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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
Algorithmen für Quantencomputer I
Marcel Labbé-Laurent
1. Institut für Theoretische PhysikUniversität Stuttgart
19. Juli 2011
Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
1 Grundlagen (Wiederholung)QuBitRegisterGatter
2 QuantenalgorithmenDeutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusGrover-Algorithmus
3 FehlerkorrekturBit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler
4 ZusammenfassungPrinzip eines Quantenalgorithmus
Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
QuBitRegisterGatter
QuBit
ein klassischer Computer rechnet mit Bits
binäre Zustände 0 und 1realisiert durch elektrischen Strom
ein Quantencomputer rechnet mit QuBits
orthogonale Zustände |0〉 und |1〉 +unendlich viele Superpositionszustände|Ψ〉 = α|0〉+ β|1〉.normierter Zustand: |α|2 + |β|2 = 12D-Vektorraum auf den komplexenZahlen. Einfache Darstellung durchBloch-Kugel mit α = cos
(θ2
)und
β = e iφ sin(θ2
)realisierbar z.B. durch Spin-1/2-Teilchen,Zwei-Niveau-Atome, polarisiertePhotonen.
Abbildung: Darstellungeines QuBits in derBloch-Kugel
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
QuBitRegisterGatter
Register
Ein Register ist eine Folge von n Bits fester LängeEin Bit: 0 und 1, zwei Bits: 00, 01, 10, 11, usw.entspricht Binärdarstellung der Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . ,2n − 1
Analog 2-Bit Quantenregister aus den QuBits |x0〉 und |x1〉:
R = |x〉|y〉 (1)
Für |x〉 = α|0〉+ β|1〉 und |y〉 = γ|0〉+ δ|1〉, folgt für das Register
R = αγ|0〉|0〉+ αδ|0〉|1〉+ βγ|1〉|0〉+ βδ|1〉|1〉 (2)
Allgemein ist ein 2-QuBit-Register in einem Zustand
R = α00|00〉+ α01|01〉+ α10|10〉+ α11|11〉 (3)
Die Binärdarstellung macht die Darstellung handlicher:
R = α0|0〉+ α1|1〉+ α2|2〉+ α3|3〉 (4)
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QuBitRegisterGatter
Register
n-Bit Quantenregister
Ein Quantenregister R = |xn−1〉 . . . |x1〉|x0〉 aus n QuBits befindetsich in Zuständen der Form
R =2n−1∑i=0
αi |i〉 (5)
{|i〉} ist die Standardbasis und i eine Zahl mit n Bits. DieBinärdarstellung von i ergibt den Zustand der einzelnen QuBits.
Die Normierung fordert∑2n−1
i=0 |αi |2 = 1Die Wahrscheinlichkeit den Zustand |i〉 zu messen, beträgt |αi |2
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
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QuBitRegisterGatter
Gatter
Hadamard-Gatter
H =1√2
1 11 −1
|x〉 H|x〉
|0〉 1/√
2 (|0〉+ |1〉)
|1〉 1/√
2 (|0〉 − |1〉)
Controlled U-Gate
CU =
1
1
U
|x〉 |y〉 CU|x〉|y〉
|0〉 |y〉 |0〉|y〉
|1〉 |y〉 |1〉U|y〉
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Deutsch-Algorithmus1
Deutsch-Problem: Es gibt eine Funktion f : {0, 1} → {0, 1}(Blackbox oder Orakel) geschenkt. Wie untersucht man sie?
Naive/klassische Lösung: Ausprobieren!
4 Varianten denkbar:
f (0) = 0 f (0) = 1 f (0) = 0 f (0) = 1
f (1) = 0 f (1) = 1 f (1) = 1 f (1) = 0
konstant: f (0) = f (1) balanciert: f (0) 6= f (1)Frage: Ist f (x) konstant oder balanciert?Aufwand: 2 Aufrufe
Quantenalgorithmus nach Deutsch
. . . kennt beide Seiten der Münze!Aufwand: 1 Aufruf
1David Deutsch, 1985Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Benötigen f (x) in reversiblen Form einer unitären Transformation
Uf : |x , y〉 7→ |x , y ⊕ f (x)〉 (6)
|x〉 ist Eingabe⊕ =̂ Addition modulo 2 (XOR), d.h. 1⊕ 1 = 0.Damit U2f = 1⇔ U
−1f = Uf , also unitär.
Schaltbild
Abbildung: Schaltkreis für das Problem von Deutsch
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Algorithmus
1 |x〉|y〉 ← |0〉|1〉2 |x〉|y〉 ← H|x〉H|y〉
Wirkung der Hadamard-Matrix: H|0〉 = 1√2
(|0〉+ |1〉) undH|1〉 = 1√
2(|0〉 − |1〉).
Register geht in den Zustand
|φ2〉 =1√2
(|0〉+ |1〉)⊗ 1√2
(|0〉 − |1〉)
=1
2(|0〉|0〉 − |0〉|1〉+ |1〉|0〉 − |1〉|1〉) (7)
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Algorithmus
3 |x〉|y〉 ← Uf |x〉|y〉
|φ3〉 = Uf |φ2〉 = Uf1
2(|0〉|0〉 − |0〉|1〉+ |1〉|0〉 − |1〉|1〉)
=1
2(|0〉|0⊕ f (0)〉 − |0〉|1⊕ f (0)〉+ |1〉|0⊕ f (1)〉 − |1〉|1⊕ f (1)〉)
=1
2
(|0〉(|f (0)〉 − |1⊕ f (0)〉) + |1〉(|f (1)〉 − |1⊕ f (1)〉)
)=
1
2
((−1)f (0)|0〉(|0〉 − |1〉) + (−1)f (1)|1〉(|0〉 − |1〉)
)=
1
2
((−1)f (0)|0〉+ (−1)f (1)|1〉
)(|0〉 − |1〉) (8)
Information über f (x) auf Phase des 1. QuBits abgewälzt.
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Algorithmus3 |x〉|y〉 ← Uf |x〉|y〉
Betrachte erstes Bit: (−1)f (0)|0〉+ (−1)f (1)|1〉
f konstant f (0) = f (1) f balanciert f (0) 6= f (1)
1. Bit (−1)f (0)(|0〉+ |1〉)(−1)f (0)(|0〉+ (−1) f (0)⊕f (1)︸ ︷︷ ︸
=1
|1〉)
= (−1)f (0)(|0〉 − |1〉)Phase ist für Hadamard-Transformation entscheidend.
4 |x〉|y〉 ← H|x〉H|y〉
H ⇒ (−1)f (0)|0〉 H ⇒ (−1)f (0)|1〉
Endzustand ±|0〉|1〉 ±|1〉|1〉5 Miss das Register:
x〉|y〉 = |0〉|1〉 ⇒ f konstantx〉|y〉 = |1〉|1〉 ⇒ f ausgeglichen
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Deutsch-Josza-Algorithmus2
Bem.: Deutsch-Algorithmen nutzen Phase der QuBit-Zustände ⇒Interferenzeffekt
Deutsch-Josza-ProblemÜbertragung auf mehrere Bits: Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}gegeben, d.h. Binärzahl → {Ja, Nein}.Nur bekannt, dass sie entweder konstant oder ausgeglichen ist.klassischer Algorithmus (worst-case): 2n/2 + 1, in n exponentiell!Quantenalgorithmus: 1 Aufruf
Handwerkszeug
2n dimensionale Hadamard-Transformation
Hn =n⊗
i=1
H (9)
2David Deutsch und Richard Josza, 1992Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Handwerkszeug
2n dimensionale Hadamard-Transformation
wirkt bitweise auf das Register:
Hn|x〉 =1√2n
2n−1∑y=0
(−1)x ·y |y〉 (10)
x und y sind n Bitzahlen in Binärdarstellung.Anwendung auf den Zustand |0〉 = |0 . . . 0〉
Hn|0 . . . 0〉 =1√2n
2n−1∑i=0
|i〉 (11)
erzeugt gleichgewichtete Superposition der Zustände.
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Schaltbild
Abbildung: Schaltkreis für denDeutsch-Josza-Algorithmus
Algorithmus
1 |xn−1 . . . x0〉|y〉 ← |0 . . . 0〉|1〉2 |x〉|y〉 ← Hn+1|x〉|y〉3 |x〉|y〉 ← Uf |x〉|y〉4 |x〉|y〉 ← (Hn|x〉)|y〉5 Miss das Register:
|x〉 = |0 . . . 0〉⇒ f konstantAnsonsten ist fausgeglichen
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Die Suche nach der Nadel im Heuhaufen
Telefonbuchproblem
Einen Namen in einem Telefonbuch zu suchen ist leicht⇒ strukturierte Datenbanksuche (Schlüssel für effizienteDatenbanken)Eine Telefonnummer zu suchen ist dagegen mühsam⇒ unstrukturierte DatenbanksucheSuche in einem Telefonbuch der Länge N.worst-case Aufwand: NN = 2n exponentieller Aufwand in Bitzahl nEin quantenmechanisches Telefonbuch ist unrealistisch.Lösungsalgorithmen dennoch von großer Bedeutung
Knacken von Verschlüsselungen: Mit Brute-Force Liste vongenerierten Passwörtern durcharbeiten.Optimierungsprobleme: Suche nach der besten Lösung unter Vielen.
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Grover-Algorithmus
Benötigt wird fertiges Quantenorakel f : {0, 1}n → {0, 1}wobei f (x0) = 1 und f (x) = 0 ∀x 6= x0durch die Frage
”Nach was wird gesucht?“ festgelegt
Gleichverteilte Superposition aller Datenbankelemente
|Ψ〉 = Hn|0 . . . 0〉 =1√N
N−1∑i=0
|i〉 (12)
Amplitudenverstärkung
Ziel: Die Amplitude αx0 des richtigen Eintrags |x0〉 gegenüber allenanderen Einträgen verstärkenErgebnis: Messung des Registerzustands liefert mit hoherWahrscheinlichkeit |αx0 |2 den gesuchten Zustand |x0〉
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Algorithmus
1 Beginn mit gleichverteilter Superposition der Datenbankeinträge2 Grover-Iteration: Wiederhole, bis die Amplitude αx0 groß genug
1 Anwendung des Such-Orakels⇒ Kehrt das Vorzeichen des gesuchten Eintrags um
2 Spiegelung aller Amplituden am neuen Mittelwert
3 Miss den Registerzustand, mit hoher Wahrscheinlichkeit |x0〉
Abbildung: Wirkungsweise einer Grover-Iteration
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Analyse der Grover-Iteration1 Wirkung des Such-Orakels Uf mit einem Hilfsbit:
Uf |x〉1√2
(|0〉 − |1〉) = |x〉 1√2
(|f (x)〉 − |1⊕ f (x)〉)
= |x〉(−1)f (x) 1√2
(|0〉 − |1〉) (13)
Da f (x0) = 1 und f (x) = 0 ∀x 6= x0, dreht sich ausschließlich dasVorzeichen des gesuchten Eintrags x0 um.
2 Wie lässt sich die Spiegelung am Mittelwert konkret ausdrücken?Ausgehend von einem bel. Registerzustand
|x〉 =N−1∑i=0
αi |i〉 (14)
Mittelwert der Amplituden
m =1
N
N−1∑i=0
αi (15)
Spiegelung am Mittelwert bedeutet dann α′i = 2m − αiMarcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Analyse der Grover-Iteration2 Wie lässt sich die Spiegelung am Mittelwert konkret ausdrücken?
Darstellung der Operation als Matrix
m =1
N
N−1∑i=0
αi ⇒ 〈Ψ|x〉 =1√N
N−1∑i=0
αi =√N ·m
|Ψ〉〈Ψ|x〉 = m ·N−1∑i=0
|i〉
2m − αi ⇒ US = 2|Ψ〉〈Ψ| − 1 (16)
Weitere Vereinfachung in Hadamard-Basis
US = −Hn(1− 2|0〉〈0|︸ ︷︷ ︸Rn
)Hn → Rn =
−1 0 . . . 0
0 1. . .
...
.... . .
. . . 0
0 . . . 0 1
(17)
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Geometrische Interpretation der Grover-Iteration
Aufteilung des Registerzustands in 2D-Raum durch Superpositionaller Zustände, die keine Lösung sind
|x〉 = 1√N − 1
∑i 6=x0
|i〉 (18)
und den Lösungszustand |x0〉. Die gleichverteilte Superposition ist indieser Basis
|Ψ〉 =√
N − 1N|x〉+
√1
N|x0〉
= cos(ϕ)|x〉+ sin(ϕ)|x0〉 (19)
Uf wirkt wie Spiegelung an |x〉: α|x〉+ β|x0〉Uf−→ α|x〉 − β|x0〉
US wirkt wie Spiegelung an |Ψ〉
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
Geometrische Interpretation der Grover-Iteration
Abbildung: Grover-Iteration
Vektoren |Ψ〉 und |x〉 im Winkel ϕ.
Zwei Spiegelungen an diesenAchsen ⇒ Rotation um 2ϕ.
Zustand nach k Iterationen:
(USUf )k |Ψ〉 = cos((2k + 1)ϕ)|x〉
+ sin((2k + 1)ϕ)|x0〉
Anschaulich: Iteration drehtZustandsvektor sukzessive inRichtung gesuchter Zielzustand
Problem: Man kannӟbers Ziel
hinausschießen“.
Abbruchbedingung: (2k + 1)ϕ→ π2Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I
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Deutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusSuchalgorithmen: Die Nadel im HeuhaufenGrover-Algorithmus
LaufzeitBestimmt durch Zahl der Iterationen (abh. von Fehlertoleranz)Abschätzung
(2k + 1)ϕ = (2k + 1) arcsin
(1√N
)N�1≈ (2k + 1) 1√
N
Der Winkel π2 +1√N
wird nach k = π4√
N Schritten erreicht.
Man sagt, der Grover-Algorithmen hat eine Laufzeit von
O(√
N). (20)
Verblüffend: Grover-Algorithmus findet Ergebnis (mit hoher Wsk.)schneller, als er (klassisch) Einträge prüfen kann.Enttäuschend: Abfragen Uf , die exponentiell mit der Bitzahl nwachsen, haben weiterhin exponentielle Laufzeit.Ohne Beweis: Der Grover-Algorithmus ist optimal. Es gibt keinen
Algorithmus schneller als O(√
N)
.
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
Bit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler
Fehlerkorrektur
Fehlerursachen
Dekohärenz: Ankopplung an die Umgebung → GemischeStörungen in den unitären Transformationen (Gattern)
unitäre Transformationen in R2 → Drehungen und SpiegelungenAnschaulich: Eine ungenaue Drehung hat keinen Einfluss auf weitereDrehungen.Fehler in den Gattern sind additiv (kein Aufschaukeln).
Bit-Flip-Fehler
Ein fehlerhaft übertragenes Bit (gibt es auch klassisch): |0〉 → |1〉und |1〉 → |0〉Korrektur: σx anwenden.Doch wie geht Fehlerdiagnose?
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FehlerkorrekturZusammenfassung
Bit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler
Bit-Flip-Fehler
Absicherung durch Redundanz → Drei QuBits statt Einem.
|ϕ〉 = c0|0〉+ c1|1〉 (21)
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
Bit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler
Bit-Flip-Fehler
Absicherung durch Redundanz → Drei QuBits statt Einem.
|ϕ′〉 = c0|0, 0, 0〉+ c1|1, 1, 1〉 (21)
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
Bit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler
Bit-Flip-FehlerAbsicherung durch Redundanz → Drei QuBits statt Einem.
|ϕ′〉 = c0|0, 0, 0〉+ c1|1, 1, 1〉 (21)
Fehler passieren, aber hoffentlich selten. Dann ist anzunehmen, dassnur ein QuBit auf einmal betroffen ist (hier z.B. erstes Bit):
|φ〉 = c0|1, 0, 0〉+ c1|0, 1, 1〉 (22)
Als Test dient σz auf zwei Teilbits angewandt
σ(1)z σ(2)z |ϕ′〉 = c0σ(1)z σ(2)z |0, 0, 0〉+ c1σ(1)z σ(2)z |1, 1, 1〉 = |ϕ′〉 (23)
σ(1)z σ(2)z |φ〉 = c0σ(1)z σ(2)z |1, 0, 0〉+ c1σ(1)z σ(2)z |0, 1, 1〉 = −|φ〉 (24)
Alle Registerzustände sind Eigenzustände zu σ(1)z σ
(2)z , die
Ungestörten zum EW +1, die Fehlerhaften zum EW -1.
Genauso liefert in diesem Bsp. σ(2)z σ
(3)z den Wert +1. Der Fehler ist
damit eindeutig auf das erste Bit lokalisiert.
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FehlerkorrekturZusammenfassung
Bit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler
Bit-Flip-Fehler
Halt! Dafür muss eine Messung stattfinden. Zerstört dies denZustand nicht?Nein, denn die Messung ist nicht-lokal (Messung an mehr als einemTeilchen/Bit) und gesamter Registerzustand ist Eigenzustand.
Die Messung von σ(1)z σ
(2)z liefert mit Wahrscheinlichkeit
prob[σ(1)z σ
(2)z =̂− 1
∣∣∣|φ〉] = 〈φ|P−1|φ〉 = |c0|2 + |c1|2 = 1 (25)den EW -1. Hierbei ist P−1 = |0, 1, 0〉〈0, 1, 0|+ |1, 0, 0〉〈1, 0, 0|+ . . .der Projektor in den Unterraum zum EW -1.Nach der Messung ist das Register im Zustand
|φ′〉 = P−1|φ〉||P−1|φ〉||
= c0|1, 0, 0〉+ c1|0, 1, 1〉 = |φ〉 (26)
Die lokale Messung eines Bits alleine zerstört dagegen dieSuperposition und legt den Wert des Bits fest.
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
Bit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler
Phasen-Flip-FehlerÄnderung der Phase
|φ〉 = c0|0, 0, 0〉+ c1|1, 1, 1〉 → c0|0, 0, 0〉 − c1|1, 1, 1〉
Korrektur durch σz angewendet auf beliebiges Bit.Absicherung durch 9 QuBits, mit den Ersetzungen:
|0〉 → |0〉 = 123/2
(|0, 0, 0〉+ |1, 1, 1〉) (|0, 0, 0〉+ |1, 1, 1〉)
× (|0, 0, 0〉+ |1, 1, 1〉)
|1〉 → |1〉 = 123/2
(|0, 0, 0〉 − |1, 1, 1〉) . . .
Dies sind Eigenzustände zum EW +1 der nicht-lokalen 6-QuBit
Operatoren σ(1)x σ
(2)x σ
(3)x σ
(4)x σ
(5)x σ
(6)x und σ
(4)x σ
(5)x σ
(6)x σ
(7)x σ
(8)x σ
(9)x
Fehlerhafte/Phasenverschobene Zustände sind Eigenzustände zumEW -1.Wie bei beim Bit-Flip σ
(1)z σ
(2)z und σ
(2)z σ
(3)z das fehlerhafte Bit
verraten haben, bestimmen diese Operationen den Cluster mitVorzeichenwechsel.
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
Prinzip eines QuantenalgorithmusLiteratur
Prinzip eines Quantenalgorithmus
Quantenregister präparieren
Ein Quantenregister aus n QuBits wird in einen Ausgangszustand
R =2n−1∑i=0
αi |i〉 (27)
präpariert. {|i〉} ist die Standardbasis und i eine Binärzahl mit nBit. Die Binärdarstellung von i ergibt den Zustand der einzelnenQuBits.
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FehlerkorrekturZusammenfassung
Prinzip eines QuantenalgorithmusLiteratur
Prinzip eines Quantenalgorithmus
Rechenschritte
Veränderungen der Registerzustände werden durch unitäreTransformationen beschrieben. Zustände bleiben auf derBlochkugel.
Operationen müssen stets umkehrbar sein, dazu dienen Hilfsbits.
Als ein Rechenschritt zählt dabei eine lokale Transformation mitein oder zwei QuBits (praktische Gründe).
Ziel ist das Erreichen eines eindeutigen Endzustand, d.h. hoheWahrscheinlichkeit für eben diesen.
z.B. durch InterferenzAmplitudenverstärkung
Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
Prinzip eines QuantenalgorithmusLiteratur
Prinzip eines Quantenalgorithmus
Messung
Die Messung ist endgültige Operation, nicht-reversibel.
Eine Messung in der Standardbasis bedeutet Messung derBitzustände. Messung ist lokal und zerstört die Superposition.
Mit Wahrscheinlichkeit |αi |2 wird der Registerzustand |i〉gemessen.
Nicht-lokale Operationen, für die der gesamte RegisterzustandEigenzustand ist, können die Superposition erhalten. Sie liefernaber nicht alle Informationen.
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Grundlagen (Wiederholung)Quantenalgorithmen
FehlerkorrekturZusammenfassung
Prinzip eines QuantenalgorithmusLiteratur
Literatur
J. Audretsch.Verschränkte Systeme, chapter 12. Quantencomputer.Wiley-VCH Verlag, 2008.
D. Bruß.Quanteninformationstheorie.Universität Düsseldorf, www.thphy.uni-duesseldorf.de/
~ls3/teaching/04-05QI/QI-Skriptum-050210.pdf, 2005.
M. Homeister.Quantum Computing verstehen: Grundlagen - Anwendungen -Perspektiven.Computational Intelligence. Vieweg+Teubner, 2008.
Marcel Labbé-Laurent Algorithmen für Quantencomputer I
www.thphy.uni-duesseldorf.de/~ls3/teaching/04-05QI/QI-Skriptum-050210.pdfwww.thphy.uni-duesseldorf.de/~ls3/teaching/04-05QI/QI-Skriptum-050210.pdf
Grundlagen (Wiederholung)QuBitRegisterGatter
QuantenalgorithmenDeutsch-AlgorithmusDeutsch-Josza-AlgorithmusGrover-Algorithmus
FehlerkorrekturBit-Flip-FehlerPhasen-Flip-Fehler
ZusammenfassungPrinzip eines Quantenalgorithmus