algebra pentru a - paun

IntroducereAcest curs se adreseaz n principal studenilor de la seciile de informatic (forma de nvmnt Zi sau ID) ale Facultii de Matematic i Informatic din cadrul Universitii Transilvania din Brasov dar poate fi i un suport activ al formelor de studiu postuniversitar pentru disciplinele de informatic. Lucrarea reprezint un ghid practic ce include notiuni teoretice fundamentale din cadrul Algebrei cu aplicare direct n disciplinele aferente studiului Informaticii precum i exerciii tipice a cror rezolvare stimuleaza pe toate nivelele de dificultate gandirea abstracta, algebric, aplicata n Informatic. Scopul acestui curs este acela de a familiariza pe cei interesati cu unele dintre aplicaiile directe ale Algebrei n Informatic. El reprezint o component de baz n pregtirea absolventilor sectiilor de Informatic Teoretica i Informatic Aplicat. Poate fi utilizat i n cadrul Facultii de tiine Erconomice, specializarea Informatic Economic pentru disciplina Algebr. Cunotinele prezentate n aceast lucrare sunt fundamentale pentru pregtirea studenilor att prin contribuia teoretic adus la definirea unei gndiri abstracte i riguroase a fiecruia ct i prin aceea c ele i gsesc n ntregime aplicabilitate n practic. Paragrafele teoretice sunt susinute de numeroase exemple i probleme rezolvate iar consolidarea acquiului este facut prin intermediul multiplelor aplicatii de tipul Todo. Cursul este conceput de aa manier nct limbajul, noiunile i succesiunea temelor s fie n concordan cu programele analitice n vigoare. Obiectivele cursului 1. Asimilarea cunotinelor de baz din domeniul algebrei aplicat n probleme de informatic. 2. Formarea capacitii de a recunoate n problematica activitilor specifice a aspectelor algebrice ale aplicaiilor i formarea ndemnrii de a opera cu aceste noiuni pentru determinarea soluiilor optime de rezolvare. Competene conferite Dup parcurgerea materialului studentul va dobndi urmtoarele competene: Competene cognitive: s selecteze din Algebr conceptele i rezultatele fundamentale aplicabile n problematica specific

1

-

sa indice tiparele de gandire utilizate n abordarea subiectelor specifice s stabileasc mijloacele specifice de control furnizate de cunotinele teoretice s investigheze modul n care cunotinele de Algebr sunt utile i altor discipline conexe sa foloseasc n mod creator cunotinele expuse s-i formeze capacitatea de autoevaluare a gradului de acumulare a cunotinelor i gradului de aplicativitate ale acestora

Competene practic aplicative: s-i formeze capacitatea de a opera i de a pune n practic cunotinele acumulate att n aplicaii simple la nivel autonom cat i la cele complexe la nivel dirijat. Competene de comunicare i relaionare sa-i formeze o gndire logic s-i formeze un limbaj matematic i tiinific adecvat s-i dezvolte capacitatea de analiz i sintez

Resurse i mijloace de lucru Insistm asupra modului de parcurgere eficient a acestui curs: aspectele teoretice enunate sunt nsoite de exemple care trebuiesc parcurse cu deosebit atenie de dou ori, odat n scop informativ i odat n scop de aprofundare n regim de exerciiu. Aplicaiile marcate cu TODO trebuiesc rezolvate pentru consolidarea acquiului imediat dup parcurgerea noiunilor teoretice. Aceste aplicaii sunt concepute pentru a utiliza i manipula un numr restrns de cunotine strict legate de aspectele teoretice prezentate. Unitile de nvare se termin cu exerciii de evaluare sau de autoevaluare dintre care unele cu un grad de dificultate sporit ce au indicaii de rezolvare. Se prefer pentru consolidarea ncrederii n forele proprii ca exerciiile cu grad redus sau mediu de dificultate s fie prezentate fr rezolvare. Toate neclaritile vor fi tratate mpreun cu tutorele la ntlnirile planificate prin calendarul disciplinei. Accesul la un calculator conectat la internet este recomandat pentru forumurile de pe platfoma e-learning. Structura cursului Lucrarea este structurat n 10 uniti de nvare. Toate au caracter informativ dar mai ales formativ. Ele sunt n ordine: UI 1. Mulimi, funcii relatii UI 2. Operaii algebrice, structuri algebrice, morfisme UI 3. Semigrupuri libere UI 4. Grupuri

2

UI 5. Grupul permutrilor de n elemente UI 6. Inele UI 7. Corpuri UI 8. Spaii vectoriale UI 9. Probleme metrice i aplicaii UI 10. Coduri liniare Unitile 7 i 10 conin n plus i cte o tem de control. Cele dou teme, rezolvate, vor fi predate tutorelui pentru evaluare. Rezultate n urma evalurii vor fi postate n timp util pe platforma e-learning. Cei ce nu obin punctaj de promovare la rezolvarea temelor pot solicita cu penalizare de 1 punct teme suplimentare. Cerine preliminare Acquiul preuniversitar i o abilitate medie n manipularea entitilor matematice sunt suficiente pacurgerii acestui material. Discipline deservite Fiind o disciplin fundamental aplicativitatea cunotinelor se ntinde pe toate disciplinele de studiu din facultate. Durata medie de studiu individual Parcurgerea unitilor de nvare aferente acestui curs se poate face n medie n doua ore pentru fiecare unitate n parte. Aplicaiile dificile i aprofundarea, ca de obicei, sporesc timpul de parcurgere. Evaluarea Fiecare tema de evaluare are contribuie de 15% la media final Evaluarea final reprezint 70% din nota.

3

CuprinsPentru cursurile structurate doar pe UNITI DE NVARE Introducere.....................................................................................................................1 Chestionar evaluare prerechizite........................................................... .............. .7 Unitatea de nvare 1....................................................................................................8 1.1. Introducere..................................................................................................8 1.2. Competene........................................................................................... .......8 1.3 Multimi si functii..........................................................................................9 1.4 Relatii..........................................................................................................11 1.5 Relatii binare...............................................................................................13 1.6 Rezumat.......................................................................................................18 1.7 Teme de evaluare, autoevaluare.................................................................18 Unitatea de nvare 2..................................................................................................19 2.1 Introducere.................................................................................................19 2.2 . Competene...............................................................................................19 2.3 Operaii interne..........................................................................................19 2.4 Tabla unei legi de compoziie.....................................................................23 2.5 Operaii externe, aciune i lege de aciune...............................................24 2.6 Rezumat......................................................................................................27 2.7 Teme de evaluare, autoevaluare................................................................27 Unitatea de nvare 3..................................................................................................29 3.1 Introducere.................................................................................................29 3.2 Competene.................................................................................................29 3.3 Semigupuri libere.......................................................................................30 3.4 Proprieti aritmetice.................................................................................33 3.5 Preegalare..................................................................................................35 3.6 Rezumat......................................................................................................36 3.7 Teme de evaluare, autoevaluare................................................................36 Unitatea de nvare 4..................................................................................................37 4.1. Introducere................................................................................................37 4.2. Competene...............................................................................................37 4.3 Grupuri , proprieti ale grupurilor...........................................................37 4.4 Subgrupuri.................................................................................................39 4.5 Clase laterale.............................................................................................43 4.6 Grupuri finite..............................................................................................44 4.7 Rezumat......................................................................................................46 4.8 Teme de evaluare i autoevaluare..............................................................46 Unitatea de nvare 5..................................................................................................47 4

5.1 Introducere.................................................................................................47 5.2 Competene.................................................................................................47 5.3 Permutri....................................................................................................47 5.4 Inversiuni i semnul unei permutri...........................................................50 5.5 Ciclurile unei permutri.............................................................................54 5.5 Rezumat......................................................................................................56 5.6 Teme de evaluare, autoevaluare................................................................56 Unitate de nvare 6....................................................................................................57 6.1 Introducere.................................................................................................57 6.2 Competene.................................................................................................57 6.3 Inele............................................................................................................57 6.4 Inele Booleene............................................................................................61 6.5 Inele ordonate.............................................................................................62 6.6 Subinele, ideale, morfisme de inele............................................................63 6.7 Rezumat......................................................................................................66 6.8 Teme de evaluare, autoevaluare................................................................66 Unitate de nvare 7....................................................................................................67 7.1 Introducere.................................................................................................67 7.2 Competene.................................................................................................67 7.3 Corpuri.......................................................................................................68 7.4 Divizibilitate n Z i in K[X].......................................................................70 7.5 Logaritmi discrei.......................................................................................73 7.6 Corpul Z2/p(X)...........................................................................................74 7.7 Rezumat......................................................................................................75 7.8 Teme de evaluare i autoevaluare..............................................................75 Tem de control............................................................................................................76 Unitate de nvare 8....................................................................................................77 8.1 Introducere.................................................................................................77 8.2 Competene.................................................................................................77 8.3 Spaii vectoriale..........................................................................................78 8.4 Subspaii vectoriale....................................................................................79 8.5 Baz i dimensiune.....................................................................................81 8.6 Izomorfisme de spaii vectoriale.................................................................84 8.7 Rezumat......................................................................................................85 8.8 Teme de verificare, autoverificare.............................................................85 Unitate de nvare 9....................................................................................................87 9.1 Introducere.................................................................................................87 9.2 Competene.................................................................................................87

5

9.3 Transformri liniare...................................................................................88 9.4 Matricea asociat unei transformri liniare..............................................91 9.5 Reducere n treapt relativ la coloan.......................................................92 9.6 Produs scalar, norm, metric...................................................................95 9.7 Rezumat......................................................................................................99 9.8 Teme de verificare, autoverificare.............................................................99 Unitatea de nvare 10..............................................................................................100 10.1 Introducere.............................................................................................100 10.2 Competene.............................................................................................100 10.3 Coduri liniare.........................................................................................101 10.4 Distana i msura Hamming.................................................................104 10.5 Tabela standard, sindroame...................................................................105 10.6 Decodificarea pas cu pas.......................................................................107 10.7 Coduri Hamming....................................................................................109 10.8 Rezumat..................................................................................................110 10.9 Teme de verificare, autoverificare.........................................................111 Tem de control........................................................................................................112 Bibliografie................................................................................................................113

6

Chestionar evaluare prerechizite1. 2. 3. 4. Definiti notiunile de functie, domeniu de definitie, grafic al unei functii. Determinai un subgrup al grupului (Z,+). Considerai o permutare de 6 elemente i determinai semnul ei. Demonstrai c mpreun cu operaiile uzuale de adunare i nmulire Z5 e corp iar Z6 este inel cu divizori ai lui 0. 5. Exprimai valoarea determinantului adjunctei matricii A n funcie de determinantul matricii A.

7

Unitatea de nvare 1

Cuprins 1.1. Introducere..........................................................8 1.2. Competene..........................................................8 1.3 Multimi si functii.................................................9 1.4 Relatii..................................................................11 1.5 Relatii binare......................................................13 1.6 Rezumat..............................................................18 1.7Teme de evaluare, autoevaluare.........................18

1.1. Introducere Acest prim unitate de nvtare este destinat n primul rand recapitularii prerechizitelor din ciclul preuniversitar legate de noiunea de funcie i completarea lor cu noi cunotine i anume noiunea de preimagine a unui element, caracterizarea general a noiunii de functie injectiv, surjectiv, bijectiv, caracterizarea multimii soluiilor unei ecuaii generat de o funcie injectiv, surjectiv, bijectiv. Se generalizeaz notiunea de funcie cu notiunea de relatie pentru care se definesc domeniul, codomeniul, graficul, compunerea i inversa. Pentru cazul particular al relaiilor binare se dezvota cunostinele despre relatia de echivalen si relaia de ordine. Se pune in eviden conexiunea dintre clasele de echivalen ataate unei mulimi i partiionarea ei. 1.2. Competenele unitii de nvare Dup parcurgerea unitii studentul va fi capabil : - s cunosc noiunea de relaie, clasa de echivalen i partiie - s explice importana acestor noiuni - s aplice n regim independent acquiul

Durata medie de parcurgere a primei uniti de nvare este de 3 ore de studiu individual.

8

Mulimi si functii

9

Demonstrai propoziia anterioar. Indicaie: Presupuneti c f nu e injectiv i din faptul c compunerea lui gt cu f este injectiv rezult o contradicie.

10

Relaii

11

Dati exemplu de relatie, construiti inversa ei si comparati cele doua grafice daca domeniul si codomeniul sunt submulttimi finite ale lui N.

12

Relaii binare

13

14

Desenati exemple de clase de echivalen pentru relaia defint anterior si dati exemple de sisteme de reprezentani.

15

Cteva exemple ne vor stabiliza informaiile recepionate anterior.

16

Dati exemplu de relaie de echivalen care este simultan i relaie de ordine

S ne reamintim... O relaie de echivalen este simetric, reflexiv i tranzitiv. Unei relaii de echivalen i se ataeaz o mulime ct a claselor de echivalen. Clasele de ecchivalen formeaz o partiionare a mulimii date. Orice partiionare determin o relaie de echvalen.

1

Rezumat Noiunea de funcie ce desemneaz o coresponden unu la unu ntre elementele a dou mulimi se generalizeaz cu noiunea de relaie ce desemneaz o coresponden de tip unu la mai multe. Dintre relaii considerm pe cele stabilite ntre elementele aceleiasi multimi si introducem notiunea de relaie binar. Cele dou tipuri de relaii studiate sunt relaia de echivalen i relatia de ordine.

Test de evaluare a cunotinelor

Test de cu grad sporit de dificultate

18

Unitatea de nvare 2Cuprins 2.1 Introducere.....................................................................19 2.2 Competene....................................................................19 2.3 Operaii interne.............................................................19 2.4 Tabla unei legi de compoziie.......................................23 2.5 Operaii externe, Aciune i lege de aciune.................24 2.6 Rezumat........................................................................27 2.1. Introducere Unitatea de nvare nr. 2 are ca scop reluarea noiunilor din acquiul preuniversitar i fundamentarea lui pe baze tiinifice. De exemplu noiunea de operaie extern n nvmntul preuniversitar este prezentat doar intuitiv, la fel , de exemplu, tabla unei legi de compoziie este prezent tot intuitiv. In cadrul acestei uniti de nvare sunt introduse noiunile fundamentale de operaie interna, proprietile lor, construcia unei table a unei legi de compoziie interne care trebuie s satisfac unele condiii. Finalul acestei uniti de nvare are un grad de dificultate sporit. Fundamentarea teoretic riguroas a noiunii de operaie extern impune studentului cel mai mare efort. Exemplele i aplicaiile propuse ca exerciiu faciliteaz nelegerea materialului. 2.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste noiunile de operaie intern, operaie extern, tabl a unei legi de compoziie, determinarea unor izomorfisme cu ajutorul tablei legii de compoziie - a explica importana de operaie intern i operaie extern - a aplica n contexte chiar complicate rechizitele

Durata medie de parcurgere a acestei uniti de nvare este de 3 ore.

Operaii interne

19

20

Demonstrai propoziia 13. Ind. Se folosesc definiiile elementului neutru i a elementelor simetrizabile.

Demonstrai propoziia 14. Ind. Se folosesc definiiile elementului neutru i a elementelor simetrizabile.

21

22

Tabla unei legi de compoziie

23

Motivai c operaia astfel definit este comutativ i demstrai c este asociativ..

. Verificai ca cele trei table la care suntem condui de ipotez sunt:

Operaii externe. Aciune i lege de aciune

24

25

26

S ne reamintim In cadrul unei operaii interne se compun dou elemente ale aceleeai mulimi. Aciunea unei mulimi asupra altei mulimi nu este o operaie extern Legea de aciune este o operaie extern Exist o singur tabl a unui grup cu trei elemente Exist dou table distincte pentru grupuri cu patru elemente

Rezumat Se apeleaz la acquiul din nvmntul preuniversitar pentru noiunile de lege de compoziie intern, asociativitate, element neutru, element simetrizabil i comutativitate. Sunt reiterate proprietile elementului neutru i ale simetricului. Se enunt regulile folosite la construcia tablelor legilor de compoziie. Se introduce cu fundamentare teoretic noiunea de lege de compoziie extern

Test de evaluare a cunotinelor

27

Test de autoevaluare a cunotinelor 1. Evideniati diferena dintre aciune i lege de aciune. 2. Construii tabla unei legi cu element neutru, cu orice element simetrizabil, comutativ, pentru o mulime cu cinci elemente. 3. La cte table distincte se ajunge n cazul anterior? Indicaie: 1. Recitii definiiile. 2. Refacei rationamentele de la tablele pentru mulimi cu patru elemente

28

Unitatea de nvare 3Cuprins 3.1 Introducere...........................................................29 3.2 Competene...........................................................29 3.3 Semigrupuri libere................................................29 3.4 Proprieti aritmetice...........................................30 3.5 Preegalare............................................................33 3.6 Rezumat...............................................................35 3.7 Teme de evaluare, autoevaluare.........................36. 3.1. Introducere Unitatea de nvare nr. 3 prezint un grad de noutate absolut pentru student. Sunt introduse noiunile fundamentale din domeniul semigrupurilor libere generate de o mulime. Se prezint noiunile de alfabet, cuvnt, concatenare, simboli, prefix, sufix, preegalare de propoziii, egalare de propozitii. Noutatea noiunilor prezint un grad de dificultate sporit i de aceea volumul de informaie este mai redus. 3.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste noiunea de cuvnt i propoziie - a explica importana n domeniu a acestor noiuni - a aplica n contexte simple rechizitele


Semigrupuri libere

29

Proprieti aritmetice

30

Este indicat urmrirea cu mare atenie a exemplului urmtor care este demonstrat n detaliu i care este pregtitor pentru teorema care urmeaz. Este apoi indicat o analiz a diferenelor in demonstrarea teoremei i rezolvarea exemplului.

31

Rezolvarea acestui exerciiu este urmtoarea:

Refacei exerciiul schimbnd datele numerice i rezolvati FR a urmri rezolvarea propus anterior

32

Preegalarea propoziiilor

33

34

Pentru cazul n care I={a,b} graful ataat este dat de urmtorul exemplu:

S ne reamintim... Revenii asupra definiiilor cuvntului, concatenrii, teoremelor de la proprietI aritmetice. Acordai o atenie deosebit preegalrii propoziiilor.

Rezumat Se introduce noiunea de semigrup liber generat de o mulime finit. Elementele acestei mulimi se numesc simboluri iar elementele semigrupului se numesc cuvinte. Mulimi cu acelai cardinal genereaz semigrupuri libere izomorfe. Pornind de la mulimea elementelor unui semigrup liber se poate construi un nou semigrup liber. Elementele acestuia se numesc propoziii. Preegalarea i egalarea a dou propozitii din dou semigrupuri libere distincte este important pentru posibilitatea deducerii poziiei separatorilor dintr-o propoziie n mod automat.

35

Test de evaluare a cunotinelor TODO 1 si TODO 2

Test de autoevaluare a cunotinelor Daca p=aabbc si q=cbabd determinati relaiile dintre a, b, c, d astfel nct pq=qp Indicaie: Aplicai Teorema 2

36

Unitatea de nvare 4Cuprins 4.1 Introducere.........................................................37. 4.2 Competene.........................................................37 4.3 Grupuri. Proprieti ale grupurilor...................37 4.4 Subgrupuri.........................................................39 4.5 Clase laterale.....................................................43 4.6 Grupuri finite.................................................... 44 4.7 Rezumat.............................................................46 4.8 Teme de evaluare, autoevaluare.......................46. 4.1. Introducere Unitatea de nvare nr. 4 este destinat aprofundrii noiunilor din acquiul preuniversitar, fundamentarea lui pe baze tiinifice i imbogirea lui cu cunotine utile n domeniul informatic. Noiunea fundamental prezentat este cea de grup i studiul se dezvolt n ideea acumulrilor calitative relativ la grupuri finite. Gradul de dificultate al materialului prezentat este mediu iar exemplele i aplicaiile de tip TODO faciliteaz nelegerea materialului. 4.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste noiunilor de grup, semigrup, clas lateral i grup finit. - a explica importana n studiul codurilor liniare i a problemelor de criptare a acestor noiuni - a aplica independent n contexte medii de dificultate rechizitele


Grupuri. Proprieti ale grupurilor

37

Mulimea numerelor ntregi mpreun cu operaia de adunare este un grup comutativ. Cu operaia de nmulire Z un este grup. (Motivai de ce). Mulimea {-1,1} mpreun cu operaia de nmulire este grup.

Cititorul este sftuit s transcrie unele dintre proprietile grupului n notaie aditiv. Sub aceast form vor fi aplicate aceste noiuni n unitile de nvare urmtoare.

Putem afirma c elementele e i x din definiia anterioar sunt elementul neutru i simetricul lui x? (motivai rspunsul!).

Urmtoarele teoreme ne vor demonstra c elementele impuse de definiia 1 sunt de fapt elementul neutru i simetricul lui x dar n cadrul definiiei acest lucru nu este evident.

38

S ne reamintim...

Subgrupuri

39

Dac S este mulimea numerelor ntregi pare atunci S este parte stabil a lui (Z,+).

40

Indicaie. Se utilizeaz propoziiile i definiiile anterioare demonstraia reieind prin calcul direct.

Exemple: Dac G este un grup atunci att G ct i {e} sunt subgrupuri ale lui G. Acestea se numesc subgrupuri improprii.

Multiplii unui numr ntreg formeazp grup n raport cu operaia de nmulire a numerelor ntregi. Prin urmare aceast mulime este un subgrup al lui Z.

Demonstrai c acestea sunt singurele subgrupuri ale lui Z. (grad sporit de dificultate. Pentru ndrumare vedei Ion. D. Ion Algebra pag 37)

41

42

Demonstrai punctul al patrulea al propoziiei anterioare.

Clase laterale

43

Trecei n scriere aditiv rezultatele paragrafului anterior.

Grupuri finite

44

45

Rezumat In aceast unitate de nvare se detaliaz notiunile de grup i subgrup. In debutul expunerii se face diferena ntre o definiie a noiunii de grup utiliznd proprietile operaiilor interne i n paralel utiliznd o definiie minimal. Se studiaz noiunea de subgrup i cea de clas lateral. In paragraful de grupuri finite se pune accentul pe rezultatele teoremelor lui Lagrange i Cayley

Test de evaluare a cunotinelor Se recomand prezentarea tuturor aplicaiilor de tip TODO

Test de autoevaluare a cunotinelor Determinai clasa lateral a lui 3 relativ la (2Z,+).

46

Unitatea de nvare 5Cuprins 5.1 Introducere....................................................47. 5.2 Competene....................................................47 5.3 Permutri......................................................47 5.4 Inversiuni i semnul unei permutri.............50 5.5 Ciclurile unei permutri...............................54 5.6 Rezumat........................................................56 5.7 Teme de evaluare, autoevaluare..................56 5.1. Introducere Unitatea de nvare nr. 5 este destinat aprofundrii noiunilor din acquiul preuniversitar, fundamentarea lui pe baze tiinifice i imbogirea lui cu cunotine utile n domeniul informatic. Noiunea fundamental prezentat este cea de permutare i studiul se dezvolt n ideea acumulrilor calitative relativ la aceast noiune. Introducerea noiunii de ciclu al unei permutri dezvolt posibilitile de abordare a problematicii ntlnite n practic. Gradul de dificultate al materialului prezentat este mediu iar exemplele i aplicaiile de tip TODO faciliteaz nelegerea materialului. 5.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste n profunzime noiunea de pemutare necesar n studiul i perfecionarea algoritmilor de sortare. - a explica importana n studiul codurilor liniare i a problemelor de criptare a acestor noiuni - a aplica independent n contexte medii de dificultate rechizitele


PermutriS ne reamintim:

47

48

Utiliznd prerechizitele din ciclul preuniversitar i noiunile studiate n Unitile de nvaare anterioare putem S ne reamintim...

Demonstrai c inversa unei transpoziii elementare este acea transpoziie.

49

Scriei permutarea de la exemplul anterior ca produs de transpoziii n condiia n care impunem ca la primul pas imaginea lui 1 s fie 1.

Inversiuni i semnul unei permutri

50

Determinai numrul maxim de inversiuni pe care l poate avea o permutare de n elemente.

51

52

Ciclurile unei permutri

53

54

Rezumat In aceast unitate de nvare se detaliaz notiunile de permutare a unei mulimi cu n elemente. In debutul expunerii se face un feedback cu elemntele acquiului din ciclul preuniversitar i apoi se introduc noiunile care fundamenteaz cunotinele despre permutri. Calculul numrului de inversiuni i determinarea semnului unei permutri sunt prezentate pe larg. In final se introduce notiunea de ciclu al unei permutri, noiune care generalizeaz pe cea de transpoziie. Dezvoltarea unei permutri dup ciclurile ei prezint importan deosebita. Permutarile ciclice sunt si ele evideniate prin unele proprieti.

Test de evaluare a cunotinelor 1. Considerm o permutare dat (aleas de dumneavoastr) din S7. Determinati numarul inversiunilor sale, semnul permutrii, scriei aceast permutare ca produs de transpoziii. Determinai ciclurile 55

ataate acestei permutri. 2. Pentru permutarea considerat determinai cea mai mica valoare nenul k astfel nct permutare ridicat la puterea k s fie exact pemutarea identic. Test de autoevaluare a cunotinelor Considerai grupul permutrilor de 5 elemente. Scriei trei sugrupuri ale acestui grup.

56

Unitatea de nvare 6Cuprins 6.1 Introducere..................................................57 6.2 Competene.................................................57 6.3 Inele............................................................57 6.4 Inele Booleene............................................61 6.5 Inele ordonate............................................62 6.6 Subinele, ideale, morfisme de inele...........63. 6.7 Rezumat.....................................................66. 6.8 Teme de evaluare, autoevaluare...............66.

6.1. Introducere Unitatea de nvare nr. 6 mbogete din punct de vedere teoretic prerechizitele din ciclul preuniversitar. Pornind de la recapitularea noiunii de inel se introduc spre studiu dou tipuri particulare de inele i anume inelele Booleene i inelele ordonate. Ambele noiuni prezint un grad de noutate absolut pentru student i au aplicabilitate direct n studiul informaticii. Mergnd pe tipicul de la UI5 sunt introduse i noiunile fundamentale de tip subinel, morfism de inele i ideale. Noutatea noiunilor prezint un grad de dificultate mediu iar aplicaiile de tip TODO i exemplele faciliteaz acumularea cunostinelor. 6.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste noiunile de inel, inel boolean, inel ordonat, subinel, morfism de inele i ideal. Manipularea acestor noiuni n context informatic este un obiectiv care poate fi atins cu uurin. - a explica importana n domeniu a acestor noiuni - a aplica n mod independent, fr ndrumare, n contexte medii ca dificultate de raionament rechizitele.


IneleNoiunea de inel face parte din bagajul de prerechizite cu care studentul vine din ciclul preuniversitar unde sub titulatura de inel i-a fost prezentat o structur algebric pe care sunt

57

introduse dou legi de conpozitie interne corelate n raport cu prima fiind grup iar n raport cu a doua fiind monoid. Este de fapt noiunea de inel unitar.

.

58

S ne reamintim...

S ne reamintim...

59

Exemple

Demonstrai c mulimea multiplilor de trei nzestrat cu adunarea i nmulirea uzual formeaza un inel comutativ fr unitate i fr divizori ai lui 0.

60

Inele Booleene

Exemplu:

Exemplu:

Demonstrai afirmaiile fcute n exemplul precedent.

61

Demonstrai prin calcul direct ultima afirmaie.

Inele ordonate

62

Demonstrai c ultima relaie definit este o relaie de ordine.

Subinele, ideale, morfisme de inele

63

Demonstrai teorema anterioar.

Demonstrai ultima afirmaie din exemplul precedent.

64

65

Demonstrai exemplul precedent. Ind.

Sunt introduse noiunile fundamentale de inel boolean i inel ordonat. Dintre teoremele prezentate reamintim ca nu exist inele booleene cu trei elemente i nu exist inele ordonate finite . Sunt prezentate pe larg noiunile de subinel i ideal.

Test de evaluare a cunotinelor Prezentai detaliat toate aplicaiile de tip TODO

Test de autoevaluare a cunotinelor Fie A un inel unitar comutativ i finit i a A. (a nenul) Atunci a este sau divizor al lui 0 sau este element inversabil. (Grad sporit de dificultate.) Un inel integru finit are toate elementele inversabile. (Consecina a afirmaiei anterioare.)

66

Unitatea de nvare 7Cuprins 7.1 Introducere...................................................67 7.2 Competene...................................................67 7.3 Corpuri.........................................................68 7.4 Divizibilitatea in Z i n K[X].......................70 7.5 Logaritmi discrei.........................................73 7.6 Corpul Z2/p(X).............................................74 7.7 Rezumat........................................................75 7.8 Teme de verificare, autoverificare...............75

7.1. Introducere Unitatea de nvare nr. 6 mbogete din punct de vedere teoretic prerechizitele din ciclul preuniversitar. Pornind de la recapitularea noiunii de corp se introduce spre studiu noiunea de corp finit. Paragrafele 4, 5, 6 sunt toate cu caracter aplicativ. n cadrul lor se consolideaz cunotinele acumulate n capitolele anterioare facilitnd pentru student aplicarea n contexte practice cu grad ridicat de abstracionalitate a rechizitelor. Recunoaterea configuraiei algebrice teoretice n problematica din informatic este mbuntit de aplicaiile prentate n aceast unitate de nvare. Logaritmii discrei i corpul Z2/p(X) sunt noiuni utilizate n criptare i n teoria codurilor. Mergnd pe tipicul de la UI6 sunt introduse i noiunile fundamentale de tip subcorp, morfism de corpuri. Noutatea noiunilor prezint un grad de dificultate mediu iar aplicaiile de tip TODO i exemplele faciliteaz acumularea cunostinelor. 7.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste noiunile de corp, cele legate de divizibilitate (fcnd o paralel ntre divizibilitatea n Z i cea ntr-un inel de polinoame) (util n teoria codurilor), notiunea de logaritm discret. Manipularea acestor noiuni n context informatic este un obiectiv care poate fi atins cu uurin. - a explica importana n domeniu a acestor noiuni - a aplica n mod independent, fr ndrumare, n contexte medii ca dificultate de raionament, rechizitele.


67

Corpuri

S ne reamintim...

68

Demonstrai exemplele 2 i 3.

69

Divizibilitatea n Z i K[X]S ne reamintim...

70

S ne reamintim...

71

Demonstrai propoziia 8

72

Demonstrai propoziiile 10 i 11

Logaritmi discrei

Demonstrai propoziia 12.

73

74

Rezumat Dup amintirea prerechizitelor se aprofundeaz studiul noinii de corp i n special a corpurilor finite. Se detalieaz noiuni legate de divizibilitate att n mulimea numerelor ntregi ct i n mulimea K[X]. Sunt date ca exemple algoritmii de detrminare a c.m.m.d.c. (dai de Euclid i de teorema lui Bezout). Utiliznd cunotinele acumulate se definesc logarimii discrei (utilizai n algoritmii de criptare). Se pun n eviden proprieti ale corpului Z2/p(X).

Test de evaluare a cunotinelor Prezentai rezolvrile de la aplicaiile de tip TODO

Test de autoevaluare a cunotinelor Construii logaritmii discrei n Z13.

75

Tem de control 1. Determinai toate relaiile de echivalen care pot fi construite pe o mulime cu 5 elemente. 2. Definii nmulirea unei matrici cu un numr ca lege de aciune. 3. Definii preegalarea propoziiilor i dai exemplu de dou propoziii 4. care se preegaleaz i de propoziii care se egaleaz. Dai exemplu de dou grupuri cu patru elemente care nu sunt izomorfe (motivai c nu sunt izomorfe utiliznd tablele legilor lor de compoziie). Stabilii o legtur ntre un algoritm de sortare cresctoare a unui ir i scrierea unei permutri ca produs de transpoziii. Gsii tablele legilor de compoziie ale unui inel Boolean cu 4 elemente. Scriei logaritmii discreti pentru Z19.

5. 6. 7.

Tema de control este apreciat cu note ntre 1 i 10 iar ponderea acestei note este 15% din nota final. Ea va fi prezentat cadrului didactic n ultima edin de consultaii organizat i va fi corectat pe loc, studentul primind i indicaii pentru corectarea erorilor sau pentru rezolvarea subiectelor abordate incorect.

76

Unitatea de nvare 8Cuprins 8.1 Introducere..................................................77 8.2 Competene.................................................77 8.3 Spaii vectoriale..........................................78 8.4 Subspaii vectoriale................................. ...79 8.5 Baz i dimensiune......................................81 8.6 Izomorfisme de spaii vectoriale.................84 8.7 Rezumat................................................... ...85 8.8 Teme de evaluare,autoevaluare............... ..85. 8.1. Introducere Pe lng studiul structurilor de tip semigrup liber, grup, inel, corp, pentru un student n informatic este deosebit de util nsuirea cunotinelor de Algebr liniar. Structura de tip spaiu vectorial permite deschidera cmpului de studiu referitor la calculul matricial cu aplicaii dar i la generalizarea noiunilor de unghi, modul i distan. Unitatea de nvare 9 introduce n primul rnd structura de spaiu vectorial, pe cea de subspaiu vectorial caracteriznd condiiile n care o mulime este un subspaiu. Se enun principiul dup care un vector poate fi descompus dup dou direcii, se introduc noiunile de combinaie liniar, inchidere liniar, combinaie liniar independent, baz i dimensiune.Rezultatul principal al unitii de nvare 8 este teorema de schimbare de baz. Noiunile de coordonat i sistem de coordonate sunt de asemenea introduse. Prerechizitele necesare sunt cele legate strict de notiunea de grup i lege de aciune. Noutatea noiunilor prezint un grad de dificultate mediu iar aplicaiile de tip TODO i exemplele faciliteaz acumularea cunostinelor. 8.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste noiunile generale de spaiu vectorial, baz dimensiune i coordonat Manipularea acestor noiuni n context informatic este un obiectiv care poate fi atins cu uurin. - a explica importana n domeniu a acestor noiuni - a aplica n mod independent, fr ndrumare, n contexte chiar dificile ca dificultate de raionament rechizitele.


77

Spaii vectoriale

Orice corp poate fi privit ca spaiu vectorial peste el nsui daca se ia n considerare operaia intern ca fiind adunarea din corp iar ca operaie extern nmulirea din corp.

78

Demonstrai c mulimea funciilor reale de forma f(x)=a+bx nzestrat cu operaia de adunare a funciilor i cu operaia extern de nmulire a unei funcii cu un numr real este un spaiu vectorial real. Demonstrai c mulimea matricilor ptrate cu dou linii i dou coloane, cu elemente numere reale, nzestrat cu adunarea matricilor i cu nmulirea matricilor cu un numr real este spaiu vectorial real.

Subspaii vectoriale

79

Urmtoarea propoziie o propunem spre demonstrare cititorului.

80

Demonstrai enunurile din Observaia 1.

Baz i dimensiune a unui spaiu vectorial

81

S ne reamintim... SISTEMUL S ESTE UN SISTEM FINIT DE VECTORI!

Demonstrai Corolarul 3 i Corolarul 4.

82

83

Efectuai calculele coirespunztoare exemplului 3.

Izomorfisme de spaii vectoriale

Demonstrai afirmaia din exemplul 4.

84

S ne reamintim... Un sistem de generatori minimal este o baz. Un sistem liniar independent maximal este o baz. Oricare dou spaii vectoriale peste acelai corp, care au aceeai dimensiune sunt izomorfe.

Rezumat Unitate de nvare 8 se caracterizeaz prin gradul nalt de abstractizare a noiunilor prezentate. Se introduc conceptele de spaiu i subspaiu vectorial. Pornind de la noiunea de sistem (finit) de vectori se construiesc noiunile de combinaie liniar, nchidere liniar, combinaie liniar independent. Un sistem de generatori liniar independent este o baz a spaiului vectorial. Orice vector admite o reprezentare unic ntr-o baz dat. Aplicaia care ataeaz unui vector coordonatele sale privite ca un vector din R n este un subspaiu vectorial.

Test de evaluare a cunotinelor Baza canonic ntr-un spaiu vectorial n-dimensional este acea baz n care componentele unui vector i coordonatele sale coincid. Considerm spaiul vectorial al polinoamelor ntr-o nedeterminat, de grad cel mult unu, cu coeficieni reali R1[ X ] = { p = a + bX | a, b R} . (operaiile care determin structura sunt adunarea polinoamelor i nmulirea lor cu un numr real) . Artai ca este un spaiu vectorial de dimensiune 2. Determinai n dou moduri baza canonic a acestui spaiu, direct prin calcul i cu ajutorul izomorfismului canonic cu R 2 dat de (a, b) a p = a + bx .

85

Test de autoevaluare a cunotinelor Dati exemplu de un spaiu vectorial real de dimensiune trei construit pe o mulime de matrici ptratice de ordin 2. Indicaie: In general un astfel de spaiu este de dimensiune 4. Alegerea unei forme speciale de matrice (de exemplu un element de pe o poziie fixat egal cu 0) conduce la un astfel de spaiu.

86

Unitatea de nvare 9

Cuprins 9.1 Introducere.......................................................................................87 9.2 Competene.......................................................................................87 9.3 Transformri liniare.........................................................................88 9.4 Matrice asociat unei transformri liniare......................................91 9.5 Reducere n treapt relativ la coloane a unei matrici......................92 9.6 Produs scalar, norm, metric.........................................................95 9.7 Rezumat............................................................................................99 9.8 Teme de evaluare, autoevaluare......................................................99 6.1. Introducere Aplicaiile legate de conceptul de spaiu vectorial sunt numeroase i cu grad mare de abstractizare. n consecin unitatea de nvare 9 prezint unele dintre ele. n primul rnd este evideniat noiunea de transformare liniar i cea de matrice ataat ei ntr-o baz. Se prezint apoi, ntr-un paragraf dedicat special lor, opraiile fundamentale asupra liniilor unei matrici. Aceste operaii conduc la reducerea matricii n trepte relativ la coloane respectiv reducerea matricii la o form canonic prin intermediul creia se poate detrmina cu uurin rangul ei. Reducerea n treapt relativ la coloane nu schimb rangul i produsul matricilor care fac reducerea reprezint n ultim instan (dac reducerea are ca rezultat matricea identic) chiar matricea de trecere de la baza dat la baza canonic. Se introduc n ultimul paragraf noiunile care conduc la geometrizarea spaiului. Sunt prezentate noiunile de ortogonalitate i de complement ortogonal Noutatea noiunilor prezint un grad de dificultate mediu iar aplicaiile de tip TODO i exemplele faciliteaz acumularea cunostinelor. 6.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste noiunile fundamentale din domeniul Algebrei liniare, ca i a noiunilor care conduc la geometrizarea spaiului. Utilizarea acestor noiuni n context informatic (codurile liniare sunt subspaii vectoriale, masura i distana Hamming sunt o norm i o metric speciale) este un obiectiv care poate fi atins cu uurin. - a explica importana n domeniu a acestor noiuni - a aplica n mod independent, fr ndrumare, n contexte medii ca dificultate de raionament rechizitele.


87

Transformri liniare

Demonstrai c aplicaiile din exemplele anterioare sunt transformri liniare.

88

Demonstrai afirmaia din Observaia 1.

89

Propunem cititorului demonstraia urmtoarei teoreme:

90

Matricea asociat unei transformri liniare

91

Demonstrai eneuurile Observaiei 2.

Reducerea n treapt relativ la coloane a unei matriciFie V un spaiu vectorial de dimensiune n peste corpul K i M o matrice cu m linii i n coloane cu elemente dein K. Orice linie din M poate fi privit ca un element din V. Dimensiunea subspaiului liniar generat de liniile matricii M poart numele de rangul linie al matricei M. Definim ca transformare elementar de linii una duintre urmtoarele trei transformri 1. Schimbarea a dou linii ntre ele. 2. nmulirea elementelor unei linii cu o constant

92

3. Adunarea la linia j a liniei i nmulit cu un scalar. Ne definim urmtoarele matrici patratice de ordin n: 1 pentru k = l , k i, k j - ( Si , j )(k , l ) = 1 pentru k = i, l = j sau k = j , l = i 0 in rest Aceasta este matricea care aplicat la stnga asupra lui A realizeaz schimbarea liniilor i i j ntre ele.De exemplu pentru n=4 matricea liniilor 2 i 4 ntre ele este 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 care realizeaz schimbarea

0 1 0 0

Pentru a facilita nelegerea modului de formare a matricii Si , j s observm c ea este obinut din matricea unitate de ordin n prin schimbarea ntre ele a liniilor i i j.1 k = l i - (Ci , )(k , l ) = k = l = i 0 k l

Aceasta este matricea care aplicat la stnga matricii M realizeaz nmulirea liniei i cu scalarul . Se observ c i aceasta matrice provine din matricea unitate singura diferen fiind pe poziia ii unde are valoarea .De exemplu matricea de ordin 4 care realizeaz nmulirea liniei a treia cu valoarea 7 este 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1

- (Ai ,j )(k , l ) =

1 pentru k = l pentru k = i si l = j 0 in rest

93

Este matricea care aplicat la stnga matricii M realizeaz adunarea in M la linia j a elementelor liniei j nmulite cu . Provine tot din matricea unitate n plus fa de aceasta avnd pe poziia ij valoarea .Matricea de ordin 4 care la linia a treia adun elementele liniei a doua nmulite cu 5 este: 1 0 0 0

0 1 5 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Dac matricea M este ptratic atunci efectul asupra determinantului lui M n urma aplicrii la stnga a primului tip de matrice este nmulirea sa cu -1, a celui de al doilea tip este nmulirea lui cu , n timp ce cel de al treilea tip nu modific determinantul lui M. S ne reamintim...

Matricile celor trei operaii elementare PRECEDENTE SUNT CHIAR REZULTATUL RESPECTIVELOR OPERAII EFECTUATE ASUPRA MATRICEI UNITATE. O matrice cu o linie (coloan) 0 sau cu doua linii (coloane) egale sau liniar dependente are detrminantul 0. Demonstrai c o matrice are determinantul 0 dac i numai dac o submulime a liniilor (coloanelor) sale este liniar dependent.

Fiecrei matrici A M m , n ( K ) i corespunde o form canonic n M m, n ( K ) , aa numita redusn trepte relativ la coloane notat RTC(A). RTC(A) poate fi obinut printr-o secven (nu neaprat unic) de operaii elementare. Mai multe matrici pot avea aceeai RTC , dar fiecare matrice A are o unic RTC relativ la secvena de operaii elementare folosit. Determinantul unei matrici ptratice A este nenul daca i numai dac RTC(A) este matricea unitate. n acest caz produsul transformrilor care conduc la RTC(A) este egal cu matricea invers a lui A. Aceasta este i matricea de schimbare de baz de la baza dat de liniile lui A la baza canonic.

94

Pentru un sistem de ecuaii liniare Ax=b mulimea soluiilor nu este afectat dac se execut operaii elementare aspra liniilor matricei extins M=(A b). Dou siteme de forma Ax=b sunt echivalente dac matricile extinse corespunztoare au acelai RTC. Operaiile elementare nu modific rangul unei matrici care este acelai cu rang(RTC(A)) iar acesta este n mod evident egal cu numrul liniilor nenule din RTC(A). ATENTIE: DETERMINAREA RANGULUI PRIN CALCULAREA RTC ESTE O PROCEDUR INSTABIL NUMERIC. Definiia lui RTC(A) d i modul de obinere al ei. Definiie RTC(A) ndplinete urmtoarele condiii: 1. Orice linie ce nu e format numai din zerouri are pe 1 ca prim element nenul. 2. Toate celelalte elemente ale coloanei corespunztoareacestui 1 sunt 0. 3. Toate liniile care conin numai zerouri sunt ultimele ale matricii. 4. Elementele 1 de la primul punct apar sub form de scar de la stnga la dreapta adic primul element nenul al unei linii inferioare este la dreapta primului element nenul corespunztor unei linii superioare. 1 1 1 1 0 0 4 Calculati RTC(M) dac M = 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0 0 0 1 3

Produs scalar, norm, metric

95

96

97

98

S ne reamintim...

Revenii asupra definiiilor de la reducere n treapt relativ la coloane, produs scalar, norm, metric.

Rezumat Unitatea de nvare 9 este mai ampl. Cunostinele acumulate din ea au un grad mediu de dificultate relativ la nelegere i posibilitate de aplicare. Calculul matricial i notiunile din unitatea de invare 8 reprezint prerechizitul necesar. In aceast unitate se dezvolt noiunile de transformare liniar cu precizarea modului de a determina soluia general a unei ecuaii generat de o transformare liniar, reducerea n treapt relativ la coloan si geometrizarea spaiului vectorial prin introducerea pe el a unui produs scalar sau a unei norme sau a unei metrici. Ortoganalitatea unui sistem de vectori este caracterizat de asemenea.

Test de evaluare a cunotinelor Redactai rezolvrile de la aoplicaiile de tip TODO .

Test de autoevaluare a cunotinelor Artai ca doi vectori ortogonali sunt liniar independeni.

99

Unitatea de nvare 10Cuprins

10.1 Introducere............................................................100 10.2 Competene............................................................100 10.3 Coduri liniare.........................................................101 10.4 Distana i msura Hamming................................102 10.5 Tabel standard , sindroame ................................104 10.6 Decodificare pas cu pas........................................105 10.7 Coduri Hamming...................................................107 10.8 Rezumat.................................................................110 10.9 Teme de evaluare, autoevaluare...........................11110.1. Introducere Unitatea de nvare 10 este dedict n ntregime prezentrii noiunilor legate de coduri liniare. Sunt introduse astfel codurile liniare ca fiind subspaii ale spaiului vectorial aritmetic Kn unde K={0,1}. Abordarea vectorial, prin prisma rechizitelor de la unitile de nvare anterioare faciliteaz acumularea cunostinelor. Se prezint matricile generatoare , matricile de verificare a paritii i relaiile de verificare a paritii. Pe codurile liniare sunt introduse elementele unei protogeometrii prin intermediul masurii i distanei Hamming. Cunotinele acumulate de la teoria grupurilor sunt folosite pentru construcia claselor laterale ale unui cod liniar i de aici tabela standard a unui cod. Se introduce noiunea de sindrom ataat unei clase laterale i de aici decodificarea folosind sindroamele. Prin intermediul tabelei standard se propune studiul decodificrii pas cu pas ce mbuntete decodificare cu sindroame. In final sunt propuse spre aprofundare cunotine legate de codurile Hamming, coduri corectoare pentru o eroare. Noutatea noiunilor prezint un grad de dificultate mediu iar aplicaiile de tip TODO i exemplele faciliteaz acumularea cunostinelor. 6.2. Competenele unitii de nvare Parcurgerea cu atenie sporit a materialului va asigura studentului posibilitatea de - a cunoaste noiunile de cod liniar, matrice generatoare, matrice de verificare a paritii, msur i distan Hamming, tabele standard, tabele de sindroame i cod Hamming. Aplicarea acestor noiuni n context informatic este un obiectiv care poate fi atins cu uurin. - a explica importana n domeniu a acestor noiuni - a aplica n mod independent, fr ndrumare, n contexte medii ca dificultate de raionament rechizitele.

100


Coduri liniare

101

Msura i distana Hamming

Nu demonstrm teorema anterioar.

102

103

Coduri liniar echivalente

104

Tabloul standard pentru un cod liniar, sindroameS ne reamintim... Revenii asupra definiiei claselor laterale i a teoremelor premergtoare Teoremei Lagrange din subcapitolul Grupuri Finite din Unitatea de nvare 5.

105

106

Decodificarea pas cu pas

107

108

Coduri Hamming

109

Rezumat Pornind de la rechizitele din unitile de nvare anterioare sunt introduse conceptele de: cod liniar, matrice generatoare, matrice de verificare a paritii, msur i distan Hamming. Problema decodificrii pe un canal cu zgomot se face prin intermediul tabelei standard care reprezinta clase laterale ale grupului dat de codul liniar binar. Este analizat i noiunea de sindrom. Paragraful urmtor este dedicat analizei modului n care o tabel standard este util n decodificarea pas cu pas. Ultimul paragraf este consacrat noiunii de cod Hamming, si se arat cum un astfel de cod respect teoremele de detectare i corectare a erorilor. .

Test de evaluare a cunotinelor RedactaI rezolvrile de la aplicaiile de tip TODO

110

Test de autoevaluare a cunotinelor 1. Construiti un cod binar C(5,3). Scrieti matricea generatoare, determionati matricea de verificare a paritii, scrieti tabloul standard i tabloul de sindroame aferent. Decodificati mesajul 11011. 2. Scrieti matricea de verificare a paritii pentru un cod Hamming C(7,4) .

Scriei relaiile de verificare a paritii. Codificai un mesaj. CorectaI o eroare simpl. Indicaie: Urmrii ultimul exemplu din unitatea de nvare 10.

111

Tem de control 1. Definii noiunea de liniar independen i demonstrai ca doi vectori ortogonali sunt liniar independeni. 2. Artai c V = {(a,0) | a R} este subspaiu vectorial de dimensiune 1 al lui R 2 . 3. Definii dou metrici distincte pe R 2 . 4. Construii un cod binar C(5,3). Punei n eviden o matrice generatoare, matricea de verificare a paritii corespunzatoare. 5. Construii alt cod binar C(5,3) i pentru el scriei tabela standard i tabela de sindroame. 6. Decidei dac 1110101 este un cuvnt cod Hamming C(7,4).

Tema de control este apreciat cu note ntre 1 i 10 iar ponderea acestei note este 15% din nota final. Ea va fi prezentat cadrului didactic n ultima edin de consultaii organizat i va fi corectat pe loc, studentul primind i indicaii pentru corectarea erorilor sau pentru rezolvarea subiectelor abordate incorect.

112

Bibliografie.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Creang I., Simovici D., Teoria codurilor, E.D.P. Bucureti 1975 Beju A., Beju I., Compendiu de matematic,Ed. St. Enciclopedic Bucureti 1985 Bourbaki N., ALGEBRE cap 1-9, act.sci.ind. Hermann Paris, 1971 Horn R.A., Johnson Ch.R., Analiza matricial,Ed. Theta Bucureti 2001 Pun M., Matematici superioare, Ed. Fair Partners Bucureti 2004 Balan V., Algebr liniar, geometrie analitic, Ed. Fair Partners Bucureti 1999 Ion D.I., Radu N., Algebr, Ed. D.P. Bucureti 1974

113

algebra pentru a - paun

Documents