición del producto vectorial
[a, b] = Se,
donde S es el área del paralelogramo OADB, e es un vector unitario perpendicular a los vectores a y b y tal que la terna a, b, e es derecha, o sea,
los vectores a, b y e se encuentran como el pulgar, el índice y el dedo medio, respectivamente, de la mano derecha.
Multiplicando escalarmente los dos miembros de la segunda igualdad a la derecha por el vector c, obtenemos que
El número prec es igual a la altura h del paralelepípedo construido y se toma con el signo "+", si el ángulo φ entre los vectores e y c es agudo (o sea, la terna a, b, c es derecha), y con el signo " -", si el ángulo φ es obtuso (es decir, la terna a, b, c es izquierda) así que
Por lo tanto, el producto mixto de los vectores a, b, c es igual al volumen V del paralelepípedo construido sobre estos vectores como sobre las aristas si la terna a, b, c es derecha, y -V, si la terna a, b, c es izquierda.
Partiendo del sentido geométrico del producto mixto, podemos concluir que multiplicando los mismos vectores a, b, c en cualquier otro orden, siempre obtendremos + V, o -V.
El signo dependerá tan solo de, si los vectores forman la terna derecha o la izquierda.
Notemos que si los vectores a, b, c forman la terna derecha, las ternas b, c, a y c, a, b también serán derechas. Al mismo tiempo, las tres ternas b, a, c; a, c, b y c, b, a son izquierdas.
Pues
Subrayamos otra vez el resultado importante que se desprende de los razonamientos aducidos: el producto mixto de vectores es igual a cero si, y sólo si, los vectores multiplicados a, b, c son coplanares.
Producto mixto en coordenadas.
Sea que vectores a, b, c están dados por sus coordenadas en una base
Hallemos la expresión para el producto mixto (a, b, c ) = ([a, b], c).
Tenemos
de donde
Pues,
o sea, el producto mixto de los vectores dados por sus coordenadas en
una base es igual al determinante de tercer orden cuyas filas se
componen de las coordenadas del primer, segundo y el tercer, respectivamente, vector que se multiplican.
En este caso, la condición suficiente y necesaria del carácter coplanar de los
vectores se escribe en la forma
Ejemplo:
Verificar, si son coplanares los vectores .
Los vectores que se examinan son coplanares si es igual a cero el determinante
y no son coplanares, si este no es igual a cero.
Descomponiéndolo según los elementos de la primera fila, obtenemos los vectores a, b, c son coplanares.
Producto vectorial doble.
El producto vectorial doble [a, [[b, c]] es el vector perpendicular a los vectores a y [b, c]. Por eso se encuentra en el plano de los vectores b y c y puede ser descompuesto según los vectores b y c. Se puede mostrar que es válida la fórmula
ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Ecuación de la recta en R3 en forma vectorial.
Sea P( x,y,z) un punto genérico de la recta y P0( x0,y0,z0) un punto de la recta. Tracemos una recta cualquiera que tiene la dirección de un vector (a,b.c)
La ecuación (1) en componentes, es: (x,y,z)=(xo, yo, zo)+ (a, b, c)
x = xo+ a ecuaciones paramétricas de la
(2) y= yo + b recta en R3
z = zo + c
P0
P
A
Para encontrar la ecuación de la recta, ubicamos los vectores: = ; y observamos que
Si eliminamos el parámetro de la ecuación (2) obtenemos.