4. 4 make a table) 4 make a table) - wordpress.com...64 4. ย ทธว ธ ช วยค ดท 4...

64

4. ยทธวธชวยคดท 4 การแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table)

ค าชแจง 1. ใหทานศกษาใบความรท 4 มาฝกทกษะการสอนเพอแกโจทยปญหาคณตศาสตร ดวยยทธวธการแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table) และตวอยางการแกโจทยปญหาคณตศาสตรดวยยทธวธการแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table) 2. ท าแบบฝกเสรมทกษะท 4 โดยแสดงวธการคดแกโจทยปญหาตามขนตอนการแกโจทยปญหา 4 ขนตอนของโพลยา (Polya) และใชยทธวธการแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table) มาชวย ในการคดแกโจทยปญหา 3. ตรวจค าตอบตามเฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 4 แลวใหคะแนนตวเองตามเกณฑ การใหคะแนน ดงน ขนตอนท 1 การท าความเขาใจโจทยปญหา

ถาวเคราะหโจทยปญหาไดถกตอง เชน บอกวา “โจทยถามอะไร” และ “รอะไรจากโจทยบาง” ได 1 คะแนน

ขนตอนท 2 วางแผนการแกโจทยปญหา ถาบอกไดวา “ใชยทธวธอะไร” ในการวางแผนการแกโจทยปญหา และจะหาค าตอบไดโดยวธการใด ได 1 คะแนน ขนตอนท 3 การปฏบตตามแผน ถาแสดงวธคดหาค าตอบตามแผนทวางไวจนไดค าตอบทถกตอง

ได 1 คะแนน ขนตอนท 4 การตรวจค าตอบ ถาแสดงวธตรวจค าตอบโดยวธการใดวธการหนงเพอแสดงใหรวาค าตอบ ทคดไดในขนตอนท 3 ถกตองสมเหตสมผล หรอไม ได 1 คะแนน 4. เมอตรวจค าตอบจากการท าแบบฝกเสรมทกษะเรยบรอยแลวใหรวมคะแนนทงหมด น าคะแนนทมาคดเปนรอยละ ถาไดคะแนนรอยละ 80 ขนไป ถอวาผานเกณฑการประเมน ใหปฏบตกจกรรมตอไปได ถาไมผานเกณฑการประเมนใหกลบไปศกษาขอบกพรองของตนเองใหม แลวเรมท าแบบฝกเสรมทกษะขอทยงท าไมถกตองใหมอกครงจนกวาจะผานเกณฑการประเมน

กจกรรมท 4 มาฝกทกษะการสอนเพอแกโจทยปญหาคณตศาสตรดวยยทธวธ

การแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table)

65

นกเรยนมเงน 100 บาท ตองการซอไมบรรทดอนละ 8 บาท อยางนอย 5 อน และดนสอแทงละ 4 บาท อยางนอย 4 แทง จะมวธการซอไมบรรทด และดนสอไดกวธ

การแจกแจงรายการ เปนการเขยนรายการทเกดขนบางกรณ หรอกรณทเกดขนทงหมด และเพอใหครอบคลมครบถวนทกกรณ การแจกแจงรายการจงควรท าอยางเปนระบบ อาจใชตารางชวยในการแจกแจงรายการในบางปญหา การใชตารางชวยในการบนทกขอมลจะชวยใหหาแบบรปและกรณทวไปไดงายขน เหนความสมพนธของขอมลหาค าตอบไดงายขน หรอจดขอมลไดอยางเปนระบบ ในการใชยทธวธการสรางตาราง ผใชจ าเปนตองตดสนใจวาจะเลอกใชตารางแบบใด แนวนอนควรใชแสดงอะไร และแนวตงควรใชแสดงอะไร นกเรยนสวนมากมความยงยากในการหาค าตอบของปญหาทไมสามารถแปลงโจทยปญหาเปนประโยคสญลกษณจงไมสามารถหาค าตอบได ถาเขาไดรบการชแนะยทธวธทเหมาะสมกจะชวยใหมแนวทางทจะหาค าตอบไดงายขน ยทธวธการแกโจทยปญหาโดยการแจกแจงรายการหรอสรางตารางเปนวธการหนงทใชกนอย บอย ๆ (สถาบนการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. 2554 : 22) และการสรางตารางจะชวยใน การจดระบบของขอมลเพอแสดงความสมพนธระหวางชดของขอมลและท าใหงายตอการค านวณหรอหาค าตอบ โดยอาจมการขยายตารางเพอแกปญหานน (ส านกงานคณะกรรมการการศกษา ขนพนฐาน. 2552 : 25-30) ตวอยางการแกโจทยปญหา แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - จะมวธการซอไมบรรทด และดนสอไดกวธ

ใบความรท 4 มาฝกทกษะการสอนเพอแกโจทยปญหาคณตศาสตรดวยยทธวธ

การแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table)

66

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - นกเรยนมเงน 100 บาท - ตองการซอไมบรรทดอนละ 8 บาท อยางนอย 5 อน และ

- ดนสอแทงละ 4 บาท อยางนอย 4 แทง ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการหรอการสรางตารางมาชวยแกโจทยปญหาน อาจจะแจกแจงรายการและการสรางตารางประกอบโดยเรมจาก

ไมบรรทด 5 อน เปนเงน 5 × 8 = 40 บาท ดงนน จะเหลอเงน 60 บาท ซอดนสอได 60 ÷ 4 = 15 แทง

ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน การแกโจทยปญหาดวยยทธวธการแจกแจงรายการหรอการสรางตารางโดยสงเกตวา

เมอซอไมบรรทดเพมขนหนงอน จะตองลดจ านวนดนสอลงสองแทง ดงน ไมบรรทด ดนสอ รวมเงน

(บาท) จ านวน (อน)

ราคา (บาท) จ านวน (แทง) ราคา (บาท)

5 5 15 15 × 4 = 60 100 6 6 13 13 × 4 = 52 100 7 7 11 11 × 4 = 44 100 8 8 9 9 × 4 = 36 100 9 9 7 7 × 4 = 28 100

10 10 5 5 × 4 = 20 100

ตอบ จะมวธการซอไมบรรทด และดนสอทเปนไปตามเงอนไขได 6 วธ

67

ขนตอนท 4 ตรวจสอบ พจารณาตรวจสอบค าตอบทได ถกตอง สมเหตสมผลหรอไม

ตรวจสอบค าตอบโดยพจารณาวธการซอไมบรรทด และดนสอทงหมด ดงน

วธท ไมบรรทด ดนสอ รวมเงน

(บาท) จ านวน (อน)

ราคา (บาท)

จ านวน (แทง)

ราคา (บาท)

1 1 1 × 8 = 8 23 23 × 4 = 92 100 2 2 2 × 8 =16 21 21 × 4 = 84 100 3 3 3 × 8 = 24 19 19 × 4 = 76 100 4 4 4 × 8 = 32 17 17 × 4 = 68 100 5 5 5 × 8 = 40 15 15 × 4 = 60 100 6 6 6 × 8 = 48 13 13 × 4 = 52 100 7 7 7 × 8 = 56 11 11 × 4 = 44 100 8 8 8 × 8 = 64 9 9 × 4 = 36 100 9 9 9 × 8 = 72 7 7 × 4 = 28 100

10 10 10 × 8 = 80 5 5 × 4 = 20 100 11 11 11 × 8 = 88 3 3 × 4 = 12 100 12 12 12 × 8 = 96 1 1 × 4 = 4 100

เมอพจารณาจ านวนวธซอไมบรรทด และดนสอ โดยมเงนรวม 100 บาท มจ านวนทงหมด 12 วธ เมอพจารณาเงอนไขวาตองการซอไมบรรทดอนละ 8 บาท อยางนอย 5 อน และดนสอแทงละ 4 บาท อยางนอย 4 แทง มจ านวน 6 วธ แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผล และเปนไปตามเงอนไข แลว

68

อทยเลยงปลา จงตองมหนาทคอยเลยงดเอาใจใสอย 3 เรอง ไดแก ตองใหอาหารปลาทก 3 วน ลางตปลาทก 8 วน และใสสารเคมเพอปรบสภาพน าทก วน วนนอทยท างานทง 3 อยางนพรอมกน อกกวนเขาจงจะท างาน 3 อยางนพรอมกนอก

ตวอยางการแกโจทยปญหา แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - อกกวน เขาจงจะท างาน 3 อยางนพรอมกนอก

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - อทยใหอาหารปลา ทก 3 วน - เขาตองลางตปลาทก 8 วน และ - เขาตองใสสารเคมทก วน ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา พจารณาวางแผนการแกโจทยปญหาโดยการเลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการและการสรางตารางมาแกปญหาน โดยการแจกแจงรายการลงในตารางตามทอทยใหอาหารปลาทก 3 วน ลางตปลาทก 8 วน และใสสารเคมทก 4 วน ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน

ลงมอแกโจทยปญหาโดยใชยทธวธการแจกแจงรายการลงในสรางตาราง ดงน จากการแจกแจงรายการลงในตาราง จะพบจ านวนนอยทสดทเปนตวคณรวมทนอยทสด

ของทงสามรายการ คอ 2 ซงเปนค าตอบของค าถามขอน จ านวนนอยทสดทเปนตวคณรวมของทงสามรายการ คอ 2 อทยจะท างาน 3 อยางนพรอมกนตองใชเวลาอก 2 วน ตอบ 24 วน

ใหอาหาร

ลางตปลา

ใสสารเคม

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

69

ขนตอนท 4 ตรวจสอบ เปนการพจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยใชการหาร ดงน ค าตอบเปนไปได : เพราะ 3824,8324 และ 6424 แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผลแลว

70

1. อรสาเลยงนกขนทองไวจ านวนหนง เธอตองใหอาหารเมดทก ๆ 2 วน เปลยนถวยน าทก ๆ 3 วนและท าความสะอาดทก 5 วน วนนอรสสาท างานทงสามนพรอมกน อกกวนเธอจงจะ ท างานพรอมกนเชนนอกครง

2. ณฐณชาไปเทยวชายทะเล เธอเกบเปลอกหอย 10 ชนในวนจนทร และเกบ 6 ชน ในแตละวน ตงแตวนองคารถงวนศกรณฐณชาเกบเปลอกหอยไดรวมทงหมดกชน

3. ในรานของช าแหงหนงมขนมราคาแตกตางกนอย 3 ชนด ชนดทหนงราคาชนละ 2 บาท ชนดทสองราคาชนละ 5 บาทและชนดทสามราคาชนละ 10 บาท วนหนงมแมและลกชาย คหนงเขามาซอของในรานแหงน ลกชายเหนขนมและอยากได จงรองขอใหแมซอให แมอนญาตและบอกใหลกชายเลอกหยบขนมเองตามใจชอบมา 3 ชน อยากทราบวา แมตองจายเงนเปนคาขนมใหลกชาย เปนจ านวนเงนเทาไรบาง

. อาร เลนเกมอยางหนง 7 เกม จะชนะ 5 เกม ถามวา ถาอารเลนเกมแพ 12 เกม อารตองเลนเกมทงหมดกเกม

5. ถาโยนลกเตาสองลกพรอมกนโอกาสทจะขนแตมเลขคทงสองลกเปนเทาไร

6. ในหองสมดแหงหนงมจ านวนผใหญครงหนงของเดก ตอมามเดกหญง 3 คน และ เดกชาย คน ออกไปจากหองสมด ท าใหมผใหญมากกวาเดกอย 1 คน จงหาวา เดมมคน อยในหองสมดกคน

ค าชแจง ใหทานแสดงวธคดหาค าตอบเพอแกโจทยปญหาคณตศาสตรตอไปนตามขนตอน

การแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ดวยยทธวธการแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table) ดงน

แบบฝกเสรมทกษะท 4 มาฝกทกษะการสอนเพอแกโจทยปญหาคณตศาสตรดวยยทธวธ

การแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table)

71

8. ฟารมเลยงสตวแหงหนง เมอนบตวสตวรวมกนได 80 ตว ถานบขารวมกนได 186 ขา อยากทราบวาฟารมแหงนเลยงเปดไวกตวและเลยงหมไวกตว

9. ไฟกระพรบ 3 ดวง ดวงท 1 กระพรบทก 6 วนาท หลงจากไฟดวงท 1 กระพรบอก 2 วนาท ไฟดวงท 2 จะกระพรบ หลงจากไฟดวงท 2 กระพรบอก 3 วนาท ไฟดวงท 3 จะกระพรบ ไฟทงสามดวงกระพรบพรอมกนแลว จะมโอกาสกระพรบพรอมกนอกหรอไม ถากระพรบ พรอมอกเปนครงทสองเมอเวลาผานไปกวนาท

10. A เปนจ านวนนบจ านวนหนงทมคานอยกวา 1,000 ถา A ถกหารดวย 5 จะเหลอเศษ ถาถกหารดวย 7 จะเหลอเศษ 2 ถาถกหารดวย 11 จะเหลอเศษ 6 และถาถกหารดวย 13 จะเหลอเศษ 9 จงหาจ านวน A ทมคามากทสดทเปนไปไดตามเงอนไขทงหมด

11. มจ านวนเตมบวกสจ านวนทเรยงตดกนและมคานอยกวา 2005 โดยจ านวนแรกซงเปน จ านวนทนอยทสดมคาเปนพหคณของ 5 จ านวนทสองมคาเปนพหคณของ 7 จ านวนทสาม มคาเปนพหคณของ 9 และจ านวนทสมคาเปนพหคณของ 11 จงหาจ านวนแรกคอ จ านวน อะไร

7. ปจจบนสมพรอาย 7 ป พออาย 55 ป อกกปพอจะมอายเปน 2 เทาของอายสมพร แลวแตละคนมอายเทาไร

72

1. อรสาเลยงนกขนทองไวจ านวนหนง เธอตองใหอาหารเมดทก 2 วน เปลยนถวยน าทก 3 วน และท าความสะอาดทก 5 วน วนนอรสาท างานทงสามนพรอมกน อกกวนเธอจงจะท างาน พรอมกนเชนนอกครง

แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - วนนอรสาท างานทงสามนพรอมกน อกกวนเธอจงจะท างานพรอมกน เชนนอกครง

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - อรสาเลยงนกขนทองไวจ านวนหนง เธอตองใหอาหารเมดทก ๆ 2 วน - เปลยนถวยน าทก ๆ 3 วน - ท าความสะอาดทก 5 วน ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการและการสรางตารางมาชวยแกโจทยปญหาน ท าโดยสรางตารางเปนแถว และเปนคอลมนแตละคอลมนจะบอกวนทท างาน และภาระงาน ทท าแตละอยาง ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน

สรางตารางออกเปน 4 คอลมน ดงน คอลมนแรก แสดง วนท

คอลมนทสอง แสดง การใหอาหารเมด ทก 2 วน แลวเปนการเพมทละ 2 คอลมนทสาม แสดง การเปลยนถวยน าทก 3 วน แลวเปนการเพมทละ 3 และ คอลมนทส แสดง การท าความสะอาดกรงทก 5 วนแลวเปนการเพมทละ 5

เฉลยแบบฝกเสรมทกษะท 3 มาฝกทกษะการสอนเพอแกโจทยปญหาคณตศาสตรดวยยทธวธ

การแจกแจงรายการหรอการสรางตาราง (Make a Table)

73

วนท ใหอาหารเมด เปลยนถวยน า ท าความสะอาด วนน 0 0 0

1 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 0 7 8 0 9 0 10 0 0 11 12 0 0 13 14 0 15 0 0 16 0 17 18 0 0 19 20 0 0 21 0 22 0 23 2 0 0 25 0 26 0 27 0 28 0 29 30 0 0 0

ตอบ อก 30 วน อรสาจงท างานพรอมกนอกครง

74

2. ณฐณชาไปเทยวชายทะเล เธอเกบเปลอกหอย 10 ชนในวนจนทร และเกบ 6 ชน ในแตละวน ตงแตวนองคารถงวนศกรณฐณชาเกบเปลอกหอยไดรวมทงหมดกชน

ขนตอนท 4 ตรวจสอบ เปนการพจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยด าเนนการดงน 1) ทบทวนการด าเนนการหาค าตอบแตละขนตอน วาด าเนนการถกตองทกขนตอน 2) หา ค.ร.น. ของ 2, 3, 5 ค.ร.น. คอ 2 × 3 × 5 = 30

แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผล แลว แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - ณฐณชาเกบเปลอกหอยไดรวมทงหมดกชน

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - ณฐณชาไปเทยวชายทะเล เธอเกบเปลอกหอย 10 ชนในวนจนทร - เกบ 6 ชน ในแตละวนตงแตวนองคารถงวนศกร ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการสรางตารางมาแกปญหานท าโดยสรางตารางเปนแถว และ เปนคอลมนแตละคอลมนจะบอกวนและจ านวนเปลอกหอยทเกบได ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน สรางเปนตารางบอกวนและจ านวนเปลอกหอยทเกบไดในแตละวน

วน จนทร องคาร พธ พฤหสบด ศกร รวม จ านวน

หอยทเกบได 10 6 6 6 6 3

ตอบ ณฐณชาเกบเปลอกหอยไดทงหมด 3 ชน ขนตอนท 4 ตรวจสอบ

เปนการพจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยด าเนนการ ดงน คอ จ านวนหอยทเกบไดในวนจนทร องคาร พธ พฤหสบด และศกร รวมกน เชน 10 + 6 + 6 + 6 + 6 = 34

แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผล แลว

75

3. ในรานของช าแหงหนงมขนมราคาแตกตางกนอย 3 ชนด ชนดทหนงราคาชนละ 2 บาท ชนดทสองราคาชนละ 5 บาท และชนดทสามราคาชนละ 10 บาท วนหนงมแมและลกชาย คหนงเขามาซอของในรานแหงน ลกชายเหนขนมและอยากได จงรองขอใหแมซอให แมอนญาตและบอกใหลกชายเลอกหยบขนมเองตามใจชอบมา 3 ชน อยากทราบวา แมตองจายเงนเปนคาขนมใหลกชาย เปนจ านวนเงนเทาไร

แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - แมตองจายเงนเปนคาขนมใหลกชาย เปนจ านวนเงนเทาไรบาง

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - ในรานของช าแหงหนงมขนมราคาแตกตางกนอย 3 ชนด

ชนดทหนงราคาชนละ 2 บาท - ชนดทสองราคาชนละ 5 บาท - ชนดทสามราคาชนละ 10 บาท - ลกชายเหนขนมและอยากได จงรองขอใหแมซอให แมอนญาตและบอก ใหลกชายเลอกหยบขนมเองตามใจชอบมา 3 ชน ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการและการสรางตารางมาเพอแกโจทยปญหาน โดยการแจกแจงรายการและการสรางตารางแสดงจ านวนขนมและจ านวนเงนทตองจาย ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน

ในการแกโจทยปญหาดวยยทธวธการแจกแจงรายและการสรางตาราง เพอแสดงกรณ ทเปนไปไดทงหมดของจ านวนเงนทแมตองจายเปนคาขนมใหลกชาย

เนองจากปญหานตองพจารณาขนมทมราคาชนละ 2 บาท 5 บาท และ 10 บาท ดงน

76

จ านวนขนม ทซอชนละ 2 บาท (ชน)

จ านวนขนมทซอชนละ 5 บาท (ชน)

จ านวนขนม ทซอชนละ 10 บาท (ชน)

เงนทตอง จาย (บาท)

3 0 0 6 0 3 0 15 0 0 3 30 2 1 0 9 2 0 1 1 1 2 0 12 1 0 2 22 0 2 1 20 0 1 2 25 1 1 1 17

จากตาราง จะไดวา จ านวนเงนทเปนไปไดทงหมดทแมตองจายเปนคาขนมใหลกชาย ไดแก 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20, 22, 25 หรอ 30 บาท ตอบ แมตองจายเงนเปนคาขนมใหลกชาย 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20, 22, 25 หรอ 30 บาท ขนตอนท 4 ตรวจสอบ

พจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยด าเนนการทบทวนการด าเนนการหาค าตอบแตละขนตอน วาด าเนนการถกตอง ทกขนตอนหรอไม และเปนไปตามเงอนไขของโจทยหรอไม เชน จ านวนขนมทเลอกซอชนละ 2 บาท ทง 3 ชน เปนเงน 6 บาท จ านวนขนมทเลอกซอชนละ 5 บาท ทง 3 ชน เปนเงน 15 บาท จ านวนขนมทเลอกซอชนละ 10 บาท ทง 3 ชน เปนเงน 30 บาท จ านวนเงนทซอขนมใหลก 3 ชน แมตองจายเงนซอขนมใหลกต าสด 6 บาท และจายเงนสงสด 30 บาท

แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผลแลว

77

. อาร เลนเกมอยางหนง 7 เกม จะชนะ 5 เกม ถามวา ถาอารเลนเกมแพ 12 เกม อารตองเลนเกมทงหมดกเกม

แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - ถาอารเลนเกมแพ 12 เกม อารตองเลนเกมทงหมดกเกม

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - อารเลนเกมอยางหนง 7 เกม จะชนะ 5 เกม ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการและการสรางตารางมาชวยแกโจทยปญหาน โดยสรางตารางและแจกแจงรายการ จ านวนเกมทแพ และจ านวนเกมทเลน ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน สรางตารางแสดงจ านวนเกมทแพ และจ านวนเกมทเลน ดงน

เลนเกมแพ (เกม) จากเกมทเลน(เกม) 2 7 4 14 6 21 8 28

10 35 12 42

ตอบ อารตองเลนเกมทงหมด 2 เกม ขนตอนท 4 ตรวจสอบ

พจารณาตรวจสอบค าตอบทได ถกตอง สมเหตสมผล หรอไม พจารณาตรวจสอบค าตอบโดยการเทยบบญญตไตรยาง ดงน ถาอารเลนเกมแพ 2 เกม แสดงวา อารเลนเกมทงหมด 7 เกม ถาอารเลนเกมแพ 12 เกม แสดงวา อารเลนเกมทงหมด 12

2

7 = 42 เกม

แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผล แลว

78

5. ถาโยนลกเตาสองลกพรอมกนโอกาสทจะขนแตมจ านวนคทงสองลกเปนเทาไร

แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - โอกาสทจะขนแตมจ านวนคทงสองลกเปนเทาไร

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - ถาโยนลกเตาสองลกพรอมกน ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการและการสรางตารางมาชวยแกโจทยปญหาน โดยสรางตารางแลวแจกแจงรายการ เพอแสดงจ านวนครงและแสดงแตมของลกเตาทงสองลก ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน สรางตารางและแจกแจงรายการ เพอแสดงจ านวนครงและแสดงจ านวนแตมของลกเตา ทงสองลก ดงน

ครงท 1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

โอกาสทจะขนหนาลกเตาทมแตมเปนจ านวนคทงสองลก คอ 36

9 = 4

1

ตอบ 4

1

79

6. ในหองสมดแหงหนงมจ านวนผใหญครงหนงของเดก ตอมามเดกหญง 3 คน และเดกชาย คน ออกไปจากหองสมด ท าใหมผใหญมากกวาเดกอย 1 คน จงหาวา เดมมคนอยใน หองสมดกคน

ขนตอนท 4 ตรวจสอบ เปนการพจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยทบทวนการด าเนนการในขนตอนท 3

เมอโยนลกเตาสองลกพรอมกนโอกาสทจะเกดขนทงหมด คอ {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} จ านวนโอกาสทเกดหนาลกเตาทมแตมทงหมด เทากบ 36 ครง จ านวนโอกาสทจะเกดหนาลกเตาทมแตมเปนจ านวนคทงสองลก เทากบ 9 ครง

โอกาสทจะขนหนาลกเตาทมแตมเปนจ านวนคทงสองลก คอ 36

9 = 4

1

แสดงใหเหนวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผล แลว แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - เดมมคนอยในหองสมดกคน

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - ในหองสมดแหงหนงมจ านวนผใหญครงหนงของเดก - ตอมามเดกหญง 3 คน และเดกชาย คน ออกไปจากหองสมด ท าใหมผใหญมากกวาเดกอย 1 คน ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการและการสรางตารางมาชวยในการแกโจทยปญหาน โดยการสรางตารางและแจกแจงรายการเพอแสดงจ านวนผใหญและเดก ตามเงอนไขทก าหนด

80

7. ปจจบนสมพรอาย 7 ป พออาย 55 ป อกกปพอจะมอายเปน 2 เทาของอายสมพร แลวแตละคนมอายเทาไร

ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน จากโจทยจ านวนผใหญเทากบ

2

1 ของจ านวนเดก และเดกหญง 3 คน เดกชาย คน

ออกจากหองสมด แสดงวาในหองสมดจะตองมเดกชายและเดกหญงอยางนอย 8 คน ฉะนน จงแสดงโดยใชตารางดงน

ผใหญ เดก เดกออก 7 คน เหลอ ผใหญมากกวาเดก เปนไปตามเงอนไข 8 1 3 5 10 3 2 6 12 5 1

เดมมเดกและผใหญในหองสมด 6 + 12 = 18 คน ตอบ 18 คน ขนตอนท 4 ตรวจสอบ

พจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยทบทวนการด าเนนการในขนตอนท 3 - ถามผใหญอยในหองสมด 4 คน มเดกเปนสองเทาคอ 8 คน ถาเดกออกจากหองสมด ไป 7 คน จะเหลอเดกในหองสมด 1 คน ไมเปนไปตามเงอนไข - ถามผใหญอยในหองสมด 5 คน มเดกเปนสองเทาคอ 10 คน ถาเดกออกจากหองสมด ไป 7 คน จะเหลอเดกในหองสมด 3 คน ไมเปนไปตามเงอนไข - ถามผใหญอยในหองสมด 6 คน มเดกเปนสองเทาคอ 12 คน ถาเดกออกจากหองสมด ไป 7 คน จะเหลอเดกในหองสมด 5 คน เปนไปตามเงอนไขทโจทยก าหนด

แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผลแลว

แนวคด ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน

ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ ประการแรก : โจทยถามอะไร

- อกกปพอจะมอายเปน 2 เทาของอายสมพรแลวแตละคนมอายเทาไร

81

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - ปจจบนสมพรอาย 7 ป พออาย 55 ป ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการและการสรางตารางมาแกโจทยปญหาน โดยการสรางตารางและแจกแจงรายการเพอแสดงจ านวนปทเพมขน อายสมพร และอายพอ ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน สรางตารางแสดงจ านวนปทเพมขน อายสมพร และอายพอ ดงน

ปทเพมขน อายสมพร อายพอ ปจจบน

10 20 30 40 41

7 17 27 37 47 48

55 65 75 85 95 96

อก 1 ป พอมอายสองเทาของสมพร สมพรอาย 8 ป พออาย 96 ป ขนตอนท 4 ตรวจสอบ

เปนการพจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยด าเนนการทบทวน การด าเนนการหาค าตอบแตละขนตอน วาด าเนนการถกตองทกขนตอนหรอไม และเปนไปตาม เงอนไขของโจทยหรอไม เชน อก 41 ป อายของพอ 96 ป และอายของสมพร 48 ป ซงอายพอเปน สองเทาของลก เปนไปตามเงอนไข แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผลแลว

ตอบ

82

8. ฟารมเลยงสตวแหงหนง เมอนบตวสตวรวมกนได 80 ตว ถานบขารวมกนได 186 ขา อยากทราบวา ฟารมแหงนเลยงเปดไวกตวและเลยงหมไวกตว

แนวคด

ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ

ประการแรก : โจทยถามอะไร - ฟารมแหงนเลยงเปดไวกตวและเลยงหมไวกตว

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - ฟารมเลยงสตวแหงหนง เมอนบตวสตวรวมกนได 80 ตว - ถานบขารวมกนได 186 ขา ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการสรางตารางมาแกโจทยปญหานท าโดยสรางตารางแสดงจ านวนหม จ านวนเปด จ านวนขาหม จ านวนขาเปด ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน สรางตารางมาแกโจทยปญหานท าโดยสรางตารางแสดงจ านวนหม จ านวนเปด จ านวนขาหม จ านวนขาเปด ดงน

หวเปด ขาเปด หวหม ขาหม รวมขา รวมหว 40 50 60 65 66 67

80 100 120 130 132 13

0 30 20 15 1 13

160 120 80 60 56 52

2 0 2 0 200 190 188 186

80 80 80 80 80 80

เลยงเปด 67 ตว เลยงหม 13 ตว

ตอบ

83

9. A เปนจ านวนนบจ านวนหนงทมคานอยกวา 1,000 ถา A ถกหารดวย 5 จะเหลอเศษ ถาถกหารดวย 7 จะเหลอเศษ 2 ถาถกหารดวย 11 จะเหลอเศษ 6 และถาถกหารดวย 13 จะเหลอเศษ 9 จงหาจ านวน A ทมคามากทสดทเปนไปไดตามเงอนไขทงหมด

ขนตอนท 4 ตรวจสอบค าตอบ พจารณาค าตอบทได ถกตอง สมเหตสมผลหรอไม 1) ตรวจสอบจ านวนหวหมและหวเปดรวมกนเทากบ 80 ตวหรอไม เชน 67 + 13 = 80 2) ตรวจสอบขาหมและขาเปดรวมกนเทากบ 186 ขาหรอไม เชน (67 × 2) + (13 × 4) = 134 + 52 = 186

แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผลแลว

แนวคด ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน

ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ ประการแรก : โจทยถามอะไร

- จงหาจ านวน A ทมคามากทสดทเปนไปไดตามเงอนไขทงหมด ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง

- A เปนจ านวนนบจ านวนหนงทมคานอยกวา 1,000 - ถา A ถกหารดวย 5 จะเหลอเศษ ถาถกหารดวย 7 จะเหลอเศษ 2

ถาถกหารดวย 11 จะเหลอเศษ 6 ถาถกหารดวย 13 จะเหลอเศษ 9 ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการสรางตารางมาแกโจทยปญหาน โดยการสรางตารางแสดงจ านวน A ทมคานอยกวา 1,000 ถาถกหารดวย 5 จะเหลอเศษ ถาถกหารดวย 7 จะเหลอเศษ 2 ถาถกหารดวย 11 จะเหลอเศษ 6 ถาถกหารดวย 13 จะเหลอเศษ 9 ตามล าดบ ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน สรางตารางมาแกโจทยปญหาน โดยการสรางตารางแสดงจ านวน A ทมคานอยกวา 1,000 ถาถกหารดวย 5 จะเหลอเศษ ถาถกหารดวย 7 จะเหลอเศษ 2 ถาถกหารดวย 11 จะเหลอเศษ 6 ถาถกหารดวย 13 จะเหลอเศษ 9 ตามล าดบ ดงน

84

A หารดวย 5 เหลอเศษ

A หารดวย 7 เหลอเศษ 2

A หารดวย 11 เหลอเศษ 6

A หารดวย 13 เหลอเศษ 9

999 996 996 997 994 989 985 984 989 982 974 971 984 975 963 958 979 968 952 945 974 961 941 932 969 954 930 919 964 947 919 959 940 954 933 949 926 944 919 939 934 929 924 919

ตอบ A มคาเทากบ 919 ขนตอนท 4 ตรวจสอบค าตอบ

พจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยน าค าตอบทไดหาร 5 เหลอเศษ 4 หารดวย 7 เหลอเศษ 2 หารดวย 11 เหลอเศษ 6 หารดวย 13 เหลอเศษ 9 เปนไปตามเงอนไขหรอไม 919 ÷ 5 = 183 เหลอเศษสวน 4 919 ÷ 7 = 131 เหลอเศษสวน 2 919 ÷ 11 = 83 เหลอเศษสวน 6 919 ÷ 13 = 70 เหลอเศษสวน 9 สรปวา ค าตอบถกตองและเปนไปตามเงอนไข แสดงใหเหนวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผลแลว

85

10. มจ านวนเตมบวกสจ านวนทเรยงตดกนและมคานอยกวา 2005 โดยจ านวนแรกซงเปน จ านวนทนอยทสดมคาเปนพหคณของ 5 จ านวนทสองมคาเปนพหคณของ 7 จ านวนทสาม มคาเปนพหคณของ 9 และจ านวนทสมคาเปนพหคณของ 11 จงหาจ านวนแรกคอจ านวน อะไร

แนวคด ใชขนตอนการแกโจทยปญหาของโพลยา (Polya) ไดดงน

ขนตอนท 1 ท าความเขาใจปญหา มขนตอน 2 ประการ คอ ประการแรก : โจทยถามอะไร

- จงหาจ านวนแรกคอจ านวนอะไร

ประการทสอง : เรารอะไรจากโจทยบาง - มจ านวนเตมบวกสจ านวนทเรยงตดกนและมคานอยกวา 2005 - จ านวนแรกซงเปนจ านวนทนอยทสดมคาเปนพหคณของ 5 - จ านวนทสองมคาเปนพหคณของ 7 - จ านวนทสามมคาเปนพหคณของ 9 - จ านวนทสมคาเปนพหคณของ 11

ขนตอนท 2 วางแผนแกปญหา เลอกใชยทธวธการแจกแจงรายการและการสรางตารางมาแกโจทยปญหาน โดยการแจกแจงรายการและการสรางตารางแสดงจ านวนนอยทสดทหารดวย 5 ลงตว จ านวน ทสองทหารดวย 7 ลงตว จ านวนทสามทหารดวย 9 ลงตว และจ านวนทสทหารดวย 11 ลงตว

ขนตอนท 3 ปฏบตตามแผน สรางตารางแสดงจ านวนนอยทสดทหารดวย 5 ลงตว จ านวนทสองทหารดวย 7 ลงตว จ านวนทสามทหารดวย 9 ลงตว และจ านวนทสทหารดวย 11 ลงตว ดงน

86

จ านวนท 5 หารลงตว

จ านวนท 7 หารลงตว

จ านวนท 9 หารลงตว

จ านวนท 11 หารลงตว

ผลการตรวจสอบ

1,999 1,988 1,977 1,966 1,955 1,944 1,933 1,922 1,911 1,900 1,899 1,878 1,867 1,856 1,845 1,834 1,823 1,812 1,801 1,790 1,779 1,768 1,757 1,746 1,735

2,000 1,989 1,978 1,967 1,956 1,945 1,934 1,923 1,912 1,901 1,890 1,879 1,868 1,857 1,846 1,835 1,824 1,813 1,802 1,791 1,780 1,769 1,758 1,747 1,736

2,001 1,990 1,979 1,968 1,957 1,946 1,935 1,924 1,913 1,902 1,891 1,880 1,869 1,858 1,847 1,836 1,825 1,814 1,803 1,792 1,781 1,770 1,759 1,748 1,37

2,002 1,991 1,980 1,969 1,958 1,947 1,936 1,925 1,914 1,903 1,892 1,881 1,870 1,858 1,848 1,837 1,826 1,815 1,804 1,793 1,782 1,771 1,760 1,749 1,738

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

ตอบ จ านวนแรก คอ 1,735

87

ขนตอนท 4 ตรวจสอบค าตอบ พจารณาค าตอบทได ถกตองสมเหตสมผลหรอไม โดยน าค าตอบทไดจ านวนแรก คอ

1,735 หารดวย 5 ลงตวหรอไม จ านวนทสอง คอ 1,736 หารดวย 7 ลงตวหรอไม จ านวนทสาม คอ 1,737 หารดวย 9 ลงตวหรอไม และจ านวนทส คอ 1,738 หารดวย 11 ลงตวหรอไม เมอตรวจสอบแลว พบวา หารลงตวทงสจ านวน และเปนไปตามเงอนไข แสดงวา ค าตอบทไดถกตอง สมเหตสมผลแลว