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Sumário e Objectivos
Sumário: Revisão de Alguns Conceitos FundamentaisSumário: Revisão de Alguns Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Sólidos. Relações Deformações –Deslocamentos. Relações Tensões – Deformações ç çEquações de Equilíbrio.Objectivos da Aula: Apreensão e Revisão de Alguns Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Sólidos necessários para efeitos de Discretização pelo Método dos Elementos Finitosdos Elementos Finitos.
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1
Conteúdo
Introdução: Estática e Dinâmica. Elasticidade e Plasticidade. Não Linearidade Geométrica. Isotropia e Anisotropia. Condições de Fronteira. Componentes E t t iEstruturais.
Problemas Bidimensionais
Problemas Tridimensionais
VigasVigas
Placas
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Introdução
Nos Sólidos e nas Estruturas desenvolvem-se tensões como resultado das Acções Externas, Forças, Cargas Térmicas, etc.das Acções Externas, Forças, Cargas Térmicas, etc.
A distribuição das Tensões nos Sólidos varia de ponto para ponto não sendo em geral uniforme como resultado de cargas aplicadas não uniformes. As Tensões dão origem a Deformações que também se distribuem no sólido de modo não uniforme.
O h i t d T õ d D f õ é F d t lO conhecimento das Tensões e das Deformações é Fundamental no Desenvolvimento e Análise de Produtos Sólidos na fase de Fabrico e de Utilização, no Projecto de Estruturas, na análise de defeitos, etc.
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4
Introdução: Acções Externas
As Acções Externas sobre os Sólidos podem ser de natureza E á i d Di â i N d dEstática e de natureza Dinâmica. No caso de serem de natureza dinâmica há uma dependência do tempo das Acções e das grandezas relevantes que se desenvolvem noAcções e das grandezas relevantes que se desenvolvem no sólido.
As Equações de Equilíbrio resultantes para oAs Equações de Equilíbrio resultantes para o Comportamento Estático podem considerar-se um caso particular do Equilíbrio Dinâmico resultante da irrelevância particular do Equilíbrio Dinâmico resultante da irrelevância dos termos dependentes do tempo para efeitos de Equilíbrio Estático.
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I t d ã I t iIntrodução: Isotropia e Anisotropia
Os materiais podem ter um comportamento Isotrópico ou A i ó iAnisotrópico.
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Relações Deformações – Deslocamentos para Sólidos 3D
Vector Deformações Txx yy zz yz xz xy
, , xx yy zzu v wx y z
x y zu v u w v w
, ,
xy xz yzy x z x z y
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Relações Deformações-Deslocamentos em forma Matricial
LU0 0x onde: 0 0
0 00 0
xy
u
0 0
0z
z y
L
wvU
00
z xy x
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Tensões num Ponto z
yzzy
zy zz
zx
zxxz xy
xz
yy
yz
yx yyy
yz yx
xy
xz
xx
yxxy xx
x
zy
zz
zx
Txx yy zz yz xz xy
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
= c ou DRelações Tensões - Deformações
xx xx11 12 13 14 15 16c c c c c cc c c c c
yy yy22 23 24 25 26
zz zz33 34 35 36
c c c c cc c c c
yz yz44 45 46
xz xz55 56
c c c
sim. c c
xz xz55 56
xy xy66c
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
11 12 12c c c 0 0 0
Matriz de Elasticidade caso Isotrópico11 12 12
11 12
11
c c c 0 0 0c c 0 0 0
c 0 0 0
11 12
11 12
c c 0 0 2c ci 0
D c
11 12
11 12
sim. 02
c c2
2
)1)(21()1(
11
Ec)1)(21(12
Ec 11 12 EG
2 2(1 )c c
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Equações de Equilíbrio Dinâmico
ufzyx xzxyxxx
zyx
vfzyyyxy
vfzyx y
wfzyx zzzyzxz
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
fForma matricial das Equações de Equilíbrio
L f UT
ousendo:
fx
y
ffou
L DLU f UT
y
zf
0 L DLU fT
Caso EstáticoT
x 0 0 0 z y0 y 0 z 0 xL
0 L DLU f 0 0 z y x 0
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Problemas 2D:
Estado Plano de Tensão
E t d Pl d D f ãEstado Plano de Deformação
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Tensões e Deformações Caso 2D
xx
xx
yy
xy
yy
xy xy
u v u v , , xx yy xyx y y x
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Relações Deformações – Deslocamentos caso 2D
ε LU 0 ε LU
d
0
0
x
L u onde 0
y
L , uv
U
y x
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Equações Fundamentais daEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Matriz de Elasticidade - IsotropiaMatriz de Elasticidade Isotropia = c
1 0 1 0
1(1 ) 1 0
(1 )(1 2 ) 1E
c = D
Deformação Plana(1 )(1 2 ) 1
1 20 02(1 )
1 01 0
D E
2(1 )
l
2 1 01
0 0 1 / 2
D
Tensão Plana
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Equações de Equilíbrio para Sólidos 2D
Dinâmico Estático
yxxxxf 0
x y
ufyx xyxxx
yy
vfyx yyyxy
xy yy
yf 0x y
yx y x y
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Equações de Equilíbrio em Forma Matricial – 2D
L f UT sendo:
f x
y
ff
Dinâmico
L f U ou
L DLU f UT L DLU f U
Estático T x 0 yL
0 L DLU fT
0 y xL
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Equações para Vigas y
xy,v z
p(x)
x
y Teoria de Euler–BernoulliD l t
Eixo 0xy yu Deslocamentos
( )
dv xd x
dvu ydx
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
2du d v 2d
Teoria de Euler–Bernoulli
2 xxdu d vy yLvd x d x
2
2
dLd x
Deformações com
yELvxx Tensões xx = E xx ou2Momentos2
22d ( d )z xx z z
A A
vM y A E y A Lv EI Lv EIx
2dzA
I y A sendo o momento de Inércia da Secção em relação ao eixo dosz z
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Equações de Equilíbrio Equação de Equilíbrio de F d
Mz + dMz
(p(x)- vA ) dx
dT p x Avdx
Forças segundo yy
dx
Mz
T T + dT
A
dx
Equação de Equilíbrio de Momentos segundo zzdx
zdM Tdx
consequentemente 3
z 3
d vT EIdx
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
3
z 3
d vT EI zdM T dT p x Avd
z 3dxT
dx p
dx
Equações de Equilíbrio de Vigas em termos dos D l
4d vEI Av p(x)
Deslocamentos
Dinâmicoz 4EI Av p(x)dx
4d v
Dinâmico
z 4
d vEI p(x)dx
Estático
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
No caso das vigas planas de Timoshenko considera-se que as secções planas normais ao eixo após deformaçãoas secções planas normais ao eixo após deformação permanecem planas mas não necessariamente normais ao eixo da viga. O eixo da viga considera-se coincidente o e o d v g . O e o d v g co s de se co c de ecom o eixo dos xx, no plano de flexão e normal ao eixo dos xx considera-se o eixo dos yy e na direcção perpendicular ao plano de flexão considera-se o eixo dos zz. O sistema de eixos é análogo ao considerado nas vigas de Euler Bernoullivigas de Euler-Bernoulli.
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
O campo de deslocamentos é:
( , ) ( ) e ( ) ( )u x y y x v x v x
A i d d d l d d iA partir do campo de deslocamentos podem determinar-se as deformações:
( ) ( ) e =- ( )+ xx xyd x dv xy x
dx dx dx dx
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Neste caso aparece uma deformação de corte não nula dando origem a uma tensão de corte As tensões obtêm se pororigem a uma tensão de corte. As tensões obtêm-se por aplicação da Lei de Hooke Generalizada e são:
( )
( )
xx xxd xE Ey
dxd
( )( ( ) ) ( )
( )
xy xydv xG G x G x
dxdv x
( )com ( ) - ( ) dv xx xdx
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Conhecidas as Tensões podem calcular-se os Esforços Generalizados que são os Momentos e os EsforçosGeneralizados que são os Momentos e os Esforços Transversos, ou seja
2 ( ) ( )z z
d x d xM Ey dydz EId d
( ) ( )
dx dxT G x dydz GA x
( ) ( )y
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
As equações de equilíbrio em termos dos Esforços Generalizados são análogas às equações consideradas naGeneralizados são análogas às equações consideradas na Teoria de Euler-Bernoulli e correspondem omitindo a dependência em x das rotações e dos deslocamentos no plano depe dê c e x d s o ções e dos des oc e os o p oàs seguintes equações de equilíbrio em termos de q e de v, no caso Estático 3d
3
1
dEI pdx
d d d
1dv d dEIdx kGA dx dx
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
Placas – Sistema de Eixos e Deslocamentos
p(x)y vz, w
p(x)y, v
e x u
x, u
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E õ F d t i dEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos
z Teoria Clássica das Vigas Finas
Plano Médio
x
Sendo xz = 0, yz = 0
Campo de Deslocamentos
wzu
wzv
( )x y ( , )w w x y
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iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Finas
Deformações-Deslocamentos
2wzu
2wzv 2x
zx xx
2y z
y yy
2
2xyu v wz
xy y x x y
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iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Finas
Relações Deformações-Deslocamentos em forma matricial
2
= z Lw onde
2
2
x
L= z Lw onde
2
2
y
L
2
x y
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iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Finas
Relações Tensões – Deformações para Placas Isotrópicas
=D
1 0 Sendo a Matriz D
2
1 01 0
1
D E
definida por:
10 0 1 / 2
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iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Finas
zMomentos, Mx e My e Esforços Transversos Tx e Ty
z
T
TxMxMxy
yOTy
MyMyx
Ty+dTy
Myx+dMyxMy+dMyp(x)
dxTx+dTx
Mxy+dMxyMx+dMx
xdy
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iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Finas
= D = - D z Lw
M 3/2 /2 2
/2 /2d ( d )
12
xe e
p y e e
MeM z z z z w w
M D L DL12
xyM
T yTd d
sendo x
xTdT dxx
yydT dy
y
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iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas
yxTT ( )
Equilíbrio de Forças yx p(x) ew
x y
segundo zz
Equilíbrio de Momentos Segundo xx
Equilíbrio de Momentos Segundo yy
xyxx
MMT
y xyy
M MT
y x
x x y y x
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iEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Finas
Equações de Equilíbrio Dinâmico e Estático em termos dos Deslocamentos Equação de Lagrange
4 4 4
2w w w p( x ) ew / D
dos Deslocamentos – Equação de Lagrange
4 2 2 42 p( x ) ew / Dx x y y
4 4 4 4 4 4
4 2 2 42w w w p( x ) / Dx x y y
3E
Estático
onde 3
212 1EeD
( )
Setembro Elementos Finitos
2ªAula37
Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Teoria de Mindlin
Hipóteses de Reissner - Mindlin
(i) A superfície média é plana e indeformável ou seja as deformações no plano médio.
(ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação permanecem numa direcção linear mas ç p çnão necessariamente na normal à superfície média flectida.
(iii) A tensão na direcção normal ao plano médio, 33 é irrelevante quando comparada com as tensões 11 e 22irrelevante quando comparada com as tensões 11 e 22.
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
eP
x
Vector DeslocamentosGeneralizados
x
u z ( x, y )( )
x-
P' e
v z ( x, y )w w x, y
y= -
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Deformações Calculadas a partir dos Deslocamentos
xθ-zx
∂∂ w ∂
xxy
yy
xεθ
ε -zy
∂∂= ∂
xxz
w-θ +γ xwγ
=
∂∂∂
xyyx
yγ
θθ-z - zy x
∂∂∂ ∂
yzy
wγ -θ +y
∂∂
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
yzu xzv = z L
onde
0 0
0
x
L y
xx
0
y
L y
x
yy
xy
x y
y
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, estabelece uma relação entre as tensões e deformações
xx xx
1 01- 1-σ εE
estabelece uma relação entre as tensões e deformações
xx xxyy yyxy xy
E 1σ = 0 ε1- 1-1+σ ε10 0 xy xyσ ε10 0 2
σ 1 0E
xz xzyz yz
σ 1 0E=σ 0 12.0 1+
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Relações Tensões - Deslocamentos Generalizados
yxxx 2
E z1 x y
1 x y
y x2
E z
E w yy 2 z1 y x
E
xz xE w
2 1 x
yxxy
E z2 1 y x
yz y
E w2 1 y
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Equações Fundamentais daEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Momentos e Esforços Tranversos
O x211
22 21O 2
x3x1
e / 2M dxx xxe / 2M z dz
e / 2
yy yye / 2M z dz yy yye / 2
e / 2
xy xye / 2M z dz
e / 2 e / 2
x xz y yze / 2 e / 2T dz e T dz
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Equações Fundamentais daEquações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Momentos e Esforços Tranversos
Relações Momentos e Esforços e Deslocamentos Generalizados
yxM D
x x'
y y
T 1 0G
T 0 1
xxM Dx y
y y
xwx
y xyyM D
y x
x
yy
xwy
yxxy
1M D2 y x
y 10.2/EeG '
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Trabalho Virtual realizado pelas Deformações Virtuais dVT ijijV
e / 2 y y y2 2x x xE E y y y2 2x x x
2 2S e / 2z z
x y x y x y1 1
y y 2E E w w
y y 2x xx x
E E w wz2 1 y x y x 2 1 x x
E w w y y 3
E w w dS dx2 1 y y
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Integrando ao longo da espessura obtém-se
y yx xT M M M dS
xx yy xyST M M M dS
x y y x
+ x x y yS
w wT T dSx y
x y
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Aplicando o Teorema de Green, obtém-se
yy xy xyxxx y x yS
M M MMTx y y x
yxx x y y
TTT T w w dSx y
y
xx x yy y xy x xy yLM cos M sen M sen M cos dL
x yLT w cos T w sen dL
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48
Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
Tendo em conta que x n scos sen
y n ssen cos
2 2M M cos M sen 2 M sen cos n xx yy xyM M cos M sen 2 M sen cos
2 2M M M sen cos M cos sen t xx yy xyM M M sen cos M cos sen
T T T x yT T cos T sen
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
O Trabalho virtual dos esforços internos toma a forma
yyxx 12 12x y x yS
MM M MTx y y x
x y y x
yxx x y y
TTT T w w dSx y
x y
n n s sL LM M dL T w dL
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
O trabalho realizado pelas forças exteriores
sW p w ds Note-se que o Teorema dos trabalhos virtuais obriga a que seja:
T W 0 T W 0
Ver como se obtêm as Equações de Equilíbrio
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Equações Fundamentais da Mecânica dos Sólidos-Placas Espessas
yyxx 12 12x y x yS
Mw M M MT
x y y x
y yS x y y x
yxx x y y
TTT T w w dSx y
y
n n s sL LM M dL T w dL
S
p(x, y)wds
õ i í i MEquações de Equilíbrio xyxxx
MM Tx y
yy xyM M yy xy
yTy x
yx
TT p x, yx y
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