2. stabilitätsprobleme und theorie ii. ordnung · kkk ii i g =+ k i: elastische...
TRANSCRIPT
![Page 1: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/1.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGEN
2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung
2.3 Elementsteifigkeitsmatrix und Lastvektor nach Th. II. Ordnung
2.3.1 Steifigkeitsmatrix und Grundformeln
2.3.2 Lastvektor
2.3.3 Koordinatentransformation
Baustatik (Master) – WS 2015/2016
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
![Page 2: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/2.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGEN
Baustatik (Master) – WS 2015/2016
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.3.1 Steifigkeitsmatrix und Grundformeln
![Page 3: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/3.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
iT
kT
iu kuiw
kwi
k
Unverformtes und verformtes Element
iS
kS
![Page 4: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/4.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
,
i i
i i
i i
k k
k k
k k
S uT wM
s dS uT wM
s k d
Elementsteifigkeitsbeziehung:
k : Elementsteifigkeitsmatrix
: Stabendkraftvektors
: Stabendverschiebungsvektord
Elementsteifigkeitsbeziehung
![Page 5: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/5.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Elementsteifigkeitsbeziehung
• Der Zusammenhang zwischen den Stabendkräften und denStabendverformungen wird durch die Elementsteifigkeitsmatrixbeschrieben.
• Die Elementsteifigkeitsmatrix muss für ein verformtes Elementhergeleitet werden.
• Die Elementsteifigkeitsmatrix kann durch zwei unterschiedlicheMethoden hergeleitet werden:1) Herleitung mit der homogenen Lösung der Differential-
gleichung.2) Herleitung mit den Grundformeln (Tabelle für Stabendkräfte).
![Page 6: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/6.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Grundelement
Grundelement
![Page 7: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/7.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Herleitung mit der homogenen Lösung der Dgl
1
2
3
4
1 0 1 00 / 0 /10 / ( / ) ( / )
i
i
k
k
w CCl l
w Cc sCl l s l c
d
C
A
d A C 1C A d
Beispiel: Grundelement mit EA
Aus der homogenen Lösung der Dgl (vgl. Abschnitt 2.2):
0x
x l
![Page 8: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/8.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
1
2
3
4
0 / 0 00 0 1 00 / 0 00 0
i
i
k
k
T ClM C
ST ClM Cc s
Ähnlich für den Stabendkraftvektor:
s C
B
s B C 1C A d
1s B A d k d
Steifigkeitsmatrix: 1k B A
Herleitung mit der homogenen Lösung der Dgl
0x
x l
![Page 9: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/9.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Herleitung mit den Grundformeln
![Page 10: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/10.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Steifigkeitsmatrix für Grundelement
iT
kT
![Page 11: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/11.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
S
lEI
Wert
S als Druckkraft S als Zugkraft
A
sin cos
2 1 cos sin
sinh cosh
2 cosh 1 sinh
B
sin
2 1 cos sin
sinh
2 cosh 1 sinh
D A B
2 1 cos2 1 cos sin
2 1 cosh2 cosh 1 sinh
C 2 sin
sin cos
2 sinh
cosh sinh
A B 1 cos
sin
1 coshsinh
V 3
2 1 cos sin12
sin
3
2 1 cosh sinh12
sinh
Abkürzungen nach Chwalla
![Page 12: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/12.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
• Der Einfluss der Stabkrümmung wird in den Termen A´ , B´ und D´berücksichtigt.
• Der Einfluss der Stabverdrehung (P--Effekt) wird im Anteil S/lberücksichtigt.
• S bringt einen Beitrag zu Ti und Tk durch den P--Effekt.• Die Druckkraft S wirkt steifigkeitsmindernd, während die Zugkraft
versteifend wirkt.• Es gilt die Beziehung:
2 2
2 ´ ´D S El EI l
• Theorie I. Ordnung:
0 0 0 0lim ´ 4, lim ´ 2, lim ´ 3, lim ´ 6 A B C D
0
Bemerkungen
![Page 13: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/13.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Aufspaltung der Steifigkeitsmatrix
Um den Einfluss der Stablängskraft S auf einfache Weise zu analysieren, wird dieSteifigkeitsmatrix aufgespalten:
II I g= +k k kI : Elastische Steifigkeitsmatrix, Steifigkeitsmatrix nach Th. I. Ordnungk
g : Geometrische Steifigkeitsmatrix k
Die obige Aufspaltung wird ermöglicht durch die folgenden Reihenentwicklungenfür klein :
2 2 2
2 2
2 1 1´ 4 , ´ 2 , ´ 3 ,15 30 51 6´ 6 , ´ 12
10 5
A B C
D E
![Page 14: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/14.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einsetzen der obigen Reihenentwicklungen in die exakte Steifigkeitsmatrix liefertdie elastische Steifigkeitsmatrix kI und die geometrische Steifigkeitsmatrix kg.
Die obigen Reihenentwicklungen liefern eine gute Näherung für 2,5!
Aufspaltung der Steifigkeitsmatrix
![Page 15: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/15.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2 22 2
II
22
0 0 0 0 0 00 0 0 06 6012 6 12 60 5 10 5 10
26 04 0 2 15 10 300 0 0
0 0 6symm.5 1012 6symm. 2
154
EA EAEI EI l l
l ll ll l l
EI Sl
l lEAll
lll
k
IElastische Steifigkeitsmatrix k gGeometrische Steifigkeitsmatrix k
Bedingung: 2,5
Genäherte Steifigkeitsmatrix für Grundelement
![Page 16: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/16.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Randmomente
´ ´ ´
´ ´ ´
k ii i k
k ik i k
w wEIM A B Dl l
w wEIM B A Dl l
Grundelement
![Page 17: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/17.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Transversalkräfte
i k k ii
i k k ik
M M w wT Sl l
M M w wT Sl l
iT
kT
S
SiM
kM
i k k ii k
M M w wT T Sl l
Zug
Druck
![Page 18: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/18.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.3.2 Lastvektor
Baustatik (Master) – WS 2015/2016
![Page 19: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/19.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Der Lastvektor enthält die Stabendschnittgrößen (Randschnittgrößen) infolgeeiner vorgegebenen Elementbelastung. Die Stabendschnittgrößen sind für einengeometrisch bestimmten Zustand bei einer vorgegebenen Elementbelastung zubestimmen.
Beispiel: Grundelement unter einer konstanten Streckenlast
Lastvektor
0iM 0
kMS S
0iT 0
kT
p
0
00
0
0
i
i
k
k
TM
sTM
Lastvektor
![Page 20: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/20.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Lastvektor
![Page 21: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/21.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
0
200
0
0
2
1
cot 22
12
cot 22
i
i
k
k
T lM plsTM l
Lastvektor
Exakt:
02
00
0
02
111
6 6012
116 60
i
i
k
k
T lM plsTM l
Angenähert:
![Page 22: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/22.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik (Master) – WS 2015/2016
2.3.3 Koordinatentransformation
![Page 23: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/23.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Transformationsmatrix
Koordinatentransformation
X
Z
x
z
,Y y
T
1 T
; ;
(Es gilt: !)G L GL
X Xx xz zy y
Z ZY Y
t t
t t
( , , ) : globales Koordinatensyste( , , ) : lokales Koordinatensys
mtemx y z
X Y Z
![Page 24: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/24.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Koordinatentransformation
L L
L
G
GLG
TG
T
;
;
s s
d
T T
T T
s s
d dd
G
LT
TL G
L
L L
L
G
G
G G G
k
Tk
s
T
T k T
s
d
s d dk
s d
d
TG G LG G k k T kd Ts
G
L
: globale Größe: lokale Größe
( )( )
Globale Elementsteifigkeitsmatrix
![Page 25: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/25.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Transformationsmatrix T:
Transponierte Transformationsmatrix TT:
Koordinatentransformation
![Page 26: 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050903/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/html5/thumbnails/26.jpg)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Globale Elementsteifigkeitsmatrix
G k