课例 17 勾股定理
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课例 17 勾股定理
A
B Ca
bc
如果直角三角形的两直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c ，
那么 a2 + b2 ＝ c2 .
“ 弦图”
∵ c2 － 4× ab ＝ (a － b)2 ， ∴ c2 ＝ a2 + b2 .
c
a － b
a b
1_2
a
ab
b
c
c
a
ba
bc
c
a
b
c
c a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
c
a
b
2002 年世界数学家大会会标
a2
b2
c2
a2 + b2 = c2
1955 年希腊发行的一枚纪念邮票
c
a b
a － b
aa a
a
a
c
a
b
b
b
b
bb c
cc
c
c
b
a
a
a
a
b
b
b
1876 年美国总统加菲尔德的证法
cc
a
a b
b
（ a+b) (a+b ） = c2+2× ab 1_2
1_2
A
B C
D E
F
G
K
H
Ｌ
Ｍ
S△ABD = S 矩形 BDLM ，
S△FBC = S 正方形 FBAG ，
∵ S△ABD = S△FBC ，
∴ S 矩形 BDLM = S 正方形 FBAG ．
同理， S 矩形 CELM = S 正方形 ACKH ．
∴ S 正方形 ABFG + S 正方形 ACKH = S 正方形 BDEC ．
2
1
2
1
A
C
BD
b2 = cx ① a2 = cy ②
①+② 得 a2+b2=c(x+y)=c2 ， a2 + b2 = c2 .
c
ab
x y
b
xy
aA C
D
cb
bx
ca
ay
BC
D
△ ACD∽△ABC △ CBD∽△ABC
=>=>
=>=>
根据切割线定理， AC2 = AD · AE .
∴ AC2 ＝ AD(AB+BC)=(AB – BC)(AB+BC)
= AB2 – BC2.
∴AC2 + BC2 = AB2.
以 B 为圆心 BC 为半径作圆
D
E
AB 交⊙ B 于点 D ，延长 AB 交⊙ B 于点E .
B
AC在 Rt△ABC 中 ，∠ C = 90°.
如图，一根旗杆在离地面 9 m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处，旗杆折断之前有多高？
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