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Mecânica dos Sólidos não LinearElasticidade Plana
1
Sumário e Objectivos
Sumário: Resolução de Problemas em Elasticidade Plana Recorrendo à Função de Tensão de Airy.Entrega dos TrabalhosObjectivos da Aula: Apreensão do Método da Função de Tensão para Efeitos de Solução de Alguns Problemas Planos.
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ESTADO PLANO DE TENSÃO
zz 33
xz yz 13 23
0 ou 0
0 ou 0
xx,x xy,y x
xy,x yy,y y
z
iij, j
B 0
B 0
B 0
ou
0 com i=1,2 e j=1,2B
Equações de Equilíbrio
Tensões Nulas no Estado Plano de Tensão
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Forças de Volume
O vector das Forças de Volume pode ser estabelecido em termos de uma função potencial V
,i iˆV V e B
corresponde em termos energéticos a considerar um campo de forças conservativo.
xx,x xy,y ,x
xy,x yy,y ,y
ij, j ,i,z
V 0
V 0
V 0 ou 0V
Equações de Equilíbrio tomam a forma:
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Função de Tensão
É possível definir uma Função de Tensão tal que:
xx ,yy
yy ,xx
xy ,xy
V
V
As Tensões assim definidas verificam automaticamente as Equações de Equilíbrio
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Deformações em termos da Tensões
As Deformações relacionam-se com as tensões através da Lei de Hooke generalizada
xx xx yy
yy yy xx
zz xx yy
xy xy
xz yz
1ε = σ -νσ
E1
ε = σ -νσE-ν
ε = σ +σE1
ε = σ2G
ε =ε =0
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Deformações em Termos da Função de Tensão
xx ,yy ,xx
yy ,xx ,yy xy ,xy
zz ,xx ,yy xz yz
1ε = -ν + 1-ν V
E1 1
ε = -ν + 1-ν V ; ε =E 2G-ν
ε = + +2V ; ε =ε =0E
Tendo em conta as equações anteriores as deformações exprimem-se em termos da função de tensão do seguinte modo:
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Equações de Compatibilidade de St Venant
2 22yy xyxx
2 2
2 22yy yzzz2 2
2 2 2zz xx xz2 2
2 22 2xy yzxz xx
2
2 2 22yz xy yyxz
2
2 22 2xy yzxz zz
2
∂ ε ∂ ε∂ ε+ =2
∂x∂y∂x ∂y
∂ ε ∂ ε∂ ε+ =2
∂y∂z∂z ∂y
∂ ε ∂ ε ∂ ε+ =2
∂x∂z∂x ∂z
∂ ε ∂ ε∂ ε ∂ ε+ - =
∂x∂z ∂x∂y ∂y∂z∂x
∂ ε ∂ ε ∂ ε∂ ε+ - =
∂x∂z ∂y∂z ∂x∂z∂y
∂ ε ∂ ε∂ ε ∂ ε+ - =
∂y∂z ∂x∂z ∂x∂y∂z
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Equações de Compatibilidade no Caso do Estado Plano de Tensão
No caso do Estado Plano de Tensão todas as derivadas em ordem a z são nulas e as deformações fora do plano x,y são tais que: zz
xz yz
ε ≠0
ε =ε =0
As equações de compatibilidade relevantes são
a) b)
d)
2 22 2yy xyxx zz
2 2 2
2 2zz zz2
∂ ε ∂ ε∂ ε ∂ ε+ =2 =0
∂x∂y∂x ∂y ∂y
∂ ε ∂ ε=0 c) =0
∂x∂y∂x
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Equação de Compatibilidade em Termos da função de Tensão
sendo
,yyyy ,xxyy ,xx ,xxxx ,xxyy ,yy
,xxyy
1- + 1+ V + - + 1+ V
E1 E
=- =2( 1+ )G G
4 2
4 4 44
4 2 2 4
4 4 4 2 2
4 2 2 4 2 2
(1 ) V
sendo : 2x x y y
V V2 (1 )
x x y y x y
ou
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Equações Fundamentais
O processo de deformação correspondente a um estado plano de tensão passa a ser regido pelas equações seguintes
4 2
xx ,yy
yy ,xx
xy ,xy
(1 ) V
V
V
Ou na ausência de forças de volume 4
xx ,yy
yy ,xx
xy ,xy
0
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ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
No caso do Estado Plano de Deformação as Equações a que se chega são:
4 2
xx ,yy
yy ,xx
xy ,xy
(1 2 )V
1
V
V
Ou na ausência de Forças de Volume 4
xx ,yy
yy ,xx
xy ,xy
0
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Equação Biharmónica
Na ausência de Forças de Volume a solução de Probemas de Estados Planos de Tensão e Deformação passa pela solução da equação Biharmónica ou seja pela solução de
4
xx ,yy
yy ,xx
xy ,xy
0
Soluções Polinomiais são possíveis para alguns problemas e têm a forma
m nmn
m nC x y
com m n 3
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Placas Rectangulares
S1
S12cy
x x
yS2
(a) (b)
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Função de Tensão para as placas Rectangulares
Placa da Figura (a) uma função de tensão possível é22
1 2 3xy ya a ax As Tensões correspondentes são:
x 3 y 1 xy 22 2 a a a
Condições de Fronteira x 1 y 2 xy 12 S S S
Coeficientes ai 2 1
1 2 12 3S S a a S a2 2
Função de Tensão 22 1212
S Sxy ySx2 2
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Função de Tensão para as placas Rectangulares
Placa da Figura (b) uma função de tensão possível é2 33 2
1 2 3 4y xy ya a a ax x
Esta função de tensão conduz às tensões seguintes:
x 4 3
y 1 2
xy 2 3
6 y 2 xa a6 x 2 ya a
2 x 2 ya a
Para x=0 e x=L as tensões são:
x y xycy 0 0
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Função de Tensão para as placas Rectangulares
Para y=±b/2 as tensões são: x y xy0 0 0
Estas condições de fronteira implicam que as constantes sejam:
1 2 3 40 e c / 4a a a a
ou seja a função de Airy é:
3cy
6
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Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual
h
y
x
P
b
y
z
P
l
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Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual
A função de tensão neste caso é: 3 2P x xyb
I 6 8
y
As componentes da tensão são 2 3
2xx y xy
P P hb bxy 0 sendo I=yI 2I 4 12
A tensão máxima émax 2
6Pl
hb
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Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída
y
xb
y
z
p
l
p
h
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Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída
Afunção de Airy a considerar é de 5ª ordem e tem a forma seguinte:
3 5 32 2 21 2 3 4 5yy y yC C C C Cx x x
as condições de fronteira que são:
Esforço Normal nulo nas extremidades Livre e.Encastrada
yy xy yy xy
b b
2 2xx xyb b
- -2 2
b b pPara y= 0 e 0 Para y=- e 0
2 2 h
Para x=0 e x=l h dy 0 Para x=0 h dy 0
Esforço de Corte nulo na extremidade.Livre
Esforço de Corte prescrito na extremidade.Encastrada
M
b
2xyb
-2
b
2b xx-2
Para x=l h dy pl
Para x=0 h dy 0 y
omento Flector nulo na extremidade.Livre
Momento Flector prescrito na extremidade.Encastrada
b 22b xx-2
plx=l h dy y2
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Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída
A equação de compatibilidade obriga a que seja 2 1
1C C
5
Tendo em conta as condições de fronteira referidas obtém-se as constantes seguintes:
1 3 4 13
p 3 p 1 p 1 p C C C C
h 4 hb 4 h 10 hbb
Consequentemente as tensões, são:
33
xx 3 3
3
yy 3
2
xy 3
p y p 3 pyyx6 4h h 5 bhb b
p 3 py 1 py2
h 2 bh 2 hb
px 3 pxy6
h 2 bhb
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ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
r
r
rr
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ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
As Equações de Equilíbrio de Forças tomam a forma:
rr θθ θθrrr
rθ rθ θθθ
σ σ σσ 1B 0
r r r θσ 2σ σ1
B 0r r r θ
As relações Deformações – Deslocamentos são:r
rr r,r
r r,
rr ,r r,
uu
ruu u1 1
ur r r r
u u uu1 1 1 1u u
2 r r r 2 r r
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ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
2 2 2
-1
x r cos θ
y r sin θ
x y r
yθ tan
x
122 2
,x
,y
,x 2 2 2yx
,y 2 2yx
1 xr x y 2x cos θ
2 ry
r sin θr
1 y y sin θθ
rx r1
1 1 y cos θθ
x rr1
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ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
As derivadas de uma função em ordem a x e a y podem ser calculadas a partir das derivadas em ordem a r e do seguinte modo:
,x ,x
,y ,y
sin θr θ ou cos θ
x r x r r
cos θr θ ou sin θ
y r y r r
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Transformação do Tensor das Tensões de Coordenadas Cartesianas em Polares
rr ri rj ij
i j ij
r ri j ij
ij
cos sen 0
sen cos 0
0 0 1
2 2rr xx yy xy
2 2xx yy xy
2 2r xx yy xy
cos sin 2 cos sin
sin cos 2 cos sin
cos sin cos sin cos sin
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Derivadas da Função de Tensão
,xx
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2,rr ,r
sincos
x x x r r
sin sincos cos 0
r r r rr
sin sin sin cos sincos cos
r r r r r
cos 2
2 2
, ,r , 2
cos sin cos sin sin sin2
r r r r
De modo análogo se calculam as derivadas em ordem a yy e xy.
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ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
A relação entre as tensões e a função de Airy em coordenadas cilíndricas toma a forma: rr ,r ,2
,rr
r , ,r
1 1
r r
1 1
r r
A equação Biharmónica toma a forma seguinte:
4 2 2 2,rr ,r ,2
2 2 2 24
2 2 2 2 2 2
1 10
r r
1 1 1 1
r r r rr r r r
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Problemas Axisimétricos
rr ,r ,rr r
2,rr ,r
,r
24
,rr ,r2
4 3 24
4 3 2 2 3
1 0
r1 1
rr r r
1 1
r r rr
2 1 1
r rr r r r r
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Solução da Equação Biharmónica para Problemas Axiximétricos
2 21 2 3 4C r ln r C r C ln r C
rr 1 2 3 2
1 2 3 2
r
1C 1 2ln r 2C C
r1
C 3 2ln r 2C Cr
0
rr rr
rr
r r r
1
E1
E11
2G E
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Deslocamentos
3rrr 2 1 12
3r2 1 12
C 1du 12C 1 C 1 2ln r 1 2 C
dr E r
C 1u 12C 1 C 1 2ln r 1 2C
r E r
3r2 1 12
3r 2 1 1
3r2 1 12
3r 2 1 1
C 1du 12C 1 C 1 2ln r 1 2 C
dr E r
C 11u 2C 1 r C 1 2r ln r r 2 C r constante
E r
e
C 1u 12C 1 C 1 2ln r 1 2C
r E r
C 11u 2C 1 r C 1 2r ln r r 2C r
E r
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Deslocamentos
Comparando as duas expressões obtidas para o deslocamento na direcção radial conclui-se:
3r 2 1 1
32 1 1
1
3r 2
C 11u 2C 1 r C 1 2r ln r r 2 C r constant
E r
C 112C 1 r C 1 2r ln r r 2C r
E r
C 0 constante 0
C 11u 2C 1 r
E r
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Problemas Quasi Axisimétricos
No caso de se admitir que o problema é quasi axisimétrico, isto é que as tensões só dependem de r mas os deslocamentos podem depender de , as deformações são então em termos dos deslocamentos as seguintes.
3rrr 2 1 12
3r2 1 12
rr
C 1du 12C 1 C 1 2ln r 1 2 C
dr E r
C 1uu 1 12C 1 C 1 2ln r 1 2C
r r E r
u u u1 1
2 r r r
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Problemas Quasi Axisimétricos
3r2 1 12
3r 2 1 1
3 r2 1 12
1
C 1du 12C 1 C 1 2ln r 1 2 C
dr E r
C 11u 2C 1 r C 1 2r ln r r 2 C r f
E r
C 1u u1 12C 1 C 1 2ln r 1 2C
r E rr
fu1 14C
r E r
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Problemas Quasi Axisimétricos
Integrando esta última equação obtém-se:
1
1
u 14C r f
E1
u 4C r f d g rE
Substituindo na expressão da deformação de corte obtém-se:
5
5
g r 1 1g r f θ dθ f θ 0
r r r1 1
rg r g r f θ dθ f θr r
rg r g r C
f θ dθ f θ C
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Problemas Quasi Axisimétricos
Obtém-se duas equações uma só dependente de r e outra só dependente de que podem ser integradas obtendo-se:
5
5 6
6
rg r g r C
g r C C r
g r C
5
7 8
5 7 8
f θ dθ f θ C
f θ C sin C cos
f θ dθ C C cos C sin
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Os deslocamentos radiais e circunferenciais tomam a forma:
32
r
1 1 7 8
1 7 8 6
C 12C 1 r1
u rE
C 1 2r ln r r 2 C r C sin C cos
1u 4 C r C cos C sin C r
E
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CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO
po
pi
Ro
Ri
Pi – Pressão na superfície interiorPo- Pressão na superfície exteriorRi – Raio interiorRo – Raio exterior
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CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO
As Tensões são Calculadas de acordo com
rr 1 2 3 2
1 2 3 2
r
1C 1 2ln r 2C C
r1
C 3 2ln r 2C Cr
0
E têm de verificar as condições de Fronteira
rr o o
rr i i
R p
R p
o 1 o 2 3 2o
i 1 i 2 3 2i
1p C 1 2ln R 2C C
R
1p C 1 2ln R 2C C
R
Ou seja
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CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO
Estas duas condições são insuficientes para se calcularem as constantes, considerando o problema como quais axisimétrico e considerando o deslocamento circunferencial pode dizer-se que
1 7 8 6
1
1u 4 C r C cos C sin C r
Eu 0 u 2
C 0
o 2 3 2o
i 2 3 2i
1p 2C C
R
1p 2C C
R
2 2i i o o
2 2 2o i
2 2i o o i
3 2 2o i
p R p RC
2 R R
R R p pC
R R
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CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO
As tensões tomam a forma
2 22 2i o o ii i o o
rr 2 2 2 2 2o i o i
2 22 2i o o ii i o o
2 2 2 2 2o i o i
R R p pp R p R
R R r R R
R R p pp R p R
R R r R R
e para o estado plano de deformação é
2 2i i o o
zz rr 2 2o i
2 p R p R
R R
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CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO
Os deslocamentos são
3r 2
2 2i i o o
2 2 2o i
2 2i o o i
3 2 2o i
2 2 2 2i o o i i i o o
r 2 2 2 2o i o i
C 11u 2C 1 r
E r
p R p RC
2 R R
R R p pC
R R
R R p p p R p R1u 1 1 r
E R R r R R
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PLACA INFINITA COM
PEQUENO ORÍFICIO
pi pi
R
i
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PLACA INFINITA COM PEQUENO ORÍFICIO
Considerem-se as tensões obtidas no caso anterior e manipulem-se as expressões de forma a obter as tensões com a seguinte forma:
2i
i o 22i o io
rr 2 22i i
2 2o o
2i
i o 22i o io
2 22i i
2 2o o
Rp p
R p pR
R R1 r 1
R R
Rp p
R p pR
R R1 r 1
R R
Fazendo as aproximações seguintes
22 i
o o 2o
2 2i i i i
rr 2 2
Rp 0 sendo R 0
R
R p R p
r r
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PLACA COM ORÍFICIO
TRACCIONADA
y
x
B
A
Tx
Tx
Axx x
yy
xy
T
0
0
Tensões Longe do Orifício
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PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA
No caso de existir o orifício a distribuição de tensões só se altera próximo do orifício. Considerando o princípio de St. Venant pode considerar-se um círculo de raio RB tal que B>>A e no qual as tensões ainda são obtidas considerando as expressões e convertam-se as tensões em coordenadas cilíndricas.
2 xrr x
2 xx
xrr x
TB, T cos 1 cos 2
2T
B, T sin 1 cos 22
TB, T cos sin sin 2
2
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PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA
Alternativamente pode considerar-se.
xx x
2x
2x
2 2 2x x
T
1T y
2y r sin
1T r sin
21 1
T r sin T r 1 cos 22 4
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PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA
Sendo as tensões em termos da função de Airy, as seguintes: rr ,r ,2
,rr
r , ,r
1 1
r r
1 1
r r
As tensões são nestas condições:
x x xrr
x xr
T T TB, 1 cos 2 cos 2
2 2 2T T
B, sin 2 0 sin 22 2
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PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA
Estas tensões correspondem à sobreposição de dois estados de tensão um axisimétrico e outro dependente de , estes estados de tensão são:
1 2x xrr rr
1 2 x
Axisimetrico: dependente de :
T TB, B, cos 2
2 2T
B, 0 B, sin 22
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Problema Axisimétrico
As tensões para o problema axisimétrico são
i
o
i
xo
2 2 21 x
rr 2 2 2 2 2
2 2 21 x
2 2 2 2 2
R A
R B
p 0
Tp
2
T B A B
2 B A r B A
T B A B
2 B A r B A
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Problema dependente de
No caso do problema dependente de q considera-se a equação biharmónica e uma função de Airy com a forma adequada às condições de fronteira: F r cos 2θ
A equação biharmónica toma a forma seguinte.
,rrrr ,rrr ,rr ,r2 3
2 41 2 3 4 2
2 9 9F F F F 0
r r r1
F r C C r C r Cr
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52
Problema dependente de
As tensões correspondentes são:
2 41 2 3 4 2
2rr 1 2 42 4
2 22 3 4 4
2 21 2 3 4r 2 4
1C C r C r C cos 2θ
r
1 14C 2C 6C cos 2θ
r r
12C 12C r 6C cos 2θ
r
1 12C 2C 6C r 6C cos 2θ
r r
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Problema dependente de
As constantes determinam-se considerando as condições de fronteira:
2rr
2r
2 xrr
2 xr
A, 0
A, 0
TB, cos 2
2T
B, sin 22
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Problema dependente de
Obtendo-se o sistema de equações seguinte:
2 4
122 4
2 x
32 4
4 x
22 4
4 62 0
0A AC2 6 0
2 6ACA A TC4 6 22 0
B B C T2 6 22 6B
B B
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Problema dependente de
No caso de A<<B pode-se considerar pela 4ª equação que:2 2 2 2 2
2 x1 2 3 42 2 2 2 4 2 2
2 2 2 22 x
1 2 3 42 2 2 4 2 2
22
3 32
TA 2 A A 6 A AC 2 C 6B C C
2B B B B B B B
TA 2 A 6 A AC 2 C 6A C C
2B B B B B B
A0 6A C 0 C 0
B
A 3ª equação implica.2 2 2 2x
1 2 42 4
22 2x x
2 22
T4 6A C 2A C A C A
2B B
T TA0 2A C A C
2 4B
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Problema dependente de
Finalmente resolvendo as duas restantes equações obtém-se:
2x
1 4 1 x2 4
4x
1 4 4 x2 4
T4 6 AC C 0 C T
2 2A A
T2 6 AC C 0 C T
2 4A A
Substituindo as constantes obtidas nas expressões das tensões obtém-se:
2 42
rr x2 4
42
x4
2 42
xr 2 4
A 1 3 A2 T cos 2θ
2 2r r
1 3 AT cos 2θ
2 2 r
A 1 3 AT sin 2θ
2 2r r
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Caso Axi simétrico
As Tensões no caso axisimétrico são:
i
o
i
xo
2 2 21 x
rr 2 2 2 2 2
2 2 21 x
rr 2 2 2 2 2
R A
R B
p 0
Tp
2
T B A B
2 B A r B A
T B A B
2 B A r B A
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Caso Axi-simétrico
Adimitindo A/B tendente para zero obtém-se:
2 21 x x
rr 22 22
2 2
2 21 x x
22 22
2 2
A0
B
T T1 A A1
2 2 rA A1 r 1
B B
T T1 A A1
2 2 rA A1 r 1
B B
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Tensões Totais
As tensões totais quando A/B tende para zero são:
2 2 41 2 x
rr rr rr x2 2 4
2 41 2 x
x2 4
2 41 2
r xr r 2 4
T A A 1 3 A1 2 T cos 2θ
2 2 2r r r
T A 1 3 A1 T cos 2θ
2 2 2r r
A 1 3 AT sin 2θ
2 2r r