Álgebra_primaria 5º grado

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 5to Grado de Primaria

Índice

1. Álgebra: Reseña histórica2. El conjunto de los Números Enteros

2.1.Valor Absoluto2.2.Opuesto de un entero

3. Adición en el Conjunto de los Números Enteros4. Sustracción en el Conjunto de los Números Enteros5. Multiplicación en el Conjunto de los Números Enteros6. Potenciación en Z7. Raíz cuadrada8. Leyes de exponentes9. Expresiones algebraicas10.Términos semejantes11.Clasificación de las expresiones algebraicas

11.1.Grado de un polinomio: relativo y absoluto12.Valor numérico13.Operaciones con monomios14.Multiplicación de monomios15.Potencias de monomios16.Planteo de ecuaciones17.Solución de ecuaciones18.Productos notables19. Inecuaciones I20. Inecuaciones II21.Métodos de solución de inecuaciones

Álgebra 1 Silver Guillén Jerí


ÁLGEBRA

Introducción

El Álgebra, es una rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son:

RESEÑA HISTÓRICA

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-ŷabr que significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.


Adición,

Sustracción,

Multiplicación,

División y

Cálculo de potencias y raíces


EJERCICIOS PARA LA

1. Escribe dos ejemplos de operaciones con su respectiva solución, para cada operación del Álgebra.

2. ¿En qué pueblos y en qué época el hombre inició su conocimiento algebraico?

3. Investiga sobre el sistema de numeración egipcio.

4. Localiza en un mapa actual el antiguo pueblo de Babilonia.

5. Investiga y anota brevemente, ¿Quiénes fueron los Siete Sabios de Grecia?



NÚMEROS ENTEROS

Introducción

Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representarán cantidades positivas o negativas.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos que aprendieron de los hindúes, que en el siglo XII utilizaban para representar las pérdidas en cuestiones financieras.

En la Matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica.

POSITIVOS QUE NO ALCANZAN

Para el ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita, lo que comparte, lo que da. Esa fue la razón que tuvo para crear números y formó el conjunto de los números naturales:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . }Luego, necesitó expresar con cifras el conjunto vacío, es decir, identificar

que no había nada, no quedaba nada o no faltaba nada. Entonces, apareció el 0 (cero), y formó así otro conjunto numérico, el de los números cardinales:

No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . }

Con el conjunto de los números Naturales, el hombre solucionó sus problemas, pero, luego se le presentaron nuevas situaciones; así por ejemplo:

Estos amigos inicialmente no tienen dinero, luego:



Oscar ha ganado 850 soles.Se escribe: + 850 soles

Carlos ha gastado 940 soles.

Se escribe: - 940 soles

Las cantidades de dinero que posee o que gana una persona se consideran positivas, y las cantidades que debe, gasta o

paga se consideran negativas.

Para expresar cantidades positivas se utilizan los números naturales con el signo más (+).

Para expresar cantidades negativas se utilizan los números naturales con el signo menos (-).



EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)

El conjunto de los Números Enteros, que en adelante lo representaremos por Z, está conformado por los números negativos, el cero y los números positivos.

Representación

Sobre una línea recta, ubiquemos un punto de referencia (origen) al que le hacemos corresponder el número cero. A partir del cero, ubicamos puntos hacia la derecha y hacia la izquierda haciendo corresponder a cada uno los números positivos y negativos respectivamente.

NEGATIVOS CERO POSITIVOS

Los números en Z aumentan de izquierda a derecha.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

Se llama valor absoluto de un número entero al número cardinal que resulta de prescindir su signo, también se le considera como la distancia del número dado al cero. El valor absoluto de un número se expresa encerrando este número entre dos barras.

El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5.El valor absoluto de -6 es 6, y se escribe |-6| = 6.El valor absoluto de 0 es 0, y se escribe |0| = 0.El valor absoluto de +17 es ……, y se escribe ………………………..El valor absoluto de -39 es ……, y se escribe ………………………..

NOTA: Al valor absoluto también se le llama módulo.

OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO

El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo:

El opuesto de -8 es +8.El opuesto de +15 es -15.El opuesto de -245 es ……….El opuesto de +504 es ………...



RELACIÓN DE ORDEN EN Z

Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha.

Ejemplos:

Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2.

Ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3.

RECUERDA:

Todo número entero positivo es mayor que 0.

Todo número entero positivo es mayor que cualquier número

Todo número entero negativo es menor que 0.

Todo número entero negativo es menor que cualquier número ………..…………



EJERCICIOS PARA LA

1. ¿Cómo representaban los chinos las cantidades negativas?

…………………………………………………………………………………….

2. ¿Quiénes llevaron el conocimiento de los números negativos hacia Europa?

…………………………………………………………………………………….

3. ¿Para qué empleó los números negativos, el pueblo hindú?

…………………………………………………………………………………….

4. ¿Cuál es el número que separa los números positivos de los negativos?

…………………………………………………………………………………….

5. ¿Cuál es el número opuesto a -16?

…………………………………………………………………………………….

6. ¿Cuál es el número opuesto a +214?

…………………………………………………………………………………….

7. Menciona tres ejemplos de la vida cotidiana, en donde se haga uso de los números negativos.

…………………………………………………………………………………….



8. Escribe el valor absoluto de los siguientes números enteros:

a) |-37| =

b) |+29| =

c) |-305| =

d) |-6009| =

e) |+2015| =

9. Escribe el opuesto de los siguientes números:

El opuesto de -231 es ……………

El opuesto de +408 es ……………

El opuesto de -75 es ……...…….

El opuesto de +4 es …………....

10.Utilizando la recta numérica, ordena de mayor a menor, los siguientes grupos de números:

a) -7, +5, -3, +1, -8 y +7

b) +4, -6, -1, 0, -9 y +3

11.Ordena de menor a mayor, los siguientes grupos de números:

a) +12, +7, -13, -21, -5 y +4

b) -14, -9, -10, 10, -9, +6 y 15

12.Responde a las siguientes preguntas:

a) Si 25 grados sobre cero son representados por +25ºC. ¿Cómo se representa 4º bajo cero?

b) Si 45 km al norte se representa por +45 km. ¿Cómo se representa 30 km al sur?



13.El Everest tiene una altura de 8847 metros y el Sarasara mide 5947 metros. La mayor fosa marina es la de Las Marianas, con 11033 metros de profundidad; otra está al sur de Java, con 7725 metros. Ubica en el dibujo estos accidentes geográficos, colocando en el rectángulo el número entero que le corresponde.



ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar dos números enteros deberemos tener en cuenta el siguiente procedimiento:

1º Para sumar dos números positivos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo más (+).

Ejemplos:

(+4) + (+9) =

(+12) + (+7) =

2º Para sumar dos números negativos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo menos (-).

Ejemplos:

(-8) + (-10) =

(-2) + (-5) =

3º Para sumar un número positivo y un número negativo, se resta el menor valor absoluto del mayor valor absoluto y al resultado se le antepone el signo del número que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplos:

(+6) + (-10) =

(-8) + (+5) =

4º La suma de un número y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).

Ejemplos:

(-8) + (+8) =

(+5) + (-5) =



SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para calcular la diferencia de dos números enteros, se debe sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.

Ejemplo:

(+3) – (–5) = (+3) + (+5) = ……………

(-10) – (+7) = (-10) + (-7) = ……………

ESCRITURA SIMPLIFICADA

(+3) + (-5) = 3 – 5 = …………………….

(-2) + (-8) = -2 – 8 = …………………….

(+7) - (-5) = 7 + 5 = …………………….

(-3) - (-4) = -3 + 4 = …………………….

(+4) - (+5) + (-8) = 4 – 5 – 8 = ………………………………………………

(-6) - (+7) + (-10) = -6 – 7 – 10 = ………………………………………….


a – b = a + ( - b )


EJERCICIOS PARA LA

1. Calcula y representa en la recta numérica:

a) (+3) + (+7) =

b) (-4) + (-2) =

c) (-6) + (+7) =

d) (+8) + (-5) =

2. Calcular:

a) -5 + 3 =

b) 6 – 4 =

c) 9 – 13 =

d) 14 – 20 =

e) -6 + 7 =

f) -12 + 10 =

g) 36 – 63 =

h) -54 + 79 =

i) 164 – 208 =

j) -172 + 305 =

3. Calcular:

a) (-5) + (+7) + (-6) =

b) (-12) + (+8) + (-2) =

c) -14 + 16 – 21 =

d) 36 – 24 + 15 =

e) 24 – 32 + 5 =

4. Restar:

a) (-12) de (-10) =

b) (+20) de (-14)=

c) (-23) de (+15) =

d) (+16) de (+12) =

5. Efectúa:

a) (+8) + (-2) - (+3) =

b) (-13) + (+6) - (-2) =

c) (-4) - (-6) - (+8) + (-17) =



MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se presentan tres casos:

1º Caso.- Cuando los dos factores son positivos, el producto es positivo.

Ejemplos:(+4) . (+3) =

(+2) . (+7) =

(+9) . (+5) =

2º Caso.- Cuando un factor es positivo y el otro negativo, el producto tiene signo negativo.

Ejemplos:

(-8) . (+5) =

(+2) . (-3) =

(- 4) . (+7) =

3º Caso.- Cuando los dos factores son negativos, el producto tiene signo positivo.

Ejemplos:(-5) . (-7) =

(-6) . (-8) =

(-3) . (-12) =

Recuerda:


Regla de Signos

(+) . (+) = (+)

Regla de Signos

(-) . (+) = (-)(+) . (-) = (-)

Regla de Signos

(-) . (-) = (+)

El producto es positivo

Si los dos factores tienen

El producto es negativo

(+) . (+) = +(- ) . (- ) = +

(+) . (- ) = -(- ) . (+) = -

Diferente signoIgual signo


EJERCICIOS PARA LA

1. Calcula:

a) (+3) . (+7) =

b) (-4) . (-2) =

c) (-6) . (+7) =

d) (+8) . (-5) =

e) (-5) . (+3) =

f) (+6) . (- 4) =

g) (+9) . (-13) =

h) (- 4) . (-20) =

i) (-6) . (+7) =

j) (-19) . (+10) =

k) (+36) . (-3) =

l) (-54) . (+7) =

m) (+16) . (-20) =

n) (-12) . (+30) =



POTENCIACIÓN

Se llama potenciación de un número al producto de dos o más factores iguales a dichos números.

Términos:

Exponente

a n = a x a x a x .............x a

“a” veces

Base

Ejemplo:

Exponente

2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 Potencia

Base

En:

x n = b

x (..........................) : ___________________________________________

n (..........................) : ___________________________________________

b (..........................) : ___________________________________________



Ejemplos:

a) 34 = ………………………………… = …………… Se lee:

………………………..

b) 25 = ………………………………… = …………… Se lee:

………………………..

c) 62 = ………………………………… = …………… Se lee:

………………………..

d) 43 = ………………………………… = …………… Se lee:

………………………..

e) x . x . x . x . x . x = ………………………

f) 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = …………………..

g) a x a x a x . . . . . . . . . . . . . . x a = ………………………

“m” veces



Casos especiales de la potenciación

a) Exponente 0 (cero):

……………………………………………………………………………..

……………

Ejemplos:

a) 80 = ………

b) 270 = …….

c) 9270 = …….

b) Exponente 1 (uno):

……………………………………………………………………………..

………………...

……………………………………………………………………………..…

Ejemplos:

d) 251 = ………

e) 731 = …….

f) 1171 = …….


b0 = 1 ; b 0

b1 = b


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) 34 = ____________________ Se lee: _______________

2) 25 = ____________________ Se lee: _______________

3) 62 = ____________________ Se lee: ______________

4) 43 = ____________________ Se lee: _______________

5) 45 = ____________________ Se lee: _______________

Expresa como potencia:

6) 7. 7. 7 = ………..

7) 9. 9. 9. 9. 9 = ……….

8) x . x . x . x = ……….

9) 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = ……….

10)a x a x a x a x . . . . . . . . . . x a = ………….

“m” veces

Hallar: 11) 59° = ………….

12)693° = ………….

13)(97 x 63)° = ………….

14)91 = ………….

15) 1971 = ………….



16)Completa el cuadro:

17)Completa:

n n° N1 n2 n3 n4 n5 n6

5

6

49

18)Hallar el resultado:

52 x 23 =

34 x 22 =

53 x 9° =

71 x 26 =

450 x 231 =

19)Coloca V (verdadero) o F (falso)

según corresponda.

33 = 3 x 3 x 3 ( )

72 = 7 x 7 ( )

1001 102 ( )

63 = 6 x 3 ( )

25 = 32 ( )


34 102 24 25

Base

Exponente

Potencia


EJERCICIOS PARA LA

Efectúa:

1) 73 =

2) 26 =

3) 35 =

4) 25° =

5) (9 x 28)° =

6) 1731 =

7) 851 x 58° =

8) 23 x 31 x 7° =

9) x . x . x . y . y =

10)8. 8. 8. 8 =

11)10. 10. 10. 10. 10. 10 =

12)23 . 52 . 41 =

13)(1340 . 181) =

14)Completa el cuadro:

3° 25 19

BaseExponentePotencia

15)Completa:

n n° n1 n2 n3 n4 n5 n1 1

2125

100

16) Relaciona las potencias con sus resultados:

a. 23 x 6

b. 4 x 32

c. 52 x 25

d. 26 x 34

e. 72 x 29°


800

49

48

3

6

5184


RAÍZ CUADRADA

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

Ejemplo: = 8 porque 82 = 64

= 6 porque 62 = 36

RadicandoÍndice

; porque x = a2

Signo radical Raíz


ax 2


EJERCICIOS PARA LA CLASE

1) 52 = _____________ porque = ________________

2) 32 = _____________ porque = ________________

3) 72 = _____________ porque = ________________

4) 92 = _____________ porque = ________________

Calcula y completa:

5) 5 al cuadrado es igual a _____ la raíz cuadrada de ______ es _______52 = _________ = ___________

6) 7 al cuadrado es igual a ______ la raíz cuadrada de ________ es _______ 72 = ___________ = ____________

7) 10 al cuadrado es igual a _______ la raíz cuadrada de ________ es ______102 = ___________ = ____________

* Halla la raíz cuadrada de:

8) 25 =

9) 49 =

10)36 =

* Halla el resultado de las siguientes operaciones

11)23 +81 - 25 =

12) 121 . 9 – 52 =

13)16(4 + 570) =

14)36 9 - 20 =

15)100 x 52 – 82 =



EJERCICIOS PARA LA

Halla la raíz cuadrada de:

1) 100 = 5) 144 =

2) 81 = 6) 64 =

3) 16 = 7) 9 =

4) 400 = 8) 121 =

Efectúa y halla el resultado:

1) 25 + 36 - 9 =

a) 3

b) 8

c) 7

d) 9

e) 11

2) 5(64) – 62 =

a) 34

b) 36

c) 40

d) 4

e) 6

3) 4 . 144 - 100 =

a) 48

b) 38

c) 28

d) 58

e) N.A.

4) (49 + 270) 22 =

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

5) (52 - 12149) =

a) 14

b) 25

c) 7

d) 2

e) 1

6) (8 x 10 1) =

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) N.A.



7) 250 – 225 =

a) 3

b) 4

c) 6

d) 8

e) 5

8) 36 . 16 . 9 =

a) 72

b) 68

c) 46

d) 82

e) 96

9) (49- 36) . 720 =

a) 72

b) 27

c) 1

d) 0

e) N.A

10) (16 + 32). 4 =

a) 48

b) 32

c) 24

d) 16

e) 26

11) (14 + 5 x 10) =

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

12) (12)2 =

a) 10

b) 11

c) 8

d) 9

e) 12

13) 4 . 9 =

a) 36

b) 18

c) 9

d) 6

e) 3

14) 4 x 9 =

a) 36

b) 18

c) 6

d) 9

e) 3

15) 64 . 81 = 36 36

a) 4

b) 6

c) 8

d) 12

e) N.A



LEYES DE EXPONENTES

1) Multiplicación de bases iguales

Ejemplo:22. 23 = ___________ = ______

2) División de bases iguales

Ejemplo:

25 23 = ___________ = ______

3) Exponente nulo

Si en un caso resulta que m = n entonces tendríamos:

Por lo tanto:

4) Exponente negativoSiguiendo con el ejemplo anterior (3°), si en un caso resulta que m = 0.Tendríamos:

Por lo tanto:

a≠ 0


Cuando multipliquemos bases iguales, el exponente del

resultado será la suma de los exponentes dados.

am. an = _____

Cuando dividamos bases iguales, el exponente del resultado se obtiene restando los exponentes dados.

a≠ 0

a0 = 1 a≠ 0



1) Expresa como potencia:a) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =b) 3 . 3 . 3 =c) x . x . x . x . x . x . x =d) m . m . m . p . p . p . m . p =e) q . q . q . q . ....... q . q =

25 factores

2) Halla la potencia de:a) 53 =b) 34 = c) 26 =

3) Halla la potencia usando la primera ley:

a. 24 . 22 . 2 = b. 33 . 32 . 30 =

4) Simplifica:

a) 4 . 42 . 35 . 4 . 3 =b) m2 . p5 . m3 . p3 . m . p =c) x2 . x5 . x . x =d) xa . xb =e) p10 : p7 =f) n4 : n3 = g) z13 : z7 =h) q7 : q5 =

5) Efectúa

a) 540 . 6 =b) (17 . 23)0 =c) (5m)°=d) (a . b . c)0 =e) x3.y.x-2 =

6) Escriba V si es verdadero y F si es falso:

a) 210 . 2 = 212 ( ) b) 5 . 510 = 511 ( )c) 74 = 28 ( )d) x4 . x44 = x44 ( )e) x3 . y2 = (x.y)6 ( )f) m3 . m = m4 ( )



EJERCICIOS PARA LA

1) Efectúa

a) a15 . a7 =

b) m5 . m3 . m8 =

c) x . x . x2 =

d) p . p . p =

e) z13 : z7 =

f) c14 : c12 =

g) q29 : q17 =

h) (4m + 5)° =

i) (720 : 716) =

j) q° . m2 . n-3 =

k) p2 q –3 =

l) a . b5 . c-4 =

m) m8 . m° =

2) Expresa como potencia:

a) 2 . 2 . 2 . 2 . ...... . 2 .2 =

“b” factores

b) b . b . b . c . c . c . b . b . c . b =

c) (x . x . x . x) : (x . x . x) =

d) 55 : (5 . 5 . 5) =

e) (3 . 3 . 3) : (4 . 4) =

3) Escribe V o F según corresponda: (Recuerda, para aplicar la regla

estudiada las bases deben ser iguales)

a) 23 . 32 = 65 ( )

b) m3 . m5 = m15 ( )

c) q9 : q3 = q3 ( )

d) x21 : x7 = x14 ( )

e) x12 : x7 = x5 ( )



EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El Álgebra es una rama de la matemática, que estudia

la cantidad del modo más general posible y las

operaciones que con ella se realiza en los diferentes

conjuntos numéricos.

Para este estudio, el álgebra emplea CONSTANTES y

VARIABLES.

CONSTANTE

Es un símbolo que admite un solo valor conocido o ya definido, por

Ejemplo:

3 ; -7 ; 8 ; 0,5 ; etc.

VARIABLE

Es un símbolo que admite cualquier valor, dependiendo de la expresión

de la que forma parte.

Ejemplo:

x ; y ; z ; ..... ; etc.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.)

Es un conjunto finito de constantes y variables (números y letras) con exponentes racionales y fijos, relacionados por las operaciones de adición, sustracción, y multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplo:

5x ; 3x2 ; 2x – y ; 4x3y + z

Es un conjunto finito porque las constantes y variables se

pueden enumerar hasta la última.

Ejemplo:

1) 4x5 - 3x2y + x9 Si es E. A.

2) 1 + 2x + 3x3 +...... No es E. A.



Los exponentes en una E. A. deben ser números racionales.

Ejemplo:

1) 2x8 – 3x ½ - x Si es E. A.

2) + No es E. A.

Los exponentes deben ser fijos. No pueden ser variables. Ejemplo:

1) 6x4 – 5y6 Si es E. A.

2) 2x + 3x No es E. A.

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es una expresión algebraica cuyas bases NO están relacionadas por las

operaciones de adición o sustracción.

Ejemplos:

a) 6x4y5 Es un término algebraico, porque las bases no están

relacionadas por las operaciones de adición o

sustracción alguna.

b) (2x8 + y5) No es un término algebraico, porque las bases x e y

están relacionadas por la adición.

Elementos de un término algebraico


- 12x3

Signo Exponente

Parte literalCoeficiente


1° Signo: Puede ser positivo (+) o negativo (-).

2° Coeficiente. Es un número que va junto a la parte literal.

Ejemplos:

3y5 Coeficiente: 3

17m9 Coeficiente: 17

½ x2 Coeficiente: ½

x14 Coeficiente: 1

3° Parte literal. Es aquella parte formada por todas las letras o variables del

término.

Ejemplos:

6m6 parte literal: “m”

8a2b3 parte literal: “a” y “b”

23x2yz parte literal: “x” ; ‘‘y” ; z”

4° Exponente: Son los números escritos en la parte superior derecha de cada

letra.

Ejemplos:

20a3 exponente de a : 3

25b12 exponente de b : 12

5x exponente de x : 1



EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Coloca ( V ) si es una expresión algebraica y ( F) si no lo es:

a) 5x3 + 2y – zm ( )b) 2x5 + y – 3 ( )c) x2 + 3x3 + 5x4+ . . . . ( )d) 5x 5 + 2y 2 ( ) e) 8X3 6y5 ( )f) 5x + 3y ( )g) 3z2 ( ) h) 9 – y ( )

2) En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuántos términos algebraicos hay y cuáles son.

a) -3yz + x + zmb) 11ab + 3ax – by2

c) 52xyz - m2 + 5y3 - zmxd) 3y + xy + 2x2 - mxy – 8me) 15x2 + 6bx + c - 2my2 – 8xz – 9af) 8xy + 3yz – 5xz + x2 - z3 + 4yz2 + zg) 5x2 y3 – 2x – y + (2y )(2x) - 8x2yh) 12 ab2 + 5b2 – 8a3b + b2 + 2a2b

3) Completa el cuadro:

Término

algebraicoSigno Coeficiente

Parte

literalExponente

3x2

- 8m5

35z

X6

7y5

-12m½

12m-2

-105x15

-87q8



TÉRMINOS SEMEJANTES

Si dos o más términos tienen la misma parte literal, entonces

son términos semejantes:

Ejemplos:

a) 5x8 ; 0,2x8 ; - ½ x 8

b) 5m; 2m; -4m; 10m

c) _______________

d) 5x2y3 ; 4x3y2 no son términos semejantes

Reducción de términos semejantesSi descubrimos que dos o más términos son semejantes, estos

pueden ser reducidos a uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo la misma parte literal.

Ejemplos:

a) Reducir: 8x2 +5x2 = (8 + 5)x2 = ______________________

b) Reducir: 5y4 –3y4 – 6y4 = (5 - 3 - 6)y4 = ______________

c) Reducir: -6a4 + 3b2 + 4a2 - 6b2 = (- 6 + 4)a2 + (3 – 6)b2 =

_______________

Cuidado:Al sumar o restar los coeficientes de los términos semejantes, recurrimos a la regla de signos para la suma y resta de números enteros.

Signos de colección


Recuerda

Los principales signos de colección son:

Paréntesis ( )

Corchetes

Llaves


Si estos signos de colección se encuentran unos dentro de otros. Se van eliminando “desde adentro hacia afuera”

Para suprimir signos de colección se procede del siguiente modo:

a) Si delante de un signo de colección aparece el signo +, eliminamos tal signo de colección y los signos + o – de los términos interiores no cambian.

Ejemplo:

+(2x3 – 5x2 – x + 2) = 2x3 – 5x2 – x + 2

+(4x + 7y – 8z) = _________________

b) Si delante de un signo de colección aparece el signo ( - ) eliminamos tal signo de colección, y los signos + o – de los términos interiores cambian.

Ejemplo:

-(5a4 – 3b2 – 6c + 1) = -5a4 + 3b2 + 6c-1

-(-3x + 8y - z) = __________________



ACTIVIDADES PROPUESTAS

1) Se tienen los números: (-3) ; (+7) ; (-5) ; (+16) y las variables “x” e “y” Escribe 5 diferentes términos algebraicos con los números y variables dadas.

Ejemplo : -3x16

2) Escribir 4 términos semejantes para cada uno de los 5 términos escritos en el caso (1).

3) Luego de efectuar la indicación (2) reducir cada grupo de términos semejantes a uno solo.

4) Reducir las expresiones mostradas a continuación.

a. 15bc – 7a + 12a - 12bc =

b. -4m + 3n -9m + 10n =

c. (12abc + 24pq) - (13abc – 6pq) =

d. 3x2 + (4x – x2) + 2x – 3x2) +5x

e. (x2 - x + 1) – ( x2 + x + 1 ) =

f. 2(x2 + 1) - x2 + 2 =

g. (2a).(3b) - (7ab + ab) =



CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las E. A. se clasifican en:

Monomios y Polinomios

I. Monomios:Es la E. A. que consta de un sólo término.

Ejemplo: 3x ; -7y2 ; xy3 ; 0,7ab ; x2yz3

II. Polinomio:Es la E. A. de dos o más términos.

Ejemplo: 4x – 3y ; 5x2 - 3y + xy ; 3xy + 5y – 3x + 6

a) Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos.

Ejemplo: 3x2 – y8x2y + y2x + 3

b) Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos.

Ejemplo: 3x2 – 7xz + z3

2a2 - 3ab + b2

3a2 + 5b3 – c2

Grado de una variableEl grado de una variable es el exponente de dicha variable.

Ejemplo:

En el término: 7x2y3

Grado de la variable “x”: 2 o segundo grado. Grado de la variable “y”: 3 o tercer grado.



Grado de un monomio

El grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.

El grado relativo o con respecto a una letra o variable esta dado por el exponente de dicha letra.

Ejemplo: 9x3y2

- El grado relativo con respecto a “x” es 3 o tercer grado.- El grado relativo con respecto a “y” es 2 o segundo grado.

El grado absoluto de un término algebraico esta dado por la suma de los exponentes de la parte literal.Ejemplo:

El grado absoluto de: 9x3 y2 es: 3 + 2 = 5 El grado absoluto de: 5x8 y5 z-6 es: 8 + 5 – 6 = 7

Grado de un polinomioEl grado de un polinomio puede ser relativo y absoluto.

El grado relativo o con respecto a una letra es igual al mayor exponente de dicha letra o variable en el polinomio.

Ejemplo 1:

En el polinomio: 3x2 - 5x3 y4 + 7x5 y3

- Grado relativo con respecto a “x” es: ___________

- Grado relativo con respecto a “y” es: ___________

Ejemplo 2:

En el polinomio: 5xyz3 +8x2 y3z – 2x3y4z2

- Grado relativo con respecto a ‘’x” es: ___________

- Grado relativo con respecto a “y” es: ___________

- Grado relativo con respecto a “z” es: ___________



El grado absoluto de un polinomio es igual al grado de su término de mayor grado absoluto.

Ejemplo 1:

En el polinomio: 3x 2 y 3 – 5x 3 y 4 + 7x 5 y 3

Grado absoluto del monomio: 5 + 3 = 8

Grado absoluto del monomio: 3 + 4 = ____

Grado absoluto del monomio: ____ + ____ = ____

El grado absoluto del polinomio 3x2y3 – 5x3y4 + 7x5y3 es 8 u octavo grado

Ejemplo 2:

En el polinomio 6xy 2 z – 5x 2 y + 10xy 4 z 2 – 7xy 5

Grado absoluto del monomio: ___

Grado absoluto del monomio: _______

Grado absoluto del monomio: ________

Grado absoluto del monomio: ________

El polinomio 6xy2z – 5x2y + 10xy4z2 – 7xy5 tiene por grado absoluto ____ o

séptimo grado.



ACTIVIDADES PROPUESTAS

1) Identifica el coeficiente y parte literal de cada uno de los monomios siguientes:

a) 3x2y __________ ; __________

b) –6z2y __________ ; __________

c) 9z7y9 __________ ; __________

d) z3 y2 __________ ; __________

e) –0,2ab4c5 __________ ; ___________

2) Identifica los términos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes:

a) 2a – 3ab2 + 5ab + 6ab2

b) x4y + 2 xy4 – 3x4y – x4y

c) a2b2 –2ab2 + 3ab2 + 4a2b – 7ab2

d) 8xy3 – 5y3x – 11 xy3 + 16x2y

e) 5x2a – 2xa2 + 3x2a – 3x2a + 7x2a2 – 3ax

3) De qué grado es cada uno de los monomios siguientes

a) 4x2y3 __________ ; __________

b)-12a3b4 __________ ; __________

c) 6x4y2z __________ ; __________

d) –8x3yz6 __________ ; __________

e) 3x2y6 __________ ; __________

f) 5x7y4z2 __________ ; __________

g) 0,6x2yz4 __________ ; __________

h) 0,83ab3c2 __________ ; __________



4) En el polinomio: a3b2c10 – 8a2b2c5

a) Grado relativo con respecto a ‘’a” es: ___________

b) Grado relativo con respecto a “b” es: ___________

c) Grado relativo con respecto a “c” es: ___________

5) Halla el grado absoluto de cada uno de los polinomios siguientes.

a) 2x3y + 3x4y2 – 0,4x2y5 + 2x3y4 G.A.__________________

b) x4yz4 – 5x3y2z + 5xyz8 - 0,2x2y3z3 G.A.__________________

c) 6x2y – 8x3y4 + 3x6y8- 4 x7y6 G.A __________________

d) 2xyz6 – 3xy2z3 + 7x2y4 – 2xyz8 G.A __________________

e) x3y2z – 7x3yz2 + 3xyz8 – 0,7x2z3y G.A __________________



VALOR NUMÉRICO

Hallar el valor numérico de un monomio o de un

polinomio es reemplazar cada letra por un valor

correspondiente a dicha letra y efectuar las operaciones

indicadas.

Ejemplo 1: ¿Cuál es el valor numérico de 5ab? Si a = 3 y b = 4

Solución:Reemplazando:

5ab = 5( ).( ) = _________

Ejemplo 2: Hallar el valor numérico de: 2c + bc a2

Siendo: a = 2 ; b = 3 y c = 16Solución:

Reemplazando los valores de a, b y c

2c + bc a2 = 2_______ + ( ).( ) ________ = = __________ + _________ ________ = = _______________________________

Ejemplo 3:

Hallar el valor numérico del polinomio: 3x2 + 5x – 6; cuando x = 2

Solución:Reemplazando: x = -2

3x2 + 5x – 6 = 3( )2 + 5 ( ) – 6 = = ________ + ________ - _________= = ___________________

Ejemplo 4:

Hallar el valor numérico de: 2x 3 – 6 , si x = 3 5x2

Solución: Reemplazando:

2x 3 – 6 = 2( ) 3 – 6 = _________ = _____ 5x2 5( )2



EJERCICIOS PARA LA

1) Halla el valor numérico de cada uno de los polinomios siguientes:

a) x = -1 5(-1)3 – 3(-1)2 + 2(-1) + 1 = - 5 – 3 – 2 + 1 = - 10 + 1 = - 9

b) x = 2

c) x = 3

d) x = 1

e) x = -1

f) x = -2

2) Sabiendo que: x = 2; y = -1; a = 2; c = -2; halla el valor numérico de cada polinomio.

a) 3x2y + 8x – 7 = 3(2)(-1)2 + 8(2) – 7 = _______________

b) 3ac2 – cy =

c) x2y3 – 7y + xy =

d) 5c3 – 3xy + y3 =

e) 5ac – 3ac2 + xy2 =



OPERACIONES CON MONOMIOS

Recuerda:

- 25 xy2

Observación:

Dos o más términos algebraicos son semejantes si __________________

_____________________________________________________________

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS

Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados.

Ejemplos:

a) 2a + 5a + 7a = ( 2 + 5 + 7 ) a = ………

b) 15y2 + 28y2 + 7y2 = ( 15 + 28 + 7 ) y2 = ………

c) 12xyz + 9xyz + 13xyz = ……………………….

d) 25a – 13a = ( 25 – 13 ) a = ……..

e) 18x – 13x – x =

f) -5x2 + 2x2 – 9x2 + 4x2 =



MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Para multiplicar dos monomios, primero, se multiplican sus coeficientes;

luego, se escriben en orden alfabético todas las letras de los monomios dados,

poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que

tenga en los factores.

Ejemplos:

a) (3x).(5x) =

b) (2y).(3x).(5z) =

c) (3mx).(2m).(5x) =

d) (11).(2mx).(3) =

e) (2ab).(2a).(2b).(ab) =

f) (ab).(-3a).(-5b) =



EJERCICIOS PARA LA

1) Efectuar:

a) 6x3 – 13x3 =

b) –180xy + 78xy =

c) –12x2y + 6x2y + 12xy – 20xy – 7 x2y =

d) 18xz – 36xz + 19xz =

e) 2m + 3n – 5m + 6n =

f) 12abc + 8bca – 15cab =

g) -9mx – 7xm + 17mx =

2) Halla el resultado de:

Recuerda: am.an = am+n

a) (5a2b3).(4ab5) =

b) (-7x).(-5x) =

c) (ab).(2bc).(3ac) =

d) (3mn).(4n3).(5m2) =

e) (3a).(5b).(-4a) =

f) (12ab).(-10ba).(-2ac) =

g) (-2a).(3a).(-4a).(5a) =

h) (a2 b) (-b2c) (-c2a) =

i) (-x).(3y)(2x2)(-5xy) =



POTENCIAS DE MONOMIOS

La potencia de monomios es una multiplicación de factores monomios iguales.

Ejemplos:

a) (2x)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 =

b) (3a)3 = 3a . 3a . 3a = 3 . 3 . 3 . a . a . a =

c) (-2m12)4 = (-2)4.(m12)4 =

d) (5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 =

e) (-3xy2)2 = (-3)2 . x2 . (y2)2 =

f) (3mn2p3)5 =

g) (-5ab5c8)4 =

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor.

Ejemplos:

a)

b)

c)



EJERCICIOS PARA LA

1) Efectuar las siguientes potencias de monomios:

a. (5xy2)3 =

b. (3ab2c3)3 =

c. (10p2q8)4 =

d. (2b2 c3)5 =

e. (-2x2)3 =

f. (-5x6)2 =

g. (x2y3z)4 =

2) Halla el cociente

a) (28x5) (4x3) =

b) (-28x2y) (7x) =

c) (49ab3) (7ab) =

d) (96p5q3r2) (3pq2r)=

e) (450mn5) (50mn3) =

f) (36mx2) (4mx) =

g) (63a2b3) (7ab2) =

h) (187x11b13 ) (11x5b9 ) =

i) (390m17n14 ) (13m16 ) =



PLANTEO DE ECUACIONES

¿Qué debemos saber?

ENUNCIADO ABIERTO

Es aquel en el que aparece por lo menos una letra o palabra llamada variable que al sustituirla por diferentes valores se transforma en una proposición.

Ejemplos de enunciados abiertos:

(a) x = 8 (b) x 7 (c) 3 + x = 8

(d) 2x – 1 = 7 (e) x + 7 12 (f) 10 – x 5

(g) (h) (i)

PROPOSICION Es una expresión de nuestro lenguaje, a la que se puede calificar como

verdadero o falso. Ejemplos:

PROPOSICIONES VERDADERAS PROPOSICIONES FALSAS

(a) 5 3 (b) 6 8

(c) Miguel Grau nació en Piura (d) 4 es numero impar

(e) La capital de Perú es Arequipa (f) 32 = 6

(g) 28 : 4 = 7 (h) 5 x 6 = 35

(i) (j)

(k) (l)



Plantear una Ecuación

Plantear una ecuación significa traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matemática mediante una ecuación.

Todo enunciado de un problema, siempre nos pide hallar el valor de “algo”. A ese valor, por el momento desconocido, se le denomina INCÓGNITA y se le representa por una letra (x; y; z; etc). Toda frase en lenguaje común puede ser traducida a lenguaje matemático.

Por ejemplo:

Enunciado abierto:

FORMA VERBAL FORMA SIMBÓLICA

Un número aumentado en 4

Un número disminuido en 9

El doble de un número

La mitad de un número

La cuarta parte de un número

El doble de un número aumentado en 3

La edad de Iván hace 6 años

La edad de Lourdes dentro de 4 años

La suma de tres números consecutivos es 18

La suma de dos números pares consecutivos es 26

El doble de la edad de Alexandra es 16 años

La mitad de la edad de Daniel aumentada en 5 años es 23 años

El dinero que tiene Diana disminuido en s/.140



Enunciado abierto:

FORMA SIMBÓLICA FORMA VERBAL

3x

X2 + 5

(x + 5)2

(2x)3

x + y + z

½x

4x3

3x + 4

3(x + 4)



EJERCICIOS PARA LA

1) Traducir los siguientes enunciados a la forma simbólica:

FORMA VERBAL FORMA SIMBÓLICA

Un número aumentado en 15

Un número disminuido en 8

El doble de un número, aumentado en 5

El doble de un número aumentado en 5

El quíntuplo de un número, disminuido en 7

Cinco veces un número disminuido en 7

El dinero de Vanesa aumentado en S/.15

La edad de Lourdes hace 4 años

El doble del dinero de Manuel

La suma de dos números es 18

La tercera parte de un número disminuido en 13

El cuadrado de un número aumentado en 16

La mitad de un número disminuida en 14

2) Da un enunciado verbal que se adapte a cada una de las siguientes expresiones:

FORMA SIMBÓLICA FORMA VERBAL

x + 11

x – 13

2x – 13

2(x – 13)

x + y

3x – 6

4x = 20

x2 - 1

(x - 1)2



ECUACIONES

Igualdad

Son dos expresiones aritméticas o algebraicas, que tienen el mismo valor.

Por ejemplo:a) Una decena = 10 unidadesb) 5 + 2 = 17 – 10 c) 5x = 20

Partes de una ecuación En una ecuación encontramos dos partes llamadas miembros de la

ecuación, que se encuentran de uno y otro lado del signo de la igualdad (=).

2 x = 10

1º Miembro 2º Miembro

Raíz de una ecuación Es el número que al reemplazar a la variable de la ecuación, la

transforma en una proposición verdadera.

Ejemplos:

* Halla la raíz de las siguientes ecuaciones:

a) x – 9 = 16 b) x + 3 = 41 c) x + 17 = 41

d) x – 32 = 30 e) 5x + 32 = 92 f) 4x – 15 = 33

g) 3x – 30 = x + 8

h) 40 + x = 3(10 + x)

i) 10x – 24 = 2x + 8



Soluciona los problemas, traduciendo los enunciados a la forma simbólica.

a) La suma de dos números es 32, si uno de ellos excede al otro en 2 unidades. Hallar dichos números.

b) El doble de un numero aumentado en 21 es 51, cual es el numero?

c) La edad de Iván hace 9 años era 17 años; que edad tiene Iván ahora?

d) La suma de tres números consecutivos es 33, cuales son los números?



EJERCICIOS PARA LA

1) Halla la raíz de cada ecuación:

a) x + 12 = 26

b) 3x + 21 = 45

c) 7x – 17 = 32

d) 56 + x = 5 (8+ x)

e) (3x – 4) = 2x + 12

f) 7(x-3) = 21

g) 6(x - 8) = 2x + 12

2) Resuelve los problemas traduciendo los enunciados a la forma simbólica.

a) La suma de dos números pares consecutivos es 30, ¿Cuáles son los números?

b) El triple de un número aumentado en 6 es igual al doble del mismo número aumentado en 14. ¿Cuáles son los números?

c) La mitad de un número aumentado en 7 es 16. ¿Cuál es el número?

d) La tercera parte de un número disminuido en 12 es 33. ¿Cuál es el número?

e) Los 2/3 de un número más 5 es igual a dicho número aumentado en una unidad. ¿Cuál es el número?



ECUACIONES

PARTE III

1) Resolver:

a) x + 17 = 29

b) x + 7 = 22

c) x + 5 = 18

d) x + 9 = 14

2) Halla la raíz de las siguientes ecuaciones:

a) 3x – 8 = 38

b) 2x + 2 = 24

c) 4x + 6 = 26

d) 3x – 5 = 19

e) 7x – 6 = 43

f) 5x – 2 = 43

g) 2x – 8 = 6

h) 15x – 9 = 69



3) Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones.

a) Si al doble de la edad de mi padre le aumentara 6 años tendría 62 años. ¿Qué edad tiene mi padre?

b) ¿Cuál es el número que disminuido en 52 es igual a 30?

c) ¿Cuál es el número que multiplicado por 11 y disminuido en 15 es igual a 73?

d) ¿Cuál es el número que aumentado en 35 es igual a 50?

e) El doble de la edad de Pedro aumentada en 13 años seria 29 años. ¿Qué edad tiene Pedro?

f) La diferencia entre las edades de un padre y su hijo es 35 años y la edad del hijo es 22 años. ¿Qué edad tiene el padre?



EJERCICIOS PARA LA CASA

a) Desarrolla las siguientes ecuaciones:

1) x + 9 = 20

2) n –10 = 18

3) 2x + 28 = 52

4) 12a + 14 = 154

b) Desarrolla los siguientes problemas, primero plantea tus ecuaciones.

1) ¿Cuál es el número que aumentado en 15 da 60?

2) ¿Cuál es el número cuyo triple disminuido en 6 da 9?


4) Si la edad de María le disminuyera 17 años entonces tendría 15 años. ¿Qué edad tiene María?


6) El duplo de un número aumentado en 15 años da 31. ¿Cuál es el número?

7) Si al duplo de un número le disminuyo 9 años da 17. ¿Cuál es el número?

8) Si a la edad que tiene mi madre le disminuyera 9 años tendría 18 años. ¿Qué edad tiene mi madre?



PRODUCTOS NOTABLES

Son productos indicados que tiene una forma determinada, de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación.

Por su gran utilidad es conveniente retenerlos en la memoria. Los más importantes son:


(x + y)2 = __________________________

(x – y)2 = __________________________

(x + y).(x – y) = _______________ (diferencia de cuadrados)

(x + a).(x + b) = ____________________________



1) Desarrolla utilizando las equivalencias estudiadas.

a) (a + b)2 =

b) (x + 9)2 =

c) (7 - m)2 =

d) (p + q)3 =

e) (a + 3).(a + 2) =

f) (x + 9).(x + 11) =

g) (x - 6)2 =

h) (x + 3) (x + 5) =

i) ( 9 + x) (9 - x) =

j) ( 7 + 5) (7 - 5) =

2) Escribe el producto notable equivalente.

a) x2 + 8x + 16 =

b) x2 – 22x + 112 =

c) a2 – 182 =

d) x2 + 16x + (9).(7) =

e) (x + 13).(x - 13) =

f) m2 + 9x + (5).(4) =

g) z2 + 12x + 32 =

h) m2 – 16m + 64 =

i) a2 + 14a + 49 =

j) x2 – 81 =



3) Completa convenientemente para expresar como producto notable

a) x2 + 12x = x2 + 2.(6).x + 6 2 – 6 2 = (x + 6)2

b) y2 – 18y = y2 – 2(9).y + 9 2 – 9 2 = …………………………

c) 14ª + a2 = …………………………

d) m2 – 26m = …………………………

e) x2 + x = …………………………

f) y2 + 9 = …………………………



EJERCICIOS PARA LA


a) (m + 5)2 =

b) ( p - 4)2 =

c) (3 + x)2 =

d) (8 - q)2 =

e) (a + 3).(a + 2) =

f) (x + 9).( x + 11) =

g) (x – 6)2 =

h) (x + 3).(x + 5) =

i) (9 + x).(9 - x) =

j) (7 + 5).(7 - 5) =

2) Escribe el producto notable equivalente.

a) x2 + 8x + 16 =

b) x2 – 22x + 112 =

c) a2 – 82 =

d) x2 + 16x + (9).(7) =

e) (x + 13).(x - 13) =

f) m2 + 9x + ( 5).(4) =

g) z2 + 12x + 32 =

h) m2 – 16m + 64 =

i) a2 + 14ª + 49 =

j) x2 – 81 =

3) Completa convenientemente para expresar como producto notable

a) x2 + 12x =

b) y2 – 18b =

c) 14a + a2 =

d) m2 – 26m =

e) x2 + x =

f) y2 + 9 =



PRODUCTOS NOTABLES II


a) (m + 5)2 =

b) (m - 4)2 =

c) (3 + x)2 =

d) (8 - q)2 =

e) (x + 7).(x + 8) =

f) x2 – 4 =

2) Escribe el producto notable equivalente

a) x2 + 4x + 2 =

b) x2 – 6x + 9 =

c) 25 + 10x + x2 =

d) 16 – 8m + m2 =

e) (x + 4).(x - 4) =

f) x2 – 4 =

g) (x + 5).(x + 6) =

3) Completa convenientemente para expresar como producto

notable.

a) x2 + 10x =

b) y2 – 6y =

c) 8m + m2 =

d) a2 + 36 =



EJERCICIOS PARA LA CASA

1) Desarrollar:

a) (x - 8)2 + 16x =

b) (x + 5)2 – 25 – 5x =

c) (x + 12) (x - 12) + 144 =

d) (x + 4).(x + 3) – 12 – 7x =

e) (a + 8).(a - 8) – a2 + 60 =

2) Completa para poder expresar como producto notable

a) x2 + 4x =

b) 25 + 10x =

c) a2 – 5 =

d) m2 + 19m =

e) b2 + 5m =

3) Expresa como producto notable

a) x2 + 12x + 35 =

b) m2 – 49 =

c) a2 + 10a + 24 =

d) m2 + 5m + 6 =

e) 1 – 2p + p2 =

f) x2 + x + 1 =



INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad de números naturales que contiene una o más variables, es decir, cantidades no conocidas.

Resolver una inecuación consiste en hallar el conjunto solución que satisfaga la desigualdad propuesta; para ello, es necesario que se apliquen las diferentes propiedades de las operaciones.

Observemos los siguientes ejemplos:

1. Hallar el valor de la variable en la inecuación: x + 3 < 5

Solución:x + 3 < 5 Inecuación dadax + 3 < 3 + 2 definición de adiciónx < 2 propiedad de cancelación

Respuesta: El conjunto solución es cualquier número menor de 2: C. S. = {0,1}

Comprobación:

Sustituyendo en la inecuación dada cualquiera de los valores del conjunto solución tenemos que:

Si: x = 1; entonces: x + 3 < 5 1 + 3 < 5

4 < 5

2. Hallar el valor de la variable en la inecuación: x – 4 > 6

Solución:

x – 4 > 6 Inecuación dada x – 4 > 10 – 4 definición de sustracción x > 10 Propiedad de cancelación

Respuesta: El conjunto solución es cualquier número mayor de 10:

C.S. = {11, 12, .....}



Comprobación: Reemplazando en la inecuación dada cualquiera de los valores del

conjunto solución:Si: x = 11;

entonces: x – 4 > 611 – 4 > 6 7 > 6

Resolución de inecuaciones en forma: x ± a < b

Resuelve la siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones

1) x + 4 < 7pasos razones

2) x + 7 < 9 pasos razones

3) x + 5 < 8pasos razones

4) x + 2 < 4 pasos razones

5) n + 10 < 24 pasos razones

6) y – 27 < 32 pasos razones



7) y – 78 < 100 pasos razones

8) z – 7 < 14 pasos razones

9) n – 21 < 378pasos razones

10)x – 33 < 66 pasos razones

Resolución de inecuaciones en forma: x ± a > b

Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones.

1) z + 73 > 9pasos razones

1) y + 105 > 202pasos razones

2) a + 96 > 126pasos razones



3) x + 5 > 368pasos razones

4) n + 33 > 128 pasos razones

5) z + 73 > 99pasos razones

6) x – 38 > 128 pasos razones

7) y – 110 > 428pasos razones

8) n – 78 > 327pasos razones

9) z – 56 > 243pasos razones



Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones

a) Las edades de Felipe y Daniel juntas sobrepasan los 19 años. Si Daniel tiene 8 años, ¿Qué edades podría tener Felipe?

b) Dos canastas juntas contienen más de 386 panes. Si en una de ellas se guardan 221 panes, ¿Cuántos panes podrían estar guardados en la otra canasta?

c) Dividir el número 884 en dos partes tales que una parte, como mínimo, exceda a la otra en 98 unidades.



INECUACIONES II

Inecuación es una desigualdad formada por constantes y variable.

Así, son inecuaciones:x – 3 < 6; 2x + 1 > 3; 4x – 2 < 10; 5x + 2 > 22; etc.

Resolver una inecuación es hallar su conjunto solución, pero como la solución es en N, se debe tener en cuenta que el conjunto solución sean números naturales. El procedimiento para resolver inecuaciones es el mismo que para resolver ecuaciones.

EJERCICIOS RESUELTOS

Resolver:

1) 3x + 4 > 2x + 6

2) 5(x + 2) < 3x + 20

3) 2(x - 2) > 3 (2x - 4)

4) 2x – 3 < 5 + x

5) 4x + 2 > 2 (x + 3)

6) 3(2x - 1) < 4 (x + 2) + 1

7) 4x – 12 < x

C. S. = { }

¿Por qué no son solución 2, 1 y 0?

8) 6(x - 4) > 3 (x + 2)

C. S. = { }




Resolver:

1) 2x + 3 > x + 8

2) 3x + 5 < x + 9

3) 5x – 3 < 18 – 2x

4) 4x – 1 > 15 – 4x

5) 6x + 8 < 5x +9

6) 7x + 9 > 6x + 13

7) 9x – 20 < 5x + 4

8) 2x + 10 >14

9) 5x + 8 > 23

10)4x – 5 < 7

11)3x – 6 < 9

12)2x + 6 > 8

13)6x + 1 < 13

14)x + 8 < 12

15)x + 10 > 16



METODOS DE SOLUCIÓN DE INECUACIONES

Una inecuación puede resolverse por el método de Transposición de términos o aplicando Propiedades.

Ejemplos:

1) Resuelve las siguientes inecuaciones aplicando propiedades.

a) 8x < 40PASOS RAZONES

C.S. = {.........................}

b) 3x – 6 < 33PASOS RAZONES

C. S. = {.................................}

c) 5x + 2 > 17 PASOS RAZONES

C.S. = {...........................}

d) 7x – 5 < 23PASOS RAZONES

C. S. = {...................................}

2) Resuelve las siguientes inecuaciones transponiendo términos.

a) 4 + 3x > 16 b) 25 < 2x + 11

C. S. = {............................} C. S. = {.............................}

c) 2a + 11 > 23 – 2a d) 10x – 5 > 8x + 15

C. S. = {.......................} C. S. = {......................}




1) Resuelve aplicando propiedades.

a) 5x > 30

b) 4x < 20

c) 7x < 42

d) 13x > 130

2) Halla el conjunto solución de los siguientes problemas.

a) El triple de mi edad es menos de 36 años. ¿Cuál puede ser mi edad?

b) El doble de un número es mayor que 19 y menor que 21. ¿Cuál es el número?

c) Cuatro veces un número está entre 48 y 53. ¿Cuál es el número?

3) Resuelve transponiendo términos.

a) 16 < 3x – 14

b) 3x 555

c) 3x –5 x + 5

4) Resuelve aplicando el método que desees.

a) 16x 64

b) 9x 108

c) 7x + 5 26

d) 3x – 10 8


Álgebra_primaria 5º grado

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