Álgebra linear revisão de alguns conceitos básicos
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Álgebra Linear
Revisão De Alguns Conceitos Básicos
2
Conceitos
• Escalar • Vector• Matriz
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
3
Conceitos: Vector e Escalar
• Sempre que temos um conjunto E e um corpo K tal que:
– Está definida uma adição em E que goza das propriedades associativa, comutativa, existência de um só elemento neutro (0) e um só elemento simétrico.
– Está definida uma multiplicação de K por E que goza das propriedades de distribuição relativamente às adições de E e K, associatividade e elemento neutro (I).
Temos que E é um espaço vectorial relativo ao corpo K, os elementos de E designam-se por vectores e os de K por escalares.
4
Exemplificação
• Vectores
• Escalar – kn
n
2
1
n
2
1
u
u
u
U;
v
v
v
V
(V+U)+T = V+(U+T)
V+U = U + V
V + 0 = V
V + (-V) = 0
k1(V+U)= k1 V+ k1 U
(k1+ k2)V= k1 V+ k2 V
k1 (k2 U)=(k1 k2 )U
1.V=V
5
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
6
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
ij2i1i
j22221
j11211
bbb
bbb
bbb
B
j...,3,2,1n
i...,3,2,1m
mnmn ;ba BA
7
ijj2j1
2i2212
1i2111
T
aaa
aaa
aaa
'AA
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
8
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
ji se só e Se
9
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
nn
22
11
a00
0a0
00a
A
10
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
a,
a00
0a0
00a
E
11
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
100
010
001
I
12
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
jiij
nn2n1n
n22221
n11211
aa se,
aaa
aaa
aaa
A
13
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
000
000
000
N
14
Matrizes
– Igualdade de matrizes
– Matriz transposta
– Matriz quadrada
– Matriz diagonal
– Matriz escalar
– Matriz identidade
– Matriz simétrica
– Matriz nula
– Submatriz
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
A
15
ijij2i2i1i1i
j2j222222121
j1j112121111
ij2i1i
j22221
j11211
ij2i1i
j22221
j11211
bababa
bababa
bababa
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
Adição de Matrizes
16
ij2i1i
j22221
j11211
ij2i1i
j22221
j11211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Multiplicação de Matrizes por um escalar
17
mj2nmn222m121m
1nn121121111
njnj2n1n
j22221
j11211
mnmn2m1m
n22221
n11211
...ba...baba...
......
......ba...baba
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
Multiplicação de Matrizes
18
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
Traço de uma matriz
nn332211 a...aaa)A(tr
19
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Determinante de uma MatrizExemplo para uma matriz 3x3
322333223332
2322
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aaaaaa
aa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
)A(Det
20
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
Determinante de uma Matriz3x3Regra de Sarrus
211233113223312213
231231233221332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
)A(Det
21
Inversa de uma matrizIAAAA 11
nn2n1n
n22221
n11211
1221
jiij
1
aaa
aaa
aaa
)1(A exemplo,por que, em
A
Ab genérico elemento,
A
A adjA
A matriz adjunta de A – Adj A – é a transposta da matriz que resulta da substituição de cada elemento pelo seu complemento algébrico.
22
•Combinação linear de vectores
•(In)dependência linear de vectores
•Característica de uma matriz - Rank(A)
23
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n21
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxAx'x
Formas quadráticas
negativa definida-semi éA então 0Ax'x Se
negativa definida éA então 0Ax'x Se
positiva definida-semi éA então 0Ax'x Se
positiva definida éA então 0Ax'x Se
24
Matriz definida positiva-negativa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
...
...
Definida positiva
Definida negativa
25
Regras de Diferenciação de Matrizes
'A'xz
y
A'zx
y Ax'zy
Adx
dy Axy
db
dz'A'x
db
dxA'z
db
dy
:então b de
funções x e zAx z'y
A2x' simétrica éA se
)'AA('xdx
dy Ax'xy