08 beschreibungslogiken - semantic web technologien ws2011/11
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VorlesungDr. Harald Sack
Hasso-Plattner-Institut für SoftwaresystemtechnikUniversität Potsdam
Wintersemester 2010/11
Semantic Web Technologien
Blog zur Vorlesung: http://web-flakes.blogspot.com/
Mittwoch, 15. Dezember 2010
Vorlesung Semantic Web Technologien, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
2
Formal
e Sema
ntik
für RD
F(S)
Rembrandt van Rijn, Die Anatomie des Dr. Tulp, 1632
Wiederholung:
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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3 1. Einführung
2. Semantic Web BasisarchitekturDie Sprachen des Semantic Web - Teil 1
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
4. Ontology Engineering
5. Linked Data und Semantic Web Anwendungen
Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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4
URI / IRI
XML / XSDData Interchange: RDF
RDFS
Ontology: OWL Rule: RIF
Query:SPARQL
Proof
Unifying Logic
Cry
pto
Trust
Interface & Application
Ontology-Level
Semantic Web Architektur
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
Mittwoch, 15. Dezember 2010
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
3.1. Ontologien in der Philosophie und der Informatik
3.2. Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.3. RDFS-Semantik
3.4. Beschreibungslogiken
3.5. OWL und OWL-Semantik
3.6. Regeln mit RIF/SWRL
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Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
Mittwoch, 15. Dezember 2010
3.4 Beschreibungslogiken
3.4.1 Motivation
3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
3.4.3 ALC - Syntax und Semantik
3.4.4 Inferenz und Reasoning
3.4.5 Tableau-Verfahren
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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8 Ontologien in der Informatik
An Ontology is a
formal specification
of a shared
conceptualization
of a domain of interest
Tom Gruber, 1993
⇒ machine understandable
⇒ group of people/agents
⇒ about concepts
⇒ between general description and individual use
...aber wozu braucht man in der Informatik überhaupt Ontologien?
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.1 Motivation
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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9 Ontologien und Kommunikation
Person 1 Person 2
Symbol
Concept
Thing
exchange of symbols„Golf“
conceptH1
conceptH2
agreement
M1 M2
Agent 1 Agent 2
exchangeof symbols
OntologyDescription
Semantics
Ontology agreement
specific domain,e.g. sports
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.1 Motivation
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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10 RDF und RDFS• Definition von Klassen,
Klassenhierarchien,Relationen,Individuen
• zur DefinitioneinfacherOntologiengeeignet
• für komplexereModellierungaber nicht geeignet
http://.../isbn/000651409X
WWW - Kommunikation, Internetworking,Webtechnologien
2004
a:titel
a:jahr
a:autor
a:verlag
Harald Sack
http://www.hpi.uni-potsdam.de/meinel/sack.html
a:name
a:homepage
Springer
Heidelberg
a:v_name
a:v_ort
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.1 Motivation
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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Wir benötigen ein ausdrucksstärkeresMittel zur Wissensrepräsentation
Mittwoch, 15. Dezember 2010
3.4 Beschreibungslogiken
3.4.1 Motivation
3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
3.4.3 ALC - Syntax und Semantik
3.4.4 Inferenz und Reasoning
3.4.5 Tableau-Verfahren
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken
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13FOL als Semantic Web Sprache?•Warum nicht einfach FOL für Ontologien hernehmen?
•FOL kann alles
•….. Assembler auch
•FOL ist
• sehr ausdrucksstark
•deshalb unhandlich bei der Modellierung
• schlecht geeignet, um Konsens bei der Modellierung zu finden
•Beweistheoretisch sehr komplex (semi-entscheidbar)
•FOL ist keine Markupsprache
Suche ein geeignetes Fragment von FOL
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
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14 Beschreibungslogiken (DLs)• engl.: description logics (DLs)
• Fragmente von FOL
• In DL werden mit Hilfe von Konstruktoren aus einfachen Beschreibungen (descriptions) komplexere Beschreibungen aufgebaut
• DLs unterscheiden sich durch die Menge der verwendeten Konstruktoren (Ausdrucksmächtigkeit)
• DLs entwickelten aus „semantischen Netzwerken“
• DLs sind meist entscheidbar
• DLs sind vergleichsweise ausdrucksstark
• DLs besitzen enge Verwandtschaft mit Modallogiken
• W3C Standard OWL DL basiert auf der Beschreibungslogik SHOIN(D)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
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Allgemeine DL Architektur
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Knowledge Base
TBox Terminological Knowledge Wissen über Konzepte einer Domäne (Klassen, Attribute, Eigenschaften,..)
Student: {x | Student(x)}nimmtTeilAn: {(x,y) | nimmtTeilAn(x,y)}
ABox Assertional Knowledge Wissen über Instanzen / Entitäten
Student(Christian)nimmtTeilAn(Christian, Semantic Web)
Infe
renc
e E
ngin
e
Inte
rface
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
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16 Allgemeiner DL Aufbau•DLs sind eine Familie logikbasierter Formalismen zur Wissensrepräsentation
•Spezielle Sprachen u.a. charakterisiert durch:
•Konstruktoren für komplexe Konzepte und Rollen aus einfacheren Konzepten und Rollen
•Menge von Axiomen, um Fakten über Konzepte, Rollen und Individuen auszudrücken
•ALC (Attribute Language with Complement) ist die kleinste DL, die aussagenlogisch (deduktiv) abgeschlossen ist
•Konjunktion, Disjunktion, Negation sind Klassenkonstruktoren,geschrieben ⊓, ⊔ , ¬
•Quantoren schränken Rollenbereiche ein:
Man ⊓ ∃hasChild.Female ⊓ ∃hasChild.Male ⊓ ∀hasChild.(Rich ⊔ Happy)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
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17 Weitere DL Sprachmittel•Weitere Konstruktoren sind z.B.
•Number restrictions (Kardinalitätseinschränkungen) für Rollen:≥3 hasChild, ≤1 hasMother
•Qualified number restrictions (klassenspezifische Kardinalitätseinschränkungen) für Rollen:≥2 hasChild.Female, ≤1 hasParent.Male
•Nominals (definition by extension, Aufzählungsklassen): {Italy, France, Spain}
•Concrete domains (datatypes): hasAge.(≥21)
• Inverse roles: hasChild– ≡ hasParent
•Transitive roles: hasAncestor ⊑+ hasAncestor
•Role composition: hasParent.hasBrother(uncle)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
Mittwoch, 15. Dezember 2010
3.4 Beschreibungslogiken
3.4.1 Motivation
3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
3.4.3 ALC - Syntax und Semantik
3.4.4 Inferenz und Reasoning
3.4.5 Tableau-Verfahren
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken
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19ALC Grundbausteine
•Grundbausteine:
•Klassen
•Rollen
• Individuen
•Student(Christian)Individuum Christian ist in Klasse Student
•nimmtTeilAn(Christian, VorlesungSemanticWeb)Christian nimmt an der Vorlesung SemanticWeb teil
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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20 Attributive Language with Complement - ALC• Atomare Typen
• Konzeptnamen A, B, ...
• Spezielle Konzepte
• ⊤ - Top (universelles Konzept)
• ⊥ - Bottom Konzept
• Rollennamen R,S, ...
• Konstruktoren
• Negation: ¬C
• Konjunktion: C ⊓ D
• Disjunktion: C ⊔ D
• Existenzquantor: ∃R.C
• Allquantor: ∀R.C
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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21 ALC Grundbausteine
•Klasseninklusion
•Professor ⊑ Fakultaetsmitglied
• jeder Professor ist ein Fakultätsmitglied
•entspricht (∀x)(Professor(x) → Fakultaetsmitglied(x))
•Klassenäquivalenz
•Professor ≡ Fakultaetsmitglied
•Die Fakultätsmitglieder sind genau die Professoren
•entspricht (∀x)(Professor(x) ↔ Fakultaetsmitglied(x))
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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22 ALC komplexe Klassenbeziehungen
•Konjunktion ⊓
•Disjunktion ⊔
•Negation ¬
(∀x)(Professor(x) → ((Person(x) Λ Universitaetsangehoeriger(x))
V (Person(x) Λ ¬Student(x)))
Professor ⊑ (Person ⊓ Unversitaetsangehoeriger) ⊔ (Person ⊓ ¬Student)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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23 ALC Quantoren auf Rollen
•Strikte Bindung einer Klasse als Bildmenge (Range) einer Rolle
•Pruefung ⊑ ∀hatPruefer.Professor
•Eine Prüfung wird immer nur von einem Professor abgenommen
• (∀x)(Pruefung(x) → (∀y)(hatPruefer(x,y) → Professor(y)))
•Offene Bindung einer Klasse als Bildmenge einer Rolle
•Pruefung ⊑ ∃hatPruefer.Person
•Jede Prüfung hat mindestens einen Prüfer
• (∀x)(Pruefung(x) → (∃y)(hatPruefer(x,y) Λ Person(y)))
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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24 ALC - formale Syntax
•Folgende Syntaxregeln erzeugen Klassen in ALC, dabei ist A eine atomare Klasse, C und D komplexe Klassen und R eine Rolle:
•C,D ::= A | ⊤ | ┴ | ¬C | C ⊓ D | C ⊔ D | ∃R.C | ∀R.C
•Eine ALC TBox besteht aus Aussagen der Form C ⊑ D und C ≡ D, wobei C,
D komplexe Klassen sind.
•Eine ALC ABox besteht aus Aussagen der Form C(a) und R(a,b), wobei C
eine komplexe Klasse, R eine Rolle und a,b Individuen sind.
•Eine ALC-Wissensbasis besteht aus einer ABox und einer TBox.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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25 ALC - Semantik (Interpretationen)
•wir definieren eine modelltheoretische Semantik für ALC
(d.h. Folgerung wird über Interpretationen definiert)
•eine Interpretation I=(ΔI,.I) besteht aus
•einer Menge ΔI, genannt Domäne und
•einer Funktion .I, die abbildet von
• Individuennamen a auf Domänenelemente aI ∈ ΔI
•Klassennamen C auf Mengen von Domänenelementen CI ⊆ ΔI
•Rollennamen R auf Mengen von Paaren von Domänenelementen RI ⊆ ΔI × ΔI
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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26 ALC - Semantik (Interpretationen)•schematisch:
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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27 ALC - Semantik
•wird auf komplexe Klassen erweitert:
•⊤I = ΔI
• (C ⊔ D)I = CI ∪ DI
• (¬C)I = ΔI \ CI
•∀R.C = { x | ∀(x,y) ∈ RI → y ∈ CI}
•∃R.C = { x | ∃(x,y) ∈ RI mit y ∈ CI}
•und auf Axiome:
•C(a) gilt, wenn aI ∈ CI
•R(a,b) gilt, wenn (aI,bI) ∈ RI
•C ⊑ D gilt, wenn CI ⊆ DI
•C ≡ D gilt, wenn CI = DI
•⊥I = ∅
• (C ⊓ D)I = CI ∩ DI
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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28 ALC - alternative Semantik
•Übersetzung in die Prädikatenlogik mittels der Abbildung π
•ABox: π (C(a))=C(a)π (R(a,b))=R(a,b)
•TBox:rekursive Definition
•Dabei sind C,D komplexe Klassen, R eine Rolle und A eine atomare Klasse.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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29 ALC - Wissensbasis
•Terminologisches Wissen (TBox)Axiome, die die Struktur der zu modellierenden Domäne beschreiben (konzeptionelles Schema):
•Human ⊑ ∃parentOf.Human
•Orphan ≡ Human ⊓ ¬∃hasParent.Alive
•Assertionales Wissen (ABox)Axiome, die konkrete Situationen (Daten) beschreiben:
•Orphan(harrypotter)
•hasParent(harrypotter,jamespotter)
•Semantik und logische Konsequenzen klar, da übersetzbar nach FOL
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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Operator/Construktor Syntax SpracheSprache
Konjunktion A ⊓ B
FL
S*
Wertrestriktion ∀R.C FL
S*
Existenzquantor ∃R
FL
S*
Top ⊤
AL*
S*Bottom ⊥
AL*
S*Negation ¬A
AL*
S*
Disjunktion A ⊔ B AL*
S*
Existentielle Restriktion ∃R.C
AL*
S*
Zahlenrestriktion (≤nR) (≥nR)
AL*
S*
Menge von Individuen {a1,...,a2}
AL*
S*
Beziehungshierarchie R ⊑ S HH
inverse Beziehung R-1 II
Qualifizierte Zahlenrestriktion (≤nR.C) (≥nR.C) QQ
Beschreibungslogiken
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
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31 Beschreibungslogiken •ALC: Attribute Language with Complement
• S: ALC + Rollentransitivität
•H: Subrollenbeziehung
•O: abgeschlossene Klassen
• I: inverse Rollen
•N: Zahlenrestriktionen ≤n R etc.
•Q: Qualifizierende Zahlenrestriktionen ≤n R.C etc.
• (D): Datentypen
•F: Funktionale Rollen
•OWL DL ist SHOIN(D)
•OWL Lite ist SHIF(D)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.3 ALC Syntax und Semantik
Mittwoch, 15. Dezember 2010
3.4 Beschreibungslogiken
3.4.1 Motivation
3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
3.4.3 ALC - Syntax und Semantik
3.4.4 Inferenz und Reasoning
3.4.5 Tableau-Verfahren
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken
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33 Open World vs Closed World Assumption• OWA: Open World Assumption
Die Existenz von weiteren Individuen ist möglich, sofern sie nicht explizit ausgeschlossen wird.
• CWA: Closed World AssumptionEs wird angenommen, dass die Wissensbasis alle Individuen enthält.
if we assume that we know everything about Bill then all of his children are male
child(Bill,Bob)Man(Bob)
are all childrenof Bill male?
? ⊨ ∀child.Man(Bill)
no idea sincewe do not knowall children of Bill
DL answersdon‘t know
PROLOG answersyes
≤ 1 child.⊤(Bill) ? ⊨ ∀child.Man(Bill) yesnow we knoweverything aboutBill‘s children
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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34 Wichtige Inferenzprobleme I
• Globale Konsistenz der Wissensbasis KB ⊨ false?
• ist Wissensbasis sinnvoll?
• Klassenkonsistenz C ≡ ┴ ?
• Muss Klasse C leer sein?
• Klasseninklusion (Subsumption) C ⊑ D?
• Strukturierung der Wissensbasis
• Klassenäquivalenz C ≡ D?
• Sind zwei Klassen eigentlich dieselbe?
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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35 Wichtige Inferenzprobleme II
• Klassendisjunktheit C ⊓ D = ┴?• Sind zwei Klassen disjunkt?
• Klassenzugehörigkeit C(a)?• Ist Individuum a in der Klasse C?
• Instanzgenerierung (Retrieval) „alle x mit C(x) finden“
• Finde alle (bekannten!) Individuen zur Klasse C.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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36 Entscheidbarkeit und DLs
• Entscheidbarkeit: zu jedem Inferenzproblem gibt es einen immer terminierenden Algorithmus
• DLs sind Fragment von FOL, also könnten (im Prinzip) FOL-Inferenzalgorithmen (Resolution, Tableau) verwendet werden.
• Diese terminieren aber nicht immer!
• Problem: Finde immer terminierende Algorithmen!
• Keine „naiven“ Lösungen in Sicht!
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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37 Entscheidbarkeit und OWL DL
• FOL-Inferenzverfahren (Tableauverfahren und Resolution) müssen für DLs abgewandelt werden
• Wir werden uns (zuerst) auf ALC beschränken
• Tableau- und Resolutionsverfahren zeigen Unerfüllbarkeit einer Theorie
• Rückführung der Inferenzprobleme auf das Finden von Inkonsistenzen in der Wissensbasis, d.h. zeigen der Unerfüllbarkeit der Wissensbasis!
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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38 Rückführung der Inferenz auf Erfüllbarkeit bzw. Konsistenz (I)
• Klassenkonsistenz C ≡ ┴ gdw
• KB ⊔ {C(a)} unerfüllbar (a neu)
• Klasseninklusion (Subsumption) C ⊑ D gdw
• KB ⊔ {(C ⊓ ¬D)(a)} unerfüllbar (a neu)
• Klassenäquivalenz C ≡ D gdw
• C ⊑ D und D ⊑ C
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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39 Rückführung der Inferenz auf Erfüllbarkeit bzw. Konsistenz (II)
• Klassendisjunktheit C ⊓ D = ┴ gdw
• KB ⊔ {(C ⊓ D)(a)} unerfüllbar (a neu)
• Klassenzugehörigkeit C(a) gdw
• KB ⊔ {¬C(a)} unerfüllbar
• Instanzgenerierung (Retrieval) alle C(X) finden
• Prüfe Klassenzugehörigkeit für alle Individuen.
• effiziente Implementation problematisch….
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.4 Inferenz und Reasoning
Mittwoch, 15. Dezember 2010
3.4 Beschreibungslogiken
3.4.1 Motivation
3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
3.4.3 ALC - Syntax und Semantik
3.4.4 Inferenz und Reasoning
3.4.5 Tableau-Verfahren
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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41 Tableau Verfahren in der Aussagenlogik (PL)• syntaktisches Verfahren zum Prüfen der Konsistenz logischer Ausdrücke
•Grundidee (ähnlich Resolution):
•Beweisverfahren, mit dem eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet wird (proof by refutation).
•Tableau basieren auf einer Darstellung von Formeln in disjunktiver Normalform (Resolution: konjunktive Normalform)
•Konstruiere Baum, in dem jeder Knoten mit einer Formel markiert ist. Ein Pfad von der Wurzel zu einem Blatt stellt die Konjunktion aller Formeln der Knoten entlang des Pfads dar; eine Verzweigung stellt eine Disjunktion dar.
•Der Baum wird durch sukzessive Anwendung der Tableau-Erweiterungsregeln aufgebaut.
•Ein Pfad in einem Tableau ist abgeschlossen, wenn entlang des Pfads sowohl X wie ¬X für eine Formel X auftreten, oder wenn F auftritt (X muss nicht atomar sein.).
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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42 Tableau Verfahren in der Aussagenlogik (PL)•Konstruiere Baum, in dem jeder Knoten mit einer Formel markiert ist. Ein Pfad von der
Wurzel zu einem Blatt stellt die Konjunktion aller Formeln der Knoten entlang des Pfads dar; eine Verzweigung stellt eine Disjunktion dar.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
(q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬ r) ∨ r
(q ∧ r) (p ∧ ¬ r) ∨ r
(p ∧ ¬ r) rq
r p
¬ r
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43 Tableau Verfahren in der Aussagenlogik (PL)•Grundidee (Fortsetzung):
•Ein Tableau heißt abgeschlossen, wenn alle seine Pfade abgeschlossen sind.
•Ein Tableau-Beweis für eine Formel X ist ein abgeschlossenes Tableau für ¬X.
•Die Auswahl der Regeln bei der Erweiterung eines Tableaus ist nichtdeterministisch.
•Für aussagenlogische Tableau kann die Auswahl etwas eingeschränkt werden
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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44 Tableau Erweiterungsregeln• für Aussagenlogik:
• für konjunktive Formeln (α-Regeln):
• für disjunktive Formeln (β-Regeln):
¬¬XX
¬WF
¬FW
α α1α2
X∧YXY
¬(X∨Y)¬X¬Y
¬(X⇒Y)X
¬Y
β β1 | β2
X∨YX | Y
¬(X∧Y)¬X | ¬Y
(X⇒Y)¬X | Y
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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45 Beispiel(1):zu zeigen: ((q ∧ r) ⇒ (¬q ∨ r))
(1) ¬((q ∧ r) ⇒ (¬q ∨ r)) = ¬(¬(q ∧ r) ∨ (¬q ∨ r)) = (q ∧ r) ∧ ¬(¬q ∨ r))
(2) α,1: (q ∧ r)
(3) α,1: ¬(¬q ∨ r) = q ∧ ¬r
(4) α,2: q
(5) α,2: r
(6) α,3: q
(7) α,3: ¬r
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
¬(X⇒Y)X
¬Y
α-Regel
Mittwoch, 15. Dezember 2010
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46 Beispiel(2):zu zeigen : (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r))
(10|β aus 9) ¬q | (11|β aus 9) r
(12|β aus 4) ¬p | (13|β aus 4) q
(1) ¬((p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)))
(2|α aus 1) (p ⇒ (q ⇒ r))
(3|α aus 1) ¬((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r))
(4|α aus 3) (p ⇒ q)
(5|α aus 3) ¬(p ⇒ r)
(6|α aus 5) p
(7|α aus 5) ¬r
(8|β aus 2) ¬p | (9|β aus 2) (q ⇒ r)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
¬(X⇒Y)X
¬Y
α-Regel
(X⇒Y)¬X | Y
β-Regel
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47 Tableau Erweiterungsregeln für FOL•wie für Aussagenlogik - in den Regeln stehen X und Y dann für beliebige
(prädikatenlogische) Formeln
•Zusätzlich folgende Regeln für die Behandlung quantifizierter Formeln :
• für γ universell quantifizierte Formel, δ existenziell quantifizierte Formel, mit:
• t ist Grundterm (d.h. enthält keine in Φ gebundenen Variablen), c ist eine „neue“ Konstante
γ γ[t]
δ δ[c]
γ γ[t]
∀x.Φ Φ[x←t]
¬∃x.Φ ¬Φ[x←t]
δ δ[c]
∃x.Φ Φ[x←c]
¬∀x.Φ ¬Φ[x←c]
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
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48 Beispiel(3):zu zeigen: (∀x.P(x)∨Q(x)) ⇒ (∃x.P(x))∨(∀x.Q(x))
(9|β aus 8) P(c) | (10|β aus 8) Q(c)
(1) ¬((∀x.P(x)∨Q(x)) ⇒ (∃x.P(x))∨(∀x.Q(x)))
(2|α aus 1) (∀x.P(x)∨Q(x))
(3|α aus 1) ¬((∃x.P(x))∨(∀x.Q(x)))
(4|α aus 3) ¬(∃x.P(x))
(5|α aus 3) ¬(∀x.Q(x))
(6|δ aus 5) ¬Q(c)
(7|γ aus 4) ¬P(c)
(8|γ aus 2) P(c)∨Q(c)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
γ γ[t]
∀x.Φ Φ[x←t]
¬∃x.Φ ¬Φ[x←t]
δ δ[c]
∃x.Φ Φ[x←c]
¬∀x.Φ ¬Φ[x←c]
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49 Tableauverfahren für Beschreibungslogiken•Transformation in Negationsnormalform notwendig
•Gegeben eine Wissensbasis W.
•Ersetze C ≡ D durch C ⊑ D und D ⊑ C
•Ersetze C ⊑ D durch ¬C ⊔ D.
•Wende die NNF-Transformationen auf der nächsten Seite an
•Resultierende Wissensbasis: NNF(W)
•Negationsnormalform von W.
•Negation steht nur noch direkt vor atomaren Klassen
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
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50 Tableau Transformation in Negationsnormalform• NNF Transformationen
• W und NNF(W) sind logisch äquivalent.
NNF(C) = C, falls C atomar istNNF(¬C) = ¬C, falls C atomar istNNF(¬¬C) = NNF(C)NNF(C ⊔ D) = NNF(C) ⊔ NNF(D)NNF(C ⊓ D) = NNF(C) ⊓ NNF(D)NNF(¬(C ⊔ D)) = NNF(¬C) ⊓ NNF(¬D)NNF(¬(C ⊓ D)) = NNF(¬C) ⊔ NNF(¬D)NNF(∀R.C) = ∀ R.NNF(C)NNF(∃R.C) = ∃ R.NNF(C)NNF(¬∀R.C) = ∃R.NNF(¬C)NNF(¬∃R.C) = ∀R.NNF(¬C)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
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51 Tableau Transformation in Negationsnormalform• Beispiel: P ⊑ (E ⊓ U) ⊔ ¬(¬E ⊔ D)
• In NNF: ¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D).
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
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52 Tableau Erweiterungsregeln für OWL DL
• Ist das resultierende Tableau abgeschlossen, so ist die ursprüngliche Wissensbasis unerfüllbar.
• Man wählt dabei immer nur solche Elemente aus, die auch wirklich zu neuen Elementen im Tableau führen. Ist dies nicht möglich, so terminiert der Algorithmus und die Wissensbasis ist erfüllbar.
Auswahl AktionC(a)∈W (ABox) Füge C(a) hinzu
R(a,b)∈W (ABox) Füge R(a,b) hinzu
C∈W (TBox) Füge C(a) für ein bekanntes Individuum a hinzu
(C⊓D)(a)∈A Füge C(a) und D(a) hinzu
(C⊔D)(a)∈A Splitte den Zweig. Füge zu (1) C(a) und zu (2) D(a) hinzu
(∃R.C)(a)∈A Füge R(a,b) und C(b) für neues Individuum b hinzu
(∀R.C)(a)∈A Falls R(a,b)∈A, dann füge C(b) hinzu
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53 Beispiel:• P … Professor
• E … Person
• U … Universitätsangehöriger
• D … Doktorand
• Wissensbasis: P ⊑ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D)
• Ist P ⊑ E logische Konsequenz?
• Wissensbasis (mit [negierter] Anfrage) in NNF:{¬P⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D), (P ⊓ ¬E)(a)}
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54 Beispiel (Fortsetzung):• Wissensbasis: ¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D) (P ⊓ ¬E)(a)
• Tableau:
(1) (P ⊓ ¬E)(a) (aus Wissensbasis)
(2|α aus 1) P(a)
(3|α aus 1) ¬E(a)
(4) (¬P ⊔ (E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D))(a) (aus Wissensbasis)
(5) ¬P(a) | (6) ((E ⊓ U) ⊔ (E ⊓ ¬D))(a)
(7) (E ⊓ U)(a) | (8) (E ⊓ ¬D)(a)
(9) E(a) (10) E(a)
(11) U(a) (12) ¬D(a)
Die Wissensbasis ist unerfüllbar, d.h. P ⊑ E.
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55 • Wissensbasis: ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person
• abzuleiten: ¬Person(Bill)
Person(Bill)
(¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(Bill)
(¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x1)
(¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x2)
¬Person(Bill) ⊔∃hasParent.Person(Bill)
hasParent(Bill,x1)
Person(x1)∃
¬Person(x1) ∃hasParent.Person(x1) ⊔
hasParent(x1,x2)
Person(x2)∃
¬Person(x2) ∃hasParent.Person(x2) ⊔
Problem tritt bei Existenzquantoren aufbzw. bei OWL:minCardinality
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
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56 Idee des Blocking• wir hatten folgendes konstruiert:
• Idee: Wiederverwendung alter Knoten
Person∃hasParent.Person
Person∃hasParent.Person
Person∃hasParent.Person
hasParent hasParent hasParent
Person∃hasParent.Person
hasParent
Person∃hasParent.Person
Blocking
Korrektheit muss natürlichbewiesen werden...hasParent
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57 • Wissensbasis: ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person
• abzuleiten: ¬Person(Bill)
Person(Bill)
(¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(Bill)
¬Person(Bill)
hasParent(Bill,x1)
Person(x1)
⊔
∃
(¬Person ⊔ ∃hasParent.Person)(x1)
¬Person(x1) ∃hasParent.Person(x1)
∃hasParent.Person(Bill)
⊔
σ(Βill) = {Person, ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person, ∃hasParent.Person}σ(x1) = { Person, ¬Person ⊔ ∃hasParent.Person, ∃hasParent.Person }σ(x1) ⊆ σ(Bill), so Bill blocks x1
Person∃hasParent.Person
hasParent
hasParent
Person∃hasParent.Person
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
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58 Tableau Blocking Definition• Die Auswahl von (∃R.C)(a) im Tableauzweig A ist blockiert,
falls es ein Individuum b gibt, so dass {C | C(a) ∈ A} ⊆ {C | C(b) ∈ A} ist.
• Zwei Möglichkeiten der Terminierung:
1.Abschluss des Tableaus.Dann Wissensbasis unerfüllbar.
2.Keine ungeblockte Auswahl führt zu Erweiterung.Dann Wissensbasis erfüllbar.
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken / 3.4.5 Tableau Verfahren
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3.4 Beschreibungslogiken
3.4.1 Motivation
3.4.2 Beschreibungslogiken Überblick
3.4.3 ALC - Syntax und Semantik
3.4.4 Inferenz und Reasoning
3.4.5 Tableau-Verfahren
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken
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60 1. Einführung
2. Semantic Web BasisarchitekturDie Sprachen des Semantic Web - Teil 1
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
4. Ontology Engineering
5. Linked Data und Semantic Web Anwendungen
Semantic Web Technologien Vorlesungsinhalt
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Semantic Web
OWL
Web On
tology
Langu
age
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Literatur
» P. Hitzler, M. Krötzsch, S. Rudolph, Y. Sure Semantic Web Grundlagen, Springer, 2008.
» F. Baader, D. McGuinness, D. Nardi, P. Patel-Schneider (eds.)The Description Logic Handbook - Theory, Implementation, and Application, 2001.(siehe online-Materialien)
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken
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Materialien
□Bloghttp://web-flakes.blogspot.com/
□Materialien-Webseitehttp://www.hpi.uni-potsdam.de/meinel/lehre/lectures_classes/semanticweb_ws1011.html
□bibsonomy - Bookmarkshttp://www.bibsonomy.org/user/lysander07/swt1011_08
Besten Dank auch an Pascal Hitzler, Sebastian Rudolph und Markus Krötzsch für die Vorlesungsunterlagen auf semantic-web-grundlagen.de
3. Wissensrepräsentation und Logik3.4 Beschreibungslogiken
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