2. congruencia de triangulos
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Congruencia de tringulos. 1
CONGRUENCIA DE TRINGULOS Dos figuras geomtricas son congruentes si tienen el mismo tamao y la misma forma. DEFINICIN: Dos tringulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ngulos.
Si ABC DEF , entonces:
; ;AB FD AC DE BC FE
; ; A D B F C E
Lados correspondientes son los que se oponen a ngulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS. POSTULADO LADO ANGULO LADO (L A L) Dos tringulos son congruentes si dos lados y el ngulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ngulo que forman en el otro.
Si
; ; AB DF BC FE B F
Entonces ABC DEF
DEFINICIN: Un corolario es una proposicin que no necesita prueba particular, sino que se deduce fcilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos tringulos rectngulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
;AB DE BC EF ABC DEF
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Congruencia de tringulos. 2
TEOREMA En todo triangulo issceles los ngulos de la base son congruentes
HIPTESIS: ABC es issceles con CA CB
TESIS: CAB CBA
RAZN AFIRMACIN
1. En CA se toma un punto D y en CB se
toma un punto E, tal que CD CE
1. Postulado de construccin de segmentos
2. Trazamos DB y AE 2. Dos puntos determinan un segmento
3. CA CB 3. De hiptesis
4. CD CE 4. De 1. Construccin.
5. C C 5. Propiedad reflexiva
6. CAE CBD 6. L A L. De 3, 4, 5 7. CAE CBD 7. De 6. ngulos correspondientes en
tringulos congruentes.
8. CD CE 8. De 1
9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adicin de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitucin de 3 en 9
11. AD BE 11. De 10. La ley cancelativa
12. ;CDB CEA DB AE 12. De 6. Partes correspondientes de tringulos congruentes
13. ABD EAB 13. De 11 y 12. L A L 14. EAB DBA 14. De 13. ngulos correspondientes en
tringulos congruentes. 15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ngulos.
NOTA: Este teorema tambin se puede enunciar as: Si dos lados de un tringulo son congruentes entonces los ngulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un tringulo equiltero sus ngulos son congruentes, es decir es equingulo.
HIPTESIS: ABC es un tringulo equiltero
TESIS: A B C
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Congruencia de tringulos. 3
TEOREMA En todo triangulo issceles la bisectriz del ngulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base.
HIPTESIS: CDes la bisectriz de ACB
ABC es issceles con CA CB A D B
TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.
1. CA CB 1. De hiptesis.
2. 1 2 2. De hiptesis. Definicin de bisectriz.
3. CD CD 3. Propiedad reflexiva
4. CDA CDB 4. De 1, 2 y 3. Postulado L A L
5. AD DB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.
6. D punto medio de AB 6. De 5. Definicin de punto medio
7. CD es mediana 7. De 6. Definicin de mediana
8. CDA CDB 8. De 4, por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes.
9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180 9. De hiptesis A D B. Forman un par lineal
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180 10. Sustitucin de 8 en 9.
11. 2m ( CDA) = 180, m ( CDA) = 90 11. De 10. Propiedad de los Reales
12. CD AB 12. De 11. Definicin de perpendicularidad
13. CD es altura 13. De 12. Definicin de altura
14. CDes mediatriz 14. De 12 y 6. Definicin de mediatriz.
NOTA: Se demuestra tambin que si en un tringulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el tringulo es issceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demustrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A L A) Si dos tringulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ngulos respectivamente
congruentes, entonces los tringulos son congruentes. HIPTESIS:
; ;A P AB PQ B Q
TESIS: ABC PQR NOTA: Este teorema se demostrar cuando se vea el mtodo indirecto de demostracin.
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Congruencia de tringulos. 4
TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS. LADO-LADO-LADO (L L L) Si dos tringulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.
HIPTESIS:
AB DE
AC DF
BC EF
TESIS: ABC DEF
1. En el semiplano de borde AB que no
contiene a C, se traza AP , tal que
y BAP D AP DF
1. Postulado de construccin de ngulos y segmentos.
2. Trazamos PB 2. Dos puntos determinan un segmento
3. AB DE 3. De hiptesis.
4. APB DEF 4. De 3 y 1. L A L
5. PB EF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.
6. PB EF BC 6. De hiptesis y 5. Propiedad transitiva
7. PBC es issceles 7. De 6 y definicin de triangulo Issceles 8. BCP BPC 8. De 7. En un tringulo issceles a los lados
congruentes se oponen ngulos congruentes.
9. AP DF AC 9. De hiptesis y de 1
10. CAP es issceles 10. De 9. Definicin de triangulo issceles. 11. ACP APC 11. De 10. En un tringulo issceles a los
lados congruentes se oponen ngulos congruentes.
12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 12. Adicin de ngulos.
13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 13. Adicin de ngulos
14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 14. Sustitucin de 8 y 11 en 13
15. m ( ACB) = m( APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva
16. ABC APB 16. De 15, 6, 9. L A L 17. ABC DEF 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva
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Congruencia de tringulos. 5
EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS Demostrar que en un tringulo issceles las bisectrices de los ngulos de la base son
congruentes.
HIPTESIS: ABC es issceles con AB AC
y CEBD son bisectrices
TESIS: CEBD
1. m ACB m ABC 1. De hiptesis. Los ngulos opuestos a los lados congruentes de un tringulo issceles son congruentes.
2.
2m ACB
m DBC 2. De hiptesis. Definicin de bisectriz
3.
2m ABC
m ECB 3. De hiptesis. Definicin de bisectriz
4. m DBC m ECB 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ngulos congruentes.
5. BC BC 5. Propiedad reflexiva.
6. ECB DBC 6. De 1, 4, 5. A L A
7. BD CE 7. De 6. Por ser lados correspondientes de tringulos congruentes.
Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) 2)AC BD AD BC
HIPTESIS: K es punto medio de AB
K es punto medio de CD
TESIS: AC BD y AD BC
1. K es punto medio de AB 1. De hiptesis
2. AK KB 2. De 1. Definicin de punto medio
3. K es punto medio de DC 3. De hiptesis.
4. CK KD 4. De 3. Definicin de punto medio.
5. AKC DKB 5. Por ser opuestos por el vrtice.
6. AKC DKB 6. De 5, 4, 2. Postulado L A L
7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.
NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.
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Congruencia de tringulos. 6
HIPTESIS: ABC es equiltero.
AE BF CD
TESIS: EFD es equiltero.
1. A B C 1. De hiptesis. Un tringulo equiltero es equingulo.
2. AE BF CD 2. De hiptesis.
3. AB = BC = CA 3. De hiptesis. Definicin de tringulo equiltero.
4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adicin de segmentos 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitucin de 2 en 4 6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa
7. AED EBF FCD 7. De 6, 2, 1. L A L
8. DE EF FD 8. De7. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.
9. DEF es equiltero. 9. De 8. Definicin de tringulo equiltero
HIPTESIS: DE AE
;DE EC AE EB
D A D F H B; A G H C
TESIS: 1)
2)
CEG BEF
CFH BGH
1. D A 1. De hiptesis.
2. DE AE 2. De hiptesis.
3. AEG = DEF 3. De hiptesis. Son ngulos rectos.
4. DEF EAG 4. De 1,2, 3, A L A 5. DFE EGA 5. De 4. ngulos correspondientes en tringulos congruentes
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Congruencia de tringulos. 7
6. EFH EGH 6. De 5. Por tener el mismo suplemento
7. FEG FEG 7. Propiedad reflexiva
8. EF EG 8. De 4. Lados correspondientes en tringulos congruentes
9. CEG BEF 9. De 6, 7, 8. A L A 10. C B 10. De 9. ngulos correspondientes en tringulos congruentes
11. HFC HGB 11. Tienen el mismo suplemento
12. EC EB 12. De 9. Lados correspondientes en tringulos congruentes
13. FC GB 13. De 12 y 8. Resta de segmentos
14. FHC BGH 14. De 10, 11, 13. A L A
HIPTESIS: AB EF
DB LF
AC y EH son medianas
AC EH
TESIS: LEF ABD
1. LF DB 1. De hiptesis.
2. AC y EH son medianas 2. De hiptesis
3. H y C son puntos medios 3. De 2. Definicin de mediana
4. LH HF y DC CB 4. De 3. Definicin de punto medio
5. ( )
( )2
m LFm HF y
( )( )
2
m DBm CB
5. De 4. Definicin de punto medio.
6. HF CB 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva
7. ;EH AC EF AB 7. De hiptesis
8. EHF ACB 8. De 6 y 7. L L L 9. F B 9. De 8. ngulos correspondientes en
tringulos congruentes
10. ABD LEF 10. De 1, 7, 9. L A L
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Congruencia de tringulos. 8
HIPTESIS: CA CB
DA DB C E D ; A E B
TESIS: AB CD
1. AC BC 1. De hiptesis.
2. ABC es issceles. 2. De 1. Definicin de triangulo issceles. 3. 1 2 3. De 2. Los ngulos de la base de un tringulo
issceles son congruentes
4. AD BD 4. De hiptesis.
5. ADB es issceles. 5. De 4. Definicin de triangulo issceles. 6. 3 4 6. De 5. En un tringulo issceles a los lados
congruentes se oponen ngulos congruentes. 7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 7. Adicin de ngulos.
8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 8. Adicin de ngulos
9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 9. Sustitucin de 3 y 6 en 8
10. m ( CAD) = m ( CBD) 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.
11. CAD CBD 11. De 10 y de hiptesis. L A L 12. ACD DCB 12. De 11. ngulos correspondientes en tringulos
congruentes.
13. CE es bisectriz 13. De 12. Definicin de bisectriz
14. CE es altura 14. De 13 y 2. En un triangulo issceles la bisectriz del ngulo opuesto a la base es tambin altura.
15. CE AB 15. De 14. Definicin de altura.
16. CD AB 16. De 15 y de hiptesis C E D
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Congruencia de tringulos. 9
HIPTESIS: AB AF
AC AE A B C; A F E
TESIS: 1)BE CF
2)AD es bisectriz de CAE
1. AB AF 1. De hiptesis
2. A A 2. Propiedad reflexiva
3. AC AE 3. De hiptesis
4. ABE ACF 4. De 1, 2, 3. L A L
5. BE CF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes
6. BC AC AB 6. Resta de segmentos 7. FE AE AF 7. Resta de segmentos. 8. FE AC AB 8. Sustitucin de 1 y 3 en 7.
9. BC FE 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.
10. ABE AFC 10. De 4. Por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes.
11. CBD es el suplemento de ABE
11. De hiptesis. A B C. Definicin de ngulos suplementarios
12. DFE es el suplemento de AFC
12. De hiptesis. A F E. Definicin de ngulos suplementarios
13. CBD DFE 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento. 14. C E 14. De 4. Por ser ngulos correspondientes en tringulos
congruentes.
15. BDC DFE 15. De 14, 9, 13. A L A
16. DB DF 16. De 15. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes
17. AD AD 17. Propiedad reflexiva.
18. BAD FAD 18. De1, 16, 17. L L L 19. BAD FAD 19. De 18. Por ser ngulos correspondientes en tringulos
congruentes.
20. AD es bisectriz de CAE
20. De 19. Definicin de bisectriz.
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Congruencia de tringulos. 10
PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO
1. Dos tringulos son congruentes si dos ngulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ngulos y el lado del otro. ( )
2. Si los catetos de un tringulo rectngulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectngulo, entonces los tringulos son congruentes. ( )
3. Dos tringulos son congruentes si dos lados y un ngulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ngulo del otro. ( )
4. L L A siempre se cumple en la congruencia de tringulos. ( ) 5. Dos tringulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados
congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos tringulos equilteros son congruentes. ( ) 7. Dos tringulos equilteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un
lado del otro. ( ) 8. Dos tringulos son congruentes si tienen sus ngulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un tringulo issceles son congruentes s los lados
congruentes de otro triangulo issceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un tringulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos tringulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ngulos
correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos tringulos tienen sus ngulos correspondientes congruentes, entonces los lados
correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningn par de ngulos de un tringulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un tringulo son rectas. ( ) 15. Existe un tringulo RST en el cual el ngulo R sea congruente con el ngulo T. ( ) 16. El suplemento de un ngulo, siempre es un ngulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un tringulo issceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un tringulo equiltero es equingulo. ( ) 20. Si dos ngulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ngulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ngulo de un tringulo biseca al lado opuesto al ngulo. ( )
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En la figura se tiene que:
AG GE ED FG GB BC .
Demostrar que: D C
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Congruencia de tringulos. 11
2.
HIPTESIS: CD es altura. AD DB
TESIS: 1) ACD BCD
2) CA CB
3. Demostrar que en un tringulo issceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
4.
HIPTESIS: ; ; E B ADE ACB B C D E
TESIS: EAD BAC
5.
HIPTESIS: ;AB AD AE es bisectriz de BAD
A C E
TESIS: 1)
2)
BC CD
BCE DCE
6.
HIPTESIS: ABC es equiltero
AE BF CD TESIS: EFD es equiltero.
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Congruencia de tringulos. 12
7. Sea ABC un tringulo issceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto
medio de BC . Demostrar que el tringulo ACE es congruente con el tringulo BCD. 8.
HIPTESIS: E F C; E G B; A G H C; D F H B
ED EA
DE EC
AE EB D A
TESIS: 1)
2)
CEG BEF
CFH BGH
9.
HIPTESIS: AI IC CD BI IH HF
TESIS: EH EC
10.
HIPTESIS: B es punto medio de AC
;AD CE BD BE
TESIS: 1)
2) es isosceles.
E D
APC
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Congruencia de tringulos. 13
11.
HIPTESIS:
AB AF
BD DF
BAC FAE
TESIS: 1)
2)
AC AE
BC FE
12. Demostrar que en un triangulo issceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ngulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
13. Si en un tringulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado
AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ;RC DB .En base con esta informacin se
puede demostrar que ?AR AD Justificar la respuesta. 14.
HIPTESIS: AE BC
AC BE
TESIS: 1)
2) es isosceles
DEA DCB
ABD
15.
HIPTESIS: 1 2
3 4
A E C y D E B
TESIS: 1)
2)
AE EC
DE AC
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Congruencia de tringulos. 14
16.
HIPTESIS: ; ; 1 2AB AF DB DF
TESIS: 1)
2)
B F
DC DE
SUGERENCIA: Trazar AD
17.
HIPTESIS:
OED ODE
A C
AE DC
TESIS: 1)
2)
BF BH
OF OH
18.
HIPTESIS: ; ;AF AB FE BC DF DB
TESIS: 1)
2)
EAD CAD
ED CD
19.
HIPTESIS: EAD CAD
AF AB
TESIS: 1)
2)
DF DB
EF CB
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Congruencia de tringulos. 15
20.
HIPTESIS: ; ;AR SC AB CD BS DR
TESIS: 1)
2)
BSA DRS
PR PS
21.
HIPTESIS: BD es mediana
;AE BF CF BF
TESIS: AE CF
22.
HIPTESIS: y son medianas
AC AE
CF EB
TESIS: AD CE
23.
HIPTESIS: ;AB BC DC BC
ABD DCA
TESIS: ABC DCB
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un tringulo issceles al punto medio de la base son congruentes.
25. Si el segmento de recta que une el vrtice B del tringulo ABC al punto medio M de AC
se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB 26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triangulo
equiltero forman otro tringulo equiltero.
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Congruencia de tringulos. 16
27.
HIPTESIS: ;TR TS PR PS
TESIS: TRP TSP
28.
HIPTESIS: A B C D 1 2
AB CD
TESIS: A D
Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometra Euclidiana de Nelson Londoo Geometra Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometra. Reunin de profesores Geometra de Clemens y otros, de la serie Awli Geometra de Edwin E. Moise
Recopilados por: Jos Manuel Montoya Misas.
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