algebra de matrices - gennara.net de matrices.pdf · 4 método de gauss-jordán _____ 40 etapa i...

1

1 Matrices ___________________________________________________________________7 Introducción ______________________________________________________________________ 7

Definición___________________________________________________________________________ 7 Matriz n×p ________________________________________________________________________ 7

Matrices especiales ___________________________________________________________________ 8 Matriz o vector fila__________________________________________________________________ 8 Matriz o vector columna _____________________________________________________________ 8 Matriz nula________________________________________________________________________ 8

Ejemplo ________________________________________________________________________ 8 Matriz Identidad o unidad ____________________________________________________________ 9

Ejemplo ________________________________________________________________________ 9 Matriz escalar _____________________________________________________________________ 9

Ejemplo ________________________________________________________________________ 9 Matriz diagonal ____________________________________________________________________ 9

Ejemplo ________________________________________________________________________ 9 Matriz triangular superior ____________________________________________________________ 9

Ejemplo _______________________________________________________________________ 10 Matriz Fila escalonada ______________________________________________________________ 10

Fila escalonada reducida __________________________________________________________ 10 Matriz opuesta____________________________________________________________________ 10

Ejemplo _______________________________________________________________________ 10 Matriz traspuesta, At _______________________________________________________________ 11

Ejemplo _______________________________________________________________________ 11 Igualdad ___________________________________________________________________________ 11 Operaciones________________________________________________________________________ 11

Suma ___________________________________________________________________________ 11 Ejemplo _______________________________________________________________________ 11

Resta ___________________________________________________________________________ 11 Propiedades de la suma _____________________________________________________________ 11

Conmutativa ___________________________________________________________________ 11 Asociativa______________________________________________________________________ 11 Cancelativa_____________________________________________________________________ 11 Neutro ________________________________________________________________________ 11 Simétrico ______________________________________________________________________ 11 Traspuesta de una suma A+B ______________________________________________________ 12

Multiplicación por un número real ____________________________________________________ 12 Ejemplo _______________________________________________________________________ 12

Combinación lineal de matrices, CL ____________________________________________________ 12 Ejemplo _______________________________________________________________________ 12

Producto escalar de 2 matrices fila ____________________________________________________ 12 Producto matricial _________________________________________________________________ 12

Ejemplo _______________________________________________________________________ 12 Propiedades de la multiplicación ______________________________________________________ 13

No conmutativa _________________________________________________________________ 13 Ejemplo _______________________________________________________________________ 13 Asociativa______________________________________________________________________ 13 No cancelativas _________________________________________________________________ 13 Ejemplo _______________________________________________________________________ 13 Distributiva del producto respecto de la suma _________________________________________ 14 Neutro de las matrices cuadradas ___________________________________________________ 14 Traspuesta de un producto A×B ____________________________________________________ 14

Problemas verbales con matrices _____________________________________________________ 14 Ejemplo _______________________________________________________________________ 14

2 Determinantes ___________________________________________________________ 16

1 Matrices

Definición

Jorge Carlos Carrá 2

Definición, DEF _____________________________________________________________________ 16 Signo de cada término ____________________________________________________________ 16 Regla de Sarrus _________________________________________________________________ 16 Ejemplo _______________________________________________________________________ 17 Ejemplo _______________________________________________________________________ 17 Ejemplo _______________________________________________________________________ 17

Menor complementario de un elemento, mij ______________________________________________ 17 Menor ________________________________________________________________________ 17 Menor complementario de un elemento _____________________________________________ 17 Ejemplo _______________________________________________________________________ 18

Adjuntos o cofactores, cij ______________________________________________________________ 18 Ejemplo _______________________________________________________________________ 18 Adjuntos ajenos de una línea ______________________________________________________ 18

Matriz adjunta A*=A

adj ________________________________________________________________ 18

Ejemplo _______________________________________________________________________ 18 Ejemplo _______________________________________________________________________ 19

Propiedades de los determinantes ______________________________________________________ 19 Desarrollo Laplaciano, LAP __________________________________________________________ 19

Ejemplo _______________________________________________________________________ 19 Operaciones ______________________________________________________________________ 19

1 Determinante de una suma de matrices ____________________________________________ 19 2 Multiplicación por un número ____________________________________________________ 19 3 Determinante de un producto de matriz por un número _______________________________ 19 4 Determinante del producto de dos matrices cuadradas de igual orden ____________________ 20

Propiedad 1: matrices especiales _____________________________________________________ 20 Triangular______________________________________________________________________ 20 Traspuesta _____________________________________________________________________ 20 Ejemplo _______________________________________________________________________ 20

Propiedad 2: sobre líneas ___________________________________________________________ 20 Línea nula______________________________________________________________________ 20 Permutación de 2 líneas paralelas ___________________________________________________ 20 Ejemplo _______________________________________________________________________ 21 Líneas paralelas iguales ___________________________________________________________ 21 Línea polinómica ________________________________________________________________ 21

Propiedad 3: Combinación lineal (CL) de una paralela sobre una línea ________________________ 21 CL aplicada _____________________________________________________________________ 21 Ejemplo _______________________________________________________________________ 21 Ejemplo _______________________________________________________________________ 22 CL existente ____________________________________________________________________ 22 Ejemplo _______________________________________________________________________ 22 Ejemplo _______________________________________________________________________ 22

Cálculo de determinantes _____________________________________________________________ 22 1 Método por la propia definición _____________________________________________________ 22 2 Método por desarrollo Laplaciano ___________________________________________________ 22 3 Método por teorema de Gauss______________________________________________________ 22

Etapa I ________________________________________________________________________ 23 Etapas siguientes ________________________________________________________________ 23 Final __________________________________________________________________________ 23 Ejemplo _______________________________________________________________________ 23 Ejemplo _______________________________________________________________________ 24

4 Método por regla de Chio __________________________________________________________ 24 Rango de una matriz _________________________________________________________________ 24

Cálculo del rango __________________________________________________________________ 25 1 Método por agregación ___________________________________________________________ 25

Ejemplo _______________________________________________________________________ 25 2 Método de Gauss ________________________________________________________________ 25

1 Matrices

3

Etapa I y siguientes ______________________________________________________________ 26 Final __________________________________________________________________________ 26 Ejemplo _______________________________________________________________________ 26 Ejemplo _______________________________________________________________________ 26

A1 Sistema de ecuaciones lineales_____________________________________________ 27 Ejemplo _______________________________________________________________________ 27

Clasificación ________________________________________________________________________ 27 Notación ________________________________________________________________________ 27 Teorema de Rouché Frobenius _______________________________________________________ 28

Clasificación ____________________________________________________________________ 28 Ejemplo _______________________________________________________________________ 28 Ejemplo _______________________________________________________________________ 28 Ejemplo _______________________________________________________________________ 29

1 Método matricial __________________________________________________________________ 29 Notación matricial _______________________________________________________________ 29 Solución _______________________________________________________________________ 29

1 Matriz inversa por definición _______________________________________________________ 29 Ejemplo _______________________________________________________________________ 29

2 Matriz inversa por método matricial _________________________________________________ 30 Condición necesaria y suficiente de existencia _________________________________________ 30 Ejemplo _______________________________________________________________________ 30 Ejemplo _______________________________________________________________________ 30

3 Matriz inversa por Gauss-Jordán ____________________________________________________ 31 Etapa I ________________________________________________________________________ 31 Etapas siguientes ________________________________________________________________ 31 Final __________________________________________________________________________ 31 Ejemplo _______________________________________________________________________ 31

Propiedades de las inversas __________________________________________________________ 32 Resolución matricial de un sistema ____________________________________________________ 32

Ejemplo _______________________________________________________________________ 32 Ejemplo _______________________________________________________________________ 33 Clasificación ____________________________________________________________________ 34 Determinar constantes para clasificarlo ______________________________________________ 34 Ejemplo _______________________________________________________________________ 34

2 Método de Cramer _________________________________________________________________ 35 Ejemplo _______________________________________________________________________ 35 Clasificación ____________________________________________________________________ 36 Determinar constantes para clasificarlo ______________________________________________ 36 Ejemplo _______________________________________________________________________ 36

3 Método de Gauss __________________________________________________________________ 37 Etapa I ________________________________________________________________________ 37 Etapas siguientes ________________________________________________________________ 38 Final __________________________________________________________________________ 38 Ejemplo _______________________________________________________________________ 38 Clasificación ____________________________________________________________________ 38 Determinar constantes para clasificarlo ______________________________________________ 39 Ejemplo _______________________________________________________________________ 39

4 Método de Gauss-Jordán ____________________________________________________________ 40 Etapa I ________________________________________________________________________ 40 Etapas siguientes ________________________________________________________________ 40 Final __________________________________________________________________________ 40 Ejemplo _______________________________________________________________________ 40 Clasificación ____________________________________________________________________ 41 Determinar constantes para clasificarlo ______________________________________________ 41

Sistemas homogéneos ________________________________________________________________ 41

1 Matrices

Definición


Solución _______________________________________________________________________ 41 Ejemplo _______________________________________________________________________ 42 Aplicación _____________________________________________________________________ 42 Ejemplo _______________________________________________________________________ 42 Líneas independientes ____________________________________________________________ 43

A2 Transformaciones lineales TL ______________________________________________ 44 I Transformaciones lineales TL _________________________________________________________ 44

Transformación ___________________________________________________________________ 44 Sistema _______________________________________________________________________ 44

Transformación lineal ______________________________________________________________ 44 Operador Lineal, OL ______________________________________________________________ 44 OL Inversa _____________________________________________________________________ 45

Dualidades de las TL _________________________________________________________________ 45 a Sistema vs matriz ________________________________________________________________ 45

1 Sistema de funciones ___________________________________________________________ 45 2 Ecuación matricial ______________________________________________________________ 45 Ejemplo _______________________________________________________________________ 45 Ejemplo _______________________________________________________________________ 45 Ejemplo _______________________________________________________________________ 46

b Punto vs vector posición ___________________________________________________________ 46 c Punto vs función _________________________________________________________________ 46

1 Función ______________________________________________________________________ 46 2 Puntos _______________________________________________________________________ 46

d Alias vs Alibi ____________________________________________________________________ 46 1 Alias_________________________________________________________________________ 46 2 Alibi _________________________________________________________________________ 46 Ejemplo _______________________________________________________________________ 47

Propiedades de las TL ________________________________________________________________ 47 a Propiedad de las columnas de T _____________________________________________________ 47

Ejemplo _______________________________________________________________________ 48 Matriz de puntos ________________________________________________________________ 49

b Transformación por una matriz general 2x2 ___________________________________________ 49 c Relación de contenidos ____________________________________________________________ 49 d Algebra de TL ___________________________________________________________________ 50

1 Suma ________________________________________________________________________ 50 2 Producto por un escalar _________________________________________________________ 50 3 Composición o producto_________________________________________________________ 50

II OL geométricas ____________________________________________________________________ 52 Indeformables o congruentes ______________________________________________________ 52 Deformables ___________________________________________________________________ 52 Transformación lineal, TL__________________________________________________________ 52 Transformación afín, TA, o proyectiva ________________________________________________ 52 Ejemplos ______________________________________________________________________ 53

1 Traslación ________________________________________________________________________ 54 Traslación de una función _________________________________________________________ 55 Traslación de ejes _______________________________________________________________ 56

2 Rotación _________________________________________________________________________ 57 Rotación respecto del origen O _____________________________________________________ 57 Ejemplo _______________________________________________________________________ 58 Ejemplo _______________________________________________________________________ 58 Rotación de una función __________________________________________________________ 59 Rotación de ejes ________________________________________________________________ 59

Rotación respecto de cualquier punto C ________________________________________________ 60 3 Simetrías _________________________________________________________________________ 61

1 Simetría axial ___________________________________________________________________ 61

1 Matrices

5

Simetría respecto del eje y ________________________________________________________ 61 Simetría respecto del eje x ________________________________________________________ 61

2 Simetría central__________________________________________________________________ 62 Simetría respecto del origen _______________________________________________________ 62 Simetría de una función___________________________________________________________ 62

4 Estiramiento y Deslizamiento _________________________________________________________ 63 1 Estiramiento o escalado ___________________________________________________________ 63

GeoGebra______________________________________________________________________ 64 Homotecia _______________________________________________________________________ 64

Homotecia = Estirado compuesto con factor k _________________________________________ 65 Demostraciones _________________________________________________________________ 66 Homotecia de una función ________________________________________________________ 67

2 Deslizamiento, Cizallamiento, Corte o Sesgo ___________________________________________ 67 Estiramiento vs deslizamiento ______________________________________________________ 67 GeoGebra______________________________________________________________________ 70 Deslizamiento de una función ______________________________________________________ 70

Resumen ________________________________________________________________________ 71 Funciones analíticas__________________________________________________________________ 71 Composiciones______________________________________________________________________ 72

Conmutatividad _________________________________________________________________ 72 Son conmutativas _______________________________________________________________ 72 Ejemplo _______________________________________________________________________ 73 No son conmutativas _____________________________________________________________ 74 Asociatividad ___________________________________________________________________ 74

Generalizaciones __________________________________________________________________ 74 1 Reflexión respecto de cualquier punto C ____________________________________________ 74 2 Homotecia respecto de cualquier punto C ___________________________________________ 75 3 Reflexión respecto de una recta que pase por el origen O_______________________________ 75 4 Reflexión respecto de una recta cualquiera __________________________________________ 77 5 Estiramiento o Deslizamiento respecto de una recta cualquiera __________________________ 77

Descomposiciones ___________________________________________________________________ 77

A3 Grafos _________________________________________________________________ 79 I Grafos ___________________________________________________________________________ 79

Relaciones _______________________________________________________________________ 79 Ejemplos ______________________________________________________________________ 79

Pesos ___________________________________________________________________________ 80 Peso de una rama _______________________________________________________________ 81 Peso de un nodo ________________________________________________________________ 81

Ramas orientadas y no orientadas ____________________________________________________ 81 Orientados o dirigidos o digrafos ___________________________________________________ 81 No orientados o no dirigidos _______________________________________________________ 81

Grado ___________________________________________________________________________ 81 Grado de un nodo _______________________________________________________________ 81 Grado de una región _____________________________________________________________ 81

Tipos de grafos____________________________________________________________________ 81 Plano _________________________________________________________________________ 81 Conexo ________________________________________________________________________ 81 Simple ________________________________________________________________________ 81 Multigrafo _____________________________________________________________________ 81 Regular ________________________________________________________________________ 81 Completo KN____________________________________________________________________ 82

Ruta, Camino y Sendero ____________________________________________________________ 82 Ruta o Trayectoria _______________________________________________________________ 82

Hamilton y Euler __________________________________________________________________ 82 Camino de Hamilton _____________________________________________________________ 82

1 Matrices

Definición


Camino de Euler_________________________________________________________________ 83 Ejemplo _______________________________________________________________________ 83

Teoremas de grafos __________________________________________________________________ 83 1 Suma de grados de un grafo no dirigido _______________________________________________ 83

Corolarios______________________________________________________________________ 83 2 Ciclo Euleriano __________________________________________________________________ 83

Ciclo semieuleriano ______________________________________________________________ 83 4 Grafos planos ___________________________________________________________________ 84

1 Fórmula de Euler_______________________________________________________________ 84 2 Teorema de Kuratowski _________________________________________________________ 84 3 Teorema de la Curva de Jordán ___________________________________________________ 84 4 Poliedros platónicos ____________________________________________________________ 85 5 Teorema de los 4 colores ________________________________________________________ 85

Árbol _____________________________________________________________________________ 85 Corolarios______________________________________________________________________ 85 Bosque ________________________________________________________________________ 85

Árbol recubridor o de expansión ______________________________________________________ 86 Árbol con raíz o arborescencia _______________________________________________________ 86

Ejemplos ______________________________________________________________________ 86 Ejemplo _______________________________________________________________________ 86 Definiciones ____________________________________________________________________ 86

Teoremas de árboles _________________________________________________________________ 87 1 Vértices y aristas _________________________________________________________________ 87

Corolario ______________________________________________________________________ 87 2 Árboles recubridores _____________________________________________________________ 87

Ejemplo _______________________________________________________________________ 87 II Matriz ___________________________________________________________________________ 88

1 Matriz de Frecuencias _____________________________________________________________ 88 Ejemplo _______________________________________________________________________ 88 Matriz de adyacencias ____________________________________________________________ 88 Traspuesta _____________________________________________________________________ 89

2 Matriz de Pesos__________________________________________________________________ 89 Operaciones________________________________________________________________________ 89 A Matriz de Frecuencias ______________________________________________________________ 89

1 Elemento a elemento _____________________________________________________________ 90 1 Suma decimal _________________________________________________________________ 90 2 Suma exclusiva (XOR) ___________________________________________________________ 90 3 Producto decimal o AND booleano ________________________________________________ 90

2 Producto matricial _______________________________________________________________ 91 AB____________________________________________________________________________ 91 Ejemplo _______________________________________________________________________ 91 Ak ____________________________________________________________________________ 92

B Matriz de Pesos ___________________________________________________________________ 92 1 Min y Max ______________________________________________________________________ 92

Camino crítico __________________________________________________________________ 92 Matrices críticas_________________________________________________________________ 92 Matriz de mínimo (máximo) costo __________________________________________________ 92 Ejemplo _______________________________________________________________________ 93 Software Grafos _________________________________________________________________ 93

III Aplicaciones ______________________________________________________________________ 94 Paradoja de la Amistad _____________________________________________________________ 94 Grados de separación ______________________________________________________________ 94

Teoría de los 6 grados de separación ________________________________________________ 94

1 Matrices

7

1 Matrices

Introducción

Este capítulo se divide en 2 partes: 1. Matrices 2. Determinantes El concepto de matriz fue desarrollado en 1857 por el matemático inglés Arthur Cayley (1821 - 1895). Su idea fue la siguiente:

Sea una variable x relacionada con una y por la siguiente ecuación:

ax by

cx d

Esta transformación podría representarse con el cuadro:

a bA

c d

Análogamente si esa variable y se relaciona con una z por la siguiente ecuación:

' '

' '

a y bz

c y d

podría representarse con el cuadro:

' '

' '

a bB

c d

¿Cuál es la transformación que permite asociar z con x?. En caso de que exista ¿se puede representar con un cuadro C? Como vamos a ver, la respuesta es afirmativa y se corresponde con el producto de

las matrices A y B:

*C A B

El término matriz fue creado por otro matemático inglés Joseph Sylvester (1814 - 1897) con el propósito de distinguir matrices y determinantes (los cuales se tratarán en la segunda sección, página 16), de tal forma que matriz significara "madre de los determinantes".

Definición

Matriz n×p

Es un conjunto ordenado de números dispuestos en n filas y p columnas, formando un rectángulo.

11 12 13 14

3 4 21 22 23 24

31 32 33 34

n p

a a a a

A A a a a a

a a a a

Un término genérico se representa por ija y es el término situado en la fila i y la columna j.

Los números i, j se llaman índices de la fila y de la columna, respectivamente. Una línea es genéricamente una fila o una columna. Si n = p la matriz se llama cuadrada o de orden n:

1 Matrices

Matrices especiales


11 12 13

3 3 21 22 23

31 32 33

n p

a a a

A A a a a

a a a

Matrices especiales

Matriz o vector fila

Es una matriz de dimensiones 1×n.

11 12 13 1

a a a ....... an

A A

Matriz o vector columna

Es una matriz de dimensiones n×1.

11

12

13

1

a

a

a

..

..

am

A A

Una matriz puede ser representada por sus columnas como vectores columna:

11 12 13 14

21 22 23 24 1 2 3 4

31 32 33 34

a a a a

A a a a a c c c c

a a a a

donde:

11 12 13 14

1 21 2 22 3 23 4 24

31 32 33 34

, , , ,

a a a a

c a c a c a c a

a a a a

Análogamente se puede hacer con sus filas como vectores filas.

Matriz nula

Es la matriz con todos los elementos nulos. Se simboliza con 0.

Ejemplo A modo de ejemplo la matriz nula de 3×3 es:

0 0 0

O= 0 0 0

0 0 0

1 Matrices

9

Matriz Identidad o unidad

Matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal (de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha) que son todos unos. Se simboliza con I de Identidad.

Ejemplo A modo de ejemplo la matriz unidad de 3×3 es:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Los vectores columna de la matriz I son los versores fundamentales del espacio correspondiente al orden de la matriz. En este ejemplo:

1 2 3

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

e e e

Por lo tanto:

1 2 3I e e e

Matriz escalar

Matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son todos el mismo número distinto de cero.

Ejemplo

1 0 0

B= 0 1 0

0 0 1

Matriz diagonal

Matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal en los que por lo menos uno es distinto.

Ejemplo

1 0 0

B= 0 1 0

0 0 2

Matriz triangular superior

Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. Definición análoga para triangular inferior.

1 Matrices

Matrices especiales


Ejemplo

1 1 0

0 3 1

0 0 2

A

Matriz Fila escalonada

Pivote Es el primer elemento distinto de cero de cada fila. Es una matriz (rectangular o cuadrada) en la cual cada pivote está a la derecha del de la fila anterior.

1 9 6 3 1

0 5 6 2 1

0 0 8 3 2

B

La matriz triangular superior es una matriz fila escalonada. Observar que la definición no establece que la parte izquierda de la matriz tenga el formato de una matriz triangular.

1 9 6 3 1

0 0 6 2 1

0 0 0 3 2

B

En este caso el pivote 6 de la fila 2 está por debajo del pivote 1 de la fila 1 y a la derecha pero no necesariamente en el primer lugar posible.

Fila escalonada reducida Es una matriz fila escalonada en la que además:

el pivote es 1

el resto de los elementos de esa columna son ceros.

1 0 0 3 1

0 1 0 2 1

0 0 1 3 2

C

Al igual que el caso anterior la definición no implica que la parte izquierda de la matriz sea una matriz unidad.

1 9 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 2

D

Matriz opuesta

Es del mismo orden que la directa con todos los elementos cambiados de signo. Si A es la directa la opuesta se simboliza –A.

Ejemplo

1 3 0 1 3 0

2 1 4 , 2 1 4

3 7 9 3 7 9

A A

1 Matrices

11

Matriz traspuesta, At

Dada una matriz n×p, es otra matriz p×n, que se obtiene de cambiar filas por columnas.

Ejemplo

1 21 3 5

3 4 2 4 6

5 6

tA A

Igualdad

Dos matrices son iguales si son del mismo orden y sus elementos son iguales.

Operaciones

Suma

Deben ser del mismo orden n×p y el resultado es otra matriz del mismo orden, cuyos elementos están formados por la suma de los elementos correspondientes.

Ejemplo

1 1 2 21 3

1 14 0 3 1

2 2

Resta

Deben ser del mismo orden n×p. Se transforma la diferencia en la operación suma (ya definida), realizando la suma del minuendo y el opuesto del sustraendo.

( )A B A B

Propiedades de la suma

Conmutativa A B B A

Asociativa ( ) ( )A B C A B C

Cancelativa A C B C A B

Neutro Es la matriz nula.

0A A

Simétrico La suma con el simétrico debe dar el neutro. Simétrico de A:

1 Matrices

Operaciones


B A

Traspuesta de una suma A+B Es la suma de las traspuestas.

t t tA B A B

Multiplicación por un número real

El producto de una matriz por un número real es igual al producto de cada uno de sus elementos por dicho número.

Ejemplo

1 1 3 1 1 33 2. 1. . 1

2 1 2 2 2 2 2 42

1 1 1 1 1. 0 1 2 0. 1. 2. 0 1

2 2 2 2 21 2 0

1 1 1 11. 2. 0. 1 0

2 2 2 2

Combinación lineal de matrices, CL

Deben ser todas del mismo orden n×p. Es la matriz del mismo orden n×p que se obtiene sumando las

matrices dadas multiplicadas por escalares.

Ejemplo Dadas:

1 2 5 0 2 1 2 2 3

0 3 1 B= 2 0 4 C= 2 1 4

2 3 1 1 4 0 3 4 0

A

Hallar: la combinación lineal D.

2 3D A B C

1 2 5 0 2 1 2 2 3 0 0 10

2 0 3 1 +3 2 0 4 - 2 1 4 8 5 10

2 3 1 1 4 0 3 4 0 2 22 2

D

Producto escalar de 2 matrices fila

Es el número que resulta de multiplicar elemento a elemento. Se llama también vectorización.

Producto matricial

El número de columnas del prefactor debe ser igual al número de filas del postfactor. Cada elemento de la matriz producto es la suma de los productos de una fila del prefactor por una columna del postfactor.

Ejemplo

2 3 2 2 2 3x x xC A B

1 Matrices

13

El número de columnas de A es igual al número de filas de B. La matriz producto C tiene el número de filas de A y de columnas de B.

11 12 13 11 21 12 22 13 23

21 22 23 11 21 12 22 13 23

a a a r.a +s.a r.a +s.a r.a .a=

a a a t.a +u.a t.a +u.a t.a +u.a

sr s

t u

Propiedades de la multiplicación

No conmutativa AB BA en general.

Ejemplo

1 1 1 4 2 0

5 3 3 4 4 8

1 4 1 1 19 11

3 4 5 3 17 9

x

x

Consecuencia

2 2 22. .A B A AB B

La causa es la no conmutatividad del producto en general:

2 2 2. .A B A B A B A AB B A B

y por lo visto antes:

A.B B.A

Asociativa ( ) ( )AB C A BC

No cancelativas Esta es una propiedad evidente de los números reales y es causada por la existencia para los números reales de elemento inverso. El producto de matrices no tiene por qué ser cancelativo, pues como veremos, las matrices no siempre tienen un inverso multiplicativo.

Propiedad 1 no implica AC BC A B en general.

Se observará esto en uno de los problemas finales de este capítulo.

Si C tuviera inversa 1C tal que

1CC I , si se verificaría: 1 1AC BC ACC BCC AI BI A B

Propiedad 2 0 no implica 0 0AB A o B , en general.

Si B tuviera inversa, se verificaría: 1 10 0 0 0 0AB ABB B AI A

Lo mismo si A tuviera inversa.

Ejemplo

1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0

En este caso el producto es nulo y ninguna de las matrices es la matriz nula. La causa es que ninguna de las matrices dadas tiene inversa (como luego se comprobará).

1 Matrices

Operaciones


Distributiva del producto respecto de la suma ( ) y ( )A B C AB AC B C A BA CA

Neutro de las matrices cuadradas Es la matriz unidad.

AI A

Traspuesta de un producto A×B Es el producto de la traspuesta de B por la traspuesta de A.

t t tA B B A

Problemas verbales con matrices

Para traducir una expresión verbal a un lenguaje matricial, se recomienda seguir la siguiente estrategia de 4 pasos: 1. Tabla

Configurar una tabla preliminar con los datos del problema. 2. Matrices

De esta tabla surgirán las matrices. Éstas contendrán en general cifras homogéneas (con las mismas unidades). Etiquetar las filas y columnas.

3. Operaciones Las operaciones que las vincularan serán: producto por un escalar, suma (resta) o producto. Recordar la restricción en el orden de las matrices para realizar estas operaciones y además que los elementos de una multiplicación contienen la suma de productos de a 2, lo cual resulta apto

para los datos del tipo *

ACantidad de B

unidad de B .

4. Control

Controlar las unidades de las operaciones y de los resultados. Debe existir coherencia

dimensional.

Ejemplo Un fabricante que elabora tuercas y tornillos, desea fabricar 1000 tuercas y 2000 tornillos.

La fabricación requiere materiales A, B y C. Las tuerca necesitan 0.12 unidades de A, 0.3 unidades de B y 0.6 unidades de C. Los tornillos requieren, 0.25 unidades de A, 0.2 unidades de B y 0.4 unidades de C. Los costos de tales requerimientos son: A $0.6 por unidad; B: $0.08 por unidad de B y $0.01 por unidad de C. Aplicar el cálculo matricial para obtener el costo de elaboración de todas las tuercas y tornillos.

1 Tabla Q A B C

Tuercas 1000 0.12 0.3 0.6

Tornillios 2000 0.25 0.2 0.4

Costos 0.60 0.08 0.01

1 Matrices

15

2 Matrices

1000 2000

0.12 0.3 0.6

0.25 0.2 0.4

0.60

0.08

0.01

Q

R

C

3 Operaciones ( * )* 442$Costo Q R C

2 Determinantes

Definición, DEF


2 Determinantes

Los determinantes hicieron su aparición más de un siglo antes que las matrices. Los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhem Leibnitz (1646 – 1716), en relación con los sistemas de ecuaciones lineales que se verán en la primera aplicación de los conocimientos adquiridos en este capítulo.

Definición, DEF

Se llama determinante de una matriz cuadrada n×n al polinomio algebraico que tiene todos los términos posibles formados por el producto de los elementos de cada fila y de cada columna pero sin repetir en el sumando ni la fila ni la columna. Cada término tiene un signo como se definirá a continuación.

11 12 13

3 3 21 22 23 11 22 33

31 32 33

...n p

a a a

A A a a a a a a

a a a

Si elijo 11a ya no puedo elegir ninguno de los elementos de la fila 1 columna 1. Si ahora elijo

22a ya

no puedo elegir ninguno de los elementos de la fila 2 columna 2. Solo resta entonces el 33a .

Signo de cada término Se puede obtener en forma alternativa con alguna de las siguientes reglas.

Regla de las inversiones de filas El signo de cada sumando, si previamente se han ordenado los factores del sumando por columnas,

es positivo si el número de inversiones con respecto al orden natural presentan entre sí de cada dos de los n subíndices de las filas es par y negativo si es impar. 123= 0 inversiones 312 = dos inversiones (31 y 32) 213 = una inversión (21)

Regla de los segmentos El signo de cada sumando se obtiene contando los segmentos (implica 2 elementos) que suben en cada término (pendiente positiva). Si este número es par el término es positivo y viceversa.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

–

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 32 23 11 33 21 12A . . . . . . . . . . . .a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Esta regla visual es equivalente a la regla de las inversiones pues la pendiente positiva equivale a una inversión en el orden de las filas.

Regla de Sarrus Es la gráfica de la imagen anterior pero solo es válida para matrices de orden 3.

2 Determinantes

17

Ejemplo

143283275233584172

182

374

532

A =

= (14 – 160 - 18 ) – ( –70 – 48 + 12 ) = –164 – ( –106 ) = – 58

Ejemplo

2 3 4

1 5 6 2 5 9 4 1 8 3 6 7 4 5 7 2 6 8 3 1 9

7 8 9

B

= 90 – 32 – 126 + 140 – 96 + 27 = 3

Ejemplo

5 1 3

2 0 1 5

1 2 1

A

(0+12+1) – (0+10-2)=13–8= 5

Menor complementario de un

elemento, mij

Menor Se llama menor de un determinante a cualquier determinante de menor grado que el determinante. Es decir, es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A, obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A.

Menor complementario de un elemento

El menor complementario de un elemento cualquiera ija es el determinante de orden inferior que se

obtiene eliminando la fila y columna de ese elemento.

Así por ejemplo sea la matriz de 3x3:

11 12 13

3 3 21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

El menor complementario del elemento m32 es:

11 13

32

21 13

a am

a a

2 Determinantes

Adjuntos o cofactores, cij


Ejemplo

2 1 1

3 0 2

4 3 2

A

11

0 -2 0.( 2) 3.( 2) 6

3 -2m

32

2 -1 2( 2) ( 3)( 1) 7

-3 -2m

Adjuntos o cofactores, cij

Es el menor complementario con signo algebraico positivo si la suma de los índices del elemento es par y negativo si es impar.

( 1) . .i j

ij ijc m

Observar el siguiente patrón de signos:

Ejemplo

2 1 1

3 0 2

4 3 2

A

1 1

11

0 -2 ( 1) 0.( 2) 3.( 2) 6

3 -2c

3 2 5

32 32( 1) . ( 1) .( 7) 7c m

Adjuntos ajenos de una línea Son los adjuntos de una línea paralela a la dada.

Matriz adjunta A*=Aadj

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representará por Ad o A*, a la matriz

formada por los adjuntos de sus elementos.

Ejemplo Hallar la matriz adjunta.

2 1

3 4A

11 12 21 224 c 3 c 1 c 2c

* 4 3

1 2A

2 Determinantes

19

Ejemplo Dada la matriz:

2 0 0

A= 3 1 5

2 0 1

Comprobar que la A* es:

*

1 13 2

0 2 0

0 10 2

A

Propiedades de los determinantes

Antes veamos el desarrollo Laplaciano (sin demostración).

Desarrollo Laplaciano, LAP

El valor de un determinante es igual al producto de los elementos de una línea cualquiera multiplicados por sus respectivos adjuntos o cofactores.

Ejemplo Calcular del siguiente determinante desarrollándolo por la columna 2.

5 1 32 1 5 3 5 3

2 0 1 1 0 2 3 0 2 51 1 1 1 2 1

1 2 1

Propiedad Si se multiplican los elementos de una línea por adjuntos ajenos, el resultado es nulo.

Operaciones

1 Determinante de una suma de matrices No se verifica la propiedad de que el determinante de una suma es la suma de los determinantes.

| | | | | |A B A B

2 Multiplicación por un número Si un determinante presenta una línea multiplicada por un mismo número, el determinante está multiplicado por dicho número. Esto se aprecia claramente aplicando el desarrollo Laplaciano a esa línea.

3 Determinante de un producto de matriz por un número

| | | |n

a b ka kbkA k

c d kc kd

kA k A

2 Determinantes

Propiedades de los determinantes


4 Determinante del producto de dos matrices cuadradas de igual

orden El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de dichas matrices.

| | | || |AB A B

Consecuencia

| | | |k kA A

Propiedad 1: matrices especiales

Triangular El determinante de una matriz triangular superior (o inferior) es el producto de los elementos de la diagonal principal pues al aplicar el desarrollo Laplaciano a la columna 1 queda solo un elemento en cada uno de los determinantes anidados del desarrollo, siendo nulos todos los productos excepto el de la diagonal principal. Esta propiedad se aplicará en el método de Gauss.

Traspuesta El determinante de una matriz es igual al determinante de la matriz traspuesta. Esto se aprecia claramente aplicando el desarrollo Laplaciano a una matriz por filas y a la traspuesta por la columna

que corresponde a esa fila.

Ejemplo Calculemos el determinante de la matriz traspuesta del ejemplo anterior.

5 2 1

1 0 2 5

3 1 1

(0+1+12) – (0+10–2)= 5

Propiedad 2: sobre líneas

Línea nula Si un determinante presenta toda una línea nula el determinante es nulo. Esto se aprecia claramente

aplicando el desarrollo Laplaciano a esa línea.

Permutación de 2 líneas paralelas Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas (filas o columnas), el determinante cambia de

signo. Esta propiedad resulta de aplicar la definición. Utilizaremos para la demostración la interpretación geométrica de los segmentos. Supongamos además que se trasponen dos filas (el mismo razonamiento se aplica a dos columnas). Recordemos que cada término del determinante contiene a un elemento de cada una de estas dos filas que se intercambian.

1 Filas contiguas Comenzamos por suponer que las dos filas son contiguas. En este caso solo cambia de pendiente el segmento que une a los elementos de las filas que cambiaron. Pasará de subir a bajar o viceversa. Entonces el número de segmentos que suben variará en exactamente 1, por lo cual el término cambiará de signo. Esto sucede para cada uno de los términos por lo cual la propiedad queda verificada.

2 Determinantes

21

2 Filas no contiguas Llamemos S a l fila superior e I a la inferior.

Se lleva al caso anterior permutando primero la fila superior S con cada una de las que le sigue hasta llegar a la fila I. Supongamos que son s cambios hasta llegar a la posición de la fila I (que queda

ahora en la fila anterior a la que estaba). Solo resta ahora llevar esta fila I a la posición en la que estaba la S, intercambiando esta con las que

están por encima. Serán 1s intercambios.

En total se realizan 2 1s cambios. Como cada uno de ellos cambia el signo del determinante y se

realiza un número impar de cambios de signo, el determinante cambiará de signo.

Análogo razonamiento se puede realizar si se intercambian 2 columnas.

Ejemplo Tomando la matriz del ejemplo inicial.

3 1 5

1 0 2 5

1 2 1

Líneas paralelas iguales Si un determinante presenta dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo. Esta propiedad es consecuencia de la propiedad anterior, ya que si se intercambian esas líneas el determinante debe cambiar de signo, pero como se obtiene el mismo determinante, la única posibilidad es que sea cero.

Línea polinómica Si un determinante presenta una línea polinómica de la misma cantidad de sumandos, el

determinante vale la suma de tantos determinantes como sumandos tiene la línea polinómica. Esta propiedad se justifica aplicando el desarrollo Laplaciano a esa línea.

5 1 2 3 5 1 3 5 2 3

2 0 3 1 2 0 1 2 3 1

1 2 5 1 1 2 1 1 5 1

Propiedad 3: Combinación lineal (CL) de una

paralela sobre una línea

Es el resultado de sumarle a una línea cualquiera una línea paralela multiplicada por un mismo número.

CL aplicada Un determinante no altera si sobre una línea se le efectúa una CL de una paralela.

Ejemplo

Reemplazar la C1 por 1 32C C .

1 1 31 2 3 1 3 2 3 1 2 3 3 2 32

2 2C C C

C C C C C C C C C C C C C

pero el último determinante tiene 2 columnas iguales, por lo cual vale cero. Por lo tanto:

1 2 3 1 2 30C C C C C C

2 Determinantes

Cálculo de determinantes


Nota

En lugar de escribir 1 1 22C C C , pondremos simplemente 1 22C C sobreentendiendo que la

línea expresada en primer lugar es la que se reemplaza.

Ejemplo

1 32

5 1 3 5 2(3) 1 3 5 1 3 3 1 3

2 0 1 2 2(1) 0 1 2 0 1 2 1 0 1 5

1 2 1 1 2(1) 2 1 1 2 1 1 2 1

C C

El último determinante es cero por tener dos columnas iguales (propiedad 7). Observar que el coeficiente de la línea que se reemplaza debe ser 1, pues de lo contrario todo el determinante quedará multiplicado por ese número (propiedad 2).

CL existente Si un determinante presenta una línea que es CL de una paralela, el determinante es nulo.

Ejemplo

1 32C C

1 2 3 3 2 3 3 2 32 2 0C C C C C C C C C

pues el determinante tiene 2 columnas iguales.

Ejemplo

2(5) 1 5 5 1 5 0 1 5

2(2) 0 2 2 2 0 2 2 0 0 2 0

2( 1) 2 1 1 2 1 0 2 1

El penúltimo determinante es cero por tener dos columnas iguales (propiedad 7) o el último determinante (obtenido por propiedad 8) es cero por tener una línea nula (propiedad 1).

Viceversa Si un determinante es nulo, una línea es combinación lineal de una paralela, tanto de filas como de columnas.

La demostración se realizará luego de estudiar los sistemas homogéneos (ver página 41).

Cálculo de determinantes

1 Método por la propia definición

Solo práctico para órdenes 2 y 3 (regla de Sarrus).

2 Método por desarrollo Laplaciano

Ya visto al comienzo de esta sección.

3 Método por teorema de Gauss

Consiste en triangular la matriz por combinaciones lineales CL para llevarla a una matriz triangular (inferior o superior). De esta forma por propiedad 3, el determinante será el producto de los elementos de la diagonal principal. Un procedimiento sistemático para triangular (superior) consiste en:

2 Determinantes

23

Etapa I Dejar la F1, tomar el elemento a11 (el que será un pivote) y triangular la C1 con una CL sobre la F1 (lograr que sean todos ceros excepto el pivote).

Etapas siguientes Luego repetir para cada fila (en cualquier orden) tomando el elemento aii como pivote (diagonal principal) y creando ceros debajo del mismo. Si el elemento aii fuera cero, el método no puede aplicarse debiendo intercambiar filas o columnas para obtener un pivote distinto de cero, cambiando el signo del determinante. Si además todos los elementos por debajo del pivote incluido el mismo, fueran ceros, el determinante

es nulo porque la diagonal principal contendría un cero al final del proceso.

Final Luego de la triangulación el determinante será el producto de los elementos de la diagonal principal

(por la propiedad 3).

Notas 1. Por simplicidad es conveniente que el pivote sea 1 o –1. Si existe este valor en algún elemento,

se puede fabricar el 1 o –1 intercambiando las filas o columnas necesarias para llevarlo al lugar del pivote y cambiando el signo según corresponda. También se podría dividir la fila del pivote por un número adecuado siempre que se multiplique al determinante por ese mismo número.

2. No es necesario llevar las etapas hasta el final. Se puede detener en cualquier momento cuando se llega a un determinante (con la diagonal principal coincidente con la del original) conocido o que se pueda calcular fácilmente. Esto se verá en el ejemplo siguiente.

3. En la CL, la línea que se va reemplazar solo puede ser multiplicada por 1, pues este número multiplicará a todo el determinante, a menos que se divida simultáneamente a todo el determinante por ese mismo número. (propiedades 8 y 2).

4. Se observará en el ejemplo siguiente que la ventaja de tomar como pivotes a los elementos de la

diagonal principal, es que en las sucesivas CL no se alterarán los ceros ya obtenidos. Una consideración similar nos indicará que para construir la CL podría tomarse cualquier fila entre el pivote y la fila a reemplazar, si esto resultara más conveniente.

5. Si no se desea trabajar con fracciones, podría multiplicarse toda la fila por el común denominador y para que no altere el valor, multiplicar a todo el determinante por el inverso de ese número (propiedad 2).

6. El método de Gauss puede ser fácilmente convertido a algoritmo y por ello es utilizado para la

resolución de sistemas de ecuaciones por medio de computadoras. 7. Para determinantes no tiene aplicación el método de Gauss–Jordán que se verá luego para

matrices pues no se requiere realizar la otra triangulación.

Ejemplo Calcular el siguiente determinante.

1 2 1 1

1 3 2 2

2 0 1 1

1 2 2 2

Notación

Convendremos en colocar primero la fila a remplazar: 2 2 ...F F De esta forma podemos

prescindir de la primera parte redundante y colocar directamente 2 ...F Además es conveniente

colocar el texto de la CL en la fila que se reemplaza.

2 Determinantes

Rango de una matriz


2 1

3 1 3 2

4 1

2 4

1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

1 3 2 2 0 1 3 1 0 1 3 1 15 31 1 54

2 0 1 1 0 4 3 1 0 0 15 3 3 3

1 2 2 2 0 0 3 3 0 0 3 3

F F

F F F F

F F

Ejemplo

2 1

3 1

14

1

4

4

4 3 2 3

4 3 2 3 4 3 2 39 3 30

1 3 2 0 0 9 6 314 2 4

4 2 2 1 0 1 4 4 0 1 4 44.4

1 2 1 1 11 1 7 0 11 2 70

4 2 4

F F

F F

FF

3 2

4 2

1

9

11

9

4 3 2 3

4 3 2 30 9 6 3

0 9 6 31 1 130 390 0

0 0 30 3916 16 819 9

84 96 0 0 84 960 0

9 9

F F

F F

4 3

84

30

4 3 2 36156

0 9 6 3 ( 4)( 9)( 30)1 1 30

1710 0 30 3916 81 16(81)

61560 0 0

30

F F

Notas 1. Naturalmente podrían cambiarse filas por columnas en la explicación.

2. Para mayor precisión, elegir como pivotes los mayores de cada columna, reordenando las filas.

4 Método por regla de Chio

Es una combinación de los métodos de Laplace y Gauss. Antes de aplicar el método de Laplace se realizan combinaciones lineales para transformar la línea por la cual se va a desarrollar el

determinante en un solo elemento y todos los demás ceros (Gauss). Por lo tanto el determinante será el producto de ese elemento por el menor complementario al mismo, pues todos los otros productos son ceros. En la práctica puede ser conveniente una variante de esta regla observando alguna línea en la cual se obtenga fácilmente una buena cantidad de ceros y luego desarrollando por esa línea aplicando el método de Laplace.

Rango de una matriz

Es el mayor determinante no nulo extraído de los elementos de la matriz. El rango o característica de una matriz A se representará por Rg(A).

2 Determinantes

25

Cálculo del rango

1 Método por agregación

Se busca un menor de orden k distinto de cero y entonces el rango será mayor o igual a k. Se orla ese menor con los elementos de una fila y de todas las columnas, o al revés. De estas 2 alternativas, elegir obviamente la que sea más corta.

Si todos los menores de orden k+1 obtenidos son nulos, entonces esa línea es combinación lineal

sobre una paralela y se puede eliminar (esta eliminación es la gran ventaja de este método pues reduce significativamente el número de cálculos). El rango de la matriz será igual o mayor que k y se repite el proceso.

Si alguno de los menores de orden k+1 es distinto de cero, entonces el rango será igual o mayor que k+1 y se repite el proceso con ese menor de orden k+1.

Ejemplo Hallar el rango de la siguiente matriz.

Elegimos el siguiente menor:

1 20 ( ) 2

2 1Rg A

Añadimos la F3 y la C3:

1 2 1

2 1 0 0

4 5 2

Luego la F3 y la C4:

1 2 2

2 1 1 0

4 5 5

La F3 es CL de las F1 y F2 y se puede eliminar. A efectos del rango la matriz queda:

1 2 1 2

´ 2 1 0 1

2 1 1 2

A

Comenzamos de nuevo tomando como menor:

1 2 1

2 1 0 1 0

2 1 1

Por lo tanto:

( ) ( )́ 3Rg A Rg A

2 Método de Gauss

Algunos autores lo consideran más práctico que el anterior. Elija el que más le agrade.

B

1

2

4

2

2

1

5

1

1

0

2

1

2

1

5

2

2 Determinantes

Rango de una matriz


Básicamente consiste en el método de triangulación de Gauss para calcular el determinante. Presenta como ventaja el poder utilizar algunas simplificaciones a los efectos del cálculo del rango pues no

interesa el valor numérico del determinante sino solo que sea distinto de cero. Se puede:

Suprimir las líneas que provocan que el determinante en estudio sea nulo (línea nula o CL sobre una paralela).

Multiplicar toda una línea por un número.

Colocar las filas (columnas) en cualquier orden, pues, si bien afecta el signo del determinante, no afecta el valor del rango.

Etapa I y siguientes Por CL se logra que los elementos debajo de cada aii tomados como pivote sean todos ceros (estos pivotes constituirían la diagonal principal si la matriz fuera cuadrada). Si el elemento aii es cero es preciso intercambiar la fila con una inferior o la columna con una de la derecha. En el siguiente ejemplo comenzaremos con la fila 1.

Final Al finalizar el proceso para el último elemento aii, el rango es el número de filas con algún elemento no nulo, dado que las filas con ceros se pueden anular pues originan un determinante nulo por la propiedad 1.

Ejemplo Hallar el rango de la siguiente matriz.

1 4 2 1

2 1 0 1

0 1 3 1

A

2 1

3 2

2

7

1 4 2 1 1 4 2 1 1 4 2 1

2 1 0 1 0 1 3 1 0 1 3 1 3

0 1 3 1 0 7 4 3 0 0 25 10

F F

F F

Rg Rg Rg

Puesto que hay 3 filas con elementos distintos de cero, el rango es 3.

Ejemplo Determinar el rango si el arreglo después de la triangulación la matriz queda como se indica.

1 2 3 42

0 5 7 2Rg

1 2 3 4

0 2 1 7 3

0 0 3 0

Rg

A1 Sistema de ecuaciones lineales

27

A1 Sistema de ecuaciones

lineales

En este capítulo veremos una aplicación de las matrices al algebra lineal.

Una ecuación de la forma:

11 1 12 2 1... n na x a x a x b

es una ecuación lineal con n incógnitas. Los aii son los coeficientes, b es el término independiente y las x son las variables. El orden del sistema es n.

La expresión general de un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas es:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...........................................

...

n n

n n

n n n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x bn

¨

Ejemplo Un sistema de ecuaciones de orden 3x3, se presenta a continuación.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2 1

2 3

x x x

x x x

x x x

Resolver el sistema es encontrar los valores de las variables incógnitas x.

Clasificación

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en.

1. Compatibles SC Son los que tienen solución. Pueden ser Determinados SCD (una solución) o Indeterminados SCI (infinitas soluciones)

2. Incompatibles SI No tienen solución.

Notación

Se llamará matriz A a la matriz de los coeficientes del sistema, Ao a la matriz A ampliada u orlada con los términos independientes, B a la matriz de los términos independientes y X a la matriz de las incógnitas Así por ejemplo, para el sistema anterior, es:

1 1 1

2 1 1

1 2 1

A


Clasificación


1 1 1 2

2 1 1 1

1 2 1 3

oA

2

1

3

B b

1

2

3

x

X x x

x

Con las definiciones anteriores la expresión matricial del sistema resulta:

Ax b

Teorema de Rouché Frobenius

Observemos previamente que, dado que la matriz ampliada comprende a la matriz del sistema, siempre se cumple:

0( ) ( )Rg A Rg A

La condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal de ecuaciones (cuadrado o rectángulo) sea compatible SC (determinado o indeterminado) es que sean iguales el rango de la matriz A y el rango de la matriz orlada Ao.

0( ) ( )Compatible Rg A Rg A

El sistema será determinado, SCD, si esta igualdad de rangos es igual además al número de incógnitas del sistema. Si es inferior, el sistema será indeterminado, SCI. La diferencia entre ambos números será la cantidad de variables independientes que pasará a la matriz de los términos independientes del sistema. Por teorema contrarecíproco, si los rangos son distintos, el sistema es incompatible, SI.

Clasificación En síntesis, sí: llamamos n al número de variables:

0( ) ( )Rg A Rg A n SCD (esquema cuadrado).

0( ) ( )Rg A Rg A n SCI (esquema rectangular horizontal)

La diferencia entre ambos valores se llama grado de libertad e indica el número de ecuaciones que es CL de las otras y por lo tanto se pueden eliminar. Indica asimismo el número de variables que deben pasar a la derecha del signo igual como independientes.

0( ) ( )Rg A Rg A SI (esquema rectangular vertical).

Ejemplo Comprobar que el sistema anterior es SCD.

Solo se debe verificar que:

0( ) ( ) 3Rg A Rg A

Ejemplo Comprobar que el sistema siguiente es SCI.


29

2 3

2 3

4 5 9

x y z

x y z

x y z

El rango de la matriz A es 2 y el de la matriz orlada es 2. Tiene un grado de libertad pues una de las variables (cualquiera) pasará al segundo miembro como independiente y por lo tanto las soluciones de las variables restantes estarán en función de esta variable independiente, generando infinitas soluciones, una por cada valor de la variable independiente.

Ejemplo Comprobar que el sistema siguiente es SI.

4 4

4 1

2 7 3

x y z

x y z

x y z

El rango de la matriz A es 2 y el de la matriz orlada es 3. Veamos ahora los distintos métodos de solución del sistema.

1 Método matricial

Notación matricial Hemos visto que la expresión matricial del sistema es:

Ax b

Solución Para despejar x se requiere del concepto de matriz inversa. Es la matriz que verifica:

1 1AA A A I Con esta propiedad, si se premultiplica la expresión matricial del sistema de ecuaciones lineales por la inversa de A se obtiene:

1 1A Ax A b

Luego: 1Ix A b

Finalmente: 1x A b

La matriz A debe ser cuadrada, pero como veremos, aun así no siempre existen las inversas. Veamos varios métodos para el cálculo de la matriz inversa.

1 Matriz inversa por definición

Ejemplo Hallar la matriz inversa de A:

2 1

1 1A

1AA I

Por lo tanto:


1 Método matricial


2 1 1 0

1 1 0 1

a bx

c d

Multiplicando se obtienen 4 ecuaciones para resolver las 4 incógnitas:

2 1

2 0

0

1

a c

b d

a c

b d

a c

2 1

2

2 1

c c

d b

a c

b b

1 1 b=

3 3

1 2 d=

3 3

a

c

1

1 1

3 3

1 2

3 3

A

2 Matriz inversa por método matricial

Se puede demostrar que:

*

1

t tadjA A

AA A

Condición necesaria y suficiente de existencia Para que exista inversa, el determinante no debe ser 0 o equivalentemente, el rango de la matriz debe ser del mismo orden que la matriz.

Esto divide a las matrices en dos grandes grupos: 1. Regulares: las que su determinante no es 0. 2. Singulares: las que su determinante es 0.

Ejemplo Calcular la inversa de:

3 2

1 4A

Comprobar que es regular pues el determinante es distinto de 0. 10A .

Verificar que la adjunta es:

4 2

1 3A

Por lo tanto:

*4 1

2 3

t

A

y entonces:

14 11

2 310A

Nota Observar que para la matriz inversa de una matriz de grado 2, siempre resulta que, antes de dividir por el determinante:

Los elementos de la diagonal principal están invertidos (la traspuesta los deja igual y la adjunta los invierte).

Los elementos simétricos de la diagonal principal están invertidos y de signo opuesto (la traspuesta y la adjunta se neutralizan numéricamente quedando solo el signo de la posición).

Ejemplo Calcular la inversa de:


31

2 0 0

A= 3 1 5

2 0 1

Comprobar que es regular pues el determinante es distinto de 0. 2A .

Verificar que la adjunta es:

*

1 13 2

0 2 0

0 10 2

A

Por lo tanto:

*

1 0 0

13 2 10

2 0 2

t

A

y entonces:

1

1/ 2 0 0

13 / 2 1 5

1 0 1

A

3 Matriz inversa por Gauss-Jordán

En todos los métodos de Gauss o de Gauss-Jordán que se aplicarán a matrices se agrega una matriz

(orlada) a la matriz original, que significa transformación de una en otra o igualdad entre ellas. Por esta particularidad, la CL permite ahora multiplicar por un número a la línea que se va reemplazar, pues este número multiplicará tanto a la matriz original como a la que se orla, siendo su efecto neutro pues podría simplificarse al estar ambas matrices vinculadas en una ecuación. La única condición es que este número sea distinto de cero pues de lo contrario anulará a toda la ecuación. En este caso se coloca (orla) una matriz unidad I a la derecha de la matriz A dada (del mismo orden). La transformación de A en I, implica la transformación de I en A-1. Para lograr esto se diagonaliza A

con combinaciones lineales, con la finalidad de obtener unos en la diagonal principal (matriz unidad). Veamos cómo se sistematiza.

Etapa I Con pivote a11 se hacen ceros los elementos de la columna 1.

Etapas siguientes Con pivote: a22 se hacen ceros los elementos de la columna 2 (no solo por debajo del pivote como en el método de Gauss). Se continúa así para el resto de las columnas. Para que la diagonal contenga unos, se divide cada fila por el número que contiene la diagonal. Esta operación también podría hacerse al comienzo de la etapa I, pero esto implica a veces la aparición de fracciones por lo cual es preferible hacerla al final.

Final Luego de la diagonalización, la matriz inversa A-1 será la que aparezca a la derecha, donde estaba la matriz unidad.

Ejemplo

Hallar la inversa de la matriz A.


1 Método matricial


3 2

1 4A

Orlamos y trabajamos primero con la columna 1.

2 13

3 2 1 0 3 2 1 0

1 4 0 1 0 10 1 3F F

Luego trabajamos con la columna 2.

1 253 2 1 0 15 0 6 3

0 10 1 3 0 10 1 3

F F

Finalmente convertimos la matriz diagonal en unidad.

1

2

1

15

1

10

6 31 015 0 6 3 15 15

0 10 1 3 1 30 1

10 10

F

F

Por lo tanto:

1

6 3

0.4 0.215 15

1 3 0.1 0.3

10 10

A

Propiedades de las inversas

La matriz inversa, si existe, es única.

1 1

1 1 1

11

1 1

11

1

tt

A A AA I

AB B A

A A

kA Ak

A A

Resolución matricial de un sistema

Volvamos a la resolución de un sistema lineal de ecuaciones por el método matricial.

Ejemplo Resolver:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2 1

2 3

x x x

x x x

x x x

Verificar que la inversa de la matriz de coeficientes es:


33

Por lo tanto:

0.333 0.333 0 2 1

0.111 0.222 0.333 1 1

0.556 0.111 0.333 3 2

x

Ejemplo Resolver el sistema.

2 3

2 3 4 4

5 6 1

5 4 2

x y z w

y z w

z w

x y

¨

3 2

2 1

4 15

1 1 2 1 1 1 2 12 3 4 2 1 1

0 2 3 4 0 2 3 4| | 0 5 6 0 5 11

0 0 5 6 0 0 5 69 10 5 9 1 5

5 4 0 0 0 9 10 5

C CC C

F F

A

1 3

2 3

20 0 1

22 16 11 132 304 172 0

19 6 5

C CC C

Por lo tanto la matriz es regular. Calculemos la inversa.

1

152 68 20 4

190 85 25 381

60 54 26 12172

50 45 7 10

A

El valor 152 surge de:

2 3 4

0 5 6 4( 18 20) 4( 38) 152

4 0 0

y el valor -50 surge de:

0 2 3

0 0 5 5( 10) 50

5 4 0

Por lo tanto, la solución del sistema es:

1

3 172 1

4 129 3 / 41

1 86 1/ 2172

2 43 1/ 4

x

yA

z

w

A1

0.333

0.111

0.556

0.333

0.222

0.111

0

0.333

0.333


1 Método matricial


Clasificación Si:

| | 0A Determinado

| | 0A Indeterminado o Incompatible, lo cual debe ser determinado por otros métodos, por

ejemplo el teorema de Roche Frobenius. Se calcula el rango de la matriz orlada y si el rango es igual al de la matriz A, el sistema será compatible indeterminado.

Determinar constantes para clasificarlo Si el sistema tiene constantes desconocidas, se determinan estas constantes verificando las siguientes ecuaciones.

| |A | |A orlada

SCI: Compatible Indeterminado 0 0

SI: Incompatible 0 0

SCD: Compatible Determinado 0 cualquiera 1. El razonamiento debería comenzar calculando el conjunto A que cumple la condición | | 0A .

2. Luego dentro de este conjunto A se analizarán dos conjuntos disjuntos: los que hacen nulo

| |A orlada (SCI) y los que no lo hacen (SI). En algunos casos puede ser más directo:

a. hallar en forma independiente los valores del conjunto B que hacen nulo | |A orlada y

luego hallar la intersección de este conjunto B con el A. b. Reemplazar los valores numéricos del conjunto A en el sistema de ecuaciones y trabajar

numéricamente para hallar cuando es un SCI o un SI. 3. Finalmente, los valores que no verifican el conjunto A definirán un SCD.

Ejemplo Analizar para que valores de las constantes del siguiente sistema es compatible determinado (SCD), compatible indeterminado (SCI) o incompatible (SI). Para los casos SCI y SCD, hallar el resultado del sistema.

| 1| | 1|

| 1|

k x ky k

kx k y k

2 2

1 0 1

0 | 1 | 0 | 1 | | | 1 1 / 2

1 0 1

0.5 0.5 0.5( 0.5) 1

0.5 0.5 0.5orlada

k k

k k k k k k k

k k

RgA k Rg

Por lo tanto:

1: ,

2

:

1: ,

2

SCI k

SI k

SCD k

Sistema resultante:

1

: 1 1, 0

SCI x y

SCD Ej k x y


35

Observación

| | 0A SCI SI .

2 Método de Cramer

A partir de la resolución matricial de un sistema de ecuaciones 1

| |

tadjA

x A b bA

se demuestra

rápidamente que la resolución de un sistema de ecuaciones lineales está dado por (en este método los

determinantes suelen llamarse ):

| |

| |i ix x

i

Ax

A

Dónde:

El numerador es el determinante de la matriz de los coeficientes, cambiando la columna de la incógnita i por la columna de los términos independientes.

El denominador es el determinante de los coeficientes.

Ejemplo Resolver:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2 1

2 3

x x x

x x x

x x x

1

2 1 1

1 1 1

3 2 1 91

1 1 1 9

2 1 1

1 2 1

x

2

1 2 1

2 1 1

1 3 1 91

1 1 1 9

2 1 1

1 2 1

x

3

1 1 2

2 1 1

1 2 3 182

1 1 1 9

2 1 1

1 2 1

x


2 Método de Cramer


Clasificación Llamemos x, y ,z a las variables. Si:

0 Determinado, SCD

0 y 0x Indeterminado, SCI,

¿Es necesario comprobar estas condiciones las otras variables? No, veamos porque.

Al ser 0 cualquier ecuación es combinación lineal de las otras.

Al ser 0x cualquier ecuación es combinación lineal de las otras.

Por lo tanto combinando ambas condiciones también en los y y z será una línea CL de las

paralelas, siendo entonces también nulos. Una ecuación se puede eliminar y una variable pasa a la derecha del signo igual como independiente. El sistema indeterminado tiene por lo menos un grado de libertad.

0 y 0x Incompatible, SI.

Análoga conclusión respecto de los y y z , debiendo ser ambos distintos de cero.


x



SCD: Compatible Determinado 0 cualquiera 2. El razonamiento debería comenzar calculando el conjunto A que cumple la condición 0 .

3. Luego dentro de este conjunto A se analizarán dos conjuntos disjuntos: los que hacen nulo x

(SCI) y los que no lo hacen (SI).

En algunos casos puede ser más directo:

a. hallar en forma independiente los valores del conjunto B que hacen nulo x y luego

hallar la intersección de este conjunto B con el A. b. Reemplazar los valores numéricos del conjunto A en el sistema de ecuaciones y trabajar



px qy p

qx py q

2 2

2 2

0 0 | | | |

0 0 0

0 0 | | | |

y

x

p q p q

pq pq siempre

p q p q

Por lo tanto:

:| | | |,

:

:| | | |

SCI p q

SI situación

SCD p q


37

Sistema resultante:

1, 0

1

SCI x y

SCD x y

Observación

0 SCI SI .

3 Método de Gauss

Se llama también método de reducción y equivale al método de sumas y restas que se estudia en el

colegio secundario para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Previamente se orla la matriz de coeficientes con la de términos independientes. Este método de Gauss aplicado a matrices es equivalente al método de Gauss para resolver un determinante, con la excepción del cálculo final. Hemos visto que la matriz con ceros que se obtiene se llama forma fila escalonada de la original y el sistema, sistema escalonado. Recordemos:

Etapa I Dejar la F1, tomar el elemento a11 como pivote y obtener ceros en la C1 con ella (quedarán todos ceros excepto el pivote).

En particular, al aplicarlo a matrices orladas, vimos que la CL permite ahora multiplicar por un número (distinto de cero) a la línea que se va reemplazar, pues este número multiplicará tanto a la matriz original como a la que se orla, siendo su efecto neutro pues podría simplificarse al estar ambas matrices vinculadas en una ecuación.

Resta de productos cruzados Por la razón expuesta se puede ahora sistematizar el procedimiento obteniendo los nuevos valores a

la derecha de cada 0, operando en forma similar a un determinante de 2*2 como una resta de

productos cruzados. Sean la matriz orlada:

a b c

d e f

El 0 deseado se logra con:

2 1 0aF dF

a b c

ae db af dc

Se aprecia que las operaciones son equivalentes a las de la obtención de un determinante de 2*2, lo cual permite sistematizar y generalizar todo el cálculo del método de Gauss. La resta podría ser al revés pues tampoco influye ahora el multiplicar toda una fila (o toda la matriz)

por una constante. Aquí se ha elegido colocar el menos en el producto que no contiene al pivote. Este método tiene la ventaja de la sistematización pero en general trabajará con números más grandes pues no se realiza el mínimo común múltiplo que naturalmente se utilizaría en la CL. Si por ejemplo a = 9 y d = 3, en la CL se multiplicaría la fila 2 por el valor 3 y la fila 1 por 1, en tanto que con la resta de productos cruzados se multiplica la fila 2 por 9 y la fila 1 por 3. De todas formas siempre se puede luego dividir toda la fila por el factor común, en este caso 3.

Observación El determinante de esta matriz no será ya el producto de los elementos de la diagonal principal pues las filas reemplazadas se han multiplicado por números distintos de 1. Si se estudia el proceso se puede advertir que estos números son los pivotes de la “diagonal principal” repetidos tantas veces


3 Método de Gauss


como ceros se hayan logrado en cada columna con ese pivote (si se divide la diagonal principal por estos números sí se obtiene el determinante).

De todas formas se observa que al despejar la incógnita de la última fila se obtiene como en el

ejemplo y

y

, lo cual es coincidente con el método de Cramer, como corresponde.

Etapas siguientes Luego repetir para cada fila tomando el elemento aii como pivote (diagonal principal) y obtener ceros debajo del pivote.

Final Luego de esta triangulación (superior), despejar las incógnitas desde la última ecuación a la primera.

Ejemplo Resolver:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2 1

2 3

x x x

x x x

x x x

0

1 1 1

2 1 1

1 2 1

1 1 1 2

2 1 1 1

1 2 1 3

A

A

2 1

3 1 3 2

2

3

1 1 1 2 1 1 1 2

0 3 3 3 0 3 3 3

0 1 2 5 0 0 9 18

F F

F F F F

Finalmente:

3

2

1

182

9

3 3(2)1

3

2 2(1) ( 1)1

1

x

x

x

Notas

1. Alternativamente se podría lograr un 1 en el elemento 22 3a dividiendo toda la fila por -3 y

así simplificar las cuentas. 2. Existen infinitas matrices fila escalonadas pues basta reemplazar una fila por una combinación

lineal de ella con filas por debajo sin alterar la condición de fila escalonada.

Clasificación Llamemos a al coeficiente de la incógnita de la última fila y b al término independiente.

Entonces, si:

0a Determinado


39

0a y 0b Indeterminado. Esto equivale a la última fila nula. Al anularla se obtiene más

incógnitas que filas, por lo cual .se puede pasar una variable independiente a la derecha del signo igual. El sistema tiene por lo menos un grado de libertad.

0a y 0b Incompatible. Se tiene en este caso que todos los valores a la izquierda del signo

igual son ceros y el de la derecha es distinto de cero, lo cual es incompatible.

Nota Esta clasificación es equiparable a la del método de Cramer, pues la matriz ampliada corregida por el

método de Gauss es equivalente a la original. Por lo tanto si 0a , 0 y si 0b , 0x

siendo x la incógnita colocada en la última columna. Por lo tanto, extendiendo la conclusión vista en el método de Cramer, no es necesario comprobar las

condiciones para las otras variables. Si es 0a y 0b o 0a y 0b para una variable,

también los serán para las restantes.


a b



SCD: Compatible Determinado 0 cualquiera Observar que la condición de SI se deriva de que implica una división por 0 al despejar la variable o

bien que 0 , 0b b lo cual es inconsistente.

1. El razonamiento debería comenzar calculando el conjunto A que cumple la condición 0a .

2. Luego dentro de este conjunto A se analizarán dos conjuntos disjuntos: los que hacen nulo b

(SCI) y los que no lo hacen (SI). En algunos casos puede ser más directo:

a. hallar en forma independiente los valores del conjunto B que hacen nulo b y luego

hallar la intersección de este conjunto B con el A. b. Reemplazar los valores numéricos del conjunto A en el sistema de ecuaciones y trabajar



2 ( 1) 2 0

( 2) (2 1) 2 0

kx k y

k x k y

Triangulación

2 1 2( 2) ( 2 ) 2

2 1 2 2 1 2

2 2 1 2 0 5 3 2 6 4F k F k F

k k k k

k k k k k

Por lo tanto: 2

1 20 5 3 2 0 1, 2 / 5

0 6 4 0 2 / 3

a k k k k

b k k

Finalmente:


4 Método de Gauss-Jordán


: ,

2: 1

5

2: 1 ,

5

SCI k

SI k k

SCD k k

Sistema resultante:

5: 1 1,

3

SCI k

SCD Ej k x y

Observación

0a SCI SI .

4 Método de Gauss-Jordán

Es complementario al método de Gauss pues se busca obtener una matriz con ceros en toda la columna de los pivotes de la diagonal principal. Si además estos pivotes se llevan a 1, ya sabemos que esta matriz se llama forma fila escalonada reducida de la original. Para esto se continúa el método de Gauss para obtener ceros por encima de los pivotes y no solo

debajo del pivote. El procedimiento para sistematizar este proceso es el siguiente:

Etapa I Con pivote: a11 se hacen ceros los elementos de la columna 1.

Etapas siguientes Con pivote: a22 se hacen ceros los elementos de la columna 2 y así para el resto de las columnas.

Convertir los pivotes en unos dividiendo cada fila por el pivote.

Final El resultado del sistema será directamente el despeje de cada incógnita.

Ejemplo Resolver:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2 1

2 3

x x x

x x x

x x x

1 1 1

2 1 1

1 2 1

1 1 1 2

2 1 1 1

1 2 1 3

A

C


41

Se utilizará la resta de productos cruzados (página 37) pero también se colocará como referencia la CL respectiva.

Nota Al aplicar la resta de productos cruzados para obtener los ceros del triángulo superior, tener en cuenta realizar la resta para todos los elementos de la fila en forma coherente. Dado que para los ceros inferiores se colocó la resta en los productos que no contienen al pivote, continuaremos de igual forma.

1 3

2 32 1

3 1 3 2

9

9 32

3

1 1 1 2 1 1 1 2 9 9 0 0

0 3 3 3 0 3 3 3 0 27 0 27

0 1 2 5 0 0 9 18 0 0 9 18

F F

F FF F

F F F F

2 19 27 243 0 0 243

0 27 0 27

0 0 9 18

F F

Por lo tanto:

1

2

3

2431

243

271

27

182

9

x

x

x

Nota Se lleva a la forma fila escalonada reducida (con pivotes iguales a 1) dividiendo cada fila por el pivote. Esta matriz es única.

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 2

Clasificación Idem Gauss.

Determinar constantes para clasificarlo Idem Gauss.

Sistemas homogéneos

En ellos la matriz B =0, por lo tanto:

0AX

Solución

Estos sistemas son siempre compatibles pues 0( ) ( )Rg A Rg A .

Compatible determinado El rango de la matriz es igual al orden del sistema ( | | 0A ) y solo existe la solución trivial de

incógnitas igual a cero.


Sistemas homogéneos


Compatible indeterminado Para tener soluciones distintas de la trivial, el rango de la matriz debe ser menor que el orden del

sistema ( | | 0A ), pues de esta forma se eliminará un número de filas igual a la diferencia entre

estos números. Ese mismo número de variables puede pasar al segundo miembro quedando como variables independientes y por lo tanto generando infinitas soluciones.

Ejemplo

2 3 0

5 6 7 0

6 8 10 0

x y z

x y z

x y z

¨

Este sistema homogéneo es compatible indeterminado pues el determinante del sistema es cero al ser la última ecuación combinación lineal de las dos primeras (F3 = F1 +F2). Por lo tanto se puede suprimir y el sistema queda:

2 3 0

5 6 7 0

x y z

x y z

Expresando las soluciones en función de z:

2 3

5 6 7

x y z

x y z

Se observa entonces que existen infinitas soluciones, una para cada valor de z.

Aplicación Si un determinante es cero, entonces una fila es CL de las paralelas y una columna es CL de las paralelas. En el siguiente ejemplo se enseña cómo obtener los coeficientes de estas combinaciones lineales.

Ejemplo Obtener las CL de las filas y de las columnas del siguiente determinante nulo.

2 3 5

4 1 3

16 3 19

Comprobar primero que este determinante es cero. Para determinar las CL se plantean los siguientes sistemas:

CL de columnas Planteamos la siguiente CL entre columnas para determinar a, b y c.

2 3 5 0

4 3 0

16 3 19 0

a b c

a b c

a b c

¨

Es un sistema homogéneo. Como el determinante es cero el sistema es soluble indeterminado y se puede pasar al segundo miembro una variable, por ejemplo c. Si se resuelve el sistema de 2x2 resulta:

,a c b c , lo cual equivale a la CL: 1 2 3 0C C C de donde 3 1 2C C C .

CL de filas Planteamos la siguiente CL entre filas para determinar a, b y c.


43

2 4 16 0

3 3 0

16 3 19 0

a b c

a b c

a b c

¨

Análogamente, resulta:

2 , 3a c b c , lo cual equivale a la CL: 1 2 32 3 0F F F de donde: 3 1 22 3F F F .

Líneas independientes El determinante de una matriz es muy útil para saber si hay alguna relación de proporcionalidad

entre las líneas de una matriz. Si una línea de una matriz es igual o proporcional a otra, o si una línea es igual a la suma de otras paralelas multiplicadas por números, lo que equivale a decir que esa primera línea es linealmente dependiente de las restantes, a veces es fácil verlo a simple vista, pero otras no. El determinante nos lo fija directamente, ya que si es cero entonces es claro que hay algún tipo de dependencia entre las líneas de esa matriz. Sólo cuando no es igual a cero podemos estar seguros de que las líneas son independientes entre sí.

A2 Transformaciones lineales TL

I Transformaciones lineales TL


A2 Transformaciones

lineales TL

En este capítulo veremos una aplicación de las matrices a la geometría. Veremos cómo generar las traslaciones, rotaciones, reflexiones o escalados que se utilizan en los

programas gráficos, juegos de computadoras, pasaje de dimensiones reales a virtuales, etc.

I Transformaciones lineales TL

Transformación

Es un campo vectorial, es decir una transformación es una función que opera con vectores y los

transforma desde un espacio n

en un espacio p

Esta función se denota en general con T.

Esta función se expresa en general:

' ( ), , 'n px T x x x

Sistema El campo vectorial se expresa en general de la siguiente forma.

1 1 1 2

1 1 2 2 1 2

2 2 1 2

' ( , )( ( , ), ( , ))

' ( , )

x f x xf x x f x x

x f x x

Transformación lineal

La transformación se llama lineal, TL, si se cumplen las dos condiciones de combinación lineal CL de las entradas:

T(a +b)= T(a)+T(b)

T(ca) cT(a)

Operador Lineal, OL Si los espacios son de igual dimensión, la matriz T suele llamarse en particular operador lineal.

( ) , nT u v u v

Dentro de este tipo de transformaciones puede darse que ambos vectores sean linealmente dependientes, l.d:

v u

En este caso se llama autovalor de la matriz T y u autovector de T.

' ( )x T x

x


45

OL Inversa Para que una transformación lineal tenga inversa, la matriz T debe tener inversa es decir ser cuadrada (operador lineal) y singular.

1TT I La transformación inversa también es una TL Si la matriz es singular (determinante nulo), T no es invertible y la transformación no es uno a uno. https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations

Dualidades de las TL

Veamos 4 dualidades.

a Sistema vs matriz

Una TL se puede expresar de 2 formas equivalentes: 1. Sistema de funciones 2. Ecuación matricial

1 Sistema de funciones Las funciones del campo vectorial son lineales es decir polinomios de la variables de grado 1 (es una forma alternativa de definirlas pues cumple las dos propiedades de una CL).

1 1 2

1 2 1 2

2 1 2

'( , )

'

x ax bxax bx cx dx

x cx dx

2 Ecuación matricial En forma similar a la correspondencia entre un sistema de ecuaciones lineales y su ecuación matricial, una TL se puede materializar con una matriz pues una matriz establece la CL de entradas.

' ( )x T x Tx

Esta propiedad permite componer fácilmente transformaciones multiplicando las matrices componentes o invertir la transformación con solo invertir la matriz. En la práctica se necesita combinar transformaciones para obtener el movimiento que se desee

formulando la secuencia en forma eficiente. Esto se consigue fácilmente con matrices si la transformación es lineal.

Ejemplo 3 2

3 2 :xT

Si llamamos iv a los vectores columna de orden 3 de la matriz T:

1 1

1 2 1 1 2 2

2 2

x xTx T v v v x v x

x x

Como condición la matriz debe ser regular.

Ejemplo Obtener la forma matricial T de la siguiente TL dada por su sistema de funciones:

1 1 2

1

2 2 1

2

1 23

' 3

' 5

4'

x x xx

x T x xx

x xx

Entonces:

https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations


Dualidades de las TL


1 1

2 2

1 3 1 3

1 5 1 5

4 1 4 1

x xT T

x x

Ejemplo Practicar con los siguientes videos. https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/linear-transformations/a/practice-associating-matrices-with-transformations

b Punto vs vector posición

Es una cuestión de gustos el interpretar (x, y) como las coordenadas de un punto ( , )P x y o como las

componentes del vector posición ( , )v x y .

( , ) ( , )P x y v x y

c Punto vs función

En transformaciones los ejes de referencia son siempre son (x, y). Simbolizamos con (x', y') a las nuevas coordenadas luego de transformadas, siempre en el sistema (x, y). Una transformación se puede aplicar a 2 objetos distintos:

función y = f(x) expresada en forma paramétrica

puntos de una figura geométrica (vértices de la misma)

1 Función

Se ejemplifica para operadores lineales de orden 2, 2 2:T , pero el concepto es general.

Si los puntos del plano corresponden a una ecuación, la transformación se expresa:

' ( )

' ( )

x x x x tT T

y y y y t

Se obtendrán así las ecuaciones paramétricas de la nueva función, la cual podrá o no expresarse en forma cartesiana eliminado el parámetro. Recordar que una función explícita y = f(x) siempre puede expresarse con parámetro x = t:

'

' ( )

x x x tT T

y y y f t

2 Puntos Se aplica a un conjunto de puntos que conforman una figura geométrica.

d Alias vs Alibi

El proceso de transformación de una OL puede interpretarse de dos formas equivalentes.

1 Alias Transformar un punto en otro (son 2 puntos) respecto de un sistema de ejes fijos.

2 Alibi El mismo punto respecto de 2 sistemas de ejes distintos.

https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/linear-transformations/a/practice-associating-matrices-with-transformations

https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/linear-transformations/a/practice-associating-matrices-with-transformations


47

Así por ejemplo trasladar hacia la derecha la posición de cada uno de los objetos del plano respecto del sistema de referencia, equivale a trasladar hacia la izquierda la posición del sistema de ejes

respecto de los objetos. La interpretación que se elija será la que más convenga según las circunstancias.

Ejemplo 1. componer una escena requiere trasladar objetos en el mismo sistemas de coordenadas locales 2. posicionar una cámara resulta más sencillo si se asocia la posición del sistema de referencia a la

cámara y lo movemos con ella. Aquí veremos la interpretación Alias (Alibi se estudia en el capítulo de Funciones). Estudiaremos en

particular transformaciones lineales 2 2

2 2 :xT diseñadas de tal forma que un objeto

geométrico sea transformado en una imagen que cumpla con ciertos deseos particulares del usuario. Estas transformaciones realizan una gran cantidad de operaciones en forma sencilla pero no pueden realizar cualquier tipo de transformación como por ejemplo: botella en botella con un cuello. Estos casos no lineales se deben programar para tal fin. Los vectores que requiere como argumento el concepto de transformación son las coordenadas de cada punto (vector posición).

Otros ejemplos para traslación y rotación se verán en las secciones respectivas.

Propiedades de las TL

a Propiedad de las columnas de T

Las TL tienen una importante propiedad: Las columnas de T son los transformados de los versores de la base de partida.

Demostración Supongamos T desconocida (de orden 2 para simplificar) y apliquémosla a los versores x e y:

1 2T c c

1 2

1 0,

0 1x x

Comencemos por el versor x:

1 1 1 2 1

1'

0x Tx c c c

Para el versor y:

2 2 1 2 2

0'

1x Tx c c c

Por lo tanto los transformados de los versores fundamentales ie son los vectores columna de la

matriz de transformación T. Si se estuviera estudiando el cambio de ejes de referencia, estos nuevos vectores que son los transformados de la base original son precisamente la base fundamental en el nuevo sistema.

Si T se desconoce, se podría obtener resolviendo un sistema a partir del conocimiento de un número de imágenes de objetos igual al orden del sistema. En particular la propiedad anterior permite realizar esta construcción en forma rápida sin resolver un sistema de ecuaciones.




Ejemplo Es conveniente observar la imagen de una figura simple. La más simple es el cuadrado elemental formado por los versores, pues sabemos que las columnas de T son los transformados de los versores fundamentales del espacio de salida, es decir son la nueva base transformada. Por lo tanto observando las columnas de una matriz T de una TL, si la interpretamos como la nueva base podemos deducir fácilmente su efecto sobre los objetos. Esto se aplicará en las deducciones. Veamos un ejemplo.

Transformar un cuadrado con un vértice en el origen, paralelo a los ejes y de lado 1, por la siguiente matriz de transformación T:

4 1

2 1T

' 4 1

' 2 1

x x xT

y y y

Cada matriz columna es un vector, en este caso es el vector posición que se corresponde con las coordenadas de cada punto.

Considerando los vectores con centro en el origen y extremos en los vértices, se puede visualizar como se ubican los vectores imágenes.

Es esperable entonces que el plano se deforme como se indica. Observar que la primera columna de la matriz T de la TL nos indica donde va a parar el versor (1, 0)

y la segunda donde va a parar el versor (0, 1).

(1,0) (4,2)

(0,1) ( 1,1)

T

T

Si se conocen experimentalmente estas 2 imágenes se conoce la matriz T no importa cuál sea la transformación lineal que se esté realizando.


49

Matriz de puntos En lugar de considerar una matriz columna por cada punto objeto, en la práctica se agrupan todos los puntos de la figura a transformar en una sola matriz que contiene tantas columnas como puntos, resultando una matriz homóloga de puntos imagen. En el ejemplo anterior, resulta:

4 1 0 1 0 1 0 4 1 3'

2 |1 0 0 1 1 0 2 1 3x

Autovectores y autovalores

En este ejemplo el vector (1,1) tiene como imagen el vector (3,3) de mayor módulo pero igual

dirección y sentido. Los vectores de una matriz que verifican esta propiedad se llaman autovectores de la matriz. El valor 3 de ampliación del módulo se llama autovalor de la matriz.

b Transformación por una matriz general 2x2

Sea la matriz de transformación:

a b

c d

El cuadrado elemental se transforma en un paralelogramo Ya sabemos que los transformados de los versores son las columnas de la matriz. Se agrega que el vértice (1, 1) se transforma en el vector con componentes igual a suma de los componentes de las filas (F1, F2).

c Relación de contenidos

Contenido es un determinante particular asociado a la matriz de los vectores de la base (no necesariamente coincide con el área de la figura).

Espacios de igual dimensión Sea J el determinante de la matriz de la base.

' | ' | | || |J TJ J T J

En el ejemplo anterior:

4 1

2 1T

Aplicada a la base fundamental:

4 1| | 6

2 1T




1 1| | 1

0 1J

| ' | 6 |1| 6J

De todas formas, aunque no es exacto, el determinante de la matriz T da una idea de la magnificación del área.

Espacios de distinta dimensión La relación de contenidos está dada por:

| ' | | | | |TJ T T J

En el ejemplo coincidirá con el cálculo anterior:

| ' | 36 |1| 6J

d Algebra de TL

Como ( )S x Ax en general, por simplicidad se suele llamar a la matriz de transformación A con el

nombre S. Al hacer esto, las siguientes relaciones resultan obvias sin necesidad de una demostración.

1 Suma Es una TL.

( ) ( ) ( )( )T x S x T S x

Siendo las matrices de igual dimensión. La matriz de una suma de transformaciones es igual a la matriz suma de cada transformación. Sin embargo la suma de traslaciones no es una traslación (se verá luego como que la matriz suma no es una matriz de traslación). Lo mismo sucede con las restantes transformaciones básicas.

Propiedades Conmutativa Asociativa Distributiva respecto de la multiplicación por un escalar

2 Producto por un escalar Es una TL.

( )( ) ( )cT x cT x

Una transformación multiplicada por un escalar es igual al producto de la matriz de transformación por el escalar.

Propiedades Conmutativa Asociativa

3 Composición o producto En cualquier transformación.

: ´ ( )

: '' ( ) ( )( ): ' '' ( ')

S x x S xV x x T S x T S x

T x x T x


51

Observar que adoptamos la convención de que la notación T S implica que primero se realiza S y

luego T. Si en particular las transformaciones fueran TL:

: ´

: '': ' '' '

S x x SxV x x TSx

T x x Tx

La composición de TL es directamente el producto de las matrices de las transformaciones.

(T S x TSx

Propiedades No conmutativa en general (aunque sean del mismo espacio) como sucede con el producto de matrices. Asociativa Distributiva respecto a la suma.


II OL geométricas


II OL geométricas

Una aplicación importante de los operadores lineales permite establecer el comportamiento geométrico de los puntos de un sistema coordenado. Estos aspectos nos permiten establecer algoritmos para representar imágenes por medio de una computadora; e incluso, permitir que dichas imágenes se agrupen en fotomontajes y animaciones. En computación gráfica, se utilizan las transformaciones lineales para realizar cálculos en los cuales un punto de la pantalla se traslada, rota, cambia de color, aumenta su brillo, etc. Por ejemplo una reflexión permite manipular información de una manera más eficiente, ya que con la mitad de datos conocidos, se reconstruye la imagen

completa, una rotación permite reconstruir una imagen de un anillo con solo algunos puntos, un escalado permite dibujar una imagen de un mandala con solo el interior, etc. Trataremos en general la transformación de figuras por puntos más que la transformación de funciones. De todas formas para éstas se procedería en forma similar. En lo sucesivo trataremos con operadores lineales en el plano o 2D, espacio de dimensión 2. Los operadores lineales básicos son:

Indeformables o congruentes Transforman a cuerpo como un sólido rígido. Conserva las distancias y los ángulos.

1. Rotación 2. Reflexión o Simetría

Deformables El cuadrado elemental se transforma en un paralelogramo.

3. Escalamiento Homotecia Conserva los ángulos, pero no las distancias La homotecia todas las distancias son proporcionales. Se llama también Conforme o Semejante. El cuadrado elemental se transforma en un rectángulo o en otro cuadrado proporcional.

4. Cizallamiento o Deslizamiento

No mantiene los ángulos pero si el paralelismo entre rectas. El cuadrado elemental se transforma en un paralelogramo.

Veremos que la traslación no cumple las propiedades de linealidad por lo cual no es una TL, pero se puede llevar a ella.

Transformación lineal, TL El origen debe permanecer fijo, y todas las líneas rectas se mantienen rectas (esto no significa que el objeto deba estar conformado por rectas). Si no incluyen el cizallamiento conservan la longitud y el ángulo de la forma del objeto, es decir, las líneas se trasforman en líneas, los círculos en círculos y los ángulos se conservan. Si lo incluyen, las líneas se transforman en líneas pero los círculos se convierten en elipses. Por tanto la longitud y el ángulo dejan de conservarse.

Transformación afín, TA, o proyectiva TL más una traslación, por la cual deja de ser una TL. No es lineal en su espacio n , pero puede representarse por una TL con una matriz aumentada de

dimensión 1n . Este espacio se llama proyectivo.

La TL es un caso particular de una TA modelada por:

'

'

x ax by c

y dx ey f

x contiene las coordenadas de un punto respecto de un sistema O(x, y)


53

'x contiene las coordenadas de otro punto P' respecto del mismo sistema O(x, y)

P' es el transformado de P. En forma matricial:

'

'

x a b x c

y d e y f

La presencia de c o f (traslación), no multiplicadas por x o y, implica que esta transformación no se puede expresar como TL en la forma lineal:

'x Tx

Para lograrlo se introduce el concepto de coordenadas homogéneas.

Coordenadas homogéneas Para resolver la limitación anterior es necesario ampliar el orden incluyendo la ecuación 1 = 1. Esto equivale a utilizar las llamadas coordenadas homogéneas que representan a un vector en E2 con una

tercera coordenada (aunque sigue siendo un E2) de la forma 1 1( , ,1)x x y .

En general dado:

1 1( , )x x y

las coordenadas homogéneas son:

1 1 1 1, , ( , , )x Hx Hy H X Y H

Un mismo punto tiene infinitas representaciones en coordenadas homogéneas (H es variable). Se desprende que:

11

11

Xx

H

Yy

H

Por lo tanto las coordenadas del punto dadas las homogéneas se obtienen dividiendo cada una de las tres por la tercera.

: ( , ,1/ 4) (4 ,4 ,1)Punto x y x y

A medida que la tercera coordenada disminuye, el punto se aleja del origen. Se llaman homogéneas pues al reemplazar las relaciones anteriores en el sistema de ecuaciones afín, resulta un sistema homogéneo en las tres variables X, Y, H):

' '

' '

x ax by c X aX bY cH

y dx ey f Y dX eY fH

Ejemplos Algunas coordenadas homogéneas (dividir siempre por la tercera coordenada) son:

: (0,0,1) (0,0)

: (0,1,1) (0,1)

: (1,0,0)

: (0,1,0)

: (0,0,0)

Origen

Versor

Infinitox

Infinitoy

Ningun punto

Con estas coordenadas el sistema ahora sí puede ser expresado como:

'

'

1 1

x ax by c

y dx ey f


1 Traslación


'

' ' '

1 0 0 1 1

x a b c x

x Ty y d e f y

En coordenadas homogéneas los transformados de los versores ya no son las columnas de T pues se le suma a ellas la tercera columna.

' 1

' 0

1 0 0 1 1 1

' 0

' 1

1 0 0 1 1 1

x a b h a h

y c d k c k

x a b h b h

y c d k d k

1 Traslación

Es una transformación no deformable o congruente. En inglés translate.

Dado un vector ( , )v h k , llamado vector traslación,

se llama traslación

a la transformación geométrica que asocia a cada punto objeto P del plano otro punto imagen P'

de forma que se verifique: '

| ' | | |

PP v

PP v

La matriz de transformación de una traslación se simbolizará con T (de Traslación).

Sistema de funciones

'

'

x x h

y y k

Forma matricial

' 1 0

' 0 1

x x h

y y k

Pero esta transformación es una TA no una TL pues no cumple las condiciones de linealidad:

T(a +b)= T(a)+T(b)

T(ca) cT(a)


55

Si se requiriera componer una traslación con otras transformaciones, podría hacerse como con cualquier transformación una por una reemplazando los puntos de salida de la anterior en la entrada

de la siguiente con las ecuaciones anteriores. Sin embargo hemos visto que una composición es mucho más simple si las transformaciones son lineales TL, pues en este caso la composición es directamente en un solo paso el producto de las matrices de transformación.

Como se ve a continuación se puede expresar una traslación en un formato lineal 'x Ax , (aunque

esto no la transforma en una TL), agregando la ecuación 1 = 1 (equivale a introducir coordenadas

homogéneas). Este cambio eleva el orden de la matriz de transformación 2 2 a 3 3 .

Por sistema de funciones

'

'

1 1

x x h

y y k

' 1 0

' 0 1

1 1 0 0 1 1

x x h x

y T y k y

Por transformación de los versores

No es una TL. (Ver observación 1).

Por lo tanto:

1 0

0 1

0 0 1

h

T k

Observar que el valor absoluto del determinante de una traslación es 1 pues se preserva el área. Todas las transformaciones siguientes son TL con matrices de orden 2. Para componerlas con una

traslación en el formato lineal de orden 3, se deberán ampliar las matrices a 3 3 con una tercera fila

y tercera columna compuesta por ceros y con pivote 1 (equivale a pasar a coordenadas homogéneas).

Traslación de una función Para apreciar el efecto de la transformación sobre una función veamos por ejemplo una traslación h sobre la recta inclinada que es la diagonal del cuadrado unidad.

x x x t

y x y t

Las ecuaciones de transformación de esta recta son:

'

'

' '

x x h t h

y y t

y x h

Ecuación que puede verificarse en una gráfica.


1 Traslación


Observaciones 1. Los vectores transformados de los versores resultan:

' 1 0 1 1

' 0 1 0

1 0 0 1 1 1

' 1 0 0

' 0 1 1 1

1 0 0 1 1 1

x h h

y k k

x h h

y k k

los cuales son intuitivos. Sin embargo ya no son los vectores columna de T (no es una TL) pues incluyen la columna 3

2. El determinante es 1 como corresponde a una transformación que conserva el área. 3. La inversa de T solo cambia los signos de h y k.

Traslación de ejes

Transformación Alias Supongamos la siguiente transformación de P a P' en el sistema x-y.

'

'

x x h

y y k

Transformación Alibi La transformación anterior también puede producirse por una transformación inversa delos ejes x-y a X-Y. Los valores h y k serían los contrarios a los de Alias en x.y. Como medidos en X-Y son nuevamente

de sentido contrario, finalmente coinciden con los sentidos iniciales y se obtiene:

(1)X x h

Y y k

h, k se miden en X, Y

Esta es la ecuación a retener, semejante a la ecuación Alias. Despejando x, y (no usamos las palabras viejo o nuevo):

(2)x X h

y Y k

h, k se miden en X, Y

La forma (2) es la conveniente para reemplazar en una función pues h y k quedan medidos en el sistema X-Y en que queda escrita la ecuación. Estas son las fórmulas de cambio de ejes de referencia por traslación del capítulo de funciones.


57

2 Rotación

Es una transformación no deformable o congruente. En inglés rotate.

Dado un punto C del plano y un ángulo , se llama rotación de centro C y ángulo a la

transformación geométrica que asocia a cada punto P objeto del plano otro punto imagen P' de forma que se verifiquen:

( , ) ( , ')

'

d C P d C P

PCP

Es una TL. La matriz de transformación se simbolizará con R (de Rotación). Los ángulos se toman positivos por convención en sentido antihorario.

Rotación respecto del origen O Si C = O Rotar en E2 alrededor del origen es equivalente a rotar alrededor del eje z en E3.


No se verá. Por transformación de los versores

1 cos

0

0

1 cos

Tsen

senT

Demostración La primer columna de la matriz T es la imagen de (1, 0) y la segunda la imagen de (0, 1).

(1,0) '(cos , )

(0,1) '( ,cos )

P P sen

Q Q sen

En forma matricial:

' cos

' cosO

x x sen xR

y y sen y

Por lo tanto:

cos

cosO

senR

sen

Llamando C al coseno y S al seno:

'

'

x C S x

y S C y


2 Rotación


Por lo tanto:

O

C SR

S C

Observar que el valor absoluto del determinante de una rotación es 1 pues se preserva el área.

Ejemplo Rotar el siguiente rombo respecto del origen de coordenadas 30° en sentido antihorario.

0.5 0.13 1.23 0.87 0.866 0.5 0 1 2 1

0.87 2.23 1.87 0.5 0.5 0.866 1 2 1 0

Ejemplo Dado el rombo de la siguiente figura, efectuar una traslación según el vector (2,3)v seguida de

una rotación respecto del origen de coordenadas 30° en sentido antihorario.

1 0 2

0 1 3

0 0 1

T

0.866 0.5 0

0.5 0.866 0

0 0 1

R

0.866 0.5 0.23

0.5 0.866 3.6

0 0 1

R T

Realizar la multiplicación T R para verificar que el producto en este caso no es conmutativo (la

diferencia se presenta en la última columna).

0.866 0.5 0.23 0.27 0.1 1.46 1.1

' 0.5 0.866 3.6 4.46 5.83 5.46 4.1

0 0 1 1 1 1 1

x


59

Rotación de una función Para apreciar el efecto de la rotación sobre una función veamos por ejemplo una rotación de 45° de la recta inclinada que es diagonal del cuadrado unidad.

x t

y t


'

' 2

' 0

' 2

x t t

y t t t

x

y t u

Ecuación del eje y como puede verificarse en gráficamente.

Observaciones El determinante es 1 como corresponde a una transformación que conserva el área.

La inversa de R es igual a su transpuesta pues la matriz es ortogonal.

Rotación de ejes

Transformación Alias Es la siguiente transformación de P a P' en el sistema x-y.

'

'

x C S x

y S C y

Transformación Alibi La transformación anterior también puede producirse por una transformación inversa delos ejes x-y a X-Y.

El valor sería el contrario al de Alias en x.y. Pero como medido en X-Y es nuevamente de sentido

contrario, finalmente coincide con el sentido inicial y se obtiene:

(1)X C S x

Y S C y

se mide en X, Y

Esta es la ecuación a retener, semejante a la ecuación Alias. El valor se mide en X, Y (no usamos

las palabras viejo o nuevo).


2 Rotación


Despejando x, y:

(2)x C S X

y S C Y

se mide en X, Y

La forma (2) es la conveniente para reemplazar las variables en una función pues se mide en el

sistema X-Y en el que queda escrita la ecuación. Estas son las fórmulas de cambio de ejes de referencia por rotación del capítulo de funciones.

Rotación respecto de cualquier punto C

La siguiente transformación del plano deja fijo el sistema O(x, y) (transformación Alias). En forma equivalente se podría estudiar moviendo el sistema O(x, y) y dejando fijo el plano (transformación Alibi). http://arantxa.ii.uam.es/~pedro/graficos/teoria/Transformaciones2D/Transformaciones2D.htm La rotación de un objeto respecto de O implica que el sistema de ejes esté centrado en O.

Supongamos C ( , )c cx y y ángulo

1. Traslación del plano tal que C coincida con el origen O. Esto equivale a trasladar el punto C a O.

1 0

0 1

0 0 1

c

c

x

T y

2. Rotación alrededor de C = O

cos 0

cos 0

0 0 1

sen

R sen

3. Traslación inversa para dejar C en la posición original

1

1 0

0 1

0 0 1

c

c

x

T y

Transformación C final: 1C T RT

Observar la no conmutatividad pues 1T T I

1 0 cos 0 1 0

0 1 cos 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0

0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1

c c

c c

c c c c c

c c c c c

x sen x

y sen y

C S x x C S Cx Sy x

S C y y S C Sx Cy y

1

0 0 1

c c c

c c c

C S Cx Sy x

C T RT S C Sx Cy y

Esta combinación no es conmutativa. No pueden cambiarse los signos de las traslaciones.

http://arantxa.ii.uam.es/~pedro/graficos/teoria/Transformaciones2D/Transformaciones2D.htm


61

Las siguientes transformaciones se definirán respecto de los ejes de coordenadas o del origen de coordenadas. La generalización para cualquier recta o punto se hará luego en la sección

composiciones utilizando traslaciones y/o rotaciones.

3 Simetrías

Es una transformación no deformable o congruente.

En inglés reflect. Es una TL. Las simetrías o reflexiones en 2D pueden ser respecto de una recta o de un punto. La matriz de transformación se simbolizará con S (de Simetría) para diferenciarla de la R de rotación. Las inversas de las reflexiones básicas son inversas de sí mismas (iguales a su traspuesta y además

iguales a las originales).

1 Simetría axial

Dado una recta r del plano, se llama simetría axial respecto de la recta r a la transformación geométrica que asocia a cada punto P objeto del plano otro punto imagen P' de forma que se

verifique:

'r mediatrizPP

Simetría respecto del eje y


´

'

' 1 0

' 0 1y

x x

y y

x x xS

y y y


1 1

0 0

0 0

1 1

T

T

vectores columna de T

Por lo tanto:

1 0

0 1yS

Simetría respecto del eje x Por sistema de funciones


1 1

0 0

0 0

1 1

T

T



3 Simetrías


´

'

' 1 0

' 0 1x

x x

y y

x x xS

y y y

Por lo tanto:

1 0

0 1xS

2 Simetría central

Dado un punto C del plano, se llama simetría de centro C a la transformación geométrica que asocia a cada punto P objeto del plano otro punto imagen P' de forma que se verifique:

'P C PC

Simetría respecto del origen

Si C = O Por sistema de funciones

´

'

' 1 0

' 0 1O

x x

y y

x x xS

y y y


1 1

0 0

0 0

1 1

T

T


Por lo tanto:

1 0

0 1OS

Equivale a la composición de una reflexión en x y una reflexión en y en cualquier orden.

También es una rotación respecto de O con 180 .

Observar que el valor absoluto del determinante de una reflexión es 1 pues se preserva el área. Si el centro de reflexión no es O o la recta es cualquiera, la matriz es distinta y se verá luego en composición de transformaciones.

Simetría de una función Para apreciar el efecto de la rotación sobre una función veamos por ejemplo una simetría respecto del eje x de la recta inclinada que es diagonal del cuadrado unidad.

x t

y t


'

'

'

x t

y t

y x

Ecuación que puede verificarse gráficamente.


63

4 Estiramiento y Deslizamiento

Aquí comienzan las transformaciones deformables que transforman el cuadrado elemental en un paralelogramo. Contienen factores numéricos por los cuales se multiplican a las variables. Si bien en la rotación se multiplica a cada variable con un factor numérico, este es una función particular de un ángulo. En esta sección los factores numéricos son arbitrarios y el efecto es en general cambiar la escala o deformar. Es una TL.

Como en todos los casos se puede visualizar el efecto observando la transformación de un cuadrado elemental construido con los versores.

1 Estiramiento o escalado

Conserva los ángulos pero no las distancias.

El cuadrado elemental se transforma en un rectángulo. En inglés stretch.

Estiramiento de factor a en la dirección del eje x Dados un número 0k llamado factor de escala, se llama estiramiento o escalado de factor k

en la dirección x a la transformación geométrica que asocia a cada punto P objeto del plano otro punto imagen P' de forma que se verifique:

'

'

P P

P P

x kx

y y

La coordenada x varía en forma proporcional a sí misma.


'

'

' 0

' 0 1x

x kx

y y

x x k xE

y y y


1

0 0

0 0

1 1

x

x

kE

E


Por lo tanto:

0

0 1x

kE

Sentidos En el producto de la ecuación del estiramiento se combinan los signos de la distancia y del factor.

La distancia se considera positiva hacia arriba o a la derecha del eje como de costumbre.

El factor con su signo multiplica esta distancia y el resultado del producto determina hacia donde se realiza el estiramiento con los sentidos habituales medidos respecto del eje.

En la figura siguiente se muestra un estiramiento del cuadrado elemental con el objeto a la derecha

del eje y con 3k




Observar en la matriz que k indica un deslizamiento en la dirección x en función de x. Reemplaza

a un 0 de la matriz unidad. El determinante deja de ser 1 pues no se preserva el área en el escalado. Para evitar que el objeto se traslade, como la imagen del origen de coordenadas es el mismo origen, se hace que un vértice o cualquier otro punto (su centro por ejemplo) coincida con el origen de coordenadas, con lo cual permanecerá fijo.

Estiramiento de factor k en la dirección del eje y Análogamente:

1 0

0yE

k

Observar que la posición de k indica un deslizamiento en la dirección y en función de y.

Estiramiento compuesto Contiene factores a,b en las direcciones de los ejes x,y Variando ambas coordenadas:

'

'

P P

P P

x ax

y by

Tiene un factor de escala para cada variable. Cada coordenada varía en forma proporcional a sí misma. Por lo tanto:

0

0

aE

b

GeoGebra Se puede elegir cualquier recta como referencia. El factor multiplica siempre a la distancia entre el punto y la recta. Para realizar el cálculo analítico si se elige una recta paralela a los ejes (no coincidente), realizar la siguiente composición: 1. Traslación de la recta al eje 2. Estiramiento respecto del eje con factor k 3. Deshacer la traslación

Homotecia

También llamada proporcionalidad y semejanza. En inglés dilate o enlarge. Transforma el cuadrado elemental en un cuadrado proporcional.

Dado un punto C del plano y un número 0k , se llama homotecia de centro C y razón k a la

transformación geométrica que asocia a cada punto P objeto del plano otro punto imagen P' de forma que se verifique:

'P C kPC

La homotecia es una transformación semejante pues los lados son proporcionales y los ángulos congruentes. Observar que el centro se encuentra siempre en la intersección de dos rectas cualesquiera que unan un punto objeto con su imagen.


65

Se puede verificar con GeoGebra que arrastrando el centro de homotecia C no cambia la escala de la figura imagen. Solo se traslada la imagen para ubicarse en la posición que cumpla la

proporcionalidad entre los segmentos del rayo que una el centro, un punto objeto y su punto imagen:

'CA kCA .

La homotecia se llama también perspectiva cónica o central con el punto de fuga coincidente con el centro. http://www.Geogebra.org/m/1113035

Homotecia = Estirado compuesto con factor k Se demostrará que una homotecia se modela con un estirado compuesto con igual factor k. Comenzamos con C = O, luego extenderemos para cualquier punto C en la sección Generalizaciones.

En este caso resulta:

0 1 0

0 0 1

kH k

k

En definitiva es la matriz Identidad I multiplicada por el factor de escala. Por lo tanto para componer con otra transformación bastará con multiplicar escalarmente la matriz por el factor de escala pues el producto por I es invariable. Cada coordenada varía en forma proporcional a sí misma, en el mismo semiplano respecto del centro si el factor de escala es positivo y en sentido opuesto, si es negativo.

En la figura siguiente se muestra una homotecia con centro en el origen de 3k para el cuadrado

elemental con el objeto a la derecha del eje y.

Sentidos Además de los generales para un estirado ahora se cumple que:

Si 0k , la imagen queda del mismo lado que el objeto respecto del centro C.

Si 0k , la imagen queda del otro lado que el objeto respecto del centro C.

Se utiliza para dibujar figuras a escala. El determinante deja de ser 1 pues no se preserva el área en el escalado.

http://www.geogebra.org/m/1113035




Demostraciones

Proporcionalidad entre lados Por teorema de Pitágoras =>

2 2

2 2 2 2

( ) ( )

' ' ( ) ( ) ( ) ( )

AB p m q n

A B kp km kq kn k p m q n kAB

=> Todos los lados son proporcionales. El factor de proporcionalidad se llama factor de escala.

Proporcionalidad entre rayos 2 2

2 2 2 2' ( ) ( )

OA m n

OA km kn k m n kOA

=> Todos los rayos son proporcionales.

Semejanza entre ángulos Por pendiente de las rectas =>

' '

AC

A C AC

s nM

p m

ks kn s nM M

kp km p m

=> Todas las pendientes son iguales.

Centro de homotecia Como también:

'

'

OA OA

OB OB

M M

M M

O debe ser único y debe estar en la intersección de todos los rayos.

Observar que:

Sí 1k , se obtiene una reflexión respecto del origen.

La inversa de una homotecia es inversa de sí misma (igual a su traspuesta y además igual a la original).

Centro C Si el centro es un punto C distinto del origen, deberá realizarse una composición (ver composiciones más adelante) que comprende una traslación del plano desde C a O.


67

Homotecia de una función Para apreciar el efecto de la rotación sobre una función veamos por ejemplo una homotecia con centro en O y k = 2 de la recta inclinada que es diagonal del cuadrado unidad.

x t

y t


'

'

' '

x kt

y kt

y x

Ecuación de la misma recta pues solo cambia la escala.

2 Deslizamiento, Cizallamiento, Corte o Sesgo

No conserva los ángulos pero sí el paralelismo entre rectas. El cuadrado elemental se transforma en un paralelogramo. En inglés shear. Es una TL.

Estiramiento vs deslizamiento En la figura se muestra el efecto de un estiramiento vs un deslizamiento., ambos provocados por una distancia y que varía en ky respecto de una recta x. El estiramiento se produce en dirección perpendicular a la recta x en cambio el deslizamiento se produce en dirección paralela a la recta x.

Deslizamiento de factor k en la dirección del eje x Ambas coordenadas varían en forma proporcional a la otra. No mantiene los ángulos, aunque sí las rectas y el paralelismo.

Dado un número 0k , se llama deslizamiento de factor k en la dirección del eje x a la

transformación geométrica que asocia a cada punto P objeto del plano otro punto imagen P' de forma que se verifique:

Cuanto mayor es y, más alejado está en x


'

'

' 1

' 0 1x

x x ky

y y

x x k xD

y y y


1 1

0 0

0

1 1

x

x

D

kD


Por lo tanto:




1 0

1xD

k

Observar que la posición de k reemplaza a un 0 e indica un deslizamiento en la dirección x en

función de y. Como el determinante es 1, se preserva el área, lo cual sucede en todos los deslizamientos.

Sentidos En el producto de la ecuación del deslizamiento se combinan los signos de la distancia y del factor.

La distancia para el deslizamiento x se considera positiva hacia arriba y hacia la derecha de la

recta como de costumbre.

El factor con su signo multiplica siempre a la distancia entre el punto y la recta y el resultado del producto entre el factor y la distancia determina hacia donde se realiza el estiramiento con los sentidos habituales medidos respecto de la recta.

Así por ejemplo:

para un deslizamiento x, si el cuerpo se encuentra arriba del eje x siendo k>0, el producto de ky

será positivo y por lo tanto se deslizará en el sentido positivo de las x, es decir hacia la derecha.

para un deslizamiento y, si el cuerpo se encuentra a la derecha del eje y siendo k>0, el producto

kx será positivo y por lo tanto se deslizará en el sentido de positivo de las y, es decir hacia

arriba.

Ejemplos Deslizamiento x con 2k

Deslizamiento y con 2k

Nota El cambio del signo adoptado por GeoGebra para el caso del deslizamiento en y es contrario al adoptado aquí.


69

Esto se vincula con el cambio de signo que se requiere para que la transformación sea analítica (página 71). Por lo tanto si se usa GeoGebra como asistente del cálculo, se debe cambiar el signo del

factor k en la matriz de transformación de un deslizamiento y.

Deslizamiento de factor k en la dirección del eje y Análogamente:

1 0

1yD

k

Observar que la posición de k en un cero de la matriz indica un deslizamiento en la dirección x en

función de y.

Sentido Similar al caso anterior.

Transformación de una recta AB Convirtiendo las coordenadas de cada punto con las ecuaciones respectivas del sistema es fácil

demostrar que (si a=b=k):

Deslizamiento compuesto Contiene 2 factores a,b en ambas coordenadas:


'

'

' 1

' 1

x x ay

y y bx

x x a xD

y y b y


1 1

0

0

1 1

Db

aD


Por lo tanto:

1

1

aD

b

A diferencia de lo que ocurría en el estiramiento, la composición de un deslizamiento en x y luego en y (o viceversa) no es equivalente al de un deslizamiento compuesto:

1 1 0 1*

0 1 1 1

a ab a

b b

Por ejemplo para a = 2 y b = 1, resulta:




El deslizamiento compuesto no se basa en una recta como referencia y no se encuentra implementado en GeoGebra.

GeoGebra Se puede elegir cualquier recta como referencia. El factor multiplica siempre a la distancia entre el punto y la recta. El cálculo analítico se puede realizar con composiciones. A modo de ejemplo se presentan algunos casos.

Recta paralela a los ejes (no coincidente con él) 1. Traslación de la recta al eje

2. Estiramiento respecto del eje con factor k 3. Deshacer la traslación

Recta inclinada por el origen 1. Rotación de la recta a un eje 2. Estiramiento respecto del eje con factor k

3. Deshacer la rotación Observar que en este caso al hacer la rotación el cuadrado elemental se inclina por lo cual la el paralelogramo de la imagen final adquiere un aspecto como el de la figura para una recta inclinada 30° y k = 2.

Deslizamiento de una función Para apreciar el efecto de la transformación sobre una función veamos por ejemplo un cizallamiento en la dirección x de la recta vertical:

1x

y y

Las ecuaciones de la transformación de esta recta son:

' 1

'

' 1'

x ay

y y

xy

a

Ecuación que puede verificarse en la gráfica:

1

' ' 1y xa


71

Resumen

Traslación y Rotación

1 0

0 1

0 0 1

h

T k

O

C SR

S C

Simetría respecto de los ejes x e y En las 4 transformaciones siguientes prestar atención al único elemento de la matriz que difiere de la

matriz Identidad.

En la simetría respecto del eje y contiene el 1 en la fila de x' en la x. (respecto de y => todo sucede en x)

En la simetría respecto del eje x contiene el 1 en la fila de y' en la y (respecto de x => todo sucede en y).

1 0

0 1yS

1 0

0 1xS

La reflexión respecto del origen es la combinación de una simetría respecto del eje x con otra del eje y.

1 0

0 1OS

Estiramiento y deslizamiento en las direcciones x e y El estiramiento en la dirección x contiene el factor k reemplazando un 1 en la fila que estira en la

dirección x' en función del valor de x

El deslizamiento en la dirección x contiene el factor k reemplazando un 0 en la fila que desliza en

la dirección x' en función del valor de y.

0

0 1x

kE

1

0 1x

kD

La Homotecia es un caso particular del Escalado.

Nota Observar que las matrices: simetría axial (x o y), escalado (x o y) y cizallamiento (x o y), son matrices unidad con solo uno de sus elementos (0 o 1) distinto de cero. Estas matrices junto con la simetría respecto de la recta y=x que se verá luego, se utilizarán en la página 77 para descomponer cualquier matriz en la composición de una reflexión, escalado y/o cizallamiento.

Funciones analíticas

Si se expresan las transformaciones en el plano complejo, con:

, 'x z x w :

algunas transformaciones son analíticas, esto es, cumplen con las condiciones de Cauchy-Riemann. Las funciones analíticas puede expresarse de la forma:

( )w f z

Esto implica en forma gráfica, que el vector 'x tiene una relación analítica con el vector x .

Estas transformaciones son las siguientes, con la función analítica correspondiente:

Traslación 'w z c x x c

Consiste en la suma vectorial del vector objeto con el vector traslación.


Composiciones


Rotación

'i iw ze x xe

Consiste en la rotación del vector objeto un ángulo .

Simetría central 'w z x x

Consiste en el vector opuesto al vector objeto.

Homotecia 'w kz x kx

Consiste en el escalamiento k en la dirección del vector objeto.

Deslizamiento Solo si un factor k para una variable es igual y de signo contrario al del otro factor.

'

'

x x ky

y y kx

Los signos podrían también ser al revés. Operando resulta:

'w z ikz x x ikx

Consiste en la resta del vector objeto de un vector a 90° escalado por k.

Composiciones

Conmutatividad Algunas composiciones son conmutativas, pero en general no lo son.

Las combinaciones tomadas de a 2 con repetición de: T R S E son 10: TT, RR, SS, EE, TR, TS, TE, RS, RE, SE

Son conmutativas

Traslación Traslación Se obtiene la suma de las traslaciones

Rotación Rotación Si tienen igual centro. Se obtiene la suma de las rotaciones

Simetría Simetría Solo reflexiones con el mismo centro. La composición de 2 reflexiones no es una reflexión:

Traslación = dos reflexiones de ejes paralelos Rotación = dos reflexiones de ejes no paralelos

Respecto de los ejes x, y es conmutativa


73

Estiramiento Estiramiento Solo estiramientos con el mismo centro.

Es conmutativa Produce la multiplicación de las escalas.

Rotación Simetría

Rotación Estiramiento Es conmutativa para la reflexión respecto de los ejes.

Simetría Estiramiento La conmutatividad depende. Las reflexiones respecto de los ejes x, y o el origen combinados con un escalado, cambian los 1 por el factor de escala correspondiente y son conmutativas. Las reflexiones respecto de las rectas y = x o y = -x con un escalado, cambian los 1 por uno de los

factores de escala dependiendo del orden, por lo cual no son conmutativas.

Ejemplo Combinación de una simetría respecto del origen y un estiramiento.

0 01 0

0 00 1

0 01 0

0 00 1

x x

y y

x x

y y

S SRE

S S

S SER

S S

Observar que una escala negativa equivale a un estiramiento y a una simetría. Dado el triángulo PQR realizar una reflexión alrededor del eje y. Además aumentar por un factor k = 2 en y. Dibujar ambos triángulos.

P(3, 2) Q(-3, 2) R(3, -2)

1 0 3 3'

0 2 2 41 1

0 0 1 0 1 0 3 3'

0 2 0 2 2 40 0

1 2 1 0 3 3'

0 2 2 4

P

T

T Q

T

R

R: P'(-3, 4), Q'(3, 4), R'(-3, -4)


Composiciones


No son conmutativas Todas las que involucran la traslación excepto consigo misma.

Rototraslación No es conmutativa. Las traslaciones y rotaciones estructuradas con la lci composición forman grupo no conmutativo.

Traslación Simetría

Traslación Estiramiento

Asociatividad Todas son asociativas, por lo cual una vez planteados los productos se pueden asociar de cualquier forma.

Generalizaciones

Extenderemos ahora las transformaciones para cualquier punto o recta utilizando traslaciones y/o rotaciones. Las siguientes transformaciones del plano dejan fijo el sistema O(x, y) (transformación Alias). En forma equivalente se podrían estudiar moviendo el sistema O(x, y) y dejando fijo el plano (transformación Alibi). En forma equivalente se podría estudiar moviendo el sistema O(x, y) y dejando fijo el plano (transformación Alibi). La generalización de la rotación ya se realizó en la sección rotación.

1 Reflexión respecto de cualquier punto C Se traslada el punto C a O, luego se halla la simetría respecto del origen y luego se realiza la traslación inversa.

Por lo tanto:

1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0 2

0 1 0 1 0 1 2

0 0 1 0 0 1 0 0 1

c c

c c

c c c

c c c

x x

y y

x x x

y y y


75

1 0 2

0 1 2

0 0 1

c

C C O C c

x

S T S T y

2 Homotecia respecto de cualquier punto C Análogamente, la transformación C final es:

1C T HT

1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 (1 )

0 0 1 0 (1 )

0 0 1 0 0 1 0 0 1

c c

c c

c c c

c c c

x k x

y k y

k x x k x k

k y y k y k

1

0 (1 )

0 (1 )

0 0 1

c

c

k x k

C T HT k y k

Cambiando el centro varia la ubicación de la imagen pero no se altera la forma en tanto no se varíe la escala. Comprobarlo con GeoGebra creando un cursor, por ejemplo m, un punto al que luego se le

cambia sus coordenadas (doble clic) por alguna operación con el cursor, por ejemplo ( ,1/ )m m para

que se mueva sobre una hipérbola o ( ,sin( ))m m para que se mueva sobre una sinusoide. Luego

crear una homotecia sobre ese punto y arrastrar el cursor (centro de homotecia) con el mouse.

3 Reflexión respecto de una recta que pase por el origen O http://arantxa.ii.uam.es/~pedro/graficos/teoria/Transformaciones2D/Transformaciones2D.htm

Sea la recta tan y x .

Rotamos la recta (y todo el plano) un ángulo respecto del origen para llevarla al eje x,

reflejamos respecto del eje x y finalmente rotamos la recta a su posición original. Sea p' el punto a transformar respecto de l'. 1. p' y l' rotan juntos llegando a p'' y l''. 2. p''' es la reflexión respecto del eje x de pii

. 3. liii y piii rotan juntos llegando a liv y piv. Este punto es la reflexión pedida.

cos

cos

senR

sen

1 0

0 1xS

1cos

cos

senR

sen

Realizando el producto final:

http://arantxa.ii.uam.es/~pedro/graficos/teoria/Transformaciones2D/Transformaciones2D.htm


Composiciones


1cos2 2

2 cos2x

senC R S R

sen

Esta matriz podría haberse obtenido por geometría como puede verse en la figura siguiente para el transformado del versor P(1, 0). Si se dibuja el versor (0, 1) se obtiene la otra columna.

Reflexión respecto de rectas a 45° Es la recta y x (o y x ).

Rotamos la recta (y todo el plano) un ángulo 45 respecto del origen para llevarla al eje x,

reflejamos respecto del eje x y finalmente rotamos la recta a su posición original. Esta operación da

como resultado:

10 1

1 0xC R S R

Contienen los 1 en la diagonal no principal. Análogamente:

0 1

1 0y xS

Estas transformaciones podrían haberse obtenido directamente:


´

'

' 0 1

' 1 0y x

x y

y x

x x xS

y y y


1 0

0 1

0 1

1 0

T

T


Por lo tanto:

0 1

1 0y xS


´

'

' 0 1

' 1 0y x

x y

y x

x x xS

y y y


1 0

0 1

0 1

1 0

T

T


Por lo tanto:


77

0 1

1 0y xS

4 Reflexión respecto de una recta cualquiera Sea la recta genética tan y x b

Combinar sucesivamente una traslación b seguida de una rotación , seguida de una reflexión

respecto del eje x, seguida de una rotación finalizando con una traslación b .

Se deja la obtención de la matriz para un ejercicio de la práctica.

5 Estiramiento o Deslizamiento respecto de una recta cualquiera Si el estiramiento o deslizamiento no es respecto de los ejes sino respecto de una recta cualquiera, se deberá llevar la recta a un eje x o y, estirar o deslizar y finalmente deshacer las transformaciones iniciales previas al estiramiento o deslizamiento.

Descomposiciones

Anton. Algebra with applications Una OL con matriz invertible (¿de orden 2?) se puede descomponer en:

simetría axial (x, y, y=x),

estiramiento (x o y) y/o

deslizamiento (x o y). Como vimos en la página 71, el problema se traduce en descomponer una matriz en el producto de matrices unidad con solo uno de sus elementos (0 o 1) distinto de cero.

Demostración Como T tiene inversa se puede reducir a la matriz Identidad por una sucesión elemental de operaciones filas (método de Gauss Jordán, transformado los pivotes en 1 y logrando los ceros columna por columna). Estas operaciones se pueden obtener también premultiplicando a la matriz dada T por matrices

adecuadas iE que veremos luego. Por lo tanto:

2 1...kE E E T I

Despejando T, se tiene:

1 2... kT E E E I

En definitiva se obtiene lo que se quería demostrar: 1 1 1

1 2 ... kT E E E

Se puede lograr que estas matrices iE sean matrices unidad con solo uno de sus elementos (0 o 1)

distinto de cero con las siguientes equivalencias. Luego las matrices inversas también lo serán por lo visto en la página 30.

1 Matriz elemental

( )CL CL CLA IA I A

La matriz Identidad I a la que se le ha aplicado una CL se llama matriz elemental E CL I E

=> la matriz elemental E transforma la CL a una matriz A en una multiplicación EA. Ejemplo: La CL,

2 1 2

CLF aF bF premultiplicar A por 2

1 0F

Ea b


Descomposiciones


2 Otras equivalencias Luego se puede expresar la matriz elemental en estiramientos, deslizamientos y simetrías con:

1 0 1 0 1 0

1 0a b a b

= estiramiento b en y seguido por deslizamiento a en y

0 1

1 0

= simetría respecto de la recta y = x.

A3 Grafos

79

A3 Grafos

Algebra y matemática discreta Aledo Sánchez https://books.google.com.ar/books?id=FZFFCQAAQBAJ&pg=PA80&lpg=PA80&dq=arbol+grafo+plano&source=bl&ots=_fFiB6NbM6&sig=-xxV7oxDdC4PMuEBR927B19oQvI&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwj6yPb1k-nKAhVDF5AKHSDGDT84ChDoAQg7MAY#v=onepage&q=arbol%20grafo%20plano&f=false

En este capítulo veremos una aplicación de las matrices a la topología (disciplina en la que no interesan las formas de las figuras sino las conexiones).

I Grafos

Relaciones

Los grafos son una posible representación gráfica de relaciones entre elementos de un conjunto. Cada grafo tiene asociada como representación analítica una matriz Un grafo es un conjunto de puntos llamados nodos (vértices o puntos) conectados por líneas llamadas ramas (arcos o aristas). Los espacios delimitados por las ramas se llaman regiones (mallas o caras). El nombre que se les dé depende en general de la aplicación o uso del grafo. N: número de nodos R: número de ramas

M: número de mallas

Ejemplos

1 Puentes de Konigsberg En la ciudad de Konigsberg existian 7 puentes y los vecinos jugaban a saber si podía realizarse un paseo que recorriera todos los puentes sin pasar 2 veces por el mismo puente (esto se llama sendero cíclico). En la figura siguiente los puentes se grafican como ramas (líneas). Euler demostró que no era posible lo cual originó la teoría de los grafos.

https://books.google.com.ar/books?id=FZFFCQAAQBAJ&pg=PA80&lpg=PA80&dq=arbol+grafo+plano&source=bl&ots=_fFiB6NbM6&sig=-xxV7oxDdC4PMuEBR927B19oQvI&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwj6yPb1k-nKAhVDF5AKHSDGDT84ChDoAQg7MAY#v=onepage&q=arbol%20grafo%20plano&f=false




A3 Grafos

I Grafos


2 Agua, Luz y Gas ¿Se pueden alimentar 3 casas con L, G y A sin cruzar sus conexiones?

3 Facebook, Twitter o Google + Son grafos sociales (Usar Netvizz para descargar la aplicación y editarla con Gephi para graficar el grafo de tu Facebook).

4 Redes Grafos dirigidos (ramas con flechas) con pesos en las ramas.

Pesos

Cada rama o nodo pueden o no tener un valor numérico llamado peso, el cual según el tipo de problema, tendrá distinta interpretación:

A3 Grafos

81

Peso de una rama Puede expresar distancia entre nodos, tiempo de recorrido, flujo de un líquido, cantidad de negocios, etc. En los problemas más complejos se agregan además las capacidades mínimas y máximas de transporte de cada rama (por ejemplo en electricidad).

Peso de un nodo Puede expresar el transporte de material con nodos fuentes (+a) y nodos sumideros (-b).

Ramas orientadas y no orientadas

Orientados o dirigidos o digrafos Cada rama tiene un sentido o ambos.

No orientados o no dirigidos Las ramas no tienen un sentido determinado, indican conexión en ambos sentidos. En realidad, no existen dos especies de grafos, orientados y no orientados, sino que todos los grafos son orientados, pues los no orientados pueden considerarse con el doble sentido de las flechas.

Esto transforma cualquier grafo no dirigido en un grafo dirigido.

Grado

Grado de un nodo Es el máximo número de ramas concurrentes a un nodo. En un digrafo, podemos distinguir con distinto signo al el grado saliente (el número de aristas que dejan el vértice) del grado entrante (el número de aristas que entran en un vértice). El grado de un vértice sería la suma algebraica de ambos números.

Valencia de un grafo Es la suma de los grados de sus nodos.

Grado de una región Es el número de ramas de su contorno.

Tipos de grafos

Plano Un grafo se dice plano si admite una representación gráfica en el plano de modo que dos aristas pueden cortarse únicamente en un vértice.

Conexo Todos los nodos están conectados entre sí.

Simple No tiene lazos ni ramas paralelas.

Multigrafo Admite aristas paralelas y lazos

Regular Todas las ramas tienen igual grado.

A3 Grafos

I Grafos


Este grafo es regular pero no completo (ver punto siguiente).

Completo KN

En inglés clique.

El término proviene de la palabra inglesa clique, que define a un grupo de personas que comparten intereses en común. Tiene una arista entre cada par de N vértices. Grafo simple con todos los nodos unidos por ramas. Del análisis combinatorio se puede obtener:

( 1)

2

N NR

Consecuencia Un grafo completo es regular de grado 1N para todos los nodos.

Ruta, Camino y Sendero

Ruta o Trayectoria Sucesión continua de k ramas

Longitud k Es el número k de aristas.

Circuito Comienza y termina en el mismo nodo.

Hamilton y Euler

Son rutas específicas. Ninguna de ellas pasa 2 veces por la misma rama. Camino: Walking Sendero: Trail

Camino de Hamilton No pasa 2 veces por el mismo nodo (=> tampoco por la misma rama). Al no pasar por el mismo nodo no pueden generar un ciclo.

A3 Grafos

83

Camino de Euler Puede pasar por el mismo nodo y generar ciclos.

Ejemplo Determinar los caminos de Hamilton y de Euler en el siguiente grafo.

Caminos de Hamilton: 7

(a, b, c, f) (a, d, e, f) (a, b, c, e, f) (a, d, e, b, c, f) (a, b, e, f) (a, d, e, c, f) (a, b, e, c, f)

Caminos de Euler: 9

Los 7 caminos de Hamilton más: (a, d, e, b, c, e, f) y (a, d, e, c, b, e, f)

Teoremas de grafos

1 Suma de grados de un grafo no dirigido

Multigrafo. La valencia o suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristas.

2G R

Al realizar la suma de los grados de todos los vértices, cada arista tiene 2 extremos y por lo tanto se cuenta exactamente 2 veces. Por tanto la suma de los grados de los vértices es igual al doble del

número de aristas.

Corolarios La suma de los grados de los vértices debe ser par.

Como la suma de los grados pares es par: la suma de los grados de los vértices impares debe ser par

2 Ciclo Euleriano

Multigrafo. Para que exista un sendero de Euler cíclico (vuelve al nodo inicial) debe ser:

Ciclo Euleriano Todos los nodos deben ser pares. La propiedad del grado par, significa que siempre podemos abandonar cada vértice al que entramos. Si algún nodo fuera impar, al transitar por el último puente (impar) de ese nodo, no podríamos salir

de ese nodo.

Ciclo semieuleriano Lo anterior es válido excepto para dos puntos del grafo: aquellos donde se inicia y donde se acaba el

recorrido, que han de tener orden impar (además deben ser 0, 2, … por teorema anterior). Si el vértice donde se inicia y se acaba son el mismo entonces todos los vértices han de ser de orden par.

A3 Grafos

Teoremas de grafos


Puentes de Konigsberg Recordemos que eran 7 puentes (ramas) y los vecinos jugaban a saber si podía realizarse un paseo

que recorriera todos los puentes sin pasar 2 veces por el mismo puente (esto se llama sendero cíclico). Euler demostró que no pues para esto todos los nodos debían ser pares (iguales entradas que salidas para que se pueda entrar y salir por aristas distintas) excepto para dos puntos del grafo: aquellos donde se inicia y donde se acaba el recorrido, que han de tener orden impar. Si el vértice donde se inicia y se acaba son el mismo entonces todos los vértices han de ser de orden par. Dado que todos los nodos de Konigsberg son impares (grado 3), no existe solución.

4 Grafos planos

Dos aristas pueden únicamente cortarse en un nodo.

1 Fórmula de Euler Multigrafo plano conexo.

2M N R

La cara exterior debe contarse dentro de M.

2 Teorema de Kuratowski Grafo plano Un grafo es plano si no contienen ni al grafo K5 ni al grafo K 3,3.

Algoritmo más fácil En la práctica, es difícil usar el teorema de Kuratowski para decidir rápidamente si un grafo es plano. Se utiliza la siguiente expresión por mayor simplicidad:

Si G es un grafo plano con n ≥ 3 vértices, entonces

3 6R N

3 Teorema de la Curva de Jordán Grafo plano. Una curva cerrada C divide al plano en una parte externa y una parte interna. Si unimos un punto P del interior con uno Q del exterior con una curva l, entonces L corta a C.

A3 Grafos

85

Agua, Luz y Gas Tres 3 casas deben alimentarse de L, G y A sin cruzar sus conexiones.

No tiene solución pues si se unen en secuencia los 6 puntos se forma una curva cerrada C que define 2 regiones una interna y otra externa. Como además solo restan 3 uniones que unen los 6 nodos de a 2 en forma alternada, una unión quedará en una región, otra en la otra región y la tercera deberá cruzar a C.

4 Poliedros platónicos Grafo plano regular. Se demuestra que existen solo 5 grafos regulares: Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro.

5 Teorema de los 4 colores Grafo plano. Cualquier grafo plano se puede colorear tal que dos caras con arista común le correspondan colores

distintos, con solo 4 colores.

Árbol

Son un subconjunto de los grafos planos.

Es un subgrafo de un grafo plano conexo no dirigido tal que:

es conexo (si se elimina una rama deja de serlo)

no tiene ciclos, no se vuelve a ningún nodo (si se agrega una rama se forma un ciclo)

Corolarios Al no tener ciclos es plano pues no hay necesidad de cruzar las ramas.

Si a, b son vértices de un árbol, entonces hay un camino único que conecta estos vértices (no

tiene ramas paralelas), pues si hubiera más de un camino que conecta dos vértices se podría formar un ciclo (recordar que es no dirigido).

Un grafo dirigido da origen a un árbol dirigido si se convierte en árbol al ignorar las direcciones.

Bosque Conjunto de árboles no conectados entre sí. Es un grafo sin ciclos (si es conexo, será un árbol, si no lo es, sus componentes conexas serán árboles).

A3 Grafos

Árbol


Árbol recubridor o de expansión

Contiene todos los nodos (árbol abarcador) del grafo. Todo grafo conexo tiene un árbol recubridor pero puede haber más de un árbol recubridor posible. El árbol recubridor mínimo será el de menos coste.

Algoritmo de Prim https://www.youtube.com/watch?v=O8XEOz8FCDQ

Árbol con raíz o arborescencia

Árbol no orientado en el que todas las aristas se alejan del nodo raíz en un esquema de hijos y padres.

Todo árbol se puede considerar con raíz con tal de elegir un nodo cualquiera como tal. Esto hace que se transforme en un árbol dirigido pues al existir una raíz se le puede asignar una dirección a cada arco la cual está presente a pesar de que no se dibuje. La manera standard de dibujar un árbol con raíz es colocando la raíz arriba o a la izquierda de la figura. Por lo tanto no se distingue un árbol no orientado de un árbol con raíz.

Ejemplos Árbol genealógico. Organigrama.

Ejemplo A partir de un grafo comenzar por cualquier nodo y recorrerlo hasta donde no se pueda seguir sin ciclos. Repetir con otro nodo considerado como raíz.

Grafo Raíz en el nodo 1 Raíz en el nodo 4

Definiciones

Nodo Raíz No tiene padres.

https://www.youtube.com/watch?v=O8XEOz8FCDQ

A3 Grafos

87

Nodo Hoja Nodo sin hijos. Son nodos terminales.

Nodos intermedios Tienen siempre un solo padre.

Nivel de un nodo Longitud del camino desde la raíz hasta el nodo.

Altura del árbol Nivel máximo hasta una hoja.

Árbol binario Todos los nodos con solo 2 hijos, importantes en computación.

Teoremas de árboles

1 Vértices y aristas

Un árbol con N vértices tiene N-1 aristas.

1R N

Como en todo grafo plano 2G R , se tiene que en un árbol:

2 2 2G R N

Corolario Como los nodos intermedios deben tener grados mayores o iguales a 2 (rama entrante y rama saliente), debe haber al menos 2 nodos de grado 1 o colgantes (solo dos colgantes si todos los intermedios fueran de grado 2).

2 Árboles recubridores

Un grafo completo KN con N vértices tiene: 2NN

árboles recubridores

Ejemplo 3 nodos => 3 árboles recubridores

Si el conjunto de vértices es {1, 2, 3}, basta con decidir que símbolo va, por ejemplo, en la posición central (cuál es el vértice de grado 2). Esto se puede hacer de tres formas distintas, así que hay 3 árboles distintos con vértices {1, 2, 3}. 4 nodos => 16 árboles recubridores

Ver Arboles.pdf:

4 *

12*

A3 Grafos

II Matriz


Obviamente, árboles diferentes tendrán un peso total (suma de los pesos de las ramas) diferente, alguno de ellos será el árbol de peso mínimo y otro de peso máximo.

II Matriz

Cada grafo tiene una matriz asociada. Existen 2 tipos de matrices, una indica en sus celdas, la cantidad o frecuencia de conexiones entre

nodos y la otra el valor numérico o peso de cada conexión, el cual se corresponde con una variable adicional. Estas matrices se llaman: 1. Matriz de frecuencias 2. Matriz de pesos

1 Matriz de Frecuencias

Se pueden asociar distintos tipos de matrices: nodo-nodo, nodo-rama, rama-rama, nodo-región, rama-región, etc.

Ejemplo Nodo – Rama

En este caso la matriz se llama de incidencias. Grafo no orientado

Se coloca un 1 en todas las ramas que conectan al nodo.

La matriz es booleana. Grafo orientado

Es necesario colocar un signo. Por ejemplo, si la rama sale se coloca +1, si entra -1. El signo negativo implica que la matriz no es booleana.

Matriz de adyacencias Corresponde a la matriz nodo – nodo y es el único caso que trabajaremos. Esta matriz contiene la cantidad o frecuencia de conexiones entre los nodos. Observar que una matriz entre nodos implica que cada elemento implica un orden ente los nodos de

fila y de columna ( , )desde hasta . Adoptaremos por convención desde la fila hacia la columna

A3 Grafos

89

Grafo no orientado

Si no existen ramas paralelas la matriz es booleana.

Si el grafo no es orientado la matriz es simétrica pues si el nodo a está conectado con el nodo B, entonces el nodo b lo está con el nodo a (equivale a una doble flecha). Grafo orientado

Si no existen ramas paralelas la matriz es booleana. Solo si todos las ramas tienen ambos sentidos, la matriz es simétrica.

Traspuesta Contiene todas las ramas invertidas respecto de la original.

2 Matriz de Pesos

Naturalmente la matriz no es booleana. Cada cruce de nodos contiene el peso de cada rama (no la cantidad de ramas con en la matriz de frecuencias).

Operaciones

Existen muchas situaciones que se resuelven por operación entre las matrices. La operación adecuada a cada caso deberá ser investigada por el usuario como se muestra en los siguientes ejemplos.

A Matriz de Frecuencias

Solo trabajaremos con (nodo – nodo), es decir con la matriz de adyacencias la cual es booleana.

1 Operación Elemento a elemento Informa acerca de conexiones simultáneas.

2 Operación Producto Informa acerca de conexiones sucesivas.

A3 Grafos

A Matriz de Frecuencias


1 Elemento a elemento

Se podrían aplicar cualquiera de las operaciones booleanas o decimales, en función de lo que se busque. Veamos las principales aplicaciones.

Grafo Supongamos 2 grafos orientados entre los mismos nodos. Podría indicar conexiones de Tren T y Bus B.

0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0

T B

1 Suma decimal La regla es:

0 0 0, 0 1 1, 1 0 1, 1 1 2

T B Si se tienen varios grafos con matrices que contienen el número de conexiones orientadas entre los nodos, la suma decimal de estas matrices dará el número total de conexiones de T y/o B entre cada par de nodos.

0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0

T B

Observar que si la operación hubiera sido el OR inclusivo, el valor 2 hubiera sido 1 y la información sería la existencia de conexiones To B o ambos (pero no discrimina entre ellas).

2 Suma exclusiva (XOR) La regla es:

0 0 0, 0 1 1, 1 0 1, 1 1 0

T B

0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

T B

El resultado será el número total de conexiones de T o B pero no ambos entre cada par de nodos.

3 Producto decimal o AND booleano Es el producto escalar de ambas matrices y coincide con el AND booleano. La regla ahora es:

0 0 0, 0 1 0, 1 0 0, 1 1 1

T B

A3 Grafos

91

0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

T B

El resultado informa la conexión entre nodos en la que existen ambas conexiones T y B.

2 Producto matricial

AB Como veremos informa acerca del número de conexiones sucesivas A -> B.

Ejemplo En el siguiente grafo se indican las conexiones orientadas entre 4 ciudades a, b, c, y d, por Tren T (en negro) y Bus B (en rojo). Construir la matriz que muestre el número de conexiones desde cada

ciudad, saliendo con T y llegando con B.

Si se forma el producto TB (en ese orden) se aprecia que, por ejemplo para la fila a y columna a, se realiza la operación:

. . . .aTa aBa aTb bBa aTc cBa aTd dBa

Es decir que la celda a-a contiene la suma de todos los enlaces posibles desde a hasta a pasando por

a, b, c o d, saliendo con T y llegando con B. La regla para cada producto es:

0 0 0, 0 1 0, 1 0 0, 1 1 1

El elemento aa da 2 pues:

+ 1 1 1 1 2T B T Ba b a a d a

Observar que los valores de las matrices originales T y B son la cantidad de viajes desde los nodos filas a los nodos columnas (booleana). En cambio los de la matriz TB son la cantidad o frecuencia de viajes en dos pasos: primero en T y segundo en B (no booleana). Extendiendo el proceso, se puede obtener la matriz de viajes de: BT, TT, TBT, BB, etc. Recordar

que el producto de matrices es asociativo pero no conmutativo.

a

b c

d

e

g

l

A3 Grafos

B Matriz de Pesos


Por ejemplo para la matriz TBT el elemento bd es 1 =>

. . . .bTBa aTd bTBb bTd bTBc cTd bTBd dTd

pues solo da 1 el primer término que se corresponde con:

1T B Tb c a d

Es la cantidad de recorridos entre los nodos b y d en 3 pasos en la secuencia TBT. Se aprecia entonces que la multiplicación de matrices de frecuencias resuelve la cantidad de rutas entre 2 lugares en forma rápida y eficiente.

Ak

El valor del coeficiente aij de kA será igual la cantidad de caminos de longitud k (número de aristas)

entre los nodos vi y vj.

B Matriz de Pesos

Solo trabajaremos con (nodo – nodo).

1 Min y Max

Aplicaremos esta operación a un solo grafo y por lo tanto a una sola matriz operada con sí misma (y no a dos grafos distintos).

Camino crítico Dado un grafo orientado con valores en cada una de las ramas, consiste en hallar el camino de máximo o mínimo valor (crítico) que une a dos nodos cualesquiera si se permiten uno, dos, tres o

más conexiones. En algunas aplicaciones se define al camino crítico como el de máximo valor pues si una tarea crítica se retrasa durante la realización del proyecto, afectaría directamente a la duración total del proyecto y a su fecha de finalización.

Matrices críticas Es la que contiene todos los caminos críticos entre los posibles pares de nodos.

Matriz de mínimo (máximo) costo

, ( , )i j i jcmin min f c

, ( , )i j i jcmax max f c

En 1 paso (enlace directo) Es la matriz inicial.

En 2 pasos (a través de un nodo) Se deben sumar las contribuciones de cada par de nodos y extraer de todas estas sumas la menor. Por lo tanto la operación será similar a la de multiplicación de matrices pero se deberá sumar en lugar de

multiplicar cada par. Luego se obtendrá el mínimo de estas sumas. Denotaremos a esta operación como:

minA A El proceso se puede repetir agregando de a un nodo por vez.

En 3 pasos (a través de dos nodos) min( min )A A A

El cálculo se estabiliza y termina en algún paso cuando el agregado de nodos da suma mayores.

A3 Grafos

93

Ejemplo El siguiente grafo contiene los tiempos en determinados procesos. Hallar el tiempo máximo, es decir el camino crítico entre a y f.

Análisis

En cada cálculo intervienen toda la fila del nodo inicial y toda la columna del nodo final. Aquí termina pues si se repite se observa que se ha estabilizado. Observar que para para los nodos a y f:

Una operación => max con un nodo intermedio 7 0( ) 7( )aa af => aaf

Dos operaciones => max con 2 nodos intermedios

17 11( ) 6( ), 11( ) 6( ) 5( )ad df ad ac cd => acdf

Software Grafos El software Grafos da el resultado máximo por cada 2 nodos. Entre a y f resulta lo siguiente.

A3 Grafos

III Aplicaciones


III Aplicaciones

Paradoja de la Amistad

http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/tag/teoria-de-grafos/ El promedio de los amigos de mis amigos es mayor que el número de mis amigos. Esto sucede pues existen nodos (individuos) que tienen muchos más amigos que la media y es muy probable que estemos conectados con uno de dichos vértices, lo cual hará que se incremente la media de los amigos de nuestros amigos.

Solo B (el nodo que tiene más amigos) tiene más amigos (3) que el promedio de amigos de sus amigos.

Grados de separación

Teoría de los 6 grados de separación Sostiene que dos personas de cualquier parte del mundo pueden estar conectadas a través de 6 ramas (en total son siete personas, la que inicia la cadena, la que la finaliza y los cinco intermediarios). La teoría fue inicialmente propuesta en 1930 por el escritor húngaro Frigyes Karinthy en un cuento llamado Chains.

Regla fundamental del conteo Si cada persona conoce de media, entre amigos, familiares y compañeros de trabajo o escuela, a unas

100 personas =>

http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/tag/teoria-de-grafos/

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2

6

1:100

2 :100

...

6 :100 1

R

R

R millon de millones

Facebook. 720millones Población: 7200millones Un estudio en Facebook (Universidad de Milán) mostró que el 99,6% de pares de usuarios estuvieron conectados por 5 grados de separación. Esta es la prueba más cercana de la teoría a la

fecha de hoy y da un resultado aproximado de 4,75 eslabones, pero es solo para el 10% del planeta.

algebra de matrices - gennara.net de matrices.pdf · 4 método de gauss-jordán _____ 40 etapa i...

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