algebrski izrazi, enačbe in neenačbe - teorija

Algebrski izrazi, enačbe in neenačbe - teorija

Avtor: Skupina NAUK

Učni cilji: Spoznavanje operacij z izrazi, uporaba Pascalovega trikotnika, reševanje enačb inneenačb.

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/si/)

IzraziVečkratnik oziroma k-kratnik števila a je vsota k enakih členov a, kjer sta a in k celi števili.Primer: Večkratniki števila 4 so: -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16 ...

Izraz je smiseln zapis, sestavljen iz števil, spremenljivk, operacij in oklepajev, kidoločajo vrstni red računanja. Nekaj najbolj pomembnih izrazov:

Kvadrat vsote (a ) ab

Kvadrat razlike (a ) ab

Kub vsote (a ) a b ab

Kub razlike (a ) a b ab

Razlika kvadratov a a )(a )Razlika kubov a a )(a b )Vsota kubov a a )(a b )Izpostavljanje skupnega faktorja ab c (b )

Razlika n-tih potenc a a )(a b .. b )Vsota n-tih potenc a a )(a b .. b )

S klikom na spodnja gumba si oglejte utemeljitev pravila za kvadrat in kub dvočlenika.

Ker lahko kvadrat števila a zapišemo kot , lahko tudi kvadrat dvočlenika azapišemo kot (a ) a )(a ). Izraz izračunamo tako, da vsak člen iz prvega oklepajamnožimo z vsakim členom iz drugega oklepaja. Zato je

.

Kvadrat dvočlenika

Ker lahko kub števila a zapišemo kot , lahko tudi kub dvočlenika a zapišemo

kot (a ) a )(a )(a ) ali (a ) a ) (a ). Ker smo kvadrat

+ b 2 = a2 + 2 + b2

– b 2 = a2 – 2 + b2

+ b 3 = a3 + 3 2 + 3 2 + b3

– b 3 = a3 – 3 2 + 3 2 – b32 – b2 = ( + b – b3 – b3 = ( – b 2 + a + b23 + b3 = ( + b 2 – a + b2

+ a = a + cn – bn = ( – b n–1 + an–2 + . + a n–2 + bn–12m+1 + b2m+1 = ( + b 2m – a2m–1 + . + a 2m–1 + b2m

a 2 = a · a + b+ b 2 = ( + b + b

(a ) ab + b 2 = a · a + a · b + b · a + b · b = a2 + 2 + b2

a 2 = a · a · a + b+ b 3 = ( + b + b + b + b 3 = ( + b 2 + b

Algebrski izrazi, enačbe in neenačbe - teorija http://www.nauk.si/materials/920/out/?printSlides=_titleslide...

1 of 6 3/11/12 9:43:36PM

dvočlenika že izračunali, ga lahko uporabimo in dobimo

(a ) a ab )(a ) b a b ab a a b ab .

Kub dvočlenika

PREMISLITE

Kako se lotimo reševanja izraza, če je treba izvesti več različnih operacij zapored?

Izpeljite obrazec za kvadrat tričlenika.

Pascalov trikotnikPascalov trikotnik uporabljamo za računanje potenc dvočlenika. To je trikotnik, ki ima na vrhueno število, število 1, v vsaki naslednji vrstici pa eno število več. Na levi in desni strani stavedno števili 1, na sredini pa seštevek dveh števil nad iskanim številom v zgornji vrstici.Oglejte si ga:

Pascalov trikotnik

Poznamo že kvadrat in kub dvočlenika: (a ) ab in

(a ) a b ab . Če si ogledamo koeficiente pred spremenljivkami,ugotovimo, da so to ravno koeficienti iz ustrezne vrstice Pascalovega trikotnika.

PREMISLITE

S pomočjo Pascalovega trikotnika izračunajte izraz (a ) .

Zgledi

Rešitev

Rešitev

+ b 3 = ( 2 + 2 + b2 + b = a3 + a2 + 2 2 + 2 2 + b2 + b3 = a3 + 3 2 + 3 2 + b3

+ b 2 = a2 + 2 + b2+ b 3 = a3 + 3 2 + 3 2 + b3

+ b 4

x –x) 200 · ( 202 =

= x200 · x202 = x402

(3x ) x 2 3 · 2 –1 =


2 of 6 3/11/12 9:43:36PM

(2 )

Rešitev

(4x y)

Rešitev

(a b )

Rešitev

x

Rešitev

= x ) x )(x x )

x

Rešitev

= x ) y ) x )((x ) y y ) ) x )(x y )

Razcep kvadratnega tričlenikaRadi bi razcepili kvadratni tričlenik oblike oblike x x .

Včasih lahko tričlenik razcepimo kar na pamet, pri tem pa mora veljati:

p ,

kjer sta a in b celi števili.

Dobimo x x a )x b x )(x ). Tej formuli rečemo Vietovopravilo.

PREMISLITE

Ali se katerega izmed kvadratnih tričlenikov ne da razstaviti po Vietovem pravilu?

= 7x x 4x 2 6 · 2 –1 = 5 5

– x 2 =

= x 22 – 2 · 2 · x + x2 = 4 – 4 + x2

+ 3 3 =

= 4x) 4x) y x 3y) 3y) 4x 44x y 08xy 7y ( 3 + 3 · ( 2 · 3 + 3 · 4 · ( 2 + ( 3 = 6 3 + 1 2 + 1 2 + 2 3

– 2 2 3 =

= b 2b ) 2b ) a b 2ab b a3 – 3 · a2 · 2 2 + 3 · a · ( 2 2 – ( 2 3 = a3 – 6 2 2 + 1 4 – 8 6

3 – 8 =

( 3 – 23 = ( – 2 2 + 2 + 4

6 + y6 =

( 2 3 + ( 2 3 = ( 2 + y2 2 2 – x2 2 + ( 2 2 = ( 2 + y2 4 – x2 2 + y4

2 + p + q

= a + b

q , = a · b

2 + p + q = x2 + ( + b + a = ( + a + b


3 of 6 3/11/12 9:43:36PM

Potence s celimi eksponentiDo zdaj smo spoznali že potence z naravnim eksponentom a . Za potence s celimi eksponentipa velja:

Če in ter , velja:

a(a )

a ( )

Zgled: Poenostavimo izraz ( ) ) .

Linearna enačba z eno neznankoZapis f (x) oziroma kx imenujemo linearna enačba.

Rešitve linearne enačbe:

Za je rešitev linearne enačbe natanko eno realno število: – .

Za k in n je enačba identiteta.Za k in enačba nima rešitve.

PREMISLITE

Kaj pomeni, če rečemo, da sta enačbi ekvivalentni?

Kakšen je geometrijski pomen rešitve linearne enačbe?

Linearna neenačba z eno neznankoLinearna funkcija je pozitivna, če je kx , in negativna, če je kx . Zastavljenapogoja sta linearni neenačbi.

Rešitve linearne neenačbe:

Za k je rešitev poltrak .

Za k je rešitev poltrak .

Za k in n je linearna neenačba identiteta.Za k in linearna neenačba nima rešitve.

n

a = / 0 b = / 0 m, n ∈ Z0 = 1 1

an = a–n a1 = a–1

a m · an = am+n m n = am·n (a ) · b m = am · bmm : an = am–n b

a n = bnan

z4x y2 3 3 : ( y2

x z5 3 –2

= 0 + n = 0

k = / 0 kn

= 0 = 0= 0 n = / 0

+ n > 0 + n < 0

> 0 – , ( kn ∞)

< 0 –∞, ( – kn )

= 0 > 0= 0 n ≤ 0


4 of 6 3/11/12 9:43:36PM

Geogebra datoteka

PREMISLITE

Na sliki vidimo, da je funkcija pozitivna na nekem poltraku, negativna pa na dopolnilnempoltraku. Kaj je izhodišče poltrakov?

Kaj bi bila rešitev sistema dveh linearnih neenačb z dvema neznankama?

Reševanje linearnih neenačbZgled: Rešimo neenačbo .

PREMISLITE

Kdaj se v neenačbi znak neenakosti obrne?

Sistem linearnih enačbČe imamo podani dve linearni enačbi z dvema neznankama, pravimo, da imamo podan sistemdveh linearnih enačb: ax y in cx y . Rešitev sistema je tak par števil (x, ), kizadošča obema enačbama.

Geometrijski pomen sistema linearnih enačb:

Če ima sistem natanko eno rešitev, potem je rešitev točka, v kateri imata danifunkciji presečišče (Slika 1).Če ima sistem neskončno mnogo rešitev, potem dani funkciji sovpadata (Slika 2).Če sistem nima rešitve, potem sta dani funkciji vzporednici (Slika 3).

x3 – 2 > 5

2x – 35

+ b = f + d = g y


5 of 6 3/11/12 9:43:36PM

Slika 1 Slika 2 Slika 3

Reševanje sistema linearnih enačbZgled: Dani sta funkciji f (x) x in g(x) x .a) Izračunajte presečišče premic.b) V ravnini poiščite množico točk (x, ), za katere velja y x in y x .

Fizikalna nalogaMotorist se odpravi iz Ljubljane v Celje in nato naprej v Maribor. Razdalja med Ljubljano inCeljem je 79 km. Od Celja do Maribora vozi 45 min s hitrostjo 67 km/h. Kolikšno pot jeprevozil motorist?

Tekstne nalogeČe želimo reševati probleme iz vsakdanjega življenja, jih moramo najprej prevesti vmatematični jezik. Pred tem pa moramo vedeti tole:

Količini y in x sta premosorazmerni, če je njun količnik stalen oziroma .

Količini y in x sta obratnosorazmerni, če je njun produkt stalen oziroma.

Pri nalogah se vprašamo, kaj je neznanka, katere podatke imamo in kakšni sopogoji.Poskusimo poiskati zvezo med podatki in neznanko - napišemo enačbo.Rešimo enačbo.Preverimo rešitev. Včasih lahko to storimo na pamet, včasih računsko.

ZgledPrvi bager bi izkopal luknjo za veliko stavbo v 8 dneh, drugi pa v 4 dneh. Koliko časa bitrajalo, da bi oba skupaj izkopala luknjo?

= 4 – 4 = – + 6

y < 4 – 4 < – + 6

xy = k

x · y = c


6 of 6 3/11/12 9:43:36PM

algebrski izrazi, enačbe in neenačbe - teorija

Documents