Разложение на множители

Изучение темы Изучение темы

«Вынесение общего «Вынесение общего множителя за множителя за скобки»скобки»Материалы к уроку

Среди ученых известна шутка: «Неважно, что происходит, а важно, как на это посмотреть»

Полезно иногда посмотреть на старые вещи по-новому. Это-то я и предлагаю вам сделать вместе со мной.

Проверьте, правильно ли Проверьте, правильно ли выполнено задание выполнено задание

Сегодня нам предстоит решать обратную задачу

с(2с-3)=2с2 – 3с (х-2)(х+3)= х2 +х - 6 (а+в)(х+у)= ах+ау+вх+ву(а-в)(а+в)=а2 – в2

Что?Что?

Под разложением многочлена на множители будем понимать представление многочлена в виде произведения многочленов, каждый из которых зависит хотя бы от одной переменной.

Зачем?Зачем?

О пользе разложения на множители вы знаете уже давно. Убедитесь в этом еще раз – вычислите значение выражения рациональным способом:

19*83+17*19 26-11*26 ав+ас-аd, при а= 47, в= 54, с= 36,

d = 40 ху-хz, при х=17, у=29, z= 19

Зачем?Зачем?

Разложение на множители часто упрощает работу. Стоит, например,

разложить на множители левую часть уравнения х2 – 2х – 24 =0 и решение уравнения будет легко

найдено: х2 – 2х – 24=(х-6)(х+4)

Уравнение (х-6)(х+4)=0 решается так: х – 6 =0 или х+4 = 0

Закончите решение…

Как? Как?

Как разлагать многочлен на множители? Именно этому мы и будем учиться

Задание 1. Решите уравнение, разлагая

многочлен на множители: 7х2 – 2х=0

Как?Как?

Вы преобразовали уравнение по схеме

Преобразование многочлена по такой схеме называется разложением многочлена методом вынесения общего множителя за скобки

Метод группировки Метод группировки слагаемыхслагаемыхВычислите рациональным

путем:

121*13+12*121+13*179+12*179

Упражнение 1.Упражнение 1. Разложите многочлены на

множители, если это возможно, и сделайте проверку.

0,5+0,5в 0,7х2-0,2х2у 6,3*0,4 -3,4*6,3 (а+в)х+(а+в)у а2-2в

1,2а2-1,2а3в2=1,2а2*1-1,2а2*ав2=1,2а2(1-ав2)5х(а-2в)+2(2в-а)=5х(а-2в)-2(а-2в)=(а-2в)(5х-2)

Подсказка:

Упражнение 2. Упражнение 2. Вынесите общий множитель за скобку и сделайте проверку:

Ответьте на вопросыОтветьте на вопросыКакая арифметическая

операция используется, когда находится общий числовой множитель?

Какая алгебраическая операция используется, когда находится общий множитель, являющийся переменной или степенью переменной?

Упражнение 3.Упражнение 3.

Закончите разложение на множители и объясните каждый шаг:

ас +вс + ап+вп =ас + вс + ап + вп =

=(ас + вс) + (ап +вп) = с(а + в) + п(а +в) =

=(с +п)(а+в)ас + вс + ап +вп = ас+вс +ап +

вп= (…) + (…)=…

Упражнение 4.Упражнение 4.

Разложите многочлены на множители двумя способами:

nх +nу + bх +bу а3+2а2+2а+4

Опишите последовательность действий при разложении многочлена на множители методом группировки.

Метод группировкиМетод группировкиВсе слагаемые многочлена

объединяем в группы: каждая группа должна содержать свой общий множитель.

Вынося его за скобки, преобразуем группу в произведение.

При подходящем выборе групп все полученные произведения будут иметь общий множитель.

Вынося его за скобки, получаем разложение многочлена на множители

Задание 1. Задание 1. 1) Заполните пропуски в

разложении одночлена на множители:

72 авх2=8а*…=12вх*…=3*…2) Представьте выражения в

виде возможно большего числа множителей:

а) 40ав2 б)121а2вху в) 180 р2q2

Задание 2. Задание 2.

Вычислите рациональным способом:

48,8*3,8 -48,8*2,89,2*34 +9,2*16(0,823)*2+0,823*5,43 –

5,253*0,823(1,67+0,33)*1,67

Задание 3. Задание 3.

Заполните пропуски:

3а2в-6ав2=ав(… - …)=3ав( … - …) =

=6ав(… - …)=-3ав(… - …) = …

Задание 4. Задание 4. В выражении 9х+3в – 6а

вынесите за скобки 3В выражении 11а – 3 – 9 б

вынесите за скобки 3В выражении 0,5 у + 0,25 а –

0,75 вынесите за скобки 0,25

Задание 5. Задание 5.

Вынесите за скобки все возможные множители:

7а2в2+14а3в – 28 ав3

х3 + 3 х2 + х3ах(5х2 – 15 у2)-6ау(6у2 – 2х2)

Задание 6. Задание 6. Разложите на множители методом

вынесения за скобки общего множителя

а) 8а + 8в б) 3х – 3 в) ах + ау г) х2 – х д) 12а – 18 в е ) 18а2 – 9 а3 + 3а4

а) 48х2у – 36 ху б) 85 ав – 170а в) mx – nx + px г) 8авх – 6 асу – 10 ак д) 0,3с5р3 + 0,7 с4р4 е) 15 а2у4 +9ау2 + 27 ау

а) а(х+у) +в(х + у) б) а(х-у) – в(х-у) в) t(2x – 3y) – 5(-2x +3y) г)2x(3p-q) – (3p – q)

Задание 7Задание 7Вставьте пропущенные выраженияm(x +y) – x – y = m(x +y) – (… +

….)= =(x + y)(… - 1)ab – a – b +1 = (ab – a) – (b – 1) = =a(… -…) – (b-1) =…40 x2 – 2 p +5 x – 16 px = (40 x2 – 16

px) + +(5x – 2p)= …(5x -2p)+(5x – 2p) =

=(…) (… +1)21 a2-35b – 6 a2x3+10bx3=…(2x3-7) – - …(….) = (2x3 -7)(…)

Задание 8. Задание 8.

Проверьте равенство

54,4*43,2 – 25,6*18,2 -54,4*18,2 +25,6*43,2= =2000

Задание 9. Задание 9.

Вычислите рациональным способом:

93*52 – 38*43 + 93*38 – 43*5212,7*3,4 +8,2*1,4 – 1,4*12,7 –

3,4*8,2(78,5)2+21,5*93,4 – 21,5*14,9

Задание 10. Задание 10. Разложите на множители методом

группировки:  а) ах + ау + 10х + 10у б) а2 – ав – 8а +8в в) а2n – anx + x2 – ax г)5a3c + 10a2

- 6bc – 3abc2

а) аn2 + cn2 – ap + ap2 – cp + cp2 б) 3a3 + 5abc + 6ab2 – a3c – 15a2b –

2b2c в) х5 – х4 +х3-х2+х – 1

Задание 11. Задание 11.

Впишите пропущенные одночлены:

6а3 – 15а2b -14 ab + …==(2a – 5b)(… - ….)12x3 - … + 42 x2y – 35 y3==(… - ….)(6x2 – 5 y2)24 a4 – 18 a3 – 4 ab + … = =(…. - ….)(… - ….)

Задание 12. Задание 12.

Решите уравнения:

а) 6у+5 -2(6у+5)=0 б) х(х-2) +7(2-х)=0 в) (3х-2)(х+4)-3(х+5)(х-1)=0 г) у2 + 8у – 4у – 32=0

Задание 13. Задание 13. При разложении многочленов на

множители получены следующие результаты:

n(3n -4)2+(3n-4)3=4(3n-4)2(n-1)14a2c + 25 b2d - 10abd – 35

abc==(2a -5b)(7ac – 5bd)

Проверьте правильность разложений двумя способами