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Algunos Resultados de Inters
Consideremos el Problema de Programacin Lineal en formato estndar:
0..
)(max
=
=
XbXAasXcZMino T
(*)
donde A es una matriz mxn (n>m), X es un vector nx1 , TC es un vector 1xn , b es un vector mx1 y la matriz A tiene rango m ( las m filas son l.i.)
Ejemplo: Consideremos el siguiente problema de programacin lineal
0,3526..
32max
21
21
21
21
21
++
+=
xx
xx
xx
xxas
xxZ
o bien
0,,,,3526..
00032max
32121
321
221
121
32121
=
=++
=++
++++=
sssxx
sxx
sxx
sxxas
sssxxZ
En formato matricial se escribe: 0
..
max
=
XbXAas
XcT
donde 5310011
0101200111
x
A
= ,
( )TT sssxxX 32121= , ( )TTc 00032= y
=
356
b
Observamos que el rango de A es 3 pues
=
31
32
32
31
31
31
100010001
100110101200111
A
As, tenemos que:
Una solucin factible para el problema (*) es cualquier vector nIRX que satisface ),2,1,0(0 nixdeciresXybXA i ==
La Regin Factible es el conjunto de todas las soluciones factibles. Una Solucin Bsica para el sistema bXA = es una solucin obtenida
haciendo n-m variables iguales a cero ( llamadas variables no bsicas) y resolviendo el sistema resultante para las dems variables ( llamadas variables bsicas )
Una Solucin Bsica Factible ( s.b.f.) es cualquier solucin bsica X que adems satisface 0X . Una s.b.f se dice degenerada si alguna variable bsica 0=ix
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Una solucin optima para el problema (*) es una solucin factible X tal que onMaximizacidecasoelenYfactiblesolucinotratodaparaYcXc TT )(
)( nMinimizacidecasoelenYfactiblesolucinotratodaparaYcXc TT
Una solucin ilimitada es una solucin factible tal que
+
)()(
MindecasoXcMaxdecasoXc
T
T
Teorema 1 : El conjunto de todas las soluciones factibles del problema (*) es Convexo. Demostracin: visto en el captulo de convexidad.
Teorema 2: Toda solucin bsica factible (sbf) del sistema bXA = es un punto extremo del conjunto de todas las soluciones factibles del problema (*). Demostracin: Sea { }0/ == XbXAIRXC n el conjunto convexo de las soluciones factibles. Sea X una s.b.f. que tiene, sin prdida de generalidad, las primeras m variables bsicas mxxx ...,,, 21 y las restantes variables no bsicas nmm xxx ,...,, 21 ++ .
As
=
0
0
2
1
M
M
mx
x
x
X siendo cada 0ix
Supongamos por absurdo que X no es un punto extremo de C. Entonces X ser una combinacin lineal convexa de otros 2 puntos extremos Y y Z )( ZY , es decir, ( ) 101
- De las ltimas n-m ecuaciones en (**), considerando que 10
-
Como = bXACX
mrmrm
rr
bxaxa
bxaxa
=++
=++
............
.
.
...........
11
11111
O sea
=
++
mmr
r
r
m b
b
a
a
x
a
a
x MMM
11
1
11
1 ..... , es decir =
=
r
jjj bAx
1 (***)
donde jA es la j-sima columna de A
Veremos que los vectores jA son linealmente independientes. Supongamos que no lo son, es decir quetalesnulostodosnor ...,,1
=
=
r
jji A
10 (****)
Si 0> y multiplicando por la igualdad (****) resulta =
=
r
jji A
10)( (*****)
Sumando (***) con (*****) resulta =
=+r
jjij bAx
1)( (ec. 1)
Restando (***) con (*****) resulta =
=
r
jjij bAx
1)( (ec. 2)
Elijamos lo suficientemente pequeo de modo que
==+
rjxrjx
jj
jj,...,10,...,10
Haciendo ( ) )1.(00....,,0,......,,11 ecsegnYebYAxxY TrrT =++= y ( ) )2.(00....,,0,......,,11 ecsegnZybZAxxZ TrrT ==
Por lo tanto ZYCZCY ,
Adems, se tiene que ZYX21
21
+= , por lo tanto X ser una combinacin
lineal convexa de Y y Z , lo que es una contradiccin puesto que X es un punto extremo de C.
Entonces { }rAAA ...,,, 21 es linealmente independiente y como cada mi IRA , no puede haber ms de m vectores l.i. Luego mr
-
Por lo tanto
=
n
m
r
x
x
x
x
X
M
M
M
1
=
0
00
1
M
M
rx
x
Si entoncesmr = X tiene exactamente n-m variables iguales a cero Si entoncesmr < X tiene ms de n-m variables iguales a cero
En cualquier caso, X tiene n-m variables nulas y es entonces una s.b.f.
Corolario 1: El conjunto de puntos extremos de C es finito. Demostracin: { }0,/ == XbXAIRXC n y ( )TnT xxX ,.....,1= Una s.b.f. es un vector .var nulasiablesmntienequeCX de cuntas maneras diferentes podemos elegir n-m variables de entre n posibles?
La respuesta es el nmero combinatorio ( )!!!
mnm
n
mn
n
=
Luego hay una cantidad finita de s.b.f. y hay una cantidad finita de puntos extremos en C.
Corolario 2 : Si existe una solucin factible, o sea C , entonces existe una s.b.f. Demostracin:
Como C es convexo y no vaco, un punto CX es un punto extremo o es combinacin lineal convexa de otros dos puntos extremos.
Si CX es un punto extremos entonces X es una s..b.f. Si ( ) ZYX += 1 entonces Y y Z son puntos extremos, luego son s.b.f.
Teorema 4:
(a) Si la funcin objetivo posee un mximo ( o un mnimo) finito, entonces por lo menos una solucin ptima es un punto extremo.
(b) Si la funcin objetivo asume un mximo ( o un mnimo) en ms de un punto extremo, entonces ella toma el mismo valor para cualquier combinacin lineal convexa de estos puntos extremos.
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Demostracin:
(a) Supongamos que la funcin XcXZ T =)( alcanza un mximo M en un punto CX 0 , o sea que CXXZXZM = ,)()( 0
Sean pXXX ...,,, 21 los puntos extremos de C (son una cantidad finita) Debemos demostrar que el punto donde se alcanza el mximo 0X es algn iX . Supongamos lo contrario, es decir, 0X no es ninguno de los puntos extremos de C ( piXX i ...,,1,0 = ). Entonces 110....
1110 =++=
=
p
iiipp yconXXX
Luego,
M= ( ) )(....)(....)( 11111
0 pppp
p
iii XZXZXXZXZXZ ++=++=
=
=
Si elegimos el mximo de los valores )(),( maxXZdigamosXZ i La igualdad anterior resulta ser ( ) )(...)(....)( max1maxmax1 XZXZXZ pp ++=++ = )( maxXZ
Por lo tanto, CXXZXZperoXZXZ )()()()( 0max0
Por lo que se deduce que maxmax0 )()( XasyMXZXZ == es el punto extremo donde se alcanza el mximo.
(b) Sean qXXX ...,,, 21 los puntos extremos de C tales que MXZXZ q === )(...)( 1 Si
==
==q
iii
q
iii XX
111,10, entonces
=++= )...()( 11 qq XXZXZ ( ) MMXZXZ qqq =++=++ ....)(...)( 111