1º bachillerato ciencias y tecnologÍa … · ... que se considera fijo. en esta ... se define...
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
DE LA NATURALEZA
FÍSICA Y QUIMICA
1º BACHILLERATO CIENCIAS Y
TECNOLOGÍA
CURSO 2012/2013 Profesor: José Criado Ferrándiz
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TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA.
1. EL PROBLEMA DEL MOVIMIENTO .............................................................. 3
2. LA POSICIÓN DE LOS CUERPOS ................................................................... 3
Expresión del vector de posición ..................................................................... 4
Relación entre coordenadas polares y cartesianas ......................................... 4
La posición de un cuerpo en el espacio ........................................................... 4
2.1 LA POSICIÓN EN FUNCION DEL TIEMPO: MOVIMIENTO. .................. 5
2.2 DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO ............. 6
3. LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS ............................................................... 6
3.1 VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA .............................. 7
El vector velocidad instantánea ...................................................................... 8
Dirección y sentido del vector velocidad instantánea .................................... 8
El módulo de la velocidad de un cuerpo ......................................................... 8
4. LA ACELERACIÓN DE LOS CUERPOS .......................................................... 8
4.1 LA ACELERACIÓN MEDIA .......................................................................... 8
4.2 LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ............................................................ 9
La aceleración instantánea como derivada de la velocidad ........................... 9
4.3 LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA
11
La aceleración tangencial .............................................................................. 11
La aceleración centrípeta .............................................................................. 11
1º BACH C-T TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA.
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IES CARMEN PANTION. PRIEGO DE CORDOBA
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1. EL PROBLEMA DEL MOVIMIENTO
El problema del movimiento o reposo de los cuerpos es relativo y depende del sistema
de referencia elegido.
Un objeto se mueve cuando su posición varía con respecto a un punto o un sistema
de referencia elegido, que se considera fijo.
En esta definición se introducen dos conceptos claves para la comprensión de los
movimientos:
La posición de un móvil.
El sistema de referencia con respecto al que se determina dicha posición.
A la hora de analizar los movimientos de la mayoría de los cuerpos, se considera que
estos se mueven como un único punto. Ese punto, dotado de la masa del cuerpo, se
denomina punto material.
2. LA POSICIÓN DE LOS CUERPOS
Para determinar la posición en el plano, se debe utilizar
dos coordenadas, cada una de las cuales corresponde a una
dirección determinada y referidas a un punto fijo o sistema de
referencia. Estas coordenadas se pueden dar de dos formas:
Dando las coordenadas x e y, que se denominan
coordenadas cartesianas del punto o posición ocupada
por el cuerpo.
Dando la distancia r y el ángulo θ, donde r es la distancia al origen en línea
recta, y θ es el ángulo que forma dicha recta con
cualquiera de los ejes de referencia. Se denominan
coordenadas polares del punto.
La posición de un cuerpo con respecto a un punto de
referencia queda definida por el vector que une dicho punto de
referencia con el lugar ocupado por el cuerpo o vector de
posición.
1º BACH C-T TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA.
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Expresión del vector de posición
El vector de posición, , se expresa en función de las dos coordenadas Cartesianas
de la siguiente forma:
Para dar carácter vectorial a las componentes cartesianas, se multiplican x e y por
los respectivos vectores unitarios direccionales (vectores de módulo 1 ). En este caso,
son las componentes rectangulares del vector de posición.
La unidad de medida de la posición, como la de cualquier longitud, en el sistema
internacional es el metro (m).
Relación entre coordenadas polares y cartesianas
Si se conoce uno de estos dos tipos de coordenadas, es posible calcular fácilmente el
otro.
Cálculo de coordenadas cartesianas a partir de las polares. A partir de las
coordenadas r y θ, se puede calcular x e y:
Cálculo de coordenadas polares a partir de las cartesianas. El valor de r se
deduce aplicando el teorema de Pitágoras, pues se trata de la hipotenusa del
triángulo rectángulo cuyos catetos son x e y:
El ángulo θ se puede calcular a través de su tangente, ya que:
tan𝑥
𝑦
La posición de un cuerpo en el espacio
El vector de posición en el espacio vendrá dado entonces por:
Donde son los vectores unitarios en las tres direcciones de los ejes.
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Las coordenadas polares en tres
dimensiones se denominan coordenadas esféricas
y requieren ser definidas mediante una distancia
y dos ángulos; el que forma el vector con su
proyección sobre el plano inferior (ángulo α) y el
que forma dicha proyección con cualquiera de los
ejes, X o Y, del plano inferior (ángulo β).
2.1 LA POSICIÓN EN FUNCION DEL TIEMPO: MOVIMIENTO.
Si un cuerpo se desplaza 5 m cada segundo en una dirección determinada (por
ejemplo X). Al cabo de 1 s estará a 5 m del punto de partida; en 2 s se encontrará a 10 m;
a los 3 s, a 15 m, y así sucesivamente. Su posición cambia con el tiempo, es decir, la posición
es función del tiempo ejemplo, se expresa de la siguiente forma:
x = 5tm
En esta expresión se ha supuesto que el cuerpo solo se mueve en la dirección X. Para
ser más rigurosos, también se puede escribir su posición en forma vectorial de esta manera:
La ecuación que expresa el vector de posición como una función del tiempo se
denomina ecuación de posición.
El hecho de que el factor tiempo, t, aparezca en la expresión de la posición indica
que el cuerpo está en movimiento.
Si el cuerpo que se mueva en dos dimensiones y avance, por ejemplo, 5 m cada
segundo en la dirección X y 3 m en el mismo tiempo en la dirección Y en ese caso, su
ecuación de posición se expresará así:
Al dar diversos valores al tiempo, se pueden representar las distintas posiciones que
va ocupando el cuerpo. Si se unen dichas posiciones mediante una línea, se obtiene la
trayectoria que sigue el cuerpo en su movimiento.
La distancia del cuerpo al origen en cualquier momento sería el módulo del vector
de posición en ese instante, es decir, distancia al origen:
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2.2 DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO
Cuando se habla del movimiento de los cuerpos/ con frecuencia se emplean
indistintamente y con escaso rigor ciertos términos que es preciso distinguir:
Desplazamiento significa lo mismo que «variación de posición», es decir es la
diferencia entre la posición final y la inicial.
Dado que las posiciones se representan mediante vectores, el desplazamiento será
un vector cuyo origen es la posición inicial y cuyo extremo es la posición final del cuerpo.
Suele simbolizarse como . Así:
A efectos prácticos, el valor del desplazamiento es la distancia medida en línea recta
entre la posición final y la inicial.
Trayectoria es la línea geométrica que el cuerpo describe en su movimiento.
Espacio recorrido (s) es la distancia medida sobre la trayectoria entre la posición
final y la inicial.
3. LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS
Un posible criterio para diferenciar los movimientos: la rapidez con que se desplazan
o cambian de posición. Asi
Se define velocidad como la rapidez con que cambia la posición de un cuerpo.
En física se emplea el término rapidez para indicar la relación entre la variación de
cierta magnitud y el tiempo que ha tardado en producirse dicha variación.
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Según esto, se puede expresar matemáticamente la velocidad como:
Por tanto, la velocidad de un cuerpo se puede definir también como el cociente entre
el desplazamiento producido y el tiempo empleado en realizarlo.
donde t0 es el tiempo inicial, es decir, el tiempo en el que se empieza a realizar una
medida, y ro es la posición inicial.
La posición es una magnitud vectorial y, por consiguiente, su variación
(desplazamiento) se expresa igualmente de manera vectorial.
El vector velocidad tiene la misma dirección y sentido que el vector
desplazamiento. Por tanto, tiene la dirección y sentido del movimiento.
La unidad utilizada en el sistema internacional para medir la velocidad es el
metro por segundo (m/s).
3.1 VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA
La velocidad media de un cuerpo es la relación entre el desplazamiento efectuado y
el tiempo invertido en realizarlo:
Se trata de la misma definición que se ha utilizado para introducir el concepto de
velocidad.
En términos físicos, la velocidad instantánea se define como la velocidad media en
el límite en que el intervalo de tiempo se hace casi cero:
Esta expresión es lo que en matemáticas se conoce como “deriva” [de una función,
en este caso la función es la posición, vector de posición, y la variable de la función es el
tiempo, t, r(t)]. Es decir La velocidad instantánea de un cuerpo se obtiene derivando su
ecuación de posición:
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El vector velocidad instantánea
Si el movimiento se realiza en el espacio y las tres componentes del vector de
posición cambian con el tiempo, el vector velocidad instantánea tiene también tres
componentes en las distintas direcciones espaciales. Se habla, por tanto, de componentes
del vector velocidad instantánea, que se calculan derivando las respectivas componentes
del vector de posición. De este modo
Dirección y sentido del vector velocidad instantánea
La velocidad instantánea no es más que la velocidad media calculada en un intervalo
muy pequeño de tiempo, al utilizar intervalos muy pequeños de tiempo, los
desplazamientos serán mucho menores, su dirección se va aproximando a la de la tangente
a la curva en ese punto. De hecho, cuando el intervalo se convierte en instante, la dirección
del desplazamiento es la de la tangente. Dado que la velocidad es proporcional en todo
momento al vector desplazamiento, se puede decir que:
El vector velocidad instantánea tiene la dirección de la tangente a la trayectoria en
cualquier punto y el sentido del movimiento.
El módulo de la velocidad de un cuerpo
El módulo de un vector que viene dado en función de sus componentes se puede
calcular mediante el teorema de Pitágoras. Así pues:
Y en tres dimensiones:
4. LA ACELERACIÓN DE LOS CUERPOS
La magnitud que nos da una idea de cómo varía la velocidad es la aceleración.
4.1 LA ACELERACIÓN MEDIA
La aceleración de un cuerpo mide la rapidez con que varía su velocidad.
Teniendo en cuenta el significado del término rapidez en física, la aceleración
se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma:
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La aceleración así definida se denomina aceleración media.
En el SI, la unidad de aceleración es el metro por segundo al cuadrado (m/s2).
Esta definición encierra dos aspectos muy importantes que debes tener en cuenta: '
Dado que la velocidad es un vector, varía cuando lo hace cualquiera de sus
atributos. Es decir, no solo hay aceleración cuando varía el valor (módulo) de la
velocidad, sino que también existe aceleración cuando cambia la dirección o el
sentido de la velocidad (y, por tanto, del movimiento), aunque el módulo de la
velocidad no experimente modificación alguna.
Variación de velocidad no siempre significa «aumento» de velocidad; también
puede ser «disminución». En ambos casos, se trata de un movimiento con
aceleración. En muchos textos de física, cuando la aceleración es negativa y, por
tanto, la velocidad disminuye, se dice que el movimiento es decelerado.
Conviene hacer una aclaración en este punto: el módulo de cualquier magnitud
vectorial es positivo por definición. En consecuencia, la utilización de signos positivos o
negativos acompañando al valor de la aceleración solo indica el sentido en el que esta
actúa.
4.2 LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
En términos físicos, la aceleración instantánea es la aceleración media en el límite
en que el intervalo de tiempo es prácticamente cero.
La aceleración instantánea como derivada de la velocidad
La aceleración instantánea se obtiene derivando la velocidad con respecto al tiempo.
Es decir:
A partir de la ecuación de posición se obtiene la aceleración instantánea derivando
dos veces dicha ecuación con respecto al tiempo. Según la notación empleada
habitualmente en física, esto se expresaría de la siguiente forma:
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que se lee «derivada segunda de la posición con respecto al tiempo dos veces»
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4.3 LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA
La aceleración tangencial
El término aceleración implica cambios en la velocidad, mientras que
tangencial indica que la dirección en la que actúa es la tangente a la trayectoria y,
por tanto, tiene la misma dirección que el vector velocidad.
La aceleración tangencial, at, solo produce cambios en el módulo de la
velocidad.
En consecuencia, se puede definir también como un vector con los siguientes
atributos:
Módulo. Su valor equivale a la rapidez con que cambia el módulo de la
velocidad. Así:
Dirección. Es tangente a la trayectoria en todo punto (y coincide, por tanto,
con la del vector velocidad).
Sentido. Es el mismo que el del movimiento si el módulo de la velocidad
aumenta y contrario al movimiento si el módulo de la velocidad disminuye.
Por tanto, empleando la notación vectorial:
donde �⃗� 𝑡, es un vector unitario en la dirección tangencial.
La aceleración centrípeta
La aceleración centrípeta, ac, aparece cuando los movimientos son curvilíneos
(por ejemplo, circulares, elípticos ... ) y solo produce cambios en la dirección de la
velocidad sin afectar a su módulo.
Como vector, la aceleración centrípeta tiene las siguientes características:
Módulo. Se determina dividiendo el cuadrado del valor de la velocidad entre
el radio de la curva descrita:
Dirección. Es radial (coincide con la dirección del radio de la curva descrita).
Sentido. Es siempre hacia el centro de la curva.
Así pues, la aceleración centrípeta se expresa en notación vectorial como:
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En la expresión, �⃗� 𝑟 , es el vector unitario en la dirección radial. El signo negativo
indica que está dirigida hacia el centro de la curvatura.
Los dos tipos de aceleraciones son perpendiculares entre sí. Su composición vectorial
permite obtener la aceleración total, cuya expresión será:
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