第3回 cv におけるエピポーラ幾何
Post on 08-Jan-2016
62 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1
第3回
CVにおけるエピポーラ幾何
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
2
CVの幾何学的解析に必要な数学 線形代数 射影幾何学: 非ユークリッド幾何学の一種
3次元空間と投影点との1対1対応を無限遠の世界まで拡張 ←投影(透視)画法の理論(15 C) から発展
※ 幾何学 (geomtry) : 変換 (transformation) & 空間 (space)
射影空間: ユークリッド空間+無限遠要素
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
3
無限遠要素
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
無限遠点 無限遠直線 無限遠平面
4
鉄道線路における無限遠点
5
射影幾何の対象
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
6
結合の公理と双対原理 共線:同一直線に結びつく点の集合 共点:同一点に結びつく直線の集合 結合の公理
・1点と1直線は結びつかない・全ての直線は少なくとも異なる3点と結びつく・異なる2点に対しこれらと結びつく直線が 1 つ存在する・異なる2直線に対しこれらと結びつく点が 1 つ存在する
双対原理射影平面上で成立する命題の点と直線、直線と点を入れ替えた命題も成立
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
7
パップスの定理 vs.中線定理 直線 m 上に点 A , B , C を,
直線 m‘ 上に点 A’ , B’ , C’ をとる.この時, AB’ と A’B , BC’ と B’C , CA’ と C’A の交点を
P , Q , R とすると,この 3 点 P , Q , R は 1 直線上にある.
パップス:アレクサンドリア生まれの数学者(エジプト) 4 C 前半に活動
m m’
AA’
B B’
C C’
P
Q
R
8
パップスの定理の双対定理 点 M を通る直線を a , b , c ,
点 M’ を通る直線を a’ , b’ , c’ とする.この時,
a とb‘の交点と a’ と b の交点を通る直線を p, b と c‘ の交点と b’ と c の交点を通る直線を q, c と a‘ の交点と c’ と a の交点を通る直線を r, とするとき,この 3 直線 p,q,r は 1 点で交わる.
9
デザルグの定理
同一平面上に無い2つの三角形 ⊿ X 1 X2X3 と⊿ X’ 1 X’2X’3
において, X 1 X’ 1と X2 X’2 と X3 X’3 が一点で交わる時,直線 X 1 X 2と直線 X’ 1 X’2 ,直線 X 2 X 3と直線 X’ 2 X’3 ,直線 X3 X1 と直線 X’3 X’1 の交点を各々 X,Y,Z とすると, X,Y,Z は同一直線上にある.
デザルグの定理の双対定理=デザルグの定理の逆 (自己双対)
← X : X 1 X’ 1 Y : X2 X’2 Z : X3 X’3
G. デザルグ:フランスの数学者 射影幾何学の基本概念確立 17 C 前半に活動
10
デザルグの定理の図示
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
幾何学的意味: 透視変換で結びつく三角形の対応する 辺の交点は全て一直線上に存在する
X
Y
Z
1 直線を通る
L11,l22,l33:1 点で交わる
11
3(4)種類の座標系画像座標系 ○ (一般)ディジタル画像座標系
○ 正規化(ディジタル)画像座標系カメラ座標系 世界座標系
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
12
世界座標系3次元空間を表現する3次元直交座標
系
原点: 基準位置に設定
X
Y
Z
13
カメラ座標系カメラ(視点)に固定された3次元直交
座標系 ~ 世界座標系における局所座標系
原点: カメラの焦点
X
Y
Z
14
ディジタル画像座標系画像上の点を表現する2次元座標系 左上が原点 u≧0, v≧0 (u, v) : ディジタル画像座標 u 軸と v 軸は必ずしも直交しているとは限らな
い vs 正規化カメラ
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
15
世界座標系→カメラ座標系
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
(world coordinate system)
カメラの外部変数( extrinsic parameters) : 6個
又は D: 剛体変換(rigid transformation)
Sm’ = PM c’ = PDMw’ ≡ PwMw’ ( Pw=PD)
RRt
= RtR= I
16
カメラ座標系→ディジタル画像座標系
ピンホールカメラモデルを利用~ 針穴写真機
17
中心投影モデル 画像平面後置型
C: レンズ中心、 焦点 (Focus)F: 焦点面 f:焦点距離Z: 光軸 c:画像中心
画像平面前置型C-XYZ 座標系:カメラ座標系
(camera coordinate system)
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
18
斉次座標表現: [x,y, 1 ]
[x,y,z] ~ [λx, λy, λz] λ∈Rと見なす.
この場合, [x,y,z] はその比 x/z , y/ z,1によって定まるため,平面上の点 (x,y )と [x,y, 1 ] を1対1に対応付
ける.
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
19
中心投影の射影行列
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
拡張ベクトル m‘
射影行列 P
s m’ = PM’
s: スカラー量
20
正規化カメラとカメラの内部変数
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
正規化画像座標系(f=1)
カメラ校正(camera calibration):カメラの内部変数を推定すること
未知パラメータ 5個:画像中心 c の位置 (u0,v0)各軸のスケールと焦点 距離 f の積 αu α v
両軸の角度 Θ( intrinsic parameters)
22
射影モデル 1 : 中心投影
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
中心 ( 透視)投影(perspective proj
ection): 非線形 x=X/Z y =Y/Z (f=1)
線形近似
23
射影モデル2: 平行投影
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
平行投影(orthographic projection): 物体の位置に 非依存 x=X y =Y
24
射影モデル3:弱中心投影
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
弱中心投影(weak perspective projection):光軸に近い時に良い近似 x=X/Zc y=Y/Zc Zc: 物体重心 G の奥行き (定数) 中心投影の0次近似
25
射影モデル4:平行透視投影
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
平行透視(擬似中心)投影(paraperspective projection):光軸と同じ側の時に良い近似x=1/Zc{X-(Xc/Zc)Z+Xc} y =1/Zc{Y-(Yc/Zc)Z+Yc} (Xc,Yc,Zc ) : G の位置 (定数)
中心投影の1次近似
直線 GC に平行に射影
26
射影モデル(一般化)
第3回 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
アフィン投影 (affine projection): 各線形近似投影の一般化 x = a11X + a12Y + a13Z + a14 y = a21X + a22Y + a23Z + a24
top related