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LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK, UNIVERSITÄT SIEGEN
2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung
2.1 Einführung
Arten der Gleichgewichtslagen Arten der Gleichgewichtslagen
Ein Tragwerk muss in stabiler Gleichge-
wichtslage sein. Viele Tragwerke versagen
wegen struktureller Instabilität, nicht aber
wegen Materialversagen.
Ein Tragwerk muss in stabiler Gleichge-
wichtslage sein. Viele Tragwerke versagen
wegen struktureller Instabilität, nicht aber
wegen Materialversagen.
Arten der Gleichgewichtslagen Arten der Gleichgewichtslagen
stabil
Nach einer kleinen Störung kehrt es in seine Anfangslage zurück!
instabil
Nach einer kleinen Störung kehrt es nicht in seine Anfangslage zurück!
Ausgelenkte Lage ist ebenfalls eine Gleichgewichtslage!
indifferent
Wann kommt ein Stabilitätsproblem vor? Wann kommt ein Stabilitätsproblem vor?
Stab unter Zug Stab unter Druck
Last-Verformungskurve eindeutig
Kein Stabilitätsproblem !
Last-Verformungskurve nicht mehr eindeutig
Stabilitätsproblem !
Stabilitätsprobleme Stabilitätsprobleme
Typen der Stabilitätsprobleme:
• Durchschlagprobleme
• Verzweigungsprobleme
Typen der Stabilitätsprobleme:
• Durchschlagprobleme
• Verzweigungsprobleme
Durchschlagprobleme Durchschlagprobleme
Bei einem Durchschlagproblem
schlägt ein System bei Lastkontrolle
schlagartig in eine Gleichgewichts-
lage durch.
Bei einem Durchschlagproblem
schlägt ein System bei Lastkontrolle
schlagartig in eine Gleichgewichts-
lage durch.
Durchschlagproblem Durchschlagproblem
a
b
c
F
a b
cLastkontrolle
Verschiebungskontrolle
Durchschlagpunkt
w
F
Flacher Bogen
Last-Durchbiegungs-Linie
Verzweigungsprobleme Verzweigungsprobleme
Bei einem Verzweigungsproblem ist das Gleichgewicht mehrdeutig. Das System verlässt den primären Pfad und geht in einen sekundären Ast über. Bei horizontaler oder abnehmender Verzweigung ist das System unter Lastkontrolle instabil.
Bei einem Verzweigungsproblem ist das Gleichgewicht mehrdeutig. Das System verlässt den primären Pfad und geht in einen sekundären Ast über. Bei horizontaler oder abnehmender Verzweigung ist das System unter Lastkontrolle instabil.
Verzweigungsproblem Verzweigungsproblem
a
b
c
F
a b
cVerzweigungspunkt
w
F
Durchschlag
Steiler Bogen
Last-Durchbiegungs-Linie
Stabilitätspunkte Stabilitätspunkte
Durchschlagpunkt und Verzweigungs- punkt werden häufig als Stabilitäts- punkte bezeichnet, obwohl diese Punkte nicht unbedingt zur Instabilität führen.
Bsp.: Ein System kann durch Verschiebungs- kontrolle oder bei aufgehender Verzweigung stabil bleiben, obwohl ein Durchschlagpunkt oder Verzweigungspunkt erreicht wird.
Durchschlagpunkt und Verzweigungs- punkt werden häufig als Stabilitäts- punkte bezeichnet, obwohl diese Punkte nicht unbedingt zur Instabilität führen.
Bsp.: Ein System kann durch Verschiebungs- kontrolle oder bei aufgehender Verzweigung stabil bleiben, obwohl ein Durchschlagpunkt oder Verzweigungspunkt erreicht wird.
Verzweigungsprobleme Verzweigungsprobleme
Knicken: Ebene Stabtragwerke
Kippen: Biegebalken
Drillknicken: Torsionsstäbe
Biegedrillknicken: Räumliche Stabtragwerke
Beulen: Flächentragwerke (Platten, Schalen)
Warum ist Knicken gefährlich ? Warum ist Knicken gefährlich ?
Stab unter Zug:
Versagen mit Vorankündigung !
Risse !
Stab unter Druck (Knicken):
Versagen ohne Vorankündigung ! Viel gefährlicher!
Beispiel: Knicken
Eigenform 3
(Knicken um die y-Achse)
Eigenform 4
(Knicken um die z-Achse, 2. Eigenform)
Geometrische NichtlinearitätGeometrische Nichtlinearität
Um die Stabilität eines Systems zu analysieren, muss die geometrische Nichtlinearität berücksichtigt werden. Dies bedeutet:
• Endliche oder große Verformungen.• Nichtlinearer Zusammenhang zwischen
Dehnungen/Verzerrungen und Verschiebungen.
• Gleichgewicht am verformten System.
Um die Stabilität eines Systems zu analysieren, muss die geometrische Nichtlinearität berücksichtigt werden. Dies bedeutet:
• Endliche oder große Verformungen.• Nichtlinearer Zusammenhang zwischen
Dehnungen/Verzerrungen und Verschiebungen.
• Gleichgewicht am verformten System.
Gegenüberstellung von Stabwerkstheorien verschiedener OrdnungenGegenüberstellung von Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen
Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung
Vergleich: Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung
FTh. I. Ordnung
Gleichgewicht am unverformten System !
! 0=IM
FTh. II. Ordnung
Gleichgewicht am verformten System !
w
! wFM II ⋅=
Th. II. Ordnung führt zu eine r Vergrößerung des Biegemomentes !
Bemerkungen zur Theorie II. Ordnung Bemerkungen zur Theorie II. Ordnung
Th. II. Ordnung ist nur eine Näherungstheorie der Theorie großer Verformungen.
Theorie großer Verformungen wird manchmal auch als Th. III. Ordnung bezeichnet.
Unter Druckkraft führt Th. II. Ordnung zu einer Vergrößerung des Biegemomentes, d.h., MI < MII.
Unter Zugkraft wird das Biegemoment nach Th. II. Ordnung reduziert, d.h., MII < MI. Hierbei führt Th. II. Ordnung zu einer wirtschaftlicheren Bemessung.
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