СТВОЛОВЫЕ СЕТИ : МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

СТВОЛОВЫЕ СЕТИ : МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

А.А. Тихомиров(Москва, Международная академия информатизации)

А.И. Труфанов, Л.Л. Носырева, Е.В. Носырева(Иркутск, Иркутский государственный технический

университет )

Введение1.Унарные операции

2.Операции над слоями3.Бинарные операции над сетями

ЗаключениеСписок основных источников

Введение

Предложенная А.Тихомировым (Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, РФ), А.Труфановым (Иркутский государственный технический университет, РФ) и др. концепция кружева единых сетей КЕС (или ART2 кружево), базируется на сквозном описании основных категорий взаимодействия множества сущностей ( субъектов, объектов) с помощью многослойного ( многоуровневого ) набора сетей произвольной топологии, в т.ч. комплексных.

Введение (продолжение)

В основе подхода лежат бинарные (парные) взаимодействия сущностей (акторов) в отдельных тематических слоях (ТС).

Введение (продолжение)

Актором кружева единой сети является ствол, стволы крепят узлы сетей различных тематических слоев. Ствол вырождается в узел, а единая сеть в традиционную сеть при объединении всех ТС в один. КЕС -сеть представляет собой квинтет (кортеж, семейство) (S, T, V, Vt, Et), где S – непустое множество стволов, T – непустое множество тематических слоев, V – множество, называемое узлами сети, причем V представляет кортеж неотделимых непересекающихся непустых подмножеств множества V ((V1,… Vt), называемых узлами тематических слоев t КЕС-сети, Et–семейство непустых (необязательно различных) подмножеств множества Vt, называемых связями тематического слоя t CNL-сети.

Введение (продолжение)

Авторами предлагается математическое описание частного случая КЕС, так называемой стволовой сети (stem network),s-сети задаваемой не квинтетом, а тройкой (S, T, R), где S – непустое множество стволов, T – непустое множество тематических слоев, R=(R1, R2, …, Rt)– совокупность бинарных отношений на множестве S, где Ri соответствует тематическому слою i. Множество узлов V можно исключить из описания, так как каждый узел является, по сути, пересечением ствола и тематического слоя.

В такой интерпретации s- сеть представляет собой совокупность графов, заданных на одном и том же множестве узлов. Каждый отдельный граф задает связи между узлами в тематическом слое.

В теории графов одним из способов задания графа является матрица смежности. Учитывая многослойность рассматриваемой сети, матрица смежности может быть задана как трехмерная матрица вида , где

Представление s-сетей

ijkCC

случае ожномпротивопол в

слое; ом-k в связь существуетj и iстволами между если 1,C kji ,0,,

Пример трёхмерной кубической матрицы для трехслойной? s-сети.

Представление s-сетей (продолжение)

Аналогичным способом можно задать матрицу весов связей ,

Представление s-сетей (продолжение)ijkVV

нетсвязи такой если

слое; ом-k вj и iстволами между связи весv,V kji ,,,

Тогда очевидным образом для s-сети можно определить операции, аналогичные операциям над графами.

Представление s-сетей (продолжение)

Операцией добавления к сети (S, T, R) ствола a образуется сеть

Унарные операции

).,},{( RTaS

Сеть (S, T, R) Операция добавления к сети (S, T, R) ствола a

а

Операция добавления тематического слоя t к сети (S, T, R) состоит в образовании сети

Унарные операции (продолжение)

).,,( RtTS

Сеть (S, T, R) Операция добавления тематического слоя t к сети (S, T, R)

Операция добавления дуги (аk, bk) в тематический слой k к сети (S, T, R) состоит в образовании сети

Унарные операции (продолжение)

)).)},...,,{(,...,,(,},,{( 21 tkkkkk RbaRRRRTbaS

Сеть (S, T, R) Операция добавления дуги (аk, bk) в тематический слой k

Операция удаления дуги (аk, bk) из тематического слоя k сети (S, T, R) состоит в образовании сети (S, T, R=(R1, R2, …, Rk \{(аk, bk)}, …, Rt)).

Унарные операции (продолжение)

Сеть (S, T, R) Операция удаления дуги (аk, bk) из тематического слоя k

Операция удаления ствола а из сети (S, T, R) заключается в удалении ствола а вместе с инцидентными ему дугами.

(S\{a}, T, R={Rk\{(bk, ck)| bk = ak или сk = ak , k=1,2,…,n, n-количество слоев}.

Унарные операции (продолжение)

Сеть (S, T, R) Операция удаления ствола а из сети (S, T, R)

а

Операцией сечения сети (S, T, R) по тематическому слою k образуется граф (S, Rk).

Унарные операции (продолжение)

Сеть (S, T, R) Операцией сечения сети (S, T, R)по тематическому слою k

Операция удаления тематического слоя t из сети (S, T, R) состоит в образовании сети (S, T \ tk, R\ Rk).

Унарные операции (продолжение)

Сеть (S, T, R) Операция удаления тематического слоя t из сети (S, T, R)

Операция отождествления стволов a и b сети (S, T, R) состоит в удалении из сети (S, T, R) стволов a и b и присоединении нового ствола а', дуг (а',с), если (а,с) Rk или (b,с) Rk, и дуг (с,a'), если

(с, а) Rk или (с, b) Rk. Если в каком–либо слое стволы соединены дугой, операция отождествления

стволов подразумевает удаление этой дуги, т.к. рассматриваемые нами конструкции не имеют петель.

Унарные операции (продолжение)

Унарные операции (продолжение)

Сеть (S, T, R) Операция отождествления стволов a и b сети (S, T, R)) 

а

b

a’

Операция дополнения слоя.Дополнением слоя tk называется граф (S, tk, S2\(Rk {(аi, ai)|ai tk })).

В результате применения этой операции к сети (S, T, R) получаем сеть (S, T, R=(R1,…,Rk-1,S2\(Rk {(аi, ai)|ai tk }, Rk+1,…,Rt)).

Операции над слоями

Дополнение слоя

Операция объединения слоев.Объединением слоев ti и tj называется граф (S, Ri Rj)

В результате применения этой операции к сети (S, T, R) получаем сеть (S, T, R=(R1,…,Rk-1,Rk’=Rk Rk+1, Rk+2,…,Rt)).

Операции над слоями (продолжение)

Объединение слоев

Операция пересечения слоев.Пересечением слоев ti и tj называется граф (S, Ri ∩ Rj)

В результате применения этой операции к сети (S, T, R) получаем сеть (S, T, R=(R1,…,Rk-1,Rk’=Rk ∩ Rk+1, Rk+2,…,Rt)).

Операции над слоями (продолжение)

Пересечение слоев

Кольцевая сумма слоев.Кольцевой суммой слоев ti и tj называется граф (S, Ri Rj)

В результате применения этой операции к сети (S, T, R) получаем сеть (S, T, R=(R1,…,Rk-1,Rk’=(Rk\Rk+1) (Rk+1\Rk), Rk+2,…,Rt)).

Операции над слоями (продолжение)

Кольцевая сумма слоев

Операция дополнения сети.Дополнением сети (S, T, R) называется сеть (S, T, S2 \ R ).

Бинарные операции над сетями

Операция дополнения сети

Операция объединения сетей.Объединением сетей (S1, T1, R1) и (S2, T2, R2) называется сеть (S1 S2, T 1 T 2, R 1 R 2).

Бинарные операции над сетями (продолжение)

Операция объединения сетей

Операция пересечения сетей.Пересечением сетей (S1, T1, R1) и (S2, T2, R2) называется сеть (S1 ∩S2, T 1 ∩T 2, R 1 ∩ R 2).

Бинарные операции над сетями (продолжение)

Операция пересечения сетей

Кольцевая сумма сетей.Кольцевой сетей (S1, T1, R1) и (S2, T2, R2) называется сеть (S1 S2, T 1 T 2, R 1 R 2 = (R1\ R2) (R2\ R1)).

Бинарные операции над сетями (продолжение)

Кольцевая сумма сетей

Благодаря введению s-сетей, и рассмотренным на них операциям можно формализовать многие прикладные задачи в различных областях знаний. Особенно удачно и значимо приложение этой теории к экономической и социальной сферам. При этом каждая введенная операция имеет свое содержательное отображение на реальных технологических, экономических и биосоциальных сетях.

Заключение

Представленное описание s-сетей в терминах линейной алгебры и теории графов позволяет для сетевых конструкций различной природы:

• формализовать многочисленные примеры, • проверять сетевой объект на соответствие поставленной задаче,• анализировать задачу на предмет непроизводительных процессов и

тупиковых ситуаций,• на основе формализации применять стандартные методы и

инструменты решения задач, в т.ч. в максимальной степени автоматизировать процесс решения,

• создать надежную и непротиворечивую платформу для междисциплинарных исследований.Для решения этих и других задач авторами предполагается, что математический аппарат введенных сетевых конструкций (s-сетей) будет дорабатываться и расширяться.

Заключение (продолжение)

• A.А.Тихомиров, А.И.Труфанов. Сверхсложные сети: новые модели интерпретации социально-экономических и биосоциальных процессов. Труды Института государства и права РАН. - М.: ИГП РАН, №6, 2011. с. 162 -170

• http://www.igpran.ru/trudy/Trudi_IGPRAN.2011-6.pdf (дата обращения: 01.07.2012).

• S. H. Strogatz, Exploring Complex Networks, Nature V. 410 , 2001, с.268-276

• R. Albert and A.-L. Barabási. Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics , №74, 2002 с.47

• M. E. J. Newman, The structure and function of complex networks, SIAM Review , №45, 2003, с.167-256

• О. Оре. Теория графов. – Либроком. 2009 г

Список основных источников