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1. Estabilidad de Sistemas Lineales y Sistemas
Lineales Perturbados
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
GRADO EN MATEMÁTICAS, Universidad de Sevilla
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Conceptos estudiados en la asignatura Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias: De manera general, en esta asignatura se estudió el
llamado Problema de Cauchy o Problema de Valores Iniciales para un
Sistema Diferencial Ordinario (S.D.O.) de primer orden:
(PC)
y = f (t , y),y(t0) = y0,
donde Ω ⊆ RN+1 es un abierto conexo (N ≥ 1 ),
f : (t , y) ∈ Ω −→ f (t , y) ∈ RN ,
una función t.q. f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) y (t0, y0) ∈ Ω.
Liploc(y ,Ω): espacio de funciones localmente lipschitzianas
respecto de la variable y en Ω. Es decir, funciones que satisfacen:
∀(t0, y0) ∈ Ω ∃ε > 0 y L ≥ 0 t.q. B((t0, y0); ε) ⊂ Ω y
|f (t , y1)− f (t , y2)| ≤ L|y1 − y2|, ∀(t , y1), (t , y2) ∈ B((t0, y0); ε).
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
En la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se
estudió:
1 Algunos métodos elementales de integración de E.D.O.
2 Resultados de existencia y de unicidad de solución local del
Problema de Cauchy (PC). Como resultado importante, se
estudió el Teorema de Picard (existencia y unicidad de
solución local). En la prueba de este resultado se utilizó el
Teorema de Banach del Punto Fijo, otro de los resultados
importantes de la citada asignatura.
3 Resultados de existencia y unicidad de solución global o
solución maximal ϕ(·; t0, y0) de (PC) definida en el intervalo
I(t0, y0) (intervalo de definición de la solución maximal). En
particular, la unicidad de solución global de (PC) fue obtenida
como consecuencia del Lema de Gronwall.
4 Criterios de prolongabilidad de soluciones y caracterización de
soluciones maximales.
5 Ecuaciones y sistemas lineales.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Sean I ⊆ R, un intervalo no degenerado tal que t0 ∈ int (I), y
ϕ : I ⊆ R −→ RN una función. Recordemos que ϕ es solución de
(PC) en I (o solución local de (PC) en I) si ϕ ∈ C1(I;RN) y
Solución local en I(i) (t ,ϕ(t)) ∈ Ω, para cualquier t ∈ I,(ii) ϕ(t) = f (t ,ϕ(t)), para todo t ∈ I, y,
(iii) ϕ(t0) = y0.
Existencia y unicidad de solución local del problema de Cauchy:
Teorema (Teorema de Picard)
Supongamos f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) . Entonces, para cada(t0, y0) ∈ Ω, existe δ > 0 tal que (PC) tiene una única solución localϕ en el intervalo Iδ = [t0 − δ, t0 + δ].
Importante
Resultado consecuencia del Teorema de Banach del Punto Fijo.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Teorema (Teorema de unicidad global)
Supongamos que f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) y (t0, y0) ∈ Ω. Sean(I1,ϕ1) e (I2,ϕ2) dos soluciones locales de (PC). Entonces,
ϕ1(t) = ϕ2(t), ∀t ∈ I1 ∩ I2.
Importante
Este resultado es consecuencia del llamado Lema de Gronwall.
Notación
Dado (t0, y0) ∈ Ω, denotaremos
S(t0, y0) = (I,ϕ) : ϕ es solución de (PC) en I.
El Teorema de Picard implica que S(t0, y0) = ∅.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Definición
Consideremos (t0, y0) ∈ Ω e (I,ϕ) ∈ S(t0, y0).
(a) Diremos que la solución (I,ϕ) de (PC) es prolongable por laderecha, si existe una solución (J,ψ) ∈ S(t0, y0) tal que I ⊂ J ysup I ∈ int (J).
(b) Diremos que (I,ϕ) es prolongable por la izquierda, si existe unasolución (J,ψ) ∈ S(t0, y0) tal que I ⊂ J e inf I ∈ int (J).
(c) Diremos que (I,ϕ) es prolongable, si es prolongable por laderecha o por la izquierda (o ambas cosas a la vez).
(d) Finalmente, diremos que (I,ϕ) es una solución maximal, o unasolución global, de (PC) si (I,ϕ) no es prolongable.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Teorema
Supongamos que f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) . Sea (t0, y0) ∈ Ω e(I,ϕ) ∈ S(t0, y0) una solución local del problema de Cauchy (PC).Entonces, son equivalentes:
1 La solución (I,ϕ) es prolongable por la derecha.2 La semitrayectoria derecha τ+ϕ = (t ,ϕ(t)) : t ∈ I, t ≥ t0 ⊂ Ω
está acotada y dist (τ+ϕ , ∂Ω) > 0.
Teorema (Teorema de existencia y unicidad de solución global)
Supongamos que f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) . Entonces, para cada(t0, y0) ∈ Ω, existe una única solución maximal o global de (PC).Además, el intervalo de definición de la solución maximal es abierto.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Observación
Dado (t0, y0) ∈ Ω, utilizaremos la notación
(I(t0, y0),ϕ(·; t0, y0))
para denotar la única solución maximal del problema de Cauchy (PC). DelTeorema de prolongación podemos deducir cuál es el comportamiento de lasolución maximal en los extremos del intervalo I(t0, y0). Razonando con elextremo superior, se tiene que, o bien que la semitrayectoria positiva τ+ϕ es noacotada, o bien dist (τ+ϕ , ∂Ω) = 0 (es decir, la semitrayectoria “toca” lafrontera de Ω).
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
S.D.O. LINEALES: Pasemos ahora a recordar ciertos puntos de la
teoría de S.D.O. lineales de primer orden. Fijemos una función
matricial y una función vectorial
A : t ∈ I −→ A(t) ∈ L(RN) y b : t ∈ I −→ b(t) ∈ RN
definidas en I ⊆ R, intervalo no degenerado, tales que
A ∈ C0(I;L(RN)) y b ∈ C0(I;RN). Problema de valores iniciales para
un sistema lineal no homogéneo:
(1)
y = A(t)y + b(t),y(t0) = y0,
donde t0 ∈ I e y0 ∈ RN : f (t , y) = A(t)y + b(t) es una función definida
en Ω = I × RN (podría no ser abierto).
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Es posible aplicar la teoría de existencia y unicidad de solución
maximal:
1 Existe una única solución maximal ϕ(·; t0, y0) ∈ C1(I(t0, y0);RN)del problema de valores iniciales (1).
2 I(t0, y0) ≡ I, para cualquier (t0, y0) ∈ I × RN .
Es más, se puede resolver “explícitamente” el problema (1).
Consideramos los s.d.o. lineales homogéneo y no homogéneo:
(2) y = A(t)y t ∈ I,
(3) y = A(t)y + b(t) t ∈ I.
Sean
(4)
W0 = ϕ : ϕ ∈ C1(I;RN) es solución de (2) en I,Wb = ϕ : ϕ ∈ C1(I;RN) es solución de (3) en I.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Proposición
Bajo las condiciones anteriores, se tiene:1 W0 es un subespacio vectorial de C1(I;RN) con dim W0 = N.2 Si b ∈ C0(I;RN) es una función no idénticamente nula, Wb es una
variedad afín de C1(I;RN) con dim Wb = N. De hecho,Wb = ϕb + W0 con ϕb una solución particular en I del sistema nohomogéneo (3).
Importante:
Las bases del espacio W0 tienen N elementos. Supongamos
ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕN ⊂ C1(I;RN) es una base de W0. Entonces la matriz
F (t) = (ϕ1(t) |ϕ2(t) | · · · |ϕN(t)) ∀t ∈ I,
satisface F ∈ C1(I;L(RN)), sus columnas son linealmente
independientes y F (t) = A(t)F (t), ∀t ∈ I.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Definición
Se dice que F ∈ C1(I;L(RN)) es una matriz fundamental (m.f.)asociada al sistema (2) si las columnas de F son linealmenteindependientes en C1(I;RN) y se satisface F (t) = A(t)F (t) paracualquier t ∈ I.
De la definición de matriz fundamental deducimos que sus Ncolumnas son elementos del espacio W0 y forman una base de éste.
Así
W0 = ϕ : ϕ(t) = F (t)a ∀t ∈ I, con a ∈ RN.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Proposición
Sean F una m.f. asociada a (2) y F ∈ C1(I;L(RN)) tal queF(t) = A(t)F (t) ∀t ∈ I. Entonces, ∃C ∈ L(RN) tal que F (·) = F (·)C.
Además, F es una nueva m.f. asociada a (2) si y sólo si det C = 0.
Proposición (Caracterización de m.f.)
Sea F ∈ C1(I;L(RN)) una función matricial tal que F (t) = A(t)F (t),para t ∈ I. Entonces, son equivalentes:
1 F es una m.f. asociada a (2).2 det F (t) = 0, para cualquier t ∈ I.3 det F (t) = 0, para cierto t ∈ I.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Volvemos de nuevo al problema de Cauchy (1). El conocimiento de
una m.f. asociada al sistema homogéneo (2) permite dar una fórmula
explícita de la solución del problema (1):
Proposición
Supongamos dados A ∈ C0(I;L(RN)), b ∈ C0(I;RN) y(t0, y0) ∈ I × RN. Sea F ∈ C1(I;L(RN)) una m.f. asociada a (2).Entonces, la única solución maximal del problema de Cauchy (1)
viene dada por:
(5) ϕ(t ; t0, y0) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t) t
t0F (s)−1b(s) ds, ∀t ∈ I.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
CONTINUIDAD RESPECTO DE DATOS INICIALES:
Dependencia de la solución maximal de (PC) respecto de los datos
iniciales
La solución maximal ϕ(·; t0, y0) es continua (derivable) en el intervalo
I(t0, y0) respecto de la variable t . Podríamos ver el dato inicial (t0, y0)((t0, y0) ∈ Ω) también como una variable de la que depende la
solución maximal: Solución maximal ϕ(·; ·, ·) continua respecto de t y
respecto del dato inicial (t0, y0)???
Definición
Definimos el conjunto
Θ := (t , t0, y0) ∈ RN+2 : (t0, y0) ∈ Ω y t ∈ I(t0, y0),
y la función ϕ : (t , t0, y0) ∈ Θ ⊆ RN+2 → ϕ(t ; t0, y0) ∈ RN. La funciónϕ(·; ·, ·) así definida es denominada solución (maximal) del problemade Cauchy (PC) expresada en función de los datos iniciales.
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
Teorema (Dependencia continua respecto de los datos iniciales)
Bajo las condiciones del Teorema 5, se tiene que el conjunto Θ es unconjunto abierto de RN+2 y la solución maximal ϕ(·; ·, ·) del problemade Cauchy (PC) expresada en función de los datos iniciales escontinua en Θ, es decir, ϕ ∈ C0(Θ;RN).
Observación
1 La prueba de este resultado es técnicamente complicada. Existen variasposibles pruebas, aunque quizá la más sencilla es la desarrollada en [13].Para pruebas alternativas del resultado puede también consultarse [18].
2 Todos los resultados enunciados en esta sección (salvo este último) hansido probados en la asignatura Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
del segundo curso del Grado en Matemáticas por la Universidad deSevilla. En cualquier caso, pueden ser consultados, por ejemplo, en [15]y [13].
1.1. Introducción. Repaso de resultados conocidos
1. Estabilidad de Sistemas Lineales y Sistemas
Lineales Perturbados
1.3. Conceptos de Estabilidad
AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
GRADO EN MATEMÁTICAS, Universidad de Sevilla
1.3. Conceptos de Estabilidad
Dados un abierto conexo no vacío Ω ⊆ RN+1 y una función f :
(1.8)
I × Bρ ⊆ Ω,
f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) y f (t , 0) = 0, ∀t ∈ I,
donde I = (τ,∞) y Bρ = B(0; ρ) ⊆ RN con ρ ∈ (0,∞] y τ ∈ [−∞,∞).Por otro lado, consideramos el s.d.o.
(1.9) y = f (t , y).
Se tiene que la función nula ϕ0 definida por
ϕ0 : t ∈ I −→ ϕ0(t) = 0 ∈ RN ,
es solución de (1.9) en I. De hecho, si consideramos
(PC)
y = f (t , y)y(t0) = 0.
para la función f y dato inicial (t0, 0) ∈ I × Bρ, se tiene,
I(t0, 0) ⊇ I y ϕ(t ; t0, 0) = ϕ0(t) ∀t ∈ I.
1.3. Conceptos de Estabilidad
Las definiciones de estabilidad que vamos a ver a continuación fueronestablecidas por el matemático ruso Aleksandr Mijáilovich Liapunov(1857–1918). Comenzamos por la definición de equilibrio estable oinestable:
Definición
Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es estable en el sentido deLiapunov (o simplemente que ϕ0 es un equilibrio estable de (1.9)) sipara cualesquiera t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ), existe δ = δ(t0, ε) ∈ (0, ρ) tal que,si |y0| ≤ δ, se tiene:
(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y(b) |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ ε, para cualquier t ∈ [t0,∞).
En caso contrario, se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es inestable.
1.3. Conceptos de Estabilidad
Observación
La definición anterior es equivalente a:
“Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es estable (en el sentido de Liapunov) sipara cualesquiera t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ), existe δ = δ(t0, ε) ∈ (0, ρ) tal que, si|y0| ≤ δ, se tiene:
(1) |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞)”.
Observación
Obsérvese que el concepto de inestabilidad puede ser reescrito de manera
equivalente como:
“Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es inestable si existen t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ)tal que, para cualquier δ ∈ (0, ρ) existe y0, con |y0| ≤ δ, para el que setiene:
|ϕ(t ; t0, y0)| > ε, para cierto t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞)”.
1.3. Conceptos de Estabilidad
Definición
Se dice que la solución ϕ0 del s.d.o. (1.9) es uniformemente establecuando el valor δ del concepto de estabilidad en la Definición 1 nodepende de t0, es decir, si para cualesquier ε ∈ (0, ρ), existeδ = δ(ε) ∈ (0, ρ) tal que, si t0 ∈ I e |y0| ≤ δ, se tiene:
(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y(b) |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ ε, para cualquier t ∈ [t0,∞).
1.3. Conceptos de Estabilidad
Definición
Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) atractivo si paracualquier t0 ∈ I, existe γ = γ(t0) ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ γ, entoncesse tiene:
(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y(b) lim
t→∞|ϕ(t ; t0, y0)| = 0.
Podemos escribir también el concepto de atractividad uniforme:
Definición
Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) uniformementeatractivo si existe γ ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ γ, se tiene:
(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I;(b) para cualquier ε > 0, existe Tε > 0 verificando |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ ε,
para cualesquiera t0 ∈ I y t ≥ t0 + Tε.
1.3. Conceptos de Estabilidad
Finalmente,
Definición
1 Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio)asintóticamente estable si es estable y atractivo.
2 Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio)uniformemente asintóticamente estable si es uniformementeestable y uniformemente atractivo.
1.3. Conceptos de Estabilidad
Definición
Sea D ⊆ RN un abierto conexo no vacío. Se dice que el s.d.o. (1.9) esun sistema autónomo si se tiene
f (t , y) = f (y), ∀t ,
para una función f : D ⊆ RN −→ RN tal que f ∈ C0(D;RN) ∩ Liploc(D).En este caso, el sistema tiene la forma
(1.12) y = f (y),
y el dominio maximal de existencia y unicidad está dado porΩ = R× D.
Observación
Como f no depende de la variable t (caso autónomo), la condiciónf ∈ Liploc(D) en particular implica que f ∈ C0(D;RN). Así, para asegurar laexistencia y unicidad de solución maximal, basta f ∈ Liploc(D).
1.3. Conceptos de Estabilidad
En el caso del sistema autónomo (1.12), la hipótesis (1.8) setransforma en
Bρ ⊆ D, f ∈ Liploc(D) y f (0) = 0,
con ρ ∈ (0,∞].
Proposición
Consideremos el sistema autónomo (1.12) con f ∈ Liploc(D). Parat0 ∈ R e y0 ∈ D, sea ϕ(·; t0, y0) la solución maximal del problema deCauchy asociado a (1.12). Entonces,
1 I(t0, y0) = t0 + I(0, y0).2 ϕ(t ; t0, y0) = ϕ(t − t0; 0, y0), para cualquier t ∈ I(t0, y0).
UNICIDAD
1.3. Conceptos de Estabilidad
EjercicioUsando la Proposición anterior, demuéstrese que para el sistemaautónomo (1.12) los conceptos de estabilidad, atractividad y estabilidadasintótica equivalen, respectivamente, a los conceptos de estabilidaduniforme, atractividad uniforme y estabilidad asintótica uniforme.
1.3. Conceptos de Estabilidad
1. Estabilidad de Sistemas Lineales y Sistemas
Lineales Perturbados
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
GRADO EN MATEMÁTICAS, Universidad de Sevilla
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
Consideremos el s.d.o. lineal homogéneo
(1.14) y = A(t)y ,
donde A ∈ C0(I;L(RN)) e I = (τ,+∞), con τ ∈ [−∞,∞). Obsérvese
que el sistema (1.14) satisface la hipótesis
(1.8)
I × Bρ ⊆ Ω = I × RN , f (t , y) = A(t)y ,f ∈ C0(Ω;RN) ∩ Liploc(y ;Ω) y f (t , 0) = 0, ∀t ∈ I,
para ρ = ∞ y Ω = I × RN . Así, tiene sentido plantearse la estabilidad
de la solución nula de (1.14). Se tiene:
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
Teorema
Sea F (·) una matriz fundamental para el sistema (1.14). Se tiene:
(a) ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14) ⇐⇒ si ∀t0 ∈ I, se tiene
(1) supt∈[t0,+∞)
F (t)s < ∞.
(b) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) asintóticamente estable ⇐⇒
(2) limt→∞
F (t)s = 0.
(c) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) unif. estable ⇐⇒ ∃M > 0 t.q.
(3) F (t)F (t0)−1s ≤ M, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.
(d) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) unif. asint. estable ⇐⇒ ∃C,α > 0t.q.
(4) F (t)F (t0)−1s ≤ Ce−α(t−t0), ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
Observación
1 Hemos enunciado el Teorema utilizando la norma espectral · s en elespacio L(RN):
Bs = maxx∈RN\0
|Bx ||x | , con B ∈ L(RN).
Evidentemente, todas las normas en L(RN) son equivalentes y, así, elresultado sigue siendo válido si consideramos cualquier otra norma eneste espacio.
2 El resultado anterior y las fórmulas (1)–(4) no dependen de la matrizfundamental F asociada al sistema lineal (1.14) elegida.
Ejercicio
Demuéstrese el segundo punto de la Observación anterior.
PRUEBA: .....
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
Observación
En los puntos (a) y (b) hemos probado lo siguiente: Hemos visto que si la
solución ϕ0 de (1.14) es atractiva, entonces se tiene (2). Por otro lado,
también hemos visto que (2) implica (1) y, usando el apartado (a) del
teorema, también ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14) . En definitiva, hemos
visto que para el sistema lineal (1.14) se satisface la propiedad
“Si la solución ϕ0 de (1.14) es atractiva, entonces ϕ0 es un equilibrioestable de (1.14)".
Por otro lado, es fácil dar un contraejemplo de sistema (lineal) cuya solución
nula es estable y no es atractiva. Basta considerar el sistema lineal y = 0 en
I = R. Está claro que una matriz fundamental asociada es F (·) ≡ Id y ésta
satisface (1) y no (2).
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
Obsérvese que en el teorema anterior hemos probado que, para el
sistema lineal (1.14), la estabilidad asintótica uniforme ϕ0 equivale a
la propiedad (4). En el caso de sistemas no lineales, sería posible
dar una nueva definición de estabilidad donde se ponga de manifiesto
la citada propiedad. Esta definición sería:
Definición
Se dice que la solución ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio)exponencialmente asintóticamente estable si existen constantesC > 0, γ ∈ (0, ρ) y α > 0 tales que
(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I e |y0| ≤ γ;(b) |ϕ(t ; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α(t−t0), para cualesquiera t0 ∈ I, |y0| ≤ γ y
t ≥ t0.
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
Observación
1 Obsérvese que el apartado (d) del Teorema permite probar la siguiente
equivalencia para el sistema lineal (1.14):
“El equilibrio ϕ0 de (1.14) es u.a.e. si y sólo si ϕ0 esexponencialmente asintóticamente estable”.
2 En el caso de sistemas no lineales, fácil comprobar la siguiente
implicación:
“Si el equilibrio ϕ0 de (1.9) es exponencialmente asintóticamenteestable, entonces ϕ0 es u.a.e.”.
Veremos que, en general, la implicación contraria es falsa (salvo, como
hemos visto, en el caso de sistemas lineales).
Ejercicio
Pruébense los puntos 1 y 2 de la observación anterior.
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
Observación (Sistemas lineales no homogéneos)
Veamos la estabilidad del s.d.o. lineal no homogéneo:
y = A(t)y + b(t),
donde A ∈ C0(I;L(RN)), b ∈ C(I;RN) e I = (τ,+∞), con τ ∈ [−∞,∞).En este caso nos podríamos plantear la estabilidad de cualquier soluciónϕ1 ∈ C1(I;RN)del sistema en I:
ϕ1(t) = A(t)ϕ1(t) + b(t), ∀t ∈ I.
Basta hacer el cambio z = y − ϕ1(t) y estudiar la estabilidad de la soluciónnula ϕ0 del nuevo sistema. Evidentemente, este nuevo sistema es el sistemahomogéneo (1.14).Conclusión: La estabilidad, atractividad, etc., de cualquier solución ϕ1 delsistema equivale a la correspondiente propiedad de la solución nula ϕ0 delsistema homogéneo asociado; (por abuso de lenguaje, se habla de laestabilidad, atractividad, etc., del sistema lineal (homogéneo o no) sin hacerreferencia a ninguna solución).
1.4. Estabilidad de Sistemas Lineales
1. Estabilidad de Sistemas Lineales y Sistemas
Lineales Perturbados
1.5. Aplicación al caso de sistemas lineales de coeficientes
constantes
AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
GRADO EN MATEMÁTICAS, Universidad de Sevilla
1.5. Aplicación a sistemas lineales de coeficientes constantes
Consideremos el sistema lineal
(1.21) y = Ay ,
donde A ∈ L(RN) está dada.
Es un sistema autónomo: Los conceptos de estabilidad equivalen a
los correspondientes conceptos uniformes.
Objetivo
Reescribir el teorema visto antes al caso del sistema (1.21). Los
conceptos de estabilidad equivalen en este caso a ciertas
propiedades de los autovalores de A. Enunciaremos el resultado
para la solución nula ϕ0 de (1.21) en I = R.
1.5. Aplicación a sistemas lineales de coeficientes constantes
Teorema
Sea λi1≤i≤n ⊂ C el conjunto de autovalores distintos deA ∈ L(RN). Entonces:
(i) La solución ϕ0 de (1.21) es u.a.e. si y sólo si (λi) < 0 para todoi : 1 ≤ i ≤ n.
(ii) La solución ϕ0 de (1.21) es u.e. si y sólo si (λi) ≤ 0 para todoi : 1 ≤ i ≤ n y, si para j : 1 ≤ j ≤ n se tiene (λj) = 0, entonceslas cajas de Jordan asociadas a λj tienen dimensión 1 (lamultiplicidad geométrica y la multiplicidad algebraica de λjcoinciden).
1.5. Aplicación a sistemas lineales de coeficientes constantes
Observación
(1.21) es un sistema autónomo: ϕ0 es inestable (es decir, no es estable) si ysólo si ϕ0 no es u.e. Del apartado (ii) del Teorema deducimos:
“La solución ϕ0 de (1.21) es inestable si y sólo existe λj , con1 ≤ j ≤ n, tal que, o bien (λj) > 0, o bien (λj) = 0 y λj tieneasociada una caja de Jordan de dimensión mayor o igual a dos.”
Prueba: Utilizar como matriz fundamental
F (t) = etAD,
con D ∈ L(RN) tal que ....
Importante:
Si J es la forma canónica real de A, entonces los elementos de A son
de la forma
t je(λi )taij sin((λi)t) + bij cos((λi)t)
con .....
1.5. Aplicación a sistemas lineales de coeficientes constantes
Caso de la e.d.o. lineal de orden n y coeficientes constantes:
(1.22) yn) + a1yn−1) + · · ·+ an−1y + any = 0 en I = R,
con ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Recordemos que las raíces µi1≤i≤m ⊂ C delpolinomio característico
p(µ) = µn + a1µn−1 + · · ·+ an−1µ+ an
proporcionan un sistema fundamental para (1.22). Se tiene:
Teorema
Sea ϕ0 la solución nula en R de (1.22). Entonces:(a) La solución ϕ0 de (1.22) es e.a.e. si y sólo si (µi) < 0 ∀i .(b) La solución ϕ0 de (1.22) es u.e. si y sólo si (µi) ≤ 0 ∀i y, si para
j se tiene (µj) = 0, entonces µj es simple.
1.5. Aplicación a sistemas lineales de coeficientes constantes
1. Estabilidad de Sistemas Lineales y Sistemas
Lineales Perturbados
1.6. Estabilidad de perturbaciones de Sistemas Lineales
AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
GRADO EN MATEMÁTICAS, Universidad de Sevilla
1.6. Estabilidad de perturbaciones de Sistemas Lineales
Consideremos el sistema no lineal
(1.23) y = A(t)y + g(t , y),
donde A ∈ C0(I;L(RN)) y g ∈ C0(Ω;RN) están dadas y, además,
I × B(0; ρ) ⊆ Ω ⊆ I × RN , donde I = (τ,∞),
con τ ∈ [−∞,∞) y ρ ∈ (0,∞] .
Finalmente,
g(t , 0) = 0, ∀t ∈ I.
Objetivo
Propiedades de estabilidad de la solución nula de (1.23)m y relación
con la estabilidad de la solución nula del sistema lineal y = A(t)y .
1.6. Estabilidad de perturbaciones de Sistemas Lineales
Teorema (Teorema de estabilidad en primera aproximación)
En las condiciones anteriores, se tiene:(a) Supongamos que
lim|y |→0
|g(t , y)||y | = 0,
uniformemente en I (∀ε > 0, ∃µ ∈ (0, ρ) tal que si |y | ≤ µ se tiene|g(t , y)| ≤ ε|y |, ∀t ∈ I). Así, si ϕ0 es un equilibrio u.a.e. dey = A(t)y, entonces ϕ0 es un equilibrio e.a.e. de (1.23).
(b) Supongamos que |g(t , y)| ≤ α(t)|y |, ∀(t , y) ∈ I × B(0; ρ), conα ∈ C0(I) satisfaciendo
∞
τα(t) dt < ∞.
Así, si ϕ0 es un equilibrio u.e. del sistema lineal y = A(t)y,entonces ϕ0 es un equilibrio u.e. del sistema no lineal (1.23).
1.6. Estabilidad de perturbaciones de Sistemas Lineales
Ejercicio
Pruébese el apartado (b) del Teorema anterior.
1.6. Estabilidad de perturbaciones de Sistemas Lineales
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