12' p3 (2.2)
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8/18/2019 12' P3 (2.2)
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U. DE SANTIAGO DE CHILE FAC.DE CIENCIA DEP. DE
MATEMATICA Y C.C.
Pauta PEP 3 Ecuaciones Diferenciales
Pregunta 1
Use el método de separación de variables para resolver la ecuación del telé-
grafo@ 2u
@t2 + 2
@u
@t + u =
@ 2u
@x2; t > 0; x 2 (0; )
u(x; 0) = sin(x); @u
@t(x; 0) = 0; x 2 [0; ]
u(0; t) = u(; t) = 0; t > 0:
Solución.-
Buscamos una solución de la forma u(x; t) = M (x)N (t). Reemplazando en laecuación, obtenemos
M 00(x)
M (x) =
N 00(t) + 2N (t) + N (t)
N (t) = :
.....................................................................................................................................................0.3
Separando variables, se tiene
M 00(x) + M (x) = 0 y N 00(t) + 2N 0(t) + ( + 1)N (t) = 0:
.............................................................................................................................................0.2
Con las condiciones frontera planteamos el problema de Sturm-Liouville
M 00(x) + M (x) = 0; con M (0) = M () = 0
cuyos autovalores son: n = n2 y las autofunciones son: M (x) = sin(nx) con
n 2 N.
.............................................................................................................................................0.5
La solución de la ecuación N 00(t) + 2N 0(t) + (n2 + 1)N (t) = 0 es:
N n(t) = et(an cos(nt) + bn sin(nt))
.............................................................................................................................................0.3
La solución general d la e.d.p es:
u(x; t) =1Xn=1
et(an cos(nt) + bn sin(nt)) sin(nx):
.............................................................................................................................................0.2
1
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De las condiciones iniciales, obtenemos que
sin(x) = u(x; 0) =1Xn=1
an sin(nx) =) a1 = 1; an = 0; 8n 6= 1:
y ............................................................................................................................................0.2
0 = @u
@t(x; 0) =
1Xn=1
(an+nbn)sin(nx) =) nbn = an =) b1 = 1; bn = 0; 8n 6= 1:
.............................................................................................................................................0.2
Luego, u(x; t) = et(cos(t) + sin(t)) sin(x).
.............................................................................................................................................0.1Pregunta 2
Encuentre la solución de la ecuación del calor no homogénea
4@ 2u
@x2 = @u
@t + 16e2x
u(0; t) = u(1; t) = 1 t > 0u(x; 0) = e2x 0 < x 0v(x; 0) = Ax 0 < x
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Usando el método de separación de variables, suponemos solución de la forma
v(x; t) = M (x)N (t)
y obtenemos que M y N deben cumplirM 00(x) + jM (x) = 0 M (0) = 0 M (1) = 0
N 0(t) + 4 jN (t) = 0
por lo tanto j = n22 ; M (x) = sen(nx) y N (t) = e4n22t
; 8n 1.............................................................................................................................................0.4
y la solución es
v(x; t) =1Xn=1
ane4n22tsen(nx)
.............................................................................................................................................0.2
imponiendo la condición inicial, tenemos
Ax =1
Xn=1
an sen(nx)
y los coe…cientes los podemos obtener por medio de Fourier
an = 2
1Z
0
Ax sen(nx)dx
.............................................................................................................................................0.2
intergrando por partes obtenemos
an = 2An
(1)n
.............................................................................................................................................0.2
la solución en la variabe v es entonces
v(x; t) = 2(1e2)
1Xn=1
(1)n
n e4n
22tsen(nx)
.............................................................................................................................................0.1
y la solución de la ecuación no homogénea es
u(x; t) = 2(1e2)
1Xn=1
(1)n
n e4n
22tsen(nx) + e2x + (1 e2)x
.............................................................................................................................................0.1
Pregunta 3
Resuelva el problema:
urr + 1
rur +
1
r2u = 0; r > 1; 0 2
u(1; ) = 1 + sin(4) + sin2(4)
limr!1
u(r; ) < 1
Solución.-
Usando el método de seoaración de variables se obtiene:
3
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u(r; ) = C 02
+D0 ln r+1Xn=1
C nr
n + Dnrn
cos n+1Xn=1
E nr
n + F nrn
sin n
.............................................................................................................................................0.4
como
limr!1
u(r; ) < 1
se tiene:
D0 = 0
C 0 = 0 8n
E 0 = 0 8n
Luego,
u(r; ) = C 0
2 +
1Xn=1
Dnrn cos(n) +
1Xn=1
F nrn sin(n)
.............................................................................................................................................0.4
De la condición de borde para r=1 tenemos:
1 + sin 4 + 1
2
1
2 cos 8 =
C 0
2 +
1Xn=1
Dn cos(n) +1Xn=1
F n sin(n)
luego,
C 0 = 3
D0 = 1
2F 4 = 1
Dn = 0 8n; n 6= 8
F n = 0 8n; n 6= 4
.............................................................................................................................................0.8
Por lo tanto,
u(r; ) =
3
2
1
2 r8
cos(8) + r4
sin(4)
.............................................................................................................................................0.4
4
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