algebra de vectores y la fuerza
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APUNTES DE CLASES
________________________________________________________
ESTÁTICA
Algebra de Vectores
La Fuerza
Momento de una Fuerza
Sistema Fuerza-Par
Resultante
Prof. Rene Alberto Ayala Ayala
DEPTO. DE MECÁNICA ESTRUCTURAL
AGOSTO 2010
Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”
11
22
INTRODUCCIÓN
LLaa mmeeccáánniiccaa eess llaa cciieenncciiaa qquuee ddeessccrriibbee yy pprreeddiiccee llaass ccoonnddiicciioonneess ddee rreeppoossoo oo
mmoovviimmiieennttoo ddee llooss ccuueerrppooss bbaajjaa llaa aacccciióónn ddee ffuueerrzzaass oo ccaarrggaass.. EEssttuuddiiaa ttaannttoo llooss
ccuueerrppooss rrííggiiddooss ccoommoo llooss ddeeffoorrmmaabblleess,, iinncclluuyyeennddoo aa llooss fflluuiiddooss,, yyaa sseeaa qquuee eessttooss ssee
eennccuueennttrreenn eenn rreeppoossoo oo mmoovviimmiieennttoo,, ccuuaannddoo eessttáánn ssuujjeettooss aa llaa aacccciióónn ddee ddiiffeerreenntteess
ttiippooss ddee ffuueerrzzaass.. LLaa mmeeccáánniiccaa ddeell ccuueerrppoo rrííggiiddoo ssee ddiivviiddee eenn ddooss rraammaass,, EEssttááttiiccaa yy
DDiinnáámmiiccaa..
El objeto de estudio en un curso de Estática es primordialmente analizar la respuesta
de los cuerpos rígidos ante las solicitaciones en condiciones de equilibrio, entendiendo
por solicitación el conjunto de cargas externas a las que se somete un cuerpo.
Aquí, se define a un cuerpo rígido como una cantidad determinada de materia cuyas
partes están fijas en posición relativa entre si, es decir no se deforman. Los cuerpos
que sufren pequeñas deformaciones son estudiados por la Mecánica de los Cuerpos
Deformables y los cuerpos que se deforman de manera continua son estudiados por la
Mecánica de los Fluidos.
El estudio de la Estática promueve comprender el estado de equilibrio de un cuerpo
por medio de un razonamiento analítico, ordenado y sistemático. Para lograr este
objetivo se hace uso de los principios fundamentales de la mecánica con el apoyo de
diferentes herramientas que la matemática ofrece, tales como el cálculo diferencial, el
álgebra vectorial y la Geometría.
Especial énfasis se hace en el tratamiento vectorial que requieren algunas cantidades
de uso frecuente en la mecánica como es el caso de la fuerza y los momentos
provocados por estas, los cuales pueden ser únicamente entendidos y manipulados
bajo la óptica que poseen un carácter direccional que no puede ser obviado en ningún
instante.
Es por esta razón que se presenta al inicio de este documento un breve resumen de
los principios más importantes del álgebra vectorial que servirán de repaso a los
estudiantes. A continuación se presenta con mayor detalle el concepto de fuerza, sus
características y efectos sobre un cuerpo.
La mecánica tiene su fundamento en cuanto al movimiento de cuerpos sometidos a
fuerzas, en las tres leyes de newton:
Primera ley (ley del equilibrio): Todo cuerpo que se encuentre en estado de reposo o
en movimiento rectilíneo a velocidad constante continuará en ese estado a menos que
se le apliquen fuerzas externas perturbadoras.
Segunda ley (definición de fuerza): La fuerza resultante aplicada sobre un cuerpo es
proporcional al cambio experimentado en el movimiento y representado dicho cambio
por medio de la aceleración del cuerpo.
Tercera ley (acción y reacción): Una reacción es siempre igual y opuesta a toda acción.
Adicionalmente se utilizan el principio de adición de fuerzas de acuerdo a la ley del
paralelogramo o al del polígono de fuerzas, el principio de transmisibilidad y la ley de la
gravitación universal.
33
REPASO DE CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA VECTORIALREPASO DE CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL
VVeeccttoorreess eenn RR33
GGrrááffiiccoo ddee uunn ppuunnttoo eenn eell eessppaacciioo..
44
DDiissttaanncciiaa eennttrree ddooss ppuunnttooss..
DDeeffiinniirr uunn vveeccttoorr ppoorr ddooss ppuunnttooss ccoonnoocciiddooss eenn ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn →PQ :: DDiissttaanncciiaa ddee PP aa QQ
SSeennttiiddoo ((vvaa ddeessddee PP hhaassttaa QQ)) DDiirreecccciióónn ((áánngguullooss ddiirreeccttoorreess)):: θθxx,, θθyy,, θθzz
→PQ == <<66--11,, 22 -- ((--44)),, --77 -- 55 >> →PQ == <<55,, 66,, --1122>> →PQ == k12j6i5 −+
MMaaggnniittuudd ⏐⏐→PQ ⏐⏐== ( ) ( ) ( )222 1265 −++ ⏐⏐
→PQ ⏐⏐== 205
PPaarraa uunn vveeccttoorr c→V cuuaallqquuiieerraa::
=→V = ⇒kVzjVyiVx ++ ⇒ ⏐⏐
→V ⏐⏐== ( ) ( ) ( )2Vz2Vy2Vx ++
kVVzj
VVyi
VVxvλ rrr
r ++= :: VVeeccttoorr uunniittaarriioo
PPaarraa eell eejjeerrcciicciioo:: k20512j
2056i
2055 −+=→
PQλ :: VVeeccttoorr uunniittaarriioo
55
ÁÁnngguullooss DDiirreeccttoorreess..
k20512j
2056i
2055;ˆ12ˆ6ˆ5PQ −+=−+=
→→PQ
kji λ
Los ángulos se miden desde los ejes coordenados positivos auxiliares en el punto de salida.
( )( )( ) 0
205121
020561
020551
146.94cosθz
65.22cosθy
69.56cosθx
==
==
==
−−
−
−
( ) ( ) ( )kθzcosjθycosiθxcos ++=→
PQλ
kVVzj
VyVi
VVx ++=→
PQλ
( ) ( ) ( )VVzθzCos;
VVyθyCos;
VVxθxCos ===
66
SSuummaa,, RReessttaa,, PPrroodduuccttoo ddee uunn eessccaallaarr ppoorr uunn vveeccttoorr..
SumaSuma:: →→→→
=++ ADCDBCAB
kj0i0CD;k3j3i0BC;k3j2iAB −+=+−=+−=→→→
( ) ( )133,032,001 −+++−+−++=++=→→→→CDBCABAD
k5j5iAD +−=→
RestaResta :: →→→
−= ACAB FFR
k3j7i4FAB ˆˆˆ +−=→
k3j0i2FAC ˆˆˆ −+=→
k3j0i-2FAC ++=−→
( ) ( )k3j0j2-k3j7i4R ++++−=r
k6j7i2R +−=r
Producto de un escalar por un vector Rescalarunesk;ωkV ∈=
rr
k5j7iω;ω3V −+−==rrr
( )k5j7i-3V −+=r
k15j21i-3V −+=r
PPrroodduuccttoo PPuunnttoo ((PPrroodduuccttoo eessccaallaarr))..
( )( )kzjyix.kVzjVyiVx.V ωωωω ++++=rr
zVzyVyxVx.V ωωωω ++=rr
EEll rreessuullttaaddoo eess uunn eessccaallaarr 2z
2y
2x VVVV;θcosV.V ωω ++==
rrr rr
EEll pprroodduuccttoo ppuunnttoo ddee ddooss vveeccttoorreess ddaa ccoommoo rreessuullttaaddoo uunn eessccaallaarr..
Si θ es 90°; cos 90° es cero, por lo que podemos concluir que el producto punto de dos vectores perpendiculares es cero.
77
UUnnaa aapplliiccaacciióónn ddeell pprroodduuccttoo ppuunnttoo.. PPrrooyyeecccciióónn ddee uunn vveeccttoorr ssoobbrree oottrroo vveeccttoorr..
cosθuVuProy rrr
=
SSaabbeemmooss qquuee:: cosθu.u VV
rr rr =
VV uProycosθu.u rr rrr ==
VV
V.uuProy rr
rrr
=
PPooddeemmooss ddeessccoommppoonneerr eur enn ddooss vveeccttoorreess,, uunn vveeccttoorr qquuee sseeaa ppaarraalleelloo aa Vr
yy oottrroo qquuee sseeaa ppeerrppeennddiiccuullaarr aa V
r
21 ωωu rrr +=
( ) VV
.λuProyω1r
rrr
=
12 ωuω rrr−=
PPrroodduuccttoo VVeeccttoorriiaall ((PPrroodduuccttoo CCrruuzz))
( ) ( kzjyixxkVzjVyiVxV ωωωω ++++=×rr )
j
i
k
−=
−=
−=
kxi0kxkjixk
jxk0jxjikxj
ixj0ixikjxi
==
==
==
RReeggllaa ddee llaa mmaannoo ddeerreecchhaa.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jVkxiV;kVjxiV;0ixiV zxzxyxyxxx ωωωωω −=== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iVkxjV;0jxjV;kVixjV zyzyyyxyxy ωωωωω ==−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0kxkV;iVjxkV;jVixkV zzyzyzxzxz ωωωωω =−==
( ) ( ) ( )kxVyyVxjzVxxVziyVzzVyV ωωωωωωω −+−++=×rr
88
99
Otra forma:
( ) ( ) ( kxVyyVxjxVzzVxiyVzzVyzyx
VzVyVxkji
V ωωωωωωωωω
ω −+−−+==×rr
)
senθ .V ωωVrr rr
=× RReeggllaa ddee llaa mmaannoo ddeerreecchhaa
AALLGGUUNNAASS PPRROOPPIIEEDDAADDEESS DDEELL AALLGGEEBBRRAA DDEE VVEECCTTOORREESS
EEll pprroodduuccttoo ppuunnttoo eess ccoonnmmuuttaattiivvoo Escalar V..V ωω ==rr rr
EEll pprroodduuccttoo ccrruuzz nnoo eess ccoonnmmuuttaattiivvoo Vector VV ωω =×≠×rr rr
EEll vveeccttoorr rreessuullttaannttee ddee uunn pprroodduuccttoo ccrruuzz eess ppeerrppeennddiiccuullaarr aa llooss vveeccttoorreess qquuee
ppaarrttiicciippaarroonn eenn eell pprroodduuccttoo.. EEll pprroodduuccttoo ppuunnttoo ddee ddooss vveeccttoorreess ppeerrppeennddiiccuullaarreess eess cceerroo.. EEll pprroodduuccttoo ccrruuzz ddee ddooss vveeccttoorreess ppaarraalleellooss eess cceerroo..
CCáállccuulloo ddeell áárreeaa ddee uunn ppaarraalleellooggrraammoo ccuuyyooss llaaddooss ssoonn llooss vveeccttoorreess Vy U
rr
senθU.cosθU21Altura.
VUproy
21A 1 Triángulo
rrr
r
==
cosθsenθUA2
triángulos 2 de
r=
( ) ( ) senθ U . cosθ UV Altura. cosθ UVARectángulo
rrrrr−=−=
cosθ θsenU senθ VUA2
Rectángulo
rrr−=
Rectángulotriángulos 2Total AAA +=
cosθ θsenU senθ VUcosθ θsenUA22
Total
rrrr−+=
senθ VUA amoparalelogr
rr= ⇒⇒ VUA amoparalelogr
rr×=
TTrriippllee PPrroodduuccttoo EEssccaallaarr..
( )RzRyRxQzQyQxPzPyPx
RQ.P =×rrr
=×RQrr
ÁÁrreeaa ddee uunn ppaarraalleellooggrraammoo
RQsenθRQrrrr
×=
baseQ;AlturasenθR ==rr
ÁÁrreeaa == ((BBaassee))((AAllttuurraa))
senθR.QRQÁrearrrr
=×=
CCáállccuulloo ddeell VVoolluummeenn ddeell PPrriissmmaa..
hcosφ P =r
VVoolluummeenn == ((hh))((ÁÁrreeaa PPaarraalleellooggrraammoo))
( ) EscalarRQP.RQ.cosφPV =×=×=rrrrr
1100
Ángulos entre Vectores PPrroodduuccttoo ppuunnttoo oo ccrruuzz
Q.Pcosθ QPrrrr
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= −
Q.P
Q.Pcosθ 1 rr
rr
QPsenθQ.Prrrr
×=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ×= −
|Q|.|P|
QPsenθ 1 rr
rr
EEjjeerrcciicciiooss:: 11-- DDeetteerrmmiinnaarr eell áánngguulloo eennttrree llooss vveeccttoorreess PP yy QQ
k6j3i1P ˆˆˆ +−=r
,, k 3j1i0Q ˆˆˆ −+=r
2118303)(6)(3)(1)((1)(0)Q.P −=−−=−+−+=rr
463691(6)3)((1)P 222 =++=+−+=r
10910(-3)(1)(0)Q 222 =++=++=r
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= −
Q.P
Q.Pcosθ 1 rr
rr
( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡= −
104621-cosθ 1
O168.28θ =
[ ] [ ] [ k 0(-3)1(1)j 0(6)-1(-3)i 1(6)(-3)(-3)3-106-1kji
QP 3 ˆˆˆˆˆˆ
−+−−==×rr
]
k1j3i3QP ˆˆˆ ++=×rr
19199(1)(3)(3)QP 222 =++=++=×rr
46P =r
,, 10Q =r
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ ×= −
Q.P
QPsenθ 1 rr
rr
,, ( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡= −
104619senθ 1
011.72θ = EEll ssuupplleemmeennttaarriioo sseerráá 118800--1111..7722 == 116688..2288°°
1111
2 Encontrar el ángulo formado por los cables AB ∧ AD; AD ∧ AC; AC ∧ AB
CCoooorrddeennaaddaass:: AA ((00,, 4488,, 00)) BB ((1166,, 00,, 1122)) CC ((1166,, 00,, --2244)) DD ((--1144,, 00,, 00))
50ADk0j48i14AD =→+−−= ˆˆˆ
52ABk12j48i16AB =→+−= ˆˆˆ
56ACk-24j48i16AC =→+−= ˆˆˆ
ÁÁnngguulloo eennttrree AABB yy AADD θ→ ÁÁnngguulloo eennttrree AADD yy AACC β→ ÁÁnngguulloo eennttrree AACC yy AABB γ→
∗∗ PPoorr eell pprroodduuccttoo ppuunnttoo tteenneemmooss::
cosθ AD . ABAD . AB =
)k0j48i14( . )k12j48i(16AD . AB ˆˆˆˆˆˆ +−−+−=
(12)(0)48)48)((14)(16)(AD . AB +−−+−=
02034224AD . AB ++−= 2080AD . AB =
cosθ AD . ABAD . AB = == 22008800
(52)(50)2080
AD.AB2080cosθ ==
ccooss θθ ==00..88 θθ == ccooss-1-1((00..88)) →→ θθ == 3366..8877 °°
cosγAD.ACAB.AC =
( )( )k12j48i16k24j48i16AB.AC ˆˆˆˆˆˆ +−−−=
24)(12)(48)48)((16(16)AB.AC −+−−+=
288230256AB.AC −+=
2272AB.AC =
2272cosγAD.AC =
1122
(56)(52)
2276ADAC
2272cosγ ==
0.7802cosγ =
(0.7802)cosγ 1−=
o38.72γ =
cosβAC.ADAC.AD =
( )( )k24-j48i16k0j48i14-AC.AD ˆˆˆˆˆˆ −−−=
24)(0)(48)48)((14)(16)(AC.AD −+−−+−=
2304224AB.AC +−=
2080AB.AC =
2080cosβAC.AD =
(56)(50)
2080cosβ =
0.7429cosβ =
(0.7429)cosβ 1−=
o42.02β =
33 DDeetteerrmmiinnee eell vvoolluummeenn ddeell pprriissmmaa ssii k2j3i4P ˆˆˆ +−=r
;; kj5i2 ˆˆˆ +−−= Qr
;;
kji7R ˆˆˆ −+=r
ssiieennddoo ttooddooss eessttooss vveeccttoorreess ddee ppoossiicciióónn eenn eell oorriiggeenn.. SSoolluucciióónn::
k
2j3i4P ˆˆˆ +−=r
kj5i2Q ˆˆˆ +−−=r
kji7R ˆˆˆ −+=r
( )RQ.PVprisma
rrr×=
( )1-1715-2-23-4
RQ.PV =×=rrr
35)22(7)3(21)4(5V +−+−+−= 2(33)5)3(4(4)V +−+=
3unid 67V =
1133
44 DDeetteerrmmiinnaarr eell vvaalloorr ddee QQyy ppaarraa qquuee llooss ttrreess vveeccttoorreess sseeaann ccooppllaannaarreess;;
kji3P ˆˆˆ +−=r
;; k2jQyi4Q ˆˆˆ −+=r
;; k2j2i2 ˆˆˆ +−= Rr
.. SSoolluucciióónn::
( ) 02Qy)8(4)(84)3(2Qy22-22-Qy411-3
RQ.P =−−+++−==×rrr
( ) 02Qy812126QyRQ.P =−−+−=×
rrr
44QQyy == 88 QQyy == 22
55 PPaarraa eell ppllaannoo mmoossttrraaddoo,, ddeetteerrmmiinnaarr uunn vveeccttoorr nnoorrmmaall uunniittaarriioo.. EEll ppllaannoo ppaassaa ppoorr
ttrreess ppuunnttooss nnoo ccoolliinneeaalleess AA((00,, 00,, 00));; BB((2200,, 110000,, --2255));; CC((8800,, 00,, --77))..
SSoolluucciióónn:: AA((00,, 00,, 00)) BB((2200,, 110000,, --2255)) CC((8800,, 00,, --77)) CACBn ×=
r
725 0,100 80,20CB +−−−=
18 100, 60,CB −−=
k18j100i60CB ˆˆˆ −+−=
70 0,0 80,0CA +−−=
7 0, 80,-CA =
k7j0i-80CB ˆˆˆ ++=
7080-18-10060-kji
CACBn
ˆˆˆ
=×=r
k80001440)420 (-ji700n ˆˆˆ +−−=r
k8000j1860i700n ˆˆˆ ++=r ,, k 0.08449 0.2256 0.9705n i jλ = + +
1144
LA FUERZA Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro como resultado de una interacción entre estos; acción que puede ser ejercida por el contacto directo entre superficies o a distancia como en el caso de las fuerzas gravitacionales o magnéticas que no necesitan un íntimo acercamiento. Los efectos producto de esta interacción, pueden ser observados de forma externa o interna al cuerpo sobre el cual actúan los diferentes tipos de fuerzas. El efecto externo se manifiesta por el cambio o tendencia al cambio que se opera en el estado de movimiento del cuerpo. Los esfuerzos y las posibles deformaciones sufridas son producto de la acción interna. Para comprender una fuerza no basta con conocer su magnitud. La importancia del carácter direccional de este fenómeno en los efectos provocados, nos obliga a manejar la fuerza como una cantidad vectorial. Adicionalmente a su magnitud, dirección y sentido en muchos casos debemos interesarnos en el punto de aplicación de la fuerza. Dependiendo del sistema de unidades utilizado, las fuerzas pueden ser expresadas en Newton, Kgf, lbf, Toneladas métricas (Tm), Toneladas inglesas (Ton), etc PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD Establece que el efecto externo sobre un cuerpo rígido será el mismo, si una fuerza que actúa en un punto dado del cuerpo es sustituida por otra de igual magnitud y dirección actuando en un punto diferente, siempre y cuando ambas fuerzas tengan la misma línea de acción. FUERZAS IGUALES Se dice que dos fuerzas son iguales cuando tienen la misma dirección, sentido y magnitud, tengan o no el mismo punto de aplicación o línea de acción.
1155
FUERZAS EQUIVALENTES Dos fuerzas son equivalentes si además de tener igual magnitud, dirección y sentido tienen la misma línea de acción, es decir cumplen con el principio de transmisibilidad. Se dice entonces que dos fuerzas que producen el mismo efecto externo son consideradas equivalentes.
LEY DE ACCION Y REACCION (Tercera Ley de Newton) Las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos en contacto directo o indirecto tienen la misma magnitud, igual línea de acción y sentidos opuestos.
RESULTANTE DE FUERZAS La adición de fuerzas se realiza de acuerdo con las propiedades de la suma de vectores, de tal suerte que para encontrar la resultante de un conjunto de fuerzas cuyas líneas de acción convergen en un punto basta con adicionarlas y establecer que la línea de acción de la fuerza resultante debe pasar por el punto de convergencia.
1166
EEJJEERRCCIICCIIOOSS CCOONN FFUUEERRZZAASS EENN EELL EESSPPAACCIIOO..
11.. DDeetteerrmmiinnaarr llaa lloonnggiittuudd ddeell ccaabbllee AABB yy eexxpprreessaarr llaa ffuueerrzzaa ddee tteennssiióónn eenn eell mmiissmmoo eenn ccoommppoonneenntteess vveeccttoorriiaalleess ssii ssuu mmaaggnniittuudd eess ddee 5500 llbbss..
CCoooorrddeennaaddaass AA yy BB AA((88,, 55ccooss5500,, 55ccooss4400)) BB((55,, 1122,, 00)) eenn ppllaannoo xxyy
5cos400 5cos50,12 8,5AB −−−=
k 3.83j 8.79i 3AB ˆˆˆ −+−=
( ) ( ) ( )222 3.858.793AB −++−=
10.04AB =
k 10.043.83j
10.048.79i
10.043
|AB|AB
ABˆˆˆλ −+−==
k 0.381j 0.875i 0.229ABˆˆˆλ −+−=
ABABAB |T|T λ⋅=rr
ABAB 50T λ=r
k 19.05j 43.75i 14.95TABˆˆˆ −+−=
r
LLoonnggiittuudd ddee ccaabbllee pies 10.04|AB| =
MMaaggnniittuudd ddee tteennssiióónn lb 50|T| AB =r
VVeeccttoorr TTeennssiióónn k 19.05j 43.75i 14.95TABˆˆˆ −+−=
r
1177
22.. CCuuaall sseerráá llaa tteennssiióónn eenn llooss ccaabblleess AACC yy AADD ddee ttaall mmaanneerraa qquuee llaa ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee sseeaa vveerrttiiccaall,, ssii llaa tteennssiióónn eenn eell ccaabbllee AABB eess ddee 3399 kkNN,, ((vveerr ffiigguurraa))
56|AC|k 24 j 48i 16AC =→−−= ˆˆˆ
52|AB|k 12j 48i 16AB =→+−= ˆˆˆ
50|AD|k 0j 48i 14AD =→+−−= ˆˆˆ
k 5624j
5648i
5616
ACˆˆˆλ −−=
k 5212j
5248i
5216
ABˆˆˆλ +−=
j 5248i
5014
ABˆˆλ −=
k 52468j
521872i
5262439T ABAB
ˆˆˆλ +−==r
k T5624j T
5648i T
5616T ACACACAC
ˆˆˆ −−=r
j T5048i T
5014T ADADAD
ˆˆ −−=r
⇒⇒ ( )10T5014T
5616
52624
ADAC =−+
( )20T5624
52468
AC =− ⇒⇒ TTACAC == 2211 kkNN yy TTADAD == 6644..2299 kkNN
1188
33.. ACFr
eessttáá eenn eell ppllaannoo xxyy ccoonn θθyy == 113355°° ssee pprreetteennddee ssuussttiittuuiirr eell eeffeeccttoo ddee FFACAC yy
FFAB mediante un solo cable AD, cual debe ser la fuerza mediante un solo cable AD, cual debe ser la fuerzAB B a ADFr
y las coordenadas del punto D en la plano xz. Sí F
y las coordenadasdel punto D en la plano xz. Sí FAACC = 1500 lbf y F= 1500 lbf y FAABB == 22000000 llbbff.. B
k 0j 12i 12AC ˆˆˆ +−=
k 14j 12i 8AB ˆˆˆ +−=
k zj 12ix AD ˆˆˆ +−=
( ) ( )k0j
288121500
i288
1215001500Fk 0j
28812i
28812
ACACACˆˆˆλˆˆˆλ +−==→+−=
r
k 40414
j 40412
i 4048
ABˆˆˆ +−=λ
( ) ( ) ( )k
142000j
404122000
i 404
1220002000F ABAB
ˆ404
ˆˆ +−== λr
k Lzj
L12i
Lx
ADˆˆˆλ +−= k 1393.05j 2254.7i 1856.7R ˆˆˆ +−=
r
3235.98|F|3235.98|R| AD =∴=rr
k 3235.981393.05j
3235.982254.7i
3235.981856.7
Rˆˆˆλ +−=r
0.697L12ycos;0.574
Lxxcos −=−=== θθ
LL == 1177..2211
xx == 00..557744((1177..2211)) ;; CCoossθθ zz == Lz == 00..4433
xx == 99..8888 zz == 00..4433((1177..2211)) zz == 77..4400 ⇒⇒ DD((99..8888,, 00,, 77..4400))
1199
44.. SSii || ABTr
|| == 440088 NN ddeetteerrmmiinnaarr llaa ffuueerrzzaa eenn ssuuss ccoommppoonneenntteess qquuee ssooppoorrttaa llaa ppaarrttííccuullaa BB
k 360j 480i 320BA ˆˆˆ −+=
||BA || == 668800
BABABA 408Tk 680360j
680480i
680320λ λˆˆˆ =→−+=
r
k 216j 288i 192TBAˆˆˆ −+=
r
55.. SSii || ADTr
|| == 442299 NN ddeetteerrmmiinnaarr llaa ffuueerrzzaa eenn ssuuss ccoommppoonneenntteess qquuee ssooppoorrttaa llaa ppaarrttííccuullaa DD..
k 360j 480i 250DA ˆˆˆ ++−=
||DA || == 665500
DADADA 429Tk 650360j
650480i
650250 λˆˆˆλ =→++−=
r
TTDADA == --116655 îî ++ 331166..88 ĵĵ ++223377..66 k NNoottaa:: BB yy DD ssiieenntteenn qquuee ttiirraann ddee eellllooss ppoorr eessoo eell sseennttiiddoo hhaacciiaa aarrrriibbaa..
2200
66.. PPaarraa llaa ffiigguurraa qquuee ssee mmuueessttrraa aa ccoonnttiinnuuaacciióónn ddeetteerrmmiinnee llaass ccoommppoonneenntteess ddee TTACAC,, llooss áánngguullooss ddiirreeccttoorreess ssii ssee ssaabbee qquuee ||TTACAC|| == 112200 llbbss..
L|AC| =
AAC C hh == LL((ccooss6600)) AACXCX == AACChh..ccooss2200 == ((LLccooss6600))ccooss2200 AACZCZ == AACChh..sseenn2200 == ((LLccooss6600))sseenn2200 AACYCY == LLsseenn6600
k 0Lcos60sen2j Lsen60i 0Lcos60cos2AC ˆˆˆ −−=
k cos60sen20LLj sen60
LLi cos60cos20
LL
||ACAC
ACˆˆˆ
λλ −−==
k cos60sen20j sen60i cos60cos20ACˆˆˆλ −−=
[ ]k cos60sen20j sen60i cos60cos20120120T ACACˆˆˆλ −−==
r
k 20.52j 103.92i 56.38TACˆˆˆ −−=
r
ÁÁnngguullooss ddiirreeccttoorreess..
k cos60sen20j sen60i cos60cos20ACˆˆˆλ −−=
( ) °== − 61.98cos60cos20cosθ 1X
( ) °=−= − 150sen60cosθ 1Y
( ) °=−= − 99.85cos60sen20cosθ 1Z
2211
EFECTOS EXTERNOS ROTACIONALES: MOMENTO DE UNA FUERZA La magnitud del momento de una fuerza con respecto a un punto se define como el producto de la magnitud de la fuerza por la distancia perpendicular entre la línea de acción de la fuerza y el punto en referencia denominado también centro de momentos.
El efecto externo provocado por el momento de una fuerza es la tendencia a girar del cuerpo alrededor del centro de momentos y la magnitud del momento mide de forma cuantitativa el efecto rotacional. Aquí nuevamente se observa que los movimientos de rotación o tendencias a este tipo de movimientos únicamente pueden ser comprendidos a plenitud si se toma en cuenta su dirección y que por lo tanto deben ser manejados como vectores. En términos vectoriales el momento de una fuerza aplicada en A con respecto a un punto P es expresado como:
FrM pAp
rrr×=
donde zkyjxi ++=pArr
$ $ F Fx i Fy j Fz k= + +
ur$ FF ==
DDee aaccuueerrddoo aa llaass pprrooppiieeddaaddeess ddeell pprroodduuccttoo ccrruuzz,, eell mmoommeennttoo MM eess uunn vveeccttoorr ppeerrppeennddiiccuullaarr aall ppllaannoo qquuee ccoonnffoorrmmaann llooss vveeccttoorreess rr yy FF.. LLaass ccoommppoonneenntteess rreeccttaanngguullaarreess ddeell mmoommeennttoo ddee uunnaa ffuueerrzzaa eenn ttéérrmmiinnooss ggeenneerraalleess ppuueeddeenn sseerr oobbtteenniiddaass ddee llaa ssiigguuiieennttee mmaanneerraa::
k MzjMy iMx M O ++=r
k )yrxFyFx(rj )zrxFzFx(ri )zryFzFy(r
zFyFxFzryrxrkji
FrMOˆˆˆ
ˆˆˆ
−+−−−==×=rr
xM r F F ry z y z= − ;; x z x z−= − ;yM (r F F r ) ; zM r F F rx y x y −=
2222
PPaarraa ppooddeerr ccaallccuullaarr eell mmoommeennttoo rreessppeeccttoo aa uunn ppuunnttoo aarrbbiittrraarriioo ““BB”” qquuee nnoo sseeaa eell oorriiggeenn,, ccuuaannddoo llaa ffuueerrzzaa F
r eessttáá aapplliiccaaddaa eenn ““AA”” ssee pprroocceeddee ddee llaa ssiigguuiieennttee ffoorrmmaa::
zyx
zyxB
FFFAAAkji
M
ˆˆˆ
=
F)rr(FrM BABAB
rrrrrr×−=×=
BABA
ABAB
rrrrrr
−==+
77.. DDeetteerrmmiinnaarr eell mmoommeennttoo ddee llaa ffuueerrzzaa Fr
aapplliiccaaddaa eenn eell ppuunnttoo ““AA””.. SSoobbrree eell ppuunnttoo ““pp””..
FrM pAp
rrr×=
k 8.5j 6i 11rpAˆˆˆ −+−=
r;; AB13λF =r
k 1.5j 2i 6AB ˆˆˆ −+= ;; 6.5AB = ,, k 6.51.5j
6.52i
6.56λ AB
ˆˆˆ −+= ⇒⇒
k 3j 4i 12 λ13F ABABˆˆˆ −+==
r
p
ˆ ˆ ˆi j kˆ ˆM 11 6 8.5 16 i 135 j 116 k= − − = − −
r ˆ
12 4 3−
2233
TTEEOORREEMMAA DDEE VVAARRIIGGNNOONN TTrraattaa ssoobbrree eell mmoommeennttoo pprroodduucciiddoo ppoorr vvaarriiaass ffuueerrzzaass ccoonnccuurrrreenntteess..
n21n21O F.........rFrFr).........FF(FrRrM ×+×+×=++×=×=rrrr
El momento con respecto a un punto dado “O” de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto.
MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE.MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE.
FrM OAOrrr
×= LLaa pprrooyyeecccciióónn ddee uunn vveeccttoorr ssoobbrree oottrroo vveeccttoorr ssee ccaallccuullaa ppoorr eell pprroodduuccttoo eessccaallaarr..
2244
2255
SSeeaa MMoLoL llaa pprrooyyeecccciióónn ddeell vveeccttoorr OMr
ssoobbrree eell eejjee OOLL
Escalar Producto Triple )Fr( . λM . λM OAOLOOLOLrrrr
×==
zyx
zyx
zyx
OAOLOL
FFFAAA)Fr.(λMλλλ
=×=rrr
MMOLOL mmiiddee llaa tteennddeenncciiaa ddee llaa ffuueerrzzaa F
r aa iimmpprriimmiirr uunn ggiirroo aallrreeddeeddoorr ddeell eejjee OOLL..
FrM BAB
rrr×= FrM CAC
rrr×=
(1) )Fr.(λM BABLBL
rrr×= (2) )Fr(λM CA.CLCL
rrr×=
(3) rrrrrr BCBACABACABC
rrrrrr−=→=+
Sustituyendo (3) en (2)
( )[ ]Frr .λM BCBACLCL
rrrr×−=
( ) ( ) (4) Fr. λFr.λM BCCLBACLCL
rrrrr×+×=
BCCL ry λ r
eessttáánn eenn eell mmiissmmoo eejjee ppoorr lloo ttaannttoo eell ttrriippllee pprroodduuccttoo eessccaallaarr eess cceerroo.. LLaa eexxpprreessiióónn ((44)) eess iigguuaall aa llaa eexxpprreessiióónn ((11)) CCoonncclluuiimmooss:: EEll mmoommeennttoo rreessppeeccttoo aa uunn eejjee eess aarrbbiittrraarriioo ddeell ppuunnttoo ssoobbrree eell eejjee ddee ddoonnddee ppaarrttee eell vveeccttoorr r
r.. DDiicchhoo ddee oottrraa mmaanneerraa,, ppooddeemmooss aasseegguurraarr qquuee eell mmoommeennttoo ddee
uunnaa ffuueerrzzaa ccoonn rreessppeeccttoo aa uunn eejjee eess úúnniiccoo yy ssuu vvaalloorr nnoo ddeeppeennddee ddeell ppuunnttoo qquuee ssee eessccoojjaa ccoommoo cceennttrroo ddee mmoommeennttooss ssiieemmpprree yy ccuuaannddoo eessttee ppeerrtteenneezzccaa aall eejjee..
DDeessccoommppoonneemmooss llaa ffuueerrzzaa FF eenn FF11 yy FF22 ddoonnddee FF11 eess ppaarraalleelloo aa OOLL yy FF22 eessttaa eenn eell ppllaannoo ddee llaa ppllaaccaa.. LLooss ppuunnttooss ““OO”” yy ““AA”” eessttáánn eenn eell ppllaannoo ddee llaa ppllaaccaa..
( )[ ]21OAOLOL FFrλMrrr
+×=
( ) ( )2OAOL1OAOLOL Fr.λFr.λMrrrr
×+×=
NNoottee qquuee OLλ yy 1F
r ssoonn ccooppllaannaarreess ppoorr lloo qquuee
( ) 0Fr. 1OAOL =×λrr )Fr.(M 2OAOLOL
rr×λ=∴ ..
PPooddeemmooss aapprreecciiaarr ccoonn mmaayyoorr ccllaarriiddaadd qquuee MMOLOL mmiiddee llaa tteennddeenncciiaa ddee F
r aa hhaacceerr ggiirraarr eell
ccuueerrppoo rrííggiiddoo aallrreeddeeddoorr ddeell eejjee OOLL..
2266
2277
88.. UUnn aannuunncciioo ssee eennccuueennttrraa ssoobbrree uunnaa ssuuppeerrffiicciiee ddeessnniivveellaaddaa yy ssee ssoossttiieennee
mmeeddiiaannttee llooss ccaabblleess EEFF yy EEGG.. SSii llaa ffuueerrzzaa eejjeerrcciiddaa ppoorr eell ccaabbllee EEFF eenn EE eess ddee 4466 LLbbss,, ddeetteerrmmiinnee ssuu mmoommeennttoo ccoonn rreessppeeccttoo aa llaa llíínneeaa qquuee uunnee aa llooss ppuunnttooss AA yy DD..
SSii llaa ffuueerrzzaa eejjeerrcciiddaa ppoorr eell ccaabbllee EEGG eess EE eess 5544 LLbbss,, ddeetteerrmmiinnee ssuu mmoommeennttoo ccoonn rreessppeeccttoo aa llaa llíínneeaa qquuee uunnee llooss ppuunnttooss AA yy DD..
( )EGAGADAD Fr.λM ×=
k 44j 88i 11EG ˆˆˆ −−=
99 |EG| =
k 9944j
9988i
9911λEG
ˆˆˆ −−=
EGEG λ54F =
k 24j 48i 6FEGˆˆˆ −−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= −
4836Tanθ 1
3645cosθEx == 2745senθEz ==
EE((3366,, 9966,, 2277)) GG((4477,, 88,, --1177))
AA((00,, 00,, 00)) k17j8i47rAGˆˆˆ −+=
DD((4488,, --1122,, 3366))
k36j12i48AD ˆˆˆ +−=
3744 |AD| =
k374436j
374412i
374448λ AD
ˆˆˆ +−=
( )EGAGADAD Fr.λM ×=
2448617847
374436
374412
374448
MAD
−−−
−
=
( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]1762447374412
1748248374448
MAD −−−+−−−−= ( ) ([ ]864847374436
−−+ )
pieLb 195.6312pulg1pie
inLb 2347.51MAD ⋅−=⋅⋅−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−−=−= k
374436j
374412i
374448 195.63 λ195.63 M ADDA
ˆˆˆr
k 115.1j 38.37i 153.46 M DAˆˆˆ −+−=
r
2288
MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS
SSee ddiiccee qquuee ddooss ffuueerrzzaass F yF
rr− ffoorrmmaann uunn ppaarr ssii ttiieenneenn llaa mmiissmmaa mmaaggnniittuudd,, llíínneeaass ddee
aacccciióónn ppaarraalleellaass yy sseennttiiddooss ooppuueessttooss..
( )FrFrM OBOAO
rrrrr−×+×= OABAOB rrr
rrr=+
FrFrM OBOAO
rrrrr×−×= OBOABA rrr
rrr−=
( ) FrrM OBOAO
rrrr×−=
FroM BArrr
×= DDee eessttaa eexxpprreessiióónn ppooddeemmooss nnoottaarr qquuee BAr
r eess iinnddeeppeennddiieennttee ddeell mmaarrccoo ddee rreeffeerreenncciiaa,,
ppoorr lloo qquuee OMr
ddee uunn ppaarr eess uunn vveeccttoorr lliibbrree qquuee ppuueeddee aapplliiccaarrssee eenn ccuuaallqquuiieerr ppuunnttoo ddeell ccuueerrppoo..
senθ|r|.|F|senθ|F||r| |M| BABAO ⋅=⋅⋅=rrrrr
d|F||M| O ⋅=rr
DDoonnddee dd == senθ|r| BA ⋅r
,, ddiissttaanncciiaa ppeerrppeennddiiccuullaarr aa llaa ffuueerrzzaa..
2299
99.. SSii pp == 2200 LLbbss,, rreeeemmppllaaccee llooss ttrreess ppaarreess ppoorr uunnoo ssoolloo,, eeqquuiivvaalleennttee,, eessppeecciiffiiccaannddoo llaa mmaaggnniittuudd yy llaa ddiirreecccciióónn ddee ssuu eejjee..
k 20j 10i oBA ˆˆˆ +−=
500 |BA| =
k 50020 j
50010i 0λBA
ˆˆˆ +−=
k 500800j
500400i 0 λ40F ABBA
ˆˆˆ +−==
BADAPCO16CO FrFrFrMrrrrrr
×+×+×=
500800
5004000
10015kji
20000030kji
01600030kji
M−
−+−+−=
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++++−+= k
5006000j
50012000i
5004000k 0j 600i 0k 480j 0i 0M ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
k 480500
6000j 500
12000600i500
4000M ˆˆˆ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
3300
3311
PARES EQUIVALENTESPARES EQUIVALENTES.. Establecemos que dos sistemas de fuerzas son equivalentes, es decir tienen el mismo efecto en el cuerpo rígido, si puede transformarse uno de ellos en otro mediante una o varias de las operaciones siguientes:
11)) RReeeemmppllaazzaannddoo ddooss ffuueerrzzaass qquuee aaccttúúaann ssoobbrree uunnaa mmiissmmaa ppaarrttííccuullaa ppoorr ssuu rreessuullttaannttee..
22)) DDeessccoommppoonniieennddoo uunnaa ffuueerrzzaa eenn ssuuss ccoommppoonneenntteess.. 33)) CCaanncceellaannddoo ddooss ffuueerrzzaass iigguuaalleess yy ooppuueessttaass qquuee aaccttúúeenn ssoobbrree llaa mmiissmmaa
ppaarrttííccuullaa.. 44)) AApplliiccaannddoo aa llaa mmiissmmaa ppaarrttííccuullaa ddooss ffuueerrzzaass iigguuaalleess yy ooppuueessttaass.. 55)) DDeessppllaazzaannddoo uunnaa ffuueerrzzaa aa lloo llaarrggoo ddee ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn..
3322
QddF 211 = PPaarreess eeqquuiivvaalleenntteess.. DDooss ppaarreess qquuee ttiieenneenn eell mmiissmmoo mmoommeennttoo ssoonn eeqquuiivvaalleenntteess ssii eessttáánn ccoonntteenniiddooss eenn eell mmiissmmoo ppllaannoo oo eenn ppllaannooss ppaarraalleellooss.. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA DADA EN UNA FUERZA APLICADA DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA DADA EN UNA FUERZA APLICADAEN O Y UN PAR.EN O Y UN PAR.
( ) F''rrF'ro'Mrrrrrr
×+=×=
F''rFro'Mrrrrr
×+×=
F''roMo'Mrrrr
×+= CCoonncclluuiimmooss:: SSee ppuueeddee ttrraassllaaddaarr uunnaa ffuueerrzzaa ffuueerraa ddee ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn,, ssii llee ssuummaammooss eell mmoommeennttoo qquuee llaa ffuueerrzzaa pprroodduuccee eenn ssuu ppoossiicciióónn oorriiggiinnaall ssoobbrree eell ppuunnttoo ddoonnddee ttrraassllaaddaammooss llaa ffuueerrzzaa..
3333
PPooddeemmooss vveerr iinnvveerrttiiddoo eell pprroocceessoo,, aassíí:: SSii tteennggoo uunnaa ffuueerrzzaa yy uunn mmoommeennttoo((ffuueerrzzaa--ppaarr))qquuee sseeaann ppeerrppeennddiiccuullaarreess eennttrree ssíí,, ppuueeddeenn rreeeemmppllaazzaarrssee ppoorr úúnniiccaa ffuueerrzzaa eeqquuiivvaalleennttee,, eessttoo ssee llooggrraarrííaa ssii F
r eess ddeessppllaazzaaddaa
eenn uunn ppllaannoo ppeerrppeennddiiccuullaarr aa oMr
hhaassttaa qquuee ssuu mmoommeennttoo rreessppeeccttoo aa ““OO””,, sseeaa iigguuaall aall
vveeccttoorr ddeell ppaarr oMr
qquuee sséé vvaa aa eelliimmiinnaarr..
OO ((xx11,, yy11,, zz11)):: ccoonnoocciiddoo KK:: ppuunnttoo qquuee ppeerrtteenneeccee aall ppllaannoo ppeerrppeennddiiccuullaarr aa oM
r
KK ((xx22,, yy22,, zz22)):: bbuussccaaddoo ddoonnddee lllleevvaarr Rr
ppaarraa eelliimmiinnaarr oMr
( ) ( ) ( ) oMRzRyRx
zzyyxxkji
Rr M 212121kokrrrr
=−−−=×=
ˆˆˆ
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]k Rx yyRy xxj Rx zzRz xxi Ry zzRz yyM 212121212121Kˆˆˆ −−−+−−−−−−−=
r
oMMconocido :k MzjMy iMx oM Krrr
=++= ˆˆˆ ((yy11 –– yy22))RRzz –– ((zz11 –– zz22))RRyy == MMxx ((11)) ((zz11 –– zz22))RRxx –– ((xx11 –– xx22))RRzz == MMyy ((22)) ((xx11 –– xx22))RRyy –– ((yy11 –– yy22))RRxx == MMzz ((33)) DDeetteerrmmiinnaarr xx22,, yy22,, zz22 ddee eessttaass ttrreess eeccuuaacciioonneess,, ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr ddoonnddee lllleevvaarr R
r,, aa KK((xx22,,
yy22,, zz22)) ssiisstteemmaa ddee ffuueerrzzaa úúnniiccaa..
REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR
∑ ∑=∴= FxRFR Xrr
∑= FyR Y
∑= FzRZ
RO
n
1iii MFrMo =×= ∑∑
=
rr
Sistema reducido a una fuerza única resultante y un par OM
r en “O”
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza-par en un punto dado “O”. Dos sistemas de fuerzas F1, F2, F3,...... y F’1, F’2, F’3..... son equivalentes si:
∑∑∑∑∑=====
==∧=n
1i
'O
n
1i
'O
n
1io
n
1i
n
1i
iMiMiMiF'Fi
Estos sistemas serán válidos no solo con respecto a “O” sinó con respecto a un punto arbitrario “ O’ ”.
3344
SISTEMAS REDUCIBLES A UNA FUERZA ÚNICA EQUIVALENTE
ii.. FFuueerrzzaass ccoonnccuurrrreenntteess iiii.. FFuueerrzzaass ccooppllaannaarreess iiiiii.. FFuueerrzzaass ppaarraalleellaass
ii.. FFuueerrzzaass ccoonnccuurrrreenntteess
UUnn ssiisstteemmaa ddee ffuueerrzzaass ccoonnccuurrrreenntteess ppuueeddee rreedduucciirrssee aa uunn ssiisstteemmaa ddee ffuueerrzzaa úúnniiccaa,, llaa rreessuullttaannttee..
∑=
=n
1i
i FRrr
iiii.. FFuueerrzzaass ccooppllaannaarreess
3355
3366
332211RO FrFrFr M
rrrrrr×+×+×=
321321 F ,F ,F ,r ,r ,rrrrrrr
eessttáánn ccoonntteenniiddooss eenn eell ppllaannoo ddee llaa ppllaaccaa,, ppoorr lloo qquuee R
O Mr
sseerráá ppeerrppeennddiiccuullaarr
aa llaa ppllaaccaa yy Rr
eessttaarráá ccoonntteenniiddoo eenn llaa ppllaaccaa ddee lloo qquuee ppooddeemmooss ccoonncclluuiirr:: LLooss ssiisstteemmaass ddee ffuueerrzzaass ccooppllaannaarreess ggeenneerraann ssiisstteemmaass ffuueerrzzaa--ppaarr,, ddoonnddee llaa ffuueerrzzaa úúnniiccaa eess ppeerrppeennddiiccuullaarr aall ppaarr rreessuullttaannttee,, ppoorr
lloo ttaannttoo,, rreedduucciibbllee aa uunnaa ffuueerrzzaa úúnniiccaa aapplliiccaaddaa eenn KK..
d.|R||M| RO
r=
|R|
Md
ROr=
LLaa ffuueerrzzaa úúnniiccaa ffuuee ssaaccaaddaa ddee ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn oorriiggiinnaall aa uunnaa nnuueevvaa qquuee ppaassaa ppoorr KK..
3377
iiiiii.. FFuueerrzzaass ppaarraalleellaass
FF11,, FF22,, FF33 ssoonn ppaarraalleellaass eennttrree ssii rr11,, rr22,, rr33 eelleeggiiddooss eessttáánn eell ppllaannoo xxyy
332211RO FrFrFr M
rrrrrr×+×+×=
MMO1O1,, MMO2O2,, MMO3O3 ssoonn ppeerrppeennddiiccuullaarreess aa FF11,, FF22,, FF33,, ppoorr lloo ttaannttoo eR
O M ess ppeerrppeennddiiccuullaarr aa Rr
,,
ppoorr lloo qquuee ppuueeddee rreedduucciirrllee aa uunnaa ffuueerrzzaa úúnniiccaa.. SSii lllleevvaammooss llaa rreessuullttaannttee eenn ““OO”” aa uunnaa nnuueevvaa llíínneeaa ddee aacccciióónn qquuee ppaassee ppoorr uunn ppuunnttoo KK ssoobbrree aallggúúnn ppllaannoo ccoooorrddeennaaddoo,, tteennddrreemmooss uunn ssiisstteemmaa eeqquuiivvaalleennttee ddee ffuueerrzzaa úúnniiccaa..
ROOK MRr =×
rr ;; KK((xx,, yy,, zz)),, OO((00,, 00,, 00))
conocido :O , M ,R RO
r
KK:: iinnccóóggnniittaa
3388
TORSOR PPaarraa eell ccaassoo mmááss ggeenneerraall ddee ffuueerrzzaass eenn eell eessppaacciioo ((nnoo ccoonnccuurrrreenntteess,, nnoo ppaarraalleellaass,, nnoo ccooppllaannaarreess)) tteennddrreemmooss uunnaa rreessuullttaannttee ddee ffuueerrzzaass R
r yy uunn vveeccttoorr ddeell ppaarr qR
O M quuee nnoo
ssoonn ppeerrppeennddiiccuullaarreess eennttrree ssíí yy nniinngguunnoo ddee llooss ccuuaalleess eess cceerroo.. AAssíí nnoo ppuueeddee rreedduucciirrssee eessttee ssiisstteemmaa aa uunnaa ssoollaa ffuueerrzzaa oo aa uunn ssiimmppllee vveeccttoorr ddeell ppaarr.. SSiinn eemmbbaarrggoo ppooddeemmooss hhaacceerr llaa rreedduucccciióónn ssiigguuiieennttee::
-- DDeessccoommppoonneerr eRO M enn ddooss::
1 Mr
:: ccoonn llaa ddiirreecccciióónn ddee Rr
2 Mr
:: eenn uunn ppllaannoo ppeerrppeennddiiccuullaarr aa Rr
-- EEll vveeccttoorr 2 Mr
ppoorr ssuu ppeerrppeennddiiccuullaarriiddaadd ccoonn Rr
ppuueeddee sseerr rreeeemmppllaazzaaddoo ppoorr uunnaa
ssoollaa ffuueerrzzaa Rr
qquuee aaccttuuaarráá eenn uunnaa llíínneeaa ddee aacccciióónn.. ∴∴ EEll rreessuullttaaddoo ffiinnaall sseerráá llaa rreessuullttaannttee R
r yy uunn vveeccttoorr ddeell ppaarr 1 M
r((eenn llaa mmiissmmaa ddiirreecccciióónn
ddee Rr
)).. AA ccoommbbiinnaacciióónn ffuueerrzzaa ppaarr ssee llee llllaammaa ttoorrssoorr.. SSuu eeffeeccttoo sseerráá:: Rr
ttiieennddee aa ttrraassllaaddaarr aall ccuueerrppoo aa lloo llaarrggoo ddee ssuu llíínneeaa ddee aacccciióónn
1 Mr
ttiieennddee aa ggiirraarr eell ccuueerrppoo aallrreeddeeddoorr ddee llaa llíínneeaa ddee aacccciióónn ddee Rr
..
ROR1 M. M
rrrλ=
RO21 M M M
rrr=+ →→ 1
RO2 M M M
rrr−=
2OK MRrrrr
=× ((ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr KK))
3399
1100.. CCoommoo ssee mmuueessttrraa eenn llaa ffiigguurraa,, aa mmeeddiiddaa qquuee eell sseerrvviiddoorr AABB rruueeddaa ssoobbrree llaa ssuuppeerrffiicciiee ddeell eelleemmeennttoo CC,, eejjeerrccee uunnaa ffuueerrzzaa ccoonnssttaannttee,, ppeerrppeennddiiccuullaarr aa ddiicchhaa ssuuppeerrffiicciiee aa)) rreeeemmppllaaccee FF ppoorr uunn ssiisstteemmaa eeqquuiivvaalleennttee ffuueerrzzaa--ppaarr eenn eell ppuunnttoo DD qquuee ssee oobbttiieennee aall ddiibbuujjaarr uunnaa ppeerrppeennddiiccuullaarr ddeessddee eell ppuunnttoo ddee ccoonnttaaccttoo hhaassttaa eell eejjee xx.. bb)) ccuuaannddoo aa == 11,, bb == 22,, ddeetteerrmmiinnaarr eell vvaalloorr ddee xx ppaarraa qquuee eell mmoommeennttoo ddeell ssiisstteemmaa eeqquuiivvaalleennttee ffuueerrzzaa--ppaarr eenn DD sseeaa mmááxxiimmoo..
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+⋅=
2
2
224D
abxb
x4ba2bxF M SSiisstteemmaa ffuueerrzzaa--ppaarr eenn DD
2242
32D x4ba
axxF2b M +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅= ( )( ) ( )YFsenβYFxM D ==
FRrr
=
( )( )-1/223D 16x1xx8F M +−= ;; SSii aa == 11,, bb == 22
( )( ) ( ) ( ) ( )32x16x121xxF 816x13x1F 8
dxdM 3/2221/222 ⋅+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−++−=
−−
( ) ( )( )32
3
2
2
16x1
xxF 128
16x1
3x1F 80
+
−−
+
−=
( )2
422
16x1xx16
3x1+
−=− →→ ( )( ) ( )4222 xx1616x13x1 −=+−
42422 16x16x48x3x16x1 −=−−+ xx == 00..336699
013x32x 24 =+−− 00..113366
)
( )(( )322
132493x2
−−−±
=
XX == 00..336699 ppaarraa qquuee MMDD sseeaa mmááxx
4400
1111.. CCuuaattrroo ccuueerrddaass ssee aattaann aa uunnaa ccaajjaa ddee mmaaddeerraa eejjeerrcciieennddoo llaass ffuueerrzzaass mmoossttrraaddaass
eenn llaa ffiigguurraa.. SSii llaass ffuueerrzzaass ddeebbeenn sseerr rreeeemmppllaazzaaddaass ppoorr uunnaa ssoollaa ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee aapplliiccaaddaa eenn uunn ppuunnttoo aa lloo llaarrggoo ddee llaa llíínneeaa AABB,, ddeetteerrmmiinnee.. aa)) llaa ffuueerrzzaa eeqquuiivvaalleennttee yy llaa ddiissttaanncciiaa aa ppaarrttiirr ddee AA ddeell ppuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn ddee llaa mmiissmmaa ccuuaannddoo αα == 3300°° yy bb)) eell vvaalloorrαα ssii llaa ffuueerrzzaa eeqquuiivvaalleennttee ssee aapplliiccaa eenn BB..
j 100seni 100cos30j 90sen65i 90cos65j 400cos25i 400sen25j 160R ˆˆˆˆˆˆˆ +−++++=r
j 654.09i 120.48R ˆˆ +=r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )6690sen653690cos6566400cos2526400sen2546160 M RA ++++=
k inlb 42,434.507 M RA
ˆ⋅=
pielb 3536.21 M RA ⋅=
[ ] 3536.21654.09xMA ==
xx == 55..4411 ppiiee xx == 6644..99 ppuullgg..
lb 665.1|R| =r
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= −
120.48654.09tanθ 1
θθ == 7799..66°° bb)) SSii eell ssiisstteemmaa ddee ffuueerrzzaa úúnniiccaa eeqquuiivvaalleennttee eess eenn BB
)
( ) ( j 100sen90sen65400cos25160i 100cos90cos65400sen25R ˆαˆα ++++−+=r
( ) ( j 100sen604.09i 100cos207.08R ˆαˆα ++−= )r
[ ] 42,434.507M100sen604.0966 A ==+ α
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= −
66002564.51sen 1α
αα == 2222..99°°
4411
1122.. UUnnaa cciimmeennttaacciióónn ddee ccoonnccrreettoo ccoonn ffoorrmmaa ddee hheexxáággoonnoo rreegguullaarr ddee 1122 ppiieess ppoorr llaaddoo,, ssooppoorrttaa ssoobbrree ccuuaattrroo ddee ssuuss ccoolluummnnaass llaass ccaarrggaass mmoossttrraaddaass eenn llaa ffiigguurraa.. DDeetteerrmmiinnee llaass mmaaggnniittuuddeess ddee llaass ccaarrggaass aaddiicciioonnaalleess qquuee ddeebbeenn aapplliiccaarrssee eenn BB yy FF,, ssii llaa rreessuullttaannttee ddee llaass sseeiiss ccaarrggaass ddeebbeenn ppaassaarr ppoorr eell cceennttrroo OO ddee llaa cciimmeennttaacciióónn..
BF FF10302015R −−−−−−=r
BF FF75R −−−=r
0FrFrFrFrFrFrM FOF20OEDODCOCBOBBOA
RO =×+×+×+×+×+×=
rrrrrrrrrrrrr
+−
+−
+−
−+−
−03000012kji
010012sen60012cos60
kji
0F012sen60012cos60
kji
01500012kji
B
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
0F012sen60012cos60
kji
020012sen60012cos60
kji
F−−−+
−−
ˆˆˆˆˆˆ
i 240sen60k 360k 120cos60i 12sen60k 12cos60Fi 12sen60Fk 180 BBˆˆˆˆˆˆˆ −−−+++
k 240cos60 ˆ− k12cos60Fi12sen60F F Fˆˆ +−
( ) ( ) k 0j 0i 0k 3606F6Fj 0i 103.92312sen60F12sen60F FBFBˆˆˆˆˆˆ ++=−+++−−
1122sseenn6600FFB – 12sen60FBB – 12sen60FFF – 103.923 = 0 – 103.923 = 066FFB + 6FBB + 6FFF – 360 = 0 – 360 = 0
103.92312sen60F6
6F36012sen60 FF =−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
103.92312sen60F12sen60F720sen60 FF =−− kips 25FF =
( )35
6256360
FB =−
=
kips 35FB =
4422
1133.. DDooss ppeerrnnooss eenn AA yy eenn BB ssee aapprriieettaann mmeeddiiaannttee llaa aapplliiccaacciióónn ddee llaass ffuueerrzzaass yy llooss ppaarreess mmoossttrraaddooss eenn llaa ffiigguurraa.. RReeeemmppllaaccee llaass ddooss llllaavveess ddee ttoorrssiióónn ppoorr uunnaa ssoollaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn eeqquuiivvaalleennttee yy ddeetteerrmmiinnee,, aa))llaa rreessuullttaannttee RR,, bb))eell ppaassoo ddee eessaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn eeqquuiivvaalleennttee yy cc)) eell ppuunnttoo ddoonnddee eell eejjee ddee llaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn iinntteerrsseeccttaa aall ppllaannoo xxyy..
k 20j 0i 0CD ˆˆˆ −+=
k 0j 16i 30CE ˆˆˆ +−=
016302000kji
nCECD−
−==×
ˆˆˆr
k 0j 600i 320n ˆˆˆ +−−=r
680|n| =
r
k 0j 680600i
680320n ˆˆˆλ +−−=
r
k 0j 15i 8n 17F17ˆˆˆλ +−−==
rr
k 0j 210i 112n 238M238ˆˆˆλ +−−==
rr
k 26.4j 0i 0F26.4ˆˆˆ −+=
r 26.4BA220238
RB FrMM M
rrrr×++=
k 220j 0i 0M220ˆˆˆ −+=
r
i 26426.40010100kji
Fr 26.4BAˆ
ˆˆˆ
=−
−=×rr
( ) ( ) ( k 02200j 00210i 2640112MRB
ˆˆˆ +−+++−+++−= )
k 220j 210i 152 M RB
ˆˆˆ −−=
k31.426.4j
31.415i
31.48Rk 26.4j 15i 8R ˆˆˆλˆˆˆ −−−=→−−−=
rr
( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=⋅=
31.426.4220
31.415210
31.48152 MRλ|M| R
B1rr
pulglb 246.56M1 ⋅=
k 207.3j 117.78i 62.82R 246.56M1ˆˆˆλ −−−==
rr
( ) ( )k 207.3j 117.78i 62.82k 220j 210i 152MMM 1RB2
ˆˆˆˆˆˆ −−−−−−=−=r
k 12.7 j 92.22i 214.82M2ˆˆˆ −−=
r
KK((xx,, 00,, zz)):: ppuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn BB((00,, 00,, 00))
( ) k15x j 8z26.4i 15z26.4158z0xkji
RrM BKBˆˆˆ
ˆˆˆ
−+−−=−−−
=×=rr
221144..8822 --9922..2222 --1122..77
14.3215
214.82z == 0.8515
12.7x ==
CCoommpprroobbaacciióónn eenn j--2266..44((00..8855)) ++ 88((1144..3322)) == --9922..2222
k 26.4j 15i 8R ˆˆˆ −−−=r
lb 31.4|R| =r
PPaassoo == in 7.8531.4
246.56RM1 ==
KK((00..8855,, 00 1144..3322))
4433
4444
1144.. UUnn bbllooqquuee ddee aalluummiinniioo eessttáá ssoommeettiiddoo aa ttrreess ffuueerrzzaass ddee llaa mmiissmmaa mmaaggnniittuudd PP eenn llaass ddiirreecccciioonneess mmoossttrraaddaass eenn llaa ffiigguurraa.. RReeeemmppllaaccee eessttaass ttrreess ffuueerrzzaass ppoorr uunn ttoorrssoorr eeqquuiivvaalleennttee yy ddeetteerrmmiinnee aa)) mmaaggnniittuudd yy ddiirreecccciióónn ddee llaa ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee RR,, bb)) eell ppaassoo ddee llaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn yy cc)) eell eejjee ddee llaa llllaavvee ddee ttoorrssiióónn..
P002aa3akji
0P0002akji
FrFrM CACABRA
−−−+=×+×=
ˆˆˆˆˆˆrr
j 3api apk 2apMRA
ˆˆˆ ++= ( ) ( )k 2apj 3ai apk 0j 1i 0MRλ|M| RA1
ˆˆˆˆˆˆ ++⋅++=⋅=rr
k 2apj 3api apMRA
ˆˆˆ ++= 3ap|M| 1 =
k 0j pi 0R ˆˆˆ ++=r
k 0j 3api 0M1ˆˆˆ ++=
r
k 0j 1i 0R ˆˆˆλ ++=r
( ) ( )k 0j 3api 0k 2apj 3api apMMM 1RA2
ˆˆˆˆˆˆ ++−++=−=rrr
k 2apj 0i apM2ˆˆˆ ++=
r
KK((xx,, 00,, zz)) AA((00,, 22aa,, 22aa))
( ) k xpj 0i 2azp0p02az2ax
kjiRrM AKA
ˆˆˆˆˆˆ
++−−=−−=×=rr
2A MMrr
= aapp == --pp((zz--22ªª)) ;; 22aapp == xxpp zz == 22aa -- aa xx == 22ªª zz == aa kk((22ªª,, 00,, aa)) ppuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn
ppaassoo == 3ap
3apRM1 ==