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The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers
NII-Electronic Library Service
The 工nstitute of Eleotronios ,工nformation and Co unioation Engineers
論 文学生論文特集
混合整数計画法 に よ る旅客損失 を最小化する鉄道の 運転整理 と計算
時間短縮式
田村 啓† 佐藤 圭介††a ) 富井 規 雄†b)
ATrain Timetable Rescheduling MIP Formulation wi 七h Addi 七ional Inequalities
Minimizing Inconvenience to Passengers
Kei TAMURA † Keisuke SATO ††a ) and Norio TOMII †b) , ,
あ ら ま し 災害 や 事故 な どで 鉄 道 の 列車 ダ イヤ が 乱 れ る と,事 態 収 束 の た め,一連 の ダ イ ヤ変 更 か らな る 運 転
整理 が 行 わ れ る が,
そ の 量 と複雑 さか ら コ ン ピ ュータ シ ス テ ム の 支 援 が 望 まれ て い る.本 論 文 で は,単 純 な遅 延
の 解 消 で は な く旅客 の 視点 に たつ 運転整理 を 目的 に,一人の 旅客が ダイ ヤ 乱れ時に 被る不便度と平常時 に感 じて
い る不 便 度 と の 差 分 を旅 客損失 と定義 し, そ の 総和 を最小化する ,混合整数計画法に 基 づ い た ア ル ゴ リズ ム と計
算時間短縮式を提案す る.本論文 の 定式化 は,先行研究 と同様 に,運転整理手段 とそれ に 影響 され る運転整理 ダ
イヤ からなる 列車運行部分 と,運転整理 ダ イヤ に対して 定まる旅客の 利用経路 を意味する旅客行動部分 とを,一
体的に 表現する .列車運行 に つ い て は,運転整理 手段 と して 列車の 順序変更に 加 えて種別 変更 と折 返 し変更が 実
施可能で,旅客行動 に つ い て は,拡張 され た評価指標 を用い る た め,
モ デ ル の 規模 が増大す る が,解空 間を縮小
する 制約式を導入 して計算時間を揶える.実路線を含むデー
タ に対 して,様 々 な運転整理手段を用 い て 旅客 の 存
在 を考慮 した 運転整理 ダ イ ヤが 実時 間で作成で きる こ とを,計算機実験 に よ り示す.
キーワード 鉄道 の 運 転整 理 ,混 合 整 数計画 問 題,旅客行動,最 短路,解空間
1. ま え が き
鉄道は各列車の 各駅 で の 到着時刻や出発時刻な どか
らなる列車ダイヤ に従 っ て 運行 され る が,災害や事故
などで列車ダイヤ に乱れが生 じる と,事態収束 の ため,
運転整 理 と呼ば れ る一連 の 列車 ダ イ ヤ の 変更が行わ れ
る [1].
現在の とこ ろ , 列車運行の 予測 シ ミュ レーシ ョ ン 部
分 などは コ ン ピュータ シ ス テ ム の支援があ る が,その
業務の 大半は担当者 の 人力 に委ね られ て い る.業務 の
量 と複雑さから更なる支援が望 まれ て い る が,それ に
は次の よ うな難 しさが あ る.
t 千葉 工業大学 情報科 学部,習志野 市
Facu 正ty of Information and qomputer Science}Chiba Jnsti−
tute of Technolo 菖y,2−17 −1 Tsudanuma , Narashino −shi ,275 −
0016Japan廿 (公 財)鉄道総 合技術研 究所信号 ・情報技術 研究部,国分 寺市
Signalling and Transport Information Technol gy Division, Railway Technical Research Ins七itute}2−8−38 Hikari −cho 、 Kokubunji −shi ,185 −8540 Japan
a )E −mail : keisate ◎ rtri .or .jpb)E−mail : tomii ◎ cs 、it−chiba 、ac .jp
●
●
●
●
ダイヤ変更には様々 な手段と組み合わせがある.
リア ル タ イ ム 性 が 要求 さ れ る.
運行本数が 多い 都市圏で は大規模な問題に な る.
旅客が被る不便 と行動変化を考え る必要があ る.
なか で も最後の 要件が重要 と考えられ る .列車の 遅
延を解消す る観点だけ に たつ と,例 えば,列車を運休
させ れ ば そ の 列車 の 遅延 は な くな る が, 旅客が 次の 列
車を待つ 時間が 長 くな る .また,
全列車に つ い て 遅延
を回復 させ るよう に運行 させれば , 特定 の 駅 で 列車の
出発間隔 が 不均一に な り, 旅客間で待 ち時間に偏 りが
発生する.こ れらは旅客の被る不便を増 大させ る.
本論文で は, 旅客が ダイヤ 乱れ時に被る 不便度と平
常時に感 じて い る不便度 との 差分を旅客損失 と し,そ
の 総和を最小化す る運転整理 ア ル ゴ リズ ム [2], [3]と計
算時間短縮の た め の追加制約式を提案する .こ の ア ル
ゴ リズ ム は,駅 や 配線な どの 施設,平常時 の 所定ダイ
ヤ,旅客 の 需要 , ダイヤ乱 れ の 各情報を 入力 と して,
混合整数計画問題 圏 に定式化 し,そ の解 を運転整理
ダイヤ と して 出力する .
混合整数計画 問題 とする こ とで ,メ タ ヒ ュー
リス
電子 情報通 信学会論 文誌 D Vol.」97−D NQ.3 pp.393−404 ◎
一般 社団 法人電子 情報通 信学会 2014393
N 工工一Eleotronio Library
The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers
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The 工nstitute of Eleotronios ,工nformation and Co unioation Engineers
電子情報通信学会論文誌 2014/3vol. J97−D No ・3
テ ィ ク ス で は得 ら れ る保証 の 少ない ,最適解や精度情
報付 き解 の 導出が可能 に な る .
定式化は文献[5]と比較 して新たに幾 つ か の ダイヤ
変更手段に対応 して お り,現状の担当者 と同等 の 機能
を備え て い る。旅客の行動に つ い て は,拡張された評
価指標を用 い る こ とで ,現実が よ り正 しく反映 されて
い る.こ の た め モ デル の 規模が増大す る が , 追加制約
式 の 導入 に よ り計算時間を抑えて 実用に供する ア ル ゴ
リズ ム に し, 実路線 を含 む デー
タを用 い た計算機実験
に より有用性 を確認する .
2. 運転整理の 現状
2.1 運転整理 で用い られ る手段
運転整理 の 実務 で 用 い られる手段 に は,列車の (部
分)運休 , 種別変更 , 駅 で の 番線変 更,折 返 し変更,
順序変更,間隔調整な どが ある.主な手段 に つ い て,
図 1 に示す,横軸に時間,縦軸に駅並 びをとり,各列
車の各駅で の到着時刻と出発時刻を線で 結ん だ 列車ダ
イ ヤ 図を用 い て 説 明す る (文献 [1]も参照 され た い ).
種別変更 とは,列車の種類を快速列車か ら普通列車
に す る な ど して ,本来停車 しない 駅 に 停車 さ せ る こ と
で ある .その よ うな駅 で多数 の 旅客が列車を待 っ て い
る場 合に効果的な手段となる.逆 の 例 も考えられ る.
番 線変更 とは,列車が駅 で停車な い し通過す る番線
を変更する こ とを指す.
折返 し変更の 例を図 1 左に示す.1本 目の 列車は A
駅到着後に最寄 りの 車庫に 入庫 し (薄△ 印),2 本 目の
列車は 同駅で折返しを して反対方向の列車と し て運行
され る 予定で あ っ た (薄線).こ こ で ,2 本 目の 列車が
遅 れ た た め,1 本目 を折 返 し に して 2 本目 を入庫さ せ
て, 遅れを波及 させ な くして い る (黒線,黒 △ 印).
順序変更を図 1 右を用 い て 説明する.所定ダ イ ヤ で
は , Y 駅 で 快速列車 (太薄線)が普通列車 (細黒線)
を追 い 抜 く予定であっ た が,快速列車の Z 駅出発が遅
れ たため,追 い 抜 く駅 を X 駅に 変更 して い る (太黒
S聖a.X 广尸
s竃a.Y
r广尸
§ta・尸
図 1 折返 し変更 (左) と順 序変更 (右)
Fig .1 Change of turnback (left)and change of de−
parting order (right ).
線).言 い 換 える と,Y 駅 で の 出発順 序を変更 し,普
通 列車を先に 出発させ て い る.さ もな い と, 普通列車
は Y 駅 で快速列車を待つ こ とに な り,余計な遅延が発
生する.
実務で は こ れ らの手段を多数の列車に対 して複雑に
組み 合わせ て適用する必要が あ る こ と,また,単に列,
車 の 遅延 を少 な くすれば よい わ けで はな く, 利用者の
数や動 きを念頭 に お い て利用者の 迷惑をな る べ く少な
くす る ような運転整理 ダイヤ を作 らなければな らない
こ と に,運転整理 の 難 し さ が ある.
2.2 運転整理最適化の 先行研究
運転整理 の 最適化は これ まで多数研究され て い る [6].
近年で は, 遅延時間 を最小化すべ く, 文献 [7]に お い
て,列車運行の 選択 グ ラ フ に よる表現とメ タ ヒ ュー
リ
ス テ ィ クス を用 い た解法が提案 され て い る.一方で ,
厳密な最適解を得る た め に,混合整数計画問題と して
の定式化が 文献 [81で なされ て い る.文献 [9]は運転整
理手段 と して番線変更 と順序変更 を行 う.しか しなが
ら,こ れ らは 旅客 の 視点 を陽 に は 考慮 して い ない .
こ れ に対 して ,文献 [10]は ダイヤ乱 れ に よ り生 じ
る 旅客 の 不 満 を定義 し,メ タ ヒ ュー
リス テ ィ ク ス で 不
満 の 総和 を最小化 して い る.そ の なか で は,列車運行
を pERT (Program Evaluation and Review Tech−
nique )で 表現 し,運休を含む多 くの 運転整理手段を
駆使 して い る.旅客視点に よ る混合整数計画モ デ ル と
して ,文献 [11]で は旅客の 被 る遅延の 総和 を最小化
して い る が,ダイヤ乱 れ に よ り旅客 の 利用経路 は 変 わ
らない とい う仮定を置 い て い る .旅客行動の変化は文
献 [12}で ,列車の1頂序変更は文献 [13]で それぞれ扱わ
れ て い る が, 両者 は 同時 に は 考慮 さ れ て い な い .
順序変更は,旅客に とっ て は 目的地 に早着す る列車
の 変更 で あ る た め, 旅客行動 に大 きく影響す る.そ れ
を考慮 したの が文献 [5]で提案され た,旅客の旅行時
間増加量 の 総和 を最小化す る混合整数計画 モ デ ル で あ
る.こ の モ デ ル は,運転整理手段 とそれ に影響さ れ る
運転整理 ダイヤ か らな る列車運行部分 と,運転整理 ダ
イヤ に対 して定まる旅客 の 利用経路を意味する旅客行
動部分とを,一
体的に表現 して い る.運転整理手段と
して は順序変更に加え て番線変更に対応 して い る.し
か しな が ら, 列車の 進行方向と し て
一方向の み を対象
とし,旅客 の 乗換は一度 まで と い う仮定 を 置 い て い る.
実時間内に解 くこ との で きる 問題 の サイズ も小 さい .
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論文/ 混合整数計画法 に よ る旅客損失を最小化す る 鉄道の 運転整理 と計算時間短縮式
耄鬮
=贐書三
國} 図 2 配 線
Fig2 コ匪 ack 呈ayQut .
3. 研 究の 対象
本論文で は,文献 [5]を発展 させ た, 旅客損失の 総
和 を最小化する混合整数計画モ デ ル [2], 圖 と計算時間
短縮の た め の 追加制約式を提案す る.列車運行 に つ い
’て は,順序変更 と番線変更に加えて種別変更と折返 し
変更が実施可能で, 旅客行動に つ い て は,列車の乗換
回数の制限が な く,評価指標は旅行時間か ら乗車時間,
待ち時間,乗換回数 の 重み付 き線形和へ と拡張され て
い る.こ の ため モ デ ル の 規 模が増大するが , 追加制約
式の 導入 に よ り計算時間を抑え る.
本論文で用い る仮定は,実在す る多くの 路線 の 特徴
に基づ き,次の よ うにする.
● 列車ダイヤ :快速列車 (快速)と普通列車 (普
通) の 2 種類があ り, 必要に応 じて,快速を普通に ,
普通 を快速に とい う列車の種別変更が で きる.
● 路線 :図 2 に示すような配線を対象 とする.2
本 の 線路 が あり, 各線路は どち ら か 一方の進行方向の
列車が走行する (複線).駅には各方向につ き番線が
一つ か 二 つ あ り,
二 つ あ る 駅 で は 番線変更 と順序変更
が で きる .終端駅で は折返 しが で きる.
● 旅客行動 :旅客は それ ぞ れ が被 る不便度が最小
とな る利用経路 (出発駅から目的駅 まで の 駅 と乗車列
車 の 列)を選択する.目的地と反対方向の 列車に は乗
車 しない .本論文で は, 旅客が
, ある利用経路で移動
する場合 に感 じる不便度を,次式で 定義する.
(乗車時間 (分))+ α x (駅 で の 待ち時間 (分))
+ β × (乗換回数).
こ れ は 文献 [14]で 定め ら れ広 く利用され て い る式か
ら,列車混雑率に関する項を除 い た もの で あ る.こ こ
で α = 1,β= 0 と置 くと旅行時間 になる ,
4. 混合整数計画問題 によ る定式化 と解法
4.1 記 法
本論文の モ デ ル で使用する記法を表 1 に示す.こ の な
かで ,旅客の 出発駅 (Origin)と到着駅 (Destination )
の 組 を OD ペ ア と呼ぶ .
4 .2 列車運行に関する制約式
列車運行に関する制約式の うち,まず列車単体に 対
す る もの を記述す る .最 も基本的な制約は,ある列車
が と りうる種別 (列車種別〉は一つ とい うもの で ある.
Σ e・ ,・ 一・
e∈ E
∀r ∈ R. (1)
同様 に,あ る列車が ある駅 で使用 す る番線 は一
つ で
ある.
Σ 峠 一・ ∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀・ ∈ s・ 〔2)te∈ K8
列車は終着駅で折返 しを しない か,ある い は,折返 し
をする場合には,一
つ の列車へ と折返 しす る.
Σ 9・、,T2 ≦ ・
r2 ∈RSuc(T 、}
∀r1 ∈ R . (3)
折返 しと な る 列車に つ い て, 折返 し元 の 列車は一つ で
ある.
Σ 9・ 、 ,・ 。
− 1rl ∈{r ∈ R
l r2 ∈ RSuc(r }}
∀r2 ∈ Rsuch that{r ∈ Rlr2 ∈ RSuc(r )}≠ ・
(4)
列車 rl の 折返 し列車が r2 な ら ば (9r、,r2 = 1), 両列
車は終着駅 で 同 じ番線 を使用 す る (諒1一罅2
= 0).
そ うで なけ れ ば番線が異な っ て もかまわな い .
一(1 − 9r、 ,。 、 )≦鐐1一瞭2 ≦ 1 一 9。 、,。 2
∀b ∈ B ∀r 、 ∈ R 、 ∀r、 ∈ RSu。(r 、)∀fO∈ κ肝
「m (b).
(5)
到着時刻 α #,出発時刻 d#で表 され る 運転整理 ダイヤ
で は , 列車 は 所定 ダイヤ の 時刻 A#,D #よ りも早 く運
行する こ とはな い .列車を どの 時刻まで 遅 らせ て もよ
い か は,問題 の 解空間 を縮小 させ る た め に制 限 を 設け
た い が , そ の制限が ダイ ヤ乱れ で最低限遅れ て しまう
時間よ りも厳 しい と,混合整数計画問題が実行不可
能になる.そ こ で ,何 らかの 別 の 方法で 求め た 実行可
能な 運転整 理 ダ イ ヤ の 時刻 A ;,DS が ある もの と して
(詳細 は 4.5 で議論する),そ こ に最大許容時間 JM、x
を加えた 時刻まで は列車を遅 らせ て よい もの と す る.
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電子情報通信学会論文誌 2014/3VbL J97−D No.3
表 1 記 法
Table l Notations .
集合 と B
要素 OPP (b) R
Rb
R 詈≠ Rsucfr
}
5
Start(b) Term (b)
Ne × t(b78)
磯 >
ST・a 〔b,の TraNext (b, s ) KX
E ES ES ・d
卜一E 〜 T
列車進行 方向集合 (:={t
上 り’,
e
下 り’})
b ∈ B の 逆方向 (Opp (c
上 り・)・≡‘下 り・
iOpp (‘下 り・):
=‘上 り・)
列車集合
b ∈ B の 方向 に走行 する 列 車の 集合
b ∈ B の 方向 に走行す る 2 本の 異 なる列車 の組 の 集合 (:=
{(rl ,r2 )∈ R 豹 rl ≠ r2 })
r ∈ R の 終着後 の 折返 し候補 となる 列車の 集合
駅集合
b ∈ B の 方向の 始発駅
b ∈ B の 方向の 終着駅
b ∈ B の 方向 に ある s ∈ S の 次駅
b ∈ B の 方 向 に移 動 す る 旅 客の OD ベ ア の 集合
b ∈ B の 方向に移動す る 旅客が乗換可 能な駅集合b ∈ B の 方向 に移動す る 旅客が s ∈ S を出発 した次 に乗換可能 な.駅b ∈ B の 方向 に 進行す る 列車が s ∈ S で 使用可能 な番 線集合
列車種別 集合 (;={c
快速・,‘普通
・})
.駅 5 ∈ S に停 車す る列車種 別 の 集合
旅客が d へ 向か うの に s で 乗 車可能 な列 車種別の 集 合 ((s ,d)∈ 3 霧. 〉)
二 つ の 列車種別間の 優等関係 (t
快速,辷
E ‘快速・,‘快速 7
辷E 「
普通・,‘普通・辷
E ‘普通・)
旅客の 出現 離散 時刻集合おゾ
むド
ρ
霞2μ
だ.
A(だ
r
ゆ
M
理
数定 所 定 ダイヤ に おけ る r ∈ R の s ∈ S で の 到着 ・出発 時刻
所 定 ダ イ ヤ に お け る t ∈ T で 出 現 す る OD ペ ア (o,d)∈ sZ〈 〉
の 旅客 の不 便度
何 らか の実行可 能な運転整 理 ダ イ ヤ に お け る r ∈ R の s ∈ S で の 到着・出発時刻
事.象間 で 確 保すべ き最小 ある い は 最 大 問 隔
十 分 に大 きな 正 の 数
t ∈ T で 出現 する OD ペ ア (o ,d)∈ 晴 の 旅客数
変数 a §,d算 er、e 瞭
9z ・,’ 2
臆詔l
l協 議鞍
『1
・#lfr2d
切
丁
δ
ro
ム
7
〃
r ∈ R の s ∈ 3 で の 到着 ・出発時刻
r ∈ R の種別が e ∈ E で あ るか 否か の 0−1 変数
r ∈ Rb が k ∈ K ぎを使 用 す る か 否 か の 0−1 変 数
rl ∈ R の 折返 し列車 が r2 ∈ RSuc〔r1 )
で ある か否か の 0−1 変数
rl ∈ Rb が.r2 ∈ Rb よ りも先 に s ∈ S \{Term (b)}を 出発す る か 否か の 0−1 変 数
rl ∈ Rb が r2 ∈ ROpp
の 出発 よ りも先 に Term (b)に 到着す る か 否か の 一1 変 数
r2 ∈ ROpp〔b)
が r1 ∈ Rb の到 着 よ りも先 に Term (b)を出発 す る か 否か の 一1 変 数
t ∈ T で 出現 する OD ペ ア (o, d)∈ 曙〈 〉の 旅客 が o で r ∈ Rb に乗車 す るか否か の 0−1 変数
d へ 向か う旅客が S ∈ ST,、(b,d)で r1 ∈ Rb か ら r2 ∈ Rb に乗 換 す るか 否 か
(r1 = r2 の 場 合 は乗車 し続 け るか 否 か)の 0−1 変 数 ((s,d)∈ sZ< >
>
旅客が e で r ∈ Rb に乗車 する 時点か ら d まで の 部分利 用経 路で 感 じる 不便度 ((s ,d)∈ sg. 〉
)
t ∈ T で 出現する OD ペ ア (o,d)∈ 5農〉の 旅客が o で r ∈ Rb に乗車 する場合 の 旅 客損失
A ジ≦ α鼻≦導 + IM。.
∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S \{Start(b)}, (6)
D #≦ d#≦ D #・+ IM、x
∀b∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S \{Term (b)}. (7)
駅 s を出発 して b の 方向 に進 む 列 車が , 次駅 に 到
着す る ま で に 必要な最小 運転時間 曙,. は ,列車種
別 e に も依存す る.こ の 制 約を論理式で 表現す る と
er,e = 1 ⇒ α (b’s 〕− d#≧ Ji,e と な る が (er,e ; 0
ならば制約なし),これを文献 [4]を参考に して ,十分
に大 きな正 の定数 M を用 い て 線形不等式化 す る .
α墜 (b・s)− d塁≧ 嬬,e− M (1 一 er,。 )
∀b ∈ B ∀r ∈ Rb ∀s ∈ S \{Term(b)}∀e ∈ E .
(8)
同様に ,列車種別に よ っ て駅に停車するか通過するか
が 変 わ る.駅 3 に停車する種別 な らば,最小停車時間
JS を確保 し (式 (9)),通過する種別な らば,駅 の 到
着と出発を同時刻 に する (式 (10)).
Is乏r,e ≦ dr− a 募∀r ∈ R ∀s ∈ 3 ∀e ∈ ES , (9)
0 ≦ d笋一a ジ≦ M (1 −一 er,e )
∀r ∈ R ∀5 ∈ 8 ∀e ∈ E \ES. (10)
列車が 終端駅 で 折 返 しする な ら ば, 最小折返 し時間
窺lm を確保す る:
dl;「m (bL
・」「m (の
≧驫m (b〕一
脚一9r、、。、)
∀b ∈ B ∀γ・1 ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc(r ユ)
・ (11)
列車が終端駅 で 折返 しするならば,折返 し元と折返 し
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論文/混合整数計画法 に よる 旅客損失 を最小 化 す る鉄 道 の 運 転整 理 と計算時間短縮式
先の 列車の 到着 と出発の時刻 をそれぞれ同 じにする.
こ れは不必 要な制約だが , 式 (21), (22)を簡易に記述
する た め に導入する.
一M (1 − 9。 、,。 2 )≦ ・」;「m 〔b)一
・ll「m (b}
≦ ハ∬(1 − 97ユ,r2 )
∀b ∈ B ∀rl ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc(r1 >,
− M (1 − 9. 、,T 、)≦ d諏:「m (b)− dl!
「m (b〕
≦ ハ4‘(1
− 9rl,r2 )
∀b ∈ B ∀r1 ∈ Rb ∀r2 ∈ RSuc〔町 }・
(12)
(13)
次 に ,2 本 の 列車間で 生 じる制約を記述する ,終端
駅以外で は,一
方が先 に駅 を出発する.終端駅で は,
列車 の 到着 と反対方向の 列車 の 出発 とで 順序 を考える.
嫡 ,。 、 描 募,,。 、= 1
∀b ∈ B ∀(r 、 ,r 、)∈ RZ
≠∀s ∈ S \{T・・m (b)},
(14)
mTr「m (b〕
+ mTe「m 〔b) = 1
「 1 ,P2 「 2 ,「 1
∀b ∈ B ∀rl ∈ Rb ∀r2 ∈ ROPP(b)・
(15)
種別 e1 が種別 e2 よりも優先度が 同 じか高い 場合を考
える.ある駅におい て, 種別 が e1 の 列車が 種別が e2
の列車よ りも先に出発する ならば,次の.駅 で も同様の
順序関係 とな る.
・騁・5 )
≧ ・ ;、ガ (2 − e。 、,e 、
− e, 、 ,. 、 )
∀b ∈ B ∀(r 、 ,r ,)∈ 曝 ∀・ ∈ S \{T ・・m (b)}
such that Next(b, s)≠ Term (b)
∀(el ,e2 )∈ E2 such that el ≧こE e2 . (16)
列車 rl の 折返 し列車が r2 ならば, rl の 終端1駅到着 は
r2 の 同駅 出発 よ りも先で ある .
9, 、,r2 ≦鐔渦b)
∀b ∈ B ∀r・ ∈ Rb ∀r ・ ∈ RSuc(。 、)・ (17)
2 本の 列車の 間 に最小 の 到着間隔 (1蜘(b,s ))と出発
間隔 (JB, )を確保する・
・呼t〔b・5L
・浄t(b, s )≧ 1舷
xt (b, s )− M (1
−・ #、 ,r 、 )
∀b ∈ B ∀(r ・,r ・)∈ 曝 ∀s ∈ SX {T・ ・m (b)},
「(18)
d9、
− d#、 ≧ IB,− M (1 − xX ,r, )
∀b∈ B ∀(r 、 ,・,)∈ 鴫 ∀・ ∈ S \{Te・m (b)}.
(19)
2本の 列車が駅 3 で 同じ番線を使用するため に,前方
列車が出発 して か ら後方列車が到着する まで最小 間隔
壊D を空ける.同方向の列車につ い て は始発駅 の 場合
(式 (20))とそ れ以降の 駅 の 場合 (式 (21))を考 え,
終端駅 で は更に到着列車 と反対方向の 出発列車と の 間
隔 を考える (式 (22)).
α§a 「t(b)一
(i鼻Ia「t(b>
≧ ∬貸冒齔(b)
− M (3 弼 都lb)一瞭、
一瞭、)
∀b ∈ B ∀(r 、 lr 、)∈ 鴫 ∀k ∈ K 妻ta吐 (b)
, (20)
α駐(b,s )一己騨fxt(b・s 》
≧ 雄t(b・5LM
(3 − x ;、,
。、
一娩 一・勾
∀b ∈ B ∀(r ・,・・)∈ 鴫
∀・ ∈ SX {T ・・m (b)}∀h ∈ K 歴ψ ,5 ), 〔21)
・ 」:「m (b)− dP
「m (b)
≧囎醐 一M (1 一耳:慨
b))
∀b ∈ jB ∀「1 ∈ Rb ∀「2 ∈ ROpp(b). (22)’
列車が 終端駅に到着 して か ら反対方向の 列車が出発す
る まで,最小間隔 ∬訟m
を確保す る.
dJ;「m (b)一
・1:’m (b)≧ ∫歃
m (b)− M (1一鐔瓢
b})
∀b ∈ B ∀「1 ∈ Rb ∀「2 ∈ ROpp(b)・ (23)
4.3 旅客行動に関する制約式
表 1 の 変数 裾ノ,魂 告2を用 い て
, 旅客行動に関する
制約式を記述 し,それ に伴 い 発生す る 旅客損失 に 関す
る 変数 τ尹μ
, 瞬ノの 値を定め る .本論文の 旅客行動を
表す O−1変数の サ イズ は 0 (IS12[TllRl)+ 0 (IS12[R12)で あ り, 文献 [5]の O (iS121TllRl)+ 0 (IS121T[IR12)から大幅に減 っ て い る.
旅客行動の 基本的な制約 として,旅客は出発駅 にて
1 本の 列車に乗車す る.
Σ潔 司 ∀b ・ B ∀(・,d)・ 畷 〉
∀t∈ T ・
r ∈ Rb
(24)
旅客は自分の 出現時刻以前 に発車す る 列車に は 乗車 し
ない (d9 く t ⇒ 之£タ=0)・
397
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電子情報通信学会論文誌 2014/3vol . J97−D No .3
β鯛≦ d雲/t
∀b ∈ B ∀(・ ,の ∈ 破 〉∀t ∈ T ∀r ∈ Rb.
(25)
列車種別 が旅客の 出発 駅 を 通過す る もの で ある,また
は乗車する と (途中で どう乗換をして も)目的駅 を通
過 して しまうもの な らば,そ の 列車に は乗車 しない .
z留≦ 1 − ene
∀bEB ∀(・,d)∈ 畷 〉
∀耗 丁
∀r ∈ Rb ∀・ ∈ E \E ° μ . (26)
途 中の 乗換可能駅 で も,式 (24)一(26)と同様の制約が
ある.こ こ で JT,a は 乗換 に かか る 時間 で あ る.
Σ ・塩 一・
r2 ∈Rb
∀う∈ B ∀d ∈ s ∀s ∈ ST,。(b,の
∀T1 ∈ Rb,
dジ、
一α算
、≧ IT,、
− M (1一魂1。 2) ∀う∈ B ∀d ∈ θ ∀8 ∈ STra
(b,の
∀(・・,・・)∈ 曝 ,
z溜。 2 ≦ 1 − er2,e
∀b ∈ B ∀d ∈ 5 ∀S ∈ STra(b, d)
∀(rl ,r2 )∈ Rl ∀θ ∈ E \E3 μ.
(27)
(28)
(29)
旅客の利用経路の うち,出発駅ない し途中駅 s で 列
車 r に乗車する時点か ら,目的駅 d まで の部分経路 で
感 じる不便度 τ尹μ を考え る、そ の値は
,s−d 間 に乗換
可能駅がな い 場合,乗車時間 の み で 構成 され る.
τ声,d ; α砦一鵡
∀b ∈ B ∀(s ,d)∈ θ畫< >
such that TraNext(b, s)¢ S 丁「a (bl d)∀r ∈ Rb・
(30)
こ れ らの 駅 の 問 に乗換可 能駅 Tra Next(b, s)があ る場
合 , 乗換の有無で 不便度は 変 わ る.旅客が 同 じ列車に
乗車 し続ける な らば,げμ の値は,列車 r の 駅 s か
ら Tra Next(bl s)まで の乗車時間, TraNext(b, s)で の
(乗車 した状態で の )停車時間,TraNext(b, s)以降の
不便度を表す TJ「aNext (b’s )’d
か ら構成 され る.
7尹・d ≧ a∫
「aNeXt 〔b・5 ) − d夛
+ (dl「aNe 焔 の 一
・」「臼 Next (b ,
s ))
+ ・」「aNext 〔b,
s 〕・d − M (1 −・贈
N 叡 t(bls ),d)
∀う∈ β ∀(・,の ∈ 8ぎ<>
such that TraNext(う, s)∈ STra(b, d)∀r ∈ Rb ・
(31)
旅客が TraNext(b, s)で 列車 rl か ら列車 r2 へ 乗換す
るならば,TraNext(b, s)で の停車時間の代わ りに,待
ち時間 の α 倍 と乗換 ペ ナ ル テ ィβが加算 され る.
舜d≧ ・JlaNext(b,s )− d;
,
+ α × (d募aaNe)(t(b・5 )一
α瓦aNext (b,
s ))+ β
+ ・君aNe ×t圓 ・d − M (1
−・騰
×t鯛 ,ら
∀う∈ B ∀(・,の ∈ θぎく >
such that Tra Next(b, s)∈ STra(b ,d)
∀(r ・ ,T ・)∈ 磅≠
. (32)
時刻 t で出発駅 o に現 れ,列車 r に乗車 して 目的駅
d へ 向か う旅客の 損失は, 弱β:= max {α × (岬
一t)+
τ尹μ 一A2’d
,e}× β鋼で 与え られ る.こ れは,整理 ダ
イ ヤ に お け る o で の 待ち時 間の α 倍 と,
o で r に 乗車
する時点か ら d まで の 不便度の和か ら, 所定ダイヤ で
の 不便度 ASId を引 き,それが負に な る場合は損失 を
0 とみ なす.そ して ,旅客が o で r に乗車するならば,
当該経路 の旅客損失の値を 岨ノに代入 する,こ の式を
線形化す る と次 の よ うにな る.
鰐 ≧ α ・ (d:一オ)+ 磆,d − A7 ,
d − M (1 一如∀b ∈ B ∀(・,d)∈ 8ぎく〉 ∀tET ∀・ ∈ R 、,(33)
瑠 ≧ o
∀う∈ B ∀(o ,d)∈ 5詩〈 〉
∀t∈ 1「∀r ∈ Rb. (34)
4.4 計算時間短縮 の ための 追加制約式
冗長 だ が解空間 を縮小す る 制約式を導入 して, 計算
時 間を短縮させ る.まず,2 本 の 列車 r1 ,r2 が同種別 で
あり, 時刻 t で 駅 o に 出現 し た 旅客に つ い て t ≦ D 雰1
だ とする.こ の とき,式 (7)よ り,旅客は r1 には乗 り
遅 れ は しな い .更に,mgi ,。2= 1 な らば,式 (16)よ
り,rl は o 以降の駅で も r2 より先に 出発する.よっ
て ,旅客は r2 に 乗車しない .
398
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論文/ 混合整数計 画法 に よる旅 客 損 失 を最 小 化す る鉄道の 運転整理 と計算時間短縮式
鶚 ≦ 3 − xg、,。 、
− er、,。
一・e・ ,
・,e
∀bEB ∀(・ ,d)∈ 磯 〉 ∀t ∈ T
∀(r 、 lr ・ )∈ 囁 ・u ・hth ・tt ≦ DS、
∀e ∈ E ° ・
(35)
2 本 の 列車が異種別 の ときは ,α ≧ 1,つ ま り列車を
待 つ 不便度が乗車する不便度以上 の 場合に限定して 考
える.列車 rl は O , d に停 車し, r2 は 0 に停車 し, r1
が o と d の 一つ 手前の 駅 で r2 よ り先に出発する な ら
ば,旅客の o で の rl の待ち時間が短 い かつ rl が先に
d に到着す る の で,
r2 に は 乗車し な い .
・艦 ≦ 4 − m9、lr 、
− xf、,
r、
− e・、,・、
− er、。 2
∀b∈ B ∀(・ ,の ∈ 3齧. 〉
否 ∈ Ssuch that Next(b,3)=d
∀t∈ T ∀(r 、,r、)∈ Rk ・u ・hth ・tt ≦ D :、
∀e 、 ∈ E °
∩ Ed ∀・、 ∈ E °
such ・that・e 、 ≠ ・、.
(36)
旅客は 同種別 の 列車に乗換 し な い .
・脇 ≦2 − er、 1。略 、 ,。
∀b ∈ B .∀d ∈ S ∀S ∈ STra(b,d )
∀(r 、 ,r 、)∈ 曝 ∀e ∈ E . 〔37)
快速 に 乗 っ て 乗換可能.駅まで来た旅客に つ い て,目的
駅が快速停車駅な らば乗換 しない .
・鵠 、 ≧ e。、,・騰
∀b∈ B ∀d ∈ Ssuch that ‘・映速 ・
∈ Ed
∀s ∈ ST,a (b,、d〕 ∀r ∈ Rb・ (38)
ほ か に 乗換 しな い ケース で は,α ≧ 1,rl
,r2 とも d に
停車し,r1 が r2 よ り先に d に到着する場合が ある.
・鑑 、≦ 3 一魂 。 ,
一 ε、
− e。、,,2
∀わ∈ B ∀d ∈ S ∀8 ∈ STra(b,d)
百 ∈ Ssuch that Next(b,ε )= d
∀(r 、,r、)∈ 瑠≠
∀{・、,・・}∈ Ed . (39)
OD ペ ア (o , d1)と (o ,
d2)に つ い て, o に は普通 の み
停車するな どで ,出現駅 で の旅客行動が 同 じになるな
らば,F (O ,
dl)=F (O , d2)と置 き, 変数をまとめ る.
0 ,dl o μ29ちr
; Zt,r
∀う∈ B ∀(o , di), (・,
d、)∈ 3号〈 >
such that F (o ,dl);」F「(o ,
d2)
∀孟 ∈ 1「 ∀r ∈ Rb. (40)
4.5 目的関数と解法
混合整数計画問題の 目的関数として,列車運行に関
する変数と制約式の み を用 い て,単純な (到着)遅延
総和最小化 (DMP )を次の よ うに定義で きる.
mi ・ Σ Σ Σ (・;− A #)
b ∈Br ∈ Rb s ∈ 8\{Start(b)}
s.t. (1)一(23),
e,,。 ,
u ;・’e
,9。 、,, 、 ,x #、,r 、∈ {0,
1}.
こ れ に旅客行動に 関する変数と制約式 を加えた,旅客
損失総和最小化 (PDP )を次 に示 す.
mln Σ Σ Σ理’d(Σ 勲
b∈B (・ ,d)∈sZ
< >
t∈T
「 ∈ Rb
s.t. (1)一(40),
偏 u 戴 9w 、 ,媒 、、r 、謂 ,鑑 、∈ {O,
1}・
こ れ らを用 い て ,本論文の 主眼で ある旅客損失を最
小 にする運転整理 の解法 と して,次の 手順 を提案す る.
ス テ ッ プ 1 : (所定ダ イヤ で の旅客不便度計算〉
各 r ∈ R,s ∈ S に つ い て ,α#:= ノ4乳み := :D 鼻
とお く.
各 b ∈ B, (O ,
d) ∈ 曙く 〉 ,t ∈ T に つ い て
,
A :’d
:=0 とお く.
(PI)P )を解 く.
各 b ∈ B, (o ,の ∈ 5ξ< > 7t ∈ T に つ い て ,
A鱈 一Σr ∈。、卿 とお く・
ス テ ッ プ 2 : (遅延最小化)
ダイ ヤ乱れ情報を与える .
各 r ∈ R,s ∈ 5 に つ い て, A 夛,
D 呉:= QO とお く.
(D ハ4P )を解 く.
ス テ ッ プ 3 : (旅客損失最小化〉
各 r ∈ R ,s ∈ 3 に つ い て ,(DMP )の 解か ら A .4瓢 = ar
,D #:= d#とお く.
IM。 x の値 を与え る.
(PDP )を解 く.
399
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電子 情 報通 信 学 会 論 文 誌 201413vol . J97−D No .3
ス テ ッ プ 1 で は,所定ダイ ヤ に お ける旅客の 不便度
A7・d を,ダイヤ乱れ の 前にあ らか じめ計算する.こ れ
に は,列車の 時刻を所定ダ イ ヤ に 固定 して, 不便度 0
か らの 増分を最小化する (PDP )を解 くこ とで,所定
ダ イ ヤ 上 で の旅客の 利用経路 と不便度 が 求 ま る こ と を
利用する.ス テ ッ プ 2 で は,ダイヤ乱れ の情報を与え
た あ と, 遅延 を ど の 程度回復 で きる かを知る た め に,
式 (6), (7)の 右辺 を無視 して (DMP )を解 く.得 られ
た解 は参照用 の 実行可 能な運転整理 ダ イ ヤ とみ な せ る.
ス テ ッ プ 3 で は ,(DMP )の 解を式 (6), (7)の .4馬D 募
に代入 す る .そ こ に 最大許容時 間 IM。x を 加 え た 時刻
まで 列 車を遅 らせ るこ とを認め て,(PDP )を解 く.
5. 計算機 実験
5.1 対象路線 と計算結果
本論文の 混合整数計画 モ デル を,仮想的な路線 (ケー
ス 1)と JR 中央線の一部区間 (ケー
ス 2)に適用 して,
そ の有用性を検証 する.旅客不便度式の パ ラメー
タは文
献 [14]に 従 い α = 2,β= 10 と し,定数 M の 値は 300
と す る.実験 には, CPU が Core i7−3930K ,メ モ リ
が 16GB , OS が 64 ビ ッ ト版 windows 7 の 計算機と,
混合整 数計画 ソ ル バ と して Gurobi Optimizer 5.5.O
を使用する.
ケ ース 1 に つ い て ,図 3 左上 に所定ダ イ ヤ を示す.
こ れは 5 駅 と上下方向 8 本ずつ の列車からな り,太線
が 快速 , 細線 が 普通 を表す.快速 は所 定ダ イ ヤ で は C
駅 で普通を追い 抜 くが ,運転整理 で は 全駅で追 い 抜 き
可能 とす る.A 駅 で 列車 12 が折返 しして 列車 6 に な る
など,幾つ か の列車は終端駅 で折返 しをする.旅客の
OD ペ ア と出現時刻 の 組 (o , d
, t)は 569組 に な り,変
数の 総数は (1)MP )が 1,447,(PDP )が 11,639,制
約式の 総数は (DMP )が 7,505
, (PDP )が 145,339
に なる (式 (35)一(40)を含む).
こ の 所定ダイヤ に対 して,何らか の 理由 に よっ て (車
1 2 3 4 5八 . . . . 1
. :. . .… .. .
層 . .: .
i
.B
11 . .. . .. .旨 . .
コ .≡ . .. . . 層 唱. 巴 . . .. . .1 引. . . .
C …. 匚 」 :. . .匚 1 [ . .: . 1 1
:引 .. .. . 三. 」 . . 」 .
D. … …
.唱
. 」 「 .」 引 . .. 望. . .. 唱. 」 コ. . . . . . . .. 1i. . . 層 .. . .
E題 . .
斜 12 13 興 1 1
Pranned timetable Solution fDr (1ワMP )
Solution for(PDP )with IMa、=5,10 Solution for(PDP )with JMax = 15
図 3 ケー
ス 1 の ダ イヤ 図
Fig.3 Diagram50f case No .1.
400
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論文/ 混 合 整 数 計 画 法 に よ る旅客損失 を最小化する鉄道の 運転整理 と計算時間短縮式
両 の一時的な不具合などを想定)列車 2 の A 駅出発が
30 分遅れる場合 を考え,(DMP )と, IM。x= 5
,10
,15
に つ い て の (PDP )を解 く.
図 3 右上 に (DMP ),左下に ∬M 、 x = 5 及び 10 の と
きの (PDP )(結果は同じで あ っ た〉, 右下 に IM、x
= 15
の ときの (PPP )の 解 をそれ ぞ れ示す.(DMP )の 解
では , 列車 2 が A 駅 で 30 分番線を占有す る の で, 列
車 3 と列車 4 に つ い て は ,番線を変更 して定刻で 出発
して い る。列車 1 の 折 返 し列車 を列車 2 か ら列車 14
に変更し て,遅延の波及を最小限 に と どめ て い る.順
序変更に よ り, 列車 13 は B 駅 で列車 14 に 追 い 抜か
れ て 遅延 して い る が,折返 しの列車 9 には影響してい
な い .列車 14 の 折返 し と な る列車 8 の 遅延 も減少 し
て い る.注 目すべ きは ,列車 15 が,列車種別を快速
に 変更 さ れ て,E 駅 を列車 16 よ り後 に 出発 して い る
こ とで ある.列車 15 の 折返 し元 は 列車 1 か ら列車 3
に 変更 に な っ た た め ,E 駅出発が遅延するが,快 速に
な っ た こ とで B 駅で定刻に戻 っ て い る.こ の 運転整理
ダ イヤ で は,普通列車 13 と普通列車 17 の 間隔が空 き
す ぎて い る こ とが 問題 とな る,
一
方,IM。.= 5
,10 の と きの (PDP )の 解で は, E
駅 か ら D 駅や B 駅へ 向か う旅客の 不便度を考慮 して,
列車 15 の 列車種別 は普通 の ままになっ て い る.しか
し,列車 15 の E 駅出発が 列車 16 よ り先 に な っ て お
り,列車 16 の折返 しの列車 10 に軽微 な遅延が残 っ て
い る .こ れは,IM。、の 値が小 さ く, 列車 15 の B 駅発
車時刻は (DMP )の 解か ら最大で 10 分まで しか遅 ら
せ ら れ な い が, 種別 が 普通 で あ る た め
, 逆算 して E 駅
の 出発が早 くな っ て い る か らで ある .ただ し,こ の 問
題 は IMax = 15 の ときに は解決 され て い る .その ほ か,
(PDP )で は 列車8 が 列車 7 を D 駅 で 追 い 抜 い て い る,
ケース 2 で は,中央線の新宿か ら立川 まで に つ い て ,
土 ・休 日の 昼間 の 80 分 間を対象とする .図 4 左上 に
所定 ダイヤ を示す.太線が特別快速 (特快),細線が
快速と呼ばれ る列車種別だが,特快は 本論 文 の種別 e
で 言 う と こ ろ の 快速に, 快速は普通に相当する.本論
文 で は番線が複数ある こ とで特快が快速 を 追 い 抜 き可
能な駅 の うち,所 定ダイヤ や小規模の ダイヤ乱れ時に
追 い 抜きが 実施さ れ る 中野,三鷹 , 国分寺 の 各駅で追
い 抜きを可能とする .こ れ らの特快停車駅 の問の 駅 で
は 列車川頁序が 変わ ら ない ため,記述が煩雑 に なる の を
避ける 目的で ,中野〜三鷹間 にある快速の みの停車駅
の代表を荻窪,三鷹 〜国分寺間 の 代表を東小金井,国
分寺〜立 川間 の 代表を国立 とする .吉祥寺,武蔵境,
武蔵小金井,西 国分寺と, 土 ・休日の 昼 間は列車が通
過する高円寺 ,阿佐ヶ谷 , 西荻窪は省略す る,旅客 の
OD ベ ア と出現時刻の組は 1,511 組になり, 変数の総
数は (DMP )が 2,959 , (PDP )が 15
,581, 制約式 の
総数 は (DMP )が 39,185 ,(PDP )が 647
,606 にな る
(式 (35)一(40)を含む).
こ の 所定ダイヤ に対 して,
な ん らか の 理 由で 列車
2 の 新宿出発が 30分遅れ る場合を考え,(DMP )と,
IM。x = 1,_
,6 につ い て の (PDP )を解 く.
図 4 右上に (DMP ), 左下 に IM。 x = 4,5 (結果は同
じで あっ た),右下に ∬M 、,= 6 の ときの (PDP )の解
を示す.(DMP )の 最適解で は, 列車 3 か ら列車 8 は
番線変更 して新宿 を定刻に発車 して い る.立川か ら新
宿 へ の 列車 も, 遅延の影響がな い た め定刻 で 走行 して
い る.列車 2 は三鷹 で 列車 8 を, 国分寺で列車 7 を追
い 抜 く.列車 9 (特快 )は, 同 じ く特快 の 列車 2 の す
ぐ後を走行 して い る ため,列車 9 の 乗客が非常に少な
くな っ て い る.こ れ に 対 し て,
IMax = 1,_
,3 の とき
の (PDP )の解は, (DMP )か らわずか に変化しただ
け で, 列車順序は変わ らな い .こ れ は
, 順序変更をす
る と,IMa、 で定めた,列車を遅 らせ る限界を超えるた
め で あ る.こ の 状 況 が 解 消 され る の は IM。x= 4
,5 の
ときで ,国分寺〜立川 間で特快列車 2 と特快列車 9 の
問 に快速列車 7 が走行 して い る.更 に fM。 x=6 で は ,
列車 10 が新宿 を列車 9 より先 に出発 し,どの駅間で
も特快列車 2 と特快列車 9 の 間に は 1 本の快速が走行
して い る .
以上 の実験結果か ら,本論文で 定式化 し た種別変更
や折返 し変更が 正 し く機能 して い る こ とが見 て 取 れ る.
また,旅客損失を最小化する こ とで ,種別ご とに見て
列車の 問隔が 均等に な り,旅客行動 モ デ ル と評価指標
も適切 であるとい える .特に, 本数の 少な い 同種別の
列車が 続 け て 運行さ れ ない こ とは運転整理 の 実務で も
意識さ れ て い る こ とで あ り, 実験 に よ り得 られ た結果
は実務で も受け入れ られ る もの と考えられ る.
5.2 計 算 時 間
各実験ケー
ス に つ い て , (DMP )と IMa.の 値 の 違
い に よ る (PDP )の 目的関数値 と計算時間 を表 2 に
示す.表内で (PDP )につ い て は, 本論文で提案 した
計算時間短縮の た め の追加制約式 (35)一(40)を含む場
合,代わ りに文献 [3]で提案された追加制約式を加え
た場合,式 (35)一(40)を含まない 場合に つ い て,
そ れ
ぞれの 計算時間を記載する.括弧で示 した時間は,全
体の 計算時間 の うち最適解が 発見 さ れ る まで に要した
401
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Shite 4 2345 6 7 8 9 肇Oju
Naka【臥
曝kube
餓瞼ka
Higaslti一κ6ga麟
Kbku.tRtnii
晦 戉・ c廡
Tachレka糊 霊1肇2 哩3
銚 恥 1舞kuNaka
陥
oφ一kubd
Miteke
HigashF恥 gand
141516窪718 19 2021 Planned timetable
Kdku一加 頭
挿川 卜
tachiTaCh
』
kawa l1G213 1415161718 19 2【}2f
Solution for(PDP )with IMe.=4 ,5
図 4
Fig,4
Shilt, t 345 6 7 8291GjukuNakane
曝kubO
Mitaka
HigashFKogan襃
kロ.加 呼
瑜廊 .tac厩
Tacltトkawa 11霊213 捶415161718 19 2021
Solution for〔PMP )
S 厩 鑛_t 345 67 82 窒09iuk驢
Nekene
o 事一
k凵bd
Mitake
Higash ト
KOganci
雛
蠶
朧 fll213 1415161 ア18 19 2G2a
Solution for (PDP )with IMax = 6
ケース 2 の ダイヤ 図
Diagrams of case No .2.
時間 で あ り, そ こ か ら計算終了 まで の時間は,そ の解
が最適解で ある こ との証明に費や され て い る.表中の
* 印は, 900 秒 で 最適解 の 発見または計算が終了せず,
計算を打ち切 っ て い る こ とを示す.
どちらの ケース で も,(DMP )は短時間で 解け て お
り,実行可能な運転整理ダイヤ を得る方法として適当
とい える.一方 で (PDP )に つ い て は, IM、 . の値が大
きくなる に つ れ, 解空間が広が る の で 計算時間 は 増 え
て い る が,ケー
ス 1 で は 最適解発見まで に かか る時
間 に比べ て 最適性 の 証明 に か か る時間 の 増加量 が大 き
い .表に は記載 され て い ない が,
ケ ース 2 で も最適解
に非常に 近 い 暫定解は短時間で 導出 されて い る.旅 客
行動 の 0− 1 変数 の うち,旅 客 の 出現 駅 で の 列車選 択
変数 堵ノの サ イ ズ が 0 (IS121TIIRI)と大きい うえに,
式 (25), (28), (31)一(34)と目 的関数に よ っ て
, 混合整
数計画 ソ ル バ が問題 を線形緩和 して得る最適解の 下界
が弱い ために,こ の ような現象が発生 して い る.本論
文の 不便度パ ラ メータ 設定値は α ==2,β= 10 で あ
り,文献 圖 で の α =1,β ;1 よ りも計算 され る 不 便
度 τ〆 ,雪瑠 の 値が大 きくな る ため,定数 .M の 値を大
きく設定せ ざる を得ない こ と も, 計算時間が か か る 要
因に な っ て い る.式 (35)一(40)が ある こ とで,追加制
402
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論文/混合整数計画法 に よ る旅客損失 を最 小 化す る鉄道 の 運転整理 と計算時間短縮式
Table 2
表 2 目 的関 数値 と計算 時間
Objective values and cornputation times ・
ケース 問題 IMax 目的関数値 追加 制約式 ご との 計算時 間 (秒 〉
(DMP ) (PDP ) 式 (35)一(4D ) 文 献 [3]の 式 式な し
1 (DMP ) 一
(PDP ) 5
(PDP ) 10
(PDP ) 15
工72 4,501210 3,586210 3 ,
586
208 3,522
一 一 一 一 2.2 (1.O) 2、4 (2.0) 1.8252 、7 (15.0) 790.0454.〔) (23, )
*
(1.0) 3.7 (3.0)(13.0)
*
(*
)
(*
) *
(*
)
2 (DMP ) 一
(PDP ) 1
(PDP ) 2
(PDP ) 3
(PDP ) 4
(PDP > 5
(PDP > 6
217 19,980226 15
,140
226 15,ユ40226 15,140240 15
,020
240 15,020261 14,620
425
.616.421.688.1434,8
一
一
一 1.5 (1.0)
(4.0> 3.3 (3.0) 9.1 (9.0) (5.0> 6.7 (6.0) 95.6 (76.0)(11.0) 19.1 (ユ0,0) 442.2 (437.0)(21 .0) 25.2 (24 ,0)
*
(*)
(72.0) 218 .4 (192,0) *
(*
)
(292 .0) *
(*
) *
(*
)
括弧内 :最適 解が発見 される まで の 時 間 * ;9DO 秒で 求ま らずに計算打ち切 り
約式がない 場合や 文献 [3]の 追加制約式 を加えた 場合
に 比べ て,広 い 解空間 に対し て最適解の導出が実 時間
内 にで きてお り, 本論文の追加制約式は非常に有効 と
判断で きる.ソ ル バ が分枝限定処理 で 灸 。 や M #1,。 2の
値を 1 に固定したときに ,
一部の 星焙魂事、
の値が 0
に 制限 され,分枝限定木 の 膨張が抑えられ て い る.
本論文の 手法を計算時間の 点か ら見 る と, 柔軟 な運
転整理 ダイヤ と計算時間 との トレードオ フ を うま くと
る必要 は あ る が, 実務 に も充分に 適用可能 と考え る.
6, む す び
本論文で は,鉄道の 運転整理に対 して,旅客が ダイ
ヤ乱れ時に被る不便度 と平常時の そ れ との 差 で あ る 旅
客損失の 総和 を最小化する,混合整数計画法に基 づ い
た ア ル ゴ リ ズ ム と計算時間短縮式 を提案 した.先行研
究と比較 して ,列車運行の部分で は,列車の 順序変更
に 加え て種別変更と折返 し変更が実施可能 に なり,旅
客行動 の 部分 で は, 列車 の 乗換回数の制限が な くな り,
評価指標が乗車時間,待ち時間,乗換回数の 重み付き
線形和へ と拡張された こ とで ,モ デ ル の規模が増大 し
たが,解空間を縮小する制約式を導入して計算時間の
短縮を図 っ た.実路線を含む データ を対象に した計算
機実験 の 結果 , 導入 し た追加制約式が適切 に 機能 し,
実時間内で先行研究 よりも広 い 解空間 に 対 して 最適解
が導出 で き,旅客 の 視点に た っ た運転整理 ダイヤが作
成 さ れ る こ とを確認 し た.
今後の課題 と して ,列車混雑に関連して発生する現
象を混合整数計画 モ デ ル に 反映する こ とが 考えられる .
過剰な混雑は列車の更なる遅延 を引 き起 こすとともに,
旅客行動 に も影響を与え る が ,そ の定量的な関係 の 解
明か ら取 り組む こ とに なる.また , 解の探索範囲 を更
に広げた ときで も実時間内 で 解 の 最適性の 証明 が で き
る よ う, 目的関数の 下界を早 く改善させ る策 を講 じる
必要 が ある.
謝辞 本論文の 改善にあた り2 名の匿名の査読者か
らの 貴重な コ メ ン トに 感謝する.な お, 第三 著者 は科
研費 (C)24510199 の助成を受け て い る.
文 献
国 電気学会 ・鉄道 におけ る運行計画 ・運行管理業務高度化に
関 す る調査専門委員会 (編),鉄 道 ダ イヤ 回復 の 技術,オー
ム社,東京,2010 .
[2亅 田村 啓,富井規雄,佐藤圭介,」‘旅客損 失 を最小 にす る
混合整数計 画法に よ る運 転整 理 ア ル ゴ リズ ム とそ の 評価,”
平 25 電 学全大,分冊 3,pp .128−129 , March 2 13 .
[3] K .Tamura, N . Tomii , and K . Sato,
c‘An optimal
rescheduling algorithm from passengers,
viewpoint
based on mixed integer progra 皿 ming formulation,
”
PrGc .5七h International Seminar on Railway Opera尸
tions Modelling and Analy5is (RailCopenhagen2013 ),
Copenhagen , Denrnark, May 2013.
[4] H .P . Williams (著 ),前田 英次郎 儖 訳),小林英 三 (訳 ),
数 理計画モ デ ル の 作 成法,産業 図 書,・東京,1995 ,
[5】 千種健二 ,佐藤圭介,古関 隆章,“混 合整数計画法に 基づ
く列 車運行 乱れ 時の 旅行時間増大量 に 主眼 を置 い た 運 転
整理最適 化,)1
電学論 (D ),vol .132, nQ2
, pp.170 −177 ,
Feb .2012 .
[6] J,T6rnquistT “Computer −based decision support for
railway traMc scheduling and dispatching: Areview
ef mede !s and algorlthms ,”Proc .5th Workshop on
Algorithmic Methods and Medels for Optimization of
Railways (ATMOS2005 ), Palma de MalLorca, Spain,
Sept.2005 .
[7] A .D ’ArianQ and M . Pranzo,“An advanced real −time
train dispatching system for minimizing the propaga −
tion of delays in a dispatching area under severe dis−
turbances ,” Networks and Sp乱 tial Economics , voL9,
no .1)pp .63−84, March 2009 .
[8] C ,G ,WaIker, J.N .Snowdon , and D .M . Ryan ,‘cSimul .
403
N 工工一Eleotronio Library
The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers
NII-Electronic Library Service
The 工nstitute of Eleotronios ,工nformation and Co unioation Engineers
電子 情報通 信学 会論 文 誌 2014/3VoL J97−D No .3
taneous disruption recovery of a train timetable and
crew roster in real time ,’i Comput . Oper, Res .
,vol .32
,
no .8, pp .2077 −2094, Aug , 2005 .
[9] J.T6rnquist and J,A . Persson,“N −tracked railway
trafEc re −scheduling during disturbances,” Trans−
portation Research Par 七 B : Methodological, vol .41,
no .3, pp .342 −362 , March 2007 .
[10] 富井規雄,田代善昭,田部典之,平井 力,村木国満,“利
用者の 不満 を最小 に する 列車運転整理 アル ゴ リズ ム ノ’情処
学論 :数理 モ デ ル 化 と応用,voL46, no 、SIG 2(TOM 11)1
pp .26−38, Jan .2005 .
[11] A ,Sch6bel, Optimization in Public T¥ansportation , Springer, New YQrk,2006 ,
[12] T .Dollevoet , D . Huisman , M . SchrnidtT and A .
Sch6bel, ‘:Delay management with rerouting Qf
Passengers ,
,i T士ansportation Science, voL46 , no .1,
pp .74−89}Feb ,2012 .
[13] M .Schachtebeck and A . Sch6be17 “To wait or not to
wait − and who goes first? Delay management with
priority decisions,11
野 ansportation Science , vol .44, no .3, pp .307 −321 ,Aug .2010 .
[141 国 土 交 通 省 鉄 道 局 (監 修),鉄 道 プ ロ ジ ェ ク トの 評価手法
マ ニ ュ ア ル 2012 改訂版,運輸 政策研 究機構,東京,20 ⊥2.
(平成 25 年 5 月 22 日受付,8 月 10 日再受付 )
富井 規雄
1978 京都大学大 学院工 学研 究科情報 工
学専 攻了,同年 日本 国有鉄 道,1987 (財)
鉄 道 総 合 技 術 研 究所 を 経 て,
2007 よ り千
葉工 業 大学情報科学 部教授,京都大 学博士
(情報学).情報処理 学会,人工 知能学会,電気学会 , 日本 OR 学会各会員.著書 とし
て ,列単 ダ イヤの ひ み つ (成 山堂),鉄道 の ス ケ ジ ニL 一リ ン グ
ア ル ゴ リズ ム (NTS 出 版 )な ど.
田村 啓
2012 千葉 工 業 大学情報 科学 部情報 工学
科卒.現在 同大学院情報科学研究科修士課
程在 学中.鉄道 の 運 転整 理 の 研 究に 従事,
佐藤 圭介 (正員)
2006 筑波 大学大学 院 シ ス テ ム 情 報工 学
研究科社会シ ス テ ム 工 学 専攻 修士 号取得.同年 (財)鉄道総合技 術研 究所入所.鉄 道
の運転 整理・運用整理 の 最適化ア ル ゴ リズ
ム の研究開発 に従事.日本 OR 学会会員.
404
N 工工一Eleotronio Library
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