Алгебра 9кл_Сборник зад для экзамена по...
Post on 28-Jul-2015
904 Views
Preview:
TRANSCRIPT
4
Решениеэкзаменационныхзадач по алгебре
за 9 класск учебному изданию «Сборник заданий дляпроведения письменного экзамена по алгебре
за курс основной школы. 9 класс» / Л.В. Кузнецова,Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова. —
6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дрофа, 2001 г.
учебно-практическоепособие
5
ПЕРВАЯ ЧАСТЬЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ
РАБОТА № 1Вариант 1.
1. 0532 2 =−+ xx ;)5(249 −⋅⋅−=D ;
4493
2,1±−=x ;
22493
2,1 ⋅±−=x ;
5,2410
473
1 −=−=−−=x ; 144
473
2 ==+−=x ;
Ответ: 1x = –2,5; 2x =1.
2. ))((
)(2)(221)(
1baba
bababab
bababa +−
++−+=
+
+
−−
=babba
b−
=−
⋅ 4)(22 .
3. ( ) xxx 2148256 +>+− ;6x–10x–40>14+2x;6x<–54; x<–9.Ответ: ( )9;−−∞ .
4.
+==
.33,3
yxy
⇔
==
63,3
xy
⇔
==
.2,3
xy
Ответ: (2;3).5. а) y= –x2+4. График – парабола,
ветви вниз.
Вершина: ( ) 012
00 =
−⋅−=x ,
4400 =+=y .x –2 0 2y 0 4 0
б) по рисунку видно, что у<0,при ( ) ( )+∞∪−−∞∈ ;22;x .
6. При a=12, b= –5:
( ) 13169512 2222 ==−+=+ ba .7. 210 учебников – 15%; всего (х) – 100%;
140015
20100 =⋅=x .
Ответ: всего 1400 учебников.
��������������������������������������������������������������������������
–9 x
42 +−= xy
6
Вариант 2.
1. ;0275 2 =+− xx,925449 =⋅⋅−=D
1097
2,1±=x ; 4,0
1037
1 =−=x ; 110
372 =+=x .
Ответ: 4,01 =x ; .12 =x
2. =−
+
−− nmnmnm 33
2:11
( )( )( ) ( ) nm
nnm
nnmnm
nmnmnm+
=⋅+
⋅=⋅+−
−⋅+−+= 32
322
3 .
3. );54(335 +−>+ xxx;151235 −−>+ xxx
–10х<20. 2−>x .Ответ: (–2;+∞).
4.
=+=+
;025,12
yxyx
=+=+
;025,224
yxyx
−=−=
;422,2
xyx
=−=
.5,2
yx
Ответ: (–2; 5).
5. а) 42 −= xy .График – парабола, ветви вверх.
Вершина: 020
0 =−=x ;
.44020 −=−=yx –2 0 2y 0 –4 0
б) из рисунка видно, что у>0 приx∈(–∞;–2)∪(2;+ ∞).
6. При x=10, y= –6: .86436100)6(10 2222 ==−=−−=− yx
7. 54 (м) ткани – 45%; всего х (м) – 100%; 12045
54100 =⋅=x (м).
Ответ: всего 120 м.
������������������������������������������������������������������
–2 x
42 −= xy
7
РАБОТА № 2Вариант 1.
1. 0253 2 =−+ xx ; ,49)2(3452 =−⋅⋅−=D
6495
2,1±−=x ; ;2
612
675
1 −=−=−−=x 31
62
675
2 ==+−=x .
Ответ: x1= –2; x2= 31 .
2. =+−−−=−−− )168(84)4()2(4 222 ccccccc
.16316884 222 −=−+−−= ccccc
3.
>−>−
0315,012
xx
<>
153,12
xx
<>
.55,0
xx
( ).5;5,0∈x .Ответ: ( ).5;5,0
4.
−=+=+
52375
yxyx
−=+=+
52321153
yxyx
−−==
yxy
2532613
−−=
=
31)45(
2
x
y
−==
32
xy
Ответ: (–3;2).
5. .42 −= xy График – парабола. Ветви вверх.
x –2 0 2y 0 –4 0
.2+−= xyГрафик – прямая.x 0 1y 2 1Из рисунка видно, что А(2; 0) и
В(–3; 5) – точки пересечения этих графи-ков. Проверка: 1) 0=22–4; 0=–2+2.2) 5=(–3)–4; 5=–(–3)+2.
Ответ: А(2; 0), В(–3; 5).
6. ( ) ( ) .35
5315
5322
=⋅=
7. tvva 0−= , 0vvat −= , 0vatv += , но .0≠t
5 x0,5
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������
8
Вариант 2.
1. ;0372 2 =+− xx
25324)7( 2 =⋅⋅−−=D ;
;4
2572,1
±=x ;21
457
1 =−=x ;34
572 =+=x
Ответ: ;21
1 =x .32 =x
2. =++−+=+−+ )96(63)3()2(3 222 aaaaaaa
=−−−+= 9663 22 aaaa .92 2 −a
3.
>−>−
035,036
xx
><
35,63
xx
><
.6,0,2
xx
( )2;6,0∈x .Ответ: ( )2;6,0 .
4.
=+=−73132
yxyx
=+=−
2139132
yxyx
−==
xyx
372211
−==
672
yx
==
12
xy
Ответ: (1; 2).5. .42 +−= xyГрафик – парабола, ветви вниз.
Вершина: ;012
00 =
⋅−=x
.440)0( 20 =+−== yy
x –2 0 2y 0 4 0
у=х–2 – график – прямая.x 0 2y –2 0
Решим систему уравнений.
−=+−=
2,42
xyxy ⇔
−=+−=−
2,42 2
xyxx ⇔
⇔
−==−+
2,062
xyxx ⇔
−=
=
−=
22
3
xyxx
⇔
==
−=−=
02
53
yx
yx
.
Ответ: )0;2( ; ).5;3( −−
2−= xy
42 +−= xy
2 x0,6
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������
9
6. ( ) ( ) .21
32
3
32
622 =
⋅=
7. ,0tvva −= ,0vvat −=
avvt 0−= , но ,0≠a .0≠t
РАБОТА № 3Вариант 1.1. 6(10 – х)(3х + 4) = 0;10 – х = 0 или 3х + 4 = 0;
х1 = 10; 34
2 −=x .
Ответ: х1 = 10; 34
2 −=x .
2. ( )( ) 66223
233231822
2=+−=
+⋅−+−=
+−− cc
cccx
ccc .
3. 5х + 3(х + 8) < 10(x – 1);5x + 3x – 10x < –10 – 24;2x > 34; x > 17.
Ответ: (17; ∞).4. а) у = 0 при х = –3, х = –1, х = 4; б) х = 0 при у = 2; в) х ∈ [–2; 2].
5.
=+
=−
6
42yxy
yx
=+
+=
624
42yy
yx; у2 + 2у – 3 = 0;
=−=1
3ху
или
==
51
ху
.
Ответ: (1; –3), (5; 1).6. Пусть х – весь товар, тогда 0,28х + 0,56х + 32 = х;0,16х = 32; х = 200 (кг).Ответ: 200 кг.7. 0,4 ⋅ 10–3 v 4,1⋅ 10–4; 0,0004 < 0,00041;Ответ: 0,4 ⋅ 10–3 < 4,1 ⋅ 10–4.
Вариант 2.1. 2(5х – 7)(1 + х) = 0;5х – 7 = 0 или 1 + х = 0;
57
1 =x ; х2 = –1.
Ответ: 57
1 =x ; х2 = –1.
x17
10
2. ( )( ) 1212443
334433644
2=+−=
+−+−=
+−− aa
aaaa
aaa .
3. 2(х + 3) + 3x > 7(x + 4);2x + 3x – 7x > 28 – 6;2x < –22;x < –11.4. а) х = –6, х = –1, х = 5;б) у = –2;в) х ∈ [–3; 2].
5.
=−=+2
122
xyxyx
=+
+=
1222
22xx
xy
х2 + х – 6 = 0; х = –3; у = –1; х2 = 2; у2 = 4.Ответ: (–3; –1), (2; 4).
6. Пусть х ч. – весь маршрут, тогда .6чх – время по плану,
.4чх – время с новой скоростью, .
64чхх
− – разница во времени.
0,52х + 0,26х + 44 = х; 0,22х = 44; х = 200 (км).Ответ: 200 км.7. 2,6 ⋅ 10–4 v 0,2 ⋅ 10–3; 0,00026 > 0,0002.Ответ: 2,6 ⋅ 10–4 > 0,2 ⋅ 10–3.
РАБОТА № 4Вариант 1.
1. ;0523 2 =−+ xx D=4–(–4)⋅3⋅4=64.
;6
6422,1
±−=x 35
682
1 −=−−=x ; 13
822 =+−=x .
Ответ: 3211 −=x ; 12 =x .
2. )1()1(
)1(11 22
2
2
2
−−−
−=
+−
− aaa
aa
aa
aa
11 22
22
−=
−+−=
aa
aaaa .
3. )75(2)13(3 −>− xx , 141039 −>− xx , 143910 +−<− xx ,
11 x
��������������������������������������������������������������������������������������������
x<11.Ответ: (–∞;11).
x–11
11
4. а) 62 +−= xy .График – прямая.
x 0 3y 6 0
б) А(–35; 76),–2 ⋅ (–35)+6=76.76=76.Равенство верное, т. о. график про-
ходит через точку А(–35,76).
5. 012 ≤−x .(х–1)(х+1)≤0, т. о. [ ].1;1−∈xОтвет: [ ].1;1−
6. .11)2(32
3
2
85
aaa
aa
aaa ====⋅ −−−−
−
−
−
− При 6=a ;
611 =
a.
7. Пусть x палатки и y дома, тогда составим систему уравнений.
=+=+
;7042,25
yxyx
=+=+
;352,25
yxyx
−==
;25,10
yxy
−==
.15,10
yxy
Ответ: на турбазе было 15 палаток и 10 домиков.
Вариант 2.
1. ;0235 2 =−− xx
,49)2(54)3( 2 =−⋅−−=D
;10
4932,1
±=x ;4,010
410
731 −=−=−=x .1
1010
1073
2 ==+=x
Ответ: ;4,01 −=x .12 =x
2. =+−
+−+−
=−
−− )2)(2(
)2()2)(2(24
2
2
2
cccc
ccc
cc
cc
= .4
24
24
2222
22
cc
cc
cccc
−=
−−=
−−−
3. ),54(2)4(5 −<+ xx,108205 −<+ xx 3х>30, .10>x
Ответ: (10;+∞).
62 +−= xy
x–1 1
x10
��������������������������������������������������������������������������������������������������������
12
4. а) .42 −= xyГрафик – прямая.
x 0 2y –4 0
б) B (–45; –86).=−−⋅=− 4)45(2)45(y
;94490 −=−−=.8694 −≠−
Равенство неверно, т. о. точ-ка В не принадлежит графику.
5. .092 ≥−x(х–3)(х+3)≥0.
∈x (–∞; –3]∪[+3; +∞).Ответ: (–∞; –3]∪[+3; +∞).
6. 6
37
ccc −⋅ =с7–3–6=с–2. Если с=4, то .
1611
2 =c
7. Пусть количество двухместных лодок – х, тогда трехместных – 6–х.Составим уравнение.
,14)6(32 =−+ xx ,143182 =−+ xx 6–х=2, х=4.Ответ: 4 двухместные лодки и 2 трехместные.
РАБОТА № 5Вариант 1.
1. .6))((
3)(2322 2
22
2
yxy
yxyxyyyx
yxy
yyx
+=
+−⋅⋅−=
−⋅−
2. ;016 2 =−+ xx ,25)1(641 =−⋅⋅−=D
;12
2512,1
±−=x ;21
1251
1 −=−−=x .31
1251
2 =+−=x
Ответ: 21
1 −=x ; .31
2 =x
3. 0<–2x<8;0<–x<4;0>x>–4; –4<x<0.–3∈(–4; 0); –1∈(–4; 0).Ответ: (–4;0); –3;–1.
42 −= xy
x–3 3
13
4+= xy
xy 3−=
xy 3−=
4.
=−=+
9256
yxyx
=−=+
9251222
yxyx
−==
xyx
6217
−==
363
yx
==
33
yx
; х=у=3.
Ответ: (3; 3).
5. а) ;3x
y −=
График гипербола, ветви во II и IVкоординатных четвертях.
x –3 –1 1 3y 1 3 –3 –1
2) .4+= xyГрафик – прямая.
x 0 –4y 4 0
б) Решим систему.
+=
−=
4
,3
xyx
y ⇔
+=
−=+
4
,34
xyx
x⇔
⇔
+=≠
=++
4,0
,0342
xyx
xx⇔
+=≠
−=−=
4,0
,1,3
xyxxx
⇔
=−=
=−=
.3,1
,1,3
yx
yx
Ответ: (–1; +3); (–3; 1).6. Пусть х – расстояние от турбазы до станции, тогда
146
−= xx ; 2х = 3х – 12; х = 12.
Ответ: 12 км.
7. .53353523595234552 −=+−=+⋅−=+−
Вариант 2.
1. .15)(15
))((335 22
22
aba
baababaa
baa
aba −=
++−⋅=
+⋅−
2. ;0352 2 =+− xx,132425 =⋅⋅−=D
;4
152,1
±=x ;14
151 =−=x .5,1
415
2 =+=x
Ответ: ;11 =x 5,12 =x .
14
3. –6<–3x<3, –2<–x<1, –1<x<2,x ∈ (–1; 2). );2;1(0 −∈ ).2;1(1 −∈Ответ: x ∈ (–1; 2), 0 и 1.
4.
=−=+
11757
yxyx
=−=+
11753555
yxyx
−==
yxy
72412
==
52
xy
Ответ: (5;2).
5. а) .2x
y =
График – гипербола, ветви в Iи III координатных четвертях.
x –2 –1 1 2y –1 –2 2 1
б) .3+−= xy График прямая.x 0 3y 3 0
+−=
=
3
,2
xyx
y⇔
+−=
=+−
3
,23
xyx
x⇔
⇔ х2–3х+2=0 ⇔
⇔
+−=≠
3,0xy
x⇔
+−=≠
==
3,0,2,1
xyxxx
⇔
==
==
.1,2
,2,1
yx
yx
Ответ: графики пересекаются в точках A(1;2); B(2;1).
6. Пусть х – расстояние от леса до деревни, тогда 41
54+= xx ;
5х = 4х + 5; х = 5.Ответ: 5 км.
7. =+⋅−=+− 3292231822 .2332322 −=+⋅−
РАБОТА № 6Вариант 1.1. При а = – 1, 1 – 0,5а2 + 2а3 = 1 – 0,5 – 2 = –1,5.
2. ( )( )( ) ( )nmn
mnmnmn
mnmmnm
mnn
mnm+
=+−⋅−=
−⋅− 2
222
2.
xy 2=
xy 2=
3+−= xy
x–1
����������������������������������������������������������������������������������������
2
����������������������������������������������������������������������������������������
15
3. х(2х + 1) = 3х + 4;2х2 – 2х – 4 = 0;х2 – х – 2 = 0 по т. Виетах1 = 2; х2 = –1.Ответ: х1 = 2; х2 = –1.
4. –1 < 2x + 2 < 0; –3 < 2x < –2;
123 −<<− x , х ∈ (–1,5; –1).
Ответ: х ∈ (–1,5; –1).
5.
−=−=+
53256
yxyx
−=+−−=
51815265
xxxy
20х = 10; х = 0,5; у = 2.Ответ: (0,5; 2).6. а) 8о; б) 6 часов; в) после 4 часов; г) 10о.
7. 0,1х2 ≥ 10; х2 ≥ 100; х2 – 100 ≥ 0;(x – 10)(x + 10) ≥ 0.х ∈ (–∞; –10] ∪ [10; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; –10] ∪ [10; ∞).
Вариант 2.
1. При х = –1, 1,5х3 – 3х2 + 4 = –1,5 – 3 + 4 = 21− .
2. ( )( )( )
( )a
bababa
bbabaaab
bb
ba −=+
+−=+
⋅−2
222.
3. х(2х – 3) = 4х – 3;2х2 – 4х – 3х + 3 = 0; 2х2 – 7х + 3 = 0;D = 49 – 24 = 25 = 52;
21
457
1 =−=x ; 34
572 =+=x .
Ответ: 21
1 =x ; 32 =x .
4. –1 < 2x + 1 < 1;–2 < 2x < 0; –1 < x < 0,х ∈ (–1; 0).Ответ: х ∈ (–1; 0).
5.
=+−=−113226
yxyx
=++−+−=
11312462
yyyx
==
41
xy
.
Ответ: (4; 1).6. а) –7о; б) 6 часов; в) с 6 до 12 часов; г) 24 часа.
x
23−
��������������������������������������������
–1
����������������������������������������������������������������������������������������
x–10 10
x–1
����������������������������������������������������������������������������������������
0
������������������������������������������������������������������������������������������
16
7. 0,1х2 ≤ 10; х2 ≤ 100; х2 – 100 ≤ 0;(x – 10)(x + 10) ≤ 0; х ∈ [–10; 10].Ответ: х ∈ [–10; 10].
РАБОТА № 7Вариант 1.
1. =−+−
+−+=−
+−
− bababababa
bababa2:
))((2:11
.2))((
)(2ba
bbababab
+=
⋅+−−⋅
=
2. ;0152 =−− xx ,29)1(1425 =−⋅⋅−=D 2
2952,1
±=x .
Ответ: 2
2952,1
±=x .
3.
>−>+
021238
xx
;
<
−>
21
63
x
x;
<
−>
212
x
x.
Ответ:
−
21 ;2 .
4.
=+−=−22
22
yxyx
−==+xy
xx22
022
−=
−=
=
xyxx
222
0
=−=
==
62
20
yx
yx
Ответ: (0;2); (–2;6).5. а) .52 −= xyГрафик прямая.
x 0 1y –5 –3
б) А(–35;–65)у = 2(–35)–5;у = –75,
,7565 −≠−равенство неверное, т. о. точка А непринадлежит графику функцииy x= −2 5.
52 −= xy
x–10 10
x21
–2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������
17
6. При x = 2 и 6=y ,
6241
41 ⋅−=− xy .
2312
41 −=⋅−=
7. v = v0 + at;at = v – v0;
avvt 0−= , но а≠0.
Вариант 2.
1. =
−−
+⋅
+x
yxyx
xy
yx
=
++−−
⋅+
)())((2
yxxyxyxx
yyx
=yx
yxx 222 +− =yxy2
=xy .
2. ;0132 =++ xx
,511432 =⋅⋅−=D
253
2,1±−=x .
Ответ: 2
532,1
±−=x .
3.
>−<+
1027,024
xx
−<−<
.32,24
xx
−<−<
5,1,5,0
xx
x<–1,5.–0,5
x–1,5
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Ответ: ( ; , ).−∞ − 1 5
4.
=+
−=−
10
,1032 yx
yx
+==+
.103,032
xyxx
+=
−=
=
.103.3
,0
xyxx
=−=
==
.1,3
.10,0
yx
yx
Ответ: (0;10); (–3; 1).
18
5. а) .52 += xyГрафик прямая.
x 0 1y 5 7
б) В ),51;23(;523251 +⋅= 54651 += , 51=51,
равенство верное, т. о. точка В принад-лежит графику функции.
Ответ: график функции 52 += xyпроходит через точку В.
6. Если ,15=a ,3=b то =⋅⋅= 31591
91 ab 45
91 = 5
31 .
7. S = S0 + Vt; Vt = S – S0; tSSV 0−= , t≠0.
РАБОТА № 8Вариант 1.
1. 12
12
12 22
−−=
−+−−=
−−−
aa
aaaa
aaa .
2. 010
16 2=−
xx ;
16 – х2 = 0, х ≠ 0; х2 = 16; х1,2 = ±4.Ответ: х1,2 = ±4.3. 10 – 8x > 2x + 18;10x < –8; x < –0,8;х ∈ (–∞; –0,8).Ответ: х ∈ (–∞; –0,8).
4.
=+=
6252
yxxy
=−
−=
5412
262xx
xy; 4х2 – 12х + 5 = 0; 162036
4=−=D ;
=
=
=
=
125
или521
у
х
у
х.
Ответ: (21
; 5); (25
; 1).
52 += xy
����������������������������������������������������������������������������������������
x–0,8
19
5. а)
б) у = –4.6. S = y2 + x ⋅ (x – y) = y2 + x2 – xy.
7. 34
53
710
103 ∨ ;
54
73 < .
Ответ: 34
53
710
103 < .
Вариант 2.
1. 15
15
15 222
++=
++−+=
+−−
cc
cccc
ccc .
2. 0252
2=−
xx ; х ≠ 0; х2 = 25; х1,2 = ±5.
Ответ: х1,2 = ±5.3. 6х + 15 < 10x + 9;4x > 6;x > 1,5;
x1,5
����������������������������������������������������������������������������������������
х ∈ (1,5; ∞).Ответ: х ∈ (1,5; ∞).
4.
==−32
22xy
yx;
=+
+=
344
222yy
yx;
4у2 + 4у – 3 = 0; 161244
=+=D ;
−=
−=
123
x
y или
=
=
321
x
y.
Ответ: (–1; 23− ); (3;
21
).
20
5. а)
б) у = –1.6. S = b2 – (b – a)2 = 2ab – a2.
7. 58
83
54
95 ∨ ;
53
32 ∨ ;
53
94 < .
Ответ: 58
83
54
95 < .
РАБОТА № 9Вариант 1.
1. При a =12
, и 31=x , =
+
⋅=
+31
21
31
21
xaax .
51
56
61
62
63
3211
=⋅=+
⋅⋅
2. .3363636)1(3 222 +=++−=+− yyyyyy
3. ;1112 2 =− x
;12 =x .12,1 ±=xОтвет: .12,1 ±=x
4. –2<x+1<–1;–3<x<–2; ).2;3( −−∈x
);2;3(5,2 −−∈−).2;3(6,2 −−∈−
Ответ: х ∈ (–3; –2); –2,5; –2,6.5. Пусть на одно платье требуется x м, а на один сарафан y м ткани, то-
гда можем составить систему.
=+=+
1953,93
yxyx
=+=+
1953,2793
yxyx
−==
.39,84
yxy
==
.3,2
xy
Ответ: на платье 3 метра, а на сарафан – 2 метра.
–2 x–3
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������
21
6. а) .322 −−= xxyГрафик – парабола, ветви вверх.
Вершина: ;122
12)2(
0 ==⋅−−
=x
.43121)1( 20 −=−⋅−== yyx –1 1 3y 0 –4 0
б) из рисунка видно, что функциявозрастает на промежутке [ )1; .+∞
Ответ: [ )1; .+∞
7. 5,252 ∨ ; 5,220 > .
Ответ: 5,252 > .
Вариант 2.
1. При 51=x и
31=y ,
=−
=⋅
−=−
151
155
153
31
51
31
51
xyyx .2
115
152
151:
152 −=⋅−=−
2. 2)1(48 cc −+ = .444848 22 +=+−+ cccc
3. ;1418 2 =− x
;42 =x .22,1 ±=xОтвет: .22,1 ±=x
4. 14415 −<−<− x ; –11<x<–10.
–10 x–11
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������
).10;11( −−∈x–10,5 );10;11( −−∈ –10,6 ).10;11( −−∈Ответ: х ∈ (–11;10); –10,5; –10,6.5. Пусть 1–й лошади дают х кг сена, а 1-й корове – у кг.
=+=+
352342
yxyx
=+=+352
6842yx
yx
−==
yxy
234333
==
121
xy
Ответ: одной лошади выдают 12 кг, а корове – 11 кг сена.
322 −−= xxy
22
6. а) .322 −+= xxyГрафик – парабола, ветви вверх.
Вершина: ;122
122
0 −=−=⋅
−=x
=−= )1(0 yy .4321 −=−−3) x –3 –1 1
y 0 –4 0б) из рисунка видно, что функция
322 −+= xxy убывает на промежутке( ].1;−−∞
Ответ: (–∞; –1].
7. 6,036 ∨ ; 4,56 > .
Ответ: 6,036 > .
РАБОТА № 10Вариант 1.
1. .)(
)(:2
2
2
2
xa
xaxaxa
xaxa
axa
axax
axa =
+⋅+
=+
⋅+=++
2. ;153
9 =−+ xx
,153455 =−+ xx,302 −=x .15−=x
Ответ: .15−=x3. 3x–4(x+1)<8+5x,3x–4x–4<8+5x,6x>–12, х>–2.
).;2( +∞−∈xОтвет: х ∈ (–2;+∞).4. Пусть длины сторон газона равны x м и y м.
==+
56,30)(2
xyyx
⇔
==+
56,15
xyyx
⇔
=⋅−−=
56)15(,15
yyyx
⇔
⇔
=−+−
−=
05615
,152 yy
yx⇔
=+−
−=
05615
,152 yy
yx⇔
==
−=
8,7
,15
yy
yx⇔
==
==
.8,7
,7,8
yx
yx
Ответ: длины сторон газона равны 7м и 8м.
x–2
��������������������������������������������������������������������������������������������������
322 −+= xxy
23
5. а) .12 +−= xyГрафик – парабола, ветви вниз.Вершина:
;020
0 ==x .10 =y
x –1 0 1y 0 1 0
б) из рисунка видно, что y>0, при).1;1(−∈x
6. )103()102,1( 13 −− ⋅⋅⋅ .00036,0106,3)1010()32,1( 413 =⋅=⋅⋅= −−−
Ответ: .00036,0106,3 4 =⋅ −
7. ;09,283,5 = ,4009,28200 <<< .40;3,5;20
Ответ: .40;3,5;20
Вариант 2.
1. .)()()(
:22
2
ca
accaca
acc
caca
cac
caac =
−−
=−
⋅−
=−−
2. .134
6 =−− xx
,124183 =−− xx .30−=xОтвет: .30−=x3. x+2<5x–2(x–3), x+2<5x–2x+6, 2x>–4; x>–2,
x–2
������������������������������������������������������������������������������������������������
х ∈ (–2; ∞).Ответ: х ∈ (–2; ∞).4. Пусть длина участка – х м, а ширина – у м, тогда:
=⋅=+
96,40)(2
yxyx
=⋅=+96
,20yxyx
=−
−=
.9620
,202yy
yx
у2–20у+96=0.
==
.12,8
xy
или
==
.8,12
xy
Ответ: длины сторон участка равны 8 метров и 12 метров.
12 +−= xy
24
5. а) .12 −= xyГрафик – парабола, ветви вверх.
Вершина: х0 = 0; .1100 −=−=y
3) x –1 0 1y 0 –1 0
б) из рисунка видно, что y < 0, при).1;1(−∈x
Ответ: (–1;1).
6. =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −− 2525 101046,1)104()106,1(
.0064,0104,6104,6 325 =⋅=⋅= −+−
Ответ: 0,0064.
7. 4,9= .01,249,4 2 = Т.к. 0<15<24,01<35, ,3501,2415 <<
.359,415 <<
Ответ: .35;9,4;15
РАБОТА № 11Вариант 1.
1. 23
)23(523
15523
15 22
−−
−−
=−− a
aaa
aaa
a .23
1023
101515 22
−=
−+−=
aa
aaaa
2. ,0510 2 =+ xx ,0)12( =+xx х1=0 или 2х+1=0, х2= 21−
Ответ: ;01 =x .21
2 −=x
3.
>+<+
05,13,045
xx
⇔
−>−<
5,13,45
xx
⇔
−>−<
.5,0,8,0
xx
Решений нет.
–0,5 x–0,8
��������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
Ответ: система решений не имеет.
4.
−=−=
105,43
xyxy
⇔
−=−=−
43,43105
xyxx
⇔
−==
43,62
xyx
⇔
==
.5,3
yx
Ответ: (3; 5).
12 −= xy
25
5. а) y(–2)= –4; б) y=0 при x= –4 и x=2;в) функция убывает на промежутке ( ].1;−−∞
6. .062 ≤−+ xx Нули: .062 =−+ xxПо т. Виета х1=–3, х2=2. (х–2)(х+3)≤0.x [ ].2;3−∈Ответ: х ∈ [ ].2;3−
7. .252952
9−++−
−−
−==
⋅aa
aaa Если ,
21=a то .4
21 2
2 =
=
−−a
Ответ: .4;2−a
Вариант 2.
1. =+
+−=−
+ ссссс
сс
23)23(36
323
6 22.
239
23696 22
сс
сссс
+−=
+−−
2. ;0312 2 =+ xx ;0)14( =+xx х1=0 или 4х+1=0, х2= 41− .
Ответ: х1=0; х2= 41− .
3.
>−<−
026,023
xx
>>
26,32
xx
>
>
.31
,5,1
x
x
).;5,1( +∞∈xОтвет: (1,5;+∞).
4.
−=+−=45
,43xy
xy⇔
+−=+−=−
43,4345
xyxx
⇔
+−==
42,88xy
x⇔
==
.1,1
yx
Ответ:(1;1).5. а) y(2)=4; б) y=0 при x= –2 и x=4;в) функция возрастает на промежутке ( ].1;∞−
6. 542 −+ xx ≤0.
Нули: .0542 =−+ xxПо т. Виета х1=1, х2=–5.
(х–1)(х+5)≤0, ]1;5[−∈х .Ответ: ]1;5[−∈х .
7. 23
6
−−
−
⋅ aaa = 236 ++−a = 1−a . При
32=a , 5,1
23
3211 ===−a .
x–3 2
1,5 x
31
����������������������������������������������������������������������������������
x–5 1
26
РАБОТА № 12Вариант 1.
1. При х = –0,1, 20х3 – 8х2 + 4 = 9,341,04100
81000
20 =+−=+−− .
2. ( ) ( )( )( ) ba
abbaba
baabba
abab−
=−+
+=−
+ 33322
2 .
3. –4 < 2x + 6 < 0;–10 < 2x < –6; –5 < x < –3,х ∈ (–5; –3).Ответ: х ∈ (–5; –3).
4. 460 =−x
x ;
х2 – 4х – 60 = 0; х1= –6, х2 = 10.Ответ: х1= –6, х2 = 10.5. а) 1 м; б) 3 с; в) 1с и 2с.
6.
−=+=
xyxxy
663 2
;
−=+=−
.6,636 2
xyxxx
3х2 + 7х – 6 = 0; D = 49 + 72 = 121; х1, 2= 6117 ±− .
=
=
=−=
.315
,32
или.9,3
y
x
yx
Ответ: в I и во II четвертях.
7. 2662
683 == .
Вариант 2.
1. При = –0,1, 1 – 7у2 + 30у3 = 9,01,011000
30100
71 =−=−− .
2. ( ) ( )( )( ) yx
xyyxyx
yxxyyyxxyx
+=
+−−
=−
−22
2:
222 .
3. 0 < 5x + 10 < 5;–10 < 5x < –5; –2 < x < –1;х ∈ (–2; –1).Ответ: х ∈ (–2; –1).
x–5
����������������������������������������������������������������������������������������
–3
����������������������������������������������������������������������������������������
x–2
������������������������������������������������������������������������������������������
–1
����������������������������������������������������������������������������������������
27
4. 1448 =+x
x ; х2 – 14х + 48 = 0;
х1 = 6, х2 = 8.Ответ: х1 = 6, х2 = 8.5. а) 16 м; б) 2 м; в) 1 с и 3 с.
6.
−=−−=
893 2
xyxxy ;
−=−−=−
.8,938 2
xyxxx
3х2 + 10х – 8 = 0; 4924254
=+=D ; х1, 2= 375 ±− .
−=−=
.12,4
yx
или
−=
=
.317
,32
y
x
Ответ: в III и IV четвертях.
7. 512125
12650 == .
РАБОТА № 13Вариант 1.1. При a=1,3, b= –0,6 и c= –3,5;a–2b+c=1,3+1,2–3,5=2,5–3,5= –1.
2. .)(2
))((222
22
xyx
yxxyxyx
yxy
xyyx +
=−
+−=
−⋅
−
3. 3(1–x)–(2–x)≤2, 3–3x–2+x≤2,
2x≥–1, x≥ ;21− ).;
21[ +∞−∈x
Ответ: ).;21[ +∞−
4. 25–100x2=0, 1–4x2=0, 4x2= 1, .21
2,1 ±=x
Ответ: .21
2,1 ±=x
5.
=−−=−
45,134
yxyx
=−−=−16204
,134yx
yx
+=−=
yxy
54,1717
−=−=
.1,1
xy
Ответ: (–1;–1).
x21−
��������������������������������������������������������������������������������������������
28
6. а) .542 ++−= xxyГрафик – парабола, ветви вниз.
Вершина: ;224
0 ==x
95840 =++−=y .x –1 2 5y 0 9 0
б) из рисунка видно, что y>0 при).5;1(−∈x
Ответ: y>0 при ).5;1(−∈x
7. ( ) 576273682
=−=−⋅⋅ .
Вариант 2.1. При x= –2,4, y= –0,6 и z= –1,1; x–y–3z = –2,4+0,6+3,3= –2,4+3,9=1,5.
2. .4))((
)(4
)(
)(442222 cacaca
cacaca
acca
caac
−=
+−+
=−
+=+⋅
−
3. ,3)59()1(4 ≥−−− xx ,35494 ≥+−− xx 5х≤–2, ,52−≤x
x52−
����������������������������������������������������������������������������������������
х ∈ (–∞; ]52− .
Ответ: х ∈ (–∞; ]52− .
4. .0364 2 =− x ,091 2 =+− x
,912 =x .
31
2,1 ±=x
Ответ: .31
2,1 ±=x
5.
−=−−=−53
,752yx
yx
−=−−=−
1062,752
yxyx
+−==
yxy
35,3
==
.4,3
xy
Ответ: (4; 3).
542 ++−= xxy
29
6. .542 −+= xxyГрафик – парабола, ветви вверх.
Вершина: ;224
0 −=−=x
.9584)2(0 −=−−=−= yyx –5 –2 1y 0 –9 0
б) из рисунка видно, что y>0 прих∈(–∞; –5)∪(1; +∞).
Ответ: y>0 при x∈(–∞;–5) и (1;+∞).
7. ( ) 10863826272
=−=−⋅⋅
РАБОТА № 14Вариант 1.
1. 01
1522=
−−+
xxx
; ОДЗ: х ≠ 1;
х2 + 2х – 15 = 0; х1 = –5, х2 = 3.Ответ: х1 = –5, х2 = 3.
2. ( )( ) 31
3332
31
922 −
=−+
+−=+
−− aaa
aaaa
a .
3. –10 < 3x – 4 < 2;–6 < 3x < 6; –2 < x < 2, х ∈ (–2; 2).Ответ: х ∈ (–2; 2).
4. 965332
=+=+
yxyx
965664
=+=+
yxyx
−==
13
yx
Ответ: (3; –1).5. а) у = 2; б) х = ±5; в) х ∈ (–5; 5).
6. dpV 3= ; 23 V
dp = ;
3
2dVp = .
7. 25 ≥ х2;
−≥≤
55
xx
,
х ∈ [–5; 5].Ответ: х ∈ [–5; 5].
542 −+= xxy
x–2
����������������������������������������������������������������������������������������
2
����������������������������������������������������������������������������������������
x–5
����������������������������������������������������������������������������������������
5
����������������������������������������������������������������������������������������
30
Вариант 2.
1. 03
1242=
+−+
xxx ;
−≠=−+
301242
xxx ; х1 = –6, х2 = 2.
Ответ: х1 = –6, х2 = 2.
2. ( )( ) 21
2222
21
422 +
=+−
−−=−
−− aaa
aaaa
a .
3. –7 < 4x – 3 < 1;–4 < 4x < 4; –1 < x < 1,х ∈ (–1; 1).Ответ: х ∈ (–1; 1).
4. 1062,823
=+=+
yxyx
=+=
1062,147
yxx
==
12
yx
.
Ответ: (2; 1).5. а) у = –1; б) х = ±3; в) х ∈ (–3; 3).
6. 3
2nmvp = ; nm
pv 32 = ; mn
pv 3= .
7. 36 ≤ х2; ,0362 ≥−x,0)6)(6( ≥+− xx x ∈ (–∞; –6] ∪ [6; ∞).
Ответ: x ∈ (–∞; –6] ∪ [6; ∞).
РАБОТА № 15Вариант 1.
1. =+⋅+⋅++⋅=+⋅
+
+ 222 4)2(2
4)2()2(4
422
24
xxx
xxxx
xxx
xx
.2
42
222
21x
xx
xx
xx
+=++=++=
2. 4(x+8)–7(x–1)<12,4x+32–7x+7<12, 3x >27, x>9.x ∈ +∞( ; ).9Ответ: (9;+∞).
3.
−==−10
,7xy
yx ⇔
=+−
−=
0107
,72 xx
xy⇔
==
−=
2,5
,7
xx
xy⇔
−==
−==
.5,2
,2,5
yx
yx
Ответ: (2; –5); (5; –2).
x9
��������������������������������������������������������������������������������������������������
x–1
����������������������������������������������������������������������������������������
1
����������������������������������������������������������������������������������������
x–6 6
31
4. Пусть расстояние от озера до деревни равно x км, тогда можем соста-вить уравнение.
,11015
=+ xx 2x+3x=30, 5x=30, x=6.
Ответ: расстояние от озера до деревни равно 6 км.5. а) y=1,5x.График – прямая.б) x 0 2
y 0 3
xy 5,1=
Из рисунка видно, что функция возрастает
6. ( ) .91
31
33327
22
4
324 =
=
=⋅ −
7. V = πR2H;
HVR
π=2 ;
HVR
π= .
Вариант 2.
1. =+
+−+=+⋅
+−
)2)(1()1(2
2)1(4
21
124 222 aa
aaaaa
aa
aaa .12122
aa
aaa +=−+
2. 3(x–2)–5(x+3)>27, 2x<–48,3x–6–5x–15>27,x<–24.
–24 x
������������������������������������������������������������������������������������������������
x ∈ −∞ −( ; ).24Ответ: х ∈ (–∞; –24).
32
3. ⇔
−==−12
,7xy
yx⇔
=++
+=
0127
,72 yy
yx
−=−=+=
⇔.3
4,7
yy
yx
−=−=
=
−=
⇔
.34
34
yy
xy
Ответ: (3; –4); (4; –3).4. Пусть расстояние от станции до почты равно x км. Составим систему
уравнений.x x6 4
1+ = , 2x+3x=12, 5x=12, x=2,4 км.
Ответ: 2,4 км – расстояние от станции до почты.5. а) y= –2,5x.
x 0 2y 0 –5
График – прямая.
б) Из графика видно, что функцияубывает.
Ответ: функция убывающая.
6. .41
6416216)2(16 623 ==⋅=⋅ −−
7. S = 2πr2;
π22 Sr = ;
π2Sr = .
РАБОТА № 16Вариант 1.1. 2–3(x+2)=5–2x, 2–3x–6=5–2x,x= –9.Ответ: x= –9.
2. .2))((
2)(22112222 bababa
baba
abab
abba
abba −
=+−⋅+
=−
⋅+=−
⋅
+
xy 5,2−=
33
3. ,131 ≤−≤− x ,24 −≤−≤− x,24 ≥≥ x ,42 ≤≤ x
[ ],4;2∈x [ ],4;23 ∈ [ ].4;2212 ∈
Ответ: [ ];4;2 3; .212
4.
=−
=+
40
,1022 yx
yx⇔
=+−=+
40))((,10
yxyxyx
⇔
⇔
=−=+
4,10
yxyx
⇔
−==
4,142
xyx
⇔
−==
47,7
yx
⇔
==
.3,7
yx
Ответ: (7;3).5. а) .562 −−−= xxyГрафик – парабола, ветви вниз.
Вершина: ;3)1(2
60 −=
−⋅−−=x
.451895)3(6)3( 20 =−+−=−−⋅−−−=y
x –1 –3 –5y 0 4 0
б)
−−−=
−=
56
52 xxy
y
,5562 −=−−− xx ,062 =−− xx,0)6( =+xx
х1= 0 или х+6= 0х2= –6.
Ответ: y= –5 при x1=0 или x2= –6.
6. ).21(6126 232 xaxaxax −=−
7. S r= π 2 ,
тогда ,2πSr = значит,
πSr = .
Вариант 2.1. 3–5(x+1)=6–4x.3–5x–5=6–4x. x= –8.Ответ: x= –8.
4 x2
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������
562 −−−= xxy
34
2. =−
⋅−=
−⋅−=−
−
)()(:11
2222
2
2
22
abbab
abab
abab
abab
ba
.))((
)(ab
babab
bab+
=+−⋅−
=
3. 0<5–x<4; –5<–x<–1,5>x>1, 1<x<5,
5 x1
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
).5;1(∈x 2∈(1; 5); 3∈(1; 5).Ответ: (1; 5), 2 и 3.
4.
=−=−;4
,4022
yxyx
=+−=−
;40))((,4
yxyxyx
=+=−
;10,4
yxyx
==
.3,7
yx
Ответ: (7; 3).
5. а) .542 −−= xxy График – парабола, ветви вверх.Вершина:
;224
12)4(
0 ==⋅−−=x .95845242)2( 2
0 −=−−=−⋅−== yy
x –1 2 5y 0 –9 0
б)
−=−−=
.5542
yxxy
х2–4х–5=–5.х(х–4)=0.х1=0 или х–4=0, х2=4.
Ответ: y= –5 при x1=0, x2=4.
6. 24 a c a c a c a3 2 23 3 8 1− = −( ).
7. haV 2= ; ,2hVa = a V
h= .
5−=y
542 −−= xxy
35
РАБОТА № 17Вариант 1.1. 0,2–2(x+1)=0,4x,2,4x=–1,8;
.43−=x
Ответ: .43−=x
2. )(2 baba
ba
ba +⋅
+−+
ababa
baaabbaba 2222
)()(
22 +=+⋅+⋅
−++= .
3. 10m+1>8m–2, 10m>–2–1,2m>–3, m>–1,5. m ∈ − +∞( , ; ).1 5Ответ: m ∈ (–1,5;+∞).
4. Решим систему уравнений:
+=−=
114,102
xyxy ⇔
+=−=+
114,10114 2
xyxx ⇔
+==−−
114,02142
xyxx ⇔
(по т. Виета)
⇔
+=
=
−=
114,7
,3
xyxx
⇔
==
−=−=
.39,7
,1,3
yx
yx
Ответ: (–3; –1); (7; 39).5.а)
– верные,б)в)
– неверные.г)
6. P=2(a+b), ,2
baP += .2
bPa −=
7. ).12(55105210520105 −=−=−+=−+
Вариант 2.1. 0,4x=0,4–2(x+2).0,4x=0,4–2x–4;2,4x= –3,6; x= –1,5.Ответ: x= –1,5.
m–1,5
��������������������������������������������������������������������������������
36
2. =⋅⋅−
−+=⋅
−+
−b
bbabaabb
bba
baa
)()(22 2
= .22 2222
baba
bababaab
−+=
−+−+
3. 15+y<16–y. 2y<1.
y <12
, y ∈ −∞( ; )12
.
Ответ: )21;(−∞∈y .
4.
+=−=
92,152
xyxy
+=−=+
92,1592 2
xyxx
+==−−
92,02422
xyxx
+=
−=
=
924
6
xyxx
;
=−=
==
14
216
yx
yx
Ответ: (–4; 1); (6; 21).5.б)
– вернов)а)
– неверног)
6. .2
ahS =
2S=ah; .2hSa =
7. =+−=+−=+− 62322623226238
26 −= )13(2 −= .
РАБОТА № 18Вариант 1.
1. =+−+⋅
+−=+−
+⋅−
aa
aaaa
aa
aaa 2
)2()2)(2(2
2142
.422aa
aa
a −=+−−
21 y
����������������������������������������������������������������������������������������������
37
2. 5x–2(x–4) ≥ 9x+23,5x–2x+8 ≥ 9x+23,6x≤ –15, 5,2−≤x , х ∈ ( ].5,2;−∞−
Ответ: х ∈ ( ].5,2;−∞−
3. ;4
15123
=+ xx 4x+x=45; 5x=45; x=9.
Ответ: х = 9.4. Пусть одно число равно x, тогда другое равно (x+4).x(x+4)=96, ,09642 =−+ xx
,100)96()2(4
2 =−−=D
;121021 −=−−=x 81022 =+−=x , но х1,2 >0, т. о. х=8,тогда х + 4 = 8 + 4 = 12.Ответ: числа равны 8 и 12.
5. а) .12 −= xy График – парабола , ветви вверх.
Вершина: ;020
0 ==x .110)0(0 −=−== yy
x –1 0 1y 0 –1 0
б) y x= − + 1. График – прямая.x 0 1y 1 0
+−=−=
112
xyxy ;
=−+−
−=
011
12 xx
xy;
=+−−=
0)2)(1(1
xxxy
;
=−=
==
32
01
yx
yx
Ответ: (–2;3); (1;0).
6. .32
96
9)6(
36)62( 22
===
–2,5 x
��������������������������������������������������������������������������������������������
12 −= xy
1+−= xy
38
7. ( )( )6215
−+=
xxy ; (х + 1)(2х – 6) ≠ 0;
≠≠
31
xx
,
х ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 3) ∪ (3; ∞).Ответ: (–∞; –1) ∪ (–1; 3) ∪ (3; ∞).Вариант 2.
1. =−
⋅−−−3
193 2
ccc
cc
=+−−=−
+−−−=c
cc
ccc
ccc
c 33)3(
)3)(3(3 .633cc
cc −=−−−
2. 6x–3(x–1)≤2+5x. 6x–3x–5x≤2–3.
2x≥1. ,21≥x
+∞∈ ;
21x .
Ответ:
+∞∈ ;
21x .
3. ;23
84=+ xx
2x+x=12; 3x=12; x=4.
Ответ: x=4.4. Пусть x – большее число, тогда второе число – x–6.x(x–6)=72. x2–6x–72=0.x1=12; x2=–6 – не подходит, т.к. x>0. Т. о. x=12, x–6=6.Ответ: числа равны 12 и 6.
5. а) .12 +−= xy График – пара-бола, ветви вниз.
Вершина: ;02
00 =
−=x
.1)0(0 == yyx –1 0 1y 0 1 0
б) y=x–1. График – прямая.x 0 1y –1 0
−=+−=
112
xyxy
;
=−+−
−=
011
12xx
xy;
−==+−
10)2)(1(
xyxx
;
−=−=
==
32
01
yx
yx
.
Ответ: )3;2( −− ; ).0;1(
x21
��������������������������������������������������������������������������������������������
1−= xy
12 +−= xyN(–2;–3)
M(1;0)
39
6. ( ) .41
44
54
2022 ==
7. ( )( )84410
+−=
xxy ;
(х – 4)(4х + 8) ≠ 0;
≠−≠42
xx
, х ∈ (–∞; 2) ∪ (–2; 4) ∪ (4; ∞).
Ответ: х ∈ (–∞; 2) ∪ (–2; 4) ∪ (4; ∞).
38
РАБОТА № 19Вариант 1.
1. =−−+−+−=−+−− )22(12)2)(1()1( 222 aaaaaaaa
.32212 22 +−=++−−+−= aaaaaa
2. ;325
−=− xx ,3052 −=− xx ,303 =x .10=x
Ответ: .10=x
3.
>−<−
0310,1310
xx
><
310,410
xx
><
3,04,0
xx
,
x0,3
����������������������������������������������������������������������������������������
0,4
��������������������������������������������
х∈(0,3; 0,4).Ответ: ).4,0;3,0(
4. .12 += xy График – прямая, не проходящая через начало координат.x 0 1y 1 3
12 += xy
Ответ: график функции 12 += xy не проходит через начало координат.
5.
==−
5,4
xyyx
⇔
=−+
+=
054
,42yy
yx⇔
⇔
=−+
+=
054
,42 yy
yx⇔
=
−=+=
1,5,4
2
1yy
yx⇔
==
−=−=
.1,5
,5,1
yx
yx
39
Ответ: (–1; –5); (5; 1).
6.
=−=
032
yxxy ;
,032 =− xx ,0)3( =−xx x1=0 или ,03 =−x .32 =xОтвет: (0; 0); (3;0).
7. 426
632
624
4
46
4=
⋅=
⋅ −−
−
−−
−.
Вариант 2.
1. =−−−+ 2)1()3)(2( ссс =+−−⋅−−+ )12(3232 22 ссссс
=−+−−−= 126 22 сссс с–7.
2. .134
−=− xx ,1243 −=− xx .12=x
Ответ: .12=x3. –1<5x+10<0; –11<5x<–10;–2,2<x<–2, х ∈ (–2,2; –2).Ответ: х ∈ (–2,2; –2).4. xy 2−= , график – прямая, проходящая через начало координат.
x 0 1y 0 –2
xy 2−=
5.
==−
12,4
xyyx
=−+
+=
0124
,42 yy
yx
=−=+=
2,6,4
2yy
yx
−=−=
==
.2,6
,6,2
xy
xy
Ответ: (–2; –6); (6; 2).
x–2,2
����������������������������������������������������������������������������������������
–2
������������������������������������������������������������������������������������������
40
6.
=−=
04 2
yxxy
;
,04 2 =− xx ,0)4( =− xx01 =x или ,04 =− x .42 =x
Ответ: (0; 0) и (4; 0).
7. 315
31515
533
3
3
32=⋅=⋅
−
−
−
−−.
РАБОТА № 20Вариант 1.1. При a=20, b= –4;
.123220)64(5,020)4(5,0205,0 33 −=−=−⋅+=−⋅+=+ ba
2. =−+−⋅
−⋅−=−+−−⋅−
ax
aaxaa
ax
aaax
aa
21
)1()1()1(
21
11
22
.2
12
1222
11a
xa
xxax
ax −=−+−=−+−=
3. ,523
4 =+− xx
,30382 =+− xx ,385 =x.6,7=x
Ответ: .6,7=x
4. ),2(125 −−≤− xx,2125 +−≤− xx
,2≥x[ ).;2 ∞+∈x
x2
����������������������������������������������������������������������������������������
Ответ: [ ).;2 ∞+
5. а) .12 += xyГрафик – парабола, ветви вверх.
x 0 1 –1y 1 2 2
12 += xy
2xy =
41
б) из рисунка видно, что функция убывает на промежутке ( ].0;∞−
Ответ: ( ]0;−∞ .
6.
=+=−2
,2232
yxyx ⇔
−==−−
xyxx
2,22)2(32⇔
⇔
−==−+
xyxx
2,02832
⇔
−=
=
−=
xyxx
2,4,7
2
1⇔
−==
=−=
.2,4
,9,7
yx
yx
Ответ: (–7; 9); (4; –2).
7. .6061036106325263522 =⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅
Вариант 2.1. При x=5, y= –10, –0,4x3+y= –0,4⋅53–10= –50–10= –60.
2. =−
+−
⋅−−
xxy
xy
yxyx
21
1 2
2
= ;222)1(
)1)((2 x
yxxxy
xyx
xxy
xyyyxx −
=−
+−
=−
+−
−−
3. ,42
13
=−+ xx
2x+3x–3=24,5x=27; x=5,4.Ответ: х = 5,4.4. 14–(4+2x)>1+x,14–4–2x>1+x, 3x<9.x<3, ( ).3;−∞∈xОтвет: (–∞; 3).
5. а) .22 += xyГрафик – парабола, ветви вверх.
Вершина: ;012
00 =
⋅−=x
.220)0( 20 =+== yy
x3
��������������������������������������������������������������������������������������������
22 += xy
42
x –1 0 1y 3 2 3
б) из рисунка видно, что функция 22 += xy возрастает на промежутке[ ).;0 +∞ .
Ответ: [ ).;0 +∞
6.
=−
=+
54
,42 yx
yx
=+−
−=
5416
,42 xx
xy; х2+4х–21=0;
−=
=
−=
.4,3,7
2
1
xyxx
==
=−=
.1,3
,11,7
yx
yx
Ответ: (–7; 11); (3; 1).
7. =⋅⋅ 104523 =⋅⋅⋅⋅ 524523= .1205243 =⋅⋅⋅
РАБОТА № 21Вариант 1.
1. ,332 xx −=+
,02 =+ xx ,0)1( =+xxx1=0 или x+1=0,
x2= –1.Ответ: x=0, x= –1.
2. =+
⋅−−ax
aa
axax
2
22 ( )( ) .1)(2 ==−−=
+⋅⋅+−−
aa
aax
ax
axaaaxax
ax
3.
<−<−
1215,1462
xx
⇔
<−>225
,126xx
⇔
<−>
4,4,2
xx
).4,4;2(−∈xОтвет: х ∈ (–2; 4,4).
4,4 x–2
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������
43
4. а) .321 +−= xy
График – прямая.x 0 2y 3 2
б) По графику видно, что функ-ция убывает.
Ответ:
функция 321 +−= xy – убывает.
5. .0232 <++ xx
Нули: ,0232 =++ xxх1=–1, х2=–2.(х+1)(х+2)<0.х∈(–2: –1).Ответ: х ∈ (–2; –1).
6. ( ) .2
8
6
8
32−== a
aa
aa
При 43=a , .
971
916
34
43 22
2 ==
=
=
−−a
7. Sковра = 12 м2; Sкомнаты = 182312 =⋅ м2.
Вариант 2.
1. .222 +=+ xx
.02 =− xx.0)1( =−xx
x1=0 или x–1=0,x2=1.
Ответ: x1=0; x2=1.
2. .24
2 22 ababa
baab −=−⋅
−−
.224)(
))((2 abbababa
babaab −=+−=−
+−−
321 +−= xy
x–2 1
44
3.
<+>−
164,98
xx
−<−<
361
xx
−<
−<
.21,1
x
x
).1;( −−∞∈xОтвет: х ∈ ).1;( −−∞
4. а) .421 −= xy
График прямая.
б) По графику видно, чтофункция возрастает.
x 0 2y –4 –3
5. .01272 <++ xx,01272 =++ xx х1=–4, х2=–3.
(х+4)(х+3)<0. х∈(–4: –3).Ответ: х ∈ (–4;–3).
6. .1)(
3312
9
43
9−=== x
xxx
xx
При 32=x , то =
=
−−
33
32x .
833
827
23 3
==
7. Sкомнаты = 24 м2; Sквартиры = 323424 =⋅ м2.
РАБОТА № 22Вариант 1.
1. 43
125
21 =−+ xx ;
6х +6–5х =9; х + 6 = 9; х = 3.Ответ: х = 3.
21− x–1
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
421 −= xy
x–4 –3
45
2. (2b – 3)(3b + 2) – 3b(2b + 3) = 6b2 – 5b – 6 – 6b2 – 9b = –14b – 6.
3. ( )( ) 22
244
222
2
−=
−−=
+−−
pp
ppp
pppp .
4.
у = х6− – гипербола.
5.
=−=+102
,1222
yxyx
или
=−−+
−=
012204
,1022 xx
xy; х2 + 4х – 32 = 0;
−=−=
268
yx
;
−==
24
yx
.
Ответ: (–8; –26); (4; –2).6. х2 – 10х < 0; х(х – 10) < 0.х ∈ (0; 10).Ответ: х ∈ (0; 10).7. Составим пропорцию:1920 р. – 120%;х р. – 100%;
1600120
1920100 =⋅=x р.
Ответ: 1600 р.
Вариант 2.
1. 8
743
212 xx =−+ ;
8х + 4 – 6 – 7х = 0; х = 2.Ответ: х = 2.2. (3а – 1)(2а – 3) – 2а(3а + 5) = 6а2 – 9а – 2а + 3 – 6а2 – 10а =
= 3 – 21а.
x0 10
46
3. ( )( ) 22
244
222
2
+=
++=
+++
qqq
qqqq .
4.
xy 12= – гипербола.
5.
=−
=−
113
222yx
yx;
=−+
+=
1166
222yy
yx; у2 – 6у + 5 = 0;
==
125
xy
или
==
41
xy
.
Ответ: (12; 5); (4; 1).6. х2 – 8х > 0; x(x – 8) > 0,х ∈ (–∞; 0) ∪ (8; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; 0) ∪ (8; ∞).
7. Составим пропорцию:1950 р. – 130%; х р. – 100%;
1500130
1950100 =⋅=x р.
Ответ: 1500 р.
РАБОТА № 23Вариант 1.
1. =+−−−=−−− )96(63)3()2(3 222 aaaaaaa
.929663 222 −=−+−−= aaaaa
2. ,0142 2 =−x ,72 =x 72,1 ±=x .
Ответ: 72,1 ±=x .
0 8
+_
+х
47
3.
<+<+
012,02
xx
⇔
−<−<
12,2
xx
⇔
−<
−<
21,2
x
x⇔ .2−<x
).2;( −−∞∈xОтвет: х ∈ ( ).2; −−∞ .
4. 1) .220503)0( 2 −=−⋅+⋅=y с осью y: (0; –2).
2)
−+=
=
253
02 xxy
y; ,0253 2 =−+ xx ,49)2(3452 =−⋅⋅−=D
;2612
675
1 −=−=−−=x .31
62
675
2 ==+−=x
Ответ: (–2; 0);
0;
31 и (0; –2).
5. а) .22 +−= xy График – парабола, ветви вниз.x 0 1 –1y 2 1 1
б) xy −= , график – прямая.x 0 1y 0 –1
−=+−=
xyxy 22
;
=−−
−=
022 xx
xy;
−=
−=
=
xyyx
22
;
=
−=
−=
=
.1.1
,2,2
yx
yx
Ответ: (–1;1); (2;–2).
6. При a= –2,5 и b=3; .61
35,0
335,2 ==+−=+
bba
7. 6,128 ∨ ; 6,12 > .
Ответ: 6,128 > .
21− x–2
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
22 +−= xy
xy −=
2xy −=
48
Вариант 2.1. =−−− )43(2)4( 2 aaa .16586168 222 +−=+−+− aaaaa
2. .063 2 =−x ,22 =x 22,1 ±=x .
Ответ: 22,1 ±=x .
3.
<−<+012
,0123xx
<−<12
,123xx
<
−<
.21
,4
x
x
,4−<x ).4;( −−∞∈xОтвет: х ∈ ).4;( −−∞
4.
−−=
=
32
02 xxy
y; ;032 2 =−− xx ,25)3(241 =−⋅⋅−=D
;144
451
1 −=−=−=x .211
46
451
2 ==+=x
С осью x: ( )0;1− ; ).0;211(
.33002)0( 2 −=−−⋅=y С осью ординат: (0; –3).
Ответ: ( );0;1− )0;211( и ( ).3;0 −
5. а) .22 −= xy График – парабола,
ветви вверх. Вершина: .020
0 ==x
.220)0( 20 −=−== yy
x –1 0 1y –1 –2 –1
б) .xy = График – прямая.x 0 1y 0 1
=−=
xyxy 22
;
=−−
=
022 xx
xy;
=
−=
=
xyyx
12
;
−=−=
==
.1,1,2,2
yxyx
Ответ: (2;2); (–1; –1).
xy =
22 −= xy
M(2;2)
N(–1;–1)
21 x–4
������������������������������������������������������������������������������������������������������������
49
6. .326
3,02
3,222 −=
−=
−=
− baa
7. 3276,3 ∨ ; 36,3 > .
Ответ: 3276,3 > .
РАБОТА № 24Вариант 1.
1. =−+
−−=−
⋅+−−
)5)(1()5(
51
152
aaaaa
aaaaa
.111
22
+=
+−+=
+−=
aa
aaaa
aaa
2. );5,12(355,54 −−=− xxx
;5,4655,54 +−=− xxx ;105 =x .2=xОтвет: .2=x3. При а=0,4; b=0,2:
=− 2ba .6,036,004,04,0)2,0(4,0 2 ==−=−
4.
+>++<−
31311,271
xxxx
⇔
−>−>
1010,36
xx
⇔
−>
−>
1
,21
x
x⇔ .
21−>x
.;21
∞+−∈x
Ответ: х ∈ .;21
∞+−
5. Парабола.
++−=
=
642
02 xxy
y;
,0642 2 =++− xx ,0322 =−− xx,16344 =⋅+=D
;122
242
1 −=−=−=x .226
242
2 ==+=x
Т.о. точки пересечения: (–1;0) и (2;0).Ответ: (–1;0) и (2;0).
x21−
��������������������������������������������������������������������������������������������
50
6. .11 54141
xxxx
==⋅ +−−
При 2−=x , .32)2( 55 −=−=x
7. а) за первые 3 часа туристы прошли 9 км;
б) туристы отдыхали 21 часа;
в) после привала туристы дошли до конечного пункта за 2 часа.
Вариант 2.
1. =−−−
−+++=
−−−
−+⋅+
46
)4)(4()6)(4(
46
166)4( 2 a
aaaaa
aa
aaa
.4
124
6646
46
−=
−+−+=
−−−
−+=
aaaa
aa
aa
2. .5,93)5,23(54 +=+− xx;5,935,12154 +=−− xx ;1818 −=x .1−=x
Ответ: .1−=x3. При х=0,4, у=0,3;
.7,049,009,04,0)3,0(4,0 22 ==+=+=+ yx
4.
−>−+<−
xxxx
2113,23
>>
25,12
xx
>
>
5221
x
x, т. к.
21 >
52
, т.о. .;21
∞+∈x
Ответ: х ∈ .;21
∞+
5.
−+−=
=
682
02 xxy
y.
,0682 2 =−+− xx ,0342 =+− xx
,4314)4( 2 =⋅⋅−−=D
;122
224
1 ==−=x .326
224
2 ==+=x
Т. о. точки пересечения: (1;0); (3;0).Ответ: парабола 682 2 −+−= xxy пересекает ось x в точках (1;0); (3; 0).
21 x
52
�����������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������
51
6. .11 64242 aa
aa==⋅ +
−−
При 2−=a : .64)2( 66 =−=a
7. а) Туристы прошли 11 км после выхода через 4 часа;б) от первого привала до второго туристы прошли 3 км;в) от станции до лагеря туристы прошли 19 км.
РАБОТА № 25Вариант 1.
1. ;324
21 xx +=−
;4833 xx +=− .11−=xОтвет: .11−=x
2. .2)(2
))((
2 22
22
xax
xaaxaxaxax
xaax
axax −=
+
⋅+−=
+⋅−
3. ),1(713 +−≤− xx,7713 −−≤− xx ,96 −≤x
,5,1−≤x ( ].5,1;−∞−∈xОтвет: х ∈ ( ].5,1;−−∞
4. .232 2 −− xx
,0232 2 =−− xx ,25)2(249 =−⋅⋅−=D
;21
42
453
1 −=−=−=x .248
453
2 ==+=x
).2)(12()2(212232 2 −+=−
+=−− xxxxxx
5. а) .2x
y −=
График – гипербола.
б) .2xy −=График – прямая.
в) .2 2xy −=График парабола, ветви вниз.
x 0 1 –1y 0 –2 –2
6. Пусть х монет было пятикопееч-
2xy −=
22xy −=
–1,5 x
��������������������������������������������������������������������������������������������
52
ных, а у – десятикопеечных. Составим систему уравнений:
==
−==
=+=+
=+=+
.4,11
15,4
192,15
95105,15
yx
yху
ухух
ухух
Ответ: 11 пятикопеечных монет и 4 десятикопеечных.
7. Если 43=x , то
53
54
43
116943
12=⋅=
+=
+x
x.
Вариант 2.
1. ,3
25
23 xx +=−
,51069 xx +=− ,164 =x .4=xОтвет: .4=x
2. =−
⋅+22
25ac
acac
ca .5))((
5)( 2
acc
acacacacca
−=
+−⋅⋅+
3. ;31)1(52 xx +≤−−,31552 xx +≤+− 8х≥6,
.43≥x
x43
��������������������������������������������������������������������������������������������
.;43
∞+∈x
Ответ: х ∈ .;43
∞+
4. .383 2 −+ xx
,0383 2 =−+ xx
,100)3(3482 =−⋅⋅−=D
;3618
6108
1 −=−=−−=x .31
62
6108
2 ==+−=x
).13)(3(31)3(3383 2 −+=
−⋅+=−+ xxxxxx
53
5. а) .41 2xy = График – парабо-
ла, ветви вверх.x 0 2 –2y 0 1 1
б) .4x
y =
График – гипербола.
в) 41xy = .
График – прямая.6. Пусть х пятирублевых монет, у – двухрублевых, всего было
(х + у) монет. Составим систему уравнений:
==
==+
=+=+
=+=+
1610
303,26
8225,5022
8225,25
ух
хух
yxyx
ухух
.
Ответ: 10 пятирублевых и 16 двухрублевых монет.
7. Если 54=y , то
311
34
35
54
1251654
1 2==⋅=
+−=
− y
y.
РАБОТА № 26Вариант 1.1. ;245,0)5,12(5 =−+ xx
;245,05,710 =−+ xx ;147 =x .2=xОтвет: .2=x
2. =+−−
−+
baba
baba
22
22=
+−−−+
))(()( 222
babababa
.22))((
)2(2222
22222222
baab
babababa
bababababa
−=
−−+−+=
+−+−−+
=
3.
<+>+023
,0414xx
⇔
−<−>
32,144
xx
⇔
−<
−>
23
,27
x
x⇔
−<−>
5,1,5,3
xx
⇔ х ∈( ).5,1;5,3 −−Ответ: х ∈ ).5,1;5,3( −−
2xy =
2
41 xy =
-1,5 x-3,5
��������������������������������������������������
54
4. а) .6x
y −=
График – гипербола, ветви во II и IV координатной четверти.x –6 –1 1 6y 1 6 –6 –1
1,5
xy 6−=
.45,1
6)5,1( −=−=y
5. ,01442 >−x .0)12)(12( >+− xx).;12()12;( ∞+∪−−∞∈x
Ответ: х ∈ ).;12()12;( ∞+∪−−∞
6.
−==+15
,2xy
yx⇔
−=−
−=
152
,22xx
xy⇔
х2–2х–15=0,
⇔
−=
=
−=
.25
,3
xyxx
⇔
=−=
−==
.5,3
,3,5
yx
yx
Ответ: (–3; 5); (5; –3).
7. ;105,6105103,1)105()103,1( 31212 −−−−− ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
;105,210)45,6(104105,6 3333 −−−− ⋅=⋅−=⋅−⋅
;104004,0 3−⋅=
т. к. 0105,2 3 >⋅ − , т.о. 33 104105,6 −− ⋅>⋅ .
Ответ: .004,0)105()103,1( 12 >⋅⋅⋅ −−
x–12 12
55
Вариант 2.1. .185,8)45,0(3 =+− xx
,185,8435,03 =+⋅−⋅ xx,3010 =x .3=x
Ответ: .3=x
2. =−+−
−+
baba
baba
22
22=
+−+−+
))(()( 222
babababa
))((2 2222
bababababa
+−−−−+= .2
))((2
22 baab
babaab
−−=
+−−=
3.
<−<−
.12,075
xx
><
;1,75
xx
>
<
;1
,57
x
x
.57;1
∈x
Ответ: х ∈ .521;1
4. а) .10x
y =
График – гипербола, ветви в I иIII координатных четвертях.
x –5 –2 2 5y –2 –5 5 2
б) .45,2
10)5,2( ==y
Ответ: .4)5,2( =y
5. .01212 <−x
Нули: ,01212 =−x .112,1 ±=x(х–11)(х+11)<0.х∈(–11; 11).Ответ: ).11;11(−
57
x1
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������
x–11 11
xy 10=
56
6.
−==+14
,5xy
yx
−=−−=
14)5(,5
yyyx
=−−
−=
0145
,52 yy
yx
−=
==
yxyy
52,7
==
−==
.3,2
,2,7
xy
xy
Ответ: ).2;7();7;2( −−
7. =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−− 2121 104101,2)104()101,2( ;104,8 3−⋅
;108001,08008,0 3−⋅=⋅= ,108104,8 33 −− ⋅>⋅
Ответ: .008,0)104()101,2( 21 >⋅⋅⋅ −−
РАБОТА № 27Вариант 1.
1. .2
22)2)(2(
)2(42)4(
)2(42
24
4 2
2
2
2
2
−=
⋅+−+=
⋅−+⋅=+⋅
− aa
aaaaa
aaaa
aa
aa
2. ,79)43(11 −>+− xxx,794311 −>−− xxx ,3<x ).3;(−∞∈x
Ответ: х ∈ ).3;(−∞
3. ,1
73
2+
=− xx
ОДЗ: х≠3; х≠–1.
),3(7)1(2 −=+ xx ,21722 −=+ xx ,235 =x 523=x .
Ответ: 523=x .
4.
=+
=−
332
,12 yx
yx⇔
=−−+
−=
03322
,12 xx
xy
х2+2х-35=0;
⇔
−=
=
−=
.15
,7
xyxx
⇔
==
−=−=
.4,5
,8,7
yx
yx
Ответ: ).4;5();8;7( −−
3 x
����������������������������������������������������������������������
57
5. а) .32 −= xyГрафик – прямая.
x 0 1y –3 –1
−=−=
325xy
y;
2х–3=–5.х=–1.Ответ: 5−=y при .1−=x
6. ,0492 2 <+− xx
Нули: ,0492 2 =+− xx=⋅⋅−= 42481D .49=
;21
479
1 =−=x
.44
164
792 ==+=x
(2х–1)(х–4)<0. .4;21
∈x
Ответ: х ∈ .4;21
7. Если ,23=a то .2
2274
22274
)23(4
23=⋅⋅==a
Вариант 2.
1. =−
⋅+=−+1
63
16
1:3
12
2
2
2
xx
xx
xx
xx .
12
)1)(1(36)1( 2
−=
+−⋅⋅+
xx
xxxxx
2. ).1(5103 xxx −−<+ ,15103 −+<+ xxx;44 −<x .1−<x
).1;( −−∞∈xОтвет: х ∈ ).1;( −−∞
32 −= xy2
x
21 4
-1 x
������������������������������������������������������������������������������������������������
58
3. .3
45
6xx −
=+
ОДЗ: ;5−≠x .3≠x),5(4)3(6 +=− xx,204618 +=− xx
,210 −=x .2,0−=xОтвет: х = .2,0−
4.
=+
=−
134
,22 xy
xy
=−+
−=
0214
,22 yy
yx
−=
=
−=
23
,7
yxyy
==
−=−=
.1,3
,9,7
xy
xy
Ответ: ).3;1(),7;9( −−
5. а) .32 +−= xyГрафик – прямая.
x 0 1y 3 1
б)
−=+−=
332
yxy
;
332 −=+− x .х=3.Ответ: 3−=y при .3=x
6. .0143 2 <+− xx
Нули: ,0143 2 =+− xx
,413442 =⋅⋅−=D
;31
62
624
1 ==−=x
.166
624
2 ==+=x (х–31 )(х–1)<0.
y>0, при ).1;31(∈x
Ответ: ).1;31(
32 +−= xy2
x
31 1
31
59
7. Если ,32=y то ( ) .3
389
338932
9
33=⋅==
y
РАБОТА № 28Вариант 1.
1. Если x = 10, то 0,2х3 + х2 + х = =++⋅ 101001000102
= 200 + 100 + 10 = 310.
2. ( )( )( ) 1111
1211
63 2 +
=+
−+−
−=+
−−
⋅−x
yx
yxx
xyx
yx
xyy .
3. xx
x 1310
=−
. ОДЗ: х ≠ 0, 3
10≠x ;
х2 = 10 – 3х; х2 + 3х – 10 = 0; х1 = –5, х2 = 2.Ответ: х1 = –5, х2 = 2.
4.
−>+<−xx
xx2158
,5223
=++
−−=
636
,22 yy
yx
>−>
5,12
xx
,
x–2 1,5
���������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������
х ∈ (1,5; ∞).Ответ: х ∈ (1,5; ∞).
5. а)
б) х ∈ (–∞; 0) ∪ (2; + ∞).
6.
=−
−=+
63
,22 xy
yx
+=
+=−
6
,6431
хy
хx
+=
−=
6
,1032
хy
x
−=−=
915
yx
.
Ответ: в III четверти.
60
7. a
VS2
2= ; V2 = 2Sa; SaV 2= .
Вариант 2.
1. Если x = –10, то 0,6х3 – х2 – х = 690101001000106 −=+−⋅− .
2. ( )( )( ) 111
121
321
413
2 +=
+−−−
+=−⋅
−−
+ ca
ccca
caaca
cca .
3. xx
x 112
=+
; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –12;
х2 = х + 12;х2 – х – 12 = 0; по т. Виета х1 = 4, х2 = –3.Ответ: х1 = 4, х2 = –3.
4.
+>++<
xxxx4116,1045
>−>
0,45
xx
>−>0
8,0xx
,
x–0,8 0
�����������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������
х ∈ (0; ∞).Ответ: х ∈ (0; ∞).5. а)
б) х ∈ (0; 4).
6.
−=
−=
3
621
xy
xy;
−=
−=
3
321
xy
x ;
−=−=
96
yx
.
Ответ: в III четверти.
7. ghV 2= ; V2 = 2gh; g
Vh2
2= .
61
РАБОТА № 29Вариант 1.
1. .22)2()( 22222 yxyxyxyxyxxyx =+−+−=−−−
2. ,6
41
5xx −
=−
ОДЗ: .6,1 ≠≠ xx
),1(4)6(5 xx −=−,44530 xx −=− ,30445 −=+− xx
.26=xОтвет: х = 26.
3. .))((
)(22
2
yxx
yxyxyxx
yxxyx
−=
−++=
−+
4.
+≤++≤−
153,221
xxxx
⇔
−≤−≥
42,3
xx
⇔
⇔
−≤−≥
2,3
xx
⇔ .23 −≤≤− x
[ ].2;3 −−∈xОтвет: х ∈ [ ].2;3 −−
5. а) .562 −+−= xxyГрафик – парабола, ветви вниз.Вершина:
( ) ,312
60 =
−⋅−=x
=−⋅+−== 5363)3( 20 yy
.45189 =−+−=
x 1 3 5y 0 4 0
б) ymax=yвершины=4 (т. к. ветвивниз).
6.
=−
=−
3
,12 yx
yx⇔
−==−−
1,022
xyxx ⇔
−=
−=
=
11,2
xyxx
⇔
==
−=−=
.1,2
,2,1
yx
yx
Ответ: ( ) ).1;2(;2;1 −−
562 −+−= xxy
-2 x-3
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������
62
7. .6166
666 11294
12
94===⋅ −+−−
−
−−
Вариант 2.
1. =+−+ 2)()2( babaa .22 2222 bbabaaba −=−−−+
2. .3
16
4+
=− xx
ОДЗ: ,3,6 −≠≠ xx
,6)3(4 −=+ xx ,6124 −=+ xx .183 −=x.6−=x
Ответ: .6−=x
3. .2)2(
)2)(2(
24
2
2
mm
mmmm
mmm +=
−+−
=−−
4.
−≤−+≥−
224,123
xxxx
≥≥
63,32
xx
≥≥
.2,5,1
xx
[ ).;2 ∞+∈x
2 x1,5
�������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������
Ответ: х ∈ [ ).;2 ∞+
5. а) .562 +−= xxy График – парабола, ветви вверх.
Вершина: ,312
)6(0 =
⋅−−=x
.418595363)3( 20 −=−+=+⋅−== yy
x 1 3 5y 0 –4 0
б) ymin=yвершины=–4 (т. к. ветви вверх).
562 +−= xxy
63
6.
=−
=+
2
,42 yx
yx
−==−+
xyxx
4,062⇔
−=
=
−=
xyxx
42
,3⇔
==
=−=
.2,2
,7,3
yx
yx
Ответ: ( ) ( ).7;3;2;2 −
7. =⋅−
−−
13
87
777
49177 21387 == −+−− .
РАБОТА № 30Вариант 1.
1. ( )( )( )cac
caacac
caccacaca
cca
+−=
++−−=
+−−− 222
.
2.92
26
3−
=− xx
; ОДЗ: х ≠ 6, х ≠ 4,5;
6х – 27 = 2х – 12; 4х = 15; 4
15=x .
Ответ: 4
15=x .
3.
≥−−≥+
25453
xx
;
≤−≥
393
xx
;
≤−≥3
3xx
,
х ∈ [–3; 3].Ответ: х ∈ [–3; 3].
4.
=−
−=+
63
22 xy
yx;
=++
−−=
636
22 yy
yx;
−==
20
xy
или
=−=1
3xy
.
Ответ: (–2; 1); (1; –3).5.
xy 4−= – гипербола.
x–3
����������������������������������������������������������������������������������������
3
����������������������������������������������������������������������������������������
64
6. 242
12 −+
=xx
y ;
х2 + 2х – 24 ≠ 0;
−≠≠
64
xx
х ∈ (–∞; –6) ∪ (–6; 4) ∪ (4; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; –6) ∪ (–6; 4) ∪ (4; ∞).
7. Если 3−=c , то 199
933
−=−=c.
Вариант 2.
1. ( )( )( )baa
babbaa
baabaa
bababa
−+=
−+−+=+−
−+ 222
.
2. 12
74
2−
=+ xx
; ОДЗ: х ≠ –4, х ≠ 0,5;
4х – 2 = 7х + 28;3х = –30; х = –10.Ответ: х = –10.
3.
−≥+≥−
13416
xx
;
−≥≤
445
xx
;
−≥≤
15
xx
,
х ∈ [–1; 5].Ответ: х ∈ [–1; 5].
4.
−=−
=+
153
52 yx
yx;
−=+−
−=
15315
52 xx
xy
==
50
yx
или
=−=8
3yx
.
Ответ: (0; 5); (–3; 8).5.
xy 6= – гипербола.
x–1
����������������������������������������������������������������������������������������
5
����������������������������������������������������������������������������������������
65
6. 214
12 −+
=xx
y ;
х2 + 4х – 21 ≠ 0;
−≠≠
73
хх
х ∈ (–∞; –7) ∪ (–7; 3) ∪ (3; ∞).Ответ: (–∞; –7) ∪ (–7; 3) ∪ (3; ∞).
7. Если 2−=a , то 21
84
823
−=−=a.
РАБОТА № 31Вариант 1.
1. ,082 2 =−x
,42 =x .22,1 ±=xОтвет: .22,1 ±=x
2. =−+−
+−
baba
baba
=−
−−−+−=+−+−−
=22
222222 22))(()()(
bababababa
babababa
.422 ba
ab−
−
3. ;2124 <−<− x,323 <<− x ;5,15,1 <<− x).5,1;5,1(−∈x
Ответ: х ∈ ).5,1;5,1(−
4. .25,0 +−= xy График – прямая, не проходит через начало координат.
x 0 2y 2 1
25,0 +−= xy
5,1 x-1,5
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
66
5. Пусть Борису x лет, тогда Олегу – x5,1 лет, а Андрею – )45,1( +x .
Составим уравнение.,36)45,1(5,1 =+++ xxx
,3645,15,1 =+++ xxx,3644 =+x
,91 =+x 8=x ;тогда ,1285,15,1 =⋅=x а 1641245,1 =+=+x .Ответ: Андрею – 16 лет, Олегу – 12 лет, а Борису – 8 лет.
6.
==+6
,5xy
yx
=−−=
6)5(,5
yyyx
=−−
−=
065
,52yy
yx
=+−
−=
065
,52 yy
yx
==
−=
3,2
,5
yy
yx
==
==
.3,2
,2,3
yx
yx
Ответ: ).3;2();2;3(
7. Если 12,3 == yx , то 224
12344 ===
yx
.
Вариант 2.
1. .0753 2 =−x
,252 =x .52,1 ±=xОтвет: .52,1 ±=x
2. =+−−
−+
nmnm
nmnm
22
22 )()(nm
nmnm−
−−+ =
.4222222
2222
nmmn
nmnmnmnmnm
−=
−−+−++=
3. ;5156 <−<− x
;655 <<− x .561 <<− x
2,1 x–1
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������
).2,1;1(−∈xОтвет: х ∈ ).2,1;1(−
67
4. .5,0 xy −= График – прямая, проходящая через начало координат.
x 0 2y 0 –1
xy 5,0−=
5. Пусть дочери x лет, тогда матери – x5,2 лет, а бабушке – ).205,2( +xСоставим уравнение.
,116)205,2(5,2 =+++ xxx ,116205,25,2 =+++ xxx,966 =x 16=x , тогда
,40165,25,2 =⋅=x а .602040205,2 =+=+xОтвет: бабушке 60 лет, маме 40 лет, дочери 16 лет.
6.
=+=
6,8
yxxy
−==−−
xyxx
6,086 2
−==+−
xyxx
6,0862
−=
==
xyxx
64,2
==
==
.2,4
,4,2
yx
yx
Ответ: ).2;4();4;2(
7. Если 2,18 == ac , то 21
63
2618
6===
ac
.
РАБОТА № 32Вариант 1.
1. ,0124 2 =−x
,32 =x .32,1 ±=x
Ответ: .32,1 ±=x
68
2. =+
−− yxyxx 44
22.4444
))(()(44
2222 yxy
yxyxx
yxyxyxx
−=
−+−=
+−−−
3.
<−+>015
,11123x
xx⇔
<<
15,128
xx
⇔
<
−<
51
,8
12
x
x⇔
⇔
<
−<
51
,211
x
x х ∈ .
211;
−∞−
Ответ: х ∈ ).211;( −−∞
4. а) .5,1 xy = График – прямая.
x 0 2y 0 3
б) .2−−= xyГрафик – прямая.
x 0 1y –2 –3
Из графика видно, что у=–х–2 – убы-вает.
Ответ: убывающей является функция.2−−= xy
5. .123 2 −+ xx
,0123 2 =−+ xx ,16)1(344 =−⋅⋅−=D
;166
642
1 −=−=−−=x .31
62
642
2 ==+−=x
( ) .3113123 2
−+=−+ xxxx
6. ,111bax
+= ,111axb
−= ,1xa
xab
−= .xa
xab−
=
7. Пусть число учеников, изучающих английский, равно х, тогда:
35
112=
− xx ; 3х = 560 – 5х; х = 70; 112 – 70 = 42.
Ответ: 70 учеников, изучающих английский , 42 ученика, изучающихнемецкий.
–211 x
��������������������������������������������������������������������������������������������
xy 5,1=
2−−= xy
69
Вариант 2.
1. ,0153 2 =−x
,52 =x .52,1 ±=x
Ответ: .52,1 ±=x
2. =−
−− cacac 23
22.2
))((223
))(()(23
22 caac
cacacac
cacacac
−−=
+−−−=
+−+−
3.
−>−<+
5,24,042
xxx
<−<
5,25,42
xx
<−<
.5,0,2
xx
).2;( −−∞∈x
Ответ: х ∈ ).2;( −−∞
4. а) .5,0 xy −= График – прямая.
x 0 2y 0 –1
б) .4−= xy График – прямая.
x 0 4y –4 0
Из графика видно, что у=х–4 –возрастает.
Ответ: возрастающей являетсяфункция .4−= xy
5. .352 2 −+ xx
;0352 2 =−+ xx ,49)3(2425 =−⋅⋅−=D
;3412
475
1 −=−=−−=x .21
42
475
2 ==+−=x
.21)3(2352 2
−+⋅=−+ xxxx
6. .111bay
−= ,111bya
+=
ybyb
a+
=1; .
ybbya+
=
xy 5,0−=2
4−= xy
5,0 x–2
�����������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������
70
7. Пусть число волейболистов равно х, тогда:
65
132=
− xx ; 6х = 660 – 5х; х = 60; 132 – 60 = 72.
Ответ: 60 волейболистов, 72 баскетболиста.
РАБОТА № 33Вариант 1.
1. ,0102 =− xx ,0)10( =−xx,101 =x 010 =−x или 02 =x .
Ответ: ,101 =x 02 =x .
2. ab
bba⋅
+
−11 .1
)()()()(
baabaa
ab
bbabab
ab
bbabab
−=
⋅−=⋅
⋅−−+=⋅
⋅−−+
=
3. При 1−=x , =−−
+−
−=−+− 12)1(
3)1(
123
2323 xx
.611
651
21
31 −=−=−+=
4. ,10)1(2)3(66 −+≥−− xx,10221866 −+≥+− xx
,328 ≤x .4≤x ( ].4;∞−∈xОтвет: х ∈ ( ].4;∞−
5. а) .342 +−= xxyГрафик – парабола, ветви вверх.
Вершина: ;224
12)4(
0 ==⋅−−=x
.13843242)2( 20 −=+−=+⋅−== yy
x 1 2 3y 0 –1 0
б) из рисунка видно, что функция342 +−= xxy убывает на промежутке
( ].2;∞−
6. Пусть первоначально автомобиль ехал со скоростью x км/ч. Составимуравнение.
),25(23 += xx ,5023 += xx ,5023 =− xx .50=x .1503 =xОтвет: 50 км/ч; расстояние от поселка до города 150 км.
342 +−= xxy
4 x
��������������������������������������������������������������������������������������������������
71
7. Решение:,25,02 <x ,025,02 <−x
,0)5,0)(5,0( <+− xx( ).5,0;5,0−∈x
Ответ: х ∈ ( ).5,0;5,0−
Вариант 2.
1. ,062 =+ xx.0)6( =+xx
,06 =+x 61 −=x или 02 =x .
Ответ: 61 −=x ; 02 =x .
2. .1:11yxy
xyxy +
=
+
− .1)()( yxxyxy
xyxy
yxyyyx
+=
+=⋅
+−+
3. При 1−=x , =+−
−−
=+− 12)1(
3)1(
123
2323 xx
.611
651
21
31 =+−=+−−=
4. ).2(318)1(5 +−≤+− xx,631855 −−≤+− xx
.88 −≤x .1−≤x( ].1;−∞−∈x
Ответ: х ∈ ( ].1; −−∞
5. а) .322 ++−= xxyГрафик – парабола, ветви вниз.
Вершина: ;122
0 =−−=x
.4312)1()1( 20 =+⋅+−== yy
x –1 1 3y 0 4 0
б) Из графика видно, что функ-ция 322 ++−= xxy возрастает напромежутке ( ].1;−∞
1− x
��������������������������������������������������������������������������������������������������������
322 ++−= xxy
x–0,5 0,5
72
6. Пусть скорость туриста на велосипеде – х км/ч, тогда пешком х–8км/ч. Составим уравнение.
),8(73 −= xx ,5673 −= xx ,564 =x .14=x.421433 =⋅=x
Ответ: турист ехал со скоростью 14 км/ч и преодолел 42 км.
7. ,16,02 >x ,016,02 >−x(х–0,4)(х+0,4)>0.
).;4,0()4,0;( ∞+∪−−∞∈xОтвет: х ∈ ).;4,0()4,0;( ∞+∪−−∞
РАБОТА № 34Вариант 1.1. ,0)23)(410( =+− xx
0410 =−x , 4,01 =x или ,023 =+x .32
2 −=x
Ответ: 4,01 =x ; .32
2 −=x
2. .6646
446
121 222 a
aaa
aa
aa==⋅=⋅
+
3. ,12)4(32 −<+− xxx,121232 −<−− xxx ,02 >x
.0>x ).;0( +∞∈xОтвет: х ∈ ).;0( +∞
4. ).2)(2(2)4(282 23 +−=−=− aaaaaaa
5.
=+
=+
25
,122 yx
yx⇔
=++−
−=
2521
122 yyy
yx⇔
⇔
=−−
−=
02422
,12 yy
yx⇔
=−−
−=
012
,12 yy
yx(по т. Виета)
⇔
=
−=−=
4,3,1
yy
yx⇔
=−=
−==
.4,3
,3,4
yx
yx
Ответ: ).3;4();4;3( −−
x–0,4 –0,4
x0
��������������������������������������������������������������������������������������������������������
73
6. а) .32 −= xy График – парабола,ветви вверх.
Вершина:
;020
0 ==x .3)0(0 −== yy
x –2 0 2y 1 –3 1
б) т. к. ветви параболы вверх, тоymin=yвершины= –3.
7. 343
4
3
4102,1
10102,1
102104,2 +−
−
−
−
−⋅=⋅=
⋅⋅ ;12,0
1012,1 =⋅= .012,012,0 >
Ответ: .012,0102104,2
3
4>
⋅⋅
−
−
Вариант 2.
1. .0)46)(13( =−+ xx 013 =+x , 31
1 −=x или ,046 =− x .23
2 =x
Ответ: 31
1 −=x ; .23
2 =x
2. .20210610
3610
151 222 с
ссс
сс
сс=
⋅=⋅=⋅
+
3. ,206)4(5 +>−− xxx,206205 +>+− xxx
,010 <x ,0<x ).0;(−∞∈xОтвет: х ∈ ).0;(−∞
4. ).)(()( 2223 babaabaaaba +−=−=−
5.
=+
=+
29
,322 yx
yx
=+−+
−=
2969
322 xxx
xy
−==−−
xyxx
301032
−=
−=
=
xyxx
32,5
=−=
−==
.5,2
,2,5
yx
yx
Ответ: ).5;2();2;5( −−
32 −= xy
0 x
��������������������������������������������������������������������������������
74
6. а) .22 +−= xyГрафик – парабола, ветви вниз.
Вершина: ;0)1(2
00 =
−⋅=x
.20)0(0 +== yyx –1 0 1y 1 2 1
б) т. к. ветви вниз, тоymax=yвершины=y(0)=2.
7. =⋅⋅
−
−
4
6
102108,2 ;014,0
1004,1104,1 46 ==⋅ +−
.14,0014,0 <
Ответ: .14,0102108,2
4
6<
⋅⋅
−
−
РАБОТА № 35Вариант 1.1. (а – 2)(а + 4) – (а + 1)2 = а2 + 2а – 8 – а2 – 2а – 1 = –9.2. 2(3х – 7) – 5х ≤ 3х – 11;6х – 14 – 5х – 3х ≤ –11;2х ≥ –3;х ≥ –1,5.
х-1,5
х ∈ [–1,5; ∞).Ответ: х ∈ [–1,5; ∞).
3. 1652
,523
=+=−
yxyx
48156,1046
=+=−
yxyx
=−=
523,3819
yxy
==
32
xy
.
Ответ: (3; 2).
4. 343
5 =++ xx
;
ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –3;3х2 + 9х = 5х + 4х + 12;х2 = 4, х1,2 = ±2.Ответ: х1,2 = ±2.5. а)
22 +−= xy
75
б) х ∈ (–4; 0).
6. ( )( )( ) 2
322
23463
2
2
+=
+−−=
−−
mm
mmmm
mmm .
7. Пусть х – расстояние от А до Б, тогда:
53
8=
+xx ; 5х = 3х + 24;
х = 12, а х + 8 = 12 + 8 = 20.Ответ: 12 и 20.
Вариант 2.1. (b – 4)(b + 2) – (b – 1)2 = b2 – 2b – 8 – b2 + 2b – 1 = –9.2. 2х + 4(2х – 3) ≥ 12х – 11;
10х – 12 ≥ 12х – 11; 2х ≤ –1; 21−≤x .
х
21−
х ∈ (–∞;21− ].
Ответ: х ∈ (–∞;21− ].
3. 1423
,532
=+=−
yxyx
4269
,1064
=+=−
yxyx
=−=
532,5213
yxx
==
14
yx
.
Ответ: (4; 1).
4. 33
45 =−
+xx
; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 3
5х – 15 + 4х = 3х2 – 9х; х2 – 6х + 5 = 0;х1 = 5, х2 = 1.Ответ: х1 = 5, х2 = 1.5. а)
76
б) х ∈ (–∞; –2) ∪ (0; +∞).
6. ( )( )( ) n
nnn
nnnn
n4
224
2248
42
2 +=−
+−=−− .
7. Пусть х – расстояние от А до В, тогда:
746 =−
xx ; 7х – 42 = 4х;
х = 14; х – 6 =8.Ответ: 14, 8.
РАБОТА № 36Вариант 1.
1. ,3)2( =+xx ,0322 =−+ xx
по т. Виета: х1= –3, х2=1.Ответ: х1= –3, х2=1.
2. =+
⋅⋅+−⋅+=+
⋅
+−+
nmm
mnmnmnnm
nmm
nnm
mnm )()(
.)())((
nmn
nmmnmmnnm −=
+⋅−+=
3.
=+=−22
,1653yxyx
⇔
−==
xyx
22,2613
⇔
−==
42,2
yx
⇔
−==
.2,2
yx
Ответ: (2; –2).
4.
<>−
03,025
xx
⇔
<<0
,52x
x⇔
<<
0,5,2
xx
,0<x
0 x
��������������������������������������������������������������������������������������������
( ).0;∞−∈xОтвет: х ∈ ( ).0;∞−
77
5.
−=
=
.153
,02 xxy
y
,0153 2 =− xx ,0)5(3 =−xx ,0)5( =−xx05 =−x или 02 =x.51 =x
Т.о. координаты точек пересечения с осью x будут ).0;5();0;0(Ответ: ).0;5();0;0(
6. а) .4x
y = График – гипербола,
ветви в I и III координатных четвер-тях.
б) Из графика видно, что0<y при .0<xОтвет: 0<y при ( ).0;−∞∈x
x –4 –2 –1 1 2 4y –1 –2 –4 4 2 1
7. Если 8,2 == yx , то 31
2222 =
+=
+ yxx
.
Вариант 2.1. ,4)3( =+xx
,0432 =−+ xx
,25)4(1432 =−⋅⋅−=D
;428
253
1 −=−=−−=x .122
253
2 ==+−=x
Ответ: ;41 −=x .12 =x
2. =−
⋅
−−−
bab
aab
bba
= .)())((22
aba
baabbbaba
bab
ababbaba +=
−⋅+−
=−
⋅+−−
xy 4=
78
3.
=−−=+
153,752
yxyx
=−−=+
3026,21156
yxyx
+=−=
yxy
153,5117
=−=.4
,3xy
Ответ: ).3;4( −
4.
><−
04,069
xx
>>0
,96xx
>>
.0,5,1
xx
5,1 x0
�����������������������������������������������������������������
).;5,1( ∞+∈xОтвет: х ∈ ).;5,1( ∞+
5. ,0)5(2 =+xx,0)5( =+xx 01=x или ,05 =+x
.52 −=xОтвет: )0;0( ; ).0;5(−
6. а) .8x
y −=
График – гипербола, ветви во II и IV координатных четвертях.x –4 –2 2 4y 2 4 –4 –2
xy 8−=
б) Из графика видно, что 0>y при .0<xОтвет: 0>y при .0<x
7. Если 2,8 == ca ,
то 2222
8 =−
=− caa
79
РАБОТА № 37Вариант 1.
1. ( ) ( )62725
21 −=+ xx ;
5х + 2 = 7х – 42;2х = 44; х = 22.Ответ: х = 22.
2. ( )( )( ) 3
6333
62962
3:9
9 2
2
2
+=
+−−=
−− bb
bbbbb
bb
bb .
3. –4x + 17 > 2x + 5;6x < 12; x < 2;х ∈ (–∞; 2).Ответ: х ∈ (–∞; 2).
4.
=−=+
3,1722
xyyx
=−+
+=
0862
,32 xx
xy
х2 + 3х – 4 = 0;
−=−=
14
yx
или
==
41
yx
.
Ответ: (–4; –1); (1; 4).5.
12 += xx
; х2 + х – 2 = 0;
−=−=
12
yx
или
==
21
yx
Ответ: (–2; –1); (1; 2).
6. х2 – 3х ≤ 0;х(х – 3) ≤ 0,х ∈ [0; 3].Ответ: х ∈ [0; 3].
7. R
abcS4
= ;
SabcR =4 ;
SabcR4
= .
2 x
��������������������������������������������
x0 3
80
Вариант 2.
1. ( ) ( )46318
34 −=− xx ;
4х – 32 = 6х – 4; 2х = –28;х = –14.Ответ: х = –14.
2. ( )( )( )
( )3
22223422
463:
24 2
2
2 aaaaaaa
aa
aa −=
⋅++−=+− .
3. –2х + 13 < 3x – 2;5x > 15; x > 3, х ∈ (3; ∞).Ответ: х ∈ (3; ∞).
4.
=+=+
51322
yxyx ;
=+−
−=
012102
52 yy
yx;
у2 – 5у + 6 = 0;
==
23
xy
или
==
32
xy
Ответ: (2; 3); (3; 2).5.
23 +−=− xx
; х2 – 2х – 3 = 0;
−==
13
yx
или
=−=3
1yx
.
Ответ: (3; –1); (–1; 3).
6. х2 + 5х ≥ 0; х(х + 5) ≥ 0.х ∈ (–∞; –5] ∪ [0; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; –5] ∪ [0; ∞).
7. hbaS2+= ; bh = 2S – ah;
hahSb −= 2 .
РАБОТА № 38Вариант 1.
1. ,4)5( −=−xx ,0452 =+− xx 4,1 21 == xx .Ответ: .4,1 21 == xx
3 x
����������������������������������������������������������������������������������������
x–5 0
81
2. =+−−
− baba
baa
.3))((
2))(()()(
22
22222
babab
babababaaba
babababaa
−−=
+−−+−+=
+−−−+=
3. ;151 <−<− x
51− <x<
51 ;
;51
51 −>> x
.51
51 <<− x
.51;
51
−∈x
Ответ: х ∈ .51;
51
−
4. а) .2x
y −=
График – гипербола, ветви во II иIV координатных четвертях.
x –2 –1 1 2y 1 2 –2 –1
б) .2xy −=График – прямая.
−=
−=
xyx
y
2
2;
−=−
−=
xx
xy22
2;
−=±=
xyx
21
;
=−=
−==
21
21
yx
yx
.
Ответ: ( ) ( ).2;1;2;1 −−
5. ,0252 ≤−x(x-5)(x+5)≤0;x∈[-5; 5].Ответ: х ∈ [ ].5;5−
xy 2−=
xy 2−=
51
x
51−
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������
x-5 5
82
6. ,328,1 += CF ,328,1 −= FC 8,132−= FC .
91605 −= F
7. Пусть скорость первого велосипедиста x км/ч, тогда скорость второго(x+2) км/ч. Составим уравнение.
,60)2(22 =++ xx ,302 =++ xx,151 =+x .14=x .162 =+x
Ответ: 14км/ч и 16км/ч.
Вариант 2.
1. ;3)4( −=−xx ,0342 =+− xx по т. Виета х1=1, х2=3.Ответ: х1=1, х2=3.
2. =−
−+−
yxy
yxyx
.32))((
)()(22
2
22
2222
yxxyx
yxyxyyxyx
yxyxyxyyx
−−=
−−−+−=
−++−−=
3.
<−−>−03
;5,13xx
><0
;5,13xx
Преобразуем:
><
.0,5,0
xx
).5,0;0(∈x
Ответ: х ∈ ).5,0;0(
4. а) .3x
y =
График – гипербола, ветви в I и III координатных четвертях.x –3 –1 1 3y –1 –3 3 1
б) .3xy = График – прямая.x 0 1y 0 3
=
=
xyx
y
3
3;
=
=
xx
xy33
3;
=±=
xyx
31
;
−=−=
==
.31
31
yx
yx
Ответ: графики функций x
y 3= и
xy 3= пересекаются в точках)3;1( −−A и ).3;1(B
5,0 x0
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������
xy 3=
xy 3=
83
5. ,0362 ≥−x.0)6)(6( ≥+− xx
( ] [ ).;66; ∞+∪−−∞∈xОтвет: х ∈ ( ] [ ).;66; ∞+∪−∞−
6. ,8,71 tl += ?18,7 −= lt
,8,71−= lt
,78
10)1( ⋅−= lt .39
55 −= lt
7. Пусть скорость I пешехода – х км/ч, а второго – у км/ч, тогда:
=−=+
2,3033
xyyx
=−=+
2,10
xyyx
−==
2,122
yxy
==
.4,6
xy
Ответ: 4 км/ч и 6 км/ч.
6 x–6
������������������������������������������������������
������������������������������������������������������
82
РАБОТА № 39Вариант 1.
1. ,2225 2xx −=+ ,025 2 =+ x ,0)25( =+ xx01 =x или ,025 =+ x
.5,22 −=xОтвет: ,01 =x .5,22 −=x
2. =+⋅
+−
− aba
baa
baa
( )( )( )( ) =
⋅+−++−+=+⋅
+−−−+=
abababaabaaba
aba
babaabaaba 2222
))(()(
.2)(
2ba
baba
ab−
=⋅−
=
3.
−=−=−
26,532
yxyx
⇔
+==
26,123
xyx
⇔
==
.1,4
yx
Ответ: (4; 1).4. ,653 xx +<+
,25 −>x .4,0−>x).;4,0( ∞+−∈x
Ответ: х ∈ ).;4,0( ∞+−
5. а) .3x
y = График – гипербола.
б) .4xy = График – прямая.
в) .21 2xy = График – парабола,
ветви вверх.x 0 2 –2y 0 2 2
6.
−−=
=
xxy
y
62
02 ;
x–0,4
��������������������������������������������������������������������������������������������
2xy =
2
21 xy =
83
,062 2 =−− xx ,49)6(2412 =−⋅⋅−=D
;5,146
471
1 −=−=−=x .248
471
2 ==+=x
Ответ: 5,11 −=x ; .22 =x
7. .22448
2468 ==⋅
Вариант 2.
1. ,7332 2 xx −=+,072 2 =+ xx ,0)72( =+xx
01 =x или ,072 =+x
.5,32 −=xОтвет: ;01 =x ;5,32 −=x
2. =−⋅+
−−⋅−
=−⋅
+−
− bba
bab
bba
bab
bba
bab
bab
.21ba
bba
babababa
+=
++−+=
+−−=
3.
−=−=−
65,1245
yxyx
−=−=−
30255,1245
yxyx
+−==
yxy
56,4221
==
42
xy
.
Ответ: (4; 2).
84
4. ,83710 +>− xx,210 <x
;51<x ⋅
∞−∈
51;x
Ответ: х ∈ ⋅
∞−
51;
5. а) .4xy −=График – прямая.
б) .2x
y =
График – гипербола.
в) .2 2xy =График – парабола, ветви вверх.
x 0 1 –1y 0 2 2
6.
−−=
=
23
02 xxy
y;
,023 2 =−− xx ,25)2(3412 =−⋅⋅−=D
;32
64
651
1 −=−=−=x .166
651
2 ==+=x
Ответ: 32
1 −=x и 12 =x .
7. =⋅20
125 .32060 =
РАБОТА № 40Вариант 1.
1. ( )( )
( )( ) xyxyxxyyyxyx
yxyyx
xyyx 331
3:
22=
+−+−=
+⋅−−
.
2. х – 4(х – 3) < 3 – 6x;x – 4x + 12 < 3 – 6x;3x < –9; x < –3.х ∈ (–∞; –3).Ответ: х ∈ (–∞; –3).
51 x
����������������������������������������������������������������������������������������
22xy =
2xy =
x-3
85
3. 2
1352664
⋅+
=+=−
yxyx
;
=+=
1352814yx
x;
−==
32
yx
.
Ответ: (2; –3).
4. 2
611xx
=+ ; х2 + х – 6 = 0; х1 = –3, х2 = 2.
Ответ: х1 = –3, х2 = 2.5.
у = х2 – 2х.
6.
−=−=
41
42
22 ππ aaaS .
7. 34
25
25 −−
∨
; –4 < –3, а .15,2
25 >=
Ответ: 34
25
25 −−
<
.
Вариант 2.
1. ( )( )( )( ) caccaca
cacaacaac
caca
a21
21:
222=
+−−+=
−+⋅
−.
2. 25 – x > 2 – 3(x – 6);–x + 3x > 2 + 18 – 25;2x > –5; x > –2,5.
x-2,5
х ∈ (–2,5; ∞).Ответ: х ∈ (–2,5; ∞).
3. ( )2
7542138
−⋅+
−=+−=+
yxyx
;
−=+=
75477yx
y;
−==
31
xy
.
Ответ: (–3; 1).
86
4. xx1121
2=− ; х2 – х – 12 = 0; х1 = 4, х2 = –3.
Ответ: х1 = 4, х2 = –3.5.
у = х2 + 2х.
6.
−=−=
41
42
22 ππ aaaS .
7. 43
43
43 −−
∨
;
43
34
34
∨
; 3 < 4, а .1
34 >
Ответ: 43
34
34
<
.
РАБОТА № 41Вариант 1.
1. .2151062173)53(2)7)(3( 222 +−=+−+−−=−−−− aaaaaaaaaa
2. При 4−=x :
=−+−+−−=++− )4(2
)4(4
)4(24
2424xxx .604644
216
444
−=+−=−+−
3. ,432 xx
x =−
ОДЗ: ;5,1,0 ≠≠ xx
),32(42 −= xx
;01282 =+− xx по т. Виета: ;21 =x .62 =xОтвет: ;21 =x .62 =x
87
4.
<−+>015
,11123x
xx⇔
<<
15,128
xx
⇔
<−<
2,0,5,1
xx
.5,1−<x
).5,1;( −−∞∈xОтвет: х ∈ ).5,1;( −−∞
5. а) .42 += xyГрафик – прямая.
x 0 –1y 4 2
б) у= –2х.График – прямая.
х 0 1у 0 –2
−=+=xy
xy2
42;
−==
12
xy
.
Ответ: (–1; 2).
6. .21
41
6015
10615 ===⋅
7. 2410
22 −−
=xx
y ; х2 – 10х – 24 ≠ 0;
−≠≠
2,12
xx
,
х ∈ (–∞; –2) ∪ (–2; 12) ∪ (12; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; –2) ∪ (–2; 12) ∪ (12; ∞).
Вариант 2.1. (х–2)(х+4)–2х(1+х)=х2–2х+4х–8–2х–2х2= –х2–8.2. При а= –4,
42
42 ааа −− = =−−=−−−−−4
42
1644
)4(2
)4()4(442
–12–64= –76.
3. хх
х 262
=+
. ОДЗ: х ≠ 0 и х ≠ –3.
х2=2(2х+6); х2–4х–12=0.По т. Виета х1= –2, х2=6.Ответ: х1= –2, х2=6.
x
����������������������������������������������������������������������������������������
–1,5
42 += xy
xy 2−=
)2;1(−M
88
4.
≥+−≤−
015,631
ххх
−≥≥
15,52
хх
−≥≥
2,0,5,2
хх
[ ).;5,2 +∞∈х
Ответ: х ∈ [ ).;5,2 +∞
5. а) у= –2х+4.График – прямая.х 0 2у 4 0
б) у=2х.График – прямая.х 0 1у 0 2
=+−=
xyxy
242
;
==
12
xy
.
Ответ: (1;2).
6. =⋅ 21614
21614⋅
=36
2⋅
=91 =
31 .
7. 276
52 −−
=xx
y
х2 – 6х – 27 ≠ 0;
−≠≠
39
хх
,
х ∈ (–∞; –3) ∪ (–3; 9) ∪ (9; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; –3) ∪ (–3; 9) ∪ (9; ∞).
РАБОТА № 42Вариант 1.
1. 0291 2 =+− xx ;
х2 – 9х + 18 = 0; х1 = 6, х2 = 3.Ответ: х1 = 6, х2 = 3.
2. ( ) ( )( )( ) 2
1
22
22:4
442
2
2
2
−=
+−
+=+−
++ccc
ccc
cc .
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
2,0−x
��������������������������������������������������������������������������������������������
5,2−
89
3.
<+>+
021332
xxx
;
−<
<
21
3
x
x.
)21;( −−∞∈x .
Ответ: )21;( −−∞∈x .
4. а) 30 м; б) 2,5 с; в) 5 м.
5.
−=−=
xyxy
315152
;
−==
152530xyx
;
−==
36
yx
.
Ответ: в IV четверти.
6. 4х2 – 1 < 0; 412 <x ; ;0
412 <−x
0)21)(
21( <+− xx ,
−∈
21 ;
21x .
Ответ:
−∈
21 ;
21x .
7. Пусть х – стоимость стиральной машины, тогда1,12х = 7840; х = 7000;Ответ: 7000 р.
Вариант 2.
1. 03241 2 =++ xx ;
х2 + 8х + 12 = 0;х1 = –6, х2 = –2.Ответ: х1 = –6, х2 = –2.
2. ( ) ( ) ( )( )
33
339
96:32
2
2
2−=
+
−+=−
+++ aa
aaa
aaa .
3.
<+>−
xxx13
052;
−<
<
214,0
x
x,
)21;( −−∞∈x .
Ответ: )21;( −−∞∈x .
������������������������������������������������������������������������������������������
x
21−
������������������������������������������������
3
x
21−
21
����������������������������������������������������������������������������������������
x–
21
����������������������������������������������
0,4
90
4. а) 2 с; б) 5 м; в) 0,5 с и 1,5 с.
5.
+=−=
15341
xyxy
;
−=−=
xyx
41147
;
=−=9
2yx
.
Ответ: во II четверти.6. 4х2 – 4 > 0; x2 > 1; x2 – 1 > 0;(x –1)(x + 1) > 0; х ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞).Ответ: (–∞; –1) ∪ (1; +∞).7. Пусть х – стоимость дивана, тогда1,15х = 6900; х = 6000.Ответ: 6000 р.
РАБОТА № 43Вариант 1.
1. 0392 2
=−+
xxx ; ОДЗ: х ≠ 3;
х(2х + 9) = 0;х1 = 0 или х2 = –4,5.Ответ: х1 = 0; х2 = –4,5.
2. 1122
−=−+−−=−++−bc
bc
cb
cb
bbc
bccb
cb .
3. +⋅
=−=+ 2
11461128
yxyx
;
=+=
11283322yx
x ;
−=
=
21
23
y
x.
Ответ: (1,5; – 0,5).
4.
>++<+
154216673
xxx
;
>−>112
93xx
;
>−>
5,53
xx
,
х ∈ (5,5; ∞).Ответ: х ∈ (5,5; ∞).5. а) через 8 ч; б) 5 км; в) 2,5 часа.6. 2х2 – 3х – 2 > 0;D = 9 + 16 = 25;(x – 2)(2x + 1) > 0.
( )∞+∪
−∞−∈ ;2
21 ;x .
Ответ: ( )∞+∪
−∞−∈ ;2
21 ;x .
x–1 1
x–3 5,5
������������������������������������������������������������������������������������������
����������������
21− 2
+_
+х
91
7. 3030 = ; 2733 = ; 25,305,5 = ; 25,303027 << .
Ответ: ;30 ;33 5,5.
Вариант 2.
1. 04
416 2=
−−x
x ;
х2 = 4;х1,2 = ±2.Ответ: х1,2 = ±2.
2. 1122
=+−−+=−−−+ac
ca
ac
ca
acca
aca
ca .
3. +⋅
−=−=+ 2
1062
137yxyx
;
−=−−=
1062816
yxx
;
=
−=
23
21
y
x.
Ответ: (–0,5; 1,5).
4.
+<−<−
13851341
xxx
;
<−>92
124xx
;
<−>
5,43
xx
,
х ∈ (–3; 4,5).Ответ: х ∈ (–3; 4,5).5. а) 9 км; б) 1,5 часа; в) 2 км.
6. 2х2 + 5х – 3 > 0;D = 25 + 24 = 49;(x + 3)(2x – 1) > 0.
х ∈ (–∞; –3) ∪
∞ ;
21
.
Ответ: х ∈ (–∞; –3) ∪
∞ ;
21
.
7. 4040 = ;
4553 = ; 25,425,6 = ; 25,424540 << .
Ответ: ;40 6,5; 53 .
x–3
����������������������������������������������������������������������������������������
4,5
����������������������������������������������������������������������������������������
21-3
+_
+х
92
РАБОТА № 44Вариант 1.1. х2–6х=4х–25,х2–10х+25=0, (х–5)2=0, х=5.Ответ: х=5.
2. ууу 2
82 2
−−
=8
)8(22 2
−−−
уууу
=8
1622 22
−+−
уууу =
816
−уу
.
3. 0<5–x<10; –5<–x<5; 5>x>–5;х∈ (–5; 5).Ответ: х ∈ (–5; 5).4. 2a3–2ab2=2a(a2–b2)=2a(a–b)(a+b).
5.
=+=+⇔
=+=+
322,62
3,62 22
уxyх
ухух
==
==
⇔
−==−
⇔
12
30
3.0)2(
xy
xy
yxyy
.
Ответ: (1; 2); (3; 0).
6. а) у= 221 х− . График –
парабола, ветви вниз.х 0 2 –2у 0 –2 –2
б) Из графика видно, что
функция у= 221 х− возраста-
ет на промежутке (–∞; 0].
7. 2
2mvЕ = , 2Е=m·v2, v2=mЕ2 ,
mЕv 2= .
Вариант 2.1. х2+2х=16х–49.
,049142 =+− хх ( ) ,07 2 =−х.7=х
Ответ: х=7.
x–5
����������������������������������������������������������������������������������������
5
����������������������������������������������������������������������������������������
2
21 xy −=
2xy −=
93
2. ( ) =+
+−=−+ 3
33933
9а
аааааа =
+−−
3939 2
аааа .
33 2
+−аа
3. –16<1–x<–7;–17<–x<–8;8<x<17,
∈х (8; 17).Ответ: х ∈ (8;17).
4. ( ) ( )( ).3333 2232 сасассассса +−=−=−
5.
=−
=−
63
,22ух
ух
=−
=−
63
,6332ух
ух
+==−
yxyy
2,0)3(
==
==
53
20
xy
xy
.
Ответ: (2;0); (5;3).
6. а) у= – .41 2х
График– парабола, ветвивниз.
Вершина:
;0)
41(2
0 =−
−=ох
.0)0( == ууоб) Из рисунка видно, что
функция 241 ху −= убывает на
промежутке [ .);0 +∞
7. ,2
2аtS = ,2 2tаS ⋅= аSt 22 = ,
аSt 2= .
РАБОТА № 45Вариант 1.
1. =−
⋅−=
−⋅
−=−−
)2222
2
2
22
(
)(5)(5:55
птппт
птп
ппт
ппт
ппт
.5))((
)(5птп
птптппт
+=
+−⋅−
=
����������������������������������������������������������������������������������������������������������
x
������������������������������������������������������������������������������������������������������������
178
2
41 xy −=
94
2. ,1293 22 ххх −=+ ,09124 2 =+− хх
,0)32( 2 =−х х=1,5.Ответ: х=1,5.3. 0<4х+3<1, –3<4х<–2,
,21
43 −<<− х
−−∈
21;
43х .
Ответ: х ∈ .21;
43
−−
4. а) Нули: х1= –1; х2=3;б) у>0 при );;3()1;( +∞∪−−∞∈хв) функция убывает на промежутке ( ]1;−∞ .
5.
−=−=
9549
xyxy
;
9–4х=5х–9, 9х=18,
−==
952
xyx
;
==
12
yx
.
Ответ: (2;1).
6. а) ( ) ( ) ( ) ;212135135 −−−−−− ===⋅ ссссс
б) При 31=с , .9
31 2
2 =
=
−−с
7. 2х2 ≥ 8; х2 ≥ 4;,0)2)(2(;042 ≥+−≥− xxx
х ∈ (–∞; –2] ∪ [2; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; –2] ∪ [2; ∞).
Вариант 2.
1. =−⋅+
=−+ 2
22
22
2
)(3:
33 аbа
bаа
bаа
bаа ( )( )
( ) .33 а
bааbаbаbа −=
⋅+⋅+−
2. .4615 22 ххх −=+
9х2–6х+1=0, (3х–1)2=0, 3х=1, .31=х
Ответ: .31=х
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
x
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
21−
23−
x–2 2
95
3. –2<6x+7<1;–9<6x<–6;
23− <x<–1;
х∈(–1,5; –1).Ответ: х∈ (–1,5;–1).4. а) у=0 при х= –3, х=1.б) у<0 при ( ) ( ).;13; +∞∪−∞−∈х .в) функция убывает на промежутке )[ +∞− ;1 .
5.
+−=−=
810,97
хуху
+−=−−=
81097,97хх
ху
−==
97,1717
xyх
−==
.2,1
yх
Ответ: прямые у=7х–9 и у=9–10х пересекаются в точке (1;–2).
6. а) ( ) )10(7107257 −+−− =⋅= ааааа =а–3;
б) при 51=а , а–3= .1255
51 3
3==
−
7. 331 2 ≤x ;
х2 ≤ 9;0)3)(3(;092 ≤+−≤− ххx
х ∈ [–3; 3].Ответ: х ∈ [–3; 3].
РАБОТА № 46Вариант 1.1. (5х–4)(х+8)=0;5х–4=0 или х+8=0х1=0,8, х2= –8.Ответ: х1=0,8, х2= –8.
2. =−
⋅
−+
саас
са 12
( )( )
( )( ) .212 22222
асса
саасса
саассаса
саасасса −=
−−=
−+−=
−⋅−+=
3. ⇔
−==
⇔
=+=−
⇔
=+=−
хух
yхyх
ухух
52,1717
635,1132
25,1132
−==
.3,1
ух
Ответ: (1;–3).
������������������������������������������������������������������������������
x
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
1−5,1−
x–3 3
96
4. ⇔
−<−<−
775,1061
xxх
<−>
⇔
<−>
.0,5,1
04,96
xx
xx
х∈(–1,5;0).Ответ: х∈ (–1,5;0).5. а) у= –х2–4х+5.График – парабола, ветви
вниз.
Вершина: 22
40 −=
−=x .
у0=у(–2)= –(–2)2–4·(–2)+5== –4+8+5=9.
х –3 –2 –1у 8 9 8
б) т. к. ветки параболы на-правлены вниз, то уmax=увершины=9.
6. 123432 =⋅= ;
93 = .
Т. к. 9<10<12, то 12109 << .
Ответ: 3, 32,10 .
7. а3 – 4а = а(а2 – 4) = а(а – 2)(а + 2).
Вариант 2.1. (6х+3)(9–х)=0,6х+3=0 или 9–х=0.
х1= 21− , х2=9.
Ответ: х1= 21− , х2=9.
2. =+
⋅
++
baab
ba 12
abba
baabba
baababba +=
++=
+⋅++
)()(12 222
.
3.
=+=−34
,1623yxyx
=+=−
628,1623
yxyx
−==
xyx
43,2211
−==
.5,2
yx
Ответ: (2; –5).
����������������������������������������������������������������������������������������������������������
x
������������������������������������������������������������������������������������������������������������
05,1−
542 +−−= xxy
97
4.
<++>+
0104,6462
xxх
<+>
0104,42
xxx
−<<
52,0
xx
−<<
.5,2,0
xx
х∈(–∞; –2,5).Ответ: х∈ (–∞; –2,5).
5. у=х2+6х+5.График – парабола, ветви вверх.
Вершина: х0= 3126 −=⋅
− .
у0=у(–3)=9+6⋅(–3)+5=14–18= –4.х –5 –3 –1у 0 –4 0
б) т. к. ветви вверх, тоуmin=увершины=–4.
6. .4;23;15
.1644;182923 2 ===⋅= Т.к. 15<16<18, то 181615 << .
Ответ: ;15 4, .23
7. с – 16с3 = –с(4с2 – 1) = –с(2с – 1)(2с + 1).
РАБОТА № 47Вариант 1.
1. =−
−−+
2423
2
2
bb
bbb .
42
)2)(2(223
)2)(2()2(23
2
2222
−=
+−−−+=
+−+−+
bb
bbbbbb
bbbbbb
2. γ
γ Р= . ,PV =⋅γ γPV = .
3.
>
>⇔
>>
⇔
<−>−
.31
,1,1
13,5,55
132,5,415
х
х
хх
хх
);1,1( ∞∈хОтвет: );1,1( ∞∈х .
562 ++= xxy
������������������������
x
������������������������������������������������������������������������������
05,2−
����������������������������������������������������������������������������������������������
x
�����������������������������
1,131
98
4. а) 4х2+8х–5=0,
−+=
=
584
02 xxy
y; 4х2+8х–5=0.
По т. Виета: ;5,21 −=х .21
2 =х
С осью х: (21 ; 0) и (–2,5; 0).
б) у(0)=4⋅0+8⋅0–5= –5. С осью у: (0;–5).
Ответ: а) с осью х:(–2,5;0);
0;
21 ; б) с осью у:(0;–5).
5. Пусть скорость лодки в стоячей воде х км/ч, тогда по течению – х+2, апротив – х–2 км/ч. Составим уравнение.
(х+2)⋅4=(х–2)⋅8;4х+8=8х–16; 4х=24; х=6;(х+2)⋅4=(6+2)⋅4=32.Ответ: 6 км/ч, 32 км.6. а) у(6)= –5;б) наибольшее значение функции равно 4;в) у<0 при );5()1;( ∞∪−−∞∈х .
7. 22
43
32 −−
∨
;
22
34
23
∨
;
916
49 > .
Ответ: 22
43
32 −−
>
.
Вариант 2.
1. 3
2963
2
2
−−
−+
аа
ааа = .
9)3)(3(6263
)3)(3()3(263
2
2222
−=
+−−−+=
+−+−+
аа
аааааа
аааааа
2. tАN = ; ,tNА ⋅= 0≠t .
3.
>−<+
852,032
хх
<−<65
,23хх
−<
−<
.56
,32
x
х
−∞−∈
511;x .
Ответ: х ∈
−∞−
511; .
511− 3
2−
������������������������������
x
����������������������������������������������������������������������������������
99
4.
−−=
=
673
02 xxy
y;
3х2–7х–6=0, D=49–4⋅3⋅(–6)=121,
,32
64
6117
1 −−=−=х .36
186117
2 ==+=х
С осью х: в точках
− 0;
32
и (3; 0).
б) у(0)=3⋅0–7⋅0–6=–6. С осью у: в точке (0; –6).5. Пусть собственная скорость лодки х км/ч, тогда по течению – х+1, а
против – х–1 км/ч.3(х+1)=4(х–1); 3х+3=4х–4,х=7.(х+1) 3=(7+1) 3=24.Ответ: 7 км/ч; 24 км.6. а) у= –5 при х= –6 или х=0;б) наибольшее значение функции равно 4;в) у>0 при х∈(–5; –1).
7. 22
74
53 −−
∨
;
22
47
35
∨
;
1649
925 < .
Ответ: 22
74
53 −−
<
.
РАБОТА № 48Вариант 1.
1. 2с(3с+4)–3с(2с+1)=6с2+8с–6с2–3с=5с.
2. а
ааа
ааааа
−=
+−+=
−+
3)3)(3()3(
932
2.
3.
>
−>⇔
>>
⇔
>>+
⇔
<−>+
0
,21
0,12
04,012
047,036
x
xx
xxx
xх
����������������������������������������������������������������������������������������
0
x
21−
������������������������������������������
х ∈ (0; +∞).Ответ: х ∈ (0; +∞).
100
4. 3х2+7х–6=0, D=49–4⋅3⋅(–6) = 49+72=121,
.32
64
6117;3
618
6117
21 ==+−=−=−=−−= хх
Ответ: .32;3 21 =−= хх
5. а) у=х2. График – парабола, вет-ви вверх.
х –1 0 1у 1 0 1
б) у=х+2. График – прямая.х 0 2у 2 0
⇔
+−==
2,2
хуху
+−==−+
2.022
хуxх
по т. Виета
+=
=
−=
,21
2
xyxx
=−=
==
42
11
yx
yx
.
Ответ: (1; 1); (–2; 4).6. Пусть первая машина печатает х страниц в минуту, тогда10х+(х–4)⋅15=340, 10х+15х–60=340, 25х–60=340, 25х=400, х=16.Если х=16, то х–4=12.Ответ: первая машина печатает 16 страниц в минуту, а вторая 12.
7. Lc1=ϖ ; 2
1ϖ
=Lc ; L
c 21
ϖ= .
Вариант 2.1. 3а(2а–1)–2а(4+4а)=6а2–3а–8а–6а2= –11а.
2. аа
аааа
ааа −=
++−=
+− 2
)2()2)(2(
242
2.
3.
<+>−443
,8102х
х
<>−
03,451
xх
−<<
35,0
xx
−<
<
.53
0
x
x
−∞−∈
53;x .
Ответ:
−∞−∈
53;х .
2xy =
2+−= xy
)4;2(−A
)1;1(B
����������������������������������������
53−
x
��������������������������������������������������������������������������������
0
101
4. 2х2–9х+4=0,D=(–9)2–4⋅2⋅4=81–32=49,
;21
42
479
1 ==−=х
44
164
792 ==+=х .
Ответ: ;21
1 =х 42 =х .
5. у= –х2. График – парабола, ветви вниз.х –1 0 1у –1 0 –1
б) у=х–2. График – прямая.х 0 2у –2 0
⇔
−==
2,2
хуху
−=−
−=
2
,22 хх
xy
=−
−=
12
,2
2
1
xх
xy
−==
−=−=
11
42
ух
ух
.
Ответ: (–2; –4); (1; –1).6. Пусть второй автомат упаковывает в минуту х пачек печенья, тогда20х+10(х+2)=320, 20х+10х+20=320,30х=300, х=10, тогда х + 2 = 10 + 2 = 12.Ответ: первый автомат упаковывал за минуту 12 пачек печенья, а вто-
рой – 10.
7. aht 2= ; 2h = t2a;
2
2ath = .
РАБОТА № 49Вариант 1.1. 2х2+3х–2=0,D=9–4⋅2⋅(–2)=25.
21
42
453;2
48
453
21 ==+−=−=−=−−= хх .
Ответ: –2; 21
.
2−= xy
2xy −=
)4;2(−N
)1;1( −M
102
2. 1
1113
+⋅
+
−+
сс
сс
= =+
⋅−
−++1
11
)1(13сс
ссс
)1)(1()1(
)1)(1(12
)1)(1(13 222
+−+
=+−++=
+−−++=
ссс
сссс
ссссс
11
−+=сс
.
3. 3х+5≥9х–(5–2х),
3х+5≥9х–5+2х, 8х≤10, х≤411 ,
∞−∈
411;х .
Ответ: х ∈
∞−
411; .
4. у=2х–1
х 0 1у –1 1
у(–25)= –50–1= –51;–51= –51, т. о. функция
проходит через точку А.
5. Пусть в один пакет помещается х кг яблок, тогда можем составитьуравнение.
6х=4(х+1), 6х=4х+4, 6х–4х=4, 2х=4, х=2.Если х=2, то 6х=6⋅2=12.Ответ: было 12 килограммов яблок.
6. ,041,0
41 22 <−>− xх (х–
21 )(х+
21 )<0.
−∈
21;
21х .
Ответ: х ∈
−
21;
21 .
7. ( )21
183
183 24
== .
411 x
��������������������������������������������������������������������������������������������
12 −= xy
x
21−
21
103
Вариант 2.1. 3х2+8х–3=0,D=82–4⋅3⋅(–3)=100,
;36
186
1081 −=−=−−=х
31
62
6108
2 ==+−=х .
Ответ: ;31 −=х31
2 =х .
2. =+
⋅
−+
+1
1214
уууу
=21
)2)(1()1(
)1)(2(12
11
2142 222
−+=
−++=
+−++=
+⋅
−++−
уу
yyy
yyyy
ууyуy
.
3. 1–х≤6х–(3х–1),1–х≤6х–3х+1, 4х≥0; х≥0.х∈[0; +∞).Ответ: х ∈ [0; +∞).4. а) у=–2х+3.График – прямая.х 0 1у 3 1
б) у(20)= –2⋅20+3= –40+3== –37; –37= –37.
Т.о. график функции проходитчерез точку В(20;–37).
Ответ: точка В принадлежитграфику функции у=2х+3.
5. Пусть первый рабочий за 1 час изготовил х деталей, тогда можем со-ставить уравнение.
5х=4(х+12), 5х=4х+48, 5х–4х=48, х=48. Если х=48, то 5х=5⋅48=240.Ответ: каждый рабочий изготовил по 240 деталей.
6. 0,01–х2>0, х2 – 0,01 < 0,(х – 0,1)(х + 0,1) < 0.(0,1–х)(0,1+х)>0.х∈(–0,1; 0,1).Ответ. х ∈ (–0,1; 0,1).
7. 41
328
322
32)2( 36
=== .
x
����������������������������������������������������������������������
0
32 +−= xy
x–0,1 0,1
104
РАБОТА № 50Вариант 1.1. 4ab+2(a–b)2=4ab+2(a2–ab+b2)=4ab+2a2–4ab+2b2=2a2+2b2.
2.
−==
⇔
=+−=−
⇔
=+−=−
хух
yхyх
ухух
611,88
116,32
116,624
⇔
==
.5,1
ух
Ответ: (1; 5).3. 6–3х<19–(х–7), 6–3х<19–х+7,–2х>20, х>–10,х∈(–10; ∞).Ответ: х ∈ (–10; ∞).
4. ,76 хх
=+ ОДЗ: х≠0.
х2–6х–7=0. D=36+7⋅4=64.
12
861 −=−=х , 7
286
2 =+=х .
Ответ: 11 −=х , 72 =х .
5. у=х2–2х+3.График – парабола, ветви вниз.
Вершина: ,1)1(2)2(
0 −=−⋅−−
=х
у0=у(–1)= –(–1)2–2⋅(–1)+3=4.х –3 –1 1у 0 4 0
б)
+−−=
=
32
32 xxy
у
–х2–2х=0.х(2+х)=0.х1=0 или 2+х=0
х2=–2.Ответ: у=3 при х1= –2 или х2=0.6. Пусть Николай проехал на автобусе х км, тогда можем составить
уравнение.х+4,5х=1100, 5,5х=1100, х=200.4,5х=4,5⋅200=900.Ответ: Николай пролетел на самолете 900 км.
7. ( )( ) 1
1112
−−=
−−=
−−
ab
abbb
babbb .
x
����������������������������������������������������������������������
10−
322 +−−= xxy
3=y
105
Вариант 2.1. 3(х+у)2–6ху=3(х2+2ху+у2)–6ху=3х2+6ху+3у2–6ху=3х2+3у2.
2.
−=−=+
223,145
ухух
−=−=+
223,28210
ухух
−==
xyx
514,2613
==
.42
yx
Ответ: (2; 4).3. 17(х+2)>12х–11,17–х–2>12х–11, 15–х>12х–11,13х<26, х<2,х∈(–∞; 2).
Ответ: х∈ (–∞; 2).
4. х
152 + =х. ОДЗ: х≠0. 2х+15=х2.
х2–2х–15=0, D=(–2)2–4⋅1⋅(–15)=64,
;326
282
1 −=−=−=х .52
102
822 ==+=х
Ответ: ;31 −=х .52 =х5. у=–х2+4х–3.График – парабола ветви вниз.
Вершина: ,224
)1(24
0 =−−=
−⋅−=х
=−⋅+−== 3242)2( 20 уу
.1384 =−+−=х 1 2 3у 0 1 0
−+−=
−=
34
32 xxy
y;
х2–4х=0,х(х–4)=0,х1=0 или х–4=0,
х2=4.Ответ: у= –3 при х1=0 или х2=4.6. Пусть Сергей прошел пешком х км, тогда можно составить уравне-
ние.х+2,5х=280, 3,5х=280, х=80. 2,5х=2,5⋅80=200.Ответ: Сергей проехал на электричке 200 км.
x
������������������������������������������������������������������������������������������������
2
3−=y
342 −−−= xxy
106
7. ( )( ) 11
2
++=
++=
++
mnm
mnnmn
nmnnmn .
РАБОТА № 51Вариант 1.
1. =+
+−=−
+ )4()4(5205
420
2 ccс
ссс 45
)4(5
)4(20520
+−=
+−=
+−−
cccc
ccc
.
2. 0312)5( =
−+ хх ,
х+5=0 или ,0312 =−х
51 −=х ; .61
2 =х
Ответ: 51 −=х ; .61
2 =х
3. ⇔
−<−<
⇔
<+<+
94,52
094,052
хх
хх
−<−<
25,2,5,2
хх
Ответ: х ∈ ( )5,2;−−∞ .
4. а)х
у 2−= .
График – гипербола, ветви во II и IV координатных четвертях.х –2 –1 1 2у 1 2 –2 –1
−=
−=
xy
y2
4;
x2− = –4
х=21 .
Ответ: у= –4 при 21=х .
����������������������������������������������������������������������������������������
x–2,5
������������������������������������������������
–2,25
xy 2−=
4−=y
107
5. Пусть в пакете х г конфет, тогда можем составить уравнение.15х+5(х+20)=2400, 15х+5х+100=2400,20х=2300, х=115.х+20=15+20=135.Ответ: в пакете – 115 г. конфет, а в коробке – 135 г.
6. ( )
⇔
=++
+=⇔
=+
=−
206
6
20
62222 уу
ух
ух
ух
=−++
+=⇔
02036122
,62 уу
ух
=++
+=⇔
086
,62 уу
ух ⇔
по т. Виета
−==
−==
⇔
−=−=+=
⇔
42
24
4,2,6
ух
ух
уу
ух.
Ответ: (4; –2); (2;–4).
7. ( ) ( ) =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ 22
22
3246246 523523523
.5405427523 23 =⋅⋅=⋅⋅=
Вариант 2.
1. =++
−+
=−+ )3(
)3(3)3(
933
92 аа
аааааа
.3
3)3(
3)3(939
)3(3(39
+−=
+−=
+−−=
++−
=ааа
аааа
ааа
2. ( ) .02151 =
+− хх х–1=0 или ,0
215 =+х ,11 =х .
101
2 −=х
Ответ: ,11 =х .101
2 −=х
3.
>+>+
032,074
хх
−>−>
32,74
хх
−>
−>
23
,47
х
х .;
211
+∞−∈х
Ответ: х ∈ .;211
+∞−4
31−211−
������������������������������������������������������������������������������������ x
������������������������������������������������������������
108
4. а)х
у 6= .
График – гипербола, ветви в I и IIIкоординатных четвертях
х –3 –2 2 3у –2 –3 3 2
б) у(–4)= .5,123
46 −=−=
−
Ответ: ( ) 5,14 −=−у .
5. Пусть в маленькой коробочке было х карандашей, тогда можно соста-вить уравнение.
(х+12) ⋅5+х⋅11=156, 5⋅х+60+11х=156.16х=96, х=6. х+12=6+12=18.Ответ: в маленькой коробке – 6 карандашей, а в большой – 18 карандашей.
6.
=+
=−
10
,422 ух
ух
=+++
+=
10168
,422 yyу
yх
+==++
yxyy
40342
по т. Виета
+=
−=−=
yxyy
413
=−=
=−=
13
31
xy
xy
Ответ: (3;–1);(1;–3)
7. ( ) ( ) =⋅⋅=⋅⋅22224428 352352 7209516352 24 =⋅⋅=⋅⋅ .
РАБОТА № 52Вариант 1.1. –х2+2х+8=0, х2–2х–8=0,
D=4+32=36.
х1= 262 + =4; х2= 2
62 − =–2.
Ответ: х1=4; х2= –2.
2. ( ) .)(2 2
2
22
2
baab
abababa
abа
bababа
−=
⋅−−⋅=−⋅
+−
xy 6=
4−=x
109
3. При х= –1,19,
.253
159,02
1581,02
1519,122
1522 =⋅==
−=+ х
4. ⇔
<−>
⇔
+<−+<−
164,32
975,321
хх
хххх
<−>
⇔
<
−>⇔
4,5,1
4
,23
хх
х
х
х ∈ (–1,5;4).Ответ: (–1,5;4).
5. а) у=2х–2.График – прямая.х 0 1у –2 0
б)
−=−=
224xy
y;
–4=2х–2,х=–1.
Ответ: (–1;–4).
6. Пусть фруктовая смесь содержит х кг яблок, тогда можем составитьуравнение.
х+1,6х+0,2=2;3,6х=1,8;
.21=х
1,6х=1,6⋅0,5=0,8,х+0,2=0,5+0,2=0,7.Ответ: в упаковке 0,5 кг яблок,0,8 кг чернослива и 0,7 кг изюма.
7. ,812 ≤х,0812 ≤−x
.0)9)(9( ≤+− хх[ ]9;9−∈х .
Ответ: [ ]9;9−∈х .
x–1,5
����������������������������������������������������������������������������������������
4
����������������������������������������������������������������������������������������
22 −= xy
4−=y)4;1( −−N
99− x
110
Вариант 2.1. –х2+7х–10=0,х2–7х+10=0, D=(–7)2–4⋅1⋅10=9,
,224
237
1 ==−=х .52
372 =+=х
Ответ: ,21 =х .52 =х
2. =++=+++2
2
2
22 )(:2:хуух
уух
хуухух
уух
.)(1 2 ух
хууххуух
+=
+⋅
+=
3. При х=0,91,
.53,02
309,02
391,012
3123 =
⋅=
⋅=
−=
− х
4.
−>+−<+xx
xх218
,3472
−>>
162,102
xх
−>>
.8,5
xx
х∈(5; ∞).Ответ: х ∈ (5; ∞).5. у=2х+2.График – прямая.х 0 –1у 2 4
б)
+−==
226
xyy
;
–2х+2=6,х=–2.
Ответ: (–2; 6).
6. Пусть для изготовления мороженного потребуется х кг сливок, тогдаможем составить уравнение.
2,5х+х+0,1=1; 4,5х=0,9; х=0,2.2,5х=2,5⋅0,2=0,5, х+0,1=0,2+0,1=0,3.Ответ: для приготовления 1 кг мороженного потребуется 0,5 кг воды,
0,2 кг сливок и 0,3 кг сахара.
������������������������������������������������������������������������������������������
8−x
������������������������������������������
5
)6;2(−A
6=y
22 +−= xy
111
7. х2≥64, х2 – 64 ≥ 0,(х–8)(х+8)≥0,х∈(–∞; –8]∪[8; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; –8]∪[8; ∞).
РАБОТА № 53Вариант 1.
1. )(22 22
2
22
yayayya
yaa
yayya
−−+=
−−
−+ .
)()( 2
yya
yayya −
=−
−=
2. 9х2–6х+1=0,(3х–1)2=0,
3х–1=0, 3х=1, х=31 .
Ответ: х = 31 .
3. 2х–3(х+1)>2+x,2x–3x–3>2+x,2x<–5. x<–2,5.x∈(–∞; –2,5).Ответ: х ∈ (–∞; –2,5).4. у= –0,5х2.График – парабола, ветви вниз.
Вершина: ,01
00 =
−=х
у0=у(0)= –0,5⋅0=0.х –2 0 2у –2 0 –2
б) у(8)= –0,5⋅82= –0,5⋅64= –32;–32= –32.
Значит точка М(8; –32) принад-лежит графику функции у= –0,5х2.
Ответ: график проходит черезточку М(8; –32).
5. ⇔
+=
==
⇔
+==−⇔
=−
=−
yxyy
yxyy
ух
ух
210
2,0
2
,2 2
2
==
==
31
20
xy
xy
.
Ответ: (2; 0); (3; 1).
x–8 8
x
��������������������������������������������������������������������������
5,2−
25,0 xy −=
112
6. Пусть велосипедист и мотоциклист были в пути х часов, тогда можносоставить уравнение.
18410 =−хх
; 10–4=18х, 6=18х; х=31 .
х4 =4⋅3=12.
Ответ: скорость велосипедиста составляет 12 километров в час.
7. 26= 676 ; 762>676; т. о. 762 > 676 .
Ответ: 762 >26.
Вариант 2.
1. =+
+++
bab
ababa22 2
22.
2)(2)(
)(22 222
aba
baaba
baababa +=
++
=+
++
2. 4х2+4х+1=0, (2х+1)2=0, х=–21 .
Ответ: х = 21− .
3. 18–8(x–2)<10–4x,18–8х+8⋅2<10–4х,4х>24, х>6. х∈(6; ∞).Ответ: х ∈ (6; ∞).4. у=0,5х2.График – парабола, ветви вверх.х –2 0 2у 2 0 2
у=(–12)=0,5⋅(–12)2=0,5⋅144=72,72=72.
Т.о. график функции у=0,5х2 прохо-дит через точку D(–12; 72).
Ответ: график функции у=0,5х2 про-ходит через точку D(–12; 72).
5.
=+−=−
1,12
ухух
−==+xу
xх1
,02
−=
−=
=
xуxx
11
0
=−=
==
21
10
yx
yx
.
Ответ: (0; 1); (–1; 2).
x
���������������������������������������������������������������������������������������������������
6
25,0 xy =
113
6. Пусть пешеход шел со скоростью х км/ч, тогда можно составитьуравнение.
х5 =
1215+х
.
5(х+12)=15х, 5х+60=15х, 10х=60, х = 6.Ответ: 6 км/ч.
7. 28= 228 = 784 , т. к. 784>781, то 784 > 781 .
Ответ: 28> 781 .
РАБОТА № 54Вариант 1.
1. 1
5352
++−a
aa .135
15355
1)53(55 2222
+−=
+−−+=
++−+
=aa
aaaa
aaaa
2. х2–х–30.Нули: х2–х–30=0,по т. Виета х1=–5, х2=6.х2–х–30=(х+5)(х–6).
3. 3а+1>0, 3а>–1, а>–31 ,
а∈
∞− ;
31
.
Ответ: х ∈
∞− ;
31
.
4. а) у= –х4 . График – гипербо-
ла, ветви во II и IV координатныхчетвертях.
б) Из рисунка видно, что при
х>0 функция у= –х4 возрастает (по
рисунку).х –2 –1 1 2у 2 4 –4 –2
Ответ: при х>0 функция возрас-тает.
x
����������������������������������
31−
xy 4−=
114
5. 4–х2<0, х2–4>0, (х – 2)( х + 2) > 0,х∈(–∞; –2)∪(2; ∞).Ответ: х∈ (–∞; –2)∪(2; ∞).6. Пусть собственная скорость лодки равна х км/ч, тогда можно соста-
вить уравнение.
220−х
=2
36+х
,
20(х+2)=36(х–2), 20х+40=36х–72, 16х= –112, х=7.Ответ: собственная скорость лодки равна 7 километров в час.
7. 4= 16 . Т.к. 6<13<16, то 6 < 13 < 16 .
Ответ: 6 ; 13 ; 4.
Вариант 2.
1. =+
−−+=+−−
ccccc
cccc
2)24(48
2244
222
.210
22448 22
cc
ccccc
+=
++−+=
2. х2+х–42.1. Нули: х2+х–42=0;по т. Виета:х1=6, х2=–7.х2+х–42=(х+7))(х–6).Ответ: (х+7)(х–6).3. 7–2а<0, а>3,5;а∈(3,5; ∞).Ответ: а∈ (3,5; ∞).
4. а) x
y 8= . График – гипербо-
ла, ветви в I и III координатныхчетвертях.
х –2 –4 4 2у –4 –2 2 4
б) По рисунку видно, что прих>0 функция убывает.
Ответ: при х>0 функция убыва-ет.
x–2 2
5,3 x
����������������������������������������������������������������������
xy 8=
115
5. 16–х2>0, х2 – 16 > 0,(х – 4)(х + 4) < 0,х∈(–4; 4).Ответ: х∈(–4; 4).
6. Пусть собственная скорость х км/ч, тогда можно составить уравнение.
24
23
+=
− xx.
3(х+2)=4(х–2),где х≠0, х≠–2; 3х + 6 = 4х – 8,х=14.Ответ: собственная скорость лодки равна 14 километрам в час.
7. 93 = ; т. к. 7<9<12,
то 1297 << .
Ответ: 12,3,7 .
РАБОТА № 55Вариант 1.1. х2–8х+7=0,по т. Виета х1=1, х2=7.Ответ: х1=1, х2=7.
2. yxyx
yxyxyx
yxyx+
⋅−
+=+−
++ 1)()(:222
2
22
22= .1
))(()(
2
2
yxyxyxyx
−=
+−+
3. 10х–3(4–2х)>16+20х,10х–12+6х>16+20х,4х<–28, х<–7, х∈(–∞; –7).Ответ: х∈(–∞; –7).
4. Пусть пятирублевых – х штук, тогда:5х + 2(х + 4) = 155; 5х + 2х + 8 = 155;7х = 147;х = 21, х + 4 = 21 + 4 = 25.Ответ: 21 пятирублевая монета и 25 двухрублевых.
5. а) x
y 6= . График – гипербола, ветви в I и III координатных четвертях.
х 3 2 –2 –3у 2 3 –3 –2
б) у=2х–4. График – прямая.х 0 2у –4 0
x-4 4
7− x
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
116
−=
=
42
6
xyx
y;
2х–4=x6
, х2–2х–3=0.
По т. Виетах1=3, х2=–1.
Если х = 3, то 236 ==y .
Если х = –1,
то 61
6 −=−
=y .
Точки пересечения N (–1; –6); M (3; 2).Ответ: (–1; –6); (3; 2).6. v=20–2,5t, 2,5t=20–v,
.5
)20(2,5,2
20 vtvt −=−=
7. 2158
2147
21 ⋅⋅<<⋅⋅ ab .
14 <21 ab < 20.
Вариант 2.1. х2–6х–16=0, по т. Виета х1=–2, х2=8.Ответ: х1=–2, х2=8.
2. =−⋅−−=−⋅
+−− )(
)()(
2 2
22
22
22ba
bababa
bababa
= .)(
))(()(
))()((2
2
2ba
bababa
babababa
+=−
−+=
−
−−+
3. 3–5(2х+4)≥7–2х;3–10х–20≥7–2х; 8х≤–24, х≤–3,х∈(–∞; –3].Ответ: х∈ (–∞; –3].4. Пусть десятикопеечных – х штук, тогда:0,1х + 0,5(х – 4) = 5,8;0,6х = 7,8;х = 13, х – 4 = 13 – 4 = 9.Ответ: 13 десятикопеечных монет и 9 пятидесятикопеечных.
xy 6=
42 −= xy
)2;3(M
)6;1( −−N
3 x
������������������������������������������������������������������������������������������������
117
5. а) .6x
y −=
График – гипербола, ветви во II и IV координатных четвертях.х –3 –2 2 3у 2 3 –3 –2
б) у= –2х+4.График – прямая.х 0 2у 4 0
+−=
−=
42
6
xyx
y;
–2х+4=–x6
;
х2–2х–3=0.х1=–1, х2=3.
Если х= –1,то у= – .61
6 =−
Если х=3, то у= .236 −=− .
Т.о. графики данных функций пересекаются в точках с координатамиM(–1; 6) и N(3; –2).
Ответ: (–1; 6) и (3; –2).6. S=35+1,2t; S–35=1,2t; 1,2t=S–35;
t=2,135−S .
7. 21310
2192
21 ⋅⋅<⋅<⋅⋅ xy . 15
219 << xy .
РАБОТА № 56Вариант 1.1. 4х2+20х=0, 4х(х+5)=0,х1=0 или х+5=0, х2= –5.Ответ: х1=0, х2= –5.
2. =−
−− xyxyy 24
22
.2))((
)(2))((
22))((
224xyxyxy
xyxyxy
xyxyxyxyy
+=
+−−=
+−−=
+−−−=
42 += xy
)6;1(−M
)2;3( −N
118
3. –1<m+0,6<1;–1,6<m<0,4;m∈(–1,6; 0,4).Ответ: m∈(–1,6; 0,4).4. Пусть по лесной дороге велосипедист ехал со скоростью х км/ч, тогда
можно составить уравнение.х⋅2+(х+4)⋅1,5=48; 2х+1,5х+6=48;3,5х=42; х=12.х+4=12+4=16.Ответ: велосипедист ехал по шоссе со скоростью 16 километров в час, а
по лесной дороге со скоростью 12 километров в час.5. а) 4 марта t°=0° в 12 часов и 22 часа;б) температура была положительной с 12 часов по 22 часа, т.е. t∈(12; 22);в) максимальная температура в этот день была 6°;г) в течение суток температура повышалась с 4 до 16 часов.6. –х2–х+12>0, х2+х–12<0.Нули: х2+х–12=0, по т. Виетах1=–4, х2=3. (х–3)(х+4)<0,х∈(–4; 3).Ответ: (–4; 3).
7. ( ) ( ) 10000101010101010010 412166216628 ==⋅=⋅=⋅ −−− .Ответ: 10000.
Вариант 2.1. 3х2–12х=0; х(х–4)=0. х1=0 или х–4=0, х2=4.Ответ: х1=0, х2=4.
2. =+−+−=
−−
− ))(()(3636
22 bababaa
babaa
.3))((
)(3))((
336bababa
babababaa
+=
+−−=
+−−−=
3. –0,5<n–7<0,5,6,5<n<7,5.n∈(6,5; 7,5).Ответ: n∈ (6,5; 7,5).4. Пусть мотоциклист ехал по проселочной дороге со скоростью х км/ч,
тогда можем составить уравнение.
3х+21
(х+10)=110,
7х+10=220, х=30, х+10=40.Ответ: по шоссе мотоциклист ехал со скоростью 40 км/ч, а по поселоч-
ной дороге – 30 км/ч.
4,06,1−
��������������������������������������������������������������������������������
m
��������������������������������������������������������������������������������������������������������
x-4 3
5,75,6
��������������������������������������������������������������������������������
n
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
119
5. а) температура была равна 9° в 12 часов и в 16 часов;б) температура в течение суток понижалась с 0 часов до 4 часов и с 14
часов по 24 часа;в) минимальная температура в этот день была –3°;г) температура была отрицательной с 1 часа ночи до 7 часов утра.6. –х2+3х+4>0.х2–3х–4<0.Нули: х2–3х–4=0,по т. Виета х1=4, х2=–1.(х+1)(х–4)<0,
x-1 4
х∈(–1; 4).Ответ: х∈ (–1; 4).
7. ( ) ( ) =
⋅=⋅
−−−−
162101610 101010010 ( ) =−+− 1121010 .01,0100 1 =−
РАБОТА № 57Вариант 1.
1. =⋅
−
− 2
2
ca
ac
cac
.)()()(
)(2
2
2
2
2
2
caa
ccaac
ca
caccaca
ca
caacacca
−=
⋅−⋅=⋅
−+−=⋅
−−−=
2. ;353
5 =−xx ОДЗ: 3х≠5; х≠
35
.
5х=3(3х–5), 5х=9х–15,4х= 15;
433=x .
Ответ: х= .433
3. 19–7x<20–3(x–5), 19–7x<20–3x+15,4x>–16, x>–4,
4− x
����������������������������������������������������������������������������������������
x∈(–4; ∞).Ответ: x∈ (–4; ∞).
120
4. а) у=х2–2.График – парабола, ветви
вверх.х –1 0 1у –1 –2 –1
б) Из рисунка видно, чтофункция у=х2–2, возрастает напромежутке [0; +∞).
Ответ: функция у=х2–2 возрас-тает на промежутке [0; +∞).
5. Пусть в каждом ряду было х стульев, тогда можно составить уравне-ние.
х(х+8)=48, х2+8х=48, х2+8х–48=0.По т. Виетах1= –12; но x≥0.х2=4,х+8= 4+8=12.Ответ: в зале было 12 рядов, в каждом из которых было по 4 стула.
6. .006,01000
61012
172102,1102,7
310
7==
⋅⋅=
⋅⋅
Ответ: 0,006.7. 3<a<4, a 5<b<6,16<2(a+b)<20; 16<P<20.
Вариант 2.
1. =+⋅
+−
nnm
nmn
mn .
)(
22
mn
mnn
nnm
nmmmnnnm ==+⋅
+−+
2. ,521
6 =+ x
x 6х=5(1+2х), ОДЗ: 1+2х≠0, х≠–21
.
6х=5+10х, 4х=–5, ,45−=x х= –1,25.
Ответ: х = –1,25.3. 3х–10(2+х)<x+4;3х–20–10х<x+4,8x>–24,х>–3,х∈(–3; ∞).Ответ: х∈ (–3; ∞).
2xy =
22 −= xy
3− x
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
121
4. у= –х2+3. График – парабола,ветви вниз.
Вершина: .0)1(2
00 =
−⋅=x
у0=у(0)= –02+3=3.х –2 0 2у 1 3 –1
б) По рисунку видно, что функцияу= –х2+3 возрастает на промежутке(–∞; 0].
5. Пусть посадили х рядов смородины, тогда можно составить уравне-ние.
(х+7)⋅х=60, х2+7х=60, х2+7х–60=0,по т. Виета х1=–12, но х≥0х2=5. х+7=5+7=12.Ответ: в каждом ряду посадили по 12 кустов, а рядов посадили 5.
6. 2214
12
108,0
1084,6
108104,6 =
⋅=
⋅⋅ =0,8⋅0,01=0,008.
7. Если 10<x<11; 6<y<7, то 2(10+6)< P =2(x+y)<(7+11)2,32< P <36.
РАБОТА № 58Вариант 1.
1. =+
−+хуух
ух
х1
ух
хухх
хухх
хуухху 1)1(22 −=−=−=−−+= .
2. –х2 + 7х + 8 = 0; х2 – 7х – 8 = 0; по т. Виета х1 = 8, х2 = –1.Ответ: х1 = 8, х2 = –1.
3. ⇔
−>−>
⇔
<−>+
43,25
1036153
xx
xх
−>
−>⇔
−>
−>
.311
,52
34
,52
x
x
x
x
х∈ );52( ∞− .
Ответ: х∈ );52( ∞− .
32 +−= xy
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
52−
x
������������������������������������������������������������������������������������������
311−
122
4. Пусть первое число равно х, а второе у, тогда можно составить систе-му.
==
⇔
−==
⇔
=−=+
.59,78
19,1562
19,137
ух
хух
ухух
Т.о. данные числа равны 78,59.5. Верными утверждениями являются:б) если –1<x<3, то значения функции отрицательны; г) у= –4 при х=1.
6. х2–5=0, х2=5, 52,1 ±=х .
Ответ: 52,1 ±=х .
7. При b= 12 ,
.161
1449
)12(9
)12(99
244====
b
Вариант 2.
1. =−−+−ab
baba
aba 22
=+−+−=−−+−=ab
baababab
baabba 222222 )()( .1=abab
2. –х2 + 2х + 15 = 0;х2 – 2х – 15 = 0; по т. Виетах1 = 5, х2 = –3.Ответ: х1 = 5, х2 = –3.
3.
<+>−
456,1263
xx
−<−<
16,96
xx
6х<–9, x<–23 .
х∈
−∞−
211; .
Ответ: х ∈
−∞−
211; .
4. Пусть первое число равно х, а второе – у, тогда можно составить сис-тему.
=−=+
41131
ухух
+−==
xух
41,1722
+−==
хух
41,86
==
.45,86
ух
Т.о. искомые числа равны 86 и 45.Ответ: 86 и 45.
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
61−
x
211−
123
5. Верными являются утверждения:б) если х= –3, то у=0;в) при х>–1 функция убывает.
6. х2–3=0; х2=3; х1,2= 3± .
Ответ: х1,2= 3± .
7. При а= 8 , 41 ⋅а4= ( ) =
48
41 .1664
418
41 2 =⋅=⋅
РАБОТА № 59Вариант 1.
1. ,132 xx
x =+
ОДЗ:
≠
≠+0
032x
x
≠
−≠
.023
x
x;
322 += xx ,
0322 =−− xx ,по т. Виета х1=–1, х2=3.Ответ: х1=–1, х2=3.
2. 22222 222)2())(( cbcbccbcbcbcbbcbcb −=+−=+−−=−−−+ .
3.
−==
⇔
−==
⇔
−=−=+
54,2
52,126
52,74
xy
yxy
yxyx
−==
.1,2
xy
Ответ: (–1;2).4. 9123 ≤+y ,
33 −≤y , 1−≤y .]1;( −−∞∈y .
Ответ: ]1;( −−∞∈y .
5. а) 42 += xy .График – парабола.Ветви вверх.
x 0 1 –1y 4 5 5
б) т. к. ветви параболы направленывверх, то ymin=yвершины=у(0)=4.
Ответ: наименьшее значение функцииy=x2+4 равно 4.
y=x
2+4
y=x2
–1 у
������������������������������������������������
124
6. ( ) 112−=−=− x
axxax
axaxax .
7. Пусть х – кол-во девятиклассников, тогда:х + 0,8х = 162;х = 90, тогда 0,8х = 0,8 ⋅ 90 = 72.Ответ: 90 девятиклассников и 72 десятиклассника.
Вариант 2.
1. xx
x 120
=−
, ОДЗ:
≠
≠−0
020x
x;
≠≠
020
xx
.
xx −= 202 , 0202 =−+ xx ;,51 −=x 42 =x (по т. Виета).
Ответ: ,51 −=x 42 =x
2. =+−−=−−+− 222 3)3())(( caccacaccaca
.3)()3( 2222 acaccaca −=+−+−=
3.
−=+=−
12,72
yxyx
−=+=
12,62
yxx
−==
.2,3
yx
Ответ: (3;–2).4. 624 −≥−y .
44 −≥y , 1−≥y ,);1[ ∞−∈y .
Ответ: );1[ ∞−∈y .
5. а) .32 += xyГрафик – парабола, ветви вверх.
Вершина: .020
0 ==x
330)0( 20 =+== yy .x –1 0 1y 4 3 4
б) т. к. ветви вверх,то ymin=yвершины=у(0)=3.
–1 у
��������������������������������������������
y=x2+3
125
6. bbab
ababab
ab−
=−
=− 1
1)1(2 .
7. Пусть х – кол–во школьников, тогда:х + 0,6 х = 128;х = 80,тогда 0,6х = 0,6 ⋅ 80 = 48.Ответ: 80 школьников и 48 дошкольников.
РАБОТА № 60Вариант 1.
1. ,0485 2 =−− xxD=64+4⋅4⋅5=144.
х1= 10128 − =–0,4. х2= 10
128 + =2.
Ответ: х1= –0,4; х2=2.
2. =
−−
+ ba
bab
abb : =⋅
++−−
ab
abbababb
)())((2
=ab
aaab
aaababb
+=
⋅+=
⋅++−
)()()( 2222
.
3.
−>−<
⇔
−>−<
⇔
<−<+
.4,5
164,153
1943,2173
xx
xx
xx
Решений нет.Ответ: решений нет.
4. ).4(5205 22 nmmnmnnm −=−
5. ⇔
−==⇔
−=−=−⇔
−=−=
xyx
xyxxx
xyxxy
516,16
516,5516
516,5 222
−==
=−=
⇔
−=
=
−=⇔
44
364
5164
,4
yx
yx
xyxx
.
Ответ: (–4; 36); (4; –4).6. а) у=0 при х1= –6 или х2= 0;б) 0>y при );;0()6;( +∞∪−−∞∈xв) функция возрастает на промежутке ).;3[ +∞−
х–4
����������������������������������������
–5
126
7. Если 3<х<4, то 3⋅3<x⋅x=S<4⋅4.9<S<16, 2(3+3)<4x=P<(4+4)2,12<P<16.
Вариант 2.
1. ,0176 2 =+− xx ,25164)7( 2 =⋅⋅−−=D
;61
122
1257
1 ==−=x .11212
1257
2 ==+=x
Ответ: ;61
1 =x .12 =x
2. =
+−
−− aba
baa
bab :
.)()(
:2
222
ba
bbaa
bab
ababaa
bab =
−⋅
−=
−
+−−
=
3.
>−>+24
,132y
y
<−>
2,22
yy
<−>2
,1yy
( ).2;1−∈yОтвет: ( ).2;1−∈y
4. ( ).3292718 22 ababbaab +=+
5.
−=
−=
xxy
xy
4
,4252
−=−=−
xyxxx
425,42542
−==
xyx
425,252 [
−=−=
xyx
4255
=−=
==
455
55
yx
yx
/
Ответ: (–5;45); (5;5).6. По графику видно, что:а) у=0 при х1=0 или х2 =6;б) у<0 при х<0 или х>6;в) функция возрастает на промежутке (–∞;3].7. Если 6<y<7, то6⋅6<y2=S<7⋅7, 36<S<49,4⋅6<4y=P<4⋅7,24< P <28.
��������������������������������
–1 у2
����������������������������������������������������������������
127
РАБОТА № 61Вариант 1.
1. ( ) ( )( ) ( )=−−+=−+−+ 222 55 baababababaa
.55 2222 babbaaba +=+−+=
2.
==
⇔
=−=
⇔
=+=+
.2,1
2,37
52,73
yx
yyx
yxyx
Ответ: (1;2).
3.
≤−≥
⇔
≤−≥
⇔
≤+≤−
.0,5
02,153
626,1631
xx
xx
xx
[ ].0;5−∈xОтвет: [ ].0;5−∈x
4. ;214 xx
=+ ,214 2xx =+ ОДЗ: ,0≠x
,02142 =−− xx по т. Виета х1=–3, х2=7.Ответ: х1=–3, х2=7.
5. а) .5,1+−= xy График – прямая.x 0 1y 1,5 0,5
б) у(0)=1,5.–х+1,5=0х=1,5.График функции
5,1+−= xy пересекает ось х в точкеN(1,5;0), а ось у в точке М(0;1,5).
Ответ: N(1,5;0), M(0;1,5) – точки пере-сечения графика с осями координат.
6. .062 >−− xx
Нули: 062 =−− xx ,по т. Виета х1=–2, х2=3.(х+2)(х–3)>0,х∈(–∞; –2)∪(3; ∞).Ответ: х∈(–∞; –2)∪(3; ∞).
7. .:1 33636
xxxx
== −−
Если ,1,0=x то ( ) .001,01,0 33 ==x
у=–х+1,5
M(0;1,5)N(1,5; 0)
–5 x0
������������������������������������������������������������
x–2 3
128
Вариант 2.
1. ( ) ( )( )=+−−− bababab 3 .33 2222 aabbabab −=+−−
2.
=−=−
63,82
yxyx
+==
yxy
28,2
==
.12,2
xy
Ответ: (12;2).
3.
≤−≤+55
,1013x
x
≥≤0
,93xx
≥≤
.0,3
xx
[ ].3;0∈xОтвет: [ ].3;0
4. .103 xx
=+
,103 2xx =+ ОДЗ: ;0≠x
;01032 =−− xx по т. Виета х1=–2, х2=5.Ответ: х1=–2, х2=5.5. а) .5,2−= xyГрафик – прямая.
x 0 1y –2,5 –1,5
б) у(0)=–2,5х–2,5=0.х=2,5, т. о. график пересекает ось
х точке В(2,5;0), а ось у в точкеА(0;–2,5).
Ответ: А(0;–2,5); В(2,5;0) – Точкипересечения графика с осями у и х.
6. .0432 >−+ xxНули:
0432 =−+ xx ,по т. Виета х1=–4, х2=1.(х+4)(х–1)>0,х∈(–∞; –4)∪(1; ∞).Ответ: х∈(–∞; –4)∪(1; ∞).
7. ;1 253535
3 aaaaa
a ==⋅=⋅ +−−−
−
Если а=0,1, то ( ) .01,01,0 22 ==a
0 x3
���������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������
у=х–2,5
A(0;–2,5)
B(2,5; 0)
x–4 1
129
РАБОТА № 62Вариант 1.
1. ( )( )( )
( ) .:2
22
22
2
2 abba
bbaababa
bba
baab
bab
abab +=
⋅−+−=−⋅
−=
−−
2. ,02 2 =+ xx ( ) ,012 =+xx
01 =x или ,012 =+x .21
2 −=x
Ответ: 01 =x ; .21
2 −=x
3.
≤≥
⇔
≤≥
⇔
+≥−≥−
13,0
33,310
124,2110
xx
xx
xxx
,
х∈[0,3;1].Ответ: х∈ [0,3;1].
4. а) .44 += xyГрафик – прямая.
x 0 –1y 4 0
б) .xy −= График – прямая.x 0 1y 0 –1
в) по графику видно, что у=4х+4возрастает.
Ответ: возрастающей являетсяфункция .44 += xy
5.
=−
=−⇔
=−
=−
134
844
134
,222 xy
xy
xy
xy,
y2–4y–5=0 по т. Виета.
−=
=
−=
25
1
yxyy
==
−=−=
53
13
yx
yx
.
Ответ: (–3;–1),(3;5).
6. ( )( ) .369
6
9
32
9−−−−
−
−
−
−=== aa
aa
a
a При 21=a , .82
21 3
33 ==
=
−−a
x0,3
��������������������������������������������������������������
1
��������������������������������������������������������������������������������
у= –ху=4х+4
130
7. Если 1615 << x и 2120 << y , то 15⋅20<xy=S<16⋅21. 300<xy=S<336.
Вариант 2.
1. ( )( ) =
⋅−+⋅=
+− aaaa
aa
aa
25525
525:
25 2
2
2
2 ( )( )( ) .
55
5555
−=
+−+⋅⋅
aa
aaaa
2. ,04 2 =− xx ( ) .014 =−xx
х1=0 или ,014 =−x ,14 =x .41
2 =x
Ответ: х1=0; .41
2 =x
3.
+<+<−
.234,154
xxx
><
22,64
xx
>
<
1
,46
x
x
>
<
1
,23
x
x .
23;1
∈x
Ответ: .23;1
∈x
4. а) .22 +−= xyГрафик – прямая.
x 0 1y 2 0
.xy = График – прямая.x 0 1y 2 1
По графику видно, что убываю-щей функцией является 22 +−= xy .
Ответ: функция 22 +−= xy яв-ляется убывающей.
5.
=+=−
3,132
yxyx
=+=−
933,132
yxyx
=−+−=
0933,13 2
yxxy
=−+
−=
0103
,32 xx
xy
−=
=
−=
xyxx
32
,5
2
1
по т. Виета
==
=−=
12
85
yx
yx
.
Ответ: (–5;8) и (2;1).
1 x
23
������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������
у=х
у= –2х+2
131
6. ( ) ( ) .2141214121426 −−+−−−− ==⋅=⋅ mmmmmm
При 41=m , .164
41 2
22 ==
=
−−m
7. Если ,1211 << a ,2120 << b то
11⋅20<ab=S<12⋅21,220<S<252.
133
РАБОТА № 63Вариант 1.
1. ( )( ) ( ) =−−−+ yyyy 324210 .201312820210 222 −=+−−−+ yyyyyy
2. ;51
66 =+
+xx
ОДЗ: ,0≠x ;1−≠x
( ) ( ),15616 +=++ xxxx ;55666 2 xxxx +=++
;0675 2 =−− xx
,16965472 =⋅⋅+=D
;21020
10137
1 ==+=x .53
106
10137
2−=−=−=x
Ответ: ;21 =x .53
2−=x
3. ⇔
−==−
⇔
=+=−
44,132
932,132
yyx
yxyx
−==
⇔
−==
⇔
−==+
⇔.1
,61
,1221
,1312yx
yx
yx
Ответ: (6;–1).4. а) .62 −= xyГрафик – прямая.
x 0 3y –6 0
б) ;062 <−x .3<x
Ответ: 0<y при .3<x
5. ( )( ).8181641 2 bbb +−=−
6. –х2 + 10х – 16 > 0;x2 – 10x + 16 < 0; (x – 2)(x – 8) < 0;х ∈ (2; 8).Ответ: х ∈ (2; 8).7. х р. – 100%; 56 р. – 70%;
x2 8
у=2х–6
134
807010056 =⋅=x .
Ответ: 80 р.
Вариант 2.1. (a–4)(a+9)–5a(1–2a)=a2–4a+9a–36–5a+10a2=11a2–36.
2. .42
33 =+
+xx
ОДЗ: 0≠x и ;2−≠x
Преобразуем: ),2(43)2(3 +=++ хxxx
,84363 2 xxxx +=++
;0624 2 =+−− xx
,032 2 =−+ xx( ) 253241 =−⋅⋅−=D ,
;5,146
451
1 −=−=−−=x
.144
451
2 ==+−=x
Ответ: ;5,11 −=x .12 =x
3.
−=−=+
92,1032
yxyx
−=−=+
1842,1032
yxyx
−==
92,287
yxy
−==
.1,4
xy
Ответ: (–1;4).4. а) .42 −−= xyГрафик – прямая.
х 0 –2у –4 0
б) –2х–4>0х<–2.
Ответ: у>0 при х<–2.
5. ( )( ).1101101100 2 +−=− aaa
6. –х2 + 3х – 2 < 0;x2 – 3x + 2 > 0;(x – 2)(x – 1) > 0;х ∈ (–∞; 1) ∪ (2; ∞).Ответ: х ∈ (–∞; 1) ∪ (2; ∞).
у=–2х–4
x1 2
135
7. х р. – 100%;96 р. – 120%;
80120
96100 =⋅=x .
Ответ: 80 р.
РАБОТА № 64Вариант 1.1. 3x2–27=0;x2=9;x1,2=±3;Ответ: x1,2=±3.
2. =−
+
− baa
ba
baa :
( )( )
( ) ( )( ) .
22
ba
aba
abbabaabaab
aba
bbabaaab ==
⋅⋅−−⋅−+=−⋅
⋅−−+=
3. При 31−=y , 2y2+y+3= =+−
−⋅ 3
31
312
2
.9823
913
93
912 =+−=+−⋅=
4. 2x(x–1)>5x–4(2x+1);
2x–2>5x–8x–4; 5x>–2; ,52−>x
.;52
∞−∈x
Ответ: .;52
∞−
5.
−=−−=+
⇔
−=−−=+
1262,52
63,52
yxyx
yxyx
−==
63,77
yxy
−==
.3,1
xy
Ответ:(–3;1).6. y=x2+4x+3. График – парабола,
ветви вверх.Нули: x2+4x+3=0, по т. Виета х1=–3,
х2=–1.
Вершина: ;2124
0 −=⋅
−=x
��������������������������������������
x52−
y=х2+4х+3
136
y0=y(–2)=4–8+3= –1,x –1 –2 –3y 0 –1 0
б) По графику видно, что y<0 при x∈(–3;–1).Ответ: у<0 при х∈(–3; –1).7. Пусть х голосов получил кандидат А, у голосов получил Б.Получаем систему уравнений:
==
=+
=
⋅=
=+
=
=+
56196
25272
,72
72
,252
72
,252
ху
уу
ух
ух
ух
ухух
,
196 – 56 = 140.Ответ: победитель получил на 140 голосов больше.
Вариант 2.
1. 2x2–32=0. x2=16, x= ,16± x1,2=±4.Ответ: x1,2=±4.
2. ( )
( ) =⋅−
−−=
−
− 2
2
2
2:
cb
cbbcbccb
bc
bс
cbc
( )( ) ( ) .2
2
2
2
cbb
ccbbc
cb
cbccbcb
−=
⋅−⋅=⋅
−+−=
3. При41−=a , 3a2+a+1=3· =+−
− 1
41
41 2
.16151
1611
41
1613 =+−=+−⋅=
4. 9x–2(2x–3)<3(x+1), 9x–4x+6<3x+3, 2x<–3,
.211−<x .
211;
−∞−∈x
Ответ: х ∈ .211;
−∞−
5.
=−−=+83
,22yxyx
=−−=+
83,663
yxyx
−−=−=
yxy
22,147
−==
.2,2
yx
Ответ: (2;–2).6. а) y=x2–2x–3.График – парабола, ветви вверх.
��������������������������������
x211−
y=x2–2x–3
137
Вершина: ( ) ;122
122
0 ==⋅−−=x
( ) .432131211 20 −=−−=−⋅−== yy
x –1 1 3y 0 –4 0
б) По графику видно, что y<0 при ( ).3;1−∈x
Ответ: функция y=x2–2x–3 принимает отрицательные значения при( ).3;1−∈x
7. Пусть х голосов получил кандидат А, у голосов получи Б.Составим систему уравнений.
==
=+
=
=+
=14454
19838
,38
198
,38
ху
уу
ух
ухух
,
144 – 54 = 90.Ответ: победитель получил на 90 голосов больше.
РАБОТА № 65Вариант 1.
1. При а= –0,7 и х= –0,3, ( )( ) =−−−−+−=
−+
3,07,03,07,0
xaxa .5,2
410
3,07,01 ==+−
−
2. (m+3)2–(m–2)(m+2)=m2+6m+9–(m2–4)=m2+6m+9–m2+4=6m+13.
3. .2
24
4 xx =−−
x–4–8=2x, x= –12.Ответ: x= –12.
4.
><
⇔
><
⇔
<−<+
04
05,123
252,1973
xx
xx
xx
х ∈ (0;4).Ответ: х ∈ (0;4).
5. а) y=x2–4. График – парабола, ветви вверх.
x 0 –1 1y –4 –3 –3
x0
��������������������������������������������������������������������
4
����������������������������������������������������������������������������������������
138
б) y(–8)=(–8)2–4=64–4=60; 60=60.Равенство верное, значит, точкаА(–8;60) принадлежит графику функ-ции y=x2–4.
Ответ: график функции y=x2–4проходит через точку А(–8;60).
6.
⇔
=−−
−=⇔
=−=−
0406
,6
40,6
2 yy
yxxy
yx по т. Виета
==
−=−=
⇔
=−=
−=−−=
⇔
=
−=−=
.10,4
,4,10
10,610
,4,64
10,4,6
yx
yx
yx
yx
yy
yx
Ответ: (–10;–4); (4;10).7. (2·10–2)2=22·10–4=0,0004;0,0004<0,004,Ответ: (2·10–2)2<0,004.Вариант 2.
1. При а= –0,2 и b= –0,6, =−+−−−−=
+−
)6,0(2,0)6,0(2,0
baba
.21
8,04,0
6,02,06,02,0 −=
−=
−−+−=
2. (y–4)(y+4)–(y–3)2=y2–16–( y2–6y+9)= y2–16– y2+6y–9=6y–25.
3. .3
26
7 xx =++
(х+7)+12=2х,х+7+12=2х.x=19.Ответ: x=19.
4.
>+>−
9152,44
xx
−><
62,0
xx
−><
.3,0
xx
х∈(–3;0).Ответ: х∈(–3;0).
5. а) y= –x2+4. График – парабола, ветвивниз.
Вершина: .02
00 =
−=x
y0=y(0)=0+4=4.
у=х2
у=х2–4
���������������������������
x3−
������������������������������������������������������
0
у= –х2+4
139
x –2 0 2y 0 4 0
б) у(–9)=–81+4=–7785≠–77.
Равенство неверное, значит, точка В(–9;85) не принадлежит графикуфункции y= –x2+4.
Ответ: график функции y= –x2+4 не проходит через точку В(–9;85).
6.
==−
12,1
xyyx
=−+
+=
012
,12 yy
yx
по т. Виета
+=
=
−=
13
4
yxyy
==
−=−=
43
34
xy
xy
.
Ответ: (–3;–4); (4;3).7. (3·10–1)3=33⋅10–3=27⋅0,001=0,0270,027>0,0027.Ответ: (3·10–1)3>0,0027.
РАБОТА № 66Вариант 1.
1. ( )
( )( ) =+−
−−+=+
−−+
2224
244 2
2
2
bbbbb
bb
bb
( )( ) ( )( )( )
( )( ) .2
222
2222
422224 22
−=
+−+=
+−+=
+−+−+=
bbbb
bbb
bbbbb
2. 5x2–8x+3=0,D=64–5⋅3⋅4=4.
1028
1−=x =0,6;
1028
2+=x =1.
Ответ: 1x =0,6; 2x =1.
3. ⇔
−==
⇔
=+=−
⇔
=+=−
3,147
243,1244
243,3
xyx
yxyx
yxyx
−==
.1,2
yx
Ответ:(2;–1).
140
4.
><
⇔
><
⇔
<−<+
.5,1,5,3
32,72
023,812
xx
xx
xx
х∈(1,5;3,5).Ответ: х∈(1,5;3,5).5. а) у(–2)= –3;б) y<0 при –5<x<1;в) функция убывает в промежутке (–∞; –2].6. Пусть х человек учатся в 9-ых классах, тогда:0,52х + 24 = х,0,48х = 24, х = 50.Ответ: 50 человек.
7. 24= .576242 = Т.к.576>556, то 556576 > .
Ответ: 24> .556
Вариант 2.
1. 39
92
2
+−
−+
aa
aa ( )
( )( ) ( )( ) =+−
+−+=+−
−−+=33
3933
39 222
aaaaa
aaaaa
( )( )( )
( )( ) .3
333
3333
39−
=+−
+=+−
+=aaa
aaaa
2. 7x2+9x+2=0; D=92–4·7·2=25.
;11414
1459
1 −=−=−−=x .72
144
1459
2 −=−=+−=x
Ответ: ;11 −=x .72
2 −=x
3.
=−−=+
4,732
yxyx
=−−=+1233
,732yxyx
−==
4,55
xyx
−==
.3,1
yx
Ответ: (1;–3).
4.
>−>−513
,0410x
x
><
63,104
xx
><
.2,5,2
xx
х∈(2;2,5).Ответ: х∈ (2;2,5).5. а) у(2)=3;б) y>0 при х∈(–1;1,5);в) функция возрастает на промежутке (–∞;2].6. Пусть х – всего учебников, тогда:0,62х + 57 = х; 0,38х = 57,х = 150.Ответ: 150 учебников.
��������������������������
x��������������������������
3,51,5
���������������������������
x2
����������������������������������������������������
2,5
141
7. 26= ;676262 = т.к. 676<686, то 686676 < .
Ответ: 26< .686
РАБОТА № 67Вариант 1.
1. =+
⋅
−
baab
ab 2211 ( )( )
( ) .22
22
abba
baabbaba
baab
baba −=
++−=
+⋅−
2. ;12
21 =+
+xx
ОДЗ:
−≠
≠2
0xx
.
x+2+2x=x2+2x,x2–x–2=0;по т. Виета х1=–1, х2=2.Ответ: х1=–1, х2=2.
3. 2(1–х)≥5х–(3х+2);2–2х≥5х–3х–2;4х≤4; х≤1.х∈(–∞;1].Ответ: х∈ (–∞;1].
4. а) у= –2х+4.График – прямая.
x 0 2y 4 0
б) у(36)= –72+4=–68; –68= –68.Равенство верное, значит, точка
М (36;–68) принадлежит графику функцииу= –2х+4.
Ответ: график функции у= –2х+х прохо-дит через точку М(36;–68).
5.
+=−=
⇔
−==−
⇔
=−=−
yxy
xyyx
yxxx
38,105
62,1662
62,83
=−=.2
.2xy
Ответ: (2;–2).
6. .2040010581058 ==⋅⋅=⋅⋅
7. х2 – 0,49 < 0;(х – 0,7)(х + 0,7) < 0,х ∈ (–0,7; 0,7).Ответ: х ∈ (–0,7; 0,7).
����������������������������������������������
x1
у=–2х+4
x–0,7 0,7
142
Вариант 2.
1. =−
⋅
−
bab
ab
ba
( )( )
( )( )( ) .
2222
aba
baababa
baaba
bab
abba +=
−⋅+−=
−⋅−=
−⋅−=
2. .14
33 =+
−xx
ОДЗ: х≠0, х≠–4,
3(х+4)–3х=х2+4х,х2+4х–12=0;по т. Виета х1=–6, х2=2.Ответ: х1=–6, х2=2.3. 3х–(2х–7)≤3(1+х); 3х–2х+7≤3+3х.2х≥4, х≥2,х∈[2;∞).Ответ: х∈ [2;∞).4. а) у=2х+6.График – прямая.
x 0 –3y 6 0
б) у(–42)=84+6=–78; –78≠90.Равенство неверное, значит, точка
N(–42;–90) не принадлежит графику задан-ной функции.
Ответ: точка N (–42;–90) не принадлежитграфику функции у=2х+6.
5.
=−−=−83
,14yxyx
=−−=−
83,3123
yxyx
−==
14,1111
yxy
==
.3,1
xy
Ответ: (3;1).
6. .12144683683 ==⋅⋅=⋅⋅7. х2 – 0,16 > 0;(х – 0,4)(х + 0,4) > 0х ∈ (–∞; –0,4) ∪ (0,4; +∞).Ответ: х ∈ (–∞; –0,4) ∪ (0,4; +∞).
����������������������������������
x2
y=2x+6
x–0,4 0,4
143
РАБОТА № 68Вариант 1.
1. ( ) ( )( )
( ) .212
21221
1422
1142
22
2
2
2
bb
bbb
bbbbb
bb
bbb −=−=
⋅++⋅−=+⋅
+−
2.
>−>+1331
,0102x
x
−<−>123
,102xx
−<−>
.4,5
xx
х∈(–5;–4).Ответ: х∈(–5;–4).
3. 25
13
9 =−−+ xx,
5(х+9)–3(х–1)=2; 5х+45–3х+3=30; 2х= –18; х= –9.Ответ: х = –9.
4. а) у= –2х2. График парабола, ветви вниз.Вершина: х0=0; у0=у(0)= –2·0=0.
x –1 0 1y –2 0 –2
б) у(3,5)= –2·(3,5)2= –2·12,25= –24,5.Значит, –24,5= –2·(3,5)2 – верное равенст-
во, значит, точка М(3,5;–24,5) принадлежитграфику функции у= –2х2.
Ответ: график функции у= –2х2 проходитчерез точку М(3,5;–24,5).
5. 3х2–2х–1<0.Нули:3х2–2х–1=0;
( ) ;4311314
2 =+=−⋅−=D
;31
321
1 −=−=x .133
321
2 ==+=x
(х+31 )(х–1)<0,
х∈(–31 ; 1)
Ответ: х∈ .1;31
−
���������������������������
x5−
������������������������������������������������������
–4
y=–2x2
x
31−
1
144
6. ⇔
−==−⇔
=+=+⇔
=+=+
xyxx
yxyx
yxyx
2,04
844,84
2,84 222
−==
==
.2,4
,2,0
yx
yx
Ответ: (0;2);(4;–2).7. 1,2 ⋅ 10–4 V 0,2 ⋅ 10–3; 0,00012 < 0,0002.Ответ: 34 102,0102,1 −− ⋅<⋅ .
Вариант 2.
1. ( ) =+−⋅+=
−++
2312
32:2
222 aaa
aa
aaa
aa ( )( )
( ) .312312
aa
aaaa −=
+⋅−+
2.
<−<+
832,055
yy
−>−<
63,55
yy
−>−<
.2,1
yy
у∈(–2;–1).Ответ: у∈ (–2;–1).
3. ,35
12
4 =−−− xx
5(х–4)–2(х–1)=30,5х–20–2х+2=30, 3х=48; х=16.Ответ: х=16.4. а) у=2х2. График – парабола, ветви вверх.
x 0 –1 1y 0 2 2
б) у(–4,5)=2·(–4,5)2=2·20,25=40,5. 40,5=40,5Т. к. равенство верное, то точка
N(–4,5;40,5) принадлежит графику функцииу=2х2.
Ответ: точка N (–4,5;40,5) принадлежитграфику функции у=2х2.
5. 2х2–3х–5>0.Нули:2х2–3х–5=0;
D=(–3)2–4·2·(–5)=49, х1= 473 − =–1, х2= 4
73 + =2,5.
(х+1)(х–2,5)>0.( ) ( ).;5,21; ∞∪−∞−∈x
Ответ: х ∈ ( ) ( ).;5,21; ∞∪−∞−
��������������������������������������������������������
у2−
�����������������������������
–1
y=2x2
y=x2
x-1 2,5
145
6.
=+−=−
3,932
yxyx
−=−
=+
93
,9332 yx
yx
−==+xy
xx3
,032
−=
==
xyyx
3,3
0
=−=
==
63
30
yx
yx
.
Ответ: (0;3); (–3;6).7. 0,5 ⋅ 10–3 V 5,3 ⋅ 10–4;0,0005 < 0,00053.Ответ: 43 103,5105,0 −− ⋅<⋅ .
РАБОТА № 69
Вариант 1.1. (3х + 18)(2 – х) = 0;3x + 18 = 0; или 2 – х = 0;х1 = –6; х2 = 2.Ответ: х1 = –6; х2 = 2.
2. caca
cacacacaca
cac
caac
caa
+−=
−++−−=
−+
−−
+ 22
22
2222 .
3. 2х – 4(х – 8) ≤ 3х + 2;–2х + 32 ≤ 3х + 2;5х ≥ 30; 6≥x ,х ∈ [ )∞;6 .Ответ: х ∈ [ )∞;6 .
4.
−−==
62,
xyxy
=−=
63,
хху
−=−=
.2,2
yx
Ответ: (–2; –2).
x6
������������������������������������������������������������������������������������������
146
5.
=−
=−
14
,12yx
yx
=−+
+=
141
,12yy
yx
==
1,0
xy
или
=
=
411
41
x
y
Ответ: (1; 0); (411 ;
41
).
6. 2х2 + 7х – 4 = 0;D = 49 + 32 = 81;
х1=–4, х2= 21 .
2х2 + 7х – 4 = (х + 4)(2х – 1).7. х – 100%;126 – 90%;
14090
100126 =⋅=x .
Ответ: 140 юбок.
Вариант 2.1. (6 – х)(5х + 40) = 0;6 – х = 0 или 5х + 40 = 0;х1 = 6; х2 = –8.Ответ: х1 = 6; х2 = –8.
2. ( )( ) baba
babaabbababa
baab
bab
baa
−+=
+−++−+=
−+
+−
−22 22
22 .
3. 12х – 16 ≥ 11х + 2(3х + 2);х – 16 ≥ 6х + 4;5х ≤ –20; х ≤ –4.х ∈ (–∞; –4].Ответ: х ∈ (–∞; –4].
4.
+=
−=
321
,
xy
xy
−=
−=
xy
x ,323
=−=22
yx
.
Ответ: (–2; 2).
x–4
147
5. −
=−=+
442 2
yxyx
+==+
yxyy
4,02 2
+=
−=
=
yx
y
y
421
,0
==
=
−=
.4,0
,213
,21
xy
x
y
Ответ: (21;
213 − ); (4; 0).
6. 5х2 – 3х – 2 = 0;
D = 9 + 40 = 49; х1=1, х2=–52 .
5х2 –3х – 2 =(х – 1)(5х + 2).7. х – 100%;195 – 130%;
150130
100195 =⋅=x .
Ответ: 150 батонов.
РАБОТА № 70
Вариант 1.
1. ( )( ) a
babaaababab
baa
abab 22
2 : =−−=⋅
−−.
2. 5(х + 2) < x – 2(5 – x);5x + 10 < x – 10 + 2x;2x < –20;
x < –10,х ∈ (–∞; –10).Ответ: х ∈ (–∞; –10).
3. +⋅
=+=− 2
145523
yxyx
=−=
523,1111
yxx
−==
11
yx
.
Ответ: (1; –1).
x–10
148
4. 12152
=+xx
. ОДЗ: х≠0.
х2 – 2х – 15 = 0, по т. Виетах1 = 5, х2 = –3.Ответ: х1 = 5, х2 = –3.5. у = х2 + 4х.
6. Q = cm(t2 – t1); cmt2 = Q + cmt1;
cmcmtQ
t 12
+= .
7. Если 23=a и
36=с , то 2
323
36
2322 =⋅=⋅⋅=ac .
Вариант 2.
1. ( )( ) 22
22:
xy
yxyxyxyxy
yxy
xyxy
=+
+=
+⋅
+ .
2. 2 – 3(х – 5) > 5(1 – x);2 – 3x + 15 > 5 – 5x;2x > –12; x > –6.
x–6
х ∈ (–6; ∞).Ответ: х ∈ (–6; ∞).
3. ( )
+−⋅
=−=+ 3
1426132
yxyx
=+−=
132,1111
yxy
=−=.2
,1xy
Ответ: (2; –1).
4. 15142
=−xx
. ОДЗ: х≠0.
х2 + 5х – 14 = 0; х1 = –7, х2 = 2. (по т. Виета).Ответ: х1 = –7, х2 = 2.
149
5. у = х2 – 4х.
6. S = 2πr(r + H);2πrH = S – 2πr2;
rrSH
ππ
22 2−= .
7. Если 32=а и
210=х ,
то 52
10210
3233 ==⋅⋅=ax .
РАБОТА № 71
Вариант 1.
1. ( ) 122431 −=+ xx ;
4х + 2 = 6х – 3;х = 2,5.Ответ: х = 2,5.
2. ( )
( )( ) yxyx
yxyxxyxyx
yxx
xxyy
551533
15
2
22
22
−=
−++=
−⋅+
.
3. 7(1 – x) < 20 – 6(x + 3);7 – 7x < 20 – 6x – 18;x > 5.
x5
х ∈ (5; ∞).Ответ: х ∈ (5; ∞).
150
4.
=+=
36,13
yxxy
=−
−=
1189
,632xx
xy
18х2 – 9х + 1 = 0; D = 81 – 72 = 9;
=
=
=
==
261
131
3612
y
x
y
x
Ответ: (31
; 1); (61
; 2).
5. у = х2 – 3.
6. 3х2 + 5х + 2 = 0;
D = 25 – 24 = 1; х1=–1; х2=–32 .
3х2 +5х + 2 =(х + 1)(3х + 2).
7. Если 64,0и04,0 == ca , то 2,48,058,02,0
11 =−=−=− ca
.
Вариант 2.
1. ( )2341122 +=− xx .
8х – 48 = 3х + 2; 5х = 50; х = 10.Ответ: х = 10.
2. ( )( )
( )( )
xzzx
xzzхxхzxzx
xzzx
xzx −=
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−=
+⋅− 2
3236
3 22
22.
151
3. 8 – 5(x + 2) < 4(1 – x);8 – 5x – 10 < 4 – 4x; x > –6,
x-6
х ∈ (–6; ∞).Ответ: х ∈ (–6; ∞).
4.
==−
12,14
xyxy
=−
−=
128
,142 yy
yx
8у2 – 2у – 1 = 0;
9814
=+=D ;
−=
−=
=
=
241
121
x
y
x
y
Ответ: (1; 21
); (–2; 41− ).
5. у = 5 – х2.
6. 2х2 – 7х + 6 = 0;D = 49 – 48 = 1;
х1=2, х2=23 .
2х2 –7х + 6 = (х – 2)(2х – 3);
7. Если 25,0и16,0 == cb , то 6,124,05,0
14,01 −=−=−=−c
b .
152
РАБОТА № 72
Вариант 1.
1. 0341 2 =−− xx ;
х2 – 4х – 12 = 0;по т. Виетах1 = 6, х2 = –2.Ответ: х1 = 6, х2 = –2.
2. ( )
( )( ) ( )caa
cacaccaac
acac
cacc
−=
−++=
+−⋅ 22:2 2
2
2
2
22 .
3. Пусть одно число а, тогда можно составить уравнение.–а + 1,5а = 7; 0,5а = 7;а = 14; 1,5а = 21.Ответ: 14 и 21.4. а)
б) по рисунку видно, что у>0 при
∞−∈
25 ;x .
5.
>+−>+
085,234
xxx
−>
<
58
,3
x
x
����������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
x–1,6 3
х ∈ (–1,6; 3).Ответ: х ∈ (–1,6; 3).
153
6. 2х2 ≤ 32; х2 ≤ 16;(х – 4)(х + 4) ≤ 0,
x–4 4
х ∈ [–4; 4].Ответ: х ∈ [–4; 4].
7. HRV 231 π= ;
HVR
π32 = ;
HVR
π3= .
Вариант 2.
1. 09431 2 =+− xx ;
х2 – 12х + 27 = 0; по т. Виетах1 = 9, х2 = 3.
2. ( )
( )( ) cbb
cbcbccbcbc
ccb
ccbbc
+=
+−−⋅⋅=−⋅− 33
3:
22
22.
3. Пусть одно число а, тогда можно составить уравнение.2,5а – а = 9;
923 =a ;
а = 6, тогда 2,5а = 2,5 ⋅ 6 = 15.Ответ: 6 и 15.4. а)
б) по графику видно, что у<0 при
−∞−∈
23 ;x .
154
5.
>+−>+
0410,8472
xxx
−><
−>
<
5,2,5,7
410
,152
xх
x
x
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������� x–2,5 7,5
( )5752 ,;,x −∈ .Ответ: ( )5752 ,;,x −∈ .
6. 3х2 ≥ 75; х2 ≥ 25; (х – 5)(х + 5) ≥ 0,
x–5 5
х ∈ (–∞; –5] ∪ [5; +∞).Ответ: х ∈ (–∞; –5] ∪ [5; +∞).
7. 4
2dS π= ;πSd 42 = ;
ππSSd 24 == .
154
ВТОРАЯ ЧАСТЬЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ1.1. =−−+ yyxxyx 33 22 ( ) ( )xyxyyx −+−3 ( )( ).3 xyyx −−=
1.2. =−+− aabbba 22 22 ( ) ( )( ).2)(2 −+=+−+ abbababaab
2.1. ( ) ( ) ( )( ) ( )=−−+−=−−−=+−− bababababababa 2222 2222
( ) ( )( )12 −+−= baba ( )( ).122 −+−= baba
2.2. ( ) ( )=−−−=+−− 2222 333 yxyxyxyx( ) ( )( ) ( )( ).3313 yxyxyxyxyx −−−=+−−−=
3.1. ( ) ( ) ( )++=−++=−++ xyxyxyxyyx 24242 222
( )( )xyxy 22 +−+ ( )( ).212 xyxy −++=
3.2. ( ) ( )=−−−=−+− 2222 9393 babaabba( ) ( )( ) ( )( ).313333 bababababa −−−=+−−−= .
4.1. ( ) ( ) ( ) ( ) =+−+=+−+=+−− aabaabaabaaabaaba 112232223
( )( ).1))(1( 2 baaaabаа −+=−+=
4.2. ( ) ( ) ( ) ( ) =+−+=+−+=+−− yxxxyxxyxxyxxxyxyx 2232322
( )( ).1))(( 2 −+=−+= xyxxxxyx
5.1. ( )=+−−=−+− 2222 2121 yxyxyxyx
( ) ( )( ).111 2 yxyxyx −++−=−−=
5.2. ( )=+−−=−+− 222222 91899189 cbcbacbcba
( ) ( )( ).333333 22 cbacbacba −++−=−−=
6.1. ( )=−+−=−+− 125102250202 2222 yxyxyxyx
( )( ) ( )( ).15152152 2 +−−−=−−= yxyxyx
7.1. ( ) ( ) ( ) ( )=−−−=−−−=+−− 2422442244 11 acaccaccaccaccac( )( )=−−= 241 cca ( )( )( ).1112 +−− ccac
7.2. ( ) ( ) =−−−=+−− 1123323 yxyxxxxyyx
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).11111111 2223 −+−=−+−=−−+−= xyxyxyxyxyxyyx
155
8.1. ( ) ( ) =+−−+−=−++−− xxyaxbybabxbxyaxybab 222222
( ) ( ) ( )( ).111 22 xbyayaxyab −+−=+−−+−=
8.2. ( ) ( ) ( ) =−+−−−=−++−− cabbcabacbacbcabacabba 2222
( ) ( ) ( ) ( )( ).1+−−=−+−−−= bacabcabcabbcaba
9.1. ( ) ( )=+−−+−=+−+−− bbxbxaaxaxabbxbxaxax 2222 2222
( ) ( ) ( ) ( ).11212 222 baxxxbxxa −−=+−−+−=
9.2. =+−−−+ bccycybyby 4444 22 ( ) ( ) ( ) =−−−+− bccybycyby 44422
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .24444 222 +−=++−=−+−+−= ycbyycbcbcbycby
10.1 (х2 + у2)3 – 4х2у2(х2 + у2) = (х2 + у2)((х2 + у2)2 – 4х2у2) == (х2 + у2)(х2 + у2 – 2ху)(х2 + у2 + 2ху) = (х2 + у2)(х – у)2 (х + у)2 == (х2 + у2)(х – у)(х – у)(х + у)(х + у) = (х2 + у2) (х2 – у2) (х2 – у2) == (х4 – у4)(х2 – у2), ч.т.д.
10.2 4а2b2(a2 + b2) – (a2 + b2)3 = (а2 + b2)(4а2b2 – (a2 + b2)2) = (a2 + b2) хх (2ab – a2 – b2)(2ab + a2 + b2) = – (a2 + b2)(a2 – 2ab + b2)(a + b)2 == – (a2 + b2)(b – a)2(a + b)2 = (a2 + b2)(b – a)(a – b)(a + b)(a + b) = (a2 + b2) хх (b2 – a2)(a2 – b2) = (b4 – a4)(a2 – b2) = (b2 – a2)(a4 – b4), ч.т.д.
11.1. ( ) ( ) ( ) =−
−−−
−−−=
−−
−−−
2222:
2942
222:
294
aaaa
aaaa
aaa
aaa
=−−⋅
−+−=
−−−
−+−−=
aaa
aaa
aaaa
aaaa
622
296
2242:
2942
2
222
= ( ) ( )( ) ( ) .
23
32223 2
aa
aaaaa −=
−⋅−−⋅−
Ответ: .2
3a
a −
11.2.
−−−
−−
4256:
433
xxx
xxx =
43123 2
−−−
xxxx :
425642
−+−−
xxxx =
=2510
44153
2
2
+−−⋅
−−
xxx
xxx =
2)5()5(3
−
−
xxx
=5
3−xx .
12.1. =
−
+−
++−
+ xyyxx
yxyxx
yxx
21
42:
444
22
2222
2
( ) ( )( ) =
−
++−
+−
+=
xyyxyxx
yxx
yxx
21
222:
2
42
22
2
156
( )( )
( )( )( ) =
+−+−
⋅+
−+=
yxxyxyx
yx
xyxx22
22
2
4222
2
( )( )( )
=−
+−⋅
+ yyxyx
yxxy 22
22
2
( )( )( ) ( )
( ) ( ).2
222
222
2222 yx
xyxyx
yxxyyx
yxyxxy+−=
+−−=
−⋅++−⋅=
12.2. =
−+
+
++−
+ 22
2
22
32:
2 aba
baa
abbaa
baa
=( )
( )ba
aababba
abbabaab
aaabba
abaa+
−=+
−+=
−+−
+−+
2
2
22
22
2
323 ))((:
)(.
13.1. =−
⋅
+
−−
−
+2
22
22 5
25
5
5
5
5
yxy
xyxyx
xyxyx
( ) ( )( )( ) =−⋅
+−−−+=
2
2222
525
5555
yxy
yxyxxyxyx
( )( )( )( )( )
=⋅+−
−−+++−+= 2
22
555255555
yyxyxxxyyxyxyxyx .4
5
2102 yyx
xy−=
⋅−
⋅⋅
13.2. =−⋅−
+−−=−
−+−
+−
2
22
22
22
22
2
22 44
)4()2()2(
44:
22
22
bab
baababa
abb
ababa
ababa
=bba
ab 24
82
=⋅−
− .
14.1. =+−
−++ 2
2
21:
111
aaa
aa ( )( )
( )=
−−+−+
2
2
1:
1111
aa
aaa
( ) ( ) .1111
112
2
2
22−=−⋅=−⋅
−+−= a
aaa
aa
aa
14.2. =+−
+
−
++2
2
44
4:
282
yyy
yy
= .2)2)(4(
)2)(4(
4
)2(2
842
22
2
22−=
−+
−+=
+
−⋅
−+− y
yyyy
yy
yy
15.1. =
−++
+−
−++−
2
2
22 3279
33
93:
362443
xx
xxxx
xxx
( )( ) ( ) ( )
( )( ) =
+−+−−−+
+
−=333
9393:34
3 22
2 xxxxxxxx
xx
157
( )( )( )
( )×
+−=
−−+−++−⋅
+−=
23232 343
92793333
343
xx
xxxxxxxx
xx
( )( ) =+−+−×27183333
2 xxxxx ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ⋅+
=−⋅+
+−⋅−343334
333322 x
xxx
xxxx
15.2. =+
+−⋅
−−
−
+−
+ 448243
44
644
16164
2
22
2
yyy
yyyy
yy
= =+
+−⋅
−
+−+−−4
48243
)16(4
)4(16)16()4( 2
2
22
yyy
yyyyyyy
= =+−
⋅−
−−−−−4)4(3
)16(4
6416164 2
2
323
yy
yyyyyyy
=y
yyy
yyyyy 312)4(3
)4)(16(4
)4(3)4(42
22 −=
−−=
+−
−⋅+−.
16.1. =
+−+−
++
−+
− 5285:
51
55
25
2
2 xxx
xxxx
( ) ( )( )( ) ( )( ) =+⋅
+−−+−−=
+−+−
+−−++−=
35
555255
52825:
55555 22 x
xxxxx
xxx
xxxxx
( )( )( )( )
( )( ) .5
105
103555103
35
55303
xx
xx
xxxxx
xxx
−+=
−+=
⋅+−++−=+⋅
+−−−=
16.2. =
−
+−
++
−+
+−
aaa
aa
aa
35
931:3
312
2
2
= =
−
+−+−+
−+−9
)3(53:
3912
2
22
aaaa
aaa
=6
36
3183
)3)(3(3
3+−=
−−−=
−−+−
⋅+ a
aa
aa
aaa
.
17.1. ( ) =+−
+−⋅
−−
+−
ababa
baab
baababa
2
2
222 :1
( )( )
( )( )( ) =
−+⋅
+−−−
+−=
babaa
bababa
baaba
2
2 ( )( )( ) ( )( )( )+−
−−+−−
babaabaabababa
2
2х
х ( ) =−+babaa ( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( ).
2
22
bab
bababba
bababaababa
+=
+−
⋅−=−+−
−+−=
158
17.2. ( )
( )=
+⋅
+
−−
−
+
− 2
2
22222
24
2
2
2:
41
yyx
xyxyx
xy
yxyx
= =+
⋅
+
−−
+−+−
2
2
2
2 )2(
24
2)2)(2)(2(
)2(
yyx
xyxyx
yxyxyxxy
= =+
⋅
+−
−+
+−2
2
2)2(
)2(22
)2(
2
yyx
yxxyx
yxxy
= =+−−
=+−
−−
2
222
22 2
424
2
)2)(2(2
xyyxxyx
xyyxyx
yyx
=22
)2(
xyxyy −
=xy
xy2
2−.
18.1. ( )( ) ( )( ) ( )( ) =−−
−−−
−−− xyxzzxzyzyyx
111
( )( ) ( )( ) ( )( ) =−−
−−−
−−−
=yxzxzxzyzyyx
111
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) =
−−−+−+−−=
−−−−−−−−=
zxzyyxzyyxzx
zxzyyxzyyxzx
( )( )( ) 00 =−−− zxzyyx
,
ч.т.д.
18.2. ( )( ) ( )( ) ( )( ) .0111 =−−
+−−
+−− bcaccbabcaba
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) =−−
−−−
=−−
+−− cbbacabacbabcaba
1111)1
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) =
−−−−=
−−−+−−=
−−−−−−=
cbcabaab
cbcabacacb
cbcabacacb
( )( )( )( ) ( )( );1
cbcacbcababa
−−−=
−−−−−=
2) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ,01111 =−−
+−−
−=−−
+−−
−cbcacbcabcaccbca
ч.т.д.
19.1. ( )( ) ( )( ) ( )( ) =−−
+−−
+−− 43
132
121
1yyyyyy
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) =
−−−−−−+−−+−−
=4321
214143yyyy
yyyyyy
( )( )( )( ) =−−−−
+−++−++−=4321
2345127 222
yyyyyyyyyy
159
( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( ) ,41
36541
6534321
181532
22
−−=
+−−−+−
=−−−−
+−=
yyyyyyyy
yyyyyy
ч.т.д.
19.2. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ).71
375
153
131
1−−
=−−
+−−
+−− xxxxxxxx
1) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) =−−−
−+−=−−
+−− 531
1553
131
1xxx
xxxxxx
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( ) ;51
2531
32531
62−−
=−−−
−=−−−
−=xxxxx
xxxx
x
2) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) =−−−
−+−=−−
+−− 751
114275
151
2xxx
xxxxxx
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( ) ,71
3751
53751
153−−
=−−−
−=−−−
−=xxxxx
xxxx
x ч.т.д.
20.1. ( ) =+−⋅
−+−
+−
− 2
2
2
2
22
44
22 ccc
cc
cc
cc
( ) ( )( )( )
( )( ) =
+−⋅
+−++−−+=
ccc
ccccccc
22
22422 22
( )( ) ⋅+−
+++−+22
422 222
ccccccc
х
х( )( )+−
22 2
ccc
( )( )( )
( ) ( )( ) ( ) .2
2222
22
244 22
cc
ccccc
ccc
ccc −=
+⋅+−⋅+=
+−⋅
+++=
20.2. ( )
=
−−
−++
+−
+xx
xxx
xx3
399
33:
3
32
2
2
2
=( )
=
−++++−
−
+
993993:
3
)3(2
2
2 xxxx
x
xx
=( ) 3)3)(3(
)3(
96
)3)(3(
3
)3(2
2
22 −=
+−
+=
++
+−⋅
−
+x
xxx
xxxxxx
x
xx.
21.1. =−
+−
−⋅
+−−
− 612
836
36122
6
2
2 mm
mm
mmm
mm
( )( )
=−
+−
−⋅−
−−=6
128
36
6
26 2
2 mm
mm
mmmm
( )( )( )
( ) ( )=
−+
−⋅−
−−=−
+−
−⋅−
−−=6
1286
3686
128
366
262
222
2
2
mm
mmmmm
mm
mm
mmmm
160
( ) ( )( )( ) ( )
=−
+−⋅−
+−⋅−−=6
12
86
6682 m
mmm
mmmm
( ) ( ) .66
6126
612
66 2
mmmm
mmmm
mm
mmm −=
−−−=
−+−−=
−+
−+−=
21.2. =−
+−−
+−−
− 424
166:
1686
43
22 nn
nn
nnn
nn
= =−
+−
+−⋅
−−−
424
6)4)(4(
)4(6123
2
2
nn
nnn
nnnn =
−+
−−+−
424
)6)(4()4)(6(3
nn
nnnnn
= =−
+−+
424
)4()4(3
nn
nnn
4)4(3
431224 2
−−
=−
−−n
nnn
nnn =–3n.
22.1. =
−−
−⋅
+−
+ xyxy
xyxy
xyyx
yx 223
2
21
( ) ( )( )( )
( )( ) =
+−+⋅−
+−⋅
+−=
yxyxxyxy
yxyxxy
yxyxy 2
( )( )
( )( ) ( ) ( ) =+
−−⋅
+−=
+−+−
⋅+−
=yxx
yxyyyxyyxyxx
yxyyyxy
xy 222 1( ) ( )
.122 yxyxxy
xy
+=
+
22.2. =
−−
−+
−
−− 222
:1bab
bababa
baabab
= =
−−+
−−
)(:
)(
2
baabbabab
baaab
bab
bbaab
baaab −=
−⋅
−−
2)(
)(.
23.1. ( )
( ) =+
−−⋅
−+
− 252
42
2
3 222 x
xxxx
( )( )
( )( )( ) =
+−
+−−+
−
−=2
522
22
2
23 2
2
2
xx
xxx
xx ( ) =
+−
+−+
25
2223
xx
xx
( ) ( ) .2
22
542632
52223+
=+
−−++=+
−−++=xx
xxxx
xxx
23.2. ( )
( ) =+
−−⋅
−+
− 353
93
32 2
22 xxx
xx
=3
33
5335
35)3(
)3)(9(9362 2
2 +−=
+−
+−=
+−−⋅
−−=++
xxx
xx
xxx
xxx .
161
24.1. =
−−−
+
−−
+−−
−+ 111:
44
22
22
2232
2
aa
aaaa
aa
aa
( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
=
++−
+⋅+−−
+
+−+
+−−
−+=
11
111
11:
224
22
22
2
2
22
2
aaaa
aaaa
aaaaa
aa
aa
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
=+⋅
+−+−−+−
+−−+=1
1111:22
4222
2222
aaaaaa
aaaaa
( )( )( ) =
−−+−+⋅⋅
+−+−+−++=
232
2222
111
2244444
aaaaa
aaaaaaa
( )( )( ) ( )
( )( )( ) =
−+⋅
+−+=
−+⋅
+−+=
aa
aaaa
aaa
aaaa 1
22241
2284
3
22
aa
aa
−+⋅
−= 1
24 .
244
−+=
aa
24.2. =
−−
+−−
−+
−−+
− 22
2
223
2 4:2ba
aabab
abba
bbba
abba
= =
−−−++
−−−−−
)()()(4:)(2)(
22
222
23
22
ababbaa
abbabbbaa
= =+−⋅
−+−+−−
abaab
abbabbabbaa
44)(222
2
22
2
2222
=ba
baab
babababababbab
434
4
)34(
))((4
))(34(22
222 −=−
=+−
−− .
25.1. =−
⋅
++
−−−+
− 3212
4364
43
2 xx
xx
xxx
x
=−
⋅−+
−+−++=32)4)(1(
)4(264)1(3xx
xxxxxx
=−−+
⋅−−=−−+
⋅−+−++=)32)(4)(1(
)32()32)(4)(1(
)826433( 22
xxxxxx
xxxxxxxx
(по т. Виета)
.4)32)(4)(1(
)32)(1(−
=−−+⋅−+=
xx
xxxxxx
Ответ : 4−x
x .
162
25.2. =−
⋅
++
−+−+
− 5232
6213
22
2 xx
xx
xxx
x
= =−+−
−+−++)52)(3)(2(
)4221362( 2
xxxxxxxx
)52)(3)(2()152( 2
−+−−+
xxxxxx
Разложим 2х2 + х – 15 на множители:2x2+x–15=0; D=1+120=121,
x11 11
4124
3=− −
=−
= − ;
x21 11
4104
52
2 5=− +
= = = , .
2x2+x–15=2(x+3)(x–2,5)=(x+3)(2x–5).
Тогда дробь примет вид: 2)52)(3)(2(
)52)(3(−
=−+−
−+x
xxxx
xxx .
26.1. x
x xx
x x x+−
−+ −
−−
=4016
43 11 4
16163 2 2:
;16
164113
4:)16(
40222
−+
−+−
−+=
xxxx
xxx
Разложим 3х2 + 11х – 4 на множители:;04113 2 =−+ xx
,16948121 =+=D
;4624
61311
1 −=−=−−=x
.31
62
61311
2 ==+−=x
( ) ( )( ).13431434113 2 −+=
−+=−+ xxxxxx
Тогда дробь примет вид:
=−−+
−+−−−
+)13)(4)(4(
)13(16)4)(4(:)16(
402 xxx
xxxxxx
=−++−
−−+⋅−
+=1648168)13)(4)(4(
)16(40
22 xxxxxx
xxx
=+
−−⋅−
+=+
−−⋅−
+=)40(
)13)(16()16(
4040
)13)(16()16(
40 2
22
2
2 xxxx
xxx
xxxx
xxx
.132x
x −=
163
26.2.
−−
++−
−−
11
1321:4
223 xxxx
xxx
Разложим 2х2 + 3х +1 на множители:2х2 + 3х +1 = 0
112432 =⋅⋅−=D
;144
413
1 −=−=−−=x .21
42
413
2 =−=+−=x
( ) ( )( ).1212112132 2 ++=
++=++ xxxxxx
Тогда дробь примет вид:
=
+−+
+−−−
−)12)(1)(1(
)12()1(:)1(
4 2
2 xxxxx
xxx
=2222
2 12)4(
)12)(4(
)1212)(1(
)12)(1)(4(
xx
xxxxx
xxxxxxxx +=
−
+−=
−−+−−
+−− .
27.1. −
++−⋅
+−−
xx
xx
xxx
21232
25249
2
2;
Разложим 2х2 – 5х + 2 на множители:2х2–5х+2=0;D=25–16=9,
;21
42
435
1 ==−=x .248
435
2 ==+=x
( ) ( )( ).2122212252 2 −−=−
−=+− xxxxxx
Тогда дробь примет вид:( )( )( )( ) =
−+
+−⋅
−−+−
xx
xx
xxxx
21232
1222323
= ( ) .212
1221224
1223
121223 −=
−−−=
−+−=
−−+−=
−−
−+−
xx
xx
xxx
xx
xx
27.2. ;3
492123:
37294
2
2
xx
xx
xxx
−−+
−+
+−−
Разложим 2х2–7х+3=0 на множители:2х2–7х+3=0;D=49–4·2·3=49–24=25,
;21
42
457
1 ==−=x .34
124
572 ==+=x
164
( ) ( )( ).3123212372 2 −−=−
−=+− xxxxxx
Тогда дробь примет вид:
=−−+
+−−−+−
xx
xxxxxx
349
)23)(3)(12()21)(32)(32(
332
−−−
xx +
xx
−−
349 =
= 23
263
3249 =−−=
−−+−
xx
xxx .
28.1. =+
−−+
−+−
24
4:
2223
2 cc
cc
cc
cc
( )( )( ) ( ) =
+−−−
+−=
+−
⋅++−−
+−=
242
223
24
222
223
ссс
сс
сс
ссссс
сс
( ) =+−+−−=−−
+−−= 2
222
2423 с
ссс
ссс .121 сс −=+−−
28.2. =−+−
−−−
− 11
110:
110
12
2 xx
xxx
= 21
111
12)1(10
)1)(1(10−−=
−−+−−=
−−−+
−+−
− xx
xxx
xx
xx .
29.1. ( )
=−
−++−
+− 222 221:
22
12 aaaa
aaa (по т. Виета)=
( ) ( )( ) ( ) =−⋅
−+
+−−
= 22 22
122
1a
aaa
aa ( ) ( )( )
( ) ( )( ) =−⋅
+−−+−+ 2
2 1421
122 aaa
aaaa
( )( ) ( )( ) ( )
.421
14122
2=
+−
−⋅+−+=aa
aaaa
Ответ: 4.
29.2. ( ) .1262966
2 222 −=−⋅
+−−
−−+ c
ccc
ccc
с2–с–6=0;D=1+24=25,D>0;
,2
2512,1
±=c
;224
251
1 −=−=−=c
.326
251
2 ==+=c
165
б)с2–с–6=(с+2)(с–3).
( )( ) ( )×
−−
+−+=−⋅
+−−
−−+
22
22 3232)62(
9662
cc
cccс
ccc
ccc
( ) ( )2
22
22 )62(
3
3)62(33
1)62( −⋅
−
−−=−⋅
−−
−=−× с
cccс
cc
cс
( )( )
( )( ) ( )
( ).12
334334
3362
33
2
22
22
2 −=−
−⋅⋅−=−⋅−−=−⋅
−−
ccc
cc
c
30.1. ( ) ( )( )( ) =
−+−−
+=
−−−
+ 2222
2
2244
2
22 yxyxyxy
yxx
yxyxy
yxx
( ) ( )( )( ) ( )( ) =
−+−+−−=
−+−−−= 2222
32223
2222
222 2yxyx
yxyyxxyxyxyx
yxyyxx
( )( )( ) ( )
( )( ) =−+
−+−=−+
−+−= 2222
22
2222
3223
yxyxyxyyxx
yxyxyxyyxx
( )( )( )( )( )
.122
22
yxyxyxyxyxyx
+=
+−++−=
30.2. ( ) ( ) ( )( )( ) =
+−−+++=
++
−+
2222
2222
2244
2 2baba
baabababba
ababab
( )( )( ) ( )
( )( ) =+−
+++=+−
−+++= 2222
3232
2222
23322 2baba
aabbbababa
abababba
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )( ) .1
22
22
2222
2222
babababaabba
bababaabab
−=
−+−++=
+−+++=
31.1. ( )( )( ) .
22
312213
62273 2 −−=
−−−=
−+− x
xxx
xxx
3х2–7х+2=0;D=72–4·3·2=25,
;31
62
657
1 ==−=x
.26
126
572 ==+=x
( ) ( )( ).2132313273 2 −−=−
−=+− xxxxxx
166
31.2. ;156
4125 2
xxx
−+−
5х2–12х+4=0;D=144–4⋅5⋅4=64.
х1= 10812 − =0,4. х2= 10
812 + =2.
( ) ( )( ).22525254125 2 −−=−
−⋅=+− xxxxxx
( )( )( ) .
32
523225 +−=
−−− x
xxx
32.1. ;376
232
2
xxxx
−−−
6–7х–3х2=0;3х2+7х–6=0;D=49=4·3·(–6)=121,
;3618
6117
1 −=−=−−=x .32
64
6117
2 ==+−=x
( ) ( )( ).2333233673 2 −+−=
−+−=+−− xxxxxx
( )( )( ) .
323323
+−=
−+−−
xx
xxxx
32.2. ;7132
72
2
xxxx
−−−
2–13х–7х2=0;7х2+13х–2=0;D=132–4·7·(–2)=169+56=225;
;21428
141513
1 −=−=−−=x .71
142
141513
2 ==+−=x
( ) ( )( ).17271272137 2 −+−=
−+−=+−− xxxxxx
( )( )( ) .
217217
+−=
−+−
xx
xxxx
33.1. ( )
( ) ( )( )
( )( ) =+−
−=−+−
−=−+−
+−xa
aaxa
aаxxa
aa14114
414114
4411816 222
.1
41xa
+−
167
33.2. 236121
661cccyyc
+−
−+− =( )
;61
6612c
cyyc−
−+−
1–6с+y–6cy=(1–6c)+(y–6cy)=(1–6c)+y(1–6c)=(1–6c)(1+y).( )( )
( ).
611
61161
2 cy
cyc
−+
=−
+−
34.1. ( ) ( )( )63
291833
362
2
2
2
−+−=
−+−
xxx
xxx =(по т. Виета)=
)3)(2()2(3 2
+−−
xxx
=
( ) .363
323
+−=
+−=
xx
xx
34.2 ( )
( )( )
=−
−+=−
−+2
2
2
2
34
122
26
2422
xxx
xxx (по т. Виета)=
=)3(2
4)3(4
)3)(4(22 −
+=−
−+x
xx
xx.
35.1. ;331299 2
abbaaa−+−+−
Разложим числитель на множители:9a2–9a+2=0; D=81–4·9·2=9,
31
186
1839
1 ==−=a ; .32
1812
1839
2 ==+=a
( ) ( ).2313323
313
32
319299 2 −⋅−=
−⋅
−=
−
−=++ aaaaaaaa
( )( )( ) ( )
( )( )( )( ) =
+−−−−=
−+−−−
baaa
abaaa
1312331
31312313
ba+−−
123
.
35.2. ;29105252
2 +−+−−
mmnnm
Разложим знаменатель на множители:10m2–9m+2=0;D=(–9)2–4·10·2=81–80=1,
52
208
2019
1 ==−=m ; .21
2010
2019
2 ==+=m
( )( ).122521
52102910 2 −−=
−
−=+− mmmmmm
)12)(25()52()52(
−−−−−
mmmnnm
= =−−−−−
)12)(25()1()52(
mmnm
.12
112
1−
−=−
−−mn
mn
168
36.1. =−+−=−
+−
=−
−−
aa
aaa
aa
aaa
a
aaa 2:44
2
44
12
442
2
( ) ( ) .22
22
2 22a
aa
aa
aa −=
−−=
−⋅−=
36.2. ccc
cc
c
ccc
cc
cc
cc
−=
−−=
−−⋅−=
−−
−
=−−
−
31
31
)3(3
96
3
96
31
22 .
37.1.
( )
( ) =−
+−−
+−=
−−−
−−−
=−
−
−−
bcabacbc
babcacab
bcbcabc
babacab
abc
bc
cba
ab
:
.babc
abacbcbc
babcacab
−−=
+−−⋅
−+−=
37.2.
( )
( ) =
−−−
−−−
=
−−−
−−−
=
−−
−−
caacbcab
cbbcacab
caaccab
cbbccba
caacb
cbbca
=−−
−⋅−
−−=−
−−−
−−=acbcab
cacb
bcacabca
acbcabcb
bcacab : .cbca
−−
38.1. y
x
=
+− 11
11
1 ;
≠+
≠+
≠
111
011
0
x
x
x
≠
−≠
≠
⇒
01
110
x
x
x
х ≠ 0; х ≠ –1.Ответ: (–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; ∞).
38.2.
a
y
+−
−=
111
11
1 ;
≠+
−
≠+
−
−≠
11
11
01
11
1
a
a
a
≠
−≠⇒
≠+
≠+
−≠
⇒0
1
01
1
11
11
aa
a
a
a
Ответ: а ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; ∞).
169
39.1.
a
ay
+−
−−=
111
1
11
⇒
≠
+−
−
≠+
−
−≠
0
111
1
01
11
1
a
aa
a
( )⇒
≠+−
≠−≠
011
01
aaa
aa
≠−−≠
−≠
0110
1
aaa
а ≠ 0, а ≠ –1.
Ответ: а ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; ∞).
39.2.
1
11
−+
−+=
xxx
xxy
⇒
≠
−+
−
≠−
+
≠
0
1
1
01
1
xxx
xx
xx
x
( )⇒
≠−−
≠≠
011
01
2xxx
xx
≠+−
≠≠
0111
01
x
xx
х ≠ 1, х ≠ 0.Ответ: (–∞; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; ∞).
40.1. x+x1 =2,5.
(х+x1 )2=х2+2+
21
x=6,25. х2+
21
x=4,25.
Ответ: 4,25.
40.2. a1 –а=1,2.
(a1 –а)2=
21
a–2+а2=1,44.
21
a+а2=3,44.
Ответ: 3,44.
170
41.1 ( ) 193165,14
2222 =+==
=−=+−=+
abba
abbaba .
Ответ: 19.
41.2. ( ) ( ) 4595,23
2222 =−=
=
=+=−+=+
xyyx
xyyxyx .
Ответ: 4.
42.1. Т. к. 3
87 −
=
3
78
>1, а
3
78 −
=
3
87
<
87 <1, то в порядке возрас-
тания: 3
78 −
;
87 ;
3
87 −
.
Ответ: 3
78 −
;
87 ;
3
87 −
.
42.2. Т. к. 4
76 −
=
4
67
>1, а
4
67 −
=
4
76
<1, то в порядке возраста-
ния: 4
67 −
;
67
; 4
76 −
.
Ответ: 76
76
67
4 4
− −
; ; .
43.1. ;57
75 22
=
−
( ) .57
10144,1;
75
57
10144,1
2222 ==
=
=
=
−−−
75
1> , тогда 75
75
2
> ; 57
1< , тогда 57
12
< .
Отсюда 57
75
75
2 2
< <
, а, значит, ( )1 4 1 4 57
22
, ,−−
< <
т. к. 22
57
75
=
−
>1, а ( )2
2
754,1
=− <
75 <1, и 1,4=
57 <
2
57
, то в
порядке возрастания:
( ) 24,1 − ; 1,4; 2
75 −
.
Ответ: ( )1 4 1 4 57
22
, ; , ; .−−
171
43.2. 0 75 75100
34
34
1, ; ;= = < ( )0 75 34
43
43
133 3
, ; ,−−
=
=
>
т.о. 43
13
> ; 43
34
34
13 3
=
<−
; , т.о. 34
34
3
< .
Отсюда: 34
34
43
3 3
< <
, значит, ( )43
0 75 0 753
3
< <−
−, , .
т. к. 0,75=43 <1, а
3
43 −
=
3
34
>
34
>1, то в порядке возрастания:
0, 75; 34
; 3
43 −
.
Ответ: ( )43
0 75 0 753
3
−−; , ; , .
44.1. 232
53
35
35 −−−
−∨
−∨
− ;
232
35
35
35
−∨
−∨
−
−−;
232
35
53
53
−∨
−∨
− ;
925
12527
259 ∨−∨
Ответ: 223
53 ;
35 ;
35 −−−
−
−
−
44.2. 443
59
95
95 −−−
−∨
−∨
−
;095 3
<
−
− ;1
95 4
>
−
−
( )1;059 4
∈
−
−
Ответ: 443
95 ;
59 ;
95 −−−
−
−
−
45.1. ( )( ) =−−=−− −−−−−− 122
11122 )11)(11(abba
abba
=−⋅−= −122
22)(
abba
baab ( )( ) ( ).22 ab
baba
abba
abab +−=−
⋅+−
Ответ: – .ab
ba +
172
45.2. ( ) ( )
−⋅
−=−⋅−
−−−−−−
yxxyyxxy 1111
1
2211122 ×
−=−1
22
22
yxyx
xyxy
yxyx
xyxy −⋅
−=
−× 22
22.
yxxy+
−=
Ответ: .yx
xy+
−
46.1. ( ) =++
++
=++
++=
++++ −−−
422
6
42
642
246
642
246
1
1111
xxxx
xx
xxxxxx
xxxxxx
( ) 84226
42 11
1xxxxx
xx =++⋅
++= .
46.2. 10
7
3
427
423
357
753
1)1(
)1( c
c
cccc
cccccc
ccc ==++
++=
++++
−−−−.
47.1. 10010108108
521008 2
22
2
2212 ==⋅⋅=
⋅⋅
−−+ n
n
nn
n.
47.2 2726
2664
23364
3
3
532
2
2232 ==⋅
⋅=⋅
⋅−+− n
n
nn
n.
48.1. =⋅⋅
⋅⋅=⋅
⋅+− 229
184323
184112 nn
n
nn
n.6
1821812 =
⋅⋅
n
n
48.2. n
nn
12632 112
⋅⋅ +−
=41
1212123
126
33221 2
=⋅⋅=
⋅
⋅⋅⋅
n
n
n
nn
.
49.1. =−=⋅
−=
⋅− −−−+
255
52
)55(5
5255 1111
n
n
n
nn
.4,25
1252
241515
21 ==
⋅⋅=
−=
49.2. .414210
)12(2210
22210
2111=
+⋅=
+⋅=
+⋅
−−+ n
n
nn
n
50.1. ( ) ( )( ) 12
3222
23622
22
+=−
+−−=−
+−−=−
−− xx
xxx
xx
xx
173
50.2 ( ) 1433
41233
322
+=+−=−
+−−=−
−− xxx
xxx
xx .
51.1. ( )( ) xxxx
xxx −=
−−−=
−+− 3
232
265 .
51.2. ( )( ) xxxx
xxx −=
−−−=
−+− 2
424
486 .
52.1. При 3
21−=x :
321
311
3222
32221123 2 −=−=−−−−+=−− xx .
52.2. При 2
53 −=x :
13232
56182
5659362 2 =+−=+−−−+=+− xx .
53.1. При 45 +=a : =−− 1562 aa
( ) ( ) =−−−++=−+−+= 1524301658514556452
.51610 −−
53.2. При 32 −=c : ( ) −−=+−22 32224 cc
( ) .26522128926223224 +=++−+−=+−−
54.1. ( ) .323332332333232
=+−=+−=+− (т.к. 32 >3).
54.2. ( ) ( ) =−−−=+−=−− 2323423234232342
= 423234 −=−+− . (т.к. 423 > ).
55.1. ( ) ( ) =−+−=−+− 5352535222
( ) ( ) 153525352 =−++−=−+−−= .
(т.к. 352 << ).
55.2. ( ) ( ) 2313231322
−+−=−+− = 3 –1+2– 3 =1.
(т.к. 231 << ).
174
56.1. 21217 − =
( ) 2232232238223292
−=−=−=+⋅⋅−= , ч.т.д.
56.2. 31221− = 3322912 ⋅⋅−+ = 2)332(2 − =|2 3 –3|=
= 2 3 –3, ч.т.д.
57.1. 6253
63 −=− , возведем в квадрат:
6253
6669 −=−+ ;
6256223 −=−+ , ч.т.д.
57.2. 7382
73 −=− , возведем в квадрат:
7382
7679 −=−+ , ч.т.д.
58.1.
=−
++ 347
1347
1( )( ) 14019614
3164914
347347347347 >==
⋅−=
−+++−=
Ответ: .347
1347
1140−
++
<
58.2. =+
−− 725
1725
1
= ( ) 250196144950
14
725
72572522
<==−
=−
+−+ .
Ответ: 250725
1725
1 <+
−−
.
59.1. 966
31 = >
21 =
3216 =4
321 >
31 ,
т. о. 31 6 >4
321 >
31 .
Ответ: .631;
3214;
31
175
59.2. ;251515
25115
51 =⋅=
;259
53 = ;
31
300100
300110 ==
;7525
31;
7527
259;
7545
2515 === ,
7545
7527
7525 <<
значит, .2515
259
31 <<
Тогда 2515
259
31 << .
Ответ: 1551;
53;
300110 .
60.1. ;21
22 = ;2
22 = ;85,0165,04 =⋅= .
415,0 =
Т.к. 8221
41 <<< ,
то 8221
41 <<< .
Ответ: 5,04;2
2;22;5,0 .
60.2. ;31
33 = ;3
33 = ;25,045,02 =⋅=
.25,25,1 = Т.к. 325,2231 <<< , тогда 325,22
31 <<< .
Ответ: .3
3;5,1;5,02;33
61.1. +++−=
++− 310310310310
2
( )( ) ( )110291021023103102 +=−+=+−+ .
61.2. ( )( ) =+−−−++=
−−+ 7474274747474
2
271628 =−−= .
176
62.1. ( ) ( ) =−++−−=
−+−
+−
)35)(35(3535
3535
3535
22
1522
15435
152355235 −=−=−
−−−−+= .
62.2. ( ) ( ) =+−−−+=
+−−
−+
)610)(610(610610
610610
610610
22
152604604
610602610602610 ===
−+−−++= .
63.1. xx
yy
xyyxyx +=
−−
( )( )( ) x
xyy
yx
yx
yxxy
yxyx
xyyxyx
+=+
=−
+−=
−
−, ч.т.д.
63.2. bb
aa
abbaab −=
+−
( )( )( ) b
baa
abab
baabbaab
abbaab −=−=
++−=
+− , ч.т.д.
64.1. abba
abba
abba+
=−−
( )( )( ) abba
abba
abbaba
baabba
abba+
=+
=+−
−=−− , ч.т.д.
64.2. xyyx
xyyx
xyyx
−=
−+
( )( )( ) xyyx
xyyx
xy
yxyx
yxxyyx
xyyx
−=
−=
+−
+=
−+
, ч.т.д.
65.1. Рассмотрим последовательность двузначных натуральных чисел(аn): 10, 11, ..., 99.
а1=10, аn=99 и d=1.Т. к. всего чисел от 10 до 99 – 90 штук, то
902
90190 ⋅
+=
aaS = .49054510990
29910 =⋅=⋅+
Ответ: сумма всех двузначных чисел равна 4905.
177
65.2. Рассмотрим последовательность всех трехзначных чисел (аn): 100,111, ..., 999.
а1 =100, аn =999 и d=1.т. к. всего чисел от 100 до 999 – 900 штук, то
=⋅+=⋅+
= 9002
9991002
1 naa
S nn .4945504501099
29001099 =⋅=⋅
Ответ: сумма всех трехзначных чисел равна 494550.66.1. аn=3n+5, а1=3⋅1+5=8;а29 =3⋅29+5=87+5=92; а40 =3⋅40+5=125;
S=S40–S29= 29292840
21258 ⋅+−⋅+ =2660–50⋅29=2660–1450=1210.
Ответ: S =1210.66.2. аn =4n+2.а1 =4⋅1+2=6; а2 =4⋅2+2=10;а25 =4⋅25+2=100+2=102; а35 =4⋅35+2=140+2=142.т.е. d = а2 – а1; d = 10–6=4.Всего чисел n=35–24=11.
Sn=S11= daa
23525 +
=2
142102 + ⋅11=122⋅11=1342.
Ответ: 1342.67.1. d=3, а a1 =3.
3n ≤150, n ≤50.
502
492 150 ⋅
⋅+=
daS =
250)492(3
502
49332 ⋅+=⋅⋅+⋅ =
=3⋅51⋅25=153⋅25=3825.Ответ: 3825.67.2. а1=5 и d=5.5n ≤300, n ≤60.
=⋅⋅+=⋅−+⋅= 602
59510602
)160(55260S
.9150303052
60)29510( =⋅=⋅+=
Ответ: 9150.
68.1. 2010020022001
200 =⋅+=S – сумма всех чисел от 1 до 200.
110010220020
10 =⋅+=S – сумма всех чисел, делящихся на 20.
Sn = S200 – S10 = 19000.Ответ: 19000.
178
68.2. 505010021001
100 =⋅+=S – сумма всех чисел от 1 до 100.
10502021005
20 =⋅+=S – сумма всех чисел, делящихся на 5.
Sn = S100 – S20 = 4000.Ответ: 4000.69.1. Пусть число содержит a десятков и b единиц, тогда 10а +
b+10b+а=11(а+b), а 11(а+b):11=a+b.Т. о. утверждение доказано.69.2. Пусть число записано с помощью цифры x, тогда 100х
+10х+х=111х, а 111х:37=3х.Т. о. утверждение доказано.70.1. Пусть n и (n+1) – два последовательных натуральных числа, тогда
2n+2n+1=2n(1+2)=3⋅2n , т. к. n≥1, то 2n:2 и т. о. 3⋅2n:6.70.2. Пусть n, (n+1), (n+2) – три последовательных натуральных числа.2n+2n+1+2n+2=2n(1+2+4)=7⋅2n, а 7⋅2n:7=2n, т. о. утверждение доказано.
179
УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
71.1. (1–2x)(4x2+2x+1)=8(1–x2)(x+2);1–8x3=8(x–x3+2–2x2); 1–8x3=8x–8x3+16–16x2;16x2–8x–15=0; D=64+15⋅4⋅16=1024.
х1= 32328 + =
45 .
х2= 32328 − =
43− .
Ответ: 411;
43− .
71.2. 8(x–2)(x2–1)=(4x2–2x+1)(2x+1). 8(x3–2x2–x+2)=8x3+1;8x3–16x2–8x+16–8x3–1=0; 16x2+8x–15=0;D=64+15⋅4⋅16=1024.
х1= 32328 −− =
45− .
х2= 32328 +− =
43 .
Ответ: –1,25; 0,75.72.1. (x+1)(x–1)(x–2)–(x2+7x)(x–4)–2=2x;(x2–1)(x–2)–(x3+7x2–4x2–28x)–2–2x=0;x3–x–2x2+2–x3–7x2+4x2+28x–2–2x=0;–5x2+25x=0; x(x–5)=0;x=0 или x–5=0; x=5.Ответ: 0; 5.72.2. 4+(2–x)(x2+5x)–(2–x)(2+x)(1+x)=12x;4+(2x2–x3+10x–5x2)–(4–x2)(1+x)=12x;4+2x2–x3+10x–5x2–(4–x2+4x–x3)–12x=0;4–3x2–x3–2x–4+x2–4x+x3=0; –2x2–6x=0; x(x+3)=0.x=0 или x+3=0; x= –3.Ответ: 0; –3.73.1 x4–2x2–8=0, по т. Виета
≥
±=⇒
−=
=0т.к.решений,нет
2
2
422
2
х
x
x
x
Ответ: –2; 2.73.2. x4–8x2–9=0, по т. Виета
≥
±=⇒
−=
=0т.к.решений,нет
3
1
922
2
х
x
x
x
Ответ: –3; 3.
180
74.1. x4–7x2+12=0, по т. Виета
±=
±=⇒
=
=3
2
3
42
2
х
x
x
x
Ответ: –2; 2; ;3 .3−74.2. x4–11x2+18=0, по т. Виета
±=
±=⇒
=
=2
3
2
92
2
х
x
x
x
Ответ: –3; ;2− ;2 3.
75.1. 2x4–19x2+9=0.D=(–19)2–4⋅2⋅9=361–72=289, D>0;
х2=2228919
⋅± ; x2=
21
41719 =− , х=±
22 .
x2= ;94
1719 =+ х=±3.
Ответ: –3; ;21− ;
21 3.
75.2. 3x4–13x2+4=0.D=(–13)2–4⋅3⋅4=169=48=121, D>0.
x2=6
1113 ± , х2=6
1113 − =31 , х=±
31
.
x2= ;46
1311 =+ х=±2.
Ответ: –2; ;31− ;
31 2.
76.1. (х2 + 4х)(х2 + 4х – 17) + 60 = 0.Пусть х2 + 4х = а; а(а – 17) + 60 = 0; а2 – 17а + 60 = 0;а = 12; а = 5;х2 + 4х – 12 = 0; х2 + 4х – 5 = 0;х = –6, х = 2; х = –5, х = 1Ответ: –6; –5; 1; 2.76.2. (х2 – 5х)(х2 – 5х + 10) + 24 = 0.Пусть х2 – 5х + 5 = а; (а – 5)(а + 5) + 24 = 0;а = 1; а = –1;х2 – 5х + 4 = 0; х2 – 5х + 6 = 0;х = 4, х = 1; х = 2, х = 3.Ответ: 1; 2; 3; 4.
181
77.1. (х2 – 3х)2 – 2(х2 – 3х) = 8.Пусть х2 – 3х = а; а2 – 2а – 8 = 0;а = 4; а = –2;х2 – 3х – 4 = 0; х2 – 3х + 2 = 0х = 4, х = –1; х = 2, х = 1;Ответ: –1; 1; 2; 4.77.2. (х2 + х)2 – 11(х2 + х) = 12.Пусть х2 + х = а; а2 – 11а – 12 = 0;а = 12; а = –1;х2 + х – 12 = 0; х2 + х + 1 = 0;х = –4, х = 3; Решений нет.Ответ: –4, 3.
78.1. 01042
332
3 22=+
−−
+− xxxx .
Пусть axx =−2
32;
(а + 3)(а – 4) + 10 = 0;а2 – а – 2 = 0;а = 2; а = –1;х2 – 3х – 4 = 0; х2 – 3х + 2 = 0х = 4, х = –1; х = 1, х = 2.Ответ: –1; 1; 2; 4.
78.2. 33
243
2222
=
+−
+− xxxx .
Пусть axx =+−3
232
;
(а – 1)(а + 1) = 3;а = 2; а = –2;х2 + 2х – 3 = 0; х2 + 2х – 15 = 0х = –3, х = 1; х = –5, х = 3.Ответ: –5; –3; 1; 3.79.1. x3+x2–x–1=0; (x3+x2)–(x+1)=0; x2(x+1)–(x+1)=0; (x+1)(x2–1)=0;(x+1)(x–1)(x+1)=0; x+1=0; x= –1 или x–1=0; x=1.Ответ: –1; 1.79.2. x3+2x2–4x–8=0; (x3+2x2)–(4x+8)=0; x2(x+2)–4(x+2)=0;(x+2)(x2–4)=0; (x+2)(x+2)(x–2)=0;x+2=0; x= –2 или x–2=0; x=2.Ответ: –2; 2.80.1. x3–3x2–4x+12=0; (x3–3x2)–(4x–12)=0; x2(x–3)–4(x–3)=0;(x–3)(x2–4)=0; (x–3)(x–2)(x+2)=0;x–3=0; x=3 или x–2=0; x=2 или x+2=0; x= –2.Ответ: –2; 2, 3.
182
80.2 x3–2x2–3x+6=0; (x3–2x2)–(3x–6)=0;x2(x–2)–3(x–2)=0; (x–2)(x2–3)=0;x–2=0; x=2 или x2–3=0; x2=3; .3±=x
Ответ: 3− ; 2; 3 .
81.1. 2х4 – 5х3 + 2х2 – 5х = 0;2х2(х2 + 1) – 5х(х2 + 1) = 0; (х2 + 1)(2х2 – 5х) = 0;
х = 0, 212
25 ==x .
Ответ: 0; 2,5.81.2. 6х4 – 3х3 + 12х2 – 6х = 0;6х2(х2 + 2) – 3х(х2 + 2) = 0;(х2 + 2)(6х2 – 3х) = 0; 3х(х2 + 2)(2х – 1) = 0
х = 0, 21=x .
Ответ: 0; 21 .
82.1. 2x4+3x3–8x2–12x=0; (2x4–8x2)+(3x3–12x)=0;2x2(x2–4)+3x(x2–4)=0;(x2–4)(2x2+3x)=0; x(x–2)(x+2)(2x+3)=0;x=0 или x–2=0 или x+2=0 или 2x+3=0.
x=2 x= –2 ;23−=x x= –1,5.
Ответ: –2; –1,5; 2, 0.82.2. 2x4–5x3–18x2+45x=0; (2x4–18x2)–(5x3–45x)=0;2x2(x2–9)–5x(x2–9)=0;(2x2–5x)(x2–9) =0; x(2x–5)(x–3)(x+3) =0;x=0 или 2x–5=0 или x–3=0 или x+3=0, 2x=5; x=2,5. x=3 x= –3.Ответ: –3; 0; 2,5; 3.
83.1. ,4
82
72 2 −
=+
−− xxxx ОДЗ: х≠±2.
x(x+2)–7(x–2)=8,x2+2x–7x+14–8=0, x2–5x+6=0; x1=2; x2=3 (по т. Виета).Ответ: 3.
83.2. .4
2416
162 −
=+
+− xx
xx
ОДЗ: х≠±4.
16+x(x–4)=2(x+4);16+x2–4x=2x+8;x2–4x–2x+16–8=0; x2–6x+8=0;x1=2; x2=4 (по т. Виета), но х≠4.Ответ: 2.
183
84.1. ;25
5055
5 2 −=
−++
+ xxx
xx ОДЗ: х≠±5.
x(x–5)+(x+5)2=50;x2–5x+x2+10x+25–50=0;2x2+5x–25=0;D=25+200=225,
;54
204
1551 −=−=−−=x но х≠–5.
.5,24
104
1552 ==+−=x
Ответ: 2,5.
84.2. .4
822
2 2 −=
−++
+ xxx
xx ОДЗ: х≠±2.
x(x–2)+(x+2)(x+2)=8; x2–2x+x2+4x+4–8=0;2x2+2x–4=0; x2+x–2=0;x1=–2; x2=1, но х≠–2.Ответ: x=1.
85.1. ;32
394
321532
22
2
+=
−−−
− xx
xx
xx ОДЗ: х≠±
23
.
2x(2x+3)–(15–32x2)=3x(2x–3); 4x2+6x–15+32x2=6x2–9x;30x2+15x–15=0; 2x2+x–1=0;D=1+2⋅4⋅1=1+8=9,
;144
431
1 −=−=−−=x .21
42
431
2 ==+−=x
Ответ: –1; 21
.
85.2. .52
4254
532852
32 −
=−
−−+ x
xx
xx
x ОДЗ: х≠±25
.
3x(2x–5)–(28–53x)=4x(2x+5);6x2–15x–28+53x=8x2+20x; 6x2+38x–28–8x2–20x=0;x2–9x+14=0; x1=2, x2=7; (по т. Виета).Ответ: 2; 7.
86.1. ;141512
129
216
2
2
−−=
++
− xx
xx ОДЗ: х≠±
21
.
–6(2x+1)+9(2x–1)=12x2–15; –12x–6+18x–9–12x2+15=0;–12x2+6x=0; 2x2–x=0;
x(2x–1)=0; x=0 или 2x–1=0; 21=x , но х≠
21
.
Ответ: 0.
184
86.2. ;94
101523
532 2x
xxx
x−
+=−
−+
ОДЗ: х≠±32
.
x(2–3x)+5(2+3x)=15x+10,x(2–3x)+5(2+3x)–5(3x+2)=0; x(2–3x)=0;
x=0 или 2–3x=0; 3x=2; 32=x ; но х≠
32
.
Ответ: 0.
87.1. ;3
933 x
xxx =
−+
− ОДЗ: х≠3.
xx
x=
−−
3)3(3
, х=–3.
Ответ: x= –3.
87.2. ;244
4
2x
xx
xx =
−+
− ОДЗ: х≠4.
xx
xx 2442
=−−
, х=2х, х=0.
Ответ: 0.
88.1. ;12
122
622 xxxxx
=+
−−
ОДЗ: х≠0, х≠±2.
6(x+2)–12(x–2)=(x–2)(x+2);6x+12–12x+24=x2–4;36–6x–x2+4=0;x2+6x–40=0; по т. Виета х1=–10, х2=4.Ответ: –10, 4.
88.2. ххххх 3
323
2722 −
=−+
; ОДЗ: х≠±3, х≠0.
27(х–3)–2(х+3)(х–3)=3(х+3);27х–81–2х2+18=3х+9;–2х2+24х–72=0; х2–12х+36=0;(х–6)2=0; х=6.Ответ: 6.
89.1. ;5,232
23 =
−−+
−−
xx
xx ОДЗ: х≠2, х≠3.
(x–3)2+(x–2)2=2,5(x–2) (x–3);x2–6x+9+x2–4x+4=2,5(x2–5x+6);2x2–10x+13=2,5x2–12,5x+15;–0,5x2+2,5x–2=0; x2–5x+4=0; по т. Виета.x1=1; x2=4.Ответ: 1, 4.
185
89.2. ;414
21
12 =
−++
+−
xx
xx ОДЗ: х≠–1, х≠2.
(x–2)⋅4(x–2)+(x+1)⋅4(x+1)=17(x+1)(x–2),4(x–2)2+4(x+1)2=17(x+1)(x–2);4x2–16x+16+4x2+8x+4=17(x2–x–2); 8x2–8x+20=17x2–17x–34;–9x2+9x+54=0; x2–x–6=0; по т. Виета х1=–2, х2=3.Ответ: –2, 3.
90.1. .6
53
76
1−
=−
++ xxx
ОДЗ: х≠±6, х≠3.
(x–3)(x–6)+7(x+6)(x–6)=5(x+6)(x–3);x2–3x–6x+18+7x2–252=5(x2+6x–3x–18); 8x2–9x–234=5x2+15x–90;3x2–24x–144=0; x2–8x–48=0; по т. Виета х1=–4, х2=12.Ответ: –4; 12.
90.2. ;4
36
46
1−
=+
+− xxx
ОДЗ: х≠4, х≠±6.
(x+6)(x–4)+4(x–6)(x–4)=3(x–6)(x+6);x2+6x–4x–24+4(x2–6x–4x+24)=3(x2–36);x2+2x–24+4x2–40x+96=3x2–108;2x2–38x+180=0; x2–19x+90=0;по т. Виета х1=9, х2=10.Ответ: 9; 10.
91.1. ;3
31
71334
62 −
=−−−
+− xxx
xx по т. Виета
x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3); ОДЗ: х≠1, х≠3.6+(13–7x)(x–3)=3(x–1); 6+13x–7x2–39+21x=3x–3;–7x2+31x–30=0; 7x2–31x+30=0;D=312–4⋅7⋅30=961–840=121,
;731
710
1420
141131
1 ===−=x 31442
141131
2 ==+=x , но х≠3.
Ответ: 731 .
91.2. ;4
42
3186
82 −
=−
−++− xx
xxx
.4
42
31)4)(2(
8−
=−
−−−− xx
xxx
По т. Виета: x2 – 6x + 8 > (x – 2)(x – 4); ОДЗ: х≠2, х≠4.8–(1–3x)(x–4)=4(x–2); 8–x+3x2+4–12x=4x–8;3x2–13x+12–4x+8=0; 3x2–17x+20=0;D=(–17)2–4⋅3⋅20=289–240=49,
;321
35
610
6717
1 ===−=x 4624
6717
2 ==+=x , но х≠4.
Ответ: 321 .
186
92.1. ;23
912
642 ++
=+
−+−
xxxx
xx ;
)2)(1(9
1264
++=
+−
+−
xxxx
xx
По т. Виета: x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1);ОДЗ: х≠–1, х≠–2. (4x–6)(x+1)–x(x+2)=9; 4x2–6x+4x–6–x2–2x–9=0;3x2–4x–15=0; D=16+15⋅4⋅3=196.
36144
1 =+=x ,35
6144
2 −=−=x .
Ответ: 321− ; 3.
92.2. ;32
131
1 2 −+=
+++
− xxxx
xx ;
)3)(1(1
31
1 +−=
+++
− xxxx
xx
По т. Виета: x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3);ОДЗ: х≠1, х≠–3. x(x+3)+(x+1)(x–1)=1; x2+3x+x2–1–1=0.2x2+3x–2=0; D=9+2⋅2⋅4=25,
;21
453
1 =+−=x 24
532 −=−−=x .
Ответ: –2; 21 .
93.1. ;78)52(6
725
161 2 +−
−+−
−=−
+xx
xx
xx
;)7)(1(
30127
251
61−−
−+−
−=−
+xx
xx
xx
По т. Виета: x2 – 8x + 7 = (x – 1)(x – 7);ОДЗ: х≠1, х≠7.(x–1)(x–7)+6(x–7)=(5–2x)(x–1)+12x–30;x2–x–7x+7+6x–42=5x–2x2–5+2x+12x–30;x2–2x–35+2x2–19x+35=0;3x2–21x=0; x(x–7)=0; x=0 или x–7=0; x=7, но х≠7.Ответ: 0.
93.2. ( )2
114
2186
61721 2 −−
−−=
+−−+
xxx
xxx ;
по т. Виета: x2 – 6x + 8 = (x – 4)(x – 2);( )( )
( )( ) 024
44112121234862=
−−−+−−+−++−
xxxxxxxx
( )( ) ⇒=−−
− 024
123 2
xxxx
≠≠==
2440
xxxx
Ответ: х = 0.
187
94.1. ;123
62
112
12 −−−
−=−
− xx
xx ОДЗ: х≠±2.
–3(x+2)–3(x–2)(x+2)=3(x+2)–(6–x); –3x–6–3(x2–4)=3x+6–6+x;–3x–6–3x2+12=4x; –3x2–7x+6=0; 3x2–7x–6=0;D=72–4⋅3⋅(–6)=49+72=121,
;3618
6117
1 −=−=−−=x .32
64
6117
2 ==+−=x
Ответ: –3; 32 .
94.2. ;13
11828
31
2 −−
=−
+−− xx
xx
ОДЗ: х≠ ±3.
4(x+3)–x–8+2(x–3)(x+3)=0; 4x+12–x–8+2x2–18=0; 2x2+3x–14=0;D=32–4⋅2⋅(–14)=9+112=121;
;5,327
414
4113
1 −=−=−=−−=x .248
4113
2 ==+−=x
95.1. а) x2+2x+c=0;4D
=1–с,
4D
<0, 1–с<0, с>1. 2∈(1; +∞).
Ответ: (1; +∞); c=2.95.2. x2+6x+c=0
4D
=9–с>0. c<9.
0∈(–∞; 9).Ответ: (–∞; 9); c= 0.96.1. x2+kx+9=0D=k2–36≥0,(k–6)(k+6)≥0.k∈(–∞; –6]∪[6; +∞).Ответ: k∈(–∞; –6]∪[6; +∞). Уравнение имеет корни при k= –10,5, урав-
нение не имеет корней при k=0,7.96.2. 16x2+kx+1=0k2–4⋅16⋅1=k2–64.k2–64<0. (k–8)(k+8)<0.k∈(–8; 8).–8<0,03<8, а –20,4<–8.Ответ: –8<k<8; при k=0,03 уравнение не имеет корней, а при k= –20,4
уравнение имеет корни.
��������������������������������������������
–8 8 k
����������������������������������
����������������������������������
–6 6 k
188
97.1. 01141 2 =++ cxx ;
D = с2 – 11 > 0;( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;1111 ;c .
Ответ: ( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;1111 ;c ; –100.
97.2. 04115 2 =++ cxx ;
D = c2 – 15 > 0;( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;1515 ;c .
Ответ: ( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;1515 ;c ; 100.
98.1. ax2+x+2=0;1) а≠0.
2) D=1–4⋅a⋅2=1–8a. D>0, 1–8a>0; 8a<1; .81<a
1 a
��������������������������������������������������������������������������������������
–131−
101− 010
1
81
31
Ответ: уравнение имеет два корня при ( ) .81;00;
∪∞−∈a
Этому условию удовлетворяют числа ;31− ;
101− .
101
98.2. 1) ax2+x–3=0, a≠0 D=12–4⋅a⋅(–3)=1+12a; D>0;��������������������������������������������������������������������������������
121− 0 a
1+12a>0; 12a>–1; .121−>a
( )+∞∪
−∈ ;00;
121a ,
121
61 −<− .
21− ∈(
121− ; 0).
061 > ;
21
>0.
Ответ: уравнение имеет два корня при ( ).;00;121 +∞∪
−∈a
Этому условию удовлетворяют числа ;201− ;
61 .
201
189
99.1. 1) kx2–6x+k=0;D=(–6)2–4⋅k⋅k=36–4k2; k≠02) D>0: 36–4k2>0.(6–2k)(6+2k)>0.k∈(–3; 0)∪(0; 3).k∈(–3; 0)∪(0; 3),например, 1=k: х2–6х+1=0.Ответ: (–3; 0)∪(0; 3); х2–6х+1=0.
99.2. 1) 04152 =+− kxkx ; k≠0
D=(–5)2–4⋅k⋅14
k=25–k2.
D>0, 25–k2>0(5–k)(5+k)>0.k∈(–5; 0)∪(0; 5).Пусть k=4, при которых 4х2–5х+1=0.
Ответ: (–5; 0)∪(0; 5); 4х2–5х+1=0.
100.1.
=−
=−
44
6232 yx
yx
=+−
−=
086
12642 xx
xy
==
34
yx
или
==
02
yx
Ответ: (4; 3); (2; 0).
100.2. ⇒
=−
−=−
36
6432yx
yx⇒
=+−
−=
0158
12862 yy
yx
=
=
3145
x
y или
==
23
xy
Ответ: (3
14; 5); (2; 3).
101.1. ⇒
=+
=+
1232
5232 yx
yx
=−−
−=
05,4292
235,2
2 xx
xy
4х2 – 9х – 9 = 0;D = 81 + 144 = 225.
−==
==
−=
23
или
853
829
43
ух
y
x
Ответ: (853;
43− ); (3; –2).
k–3 0 3
����������������������������������������
k–5 0 5
��������������������������������������
190
101.2. ( )
( )5
3
423735 2
x
x
yxyx +
−
−=+−=+
9у2 – 10у + 1 = 0;
169254
=−=D .
−==
21
xy
или
2738
91
−=
=
x
y
Ответ: (–2; 1); (91;
2738− ).
102.1. ⇔
−=−+
=−
72
,522 yxyx
yx
−=−+
=+−
.72
,25222
22
yxyx
yxyx
⇒
−==
.5.182 2
xyx ⇒
−=±=
.5.3
xyx
−=−=
−==
.8,3,2
,3
yxyx
Ответ: (–3;–8); (3;–2).
102.2. ⇒
−=−−
=−
282
,222 xxyy
xy
−=−−
=+−
.282
,4222
22
xxyy
yxyx
⇒
+==
.2.322 2
xyx ⇒
+=±=
.2.4xy
x
==
−=−=
.6,4,2,4
yx
yx
Ответ: (–4;–2); (4;6).
103.1. ⇒
=++
=+
1822
,322 yxyx
yx⇒
=−+
=++
.1822
,9222
22
yyxx
yxyx
⇒
−==⇒
.3.92
yxy ⇒
−=±=
.3.3yx
y
==
−==
.3,0,3
,6
yx
yx
Ответ: (6;–3); (0;3).
191
103.2. ⇔
=−+−+
−=⇔
=++
=+
1)21()21(2
,21
12
,122222 xxxx
xy
yxyx
yx
⇔=−
−=⇔
=+−+−+
−=⇔
034,21
144122
,212222 xx
xyxxxxx
xy
−=
=
==
⇔
=−
=−=
⇔
=−−=
⇔
.21
,43,1,0
034,0
,21
0)34(,21
y
x
yx
xx
хy
xxxy
Ответ: (0;1); ).21;
43( −
104.1.
=+=−
⇔
−=+
=−
9)(,7
29
,7222 yx
yxxyyx
yx
⇔
=+=−
−=+=−
⇔
=+
−=+=−
⇔
3,7,3
,7
,3,3
,7
yxyx
yxyx
yxyxyx
−==
−==
⇔
−==
−−==
⇔
.2,5,5
,2
3,102
,3,42
yx
yx
xyx
xyx
Ответ: (2;–5); (5;–2).
104.2. ⇔
+=+
=+
xyyx
yx
216
,822
=−=+
⇔
=−+
=+⇔
.16)(,8
162
,8222 yx
yxxyyx
yx
⇔
==
==
⇒
−==
+==
⇒
=−=+
−=−=+
;6,2
;6,2
;4,122
;4,42
;4,8
;4,8
yx
yx
xyx
xyx
yxyx
yxyx
Ответ: (2;6); (6;2).
192
105.1. ⇔
+=−=+−+⇔
=−−=−
yxyyyy
yxyxyx
26,12)26()26(
62,12 2222
⇔
+==++⇔
+==+−−−++
yxyy
yxyyyyy
26,024183
26,0122642436 2222
−=−=
−==
⇔
+=
−=−=
⇔+=
=++⇔
.4,2,2
,2
26,4,2
26,0862
yxyx
yxyy
yxyy
Ответ: (2;–2); (–2;–4).
105.2. ⇒
−=−=−
.20,103
22 xyyxyx
−−=+−−
−=
xxxxx
xy
103201201009
103222
⇒
=+−
−=
0120505
1032 xx
xy⇒
=+−
−=
.02410
1032 xx
xy⇒
−=
==
.103.4
6
2
1
xyxx
==
==
.24
.86
yx
yx
Ответ: (6;8); (4;2).
106.1. ⇔
=−=++−+−
2,093 22
xyyxxxyy
=+−−++
+=⇒
.0116344
222 xxxx
xy
==
−=−=
⇔
+=
=
−=⇔
+==−+⇔
.5,3,3,5
2,3,5
2,01522
yx
yx
xyx
x
xyxx
Ответ: (–5;–3); (3;5).
106.2. ⇔
=−−+++
=+⇔
=−−++
=+
22
,3
23
,32222 yxxyyxyx
yx
yxyxyx
yx
⇔=−+
=+⇔
=+−++=+
⇔239
,32)()(
,32 xy
yxyxxyyx
yx
⇔=−−
−=
=−+−=
⇔043
,32)3(6
,32 yy
yxyyyx
193
=−=
−==
⇔
=−=
−=−=
⇔
=
−=−=
⇔
4,1,1
,4
4,3
,1,3
,4,1,3
yxyx
yyx
yyx
yy
yx
Ответ: (–1;4); (4;–1).
107.1. ( )( ) ⇔
−=−−−=
12248yx
xy
( )
−=−
−−
−=
12248
8
yy
yx
1216848 −=++−−y
y ; у2 – 3у – 4 = 0.
−==
24
xy
;
=−=8
1xy
Ответ: (–2; 4); (8; –1).
107.2. ( )( ) ⇔
=−+=
202124
yxxy
=−+−
=
0224824
24
yy
yx
у2 + 2у – 48 = 0
−=−=38
xy
;
==
46
xy
Ответ: (–3; –8); (4; 6).
108.1. ( )( )
( )
−=+=+−yxyx
yxyx3
12
==
⇒
=−=+
baab
byxayx
312
⇒
==
62
ab
⇒
−=−=
62
ab
==
⇒
=−=+
24
26
yx
yxyx
−=−=
⇒
−=−−=+
24
26
yx
yxyx
Ответ: (4; 2); (–4; –2).
108.2. ( )
( )( )
=−+−=+
55
yxyxyxyx
⇒
==
⇒
=−=+
55ab
babyxayx
⇒
==
51
ba
⇒
−=−=51
ba
⇒
±=−±=+
51
yxyx
=−=
−==
23
;2
3ух
yx
Ответ: (3; –2); (–3; 2).
194
109.1. ⇒
−=
=+
183111
xyyx
−=
=⇒
==+
1831
bba
bxyayx
⇒
−=−=186
ba
=−+
−=
0186
18
2 yy
yx
271894
=+=D .
+=
−−=
316
333
x
y или
−=
+−=
316
333
x
y
Ответ: ( 333;31
6 −−+
); ( 333;31
6 +−−
).
109.2.
−=
=−
162111
xyyx ; ⇒
−=
=⇒
==−
1621
bba
bxyaxy
⇒
−=−=
816
ab
=+−
−=
0168
82 xx
xy
−==
44
yx
Ответ: (4; –4).
110.1. ⇒
−=−
=−
3211
2
yx
yx ⇒
=−
−=−
2322
yxxy
+==
23
yxxy
у2 + 2у – 3 = 0
−=−=13
xy
или
==
31
xy
Ответ: (–1; –3); (3; 1).
110.2. ⇒
=+
=+
3211
8
yx
yx
−=
=
yxxy
8328
−==
yxxy
812
у2 – 8у + 12 = 0
==
26
xy
или
==
62
xy
Ответ: (2; 6); (6; 2).
195
111.1. ⇔
=+
=⇔
=+
=+⇔
=+
=+ ,128312
,1283
,12
8311
yxxy
yxxy
xy
yxyx
⇔
−==−+−⇔
−==−−
⇔
−==
⇔xyxx
xyxx
xyxy
12,03212
12,032)12(
12,32 2
==
==
⇔
−=
==
⇔
−==+−⇔
.4,8,8,4
12,8,4
12,032122
yxyx
xyxx
xyxx
Ответ: (4;8); (8;4).
111.2. ⇒
=−
−=−
4
,5411
yxyx ⇒
=−
−=−
.4
,54
yxxy
xy⇒
=−
=
.4
,511
yxxy
⇒
+==
⇒.4
,5yx
xy⇒
+==−+
.4,0542
yxуy ⇒
+=
=
−=
yxyy
41
5
==
−=−=
.51
.15
xy
xy
Ответ: (–1;–5); (5;1).
112.1. ⇔
=−
=−
127
7
xy
yx
yx
( )⇔
=−
=+
7127
yxxy
yx
=+
++=
121
)7(
277
2yyyyx
у2 + 7у = 84 + 24у; у2 – 17у – 84 = 0;
==
2821
xy
или
=−=3
4xy
Ответ: (28; 21); (3; –4).
112.2. ⇔
=+
=+
2041
9
xy
yx
yx
=−
−=+
2041281
28122
xyxy
xyyx
⇔
−=
=
yxxy
9208181
⇔
−==
.9,20yx
xy
−==+−
.9,02092
yxyy
==
54
xy
или
==
45
xy
Ответ: (5; 4); (4; 5).
196
113.1. ⇔
−=
=⇔
−=
+=⇔
=−
=+,
6111
12
,
651161
652
,
61116511
xy
x
xy
x
yx
yx
==
⇔
=
=⇔
=
=⇔
−=
=⇔
.3,2
,311,2
,621,2
,61
211
,2
yx
y
x
y
x
y
x
Ответ: (2;3).
113.2. ⇔
=−
=+
.12111
,12711
yx
yx ⇔
=
=
.1
,1
by
ax ⇔
=−
=+
121
127
ba
ba⇔
=
=
4131
b
a
==
.4,3
yx
Ответ: (3;4).
114.1. ⇔
=−
=+
.931
,412
yx
yx ⇔
=
=
by
ax1
1
⇔
=−=+
9342
baba
=−=+
186242
baba
⇔
+=−=
bab
39147
⇔
=−=
.3,2
ab
−=
=
.21
,31
y
x
Ответ: .21;
31
−
114.2. ⇔
=−
=+
.1021
,441
xy
yx
=
−=⇔
=
−=⇔
=
−=⇔
=
−=⇔
=
=+⇔
21
,41
21
,41
21
,841
21
,441
189
,441
y
x
y
x
y
x
y
yx
y
yx
Ответ: ).21;
41(−
197
115.1.
=+
+−
−=+
−−
.8109
,286
yxyx
yxyx
⇔
=+
=−
byx
ayx
1
1
⇔
=+−=−
⇔=+−=−
;8109,143
;8109,286
baba
baba
⇔=
=⇔
⋅−=
=⇔
−==
⇔.
31
,21
;211089
,21
;1089,1122
a
b
a
b
bab
−==
⇔
=+=−
⇔
=+
=−⇔
;5,0,5,2
;2,3
;211
,311
yx
yxyx
yx
yx
Ответ: (2,5;–0,5).
115.2.
−=+
−−
=+
+−
.1188
,3124
yxyx
yxyx
⇔
=+
=−
byx
ayx
1
1
⇔
−=−=+
;1188,3124
baba
⇔=
=
⇔=
=
⇔⋅+−=
=
⇔+−=
−=−
;41
,61
;28
,61
;611818
,61
;1818,742
a
b
a
b
a
b
bab
⇔
=+=−
⇔
=+
=−
;6,4
;611
,411
yxyx
yx
yx
==
⇔
−==
;1,5
;6,102
yx
xyx
Ответ: (5;1).
198
116.1.
−=−
−+
=−
++
3518
329
yxyx
yxyx; ⇔
−=−=+
⇔
=−
=+
35232
1
9
baba
byx
ayx
⇒
=+=
⇒32
99ba
b
==
⇒
=−=+
⇒
==
45
19
11
yx
yxyx
ab
Ответ: (5; 4).
116.2.
=−
++
=−
−+
253
251
yxyx
yxyx;
⇔
−==
⇔
=+=−
⇔
=−
=+
11
232
5
1
ba
baba
byx
ayx
⇔
−=−=+
51
yxyx
=−=3
2yx
Ответ: (–2; 3).
117.1. ⇔
−=
−−=
4
2832
2
xy
xxy2х2 – 8х + 2 = 0; х2 – 4х + 1 = 0.
+=
+=
343
32
y
x или
−=
−=
343
32
y
x
Ответ: ( 343;32 ++ );
( 343;32 −− ), в I и в IV четвертях.
117.2. ⇔
−=
−−=
xxy
xxy
2
1622
2
х2 – 4х – 1 = 0
+=
+=
525
52
y
x;
−=
−=
525
52
y
x
Ответ: ( 525;52 −+ );
( 525;52 −− ), в I и во II четвертях.
199
118.1. ⇔
=+=
llk
9180
⇔
=
−=
921
l
k 9
21 +−= xy .
Ответ: 921 +−= xy .
118.2. ⇔
=−+=
llk
6120
⇒
−=
=
621
l
k6
21 −= xy .
Ответ: 621 −= xy .
119.1.
1) ⇔
+−=−=
;65,0,35,0
xyxy
⇔
==
;9,32
xy
==
.9,5,1
xy
2) ⇔
+−=−=
;6,35,0
xyxy ⇔
+−==
.6,95,1
xyx
==
.0,6
yx
3) ⇔
+−=+−=
;6,65,0
xyxy ⇔
+−==
.6,05,0
xyx
==
.6,0
yx
Ответ: (9; 1,5), (6; 0), (0; 6).
119.2. 1) ⇔
+−=
+=
;621
,6
xy
xy⇔
+=
=
;6
,023
xy
x
==
.6,0
yx
2) ⇔
+=
+=
;211
41
,6
xy
xy⇔
+=
−=
629
43
xy
x
=−=
.0,6
yx
3) ⇔
+=
+−=
;211
41
,621
xy
xy⇔
+−=
=
62129
43
xy
x
==
.3,6
yx
Ответ: координаты вершин треугольника (0;6); (–6;0); (6;3).
120.1. 3
7
432×+
−=−−=+
yxyx
⇔
+=−=
xyx
7255
=−=25
yx
; 2 = –5k; k = –0,4.
Ответ: у = – 0,4х.
200
120.2. +⋅
−=+=− 2
423
113yx
yx
⇔
−==
113189xy
x
−==
52
yx
–5 = 2k; k = –2,5.Ответ: у = –2,5х.
121.1.
==
⇔
−==
⇔
−=−=
.2,2
;222,2
;22,26
xy
xy
xyxy
y=3x–4, y(2)=6–4=2, 2=2 – равенство верное, значит точка (2; 2) принад-лежит всем 3–м прямым.
121.2. ⇔
=−=
xyxy
5,04
⇔
−==
.4,45,1xy
x
=
=
.34
,38
y
x
у=4х–1, у
38 =
332 –1=
329
.
329
≠34
, т. о. эти прямые не имеют общей точки.
201
НЕРАВЕНСТВА
122.1. ;2
133
276
72 xxx −−≤−+−
)1(318)27(272 xxx −−≤−+−2x–7+14x–4 ≤ 18–3+3x;13x ≤ 26; x ≤ 2.x∈(–∞; 2].Ответ: (–∞; 2].
122.2. .120
76425
10134 −−≥+−+ xxx
2(4x+13)–5(5+2x) ≥ 6–7x–20;8x+26–25–10x ≥ –7x–14;5x ≥ –15; x ≥ –3.x∈[–3; +∞).Ответ: [–3; +∞).
123.1. ;04
733
316 >+−− aa
;0)73(3)316(4 >+−− aa;02191264 >−−− aa ;4321 <a
;2143<a .
2112<a
Наибольшим целым значением a, удовлетворяющим этому условию,является a=2.
Ответ: a=2.
123.2. 0223
5211 <−+− aa
2(11–2a)+5(3–2a)<0;22–4a+15–10a<0;–14a+37<0; 14a>37;
;1437>a .
1492>a
Минимальное целое значение а=3.Ответ: a=3.
124.1. .51
856
432 +−≤− xx
10(2–3x) ≤ 5(6–5x)+8;20–30x ≤ 30–25x+8;–30x+25x ≤30+8–20;5x ≥–18; x≥–3,6.Ответ: [–3,6; 0].
2 x
��������������������������������������������������������������������������������������������
x–3
��������������������������������������������������������������������������������������������������
a1492
��������������������������������������������������������������������������������������������
0 x–3,6
������������������������������������������������������������������������������������������
–5
202
124.2. .43
634
321 +−≤− xx
4(1–2x) ≤ 2(4–3x)+9;4–8x ≤ 8–6x+9; 2x ≥ –13; x ≥ –6,5.х∈[–6,5; 0].
125.1. .3
512118
47 −>−++− xxxx
);5(4)118()7(312 −>−++− xxxx;20411832112 −>−+−− xxxx
6x < 7;
.611<x .
611;
∞−∈x
Если х – натуральное и х ∈ (–∞; 67 ), то х=1.
Ответ: x=1.
125.2. ;15
1133
25
12 −>−−−+ xxxx
;113)2(5)12(315 −>−−−+ xxxx ;113153615 −>−+−−+ xxxx
3x >–8; ;38−>x .
322−>x
Если х – целое и х <0, то x= –2, x= –1.Ответ: при x= –2 и x= –1.
126.1. ;323210 <−+< x
0<2+2–3x<6; 0<4–3x<6;–4<–3x<2; 4>3x>–2;
.34
32 <<− x x∈ .
34;
32
−
Ответ: х ∈ .311;
32
−
126.2.
<−−
−>−−
02521
,22521
x
x
⇔
<−−−>−−01021
,101021xx
⇔
⇔
−><
92,12
xx
⇔
<−>
.5,0,5,4
xx
x∈(–4,5; 0,5).Ответ: х ∈ (–4,5; 0,5).
0 x–6,5
����������������������������������������������������������������������������������������
–10
����������������������������������������������������������������������������������������
x611
34 x
–32
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������
0,5 x–4,5
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������
203
127.1. 0,1≤0,1x–0,8≤0,5;1≤ x–8≤5;9≤ x ≤13.Ответ: [9;10].127.2. 0,3≤0,5, +0,1х≤0,6.–0,2≤0,1х≤0,1.–2≤х≤1,но х∈[–5; –1],т. о. х∈[–2; –1].
.12 −≤≤− xОтвет: x∈[–2; –1].128.1. (х – 1)(3 – 2х) > –6;2x2 – 5x – 3 < 0;D = 25 + 24 = 49;
( ) 0213 <
+− xx
Ответ:
−∈ 3 ;
21x .
128.2. (3x + 7)(1 – x) < 3; 3x2 + 4x – 4 > 0;
161244
=+=D ;
( ) 0322 >
−+ xx ;
( )
∞+∪−∞−∈ ;
322 ;x .
Ответ: ( )
∞+∪−∞−∈ ;
322 ;x .
129.1. ;9)3( 22 xx −>−(х–3)(х+3+х–3)>0.х(х–3)>0.х∈(–∞; 0)∪(3; +∞).Ответ: х∈ (–∞; 0)∪(3; +∞).129.2. 4–x2>(2+x)2;(х+2)(х+2+х–2)>0.х(х+2)>0.x∈(–2; 0);Ответ: х∈ (–2; 0).
1013
2 9
����������������������������������������������������������������������������������������������
x
��������������������������������������������������������������������������������������������
–5 –2 –1 x
����������������������������������
1
x0 3
��������������������������������������������������
–2 0 x
204
130.1. (x+2)(2–x)<3x2–8;4–x2–3x2+8<0; 12–4x2<0; х2–3>0
(х– 3 )(х+ 3 )>0.
х∈(–∞; – 3 )∪( 3 ; +∞).
Ответ: х∈ ( ) ( ).;33; ∞+∪−∞−
130.2. 2x2–6<(3–x)(x+3);2x2–6–9+x2<0; 3x2–15<0;( )( ) .055 <+− xx ( ).5;5−∈x
Ответ: х∈ ( ).5;5−
131.1. 9
262
2 −≤ xx ;
9х2 – 12х + 4 ≤ 0; (3х – 2)2 ≤ 0; 32=x .
Ответ: 32=x .
131.2. 28
912 2xx <− ; 4x2 – 12x + 9 > 0; (2x – 3)2 > 0;
x ∈ (–∞;211 ) ∪ (
211 ; ∞).
Ответ: x ∈ (–∞;211 ) ∪ (
211 ; ∞).
132.1. ( )( ) 01034
20 >−+
−xx
;
(х + 4)(10х – 3) > 0; х ∈ (–∞; –4) ∪ (0,3; +∞).Ответ: х ∈ (–∞; –4) ∪ (0,3; +∞).
132.2. ( )( ) 01510
14 <−+ xx
;
(х – 1)(10х + 5) > 0; х ∈ (–∞; –0,5) ∪ (1; +∞).Ответ: х ∈ (–∞; –0,5) ∪ (1; +∞).133.1. x2–2x ≤ 2; x2–2x–2 ≤ 0.
Нули: x2–2x–2=0; ,3214
=+=D ;311 −=x .312 +=x
(х–1+ 3 )(х–1– 3 )≤0.
х∈ [1– ;3 1+ 3 ], но х>0.
Ответ: х ∈ [ ].31;0 +
x3− 3
5− 5 x
x1- 3 1+ 3
205
133.2. x2+2x ≤ 1; x2+2x–1≤0.Нули: x2+2x–1=0; D=4–4⋅(–1)=8,
;212
2221 −−=−−=x .21
2222
2 +−=+−=x
(х+1– 2 )(х+1+ 2 )≤0.
х∈ [–1– 2 ; –1+ 2 ], но х<0.
т. о. х∈ [–1– 2 ; 0).
Ответ: х ∈ [ )0;21−− .
134.1. 0,8x2 ≤ x+0,3; 8x2–10x–3 ≤ 0.Нули: 8x2–10x–3;
,49)3(8254
=−⋅−=D
;41
82
875
1 −=−=−=x .211
23
812
875
2 ===+=x
(х+41 )(х–
23 )≤0.
х∈[–41 ;
23 ], но х∈[1
31 ; 2],
т. о. х∈[131 ; 1
21 ].
Ответ: х ∈
211;
311 .
134.2. 0,6x2 ≤ 0,5–1,3x; 6x2+13x–5 ≤ 0.Нули: 6x2+13x–5=0;D=169+120=289,
;5,225
1230
121713
1 −=−=−=−−=x .31
124
121713
2 ==+−=x
(х+2,5)(х–31 )≤0.
х∈[–2,5; 31 ], но х∈[
41 ; 1],
и т. к. –2,5<41 <
31 <1,
то х∈[41 ;
31 ]
Ответ: .31;
41
�������������������������������
1– 2 21+− x
��������������������������������������������������
0
x
14−
23
x
21-2,5
206
135.1. 032
3212 <−− xx ;
3х2 – 5х – 2 < 0;D = 25 + 24 = 49;
( ) 0312 <
+− xx .
−−∈⇒
−−∈
−∈
41 ;
31
41 ;1
2 ;31
xx
x.
Ответ:
−−∈
41 ;
31x
135.2. 0322
322 <−+ xx ;
3х2 + 2х – 8 < 0;
(x + 34 )(x –
32 ) < 0;
−∈⇒
−∈
−∈
0;311
0;211
32;
311
хх
х.
Ответ:
−∈ 0;
311х
136.1. 022121 22 >+−=+− xxxx , всегда, т.к. D < 0.
136.2. 0221 2 <−+− xx , т.к. D = 1 – 4 < 0.
137.1. x2 > x – 2; x2 – x + 2 > 0;D = 1 – 8 < 0.137.2. x – 1 < x2; x2 – x + 1 > 0;D = 1 – 4 < 0.
138.1. –x2 +32 x –
91 =–(x2 –
32 x +
91 )=–(х–
31 )2≤0.
138.2. .03123 2 >−+− xx
.313
91
323
3123
222
−−=
+−−=−+− xxxxx 0
313
2
≤
−− x
207
139.1.
>+−
+−<−−
04
82
,3554
211
x
xx
⇔
>−−−−<+−
088,101024336
xxx
⇔
⇔
<<0
,1113x
x⇔
<
<
01311
x
x⇔ x<0
Ответ: х ∈ (–∞; 0).
139.2.
<−
+−>+−
xx
xx
43
,2
613232
⇔
<−+−>+−
xxxx
412),6(36)23(212
⇔
⇔
−<−−−−>−−
124,18364612
xxxx
⇔
><
.4,2,18
xx
184,2
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ x
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
x∈(2,4; 18).Ответ: х ∈ (2,4; 18).
140.1.
<−−≤−
≥
03,1231
,03
xxx
x
⇔
>≥
≥
3,25
,0
xx
x⇔
>
≥
≥
.3
,52.0
x
x
x
520 x
��������������������������������������������3
Ответ: (3; +∞).
140.2. ⇔
+≥−>−
≤
122,02
,02
xxx
x
⇔
≤<≤
13,2,0
xxx
⇔
≤
<≤
.31,2,0
x
xx
х≤0.
Ответ: (–∞; 0].
208
141.1.
−>
≤−<−
12
,05,343
xx
xx⇔
−>≤
<
2,0,12
xx
x⇔
−>≤
<
2,0
,21
xx
x
⇔
⇔ ,02 ≤<− x
02− x
������������������������������������������������
21
Ответ: x∈(–2; 0].
141.2.
−>−
−>
≤
xx
xx
314
,13
,03
⇔
−<−>
≤
1,3
,0
xxx
⇔
⇔ .13 −<<− xОтвет: x∈ (–3; –1).142.1.
≥++<
+≤+
072,32
,73125
xxx
xx⇔
−≥<−
−≤−
72,32
,12735
xxxxx
⇔
−≥−>−≤
5,3,3
,52
xxх
⇔
−≥−>
−≤
5.3325
xx
x
⇔
x
���������������������������������������
0–2,5–3–3,5
Ответ: х ∈ (–3; –2,5].
142.2.
+<+−>≥+
626513012
xxxx
x⇔
<<−≥
03,12
,5,0
xx
x⇔
<<
−≥
05,0
,5,0
xxx
x
��������������������������
0,50–0,5
Ответ: x∈[0,5; 0).
209
143.1.
≤−>+−
025,0862
xxx ⇔
( )( )
−≤−>−−
52,042
xxx
⇔
≥
><
5,2,4,2
xxx
x
������������������������������������������������
������������������������������������������������
4 2,5 2
Ответ: x∈ (4; +∞).
143.2.
>−≤+−
02,0572 2
xxx ⇔
<≤+−
.2,0572 2
xxx
Нули: 2x2–7x+5=0;D=49–4⋅2⋅5=49–40=9,
;144
437
1 ==−=x
.5,24
104
372 ==+=x
<≤−−
.20)5,2)(1(
xxx
<≤≤.2
,5,21x
x
х∈[1; 2).Ответ: x∈[1; 2).
144.1.
<−≤+−
0310,09102
xxx ⇔ ⇔
>
≤−−
310
,0)9)(1(
x
xx
>
∈
310
]9;1[
x
x
х∈(3
10 ; 9].
Ответ: x∈ .9;313
144.2. ⇔
<−≤+−
.049,0452
xxx ⇔
>
≤−−
49
,0)4)(1(
x
xx
>
∈
49
)4;1[
x
x
х∈(49 ; 4]
1 x
������������������������������������������������������������������������������
425,2
Ответ: x∈ (2,25; 4].
210
145.1.
≥−>+−
;014,0156 2
xxx найдем нули квадратного трехчлена:
6x2–5x+1>0.Нули: 6x2–5x+1=0;D=25–24=1,
;31
124
1215
1 ==−=x
.21
126
1215
2 ==+=x
(x–31 )(x–
21 )>0
х∈(–∞; 31 )∪(
21 ; +∞).
⇔
≥
>
<
;41
,21
,31
x
x
x
⇔
>
<≤
.21
,31
41
x
x⇒
.;21
31;
41
∞+∪
Ответ: х ∈ .;21
31;
41
∞+∪
145.2.
>+≥−+
.0113,01432 2
xxx
−>
≥
−≤
.3
11.2
5,3
x
xx
x∈(–3
11 ; –3,5]∪[2; +∞).
Нули: 2x2+3x–14=0; D=9+8⋅14=9+112=121,
;5,34
144
1131 −=−=−−=x .2
48
4113
2 ==+−=x
(х+3,5)(х–2)≥0.x∈(–∞; –3,5]∪[2; +∞).
Ответ: х ∈ [ ).;25,3;323 ∞+∪
−−
x
21
31
x
21
31
x-3,5 2
211
146.1.
>
≤
4
,191
2
2
x
x⇔
>
≤
4
,92
2
x
x⇔
>−
≤−
04
,092
2
x
x⇔
⇔
>+−≤+−
0)2)(2(,0)3)(3(
xxxx
⇔
>
−<≤≤−
22
,33
xx
x⇔
>≤≤−
−<≤≤−
2,33
,2,33
xx
xx
⇔
⇔ ⇔
≤<
−<≤−.32
,23x
xх ∈[–3; –2)∪(2; 3].
Ответ: х ∈[–3; –2)∪(2; 3].
146.2. ⇔
>
≤
;1
,141
2
2
x
x⇔
>
≤
;1
,42
2
x
x⇔
>−
≤−
;01
,042
2
x
x
⇔
>+−≤+−
.0)1)(1(,0)2)(2(
xxxx
>
−<≤≤−
.11
.22
xx
x
Ответ: х ∈[–2; –1)∪(1; 2].
147.1.
>
≤−
;0
,0142
2
x
x,0
412 ≤−x ,0
21
21 ≤
+
− xx
≠
≤≤−
.021
21
x
x
x∈[–21 ; 0)∪(0;
21 ].
Ответ: х ∈ .21;00;
21
∪
−
147.2. ( )
⇔
≥−
>−
;0169
,012
2
x
x ( )⇔
≥−
>−
;013
,0122
2
x
x
( )⇔
≤−
>−
;013
,0122
2
x
x ( )( )( )
≤+−>−
;01313,01 2
xxx
1) y=(x–13)(x+13);D(y)=(–∞; +∞).2) Нули функции:(x–13)(x+13)=0;x–13=0; x=13 или x+13=0; x= –13.
212
3) [ ].13;13−∈x Т.к. ( ) 01 2 >−x .х ∈[–13; 1)∪(1; 13].
13
���������������������������������������������������������������������������������13− x
Ответ: х ∈[–13; 1)∪(1; 13].
148.1. ( ) .6021610106261062
+=+⋅+=+
( ) .5521611115251152
+=+⋅+=+
т. к. ,5560 > то ,5521660216 +>+
Ответ: .115106 +>+
148.2. ( ) ;182966323632
+=+⋅+=+
( ) .142977222722
+=+⋅+=+
т.к. ,1418 > то ,14291829 +>+
Ответ: .7263 +>+
149.1. ( ) .442151111441122
+=++=+
( ) .502151050251052
+=++=+
т.к. 44<50, то ,5044 < то 15+2 44 <15+2 50 .
Ответ: .105112 +<+
149.2. ( ) .24016602161060261062
+=+=++=+
( ) .2521673616736167769732
+=⋅+=⋅+=++=+
Т.к. ,252240 < значит, .2521624016 +<+
Ответ: .73106 +<+
150.1. 102426 ∨+ ; 1002425250 ∨⋅+ ; 252425 ∨⋅ ;
24 < 25 ⇒ 102426 <+ .
Ответ: 102426 <+ .
150.2. 144850 ∨+ ; 1964850298 ∨⋅+ ;
2401492400 =< .
Ответ: 144850 <+ .
213
151.1. ,031 2 ≥+ xx
.032 ≥+ xxх(х+3)≥0.x∈[–∞; –3]∪[0; +∞).Ответ: при x∈[–∞; –3]∪[0; +∞).
151.2. .041 2 ≥− xx
x2–4x≤0, ( ) .04 ≤−xx
x∈[0; 4].
Ответ: выражение 241 xx − имеет смысл при [ ].4;0∈x
152.1. ;023 2 ≥−− xx
.0322 ≤−+ xx (х+3)(х–1)≤0.
x∈[–3; 1].Ответ: [ ].1;3−
152.2. 10+3x–x2≥0.х2–3х–10≤0.(х–5)(х+2)≤0.x∈[–2; 5].Ответ: [ ].5;2−
153.1. ;0121
1272 <++ xx .01712 2 <++ xx
Нули: 12x2+7x+1=0; D=49–48=1,
;31
248
2417
1 −=−=−−=x
.41
246
2417
2 −=−=+−=x
(х+31 )(х+
41 )<0.
x∈(–31 ; –
41 ).
Ответ: выражение не имеет смысла при x, принадлежащих интервалу
.41;
31
−−
x-3 0
x0 4
x-3 1
x-2 5
x
31−
41−
214
153.2. .061
652 <++ xx
Нули: 6x2+5x+1=0;D=25–24=1,
;21
126
1215
1 −=−=−−=x .31
124
1215
2 −=−=+−=x
(х+21 )(х+
31 )<0.
x∈(–21 ;
31 ).
Ответ: выражение не имеет смысла при x, принадлежащих интервалу
.31;
21
−−
154.1. .012 2 ≥+− xxНули: 2x2–x+1=0; D=(–1)–4⋅2⋅1=1–8= –7, D<0; значит парабола не имеет
общих точек с осью x, т. о. у>0 всегда.Ответ: область определения функции: (–∞; +∞).
154.2. .0243 2 ≥+− xxНули: 3x2–4x+2=0;
( ) ;2642324
2 −=−=⋅−−=D
,04
<D значит парабола не имеет общих точек с осью x, т. о. у>0 всегда.
Ответ: область определения функции: (–∞; +∞).
155.1. .04241 2 >++ xx
х2+8х+16>0, (х+4)2>0, всегда, кроме х=–4.Ответ: область определения (–∞; –4)∪(–4; +∞).
155.2. .09129 2 >+− xx
х2–18х+81>0, (х–9)2>0, всегда, кроме х=9.Ответ: область определения (–∞; 9)∪(9;+∞).
156.1. .0452 2 >−x х2>10, (х– 10 )(х+ 10 )>0.
x∈(–∞; – 10 )∪.( 10 ; +∞).
Ответ: выражение имеет смыслпри x∈(–∞; – 10 )∪.( 10 ; +∞).
x
21−
31−
x10− 10
215
156.2. .0312 2 >− x
x2<6, ( )( ) .066 <+− xx
x ( )6;6−∈
Ответ: исходное выражение имеет смысл при x ( )6;6−∈
157.1.
≠+≥−
.02,01
xx
−≠≤
.2,1
xx
x ( ) ( ].1;22; −∪−−∞∈
Ответ: выражение имеет смысл при: x ( ) ( ].1;22; −∪−−∞∈
–2 1 х
157.2. ⇒
≠≥+.02
,03x
x
≠−≥
.0,3
xx
[ ) ( )+∞−∈ ;00;3 UxОтвет: выражение имеет смысл при: [ ) ( )+∞∪−∈ ;00;3x
–3 0 х
158.1. ( )( )
⇔
−≠≤−+
⇔
−≠≤−+⇔
≠+≥−−
3,016
3,065
.03,056 22
xxx
xxx
xxx
⇔
−≠≤≤−
⇔.3
,16x
x
≤<−−<≤−
.13,36
xx
–6 1
-3 +
–
Ответ: x [ ) ( ].1;33;6 −∪−−∈
158.2.
≠≤−−⇔
≠−≥−+
.1,032
;01,023 22
xxx
xxx
≠≤−+
⇔1
0)5,1)(1(x
хx
х[–1; 1)∪(1; 1,5]. 2x2–x–3≤0Нули: 2x2–x–3=0,D=1–4 2 (–3)=1+24=25,
x1= ;144
451 −=−=− x2= .5,1
46
451 ==+
(х+1)(х–1,5)≤0.x [ ].5,1;1−∈Ответ: x [ ) ( ].5,1;11;1 ∪−∈ x-1 1,5
��������������������������������������������������
66−x
216
159.1.
≤<
<≤−⇔
≠
≤≤−⇔
≠≤−+⇔
≠≥−−
.210
,03
0
,213
010,0352
010,0253 22
x
x
x
xx
xxx
xx
2x2+5x–3≤0.Нули: 2x2+5x–3=0;D=25–4 2 (–3)=25+24=49,
x1= ;3412
475 −=−=−−
x2= .21
42
475 ==+−
(х+3)(х–21 )≤0.
Ответ: область определения функции – [ ) .21;00;3
∪−
159.2.
≠
≥−−
.0
,03522
2
x
xx;
3x2+5x–2 ≤ 0. 3x2–5x–2=0;D=25–4 3 (–2)=25+24=49,
x1= ;26
126
75 −==−− x2= .31
62
675 ==+−
(х+2)(х–31 )≤0.
≠≤−+
.0,0253 2
xxx ;
≠
≤≤−
0312
x
x
x∈[–2; 0)∪(0; 31 ]. х∈[–2;
31 ].
Ответ: [ ) .31;00;2
∪−
160.1. ⇒
−≠≥−−⇒
≠+≥−−
.5,2,0143
;052,0143 22
xxx
xxx
−≠
≥
−≤
5,2312
2
x
x
x
x∈(–∞; –2,5)∪(–2,5; –2]∪(–231 ; +∞).
3x2–x–14≥0.
x-321
–2+
31
217
Нули: 3x2–x–14=0;D=1–4 3 (–14)=1+168=169,
x1= 612
6131 −=− = –2; x2= .
312
37
614
6131 ===+
(х+2)(х–37 )≥0.
x∈(–∞; –2]∪[37 ; +∞).
Ответ: x∈ ( ) ( ]
+∞∪−−∪−∞− ;
3122;5,25,2;
160.2. ⇒
≠−>−−
,027,01543 2
xxx ⇒
≠≥−−
.5,3,01543 2
xxx
≠
≥
−≤
5,33
35
xx
x
x∈(–∞; –35 ]∪[3; 3,5)∪(3,5; +∞).
3x2–4x–15≥0Нули: 3x2–4x–15=0;
4D =4–3 (–15)=49,
x1= ;321
35
372 −=−=−
x2= 39
372 =+ =3.
(х+35 )(х–3)≥0.
x∈(–∞; –35 ]∪[3; +∞).
Ответ: x∈ [ ) [ ).;5,35,3;3321; ∞+∪∪
−∞−
161.1. 1
12
+++=
xxxy ;
−≠≥++
1012
xxx
D = 12 – 4 ⋅ 1 ⋅ 1 < 0 ⇒ x2 + x + 1 > 0 при всех х.Ответ: х ≠ –1.
x-237
x-
35 3
218
161.2. 1
12
−+−=
xxxy ;
≥+−
≠
01
12 xx
x
D = (–1)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 1 < 0 ⇒ x2 – x + 1 > 0 при всех х.Ответ: х ≠ 1.
162.1. 11
2
2
−+=
xxy ;
±≠≥+
1012
xx
x2 + 1 > 0 при всех х.Ответ: х ≠ ±1.
162.2.
±≠≥+
2022
xx
x2 + 2 > 0 при всех х.
Ответ: х ≠ ±2.163.1. a1=–10,2, a2= –9,5; d=a2–a1= –9,5–(–10,2)= 0,7;an= –10,2+0,7(n–1)= –10,2+0,7n–0,7=0,7n–10,9>0.
n>1574
, ⇒ n = 16, т.к. n – натуральное.
a16=a1+d ⋅15 = –10,2+0,7 ⋅ 15= –10,2+10,5=0,3.Ответ: a16=0,3.163.2. a1=12,5, a2=11,2.d=11,2–12,5= –1,3; an=12,5–1,3(n–1)=12,5–1,3n+1,3=13,8–1,3n.13,8–1,3n<0.
13,8–1,3n<0; 1,3n>13,8, n>13
138 ; n>10138 , ⇒ n = 11, т.к. n – натуральное.
a11=12,5–1,3⋅10= –0,5.Ответ: –0,5.164.1. a1=96,4; a2=91,8. d=a2–a1=91,8–96,4= –4,6.an=96,4–4,6(n–1)=96,4–4,6n+4,6=101–4,6n>0.
–4,6n>–101; n< ;6,4
101 n<214644 ; n<21
2322
⇒ n = 21, т.к. n – натуральное.
Ответ: в арифметической прогрессии 21 положительный член.164.2. a1= –38,5; a2= –35,8.d=a2–a1= –35,8–(–38,5)=2,7.an= –38,5+2,7(n–1)= –38,5+2,7n–2,7= –41,2+2,7n<0.
2,7n<41,2 n<27412 ; n<15
277 ⇒ n = 15, т.к. n – натуральное.
Ответ: в данной арифметической прогрессии 15 отрицательных членов.
219
165.1. d=a2 – a1=21,4–22,7= –1,3;an =22,7–1,3(n–1)=22,7–1,3n+1,3=24–1,3n>0.
n < 18 613
, ⇒ n ≤ 18, т.к. n – натуральное.
a18=22,7–1,3⋅17=0,6; a19=22,7–1,3⋅18=–0,7.0,6=0,6, а –0,7=0,7.Ответ: a18=0,6.165.2. d=a2 – a1= –14,4–(–15,1)= –14,4+15,1=0,7;an = –15,1+0,7(n–1)= –15,1+0,7n–0,7= –15,1+0,7n<0.
0,7n<15,8; n < 22 47
, ⇒ n ≤ 22, т.к. n – натуральное.
a22= –15,8+0,7⋅22= –15,8+15,4= –0,4;a23= –15,8+0,7⋅23= –15,8+16,1=0,3.–0,4=0,4, а 0,3=0,3.Ответ: a23=0,3.166.1. d=a2 – a1= –6,3–(–7,1)= –6,3+7,1=0,7;an = –7,1+0,8(n–1)= –7,1+0,8n–0,8= –7,9+0,8n<0.
0,8n<7,9; n <798
; n < 9 78
, ⇒ n ≤ 9, т.к. n – натуральное.
a9= –7,9+0,8⋅9= –7,9+7,2= –0,7.
S a a9
1 92
9=+
⋅ = 1,3592
8,792
7,01,7 −=⋅−=⋅−−.
Ответ: –35,1.166.2. d=a2–a1=5,8–6,3= –0,5.аn=6,3–0,5(n–1)=6,3–0,5(n–1)=6,8–0,5n>0.6,8–0,5n>0; 0,5n<6,8.
5313<n , ⇒ n ≤ 13, т.к. n – натуральное.
а13 =6,8–0,5⋅13=6,8–6,5=0,3.
132
13113 ⋅
+=
aaS = 9,42133,313
26,613
23,03,6 =⋅=⋅=⋅+
.
Ответ: 42,9.167.1. d=a2–a1=19,3–24,1= –4,8.an= 24,1–4,8(n–1)=24,1–4,8n+4,8=29,9–4,8n>0. –4,8n>–28,9;
;48
289<n 4816<n , ⇒ n ≤ 6, т.к. n – натуральное.
a6=28,9–4,8 ⋅ 6=28,9–28,8=0,1.
( ) 362 61
616 ⋅+=⋅
+= aa
aaS =(24,1+0,1)3=72,6.
Ответ 72,6.
220
167.2. d=a2–a1= –8,3+9,6=1,3.an= –9,6+1,3(n–1) = –9,6+1,3n –1,3= –10,9+1,3<0.
1,3n<10,9; 1358<n , ⇒ n ≤ 8, т.к. n – натуральное.
a8= –10,9+1,3⋅8=10,9+10,4= –0,5.
4)(82 81
818 ⋅+=⋅
+= aa
aaS =(–9,6–0,5)⋅4= –10,1⋅4= –40,4.
Ответ: –40,4.168.1. а1=1 и d=1.
S n nn =⋅ + −
⋅2 1 1
2( )
=n n( )+1
2, т. к. Sn>120, то
n n( )+12
>120;
n(n+1)>240; n2+n–240>0. (k+16)(k–15)>0.
k-16 15
k∈(–∞; –16)∪(15; +∞), ⇒ n ≤ 16, т.к. n – натуральное.Ответ: для получения суммы последовательных натуральных чисел
большей 120 надо сложить 16 и более чисел.168.2. а1=2, d=2.
S n nn =⋅ + −
⋅2 2 1
2( )
=2 1
1+ −
⋅( )n n =(n+1)⋅n,
т. к. Sn>110, то (n+1)(n–10)>0
n-11 10
n∈(–∞; –11)∪(10; +∞), ⇒ n ≤ 11, т.к. n – натуральное.(n+1)n>110; n2+n–110>0.Ответ: складывают 11 и более четных чисел, начиная с 2.169.1. а1=1 d=2.
S n n n n nn =⋅ + −
⋅ =+ −
⋅ =2 1 2 1
22 1 1
22( ) ( )
,
т. к. Sn<400, то n∈(–20; 20), ⇒ n∈[1; 19], т.к. n – натуральное.n2<400.Ответ: 19 последовательных нечетных чисел, начиная с 1.
169.2. S n n n n nn =⋅ + −
⋅ =+ −
⋅ =2 1 2 1
22 1 1
22( ) ( )
,
т. к. Sn>90, то n2>900; n>30; n<–30 или n>30, ⇒ n ≥ 31, т.к. n – нату-ральное.
Ответ: необходимо сложить 31 последовательное нечетное число, начи-ная с 1.
221
170.1. Пусть задуманное целое число равно х.Составим систему неравенств.
⇒
<−
>+
;84
7
,85
3
x
x
⇒
<−>+
;327,403
xx
⇒
<>
;39,37
xx
37<x<39,
но т. к. х∈Z, то х=38.
3937
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ x
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Ответ: 38.170.2. Пусть х – задуманное целое число.Составим систему
⇒
>+
<−
;511
8
,59
4
x
x
⇒
>+<−
;558,454
xx
><
;47,49
xx
47<x<49, но т. к. х∈Z, то х=48.
4947 x
������������������������������������������������������������
Ответ: 48.171.1. Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна х.Составим систему.
⇔
<++<
5521,221
xxx
⇔
<>
⇔
<>
.17,5,10
342,5,10
xx
xx
10,5<x<17.
175,10
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� x
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Ответ: 10,5<x<17.171.2. Пусть основание равнобедренного треугольника – х дм, т. к. сто-
рона треугольника меньше суммы 2–х других сторон.Составим систему.
⇒
<<>++.260
,441313x
x
<>
.26,18
xx
260 x
��������������������������������
18Ответ: х∈(18; 26).
222
172.1. Пусть длина меньшей стороны прямоугольника – х см.Составим систему неравенств.
⇒
>>+
;0,180)3(
xхx
⇒
>>−+
.0,018032
xxx
>>−+
00)12)(15(
xxx
х-15 12
����������������������������������������������������������������
������������������������������������ x0 12
������������������������
–15
>+∞∪−−∞∈
.0);12()15;(
xx
х>12.
Ответ: большая сторона прямоугольника может иметь длину, большую12 см.
172.2. Пусть длина большего катета прямоугольного треугольника –х см.
Составим систему неравенств.
⇒
>−
>−
;05
,752
)5(
x
хx ⇒
>>−−
.5,015052
xxx
>>−+
.50)15)(10(
xxx
х-10 15
����������������������������������������������������������������
������������������������������������ x
5 15
������������������������
–10
>+∞∪−−∞∈
.5);15()10;(
xx
х>15.
Ответ: больший катет заданного треугольника может иметь длину,большую 15 см.
173.1. Пусть длина большего катета прямоугольного треугольника –х см.
Составим систему неравенств.
⇒
>−
<−
;02
,602
)2(
x
хх ⇒
><−−
.2,012022
xхх ⇒
><−+
.20)12)(10(
xxx
х-10 12
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������ x2 12
–10
>−∈.2
)12;10(xx
х∈(2; 12).
х∈(2;12).Ответ: больший катет заданного треугольника может иметь длину,
большую 2 см, но меньше 12 см.
223
173.2. Пусть большая сторона треугольника равна х. Составим системууравнений.
⇒
>−<−;04
,165)4(xхх
⇒
><−−
.4,016542
xxx ⇒
><−+
.40)15)(11(
xxx
х-11 15����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������ x4 15
–11
>−∈.4
)15;11(xx
х∈(4; 15).
Ответ: большая сторона прямоугольника может иметь длину, большую4 см, но меньшую 15 см.
224
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
174.1. у=2
3 x− . у= –0,5х+1,5.
х 0 1у 1,5 1
у= –0,5х+1,5 – График – прямая.Из графика видно, что 0≤у≤1,5 при0≤х≤3.
Ответ: при х∈[0;3].
174.2. у=3
62 +x . у= 232 +x .
График – прямая.х 0 –3у 2 0
Из графика видно, что 0≤у≤4при х[–3; 3].
Ответ: неравенство 0≤у≤4 вер-но при всех –3≤х≤3.
175.1. у=x5,1 .
График – гипербола, ветви вI и III координатных четвертях.
x –1,5 –1 1 1,5y –1 –1,5 1,5 1
По рисунку видно, что у<3,при х∈(–∞;0)∪( 0,5;+ ∞).
Ответ: у<3, прих∈(–∞;0)∪( 0,5;+ ∞).
����������������������
23 xy −=
362 += xy
xy 5,1=
3=y
��������������������������������������������������������������������������������
225
175.2. x
y 5,2−= . График –
гипербола, ветви во II и IV ко-ординатных четвертях.
x –2,5 –1 1 2,5y 1 2,5 –2,5 –1
−=
−>−
xy
y5,25
;
;55,2 −>−x
;55,2 <x
;055,2 <−x
;055,2 <−x
x
;05,25 >−x
x
x∈(–∞; 0)∪(0,5; +∞).
5,00 x
Ответ: y>–5 при x<0 или x>0,5.176.1. у ∈ [2; 6]. y = x2 – 2x + 3
x 0 –1 1 –2 2y 3 6 2 11 3
xy 5,2−=
xy 5,2−=
226
176.2. y ∈ [–7; –3]. y = –x2 + 2x – 4x 0 1 –1 2 –2y –4 –3 –7 –4 –12
у
177.1. y=2x2+4x–2,5.График – парабола, ветви
вверх.
Вершина: 144
0 −=−=x ,
y0=y(–1)=2⋅(–1)2+4⋅(–1)–2,5==2–4–2,5= –4,5.
x –1 0 1y –4,5 –2,5 3,5
Найдем значения y, если–3≤x≤0.
y(–3)=2⋅(–3)2+4⋅(–3)–2,5=18–12–2,5= 3,5. y(0)= –2,5; y(–1)= –4,5.Из графика видно, что если –3≤x≤0, то –4,5≤y≤3,5.Ответ: если –3≤x≤0, то –4,5≤y≤3,5.
177.2. y= –2x2–8x–3,5.График – парабола, ветви вниз.
x 1y –13,5
Найдем значения y при x∈[–3; 0].y(–3)=2,5; y(–2)=4,5;y(0)= –3,5.Из графика видно, что если
x∈[–3; 0], то y∈[–3,5; 4,5].Ответ: если x∈[–3; 0],
то y∈[–3,5; 4,5].
5,242 2 −+= xxy
������������������������������������
��������������������������
������������������������������
�����������������������
5,382 2 −−−= xxy
227
178.1. y = –2x2 + 4x – 3x 0 1 2 –1 3y –3 –1 –3 –9 –9
1)2(2
4 =−
−=вх
1−=ву
х ∈ (0; 2)178.2. y = 2x2 + 4x + 5
x 0 –1 –2 1 –3y 5 3 5 11 11
1224 −=⋅
−=вх
3=ву
х ∈ (–∞; –3) ∪ (0; +∞).
228
179.1. y = –x2 – 4xx –2 0 –4 1 –5y 4 0 0 –5 –5
2)1(2
4 −=−
=вх
4=ву
х ∈ (–∞; –3) ∪ (–1; +∞).179.2. y = –x2 – 2x
x –1 0 –2 1 –3y 1 0 0 –3 –3
1)1(2
2 −=−
=вх
1=ву
x ∈ (–3; 1).
229
180.1. 3231 2 ++= xxy .
График – парабола, ветви вверх.
Вершина: 3
312
20 −=
⋅
−=x ;
y0=y(–3)=31 ⋅9–6+3=0.
A (–3; 0) – вершина параболы.x –3 0 3Y 0 3 12
т. к. ветви вверх, то у≥у0=0.Ответ: область значений функции – промежуток [0; +∞).
180.2. 141 2 −+= xxy .
График – парабола, ветви вверх.
Вершина: 224
412
10 −=−=
⋅
−=x ;
y0=y(–2)=41 ⋅4 – 2 –1= –2.
X –2 0 2Y –2 1 2
т. к. ветви вверх, то у≥у0=–2.
141 2 −+= xxy
Ответ: область значений функции y≥–2.
3231 2 ++= xxy
230
181.1. 213
21 2 −+−= xxy . График
– парабола, ветви вниз.
Вершина: 3
212
30 =
−⋅
−=x ;
y0= –29 + 9 –
21 = –5+9=4.
x 1 3 5y 2 4 2
т. к. ветви вниз, то у≤у0=4.Ответ: область значений функции
(–∞; 4].
181.2. 211 2 +−−= xxy . График – парабола, ветви вверх.
Вершина: 224
412
10 ==
⋅=x ;
y0= 41 ⋅22–2+
21 = –1+
21 = –
21 .
x 1 2 3
y –41 –
21
–41
т. к. ветви вверх, то у≥у0=–21
.
Ответ: y∈
+∞− ;
21
.
182.1.
xxy
−−=
242
=
22
)2)(2( −−=−
+−= xx
xx ; y= –x–2.
График – прямая, x≠2.
x 0 –2y –2 0
Т.о. график – прямая у=–х–2 безточки (2; 4).
xxy
−−=
242
213
21 2 −+−= xxy
21
41 2 +−= xxy
231
182.2.
=−−
−=−
+−=)1(
)1(1
12 22
xx
xxy
1)1( +−=−− xx , x≠1.y= –x+1.Т. о. график – прямая y = 1–x без
точки (1; 0).x 0 1y 1 0
Ответ: область определенияфункции – (–∞; 1)∪(1; +∞).
183.1. xxx
xxx
xy 1)4(
444
2=
−−=
−−= ,
x≠0; 4.
y=x1 . График – гипербола, ветви в
I и III координатных четвертях.
Т.о. график – гипербола x1 = y без
точки с абсциссой (4; 41
).
x –1 –21
21
1
y –1 –2 2 1
Ответ: (–∞; 0)∪(0; 4)∪(4; +∞).
183.2. xxx
xxx
xy 1)2(
22
22
=++=
++= , х≠0; –2.
y=x1 – График гипербола, ветви
в I и III координатных четвертях.
Т.о. график – гипербола x1 = y без
точки (–2; –21
).
x –1 –21
21
1
y –1 –2 2 1
Ответ: (–∞; –2)∪(–2; 0)∪(0; +∞) –область определения функции.
xxxy
−+−=
1122
44
2 −−=
xxy
222xx
xy++=
232
184.1.
2652
−+−=
xxxy
)2()3)(2(
−−−
=x
xxy
,3−= xy2≠x
184.2.
3342
−+−=
xxxy
3)1)(3(
−−−
=x
xxy
,1−= xy3≠x
233
185.1.
xxxy
3−=
0,1 2 ≠−= xxy
185.2.
xxxy
3+=
0,1 2 ≠+= xxy
186.1. Точки A и C лежат на оси x, т. е.y=0.
055
2
2=
+−
xx ⇔ x2–5=0 ⇔ x=± 5 ,
т. к. А левее С,
то А (– 5 ; 0), С (– 5 ; 0).
5,22050)0( −=
+−=y
В (0; –2,5).Т.о. B (0; –2,5).Ответ: A (– 5 ; 0); B (0; –2,5); C ( 5 ; 0).
234
186.2. Точки A и C лежат на оси x, значит, y=0. 01
22
2=
+−
xx .
2–x2=0, т.е. x=± 2 ,
т. к. А левее С, то А (– 2 ; 0), С (– 2 ; 0).
212
1002)0( ==
+−=y . B (0; 2).
Ответ: A (– 2 ; 0); B (0; 2); C ( 2 ; 0).187.1. Точки A и C графика функции y=x3–x2–4x+4 лежат на оси x, зна-
чит y=0.(x3–x2)–(4x–4)=0; x2(x–1)–4(x–1)=0,(x–1)(x2–4)=0; (x–1)(x–2)(x+2)=0;x–1=0 или x–2=0 или x+2=0; x=1 x=2 x= –2.Т. к. А левее О, то А (–2; 0), С дальше всех вправо от О, т. е. С (2; 0).y(0)=4. Т.е. B (0; 4).Ответ: A (–2; 0); B (0; 4); C (2; 0).187.2. Точки M и N графика функции y= –x3–2x2+x+2 лежат на оси x,
значит у=0.–x3–2x2+x+2=0; (x3–x)+(2x2–2)=0;x(x2–1)+2(x2–1)=0, (x2–1)(x+2)=0; (x–1)(x+1)(x+2)=0;x–1=0 или x+1=0 или x+2=0;x=1 x= –1 x= –2.Т. к. М левее N, а N левее О, то М (–2; 0) и N(–1; 0).y(0)=2. Т.е. K (0; 2).Ответ: M (–2; 0); N (–1; 0); K (0; 2).188.1. Точки A и C графика функции y= –9x4+10x2–1 лежат на оси x, зна-
чит у=0.–9x4+10x2–1=0; 9x4–10x2+1=0.D=100–36=64,
91
188102 =−=x ,
118
8102 =+=x .
х1, 2=±31
. х3, 4=±1.
Т. к. А – самая левая точка, то А (–1; 0), т. к. С – правее нуля, но левее
правой точки, то С (31
; 0).
y(0)= –1, т. е. B (0; –1).
Ответ: A (–1; 0); B (0; –1); C (31 ; 0).
235
188.2. Точки M и L лежат на оси x, значит у=0.4x4–5x2+1=0;
x2=8
35 −=
41
, ;21
2,1 ±=x
x2=8
35 +=1,
14,3 ±=x .Т. к. |L|=|M| и они самые крайние, но разных знаков, то М(1; 0), L(–1; 0).y(0)=1, т. о. K(0; 1).Ответ: K (0; 1); L (–1; 0); M (1; 0).189.1. у = х2 + 3х + с > 0;
D = 9 – 4c < 049>⇒ c .
Ответ: 49>c .
189.2. у = –х2 + 2х + с < 0;
014
<+= cD 1−>⇒ c .
Ответ: c < –1.190.1. y=2x2+ax+8. График – парабола, ветви вверх (a=2, 2>0).2x2+ax+8=0.D=a2–4⋅2⋅8=a2–64. D<0: a2–64<0; (a–8)(a+8)<0.
8
���������������������������������������������������������������������������������������
8− x
Т.о. D<0 при а∈(–8; 8), а, значит, заданная функция принимает положи-тельные значения при а∈(–8; 8).
Ответ: y>0 при а∈(–8; 8).190.2. y= –x2+bx–9. График – парабола, ветви вниз (a= –1, –1<0).D=b2–4⋅(–1)⋅(–9)=b2–36.Найдем значения b, при которых b2–36<0: b2–36<0 (b–6)(b+6)<0.Решим методом интервалов.
6
���������������������������������������������������������������������������������������
6− x
Т.о. D<0 при b∈(–6; 6), а, значит, заданная функция принимает отрица-тельные значения при b∈(–6; 6).
Ответ: y<0 при b∈(–6; 6).
236
191.1. y=kx+b, k= –0,4.у=–0,4х+b.y(–2,5)=2,6.2,6=–0,4⋅(–2,5)+b.b=1,6.y=–0,4x+1,6.График – прямая.
x –1 0y 2 1,6
191.2. y=kx+b, k=21 .
у=21 x+b; y(1,5)=–2.
–2=21
⋅23
+b.
b= –243
. y=21
x–243
.
График – прямая.x 1,5 3,5y –2 –1
192.1. y=ax2.
у(–1)=41 ,
41 =a⋅(–1)2, a=
41 .
y=41 x2.
192.2. y=ax2.
у(–1)=31 . B (–1;
31 ),
31 =a⋅(–1)2, a=
31 .
y=31 x2.
6,14,0 +−= xy
75,25,0 −= xy
237
193.1. Т. к. вершина: A (0; –1), y=a(x–0)2–1, y=ax2–1.у(–2)=7.7=a⋅(–2)2–1; 8=4a, a=2.y=2x2–1.193.2. Т. к. вершина в точке A (0; 2), то y=a(x–0)2+2 или y=ax2+2.у(2)=–6.–6=a⋅22+2, 4a= –8; a= –2. y= –2x2+2.
194.1. ⇔
+=+−=−
bkbk
152127
⇔
−==
kbk
152927
⇒
−=
−=
331
b
k 3
31 −= xy
194.2. ⇔
+−=+=−
bkbk
2012103
⇔
+=−=
kbk
20121530
⇒
=
−=
221
b
k 2
21 +−= xy .
25,0 +−= xy
238
195.1. xky = . у(–5 2 )= 2 .
2 =25−
k, k=–10.
xy 10−= .
x –2 –1 1 2y 5 10 –10 –5
xy 10−=
Ответ: при k= –10.
195.2. xky = , у(–4 3 )= 3 , 3 =
34−k , k= –12.
Т.о. x
y 12−= .
x –4 2 2 4y 3 6 –6 –3
xy 12−=
239
196.1. y=ax2–4x+4. у(3)=–5.–5=a⋅32–4⋅3+4, 9a–12+4= –5,
31=a .
Т.о. y=31 x2–4x+4.
6
312
40 =
⋅
−−=x ,
а у0=y(6)=31 ⋅36–4⋅6+4= –8.
x 3 6 9y –5 –8 –5
196.2. y=21 x2+bx+
21 . График – парабола, ветви вверх у(–1)=–2.
–2=21 ⋅(–1)2+b⋅(–1)+
21 ; –2=
21 –b+
21 ; –2–1= –b; b=3.
Т.о. y=21 x2+3x+
21
213
21 2 ++= xxy
Вершина: 3
212
30 −=
⋅
−=x ; y0= 21 ⋅9–9+
21 = –4.
x –5 –3 –1y –2 –4 –2
4431 2 +−= xxy
240
197.1. y= –x2+px+q, у(–2)=0, у(0)=8.Составим систему.
⇔
+⋅+=+−−=
;008,240
qpqp
⇔
==+−
;8,42
qqp
⇔
==+−
;8,482
qp
==
.8,2
qp
Т. о. y= –x2+2x+8. График па-рабола, ветви вниз.
Вершина: 122
0 =−−=x ;
y0=y(1)= –1+2+8=9.
x 0 1 2y 8 9 8
197.2. Если парабола y= –x2+px+q, у(0)=5, у(–5)=0.Составим систему.
⇔
=+−−=
;5,5250
qqp
⇔
==+−−
;5,0525
qqp
=−=.5
,4qp
Т. о. y= –x2–4x+5.
Вершина: 22
40 −=
−=x ; y0=y(–2)= –4+8+5=9;
x –3 –2 –1y 8 9 8
542 +−−= xxy
822 ++−= xxy
241
198.1.
≥−<+
=.0,23,0,23
xxxx
y
1) y=3+2x. 2) y=3–2x.График – прямая. График – прямая.
x –1 –2 x 0 1y 1 –1 y 3 1
198.2.
≥+<−
=.0,31,0,31
xxxx
y
y=1–3x, x<0. y=1+3x, x≥0.x –2 –1 x 0 1y 7 4 y 1 4
242
199.1.
≥−<≤−
−<−
=.1,23,12,1
,2,2
xxx
xx
y
1) 2xy −= . График – прямая.
x –4 –6y 2 3
2) y=1. График – прямая, па-раллельная оси х. Строим частьданной прямой, удовлетворяю-щую условию –2≤x<1.
3) y=3x–2. График – прямая.x 1 2y 1 4
199.2.
≥−
<≤−<+
=
.2,2
3
,21,2,1,42
xxxxx
y
1) y=2x+4, y=2, 2
3 xy −= , графики – прямые.
а) y=2x+4 при x<–1x –2 –3y 0 –2
б) y=2 при –1≤x<2. График — прямая, параллельная оси Х.
в) 32
+−= xy при x≥2.
x 2 4y 2 1
243
200.1.
≥<
=.2,2,2,
xxx
y
1) y=x при x<2.x –1 0 1y 1 0 1
2) y=2 при x≥2. График – прямая, параллельная оси Х.
200.2.
−≥
−<=
.2,41
,2,1
2 xx
xy
1) y=1 при x<–2. График – прямая, параллельная оси Х.
2) y=41
x2.
График – парабола.x –2 0 2y 1 0 1
201.1.
−−∞∈+∞∈−
−∈−
=)2;(,2
);2(,2
]2;2[,141 2
xxxx
xx
y
141 2 −x – график –
парабола;2 – х; х + 2 – графики –
прямые.
244
201.2.
−−∞∈−−∞∈−−∈−
=)1;(,1
);1(,1]1;1[,22 2
xxxx
xxy
222 x− – график — парабола;х – 1; –х – 1 – графики – прямые.
202.1.
∞∪−∞∈−
−∈−=
);1()1;(,1
]1;1[,21
21
2
2
xx
xxy
1;21
21 22 −− xx 222 x− – графики – параболы.
245
202.2.
∞∪−∞∈−
−∈−=
);1()1;(,1
]1;1[,22
2
xx
xxy
1;22 22 −− xx 222 x− – графики – параболы.
203.1.
+=
=+
2
,032xy
xy
ху+3=0, у=x3− – гипербола
x –3 –1 1 3y 1 3 –3 –1
у=х2+2 – параболаx –1 0 1y 3 2 3
Из рисунка видно, что точка пересечения (–1; 3).
022 =+− yx
03 =+xy2
Ответ: (–1; 3).
246
203.2.
=−=
.08,
xyxy .
а) xy = .x 0 1 4y 0 1 2
б) x
y 8= . x≠0.
График – гипербола, ветви в I и III координатных четвертях.Из рисунка видно, что (4; 2) – точка пересечения.
Проверка: ⇒
=−⋅=
;0824,42
==
.00,22
x 1 2 4 8y 8 4 2 1
08 =−xy
xy =
0>x
Ответ: (4; 2).
204.1.
+−=
=⇔
=+
=
.32
,
;32
,22 xy
xy
xy
xy
а) y=x.x –1 0 1y 1 0 1
б) y= –2x2+3. График – парабола, ветви вниз.Вершина: х0=0, а y0=у(0)=3.
x –1 0 1y 1 3 1
Из рисунка видно, что точки пересечения: (–1; 1) и (1; 1).
247
Проверим:
а) (–1; 1)
==
⇒
+⋅−=
−=.11,11
;3121
,112
б) (1; 1)
==
⇒
+⋅−=
=.11,11
;3121
,112
Ответ: (–1; 1), (1; 1).
204.2.
−=
−=⇔
−=
=+
.)1(
,4
)1(
,04
22
xyx
y
xy
xy
xy 4−=
2)1( −= xy
xy 4−= .
График – гипербола, ветви во II и IV четвертях.
xy 4−=
248
x –2 –1 1 2y 2 4 –4 –2
y=(x–1)2
x 0 1 2y 1 0 1
Из рисунка видно, что точка пересечения: (–1; 4).Проверка.
⇒
−−=
−−=
144
)11(4 2
==
.44,44
Ответ: (–1; 4).
205.1.
+=
−=⇔
=−
−=
.1
,4
;1
,4
22
xyx
y
xy
xy
а) x
y 4−= .
График – гипербола, ветви во II и IV четвертях.
)0(4
<−=
xxy
12 =− xy
б) y=x2+1. График – парабола, ветви вверх.
xy 4−= .
x –2 –1 1 2y 2 4 –4 –2
y=x2+1x –1 0 1y 2 1 2
Ответ: система уравнений имеет одно решение, исходя из рисунка.
249
205.2.
+−=
=⇔
=+
=
.4
,2
;4
,2
22
xyx
y
xy
xy
а) x
y 2= . График – гипербола, ветви в I и III координатных четвертях.
x –2 –1 1 2y –1 –2 2 1
б) y= –x2+4. График – парабола, ветви вниз.x –1 0 1y 3 4 3
xy 2=
42 +−= xy
Из рисунка видно, что система имеет 3 решения.Ответ: три решения.
206.1.
=
=⇔
==
.4,
;4,
33
xy
xy
yxxy
а) y=x3. График – кубическая парабола.y=x3.
x –2 –1 0 1 2y –8 –1 0 1 8
б) x
y 4= . График – гипербола,
ветви в I и III координатных четвер-
тях. x
y 4= .
x –2 –1 1 2y –2 –4 4 2
Из рисунка видно, что системаимеет 2 решения.
Ответ: два решения.
3xy =
xy 4=
250
206.2.
−=
=
.1
,2xy
xy
ОДЗ: х≥0.а) xy = .
x 0 1 4y 0 1 2
б) y=1–x2.График – парабола, ветви вниз.
x –1 0 1y 0 1 0
xy =
21 xy −=
Исходя из рисунка система имеет 1 решение.Ответ: одно решение.
207.1. x –8+1,5x=0.
ОДЗ: х≥0.
x = –1,5x+8.
xy = и y= –1,5x+8.
а) xy = .x 0 1 4y 0 1 2
б) y= –1,5x+8.
График – прямая.x 0 2 4y 8 5 2
Исходя из рисунка: пересечение в точке (4; 2).
251
85,1 +−= xy
xy =
Ответ: х=4.
207.2. x2+ x –2=0. ОДЗ: х≥0.
x2–2= – x .
y=x2–2 и y= – x .а) y=x2–2.График – парабола, ветви вверх.
x –1 0 1y –1 –2 –1
б) y= – x .x 0 1 4y 0 –1 –2
По рисунку видно, что графики функций пересекаются в точке (1; –1).
22 −= xy
xy −=
Ответ: х = 1.
252
208.1. x3–x2+2x–1=0.x3=x2–2x+1, x3=(x–1)2. y=x3 и y=(x–1)2.а) y=x3.График – кубическая парабола.
x –2 –1 0 1 2y –8 –1 0 1 8
б) y=(x–1)2.График – парабола, ветви вверх.
x 0 1 2y 1 0 1
Т. к. графики пересекаются в одной точке (х∈(0; 1)), то уравнение имеетодно решение.
3xy =
2)1( −= xy
Ответ: 0; 1.208.2. x3+x2+6x+9=0.x3= –x2–6x–9,x3= –(x+3)2. y=x3 и y= –(x+3)2.а) y=x3.График – кубическая парабола.
x –2 –1 0 1 2y –8 –1 0 1 8
б) y= –(x+3)2.График – парабола, ветви вниз.
x –4 –3 –2y –1 0 –1
Т. к. графики пересекаются в одной точке (х∈(–2; –1)), то уравнениеимеет одно решение.
253
3xy =
2)3( +−= xy
Ответ: –2; –1.
209.1. x8 +x2=0.
x8 = –x2.
y= –x2, y=x8 .
а) y= –x2. График – парабола, ветви вниз.x –1 0 1y –1 0 –1
б) y=x8 .
График – гипербола, ветви в I и III координатных четвертях.x –4 –2 2 4y –2 –4 4 2
xy 8=
2xy −=
Из рисунка: х=–2.Ответ: –2.
254
209.2. x – x2 = 0; x = x2.а) y=x2.График – парабола, ветви вверх.
x –1 0 1y 1 0 1
б) y= x .x 0 1 4y 0 1 2
Исходя из рисунка: графики пересекаются в точке x=1.
Ответ: 1.
210.1. x3 =2x–x2.
y=x3 и y=2x–x2.
а) y=x3 . График – гипербола, ветви в I и III координатных четвертях.
x –3 –1 1 3y –1 –3 3 1
б) y=2x–x2. График – парабола, ветви вниз.
Вершина: 122
0 =−−=x , а y0=y(1)=2⋅1–1=1.
x 0 1 2y 0 1 0
Из рисунка: графики пересекаются в точке x= –1.
255
xy 3=
22 xxy −=
Ответ: –1.
210.2. x2 =(x–1)2.
y=x2 и y=(x–1)2.
а) y=x2 .
График – гипербола, ветви в I и III координатных четвертях.б) y=(x–1)2. График – парабола, ветви вверх.
2)1( −= xy
xy 2=
xy 2= 21)( −= xy .
x 1 –1 2 –2 x 0 1 2y 1 0 1
y 2 –2 1 –1
Из рисунка: графики пересекаются в точке x=2.Ответ: 2.
256
211.1. 0142 =++x
xx
xxx 142 −=+
а) xxy 42 += – парабола, ветви вверх.x 0 –2 –4y 0 –4 0
б) x
y 1−= – гипербола, ветви во II и IV координатных четвертях.
Из рисунка видно, что уравнение имеет один корень.Ответ: один корень.
211.2. 043 2 =−− xxx
.
xxx
43 2 += . x
y 3= и xxy 42 += .
а) x
y 3= . График – гипербола, ветви в I и Ш координатных четвертях
(k=1, 3>0).
x –3 –1 1 3
y –1 –3 3 1б) xxy 42 += . График – парабола, ветви вверх.
x –3 –2 –1y –3 –4 –3
257
Из рисунка видно, что уравнение имеет 3 корня, т. к. графики пересека-ются в 3 точках.
Ответ: уравнение имеет три корня.
212.1. x
xx 3422 =−+ .
422 +−−= xxy и x
y 3−= .
а) 422 +−−= xxy . График – парабола, ветви вниз.
Вершина: ;12
20 −=
−=x 54214)1(2)1()1( 2
0 =++−=+−−−−=−= yy ,
x –2 –1 0y 4 5 4
б)x
y 3−= . График – гипербола, ветви во II и IV координатных четвертях.
x –3 –1 1 3
y 1 3 –3 –1По рисунку видно, что графики данных функций пересекаются в трех
точках, т. о. уравнение имеет 3 корня.
258
212.2. x
xx 4142 −=−− .
а) 142 −−= xxу .График – парабола, ветви вверх.
224 ==вx ; 5−=ву .
x 2 0 4y –5 –1 –1
б) х
у 4−= .
График – гипербола, ветви во II и IVкоординатных четвертях.
x –4 1 –2 2y 1 –4 2 –2
Из рисунка видно, что графики функций имеют три точки пересечения.Ответ: уравнение имеет три корня.
258
213.1. 3xy = и xy 4= .
а) 3xy = .График – кубическая парабола.
x –2 –1 0 1 2y –8 –1 0 1 8
б) xy 4= .
График – прямая.
x 0 1y 0 4
Исходя из рисунка:х3>4х при ( ) ( )+∞∪−∈ ;20;2x .Ответ: ( ) ( )+∞∪−∈ ;20;2x .
213.2. 3xy = и xy = .
а) 3xy = .График – кубическая парабола.
x –2 –1 0 1 2y –8 –1 0 1 8
б) xy = .График – прямая.
x 0 1y 0 1
Исходя из рисунка: х3>4х при ( ) ( )1;01; ∪−∞−∈x .Ответ: ( ) ( )1;01; ∪−∞−∈x .
259
214.1. а) за 5 мин. проехал 3 км, т. о. 1 км проехал за 35 мин.
б) 3 км за 15 минут, а 15 (мин) = 41
ч., т.о. V = 3 ⋅ 4 = 12 км/ч.
214.2.а) за 45 минут – 3 км, т.о. 1 км – за 15 мин.б) 3 км за 30 минут, 1 км за 10 мин.215.1. а) на третьей 50-метровке.б) быстрее всего пловец проплыл первую 50-метровку — за 25 с, значит,
его скорость была: V = 2550
= 2 м/с. = 120 м/мин.
Ответ: а) на третьей; б) 120 м/мин.215.2. а) Первый рейс – за 40 мин, второй – за 50 мин, третий за 50 мин,
четвертый – за 30 мин. Значит, в четвертом рейсе паром плыл быстрее всего.
б) Время возвращения: 100 – 50 = 50 мин = 65ч.
Скорость: V =
658
= 9,6 км/ч.
Ответ: а) в четвертом; б) 9,6 км/ч.216.1. а) 50 см;б) в первый раз 25 (см/с);во второй раз 2,5 (см/с).Ответ: в 10 раз.216.2. а) 30 м;б) в первый раз 5 м/10 с;во второй раз 10 м/10 с.Ответ: в 2 раза.217.1. а) через 20 мин.б) катер за 85 мин, теплоход за 105 мин,значит, катер быстрее на 20 мин.
в) катер;
64
30=45 км/ч.
217.2. а) 65 мин.б) турист; 35 мин.в) метеоролог; 3 км/ч от поселка к станции.
260
ЗАДАЧИ
218.1. Обозначим длину прямоугольного участка х м, а ширину у м, со-ставим систему.
⇒
+−=+=−
);30)(40(,3040ухху
ух⇒
++=+=−
);30)(30(,3040ууху
ух
⇒
+=+
+=
;)30()70(
,702ууу
ух⇒
++=+
+=
;9006070
,7022 уууу
ух
⇒
=+=
;90010,70
уух
==
.90,160
ух
Т.о. длина выделенного участка равна 160 метров, а ширина – 90 мет-ров, сторона квадратного участка: 160 – 40 = 120 м.
Ответ: 120 м.218.2. Обозначим длину квадратного участка х м, тогда длина прямо-
угольного участка х+12 м, а ширина х–10 м.(х+12)(х–10)=х2.х: (х+12)(х–10)= х2;х2+12х–10х–120= х2; 2х=120; х=60. Т.о. сторона квадратного участка
равна 60 метров.Ответ: 60 м.219.1. Обозначим длину первоначального участка – х м. Составим урав-
нение.(х+10)(х–8)–х(х–10)=400;х2+2х–80–х2+10х=400; 12х=480; х=40.Если х=40, то (х+10)(х–8)=50⋅32=1600.Ответ: площадь нового участка 1600 м2.219.2. Пусть длина исходного участка х км, а ширина – у м. Составим
систему.
⇒
=−++=−
;300)4)(5(,25
хуухух
⇒
=+−+++=
;300)25()4)(30(,25
ууууух
⇒
=−−++
+=
;3002512034
,2522 уууу
ух⇒
=+=
;1809,25
уух
==
.20,45
ух
(х+5)(у+4)=50·24=1200.Ответ: площадь образовавшегося строительного участка равна 1200 м2.220.1. Предположим, заднее колесо сделало х оборотов. Составим урав-
нение..40605,15,46035,4)20(3 =⇔−=−⇔=+⇔=+ хххххх
4,5х=4,5·40=180.Ответ: карета проехала расстояние в 180 метров.
261
220.2. Пусть длина окружности переднего колеса равна х м.300х=200(х+1,6).
.2,3320100320200300)6,1(200300 =⇔=⇔+=⇔+= хххххх300х=960.Ответ: повозка проехала 960 метров.221.1. Пусть в коробке лежат х одинаковых пачек печенья, а в коробку
может поместиться у одинаковых пачек.
⇒
+=+
=−
;143
,417
ухх
ух⇒
+=+=−
;4434,284уххух
⇒
+−=−=
;4)284(47,284
ххху
⇒
+−=−=
;4112167,284
ххху
⇒
−=−−=
;1089,284
хху
==
.20,12
ух
Ответ: в коробке лежит 12 пачек печенья.221.2. Предположим, в ведре было х литров воды.
;721
322
+=+ хх
;3
14312 +=+ хх
3х+6=х+14; 2х=8; х=4.Т.о. в ведре было 4 л воды.Ответ 4 литра.222.1. Пусть токарь должен был работать х дней, тогда:39(х–6)–24х=21.39(х–6)–24х=21;39х–234–24х=21; х=17.Если х=17, то 39(х–6)=39(17–6)=39·11=429.Ответ: токарь изготовил 429 деталей.222.2. Обозначим х – количество дней работы по плану, тогда фактиче-
ски получилось х – 3 дня.26(х–3)–19х=20.26(х–3)–19х=20;26х–78–19х=20; 7х=98; х=14.Если х=14, то 26(х–3)=26·11=286.Ответ: слесарь изготовил 286 втулок.223.1. Обозначим х – количество деталей, которые нужно сделать по
плану за 1 день, тогда:20х–13(х+70)=140.20х–13х–910=140; 7х=1050; х=150.Если х=150, то 20х=20·150=3000.Ответ: бригада должна изготовить 3000 деталей.
262
223.2. Предположим, по плану нужно сделать х стульев в день, тогда:10х–7(х+20)=58.10х–7х–140=58;3х=198; х=66.Если х=66, то 10х=10·66=660.Ответ: бригада должна была изготовить 660 стульев.224.1. Предположим, до встречи со вторым, первый велосипедист про-
ехал х км, тогда:
;543)36(
43 =−− хх
108–3х–3х=20.
6х=88, х=1432 .
Если х= ,3214 то 18–х=18– .
313
3214 =
Ответ: встреча произошла на расстоянии 313 км от пункта В.
224.2. Обозначим скорость пешехода х км/ч и пройденное расстояние довстречи с велосипедистом у км, тогда:
⇒
=+−
=
.6,010
12
,6,0
ху
ху
⇒
=+−
=
.6,010
12
,6,0
ху
ху
⇒
+=−=
);10(6,012,6,0
хуху
⇒
+=−=
;66,012,6,0ху
ху⇒
+=−=
;612,6,0ууху
⇒
−=−=
;62,6,0
уху
⇒
==
;3,6,0:3
ух
==
.3,5
ух
Ответ: 3 км.225.1. Обозначим путь, пройденный туристами в одном направлении х
км, тогда:
,53610
=++ хх 3х+5х+90=150, 8х=60, х=7,5.
Т.о. максимальное расстояние равно 7,5 км.Ответ: расстояние равно 7,5 км.225.2. Обозначим х – весь путь (в одну сторону) рыболова, тогда:
.8243401625248
=⇔=⇔=++⇔=++ хххххх
Максимальное расстояние равно 8 км.Ответ: 8 километров.
263
226.1. Пусть первый пешеход двигался со скоростью х км/ч, а второй – укм/ч, тогда:
⇒
=+=+;3053
,305,25,4ух
ух⇒
=+=+
;3053,6059
ухух
⇒
−==
;3305,306
хух
⇒
==
;155,5
ух
==
.3,5
ух
Ответ: первый пешеход идет со скоростью 5 км/ч, а второй – со скоро-стью 3 км/ч.
226.2. Пусть х – скорость велосипедиста, а у – скорость пешехода, тогда:
=+=+;3632
,365,15,2ухух
=+=+
;3632,7235
ухух
−==
;2363,363
хух
==
.4,12
ух
Ответ: скорость велосипедиста 12 км/ч, а пешехода – 4 км/ч.227.1. Обозначим расстояние от лагеря до станции х км, тогда:
.2402
115
+=− хх
8х–60=3х+240; 5х=300; х=60.
.5,35,01560
21
15=−=−х
Ответ: расстояние от лагеря до станции равно 60 км, а до отправленияпоезда остается 3,5 ч.
227.2. Пусть расстояние равно х, тогда:
.21
101
5+=− хх 2х–10=х+5; х=15.
.21315
1515
=−=−=−х
Ответ: расстояние до стадиона равно 15 км; до начала матча осталось 2 ч.228.1. Предположим, первый печник может сложить печь за х ч, а вто-
рой печник за у ч.
⇔
=+
=+
;5132
,12111
ух
ух⇔
=+
+−=
;5132
,51
1221
ух
у ⇔
=+
=
;51
3032
,3011
х
у
⇔
=
=
;1012
,3011
х
у⇔
==
;20,30
ху
==
.30,20
ух
Ответ: первый – за 20 часов, а второй – за 30 часов.
264
228.2. Пусть время работы I-ой бригады – х дней, а II-ой – у дней,тогда:
⇔
=+
=+
;43123
,8111
ух
ух ⇔
−=
=
;12433
,839
ух
у ⇔
−=
=
;4411
,2411
ух
у ⇔
−=
=
;61
411
,24
х
у
⇔
=
=
;1211
24
х
у
==
.24,12
ух
Ответ: первая бригада может закончить уборку урожая за 12 дней, авторая – за 24 дня.
229.1. Обозначим время работы I-ого мастера – х2, а II-ого – у2, тогда:
⇔
=+
=+
;149
,6111
ух
ух ⇔
=+−
−=
;14969
,1611
уу
ух ⇔
−=−
−=
;6915
,1611
у
ух
⇔
−=−
−=
;3031
,101
611
у
х ⇔
=
=
;1011
,1511
у
х
==
.10,15
ух
Ответ: первый мастер может выполнить заказ за 15 часов, а второй – за10 часов.
229.2. Пусть время всей работы I–ой машины – х мин., а II–ой – у мин.,тогда:
⇔
=+
=+
;11625
,20111
ух
ух ⇔
=+−
−=
;116252025
,12011
уу
ух ⇔
−=−
−=
;4519
,12011
у
ух
⇔
−=−
−=
;419
,12011
у
ух⇔
=
−=
;3611
,361
2011
у
х ⇔
=
=
;3611
,4511
у
х
==
.36,45
ух
Ответ: первая машина может расчистить каток за 45 минут, а вторая – за36 минут.
265
230.1. Обозначим количество учащихся в первой школе х, тогда:1,1х+1,2(1500–х)=1720;1,1х+1800–1,2х=1720;0,1х=80;х=800.1500–х=700.Ответ: в первой школе первоначально было 800 учащихся. а во второй–
700 учащихся.230.2. Пусть в первом селе проживало х человек, а во втором –у человек,
тогда:
⇒
=+=+
;7407,09,0,900ух
ух
⇒
=+−−=
;7407,0)900(9,0,900
ууух
⇒
=−−=
;7402.0810,900
уух
==
.350,550
ух
Ответ: первоначально в первом селе было 550 жителей, во втором – 350.231.1. Обозначим количество женщин – х человек, а мужчин – у чело-
век, тогда:
⇔
=+=+
;11308,03,1,1100
ухух
⇔
=+−−=
;11308,0)1100(3,1,1100
ууух
⇔
=−−=
;11305,01430,1100
yух
⇔
−=−−=
;3005,0,1100
yух
==
.600,500
ух
1,3х=650, а 0,8у=480.Ответ: в этом году в пансионате отдыхали 650 женщин и 480 мужчин.231.2. Пусть в I–ой партии было х депутатов, тогда:1,12х+0,8(60–х)=56;1,12х+48–0,8=56;0,32х=8 х=25.60–х=60–25=35,1,12х=28и 0,8(60–х)=0,8·35=28.Ответ: после выборов в городской думе оказалось по 28 депутатов от
каждой партии.
266
232.1. Предположим, за Володина – х голосов, тогда:Володин – х;
Борисов –
+ xx
324 ;
Алексеев – x32 ;
%10032
320 −++ xxx ;
%320 yx − ;
80253100
320 =⋅⋅= xxy .
Ответ: 80%.232.2. Предположим, за Григорьева – х голосов;Григорьев – х;
Дмитриев – 3x ;
Елисеев – xxx 123
9 =
+ ;
%1003
12 −++ xxx ;
%12 yx − ;
9040
310012 =⋅⋅=x
xy .
Ответ: 90%.233.1. Предположим, участок горизонтального пути составляет х км, а
наклонного у км, тогда:
⇔
=+
=+
;3023
1512
,1812ух
ух
⇔
=+=+
;4645,2432
ухyх
⇔
−==
;5464,427
хух
⇔
==
;164,6
ух
==
.4,6
ух
х+у=10 км.Ответ: расстояние от поселка до озера равно 10 км.
267
233.2. Пусть путь в гору – х км, а под гору – у км, тогда на обратном пу-ти будет наоборот. Составим систему.
⇔
=+
=+
;312
36
,321
63ух
ух
⇔
=+=+
;142,102
ухух
⇔
=−+−=
;14420,210ххху
⇔
−=−−=
;63,210
хху
==
.6,2
ух
Ответ: 8 километров.234.1. Предположим, за 1 час разгружали х ящиков, тогда:
.312
160160 =+
−хх
160(х+12)–160х=3х(х+12);160х+1920–160х=3х2+36х;х2+12х–640=0;
,26676640364
2==+=D
;201 =х 322 −=х , но х>0.х(х+12)=20·32=640, х+12=32.Ответ: грузчики разгружали по 32 ящика в час.234.2. Пусть х стр. в день машинистка фактически набирала, тогда:200х–200(х–5)=2х(х–5);100х–100х+500=х2–5х; х2–5х–500=0;D=25+2000=2025=452;
;201 −=х 252 =х , но х>0.х(х–5)=25·20=500.Ответ: машинистка печатала по 25 страниц в день.235.1. Обозначим х л горючего в час – расход 2-го трактора, тогда
(х – 1) л. – 1–го трактора. Составим уравнение:
2841
84 =−− хх
;
4242422 +−=− хххх ;
0422 =−− хх ;
62131
1 −=−=х , но х>0.
72131
2 =+=х .
х–1=6.Ответ: 6л. – первый трактор; 7л. – второй трактор.
268
235.2. Пусть х костюмов в день изготовляло 2-ое ателье, тогда 1-ое ате-лье изготовляло (х + 2) костюма в день.
42
126126 =+
−хх
;
63х + 126 – 63х = 2х2 + 4х;2х2 + 4х – 126 = 0;х2 + 2х – 63 = 0;х1 = –9 , но х>0.х2 = 7.Ответ: 9 костюмов – первое ателье; 7 костюмов – второе ателье.236.1. Пусть х – по плану должна шить швея за 1 день, тогда:60(х+2)–56х=4х(х+2);
;845612060 2 хххх +=−+
;012044 2 =−+ хх
;0302 =−+ хх,61 −=х 52 =х , но х>0.
х+2=7.Ответ: швея шила 7 сумок в день.236.2. Пусть по плану надо обрабатывать х деталей за час, тогда:
;12
8480 =+
−хх
80(х+2)–84х=х(х+2); ;28416080 2 ххxх +=−+
;016062 =−+ хх
,1316916094
2==+=D
;161331 −=−−=х 101332 =+−=х , но х>0.х+2=12 и х(х+2)=120 ≠ 0.Ответ: токарь обрабатывал 12 деталей в час.237.1. Пусть по плану надо делать х деталей в день, тогда:
;1832323216 =
+−−−
хх
х);8(43232)8(216 2 +=+−+ ххххх
;01728482 =−+ хх
23041728244
2 =+=D .
;721 −=х 242 =х , но х>0.х+8=32; х(х+8)=24·32 ≠ 0.Ответ: бригада стала изготавливать в день32 детали.
269
237.2. Пусть надо изготавливать по плану х машин в час, тогда:
;1232155160 =
+
+−−
хх
х160(х+3)–(155–2х)х=3х(х+3);
;932155480160 22 ххххх +=+−+
;048042 =−+ хх
,2248448024
22 ==+=D
;241 −=х.202 =х 241 −=х , но х>0.
х(х+3)=20·23=460.Ответ: по плану на заводе должны выпускать по 20 автомобилей в час.238.1. Обозначим скорость второго велосипедиста х км/ч.
х120 –
3120
+х=2; ;1
36060 =+
−хх
60(х+3)–60х=х(х+3);;36018060 2 хххх +=−+
;018032 =−+ ххD=9+4·180=9+720=729,
;151 −=х 122 =х , но х>0.(х+3)=15, х(х+3)=12·15=180.Ответ: скорость первого велосипедиста – 15 км/ч, а скорость второго –
12 км/ч.238.2. Предположим, II–ой пешеход идет со скоростью х км/ч, тогда:
11
2020 =+
−хх
;
20(х+1)–20х=х(х+1);20х+20–20х=х2+х; х2+х–20=0;х1= –5; х2=4, но х>0.х(х+1)=4·5=20, х+1=5.Ответ: скорости пешеходов равны 5 км/ч и 4 км/ч.239.1. Пусть велосипедист ехал со скоростью х км/ч, тогда:
хх48
54
348 +=−
;
48·5х=4х(х–3)+48·5· (х–3);240х=4х2–12х+240х–720; 4х2–12х–720=0; х2–3х–180=0;D=9+720=729.х1= –12; х2=15, но х>0.Если х=15, то х(х–3)=15·12=180.Ответ: велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч.
270
239.2. Пусть скорость поезда по расписанию х км/ч, тогда:
154
108080 =+
−хх
;
20·15(х+10)–20·15·х=х(х+10); 300х+3000–300х=х2+10х;х2+10х–3000=0;
4D =25+3000=3025,
;601 −=х ,502 =х но х>0.15х(х+10)=15·50·60=45000.Ответ: поезд должен двигаться по расписанию со скоростью 50 км/ч.240.1. Обозначим скорость автобуса – х км/ч, тогда:
;201
301
2,12525 =
+−
хх300–250=х; х=50.1,2х=60.Ответ: скорость автомобиля 60км/ч, а скорость автобуса 50 км/ч.240.2. Обозначим скорость первого автомобиля х км/ч, тогда
33
5,1380380 ххх
хх =⋅−⋅ ; 240–160=х; х=80.
1,5х=120.Ответ: скорость первого автомобиля равна 80км/ч, второго – 120 км/ч.241.1. Пусть скорость грузового автомобиля – х км/ч, тогда:
41
203030 =+
−хх
; 120(х+20)–120х=х(х+20);
120х+2400–120х=х2 +20х; х2+20х–2400=0;
4D =100+2400=2500=502,
х1= –60; х2=40, но х>0.Если х=40, то х+20=60.Ответ: скорость легкового автомобиля равна 60 км/ч.241.2. Пусть скорость второго пешехода х км/ч.
хх4
14 −−
=51 . 20х–20(х–1)=х(х–1); 20х–20х+20=х2–х; х2–х–20=0;
D=1+80=81=92; х1= –4; х2=5, но х>0.Ответ: скорость второго пешехода равна 5 км/ч.242.1. Пусть скорость пешехода, идущего из В в А равна х, тогда:18х+х(х+1)=20(х+1); 18х+х2+х–20х–20=0;х2–х–20=0; х1= –4; х2=5, но х>0.х+1=6.Ответ: скорость движения одного пешехода равна 6 км/ч, а скорость
другого – 5 км/ч.
271
242.2. Пусть скорость пешехода, идущего из В в А равна х, тогда:
;21
82410 =+
−хх
20(х+8)–48х=х(х+8);20х+160–48х=х2+8х; х2+8х+28х–160=0; х2+36х–160=0;
,22424160184
22 ==+=D
х1= –40; х2=4; но х>0.х+8=12.Ответ: скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость пешехода –
4 км/ч.243.1. Предположим, до остановки автобус двигался со скоростью х
км/ч, тогда:
61
204040 =+
−хх
; 240(х+20)–240х=х2+20х;
240х+4800–240х=х2+20х; х2+20х–4800=0;27049004800100
4==+=D ,
х1= –80; х2=60; но х>0.Ответ: Первую половину пути автобус проехал со скоростью 60 км/ч.243.2. Пусть первую половину пути лыжник проехал со скоростью х
км/ч, тогда:
41
1055 =+
−хх
;
20(х+10)–20х=х(х+10); 20х+200–20х=х2+10х;х2+10х–200=0; х1= –20; х2=10, но х>0.Ответ: первоначальная скорость лыжника равна 10 км/ч.244.1. Обозначим скорость течения реки х км/ч, тогда15(8–х)+15(8+х)=4(8+х)(8–х);
246441581515815 ххх −⋅=+⋅+−⋅ ; 02406444 2 =+⋅−х ;
х2–64+60=0; 42 =х ; 2±=х , но х>0.Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.244.2. Пусть собственная скорость лодки х км/ч, тогда:
142
452
45 =−
++ хх
; 45(х–2)+45(х+2)=14(х2–4);
561490459045 2 −=++− ххх ; 0569014 2 =−− хх ;
028457 2 =−− хх ; ( ) ,280978420252874452 =+=−⋅⋅−=D
78
145345
1 −=−=х ; 714
53452 =+=х , но х>0.
Ответ: собственная скорость лодки равна 7 км/ч.
272
245.1. Пусть скорость течения – х км/ч, тогда:
;5,2125
2020
2020 =+
−+
+ хх
125
1262
2020
2020 −=
−+
+ хх;
)20)(20(25)20(2012)20(2012 хххх +−=+⋅+−⋅ ;
)400(5)20(124)20(124 2ххх −=+⋅+−⋅ ;
)400(5)2020(48 2ххх −=++− ;2400848 х−=⋅ ;
162 =х ; 4±=х , но х>0.Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.245.2. Пусть собственная скорость лодки равна х км/ч, тогда:
452
221
221 =+
−+
+ хх;
518
221
221 =
−+
+ хх;
)4(6)2(35)2(35 2 −=++− ххх ;
246)22(35 2 −=++− ххх ;
24670 2 −= хх ;
012353 2 =−− хх ;222 37136914412251235 ==+=+=D ;
31
63735
1 −=−=х ; 12672
2 ==х , но х>0.
Ответ: собственная скорость лодки равна 12 км/ч.246.1. Пусть скорость I-ого велосипедиста – х км/ч, а II-го – у км/ч, то-
гда:
⇔
=−
=+
;2092727
,27
ух
ух ⇔
=−
=+
;20133,27
ух
ух
=−−
−=
.2013
273
,27
yy
yx
)27()27(6060 уууу −=−− ;22760162060 уууу −=+− ;
01620932 =−+ уу ;
151296480864916204932 =+=⋅+=D ,
1082
123931 −=−−=у ;
152
123932 =+−=у , но y>0.
Ответ: скорости велосипедистов равны 12 км/ч и 15 км/ч.
273
246.2. Пусть скорость I-го туриста – х км/ч, а II-го туриста – у км/ч,тогда:
⇔
=−
=+
;655050
,50
ху
ух⇔
=−
−
−=
;61
501010
,50
уу
ух
⇔
≠−=−−
−=
;0),50(60)50(60
,50
хууууу
ух
⇔=
≠+−−−
−=
,0;0
5060603000
,502
хууууу
ух
≠=+−
−=
;0,03000170
,502
хууу
ух
⇔
≠
==
−=
;0,150
,20,50
хууу
ух
=−=
==
.150,100
,20,30
ух
ух
но х>0.Ответ: туристы двигались со скоростью 30 км/ч и 20 км/ч.
247.1. Пусть скорость I-ого пешехода – х км/ч, а второго – у км/ч, тогда:
⇔
=−
=+
;12252525
,255,25,2
ху
ух⇔
=−
=+
;12111,10
ху
ух
⇔
=−
−
−=
;121
1011
,10
уу
ух⇔
−=−−−=
),10(12)10(12,10
ууууух
⇔
−=−−
−=
,101212120
,102уууу
ух
=+−
−=
,012034
,102 уу
ух
по т. Виета
⇔
==
−=
,30,4
,10
уу
ух
=−=
==
.30,20
,4,6
ух
ух
Ответ: пешеходы двигались со скоростью 6 км/ч и 4 км/ч соответст-венно.
274
247.2. Пусть скорость I-ого велосипедиста – х км/ч, а II-ого – у км/ч,тогда:
⇔
=−
=+
;4124545
,455,15,1
ху
ух⇔
=−
=+
;494545
,30
ху
ух ⇒
=−
−
−=
;41
3055
,30
уу
ух
−=−−−=
);30(20)30(20,30
ууууух
−=−−
−=
;302020600
,302уууу
ух
=+−
−=
;060070
,302 уу
ух
==
−=
;60,10
,30
уу
ух
=−=
==
.60,30
,10,20
ух
ух
,
но х>0.Ответ: скорость велосипедистов равны 20 км/ч и 10 км/ч.248.1. Пусть скорость плота равна х км/ч, тогда:
;88
2818
ххх=
−+
+
;48
18
9ххх
=−
++
);8)(8(4)8()8(9 хххххх +−=++−
);64(48972 222 ххххх −=++−
;064220 22 =+−− ххх ;064202 =−+− хх
;064202 =+− хх .166102 =+=хD=400–256=144
х1= 21220 − =4,
х2= 21220 + =16, но если х=16, то 8–х<0, т. о. х=16 не подходит.
Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.248.2. Пусть скорость плота х км/ч, тогда:
.418
818
30ххх
=−
++
ОДЗ: х≠±18, х≠0.
ххх4
188
1830 =
−+
+,
),18)(18(2)18(4)18(15 хххххх +−=++−
,47215270 22 хххх ++−
,264847215270 222 xхххх −=++−
275
,264834211 22 ххх −=+−
,06483429 2 =+− хх
==
⇔=+−.36
,2,072382
хх
хх
х≠36, т. к. 18–36<0.Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.249.1. Предположим, первая копировальная машина выполнит всю ра-
боту за х мин. Обозначим всю работу за 1.
),15(10)15(10,101
1511 +=++=+
+ хххххх
ОДЗ: х≠0, х≠–15.
,01505,151015010 22 =−−+=++ хххххх
−=
=⇔
−=
=,10
,15,10
,15хх
хх
но х>0.
Ответ: первая машина может выполнить работу за 15 минут, а вторая за30 минут.
249.2. Предположим, первая копировальная машина может выполнитьвсю работу за х минут. Обозначим всю работу за 1.
х20 +
3020+х
=1;
20(х+30)+20х=х(х+30);20х+600+20х=х2+30х; х2–10х–600=0;
;625600254
=+=D
,30;20 21 =−= хх но х>0.х+30=60.Ответ: первая машина может выполнить всю работу за 30 минут, а вто-
рая за 1 час.250.1. Пусть 1 грузовик выполняет всю работу за х, тогда
х4 +
64+х
=1. х4 +
64+х
=1,
4(х+6)+4х=х(х+6), ОДЗ: х≠0, х≠–6.,0242,64244 22 =−−+=++ хххххх
,025)1(,02512 22 =−−=−+− ххх
−==
⇔=+−.4
,6,0)4)(6(
хх
хх ,
но x>0.Ответ: первый грузовик перевезет зерно, работая один, за 6 часов, а вто-
рой – за 12 часов.
276
250.2. Обозначим всю работу, выполняемую кранами, за единицу.Пусть время выполнения всей работы 2–м краном – х2, тогда:
96−х
+х6 =1.
96−х
+х6 =1, ОДЗ: х≠9, х=0.
,05421,95466 22 =+−−=−+ хххххх
==
.3,18
хх
,
но х≠3, т. к. 3–9<0.Если х=18, то х–9=9.Ответ: первый кран, работая один, может разгрузить баржу за 9 часов, а
второй за 18 часов.251.1. Предположим, первый завод, выполнит весь заказ за х дней, рабо-
тая один, тогда:
),4(524)4(2454
2424 −=+−⇔=−
+ хххххх
ОДЗ: х≠0, х≠4.
0)4(,096685,2059648 22 ≠−=+−⇔−=− ххххххх ,
==
.126,1
хх
,096685 2 =+− хх
;6764801156965344
2 =−=⋅−=D
52634
1−=x =
58 =1,6,
52634
2+=x =12.
х≠1,6, т. к. 1,6–4<0.Ответ: первый завод может выполнить заказ за 8 дней, а второй за 12
дней.251.2. Обозначим объем заполняемого бака за единицу. Пусть время на-
полнения бака 1–й трубой равно х мин., тогда:
х8 +
108+х
=32 ;
х8 +
108+х
=32 ),10(224)10(24 +=++ хххх
ОДЗ: х>0.,0)10(,101212012 2 ≠++=++ хххххх
0)10(,0120142 ≠+=−− хххх ;х=–6, х=20, но х>0.Если х=20, х+10=30.Ответ: первая труба может заполнить бак за 20 минут, а вторая труба –
за 30 минут.
277
252.1. Обозначим всю работу, выполняемую каменщиками за единицу.Пусть время работы 2-ого каменщика – х дней, тогда:
614+х
+х
11 =1,
),6()6(1114 +=++ ххххОДЗ: х>0.
,06619,6661114 22 =−−+=++ хххххх
=
−=.22,3
хх
, но x>0.
Если х=22, то х+6=28.Ответ: первый каменщик может построить стену за 28 дней, а второй –
22 дня.252.2. Пусть 1-ая машинистка делает всю работу за х ч., а 2-ая – за у ч.,
тогда:
х15 +
78+х
=1 ),7(8)7(15 +=++ хххх
,7810515 2 хххх +=++
ОДЗ: х>0. ,0105162 =−− хх
=
−=.21,5
хх
,
но х>0.Если х=21,то х+7=28.Ответ: первая машинистка могла бы перепечатать всю рукопись, рабо-
тая одна, за 21 день, а вторая – за 28 дней.253.1. Пусть объем бассейна равен единице. Пусть 1-ая труба заполняет
бассейн за х ч., а 2-ая – за у ч., тогда:
⇔
−=−=+−
⇔
=+=+
⇔
=+
=+
хухххх
уххуху
ухух
18),18(4)18(4
18,44
922
,144
⇔
−==+−⇔
−=−=+−⇔
хухх
хухххх
18,07218
18,184472 22
==
==
⇔
−=
==
⇔
.6,12
,12,6
18,12
,6
ух
ух
хухх
Ответ: одна из труб может наполнить бассейн за 12 часов, а вторая – за6 часов.
278
253.2. Обозначим всю работу, которую выполняют машины, за единицу.Пусть 1-ая машина выполняет всю работу за х ч., а 2-ая – за у ч., тогда:
⇔
−=−=+−
⇔
=+=+
⇔
=+
=+
хухххх
уххуху
ухух
50),50(12)50(12
50,1212
2522
,11212
−==+−⇔
−=−=+−⇔
хухх
хухххх
50,060050
50,501212600 22
==
==
⇔
−=
==
⇔
.20,30
,30,20
50,30,20
ух
ух
хухх
Ответ: одна из машин могла бы очистить от снега всю площадь за 20часов, а другая – за 30 часов.
254.1. Пусть одна сторона прямоугольника равна х см, тогда вторая –17– х см.
,13)17( 222 =−+ хх
0120342;16934289;13)17( 222222 =+−=+−+=−+ ххххххх ;
5;06017 12 ==+− ххх или х2=12.
Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.254.2. Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника х см и
у см.
⇔
=+−
−=⇔
=+
=+
400)28(
,28
400
,282222 уу
ух
ух
ух
⇔
=+−
−=⇔
=++−
−=⇔
0384562
,28
40056784
,28222 уу
ух
ууу
ух
==
==
⇔
==
−=⇔
=+−
−=⇔
.16,12
,12,16
16,12
,28
019228
,282
ух
ух
уу
ух
уу
ух
Ответ: длины катетов прямоугольного треугольника равны 12 см и 16см.
255.1. Обозначим длину меньшего из катетов прямоугольного треуголь-ника х см, х2+ (х+2)2=102; х2+х2+4х+4=100; 2х2 +4х–96=0; х2+2х–48=0.
х1= –8 или х2=6; но x>0. Если х=6, то х+2=6+2=8.Ответ: катеты треугольника равны 6 см и 8 см.
279
255.2. Предположим, меньший катет прямоугольного треугольника ра-вен х см, тогда х2+ (х+14)2=262;
х2+х2+28х+196=676; 2х2 +28х–480=0; х2+14х–240=0;
;289240494
=+=D х1= –24 или х2=10; но x>0.
Ответ: катеты треугольника равны 10 см и 24 см.256.1. Предположим, края отверстия находятся на расстоянии х см от
краев крышки, тогда:
5,715
5,7302
,1520230,0215
<⇔
<<
⇔
−>−−>−
⇔
>−>−
ххх
хх
хх
.
(15–2х)(30–2х)=100;450–60х–30х+4х2–100=0;4х2–90х+350=0; 2х2–45х+175=0;D=452–4·2·175=2025–1400=625;х1=5 или х2=17,5, но x>0.Ответ: края отверстия должны быть на расстоянии 5 см. от краев
крышки.256.2. Обозначим ширину дорожки х м, тогда:(4+2х)(5+2х)=56; 20+10х+8х+4х2–56=0; 4х2+18х–36=0;2х2+9х–18=0; D=81+4·2·18=81+144=225,
,5,146
4159;6
424
4159
21 ==+−=−=−=−−= хх но x>0.
Ответ: ширина дорожки должна быть равна 1,5 метра.257.1. Обозначим ширину листа жести х см, тогда длина (х+10) см, со-
ставим уравнение.5х(х–10)=1000;х2–10х–200=0; х1= –10 или х2=20, но x>0.Если х=20, то х+10=20+10=30.Ответ: размеры листа жести составляют 20 см и 30 см.257.2. Обозначим ширину листа картона х см, составим уравнение.5(х–10) (2х–10)=1500;2х2–20х–10х+100=300;2х2–30х–200=0; х2–15х–100=0; х1= –5 или х2=20, но x>0.Если х=20, 2х=40.Ответ: размеры листа картона составляют 20 см и 40 см.258.1. Пусть на х% снизилась цена, тогдаI раз цена – 2000 – 20хI раз – (2000 – 20х)– (20х – 0,2х2)2000 – 20х – 20х + 0,2х2 = 1805;0,2х2 – 40х + 195 = 0;х2 – 200х + 975 = 0;х1 = 5, х2 = 195, но х<100.Ответ: на 5%.
280
258.2. Предположим, цена товара дважды повышалась на х%, составимуравнение.
6000+60х+60х+0,6х2=6615;2000+20х+20х+0,2х2=2205;0,2х2+40х–205=0;
2052,04004
⋅+=D .
,52,0
1;2052,0
4121 ==−=−= хх но x>0.
Ответ: каждый раз цена товара повышалась на 5%.259.1. Пусть собственная скорость катера равна х км/ч, а скорость тече-
ния реки – у км/ч, составим систему уравнений.
⇔
=−
++
=−
++
.74880
,76460
ухух
ухух ⇔
=−
=+
.1
,1
byx
ayx
⇔
=+=+
.74880,76460
baba
⇔
=+=−
.76460,01620
baba
⇔
=+=−
.76460,04860
baba
112b=7.
⇔
=
=
.201
.161
a
b⇔
=−=+
.16,20
yxyx
==
.2,18
yx
Ответ: собственная скорость катера равна 18 км/ч, а скорость теченияреки – 2 км/ч.
259.2. Пусть скорость лодки по течению – х км/ч, а против – у км/ч, то-гда
⇔
=+
=+
2128
,31616
ух
ух
=+
=+
42416
,31616
ух
ух
⇔
−=−
=+⇔
18
,31616
у
ух⇔
=
=
8
,116
ух
==
.8,16
ух
2yx +
=12 км/ч.
Ответ: собственная скорость катера равна 12 км/ч, течения реки – 4 км/ч.
281
260.1. Обозначим время прохождения первым лыжником круга трассыза х мин, тогда второго лыжника – за (х+2) мин. Составим уравнение:
,26012060,12
6060 2 хххххх
+=−+=+
−
ОДЗ: х≠0, х≠–2.
−=
=⇔=−+
.12,10
,012022хх
хх , но х>0.
Ответ: первый лыжник проходит круг за 10 минут, а второй – за 12 минут.260.2. Предположим, первый карт проходит круг за х мин, тогда второй
карт – за (х+5) мин. Составим уравнение:
;15
6060 =+
−хх
);5(60)5(60 +=−+ хххх ОДЗ: х≠0, х≠–5.
60х+300–60х=х2+5х; х2+5х–300=0; D=25+1200=1225,
;202
3551 −=−−=х 15
2355
2 =+−=х , но х>0.
Если х=15, то х+5=15+5=20.Ответ: первый карт проходит круг за 15 минут, а второй за 20 минут.261.1. Обозначим длину пути на подъеме х км.
ОДЗ:
>
<>
.0.9
0
yxx
⇔
=+
+−++−+
=+−+
⇔
=+
+−
=+−+
5,43
93
9
,23
9
5,23
9
,23
9
ух
ух
ух
ух
ух
ух
ух
уху
хух
⇔
=
−=
=+−+
⇔
=+
+
=+−+
⇔
=+
+
=+−+
⇔
3,2
,23
9
13
22
,23
9
5,43
99
,23
9
уу
ух
ух
уу
ух
ух
уу
ух
ух
( )
==
−=
=
⇔
==−+
−=−=+−
⇔
=
=−+
−=
=−+−
⇔
.3,3
,2
,3
14
.3,1292
,2,4218
.3
,26
93
,2
,292
ух
у
х
ухх
ухх
у
хх
у
хх
не подходит, т. к. у>0. у+3=6.Ответ: длина подъема со стороны поселка равна 3 км, скорость пешехо-
да на подъеме равна 3 км/ч, а на спуске – 6 км/ч.
282
261.2. Обозначим длину пути на спуске от лагеря до поселка х км, у –скорость на подъеме.
0
=++−+−+
+
=−++
.315
21010
2
,8,2102
ух
ух
ух
ух
ух
ух
;3
16102
10 =++ уу
;385
25 =++ уу
ОДЗ: х≠–2, у≠0.
);2(8)2(5353 +=+⋅+⋅ уууу ;168301515 2 уууу +=++
;030148 2 =−− уу ;01574 2 =−− уу 289151649 =⋅+=D .
;45
810
8177
1 −=−=−=у 3824
8177
2 ==+=у , но y>0.
==
.4,3
xy
Ответ: длина спуска со стороны лагеря равна 4 км, скорость туристов наспуске равна 5 км/ч, а скорость на подъеме – 3 км/ч.
262.1. а1=25, d=1.
ппdа
Sп ⋅−+
=2
)1(2 1 =196.
;2
1252196 пп ⋅−+⋅= ;50392 2 ппп −+= ;0392492 =−+ пп
3969156824013924492 =+=⋅+=D .
,72
142
6349;562
634911 ==+−=−=−−= пп но n∈N.
Ответ: надо сложить 7 чисел.262.2. а1=32, d=1.
;2
1322170 nn ⋅−+⋅=
340=64n+n2–n; n2+63n–340=0;D= 632+4·340;
,52
7363;682
736321 =+−=−=−−= nn но n∈N.
Ответ: надо сложить 5 чисел.263.1. а1=11, d=2.
nn ⋅−+⋅=2
)1(211296 ; 96=(11+n–1)·n; n2+10n–96=0;
12196254
=+=D .
n1= –5–11= –16, n2= –5+11=6, но n∈N.Ответ: надо сложить 6 чисел.
283
263.2. а1=20, d=2.
;2
)1(2202120 nn ⋅−+⋅=
120=(20+n–1)·n; n2+19n–120=0;D=192 +4·120=361+480=841.
,52
2919;242
291921 =+−=−=−−= nn но n∈N.
Ответ: надо сложить 5 чисел.264.1. Есть арифметическая прогрессия из 9 членов а1=6, а а9= –3,6.–3,6=6+d·8; 8d= –9,6; d= –1,2.а2=6–1,2=4,8;а3=4,8–1,2=3,6;а4=3,6–1,2=2,4;а5=2,4–1,2=1,2;а6=1,2–1,2=0;а7=0–1,2= –1,2;а8= –1,2–1,2= –2,4;Ответ: 6; 4,8; 3,6; 2,4; 1,2; 0; –1,2; –2,4; –3,6.264.2. Есть арифметическая прогрессия из 9 членов а1= –8,8, а а7=2.
а7=а1+6d;
.8,16
8,106
)8,8(2 ==−−=d
а2= –8,8+1,8= –7;а3= –7+1,8= –5,2;а4= –5,2+1,8= –3,4;а5= –3,4+1,8= –1,6;а6= –1,6+1,8=0,2.Ответ: –8,8; –7; –5,2; –3,4; –1,6; 0,2; 2.
265.1. .92,
3121 −== dа
.16;322;22219);1(92
3121 ==+−=−−−=− nnnn
Т. о. аn= –1.Ответ: является.
265.2. .43,
2121 =−= dа
)1(43
2123 −+−= n ,
12= –10+3(n–1).
13
22 +=n , .318=n Но n∈{1, 2, …}, т. о. число 3 не является членом за-
данной арифметической прогрессии.
284
266.1. а3= –5, а а5=2,4.а3=а1+2d, а5=а1+4d.а5=а3+2d, 2,4=–5+2d, d=3,7.а1=–5–7,4=–12,4.
=⋅⋅+−⋅= 152
147,3)4,12(215S (–12,4+3,7·7)·15=
=(–12,4+25,9)·15=202,5;Ответ: S15=202,5.266.2. а4=3, а а6= –1,2.Надо найти сумму первых двенадцати ее членов.По формуле аn= а1+d(n–1), получим:а6=а1+5d, а4=а1+3d.а6=а4+2d, –1,2=3+2d, d=–2,1.а1=3+6,3=9,3.
=⋅⋅−+⋅= 122
11)1,2(3,9212S (18,6–23,1)·6= –27.
Ответ: сумма двенадцати членов арифметической прогрессии равна –27.
267.1. Есть геометрическая прогрессия из 6 членов b1 =2 и b6 = 318− .bn= b1·qn–1, b6= b1 q5,b1 q5= 318− ,
2 q5= 318− , q5=–9 3 ,
q= – .3
b2=2· ( )3− = 32− ;
b3= 32− · ( )3− =6;
b4=6· ( )3− = 36− ;
b5= 36− · ( )3− =18.
Ответ: 2; 32− ; 6; 36− ; 18.
267.2. Имеется геометрическая прогрессия из 6 членов b1 =3 иb6 = 212− . bn= b1·qn–1.
b6= b1 q5, 212− = 3·q5;
24− = q5; q= 2 .
b2=3· ( )2− = 23− ;
b3= 23− · ( )2− =6;
b4=6· ( )2− = 26− ;
b5= 26− ·(–2)=12.
Ответ: 3; 23− ; 6; 26− ; 12; 212− .
285
268.1. Имеется геометрическая прогрессия из 5 членов b1 = –2, b5 = –32и n=5. bn= b1·qn–1.
–32= –2·q4;q4=16;q= ± 2.Если q=2, то b2= –4, b3= –8 b4= –16.Если q= –2, то b2= b1 q= –2·(–2)=4, b3= –8; b4=16.Ответ: –2; 4; –8; 16; –32 или –2; –4; –8; –16; –32.268.2. Имеется геометрическая прогрессия из 7 членов b1 =1, b7 =64.b7= b1 q6, 64=q6; или q= ± 2.Если q=2, то b2=2, b3=4, b4=8, b5=16.Если q= –2, то b2= –2, b3=4, b4= –8, b5=16.Ответ: 1; –2; 4; –8; 16; –32; 64или 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64.269.1. Sn=b1+b2+b3+b4 = –40, q= –3,Подставим условие в формулу Sn
( )( ),40
1313 4
1 −=−−
−−b
b1(81–1)= –40·(–4);b1=2.
1)1( 8
18 −
−⋅=
qqb
S
( )( ) 32804
6560213
132 8−=
−⋅=
−−−−⋅ .
Ответ: –3280.269.2. Подставим q= –4.
1)1( 3
13 −
−=qqbS ,
( )( )14
14393
1−−
−−= b ;
39·(–5)= b1·(–64–1);
65539
1 −⋅−=b ;
b1=3.
Тогда 1
)1( 61
6 −−=
qqbS
( )( )5
4095314
143 6
−⋅=
−−−−⋅ = –2457.
Ответ: –2457.
286
270.1. ⇔
=
=
;24
,63
1
1
qb
qb ⇔
=⋅
=
;246
,62
1
q
qb
⇔
=
=
;4
,6
2
1
q
qb
⇔
=
−=
=
;2,2
,61
qb
==
−=−=
.2,3
,2,3
1
1
qb
qb
Если b1=3 и q1=2, то 1
)1( 81
8 −−=
qqbS = ( )( )
12123 8
−− =3·(256–1)=765.
Если b1= –3 и q1= –2, то 1
)1( 81
8 −−=
qqbS = ( )( )
12123 8
−−−−− =256–1=255.
Ответ: 765 или 255.270.2. b3=54, а b5=6.
⇔
=⋅
=⋅
;6
,544
1
21
qb
qb ⇔
=
=⋅
;546
,54
2
21
q
qb ⇔
=
−=
=
;31
,31
,4861
q
q
b
=
=
−=
=
.31
,486
;31
,486
1
1
q
b
q
b
Если b1=486 и q=31 , то
.72823
729728486
131
131486
6
6 =−⋅
−⋅=
−
−
=S
Если b1=486 и q=31− , то
36443
729728486
131
131486
6
6 =−⋅
−⋅=
−−
−
−
=S .
Ответ: 728 или 364.
top related