Algunos Resultados de Inters

Consideremos el Problema de Programacin Lineal en formato estndar:

0..

)(max

=

=

XbXAasXcZMino T

(*)

donde A es una matriz mxn (n>m), X es un vector nx1 , TC es un vector 1xn , b es un vector mx1 y la matriz A tiene rango m ( las m filas son l.i.)

Ejemplo: Consideremos el siguiente problema de programacin lineal

0,3526..

32max

21

21

21

21

21

++

+=

xx

xx

xx

xxas

xxZ

o bien

0,,,,3526..

00032max

32121

321

221

121

32121

=

=++

=++

++++=

sssxx

sxx

sxx

sxxas

sssxxZ

En formato matricial se escribe: 0

..

max

=

XbXAas

XcT

donde 5310011

0101200111

x

A

= ,

( )TT sssxxX 32121= , ( )TTc 00032= y

=

356

b

Observamos que el rango de A es 3 pues

=

31

32

32

31

31

31

100010001

100110101200111

A

As, tenemos que:

Una solucin factible para el problema (*) es cualquier vector nIRX que satisface ),2,1,0(0 nixdeciresXybXA i ==

La Regin Factible es el conjunto de todas las soluciones factibles. Una Solucin Bsica para el sistema bXA = es una solucin obtenida

haciendo n-m variables iguales a cero ( llamadas variables no bsicas) y resolviendo el sistema resultante para las dems variables ( llamadas variables bsicas )

Una Solucin Bsica Factible ( s.b.f.) es cualquier solucin bsica X que adems satisface 0X . Una s.b.f se dice degenerada si alguna variable bsica 0=ix

Una solucin optima para el problema (*) es una solucin factible X tal que onMaximizacidecasoelenYfactiblesolucinotratodaparaYcXc TT )(

)( nMinimizacidecasoelenYfactiblesolucinotratodaparaYcXc TT

Una solucin ilimitada es una solucin factible tal que

+

)()(

MindecasoXcMaxdecasoXc

T

T

Teorema 1 : El conjunto de todas las soluciones factibles del problema (*) es Convexo. Demostracin: visto en el captulo de convexidad.

Teorema 2: Toda solucin bsica factible (sbf) del sistema bXA = es un punto extremo del conjunto de todas las soluciones factibles del problema (*). Demostracin: Sea { }0/ == XbXAIRXC n el conjunto convexo de las soluciones factibles. Sea X una s.b.f. que tiene, sin prdida de generalidad, las primeras m variables bsicas mxxx ...,,, 21 y las restantes variables no bsicas nmm xxx ,...,, 21 ++ .

As

=

0

0

2

1

M

M

mx

x

x

X siendo cada 0ix

Supongamos por absurdo que X no es un punto extremo de C. Entonces X ser una combinacin lineal convexa de otros 2 puntos extremos Y y Z )( ZY , es decir, ( ) 101

De las ltimas n-m ecuaciones en (**), considerando que 10

Como = bXACX

mrmrm

rr

bxaxa

bxaxa

=++

=++

............

.

.

...........

11

11111

O sea

=

++

mmr

r

r

m b

b

a

a

x

a

a

x MMM

11

1

11

1 ..... , es decir =

=

r

jjj bAx

1 (***)

donde jA es la j-sima columna de A

Veremos que los vectores jA son linealmente independientes. Supongamos que no lo son, es decir quetalesnulostodosnor ...,,1

=

=

r

jji A

10 (****)

Si 0> y multiplicando por la igualdad (****) resulta =

=

r

jji A

10)( (*****)

Sumando (***) con (*****) resulta =

=+r

jjij bAx

1)( (ec. 1)

Restando (***) con (*****) resulta =

=

r

jjij bAx

1)( (ec. 2)

Elijamos lo suficientemente pequeo de modo que

==+

rjxrjx

jj

jj,...,10,...,10

Haciendo ( ) )1.(00....,,0,......,,11 ecsegnYebYAxxY TrrT =++= y ( ) )2.(00....,,0,......,,11 ecsegnZybZAxxZ TrrT ==

Por lo tanto ZYCZCY ,

Adems, se tiene que ZYX21

21

+= , por lo tanto X ser una combinacin

lineal convexa de Y y Z , lo que es una contradiccin puesto que X es un punto extremo de C.

Entonces { }rAAA ...,,, 21 es linealmente independiente y como cada mi IRA , no puede haber ms de m vectores l.i. Luego mr

Por lo tanto

=

n

m

r

x

x

x

x

X

M

M

M

1

=

0

00

1

M

M

rx

x

Si entoncesmr = X tiene exactamente n-m variables iguales a cero Si entoncesmr < X tiene ms de n-m variables iguales a cero

En cualquier caso, X tiene n-m variables nulas y es entonces una s.b.f.

Corolario 1: El conjunto de puntos extremos de C es finito. Demostracin: { }0,/ == XbXAIRXC n y ( )TnT xxX ,.....,1= Una s.b.f. es un vector .var nulasiablesmntienequeCX de cuntas maneras diferentes podemos elegir n-m variables de entre n posibles?

La respuesta es el nmero combinatorio ( )!!!

mnm

n

mn

n

=

Luego hay una cantidad finita de s.b.f. y hay una cantidad finita de puntos extremos en C.

Corolario 2 : Si existe una solucin factible, o sea C , entonces existe una s.b.f. Demostracin:

Como C es convexo y no vaco, un punto CX es un punto extremo o es combinacin lineal convexa de otros dos puntos extremos.

Si CX es un punto extremos entonces X es una s..b.f. Si ( ) ZYX += 1 entonces Y y Z son puntos extremos, luego son s.b.f.

Teorema 4:

(a) Si la funcin objetivo posee un mximo ( o un mnimo) finito, entonces por lo menos una solucin ptima es un punto extremo.

(b) Si la funcin objetivo asume un mximo ( o un mnimo) en ms de un punto extremo, entonces ella toma el mismo valor para cualquier combinacin lineal convexa de estos puntos extremos.

Demostracin:

(a) Supongamos que la funcin XcXZ T =)( alcanza un mximo M en un punto CX 0 , o sea que CXXZXZM = ,)()( 0

Sean pXXX ...,,, 21 los puntos extremos de C (son una cantidad finita) Debemos demostrar que el punto donde se alcanza el mximo 0X es algn iX . Supongamos lo contrario, es decir, 0X no es ninguno de los puntos extremos de C ( piXX i ...,,1,0 = ). Entonces 110....

1110 =++=

=

p

iiipp yconXXX

Luego,

M= ( ) )(....)(....)( 11111

0 pppp

p

iii XZXZXXZXZXZ ++=++=

=

=

Si elegimos el mximo de los valores )(),( maxXZdigamosXZ i La igualdad anterior resulta ser ( ) )(...)(....)( max1maxmax1 XZXZXZ pp ++=++ = )( maxXZ

Por lo tanto, CXXZXZperoXZXZ )()()()( 0max0

Por lo que se deduce que maxmax0 )()( XasyMXZXZ == es el punto extremo donde se alcanza el mximo.

(b) Sean qXXX ...,,, 21 los puntos extremos de C tales que MXZXZ q === )(...)( 1 Si

==

==q

iii

q

iii XX

111,10, entonces

=++= )...()( 11 qq XXZXZ ( ) MMXZXZ qqq =++=++ ....)(...)( 111