Álgebra de Boole

Tecnologías de las computadoras

¿Por qué Álgebra Booleana?

Los circuitos que componen una computadora son muy diversos: los hay destinados a aportar la energía necesaria para las distintas partes que componen la máquina y los hay dedicados a generar, procesar y propagar señales que contienen información. En este segundo grupo existen circuitos analógicos y digitales; el Álgebra de Boole presenta la base o fundamente teórico de estos últimos

¿Por qué Álgebra Booleana?

Es una importante herramienta en el campo de la electrónica digital, se usa para expresar funciones lógicas en forma de ecuaciones, permite analizar datos, simplificar expresiones lógicas, diseñar circuitos lógicos y para resolver un circuito lógico. Una persona que trabaja con circuitos lógicos digitales, continuamente usa Algebra Booleana.

¿Por qué Algebra Booleana?

El algebra Booleana es una forma especial de algebra que fue diseñada para mostrar la relación de operaciones lógicas de variables bi estables.Las puertas lógicas con una manera muy conveniente de realizar circuitos lógicos por los que su uso es extendido en las computadoras digitales.

Variables Booleanas

En álgebra booleana a las variables de una ecuación comúnmente seles asigna letras del alfabeto: Cada variable de una expresión booleana existe en estados de 1 o 0 de acuerdo a su condición. El 1, o verdadero, es el estado normalmente representado por una solo letra como A, B o C. El estado opuesto o condición es descrito como 0, o falso, y es representada por A o A´. Se lee como NOT A, A negada, o complemento de A .

Operadores Booleanos

Los operadores matemáticos Booleanos son diferentes con respecto al algebra convencional. Solo existen los de multiplicación, suma y negación, y se expresan como sigue:

Operadores Booleanos

Multiplicación: A AND B, AB, A x B

Suma: A OR B, A + B

Negación o complemento: NOT A, Ᾱ, A*, A´

Equivalencias: A EQUALS B, A = B

Conceptos

Variable booleana: Cualquier símbolo (normalmente una letra) que en un instante determinado solo puede tomar uno de 2 valores (0 ó 1).Operaciones lógicas. La combinación de unos ciertos valores de entrada genera una salida. Si el estado de salida depende únicamente del estado de entrada, es lógica combinatoria.Si además depende del estado anterior del circuito, se trata de lógica secuencial.

Puerta Lógica

Es un circuito que acepta unos valores lógicos de entrada y produce valores lógicos a la salida. Son los componentes de los circuitos integrados.El funcionamiento se representa mediante una tabla de verdad (especifica la salida de la puerta lógica para todas las posibles combinaciones de entrada).

Representación y Traducción

Puertas lógicas y operadores booleanos son representaciones simbólicas. Es importante ser capaz de reconocer cada símbolo y tener idea de lo que llevará a cabo. Debemos ser capaces de reconocer los estados que describe una función lógica y ser capaces de saber que operación realiza la compuerta lógica. Es necesario simplificar sentencias lógicas y determinar si el circuito lógico funciona propiamente.

Compuertas Lógicas Básicas

AND, OR, NOT

Puerta AND: Dos entradas

La puerta lógica Y, mas conocida por su nombre en inglés and, realiza la función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, es el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.

Puerta AND: Dos entradas

Puerta OR

La puerta lógica O, mas conocida por su nombre en inglés OR, realiza la operación de suma lógica.

Puerta OR

Inversor o Puerta NOT

Cambia el estado de la entrada. Realiza la función Booleana de inversión o negación de una variable lógica a la cual se le aplica la negación.

Inversor o Puerta NOT

Compuertas Lógicas Combinadas

Lógica Combinatoria

Las dos formas básicas de lógica combinatoria responde a operadores de dos niveles (dos puertas conectadas en una combinación): Producto de sumas y sumas de productos

Lógica Combinatoria

Un circuito producto de sumas tiene la salida de dos o mas compuertas OR conectadas a una entrada de una compuerta AND: A + B x C + D. Un circuito suma de productos tiene la salida de dos o mas puertas AND aplicadas a una entrada o puerta OR: AB + CD.

Tipos de Puertas Lógicas

Amplificador (Puerta SI o buffer): Una sola entrada y una sola salida. Pone en la salida lo que hay en la entrada. Su función es retrasar la transmisión de una señal lógica y distribuir la señal de salida a mas componentes que la señal original. Equivale a la función booleana igualdad. Se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias.

Amplificador: SI o Buffer

Puerta NAND

La puerta lógica NO-Y, más conocida por su nombre en inglés NAND, realiza la operación de producto lógico negado.

Puerta NOR

La puerta lógica NO-O, mas conocida por su nombre en inglés NOR, realiza la operación de suma lógica negada.

Puerta NOR

Puerta XOR: OR exclusivo

Esta puerta lógica OR exclusiva, mas conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A‘B+AB‘. Su símbolo es el más (+) inscrito en un circulo.

Puerta XOR: OR exclusivo

Puerta XOR: OR exclusivo

Puerta equivalencia XNOR

Esta puerta lógica realiza la función booleana AB+~A~B. Su símbolo es un punto (·) inscrito en un circulo.

Puerta equivalencia: XNOR

Traduciendo Circuitos Lógicos Digitales

Para escribir una expresión Booleana, que describa la función de un circuito multinivel, requiere de varios pasos:1. Identificar las entradas, comenzando en el

lado superior izquierdo del diagrama.2. Identificar el operador de la compuerta.3. Ocuprarse de la formación de expresión

parcial que muestre la función del operador de entrada de la puerta.

Traduciendo Circuitos Lógicos Digitales

4. Repetir el procedimiento para cada uno de los otros niveles de la compuerta

5. Identificar el siguiente nivel de la compuerta, el cual se localiza al lado derecho del primer nivel lógico.

6. Identificar las entradas parciales de la compuerta de segundo nivel y a su operador

7. Preparar una sentencia de salida que muestre los operadores combinados de cada compuerta o nivel.

Ejemplo

Construyendo Circuitos Lógicos a partir de un Expresión Booleana

1. Identifica, las entradas y salidas de la expresión:

2. Identifica el operador lógico primario

Construyendo Circuitos Lógicos a partir de un Expresión Booleana

3. Selecciona una compuerta lógica que logre la función del operador. Esta compuerta debe ser capaz de acomodar todas las entradas.

Construyendo Circuitos Lógicos a partir de un Expresión Booleana

4. Asignar entradas y salidas a la puerta lógica. Etiqueta las entradas y salidas.

OTRO EJEMPLO

1. Identificar entrada/Salida

2. Identificar Operadores primarios

3. Seleccionar compuerta primaria

CONTINUA SEGUNDO EJEMPLO

4. Identificar Entrada/Salida

5. Asignación de operador secundario

6. Selección de compuerta para operador secundario

EJEMPLO DOS

7. Asignación de entrada de compuertas secundarias

8. Selección de compuerta de tercer nivel

EJEMPLO DOS

8. Combinar entradas comunes

Tablas de Verdad

Una tabla de verdad se define como un listado tabular de todas las posible combinaciones lógicas producidas por las entradas y salidas de un circuito digital. Hoja de especificaciones que describe la conducta exacta de un circuito lógico. El circuito puede tener muchas entradas y una o varias salidas.

Tablas de Verdad

Se construyen para mostrar la relación de la salida de un circuito lógico con respecto a sus entradas. Lista cada posible combinación de una entrada y su correspondiente salida.El número de combinaciones en una tabla de verdad es 2 elevado al número de entradas (2n). Las combinaciones posibles deben ser listadas en orden lógico para evitar errores

Construyendo Tablas de Verdad

1. Mira la expresión Booleana y determina el numero de entradas utilizadas

2. Haz una columna para cada entrada en la tabla. Lista las alternativas de las entradas en orden de progresión binaria.

3. Comienza con la función del primer operador en el lado izquierdo de la función Booleana

Construyendo Tablas de Verdad

4. Desarrolla la operación matemática para este paso usando las alternativas de entrada apropiadas.

5. Prepara una columna que lista la salida para el operador. El operador es desarrollado horizontalmente con sus respuestas listadas en una columna vertical. Etiqueta la columna mostrando la función que realiza el operador

Construyendo Tablas de Verdad

6. Resuelve el siguiente paso operacional hacia la derecha. Puede requerir involucrar pasos intermedios, antes de que el operador general pueda ser desarrollado. Negación es un paso común que debe ser desarrollado en una o mas de las entradas. Entonces desarrollar el paso operacional original. Deben incluirse todas las alternativas para esta operación.

La operación es desarrollada horizontalmente y la salida resultante es listada en una columna vertical. Etiqueta la columna con la función del operador.7. Repetir el paso 6 para cada operador hasta

que la ecuación haya sido resuelta.8. La columna final de salida en el lado derecho

de la tabla de verdad mostrará la solución para la ecuación.

Convertir una tabla de Verdad a EB

1. Identificar las entradas y salidas en la tabla2. Notar las salidas alternativas que contienen 13. Referirse a las entradas que producen una

salida 14. Un 1 en la entrada es definido como una letra

de entrada. Una salida 0 se define como una letra de entrada NEGADA.

TV a EB

5. Las letras de entrada definidas que producen un 1 de salida son las AND juntas en una expresión. (A*B or AB).

6. Escribir la sentencia a la derecha para cada una de las salidas 1.

7. Las sentencias de salida son OR juntos para formar la expresión booleana (ᾹB + AB)

EJEMPLOS

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