aljabar linear elementer · 2020. 10. 28. · aljabar linear elementer author: hp created date:...
TRANSCRIPT
-
Definisi Basis
Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2,
… , ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor –
vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V Jika
kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear
-
Contoh:
Tunjukkan bahwa himpunan 𝑆 = {𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑} dengan
𝒗𝟏 = 1, 2, 1 , 𝒗𝟐 = (2, 9, 0) dan 𝒗𝟑 = (3, 3, 4) adalah suatu
basis untuk 𝑹𝟑.
-
Definsi
Suatu ruang vektor tak nol 𝑉 disebut berdimensi
terhingga jika terdiri dari himpunan terhingga vektor-
vektor { ū1, ū2, … , ūn } yang membentuk suatu basis.
Jika tidak terdapat himpunan semacam ini, 𝑉 disebut
sebagai berdimensi takterhingga. Selain itu, kita akan
menganggap vektor nol sebagai berdimensi terhingga.
-
Definisi Dimensi
Dimensi dari ruang vektor 𝑉 yang berdimensi terhingga,
dinotasikan dengan dim( 𝑉 ), didefinisikan sebagai
banyaknya vektor vektor pada suatu basis untuk 𝑉 .
Selain itu, kita mendefinisikan ruang vektor nol sebagai
berdimensi nol.
-
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2
Jawab :
Tulis kombinasi linear :
atau
1 4 1 2 3
1 2 3 4 1 3 4
3 6 8
3 12 6 4 2
k k k k k a b
k k k k k k k c d
+ − − =
− − − − − +
-
dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks,
diperoleh SPL :
-
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48
• det(MK) 0 ➔ SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d
Jadi, M membangun 𝑀2×2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,
det(MK) 0 ➔SPL homogen punya solusi tunggal.
Jadi, M bebas linear.
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2maka M merupakan basis bagi M2 x 2 dan dim (M2 x 2)=4.
CATATAN:
Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
-
Contoh :
Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :
1 0 0 1 0 0 0 0, , ,
0 1 0 0 1 0 0 1
merupakan basisnya.
-
Dimensi dari Ruang solusi
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s = 0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s = 0
Tentukan basis dan dimensi dari ruang solusi SPL diatas
Jawab :
SPL dapat ditulis dalam bentuk :2 1 2 2 0
1 1 2 1 0
1 2 4 1 0
3 0 0 3 0
− −
− − − −
−
-
1 0 0 1 0
0 1 2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
−
−
1 0
0 2
0 1
1 0
p
qa b
r
s
= +
dengan melakukan OBE diperoleh :
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
dimana a, b merupakan parameter.
Jadi, basis ruang solusi dari
SPL diatas adalah :
1 0
0 2,
0 1
1 0
Sehingga ruang solusinya
adalah berdimensi dua
-
Terimakasih