電路學第七章 交流穩態分析

電路學第七章

交流穩態分析1

授課老師: 張敏娟

1

內容大綱

2

3

4

一、交流電源

)sin()sin(φω

ω+=

=tIitVv

ms

ms

5

一、交流電源

)sin()sin(φω

ω+=

=tIitVv

ms

ms

mV

mI振幅

ω 角頻率 T

f ππω 22 ==

φ 相位角

6

交流訊號會利用到的數學：複數與指數

7

z x jy= +複數表示法

實數

虛數

空間上的一個點

交流訊號會利用到的數學：複數與指數

8

z x jy= +複數表示法

指數表示法

𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜙 實數

虛數

空間上的一個點

𝑒𝑗𝜙 = cos𝜙 + 𝑗 sin𝜙 cos sinx r y rφ φ= =

交流訊號會利用到的數學：複數與指數

9

z x jy= +複數表示法

指數表示法

𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜙 實數

虛數

空間上的一個點

𝑒𝑗𝜙 = cos𝜙 + 𝑗 sin𝜙 cos sinx r y rφ φ= =

2 2 1tan yr x yx

φ −= + =

轉換關係式

交流訊號會利用到的數學：複數與指數

10

z x jy= +複數表示法

指數表示法

𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜙 實數

虛數

空間上的一個點

𝑒𝑗𝜙 = cos𝜙 + 𝑗 sin𝜙 cos sinx r y rφ φ= =

2 2 1tan yr x yx

φ −= + =

轉換關係式 相量表示法

𝑧 = 𝑟∠𝜙

基本運算規則提醒

11

加法 減法

z x jy= +

基本運算規則提醒

12

加法 減法 乘法

除法

𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜙 𝑧 = 𝑟∠𝜙

基本運算規則提醒

13

加法 減法 乘法

除法 倒數 開根號

jz r re φφ= ∠ =

基本運算規則提醒

14

加法 減法 乘法

除法 倒數 開根號

共軛複數

z x jy= + jz r re φφ= ∠ =

基本運算規則提醒

15

加法 減法 乘法

除法 倒數 開根號

共軛複數 指數與三角的轉換定義

z x jy= + jz r re φφ= ∠ =

二、RL電路

tVv ms ωcos=

16

二、RL電路

)cos( φωτ ++=+= − tIKeiii mt

fn tVv ms ωcos=

17

二、RL電路

)cos( φωτ ++=+= − tIKeiii mt

fn

∞→t當 )cos( φω +=→ tIii mf

tVv ms ωcos=

18

(1)

二、RL電路

)cos( φωτ ++=+= − tIKeiii mt

fn

∞→t當 )cos( φω +=→ tIii mf

tVv ms ωcos=

19

(1)

tVRidtdiL m ωcos=+

KVL

(2)

二、RL電路

)cos( φωτ ++=+= − tIKeiii mt

fn

∞→t當 )cos( φω +=→ tIii mf

tVv ms ωcos=

20

(1)

tVRidtdiL m ωcos=+

KVL

(2)

把(1)代入(2)

tVRidtdiL m ωcos=+

(1)

tVtBtARtBtAL m ωωωωωωω cos)sincos()cossin( =+++−整理一下兩邊係數可以得到

mVRALB =+ω

0=+− RBLAω

21

RL電路

tVv ms ωcos=

tBtAi f ωω sincos +=

把(1)代入(2) , 可以得到

RL電路

222 LRRVA m

ω+= 222 LR

LVB m

ωω+

=

mVRALB =+ω

0=+− RBLAω由

解A 、B

22

tVv ms ωcos=

RL電路

222 LRRVA m

ω+= 222 LR

LVB m

ωω+

=

mVRALB =+ω

0=+− RBLAω由

解A 、B

23

RL

LRZωβ

ω

1

222

tan−=

+=令

Z

β R

tVv ms ωcos=

ωL

24

)cos(

)cos(

sinsincoscos

sincos

sincos

22

222222

βω

βω

ωβωβ

ωωω

ωω

ωωω

−=

−=

+=

+=

++

+=

tI

tZ

V

tZ

VtZ

V

tZLVt

ZRV

tLR

LVtLR

RVi

m

m

mm

mm

mmf

RL電路

tVv ms ωcos=

把A 、B代入到(1) tBtAi f ωω sincos +=

RL

LRZωβ

ω

1

222

tan−=

+=令

Z

β R

ωL Z被稱為阻抗

如果不小心忘了三角函數…

25

http://163.23.155.3/tchmat/sinea.htm 請參考

c

A b

a

如果不小心忘了三角函數…

26

http://163.23.155.3/tchmat/sinea.htm 請參考

如果不小心忘了三角函數…

27

http://163.23.155.3/tchmat/sinea.htm 請參考

2

Θ=30 3

1

2 Θ=45

1

1

三、相量表示法(Phasor)

28

}Re{

}Re{

)cos()(

βω

βω

βω

jtjm

tjm

mf

eeIeI

tIi

−

−

=

=

−=時間域表示法

ββ −∠== −m

jm IeII

相量表示法(頻率域)

練習題

29

30

小問題：若A=12/(3+j3)，把A化簡為phasor表示法，則振幅為_______ (四捨五入至小數點底下第二位, example x.yz) 相位角為______度(整數，若為負數，請加上負號)

31

答案：振幅為2.83﹐相位角為-45度

32

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )°−∠=

°−+°−=

−=

−=

+−

=

−×+−×

=

+=

4583.245sin45cos22

12

331812

993312

33333312

3312

j

j

j

jjj

jj

A詳解：

小問題：若A=12/(3+j3)，把A化簡為phasor表示法，則振幅為_______ (四捨五入至小數點底下第二位, example x.yz) 相位角為______度(整數，若為負數，請加上負號)

有理化，乘上共軛複數

33

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )°−∠=

°−+°−=

−=

−=

+−

=

−×+−×

=

+=

4583.245sin45cos22

12

331812

993312

33333312

3312

j

j

j

jjj

jj

A詳解：

小問題：若A=12/(3+j3)，把A化簡為phasor表示法，則振幅為_______ (四捨五入至小數點底下第二位, example x.yz) 相位角為______度(整數，若為負數，請加上負號)

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

有理化，乘上共軛複數

34

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )°−∠=

°−+°−=

−=

−=

+−

=

−×+−×

=

+=

4583.245sin45cos22

12

331812

993312

33333312

3312

j

j

j

jjj

jj

A詳解：

小問題：若A=12/(3+j3)，把A化簡為phasor表示法，則振幅為_______ (四捨五入至小數點底下第二位, example x.yz) 相位角為______度(整數，若為負數，請加上負號)

數值整理

35

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )°−∠=

°−+°−=

−=

−=

+−

=

−×+−×

=

+=

4583.245sin45cos22

12

331812

993312

33333312

3312

j

j

j

jjj

jj

A詳解：

小問題：若A=12/(3+j3)，把A化簡為phasor表示法，則振幅為_______ (四捨五入至小數點底下第二位, example x.yz) 相位角為______度(整數，若為負數，請加上負號)

數值整理

36

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )°−∠=

°−+°−=

−=

−=

+−

=

−×+−×

=

+=

4583.245sin45cos22

12

331812

993312

33333312

3312

j

j

j

jjj

jj

A詳解：

小問題：若A=12/(3+j3)，把A化簡為phasor表示法，則振幅為_______ (四捨五入至小數點底下第二位, example x.yz) 相位角為______度(整數，若為負數，請加上負號)

45 1

-1

2 三角關係

O

37

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )°−∠=

°−+°−=

−=

−=

+−

=

−×+−×

=

+=

4583.245sin45cos22

12

331812

993312

33333312

3312

j

j

j

jjj

jj

A詳解：

小問題：若A=12/(3+j3)，把A化簡為phasor表示法，則振幅為_______ (四捨五入至小數點底下第二位, example x.yz) 相位角為______度(整數，若為負數，請加上負號)

45 1

-1 2

數值整理

Summary1

38

交流電源表示法 RL電路之電壓電流關係 相量表示法

四、交流的電壓-電流關係(電阻)

39

時間域 頻率域 頻率域的電壓電流相位關係

證明

四、交流的電壓-電流關係(電阻)

40

證明

四、交流的電壓-電流關係(電容)

41

頻率域的電壓電流相位關係

證明

四、交流的電壓-電流關係(電容)

42

頻率域的電壓電流相位關係

證明

提示:

四、交流的電壓-電流關係(電容)

43

(3) 把(1)(2)帶入(3)，

證明

𝐼𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝛽) = 𝑗𝜔𝐶𝑉𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜙) 比較係數時，請注意：

(4)

𝑗 = cos 90° + 𝑗𝑗𝑗𝑗 90° = 𝑒90° 𝛽 = 90° + 𝜙

阻抗=V/I

四、交流的電壓-電流關係(電感)

44

頻率域的電壓電流相位關係

證明

四、交流的電壓-電流關係(電感)

45

頻率域的電壓電流相位關係

證明

提示:

四、交流的電壓-電流關係(電感)

46

證明

(3) 把(1)(2)帶入(3)，

𝑉𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜙) = 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝛽) 比較係數時，請注意：

(4)

𝑗 = cos 90° + 𝑗𝑗𝑗𝑗 90° = 𝑒90° 𝜙 = 90° + 𝛽

47

小問題：一個元件兩端的電位差為 v=3cos(3t) 伏特，而流過此元件的電流為 i= -2sin(3t+10度)安培。此時，電流領先電壓的相位(phase)=_______度。[整數]

48

答案：100度

49

( )( )( )( )

°=

°+=°+°+=

°+−=

100vi3cos3

1003cos290103cos2

103sin2

的相位差為與所以

tvtt

ti詳解：

小問題：一個元件兩端的電位差為 v=3cos(3t) 伏特，而流過此元件的電流為 i= -2sin(3t+10度)安培。此時，電流領先電壓的相位（phase）_______度。[整數]

http://163.23.155.3/tchmat/sinea.htm 請參考

cos 𝛼 + 90° = −sin (𝛼)

五、阻抗與導納

50

Impedance and Admittance

阻抗

51

Impedance

導納

52

Admittance

阻抗與導納關係式

53

阻抗串聯

54

阻抗並聯

55

阻抗串聯與並聯

56

六、克西荷夫定律

57

六、克西荷夫定律

58

六、克西荷夫定律

59

六、克西荷夫定律

60

Summary2

61

電阻、電容、電感的電壓電流相位關係

阻抗與導納的串並聯 交流的克西荷夫定律