algebra rubikove kockepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2018/07/rubikova_kocka.pdfkratakistorijat...

Kratak istorijatAlgebra

Rubikova kocka

Algebra Rubikove kocke

Tamara Krivokuća

IS Petnica

[email protected]

23.07.2018.

1 / 44


Rubikova kocka

O čemu ćemo danas pričati...

1 Kratak istorijat

2 AlgebraOsnovni pojmoviGeneratori i ciklične grupeSimetrična grupa

3 Rubikova kockaOznakeGrupa Rubikove kockeKonfiguracije

2 / 44


Rubikova kocka

KRATAK ISTORIJAT

3 / 44


Rubikova kocka

Kratak istorijat

Rubikovu kocku je izumeo mađarski arhitekta Erno Rubik1974. godine.On ju je nazvao "Magična kocka", ali je ime promenjeno kadje puštena u prodaju.Na tržistu se pojavila u maju 1980. godine, postala jepopularna krajem te godine, i dobila mnoge nagrade.Između 1980. i 1983. prodato 200 miliona kocaka.Do danas prodato preko 350 miliona kocaka.Spidkjubing - trenutni rekord 4.22 sekunde!

4 / 44


Rubikova kocka

Osnovni pojmoviGeneratori i ciklične grupeSimetrična grupa

ALGEBRA

5 / 44


Rubikova kocka


Osnovni pojmovi

Definicija 1

Grupa (G , ·) je neprazan skup G sa binarnom operacijom · kojazadovoljava sledeće osobine:

1 Zatvorenost operacije: Ako a, b ∈ G onda a · b ∈ G2 Asocijativnost: Za sve a, b, c ∈ G važi a · (b · c) = (a · b) · c3 Neutralni element: Postoji e ∈ G takvo da a · e = e · a = a, za

svako a ∈ G4 Inverzni element: Za svako a ∈ G postoji b ∈ G takvo da

a · b = b · a = e(za svako a odgovarajući inverz označavamo sa a−1)

Skup G se naziva nosač grupe.

6 / 44


Rubikova kocka


Osnovni pojmovi

Definicija 1


1 Zatvorenost operacije: Ako a, b ∈ G onda a · b ∈ G

2 Asocijativnost: Za sve a, b, c ∈ G važi a · (b · c) = (a · b) · c3 Neutralni element: Postoji e ∈ G takvo da a · e = e · a = a, za




6 / 44


Rubikova kocka


Osnovni pojmovi

Definicija 1


1 Zatvorenost operacije: Ako a, b ∈ G onda a · b ∈ G2 Asocijativnost: Za sve a, b, c ∈ G važi a · (b · c) = (a · b) · c

3 Neutralni element: Postoji e ∈ G takvo da a · e = e · a = a, zasvako a ∈ G

4 Inverzni element: Za svako a ∈ G postoji b ∈ G takvo daa · b = b · a = e(za svako a odgovarajući inverz označavamo sa a−1)


6 / 44


Rubikova kocka


Osnovni pojmovi

Definicija 1



svako a ∈ G

4 Inverzni element: Za svako a ∈ G postoji b ∈ G takvo daa · b = b · a = e(za svako a odgovarajući inverz označavamo sa a−1)


6 / 44


Rubikova kocka


Osnovni pojmovi

Definicija 1






6 / 44


Rubikova kocka


Osnovni pojmovi

Definicija 2

Ako u grupi (G , ·) važi komutativnost, odnosno za sve a, b ∈ G :a · b = b · a,

kažemo da je grupa Abelova.

Definicija 3

Neka je (G , ·) grupa. Za neprazan podskup H skupa G kažemo daje podgrupa grupe G ako je i sam grupa. Pišemo H ≤ G .

Deinicija 4

Red grupe (G , ·), u oznaci |G |, je kardinalnost skupa G . Kažemoda je grupa konačna ako je |G |


Rubikova kocka


Generatori i ciklične grupe

Lema 1Neka je (G , ·) grupa, i S ⊆ G , neprazan. Skup

H = {s1 · s2 · ... · sn | si ∈ S ∪ S−1, i = 1, ..., n, n ∈ N}

čini podgrupu grupe G .(S−1 = {s−1 | s ∈ S})

Definicija 5Za podgrupu H iz leme 1 kažemo da je generisana elementima izS , odnosno S je skup generatora podgrupe H, u oznaci H = 〈S〉.

Napomena: Za S = {a1, ..., an} pišemo H = 〈a1, ..., an〉.

8 / 44


Rubikova kocka


Definicija 6

Grupa (G , ·) je ciklična ako postoji g ∈ G takvo da G = 〈g〉.

Lema 2Neka je (G , ·) konačna grupa i g ∈ G . Tada postoji prirodan broj ntakav da je gn = e. Takođe, g−1 = gn−1.

9 / 44


Rubikova kocka


Lema 3Neka je (G , ·) konačna grupa i S ⊆ G . Tada G = 〈S〉 akko svakielement iz G može da se napiše kao konačan proizvod elemenata izS (Dakle, nisu nam potrebni inverzni elementi elemenata iz S).

Dokaz:(⇐) Trivijalno.(⇒) Neka važi G = 〈S〉. To znači da se svako g ∈ G moženapisati u obliku g = s1 · ... · sn, si ∈ S ∪ S−1. Dakle, treba dapokažemo da se inverz svakog elementa iz S može napisati kaoproizvod elemenata iz S. To ćemo pokazati indukcijom.

10 / 44


Rubikova kocka



Dokaz:(⇐) Trivijalno.

(⇒) Neka važi G = 〈S〉. To znači da se svako g ∈ G moženapisati u obliku g = s1 · ... · sn, si ∈ S ∪ S−1. Dakle, treba dapokažemo da se inverz svakog elementa iz S može napisati kaoproizvod elemenata iz S. To ćemo pokazati indukcijom.

10 / 44


Rubikova kocka



Dokaz:(⇐) Trivijalno.(⇒) Neka važi G = 〈S〉. To znači da se svako g ∈ G moženapisati u obliku g = s1 · ... · sn, si ∈ S ∪ S−1. Dakle, treba dapokažemo da se inverz svakog elementa iz S može napisati kaoproizvod elemenata iz S. To ćemo pokazati indukcijom.

10 / 44


Rubikova kocka


Za n = 1, tj g = s1 imamo sledeće mogućnosti:s1 ∈ S : Ovo je ok.s−11 ∈ S : Prema Lemi 2, s

−11 = s

m1 , za neko m ∈ N. Dakle,

g = sm1 , što smo i hteli.Pretpostavimo sada da tvrđenje važi za sve prirodne brojeve manjeod n. Neka je g = s1 · ... · sn. Po induktivnoj hipotezi znamo da seelementi s1 · ... · sn−1 i sn mogu prikazati kao proizvod elemenata izS . Sledi da to važi i za g .

�

11 / 44


Rubikova kocka


Lema 4Neka je (G , ·) konačna grupa i S ⊆ G . Ako važi:

1 svaki element iz S zadovoljava neko svojstvo P,2 ako g , h ∈ G zadovoljavaju P, onda g · h zadovoljava P,

tada svaki element iz 〈S〉 zadovoljava P

Dokaz:Sledi iz Leme 3, indukcijom.

�

12 / 44


Rubikova kocka


Simetrična grupa

Lema 5Neka je X neprazan skup. Skup svih bijekcija skupa X na samogsebe sa operacijom kompozicije čini grupu.

Definicija 5Grupa iz Leme 5 se naziva simetrična grupa skupa X , u oznaciSym(X ). Ako je X = {1, 2, ..., n}, simetričnu grupu od Xoznačavamo sa Sn.

Možemo primetiti da su elementi grupe Sn sve permutacije skupa{1, 2, ..., n}. Ove permutacije možemo prikazati na sledeći način:za σ ∈ Sn pišemo

σ =

(1 2 · · · i · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(i) · · · σ(n)

)

13 / 44


Rubikova kocka


Simetrična grupa

Lema 5Neka je X neprazan skup. Skup svih bijekcija skupa X na samogsebe sa operacijom kompozicije čini grupu.

Definicija 5Grupa iz Leme 5 se naziva simetrična grupa skupa X , u oznaciSym(X ). Ako je X = {1, 2, ..., n}, simetričnu grupu od Xoznačavamo sa Sn.

Možemo primetiti da su elementi grupe Sn sve permutacije skupa{1, 2, ..., n}. Ove permutacije možemo prikazati na sledeći način:za σ ∈ Sn pišemo

σ =

(1 2 · · · i · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(i) · · · σ(n)

)13 / 44


Rubikova kocka


Primer:

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 5 6 4 8 10 3 2 9 1

)

Uočimo sledeće cikluse:1 7−→ 7 7−→ 3 7−→ 6 7−→ 10 7−→ 12 7−→ 5 7−→ 8 7−→ 24 7−→ 49 7−→ 9Pišemo σ = (1 7 3 6 10)(2 5 8)(4)(9).

14 / 44


Rubikova kocka


Primer:

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 5 6 4 8 10 3 2 9 1

)Uočimo sledeće cikluse:

1 7−→ 7 7−→ 3 7−→ 6 7−→ 10 7−→ 12 7−→ 5 7−→ 8 7−→ 24 7−→ 49 7−→ 9Pišemo σ = (1 7 3 6 10)(2 5 8)(4)(9).

14 / 44


Rubikova kocka


Primer:

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 5 6 4 8 10 3 2 9 1

)Uočimo sledeće cikluse:1 7−→ 7 7−→ 3 7−→ 6 7−→ 10 7−→ 1

2 7−→ 5 7−→ 8 7−→ 24 7−→ 49 7−→ 9Pišemo σ = (1 7 3 6 10)(2 5 8)(4)(9).

14 / 44


Rubikova kocka


Primer:

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 5 6 4 8 10 3 2 9 1

)Uočimo sledeće cikluse:1 7−→ 7 7−→ 3 7−→ 6 7−→ 10 7−→ 12 7−→ 5 7−→ 8 7−→ 2

4 7−→ 49 7−→ 9Pišemo σ = (1 7 3 6 10)(2 5 8)(4)(9).

14 / 44


Rubikova kocka


Primer:

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 5 6 4 8 10 3 2 9 1

)Uočimo sledeće cikluse:1 7−→ 7 7−→ 3 7−→ 6 7−→ 10 7−→ 12 7−→ 5 7−→ 8 7−→ 24 7−→ 4

9 7−→ 9Pišemo σ = (1 7 3 6 10)(2 5 8)(4)(9).

14 / 44


Rubikova kocka


Primer:

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 5 6 4 8 10 3 2 9 1

)Uočimo sledeće cikluse:1 7−→ 7 7−→ 3 7−→ 6 7−→ 10 7−→ 12 7−→ 5 7−→ 8 7−→ 24 7−→ 49 7−→ 9

Pišemo σ = (1 7 3 6 10)(2 5 8)(4)(9).

14 / 44


Rubikova kocka


Primer:

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 5 6 4 8 10 3 2 9 1

)Uočimo sledeće cikluse:1 7−→ 7 7−→ 3 7−→ 6 7−→ 10 7−→ 12 7−→ 5 7−→ 8 7−→ 24 7−→ 49 7−→ 9Pišemo σ = (1 7 3 6 10)(2 5 8)(4)(9).

14 / 44


Rubikova kocka


Definicija 6

Ciklus (i1 i2 · · · ik) je element τ ∈ Sn definisan na sledećinačin:

1 τ(i1) = i2, τ(i2) = i3, ..., τ(ik−1) = ik , τ(ik) = i1,2 τ(j) = j , za j 6= ir , r = 1, ..., n.

k je dužina ciklusa (kažemo da je τ k-ciklus), a skup {i1, i2, ..., ik}je nosač ciklusa, u oznaci suppτ .Kažemo da su ciklusi σ i τ disjunktni ako suppσ∩ suppτ = ∅. (∗)

Lema 6Disjunktni ciklusi su permutabilni.

Dokaz:Neka su σ, τ ∈ Sn dva disjunktna ciklusa, tj suppσ∩ suppτ = ∅.

15 / 44


Rubikova kocka


Neka je i ∈ {1, ..., n}. Imamo dve mogućnosti:

i /∈ suppσ i i /∈ suppτ . Tada σ(i) = τ(i) = i , pa je(στ)(i) = (τσ)(i) = i .i pripada tačno jednom od nosača σ i τ . Neka je to b.u.o.suppτ . Tada σ(i) = i , pa je (στ)(i) = τ(σ(i)) = τ(i). Poštoje τ(i) ∈ suppτ i važi (∗), sledi τ(i) /∈ suppσ, odnosnoσ(τ(i)) = (τσ)(i) = τ(i).

�

Svaka permutacija se može napisati kao proizvod, tj. kompozicijadisjunktnih ciklusa.Ciklus dužine 2 se naziva transpozicija.

16 / 44


Rubikova kocka


Neka je i ∈ {1, ..., n}. Imamo dve mogućnosti:i /∈ suppσ i i /∈ suppτ . Tada σ(i) = τ(i) = i , pa je(στ)(i) = (τσ)(i) = i .

i pripada tačno jednom od nosača σ i τ . Neka je to b.u.o.suppτ . Tada σ(i) = i , pa je (στ)(i) = τ(σ(i)) = τ(i). Poštoje τ(i) ∈ suppτ i važi (∗), sledi τ(i) /∈ suppσ, odnosnoσ(τ(i)) = (τσ)(i) = τ(i).

�


16 / 44


Rubikova kocka


Neka je i ∈ {1, ..., n}. Imamo dve mogućnosti:i /∈ suppσ i i /∈ suppτ . Tada σ(i) = τ(i) = i , pa je(στ)(i) = (τσ)(i) = i .i pripada tačno jednom od nosača σ i τ . Neka je to b.u.o.suppτ . Tada σ(i) = i , pa je (στ)(i) = τ(σ(i)) = τ(i). Poštoje τ(i) ∈ suppτ i važi (∗), sledi τ(i) /∈ suppσ, odnosnoσ(τ(i)) = (τσ)(i) = τ(i).

�


16 / 44


Rubikova kocka


Lema 7Svaki ciklus je proizvod transpozicija.

Dokaz:Dovoljno je pokazati da je

(1 2 3 · · · k) = (1 2)(1 3) · · · (1 k),

a ovo se lako proverava indukcijom.�

Dakle, sledi da se svaka permutacija može predstaviti kao proizvodtranspozicija.

17 / 44


Rubikova kocka


Definicija 7Neka je data permutacija σ ∈ Sn. Kažemo da σ čini inverziju sobzirom na elemente i , j 6 n akko je i < j i σ(i) > σ(j).

Broj svihinverzija permutacije σ obeležavamo sa I(σ). Kažemo da je σparna permutacija ako je I(σ) paran broj, a u suprotnom jeneparna.

Primer:

σ =

(1 2 3 4 53 4 5 1 2

), I(σ) = 6

18 / 44


Rubikova kocka


Definicija 7Neka je data permutacija σ ∈ Sn. Kažemo da σ čini inverziju sobzirom na elemente i , j 6 n akko je i < j i σ(i) > σ(j). Broj svihinverzija permutacije σ obeležavamo sa I(σ). Kažemo da je σparna permutacija ako je I(σ) paran broj, a u suprotnom jeneparna.

Primer:

σ =

(1 2 3 4 53 4 5 1 2

), I(σ) = 6

18 / 44


Rubikova kocka


Lema 8Permutacije σ i (i j)σ su suprotne parnosti.

Dokaz: Neka je σ =(1 2 · · · i · · · j · · · na1 a2 · · · ai · · · aj · · · an

).

Posmatrajmo sledeće slučajeve:j = i + 1

(i i + 1)σ =(1 2 · · · i i + 1 · · · na1 a2 · · · ai+1 ai · · · an

)Vidimo da u tom slučaju važi:

I((i i + 1)σ) =

{I(σ) + 1, ai < ai+1I(σ)− 1, ai > ai+1

19 / 44


Rubikova kocka


j > i + 1Lako se može pokazati da je

(i j) = (i i + 1)(i + 1 i + 2)...(j − 2 j − 1)(j − 1 j)(j − 1 j − 2)...(i + 2 i + 1)(i + 1 i),

pa je (i j)σ sukcesivno množenje 2(j − i)− 1 transpozicijatipa (k k + 1). Iz prvog slučaja vidimo da se menja parnostσ kada se pomnoži transpozicijom.

�

20 / 44


Rubikova kocka


PosledicaPermutacija je parna akko je proizvod parnog proja transpozicija.

Napomena:Jedna permutacija se može na bezbroj načina predstaviti kaoproizvod transpozicija, ali parnost uvek ostaje ista! Na primer,

σ = (1 3)(1 5)(1 2)(1 4) =

= (2 3)(1 2)(2 3)(1 5)(1 2)(1 4)

.

21 / 44


Rubikova kocka


Lema 9Parnih permutacija u grupi Sn ima jednako kao i neparnih.

Dokaz:Neka je An skup svih parnih permutacija u Sn (ovo je zapravopodgrupa od Sn i naziva se alternirajuća podgrupa od Sn).Definišimo funkciju f na Sn sa f(σ) = (1 2)σ. Tvrdimo da je fbijekcija skupa An u skup svih neparnih permutacija.Zbog Leme 8 znamo da f slika parne permutacije u neparne.Neka je σ1 6= σ2. Tada postoji neko i ∈ {1, ..., n} takvo daσ1(i) 6= σ2(i). Tada je i (1 2)σ1(i) 6= (1 2)σ2(i), pa sledi da je f1-1.Za neko neparno preslikavanje θ, (2 1)θ je parno preslikavanje ivaži (1 2)(2 1)θ = θ. Dakle, f je na.Ovime je dokaz završen.

�

22 / 44


Rubikova kocka

OznakeGrupa Rubikove kockeKonfiguracije

RUBIKOVA KOCKA

23 / 44


Rubikova kocka


Oznake

Za početak navedimo neke oznake vezane za Rubikovu kocku:

Sastoji se od 26 kockica. Od toga imamo:- 8 ugaonih kockica (3 vidljive strane),- 12 ivičnih kockica (2 vidljive strane),- 6 centralnih kockica (1 vidljiva strana).

Ima 6 strana, kojima ćemo dodeliti imena u odnosu na njihovulokaciju: r (rigt), l (left), u (up), d (down), f (front), b(back).Za imenovanje ugaonih kockica koristimo njihovu lokaciju.Npr, kockica koja se nalazi u gornjem, desnom, prednjem ugluse naziva urf (ili rfu ili fur). Slično imenujemo i ivične icentralne kockice.

24 / 44


Rubikova kocka


Oznake

Za početak navedimo neke oznake vezane za Rubikovu kocku:Sastoji se od 26 kockica. Od toga imamo:

- 8 ugaonih kockica (3 vidljive strane),- 12 ivičnih kockica (2 vidljive strane),- 6 centralnih kockica (1 vidljiva strana).


24 / 44


Rubikova kocka


Oznake



Ima 6 strana, kojima ćemo dodeliti imena u odnosu na njihovulokaciju: r (rigt), l (left), u (up), d (down), f (front), b(back).

Za imenovanje ugaonih kockica koristimo njihovu lokaciju.Npr, kockica koja se nalazi u gornjem, desnom, prednjem ugluse naziva urf (ili rfu ili fur). Slično imenujemo i ivične icentralne kockice.

24 / 44


Rubikova kocka


Oznake




24 / 44


Rubikova kocka


Kućice su prazna mesta na kojima se nalaze kockice.Označavaju se isto.

Osnovni potezi su okretanja jedne strane rubikove kocke za90◦ u smeru kazaljke na satu. Ima ih 6, i zovu se po imenimastranica koje okreću: R, L, U, D, F, B.Potez je (konačno) sukcesivno primenjivanje osnovnih poteza.Ako dva puta primenjujemo isti osnovni potez, na primer B,pisaćemo B2. Ako ga primenjujemo tri puta, pisaćemo B’.Konfiguracija je neka permutacija kockica. Primetimo daugaone mogu da permutuju samo sa drugim ugaonimkockicama, a ivične samo sa ivičnim. Konfiguraciju u kojoj susve kockice u odgovarajućim kućicama sa odgovarajućimorijentacijama zovemo početna koniguracija. Smatramo dasu dva poteza jednaka ako dovode do iste konfiguracije.

25 / 44


Rubikova kocka


Kućice su prazna mesta na kojima se nalaze kockice.Označavaju se isto.Osnovni potezi su okretanja jedne strane rubikove kocke za90◦ u smeru kazaljke na satu. Ima ih 6, i zovu se po imenimastranica koje okreću: R, L, U, D, F, B.

Potez je (konačno) sukcesivno primenjivanje osnovnih poteza.Ako dva puta primenjujemo isti osnovni potez, na primer B,pisaćemo B2. Ako ga primenjujemo tri puta, pisaćemo B’.Konfiguracija je neka permutacija kockica. Primetimo daugaone mogu da permutuju samo sa drugim ugaonimkockicama, a ivične samo sa ivičnim. Konfiguraciju u kojoj susve kockice u odgovarajućim kućicama sa odgovarajućimorijentacijama zovemo početna koniguracija. Smatramo dasu dva poteza jednaka ako dovode do iste konfiguracije.

25 / 44


Rubikova kocka


Kućice su prazna mesta na kojima se nalaze kockice.Označavaju se isto.Osnovni potezi su okretanja jedne strane rubikove kocke za90◦ u smeru kazaljke na satu. Ima ih 6, i zovu se po imenimastranica koje okreću: R, L, U, D, F, B.Potez je (konačno) sukcesivno primenjivanje osnovnih poteza.Ako dva puta primenjujemo isti osnovni potez, na primer B,pisaćemo B2. Ako ga primenjujemo tri puta, pisaćemo B’.

Konfiguracija je neka permutacija kockica. Primetimo daugaone mogu da permutuju samo sa drugim ugaonimkockicama, a ivične samo sa ivičnim. Konfiguraciju u kojoj susve kockice u odgovarajućim kućicama sa odgovarajućimorijentacijama zovemo početna koniguracija. Smatramo dasu dva poteza jednaka ako dovode do iste konfiguracije.

25 / 44


Rubikova kocka


Kućice su prazna mesta na kojima se nalaze kockice.Označavaju se isto.Osnovni potezi su okretanja jedne strane rubikove kocke za90◦ u smeru kazaljke na satu. Ima ih 6, i zovu se po imenimastranica koje okreću: R, L, U, D, F, B.Potez je (konačno) sukcesivno primenjivanje osnovnih poteza.Ako dva puta primenjujemo isti osnovni potez, na primer B,pisaćemo B2. Ako ga primenjujemo tri puta, pisaćemo B’.Konfiguracija je neka permutacija kockica. Primetimo daugaone mogu da permutuju samo sa drugim ugaonimkockicama, a ivične samo sa ivičnim. Konfiguraciju u kojoj susve kockice u odgovarajućim kućicama sa odgovarajućimorijentacijama zovemo početna koniguracija. Smatramo dasu dva poteza jednaka ako dovode do iste konfiguracije.

25 / 44


Rubikova kocka


Grupa Rubikove kocke

Grupu Rubikove kocke, u oznaci (G , ·), čine skup svih različitihpoteza nad njom G i operacija · koju definišemo na sledeći način:ako su M1 i M2 neki potezi, onda je M1 ·M2 potez pri kojem seprvo odradi M1, pa zatim M2.

Teorema 1Skup G sa gore definisanom operacijom · čini grupu.

Dokaz: Dobra definisanost i asocijativnost su očigledni. Neutralnielement je prazan potez, dakle potez u kojem ne radimo ništa. Zapotez M inverzni potez M−1 je onaj gde ponovimo sve pojedinačneosnovne poteze obrnutim redosledom u suprotnom smeru.

�Na osnovu definicije, vidimo da je G = 〈R, L,U,D,F ,B〉.

26 / 44


Rubikova kocka






�

Na osnovu definicije, vidimo da je G = 〈R, L,U,D,F ,B〉.

26 / 44


Rubikova kocka






�Na osnovu definicije, vidimo da je G = 〈R, L,U,D,F ,B〉.

26 / 44


Rubikova kocka


Konfiguracije

Svaka konfiguracija Rubikove kocke je određena sledećimpodacima:

pozicijama ugaonih kockica,pozicijama ivičnih kockica,orijentacijama ugaonih kockica,orijentacijama ivičnih kockica.

Prva stavka se može opisati kao elemenat σ ∈ S8, tj npermutacijakoja "seli" ugaone kockice neke ugaone kućice. Slično važi i zadrugu stavku, samo je u pitanju premutacija τ ∈ S12.

27 / 44


Rubikova kocka


Da bismo opisali poslednje dve stavke uvešćemo još neke notacije.Svaka ugaona kockica ima tri stranice, koje ćemo nazvati 0, 1 i 2na sledeći način: za početak numerišimo po jednu stranu svakekućice brojevima od 1-8 tako da je

1 na u strani kockice ufl,2 na u strani kockice urf,3 na u strani kockice ubr,4 na u strani kockice ulb,5 na d strani kockice dbl,6 na d strani kockice dlf,7 na d strani kockice dfr,8 na d strani kockice drb

28 / 44


Rubikova kocka


29 / 44


Rubikova kocka


Na strane kockica gde su brojevi kućica pišemo 0, a 1 i 2 pišemo apreostale dve u smeru kazaljke na satu.

30 / 44


Rubikova kocka


Na ovaj način smo numerisali sve strane svih ugaonih kockica.Ako je kocka u određenoj koniguraciji, orijentacije ugaonih kockicaopisujemo na sledeći način: za i = 1, ..., 8 nađemo kućicu označenusa i . Neka je xi broj broj sa one strane kockice koja se poklapa sanumerisanom stranom kućice. Sada definišemo x kao uređenuosmorku (x1, ..., x8). Primetimo da možemo gledati na xi kao nabroj obrta (u smeru kazaljke na satu) za koje strana kockiceoznačena sa 0 udaljena od označene strane kućice. Kockica koja je3 obrtaja udaljena je isto orijentisana kao i ona koja je udaljena 0obrtaja, pa na xi -jeve možemo gledati kao na elemente grupe Z3, ax ∈ Z83

31 / 44


Rubikova kocka


Primeri:

U početnoj konfiguraciji je x = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), pisaćemojoš i x = 0

Pogledajmo šta će se desiti sa orijentacijama kad uradimopotez R. Kućice i kockice na početku izgledaju ovako:

32 / 44


Rubikova kocka


Primeri:

U početnoj konfiguraciji je x = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), pisaćemojoš i x = 0Pogledajmo šta će se desiti sa orijentacijama kad uradimopotez R. Kućice i kockice na početku izgledaju ovako:

32 / 44


Rubikova kocka


Kada primenimo potez R, desna strana kocke izgleda ovako (leva jeisto kao na početku):

Kockice na strani l nisu pomerene ovim potezom, pa jex1 = x4 = x5 = x6 = 0, a vidimo da je x2 = 1, x3 = 2, x7 = 2 ix8 = 1. Prema tome, x = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1).

33 / 44


Rubikova kocka


Sada sve analogno radimo za ivične kockice. Prvo, označimo ivičnekućice na sledeći način.

Pišemo:1 na u stranu ub kućice2 na u stranu ur kućice3 na u stranu uf kućice4 na u stranu ul kućice5 na b stranu lb kućice6 na b stranu rb kućice7 na f stranu rf kućice8 na f stranu lf kućice9 na d stranu db kućice10 na d stranu dr kućice11 na d stranu df kućice12 na d stranu dl kućice

34 / 44


Rubikova kocka


Sada sve analogno radimo za ivične kockice. Prvo, označimo ivičnekućice na sledeći način. Pišemo:

1 na u stranu ub kućice2 na u stranu ur kućice3 na u stranu uf kućice4 na u stranu ul kućice5 na b stranu lb kućice6 na b stranu rb kućice7 na f stranu rf kućice8 na f stranu lf kućice9 na d stranu db kućice10 na d stranu dr kućice11 na d stranu df kućice12 na d stranu dl kućice

34 / 44


Rubikova kocka


35 / 44


Rubikova kocka


Što se samih kockica tiče, u pišemo 0 na strani gde je kućicanumerisana, a 1 na preostaloj strani. Kao sa ugaonim kockicama,definišemo yi kao onaj broj na kockici koja se nalazi u kućici i nanumerisanoj strani. Na taj način dobijamo y ∈ Z122 .

36 / 44


Rubikova kocka


Dakle, bilo koja konfiguracija Rubikove kocke se može opisati saσ ∈ S8, τ ∈ S12, x ∈ Z83 i y ∈ Z122 . Označavaćemo konfiguracijekao uređene četvorke (σ, τ, x , y).Primeri:

Početna konfiguracija je (id,id,0,0)

Odredimo konfiguraciju kocke nakon odrađenog poteza D RD−1 R−1 (ovo se kraće piše [D,R], i naziva se komutatorelemenata D i R).σ posmatramo kao bijekciju skupa 8 ugaonih kockica na skup8 ugaonih kućica. Vidimo da [D,R] menja pozicije dfl i dfrkockica, kao i rbu i rbd, kockica. Dakle,

σ = (dfl dfr)(rbu rbd)

37 / 44


Rubikova kocka



Početna konfiguracija je (id,id,0,0)Odredimo konfiguraciju kocke nakon odrađenog poteza D RD−1 R−1 (ovo se kraće piše [D,R], i naziva se komutatorelemenata D i R).

σ posmatramo kao bijekciju skupa 8 ugaonih kockica na skup8 ugaonih kućica. Vidimo da [D,R] menja pozicije dfl i dfrkockica, kao i rbu i rbd, kockica. Dakle,


37 / 44


Rubikova kocka



Početna konfiguracija je (id,id,0,0)Odredimo konfiguraciju kocke nakon odrađenog poteza D RD−1 R−1 (ovo se kraće piše [D,R], i naziva se komutatorelemenata D i R).σ posmatramo kao bijekciju skupa 8 ugaonih kockica na skup8 ugaonih kućica. Vidimo da [D,R] menja pozicije dfl i dfrkockica, kao i rbu i rbd, kockica. Dakle,


37 / 44


Rubikova kocka


Slično, τ je bijekcija skupa 12 ivični kockica na 12 ivičnih kućica.Vidimo da [D,R] pomera df na dr, dr na rb i rb na df. Dakle,

τ = (df dr rb)

.

Analizom kocke zaključujemo da je x = (0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2) iy = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Ovime smo dobili traženukonfiguraciju.

38 / 44


Rubikova kocka


Slično, τ je bijekcija skupa 12 ivični kockica na 12 ivičnih kućica.Vidimo da [D,R] pomera df na dr, dr na rb i rb na df. Dakle,

τ = (df dr rb)

.Analizom kocke zaključujemo da je x = (0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2) iy = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Ovime smo dobili traženukonfiguraciju.

38 / 44


Rubikova kocka


Koliko ima konfiguracija?

8! · 38 · 12! · 212 = 519 024 039 293 878 272 000

≈ 5, 19 · 1020

Definicija 8Konfiguracija je validna ako se može do nje doći nekim potezom izG . U suprotnom kažemo da nije validna.

Koliko ima validnih konfiguracija?Kako da ih prepoznamo?

39 / 44


Rubikova kocka



8! · 38 · 12! · 212 = 519 024 039 293 878 272 000

≈ 5, 19 · 1020


Koliko ima validnih konfiguracija?

Kako da ih prepoznamo?

39 / 44


Rubikova kocka



8! · 38 · 12! · 212 = 519 024 039 293 878 272 000

≈ 5, 19 · 1020


Koliko ima validnih konfiguracija?Kako da ih prepoznamo?

39 / 44


Rubikova kocka


Teorema 2Konfiguracija je validna akko važi:

σ i τ su iste parnosti∑8i=1 xi ≡ 0 (mod3)∑12i=1 yi ≡ 0 (mod2)

40 / 44


Rubikova kocka


Zbog Teoreme 2 i Leme 9 sledi da bar pola mogućih konfiguracijakocke nije validno! Ovo možemo interpretirati na sledeći način: akozamenimo mesta od dve ugaone kockice ili dve ivične kockice,kocka je nerešiva.

41 / 44


Rubikova kocka


Od svih mogućih uređenih osmorki (x1, ..., x8) ∈ Z83, trećina jetakva da

∑8i=1 xi ≡ 0 (mod3). Dakle, samo trećina preostalih

konfiguracija je validna!Ovo nam govori da ako izvadimo jednu ugaonu kockicu i vratimo jeu drugačijoj orijentaciji nego što je bila pre, kocka je nerešiva.

Takođe, od svih uređenih osmorki (y1, ..., y12) ∈ Z122 , samo polovinaje takva da je

∑12i=1 yi ≡ 0 (mod2) Ovo nam govori da ako

izvadimo jednu ivič kockicu i vratimo je u drugačijoj orijentacijinego što je bila pre, kocka je nerešiva.

42 / 44


Rubikova kocka


Konačan broj valindnih konfiguracija:

8! · 38 · 12! · 212

2 · 3 · 2= 4 252 003 274 489 856 000

≈ 4, 25 · 1019

.

43 / 44


Rubikova kocka


Hvala na pažnji!

44 / 44

Kratak istorijatAlgebraOsnovni pojmoviGeneratori i ciklicne grupeSimetricna grupa

Rubikova kockaOznakeGrupa Rubikove kockeKonfiguracije

algebra rubikove kockepetnicamat.rs/wp-content/uploads/2018/07/rubikova_kocka.pdfkratakistorijat...

Documents