เลขยกก าลังelsd.ssru.ac.th/nattaporn_sr/pluginfile.php/85/course...ว...

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

1

เลขยกก าลง

1. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม

1.1 ความหมายของเลขยกก าลง

จ านวนทเหมอนกนคณกนหลายๆ ครง สามารถเขยนแทนดวยสญลกษณไดดงน

- 5 5 5 5 เขยนแทนดวย 45

- 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 เขยนแทนดวย …….……………..…………

- 0.3 0.3 0.3 เขยนแทนดวย …….……………..…………

- 6 6 6 6 6 เขยนแทนดวย …….……………..…………

- ab ab ab ab ab ab เขยนแทนดวย …….……………..…………

จากบทนยามขางตน na ………………………………………………………………..

a ……………………………………………………………….

n ……………………………………………………………….

เชน 23 อานวา “สามยกก าลงสอง” หรอ “สามก าลงสอง” หรอ “ก าลงสองของสาม”

23 ม 3 ................................ และ 2 ...................................

23 หมายถง ...................................................................................

บทนยาม ถา เปนจ านวนจรงใดๆ และ เปนจ านวนเตมบวกแลว

ตว

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

2

ตวอยางท 1 ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาง

ขอท เลขยกก าลง

ฐาน เลขชก าลง

ความหมาย คาของ

เลขยกก าลง อานวา

1 62 2 6 2 2 2 2 2 2 64 สองยกก าลงหก

2 3

7

3 3

5 5

4 1

3 2

5 . 24

6 7

3a

7 x y 2

ตวอยางท 2 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปของเลขยกก าลง

1) 8 16

วธท า

3) 24 18

วธท า

2) 75 15

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

3

1.2 สมบตของเลขยกก าลง

ถา a และ b เปนจ านวนจรง m และ n เปนจ านวนเตม จะได

1. การคณเลขยกก าลง

ถาเลขยกก าลงฐานเหมอนกนคณกน ใหน าเลขชก าลงมาบวกกน โดยใชฐานเปนตวเดม

นนคอ ............................................................................................................................. .................

2. การหารเลขยกก าลง

ถาเลขยกก าลงฐานเหมอนกนหารกน ใหน าเลขชก าลงมาของตวตง ลบออกดวยเลขชก าลงของ

ตวหาร โดยใชฐานเปนตวเดม นนคอ ............................................................................................

3. เลขยกก าลงซอน

ใหน าเลขชก าลงมาคณกนไดเลย นนคอ .........................................................................................

4. เลขยกก าลงของผลคณ

ใหกระจายเปนผลคณของเลขยกก าลงแตละตวไดเลย

นนคอ ..................................................................... .........................................................................

5. เลขยกก าลงของผลหาร

ใหกระจายเปนผลหารของเลขยกก าลงแตละตวไดเลย

นนคอ ………………………………………………………………………………………………………………………………..

6. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนลบ

ใหเขยนเปนสวนกลบของเลขยกก าลง ทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวกแทนได

นนคอ ..................................................................................................................... .........................

7. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนศนย ( 0 )

เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปน 0 มคาเทากบ 1 เสมอ ยกเวนเลขยกก าลงทมฐานเปน 0

นนคอ ............................................................................................................................. .................

*** หมายเหต

ไมนยามในทางคณตศาสตร

รปจาก 123RF.com

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

4

รปจาก pngtree.com

ตวอยางท 3 จงหาคาของจ านวนตอไปน และบอกสมบตทน ามาใช

1) 2 3 53 3 3 3 3 3 3 3 243 (บทนยาม)

หรอ 2 3 2 3 53 3 3 3 243 (สมบตการคณเลขยกก าลง)

2) 4

32 …………………………………………………………………………………………………………………………

3) 25 ……………………………………………………………………………………………………………………………

4) 4 7y y ………………………………………………………………………………………………………………………

5) 2

3

4

…………………………………………………………………………………………………………………………

สรปสมบตของเลขยกก าลง

ถา และ เปนจ านวนจรง และ เปนจ านวน

เตม จะได

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8. ไมนยาม

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

5

ตวอยางท 4 ก าหนดใหตวแปรทกตวเปนจ านวนจรง ทไมเปน 0 จงหาค าตอบของจ านวนตอไปนใหอยในรป

อยางงาย และมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

1)

32

5 4

ab

a b

วธท า

2)

22

3 2 2 2

2 5 2 3

6 2

3

a b a b

a b a b

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

6

ตวอยางท 5 ก าหนดให n เปนจ านวนเตม จงหาค าตอบของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1)

2

3

2 2 2

2 2

n n

n

วธท า

2)

1 2

21

2 22

22

qp p

q

p qq

วธท า

3)

22

13

9 27

81 27 3

n

n n

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

7

ตวอยางท 6 จงท าใหจ านวนตอไปนเปนผลส าเรจ

1) 15 7

14 4

10 9

15 8

วธท า

3) 2 2

4

3 9

3

วธท า

2) 2

2 4

3

3 2

4

วธท า

4) 0 0

3

3 2

2

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

8

Worksheet1

1. จงท าใหเปนผลส าเรจ และบอกสมบตทน ามาใช

1) 6

5

2

2 .......................................................................................................................... ....................

2) 00 ………………………………………………………………………………………………………………………..………

3) 4

32y …………………………………………………………………………………………………………………..…….

4) 0

9 …………………………………………………………………………………………………………………..………

5) 2

x

x ............................................................................................................................. ...............

2. ก าหนดใหตวแปรทกตวเปนจ านวนจรง ทไมเปน 0 จงหาค าตอบของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

และมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

1) 43 2a b a

b c

วธท า

3) 3

5 3 2

4 7

a b c

a b

วธท า

2) 3

5 4 3

4 7

x y z

x y

วธท า

4) 11

1a a a

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

9

5) 3 3

1 1

a b

a b

วธท า

6) 2 3

2 3 4 2

3 2 0 5

a b a b

a b a b

วธท า

7) 3 2

2 1 2 2

2 4 5 3

a b a b

a b a b

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

10

3. จงท าใหจ านวนตอไปนเปนผลส าเรจ

1) 3 5

8

7 7

7

วธท า

2) 3 6

8 0

2 5

5 2

วธท า

3. ก าหนดให n เปนจ านวนเตม จงหาค าตอบของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 2

1

3 2 4 2

2 2

n n

n n

วธท า

3) 2

1

5 3 9 3

3 3

n n

n n

วธท า

2) n n 2

n n 1

5 3 9 3

3 3

วธท า

4) a a+1

a a+1

15×7 9 7

9×7 +7

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

11

5)

n+1 n+1

n+1n n 1 n 1

2 4÷

(2 ) 2

วธท า

6) 1 1

1

10 2 24 2

2 3 2

n n

n n

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

12

2. รากท n ของจ านวนจรง

2.1 ทบทวน รากทสองของจ านวนจรง

ตวอยางท 7 จงหารากทสองของจ านวนตอไปน พรอมบอกเหตผล

วธท า รากทสองของ 4 คอ 2 และ 2 เพราะ 22 4 และ 2

2 4 ... จากบทนยาม

รากทสองของ 49 คอ ............................... เพราะ ............................................................................

รากทสองของ 36

25 คอ ............................... เพราะ ............................................................................

รากทสองของ 12 คอ ............................... เพราะ .................................................. ...........................

ตวอยางท 8 จงหารากทสามของจ านวนตอไปน พรอมบอกเหตผล

วธท า รากทสามของ 8 คอ ............................... เพราะ .........................................................................

รากทสามของ 64 คอ ............................... เพราะ .........................................................................

รากทสามของ 125

27 คอ ............................... เพราะ .........................................................................

2.2 บทนยามของรากท n ของจ านวนจรง

ตวอยางท 9 จากบทนยามจะเหนวา

1) จาก 32 8 ดงนน 2 เปนรากท 3 ของ 8

2) จาก 3

1 1

3 27

ดงนน …………..…..…… เปนรากท …………… ของ …………

3) จาก 5

3 243 ดงนน ……….….…..…… เปนรากท …………… ของ …………

4) จาก 45 625 และ 4

5 625 ดงนน ….…….…..……… เปนรากท …………… ของ …………

บทนยาม ให และ เปนจ านวนจรง เปนรากทสองของ กตอเมอ

บทนยาม ให เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา และ เปนจ านวนจรง เปนรากท ของ กตอเมอ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

13

เมอแยกพจารณา n เปนจ านวนเตมค หรอ เปนจ านวนเตมค ไดดงตารางขางลางน

n เปนจ านวนเตมค n เปนจ านวนเตมค

1. รากท n ของ a จะหาคาไดเมอ 0a เทานน 2. ถา 0a แลวรากท n ของ 0a 3. ถา 0a (เปนบวก) รากท n ของ a จะมคา สองคาเสมอเปนบวกและลบ 4. ถา 0a (เปนลบ) รากท n ของ a จะหาคาไมไดในระบบจ านวนจรง

1. รากท n ของ a หาคาไดเสมอส าหรบจ านวนจรงใดใด 2. ถา 0a แลวรากท n ของ 0a 3. ถา 0a (เปนบวก) รากท n ของ a จะม 1 คา และเปนจ านวนจรงบวก 4. ถา 0a (เปนลบ) รากท n ของ a จะม 1 คา และเปนจ านวนจรงลบ

ตวอยางท 10 จงเตมค าตอบลงในชองวาง

1) รากท 4 ของ 16 คอ ....................................... เนองจาก ..........................................................................

2) รากท 3 ของ 343 คอ .................................. เนองจาก ................................................................ ..........

3) รากท 5 ของ 243 คอ .................................. เนองจาก ..........................................................................

2.3 คาหลกของรากท n

เชน ………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ขอตกลงเกยวกบคาหลกของรากท n 1. เครองหมาย n เรยกวา “เครองหมายกรณฑ” หรอ “ราก” หรอ “Root”

และเรยก n วา อนดบของกรณฑ

2. n a อานวา “กรณฑท n ของ a ” หรอ “รากท n ของ a ”

3. รากทสองของ a จะเขยนแทนดวย a

บทนยาม ให เปนจ านวนจรงทมรากท จะกลาววาจ านวนจรง เปนคาหลกของรากท ของ

กตอเมอ 1. เปนรากท ของ

2.

เขยนแทนคาหลกของรากท ของ ดวย

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

14

ตวอยางท 11 จ านวนในแตละขอตอไปน บอกอะไรกบนกเรยนบาง

1) 4 2 แสดงวา คาหลกของรากทสอง ของ 4 คอ 2

แต รากทสองของ 4 คอ 2 และ 2

2) 6 729 3 แสดงวา คาหลกของรากท ……………... ของ .................. คอ .....................

ขอสงเกต เกยวกบคาหลกของรากท n ของจ านวนจรง a ( n a ) มดงน

1) ถา 0a แลว 0n a

2) ถา 0a แลว n a เปนจ านวนจรงบวก

3) ถา 0a และ n เปนจ านวนค แลว n a เปนจ านวนจรงลบ

ถา 0a และ n เปนจ านวนค แลว รากท n ของ a หาคาไมได ( n a หาคาไมได)

ตวอยางท 12 จงหาคาหลกตอไปน

1) คาหลกของรากท 2 ของ 4

81 คอ ………………………………………………………………….…………..

2) คาหลกของรากท 2 ของ 625

169 คอ ……………….……………………………………………………………..

3) คาหลกของรากท 4 ของ 81 คอ ………………………………………………………………….…………..

4) คาหลกของรากท 4 ของ 16 คอ ………………………………………………………………….…………..

5) คาหลกของรากท 5 ของ -32 คอ ………………………………………………………………….…………..

6) คาหลกของรากท 6 ของ 729 คอ ………………………………………………………………….…………..

7) คาหลกของรากท 7 ของ -128 คอ ………………………………………………………………….…………..

8) คาหลกของรากท 7 ของ -1 คอ ………………………………………………………………….…………..

9) คาหลกของรากท 8 ของ 1 คอ ………………………………………………………………….…………..

10) คาหลกของรากท 8 ของ -256 คอ ………………………………………………………………….…………..

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

15

รปจาก pngtree.com

ตารางแสดงสมบตของรากท n และตวอยาง

ให a และ b เปนจ านวนจรง โดยท n a และ n b หาคาได แลว

สมบตของรากท n ตวอยาง

1) n

n a a เมอ n a เปนจ านวนจรง 2

7 …………………………………………………….....

2) n n nab a b 50 ………………………………………………………….

3) ; 0n

nn

a ab

b b 3

5

27 ……………...................................................

4) n na a เมอ 0a

n na a เมอ 0a และ n เปนจ านวนเตมคบวก

n na a เมอ 0a และ n เปนจ านวนเตมคบวก

23 …………………………………………………….…….

5

5 9 ………………………………………………….…

8

8 39 ………..….…..…… ……….….……..……

*** ทาใหคด เทากนหรอไม เพราะเหตใด

สมบตของรากท ( เมอ เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา )

ให และ เปนจ านวนจรง โดยท และ หาคาได แลว

1) เมอ เปนจ านวนจรง

2)

3)

4)

เมอ

เมอ และ เปนจ านวนเตมคบวก

เมอ และ เปนจ านวนเตมคบวก

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

16

ตวอยางท 13 จงท าจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 8 = ……………………………………………………………………………………………………………..…………………………

2) 162 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………

3) 3 37 49 = ……………………..……………………………………………………………………………………………………………

4) 3 16 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) 3 81 = ………………………………………………………………………………..……………………………………………………

6) 3 54 = ………………………………………………………………………….…………………………………………………………

7) 4 64 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………

8) 38

27 = …………………………………………………………………………..…………………………………………………………

9) 4

3 5 = ……………………………………………………………………………..………………………………………………………

10) 8 6

2; , 0, 0

a ba b c

c

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

17

แบบฝกหด 1

1. จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

1) รากทสองของ 144 เทากบ …………………………………………………….………

คาหลกของรากทสองของ 144 เทากบ ......................................................................

2) รากทสามของ 729 เทากบ …………………………………………………….………

คาหลกของรากทสองของ 729 เทากบ ......................................................................

3) รากทสามของ 512 เทากบ …………………………………………………….………

คาหลกของรากทสองของ 512 เทากบ ......................................................................

4) รากทหกของ 64 เทากบ …………………………………………………….………

คาหลกของรากทสองของ 64 เทากบ ......................................................................

2. จงท าจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 4 81 2) 6 729

3) 169 25 4) 3 39 18

5) 3 2x y 6) 1 1x x

7) 32

2 8)

3

3

81

3

3) จงหาผลส าเรจในแตละขอตอไปน โดยใชสมบต n n

a

a a

a

1) 24

2) 33 ( 8)

3) 4

4 5

4) 66 ( 3)

5) 3 63 8 ( 12) 6

6) 5 5 10 72 6 9 4

เมอ

เมอ และ เปนจ านวนเตมคบวก

เมอ และ เปนจ านวนเตมคบวก

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

18

3. การหาผลบวก ผลตาง ผลคณ และผลหารของจ านวนทอยในรปกรณฑ

3.1 การหาผลบวก ผลตางของจ านวนทอยในรปกรณฑ

หลกการ

1. กรณฑทจะน ามา บวก ลบ กนได กตอเมอ กรณฑมอนดบเดยวกนและจ านวนทอยใตกรณฑเปนจ านวนเดยวกน 2. การทท าใหจ านวนทอยใตกรณฑเทากน โดยท าใหจ านวนใตกรณฑเปนจ านวนเฉพาะหรอจ านวนทต าทสด 3. การบวก ลบ กรณฑทเหมอนกน ใหน าสมประสทธหนากรณฑมา บวก ลบ กน

เชน .................................................................................................................................

ตวอยางท 14 จงหาผลบวกหรอผลตางของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 2 32 8 6 2

วธท า

3) 49 64

วธท า

2) 2 1 4 1 1 1

3 5 2 5 3 5

วธท า

4) 3 3 243 2 27

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

19

worksheet2

1) 3 3 316 54 250

วธท า

3) 6 39 7y y

วธท า

5) 3 3 354 128 432

วธท า

2) 3 327 8x x

วธท า

4) 42 18 200 2 64

วธท า

6) 3 3 35 7 40 3 625

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

20

แบบฝกหด 2

1. จงหาผลบวก หรอผลตางของจ านวนในแตละขอในรปอยางงาย

1) 3 2 5 2

2) 7 3 3

3) 11 5 6 5 7 5

4) 5 5 5 3 5

5) 5 5 2 3 5 4 2

6) 5 2 4 3 2 2 6 3

7) 3 3 34 2 5 2 6 2

8) 7 2 9a a a

9) 4 13 8 5 13 7

10) 2 3 3 2 7 3 5 2

2. จงท าใหอยในรปส าเรจ

1) 12 27 3

2) 3 20 2 18 45 8

3) 18 2 18 45 8

4) 32 48 80

5) 4318 2 125 3 4

6) 13

3

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

21

3.2 การหาผลคณ ผลหารของจ านวนทอยในรปกรณฑ

หลกการ

1. กรณฑจะคณ หรอหาร กนได กตอเมอ อนดบของกรณฑตองเทากน 2. เมออนดบของกรณฑเทากนให 2.1 น าเอาสมประสทธหนากรณฑคณ หรอหาร กน 2.2 น าเอาจ านวนทอยในกรณฑคณ หรอหาร กนภายใตกรณฑ โดยทอนดบของกรณฑยงคงเหมอนเดม

ตวอยางท 15 จงหาผลคณหรอผลหารของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 3 7 2 28

วธท า

3) 5 108

3

วธท า

5) 4 5 3 2 36 632 2x y z x yz วธท า

2) 3 3

3

3 2 2 12

3

วธท า 4) 5 525 125 วธท า

6) 5 727

3

a b

ab

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

22

ตวอยาง ท 16 จงท าใหเปนผลส าเรจ

1) 3 32 4 = …………………………………………….... 2) 3 37 49 = ……………………………………………………

3) 4 42 8 6 = ………………………………………………. 4) 33 54 4 = ……………………………………………………

5) 3 39 18 = ……………………………………..…. 6) 64

2 = ………………………………………………………..….

7) 4

4

243

3 = …………………………………....……………. 8)

5

5

64

2 = ……………………………….……..…………….……

9) 6

6

256

2 = ………………………..………………………… 10)

3

3

80

2

= ………………………………………………..……

ตวอยางท 17 จงหาผลส าเรจตอไปน

1) 3

3

32

4 2)

5 5

5

27 45

5

วธท า วธท า

3) 4 4

4 4

60 28

189 45 4)

4 4

4 4

12 54

20 250

วธท า วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

23

3.2.1. สงยค (conjugate)

สงยคหรอคอนจเกต(conjugate)

การคณหรอการหารรากมกจะใช conjugate เพอใหรากของตวสวนหายไป

ตวอยางท 18 คอนจเกตของ ( 5 2) คอ ( 5 2)

และ ( 5 2)( 5 2) = 2 2( 5) ( 2)

= 5 2 = 3

ตวอยางท 19 คอนจเกตของ (3 2) คอ (3 2)

และ (3 2)(3 2) =……………………………………………………………….

=……………………………………………………………….

ตวอยางท 20 จงหาผลคณของ ( 7 5)( 7 5)

วธท า

ตวอยางท 21 จงหาผลคณของ ( 3 5)( 3 5)

วธท า

บทนยาม ให และ หาคาได

1.) คอนจเกตของ คอ

2.)

มาจาก ผลตางก าลงสอง

ผลตางก าลงสอง

ผลตางก าลงสอง

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

24

3.2.2 การเขยนจ านวนใหตวสวนอยในรปทไมตดกรณฑ

กรณท 1 สวนทมกรณฑเพยงพจนเดยว

เชน a

b นกเรยนสามารถคณ b เขาทงเศษและสวนของ a

b ซงจะไดดงน

2

a a b a b a b a b

bb b b b b b

ตวอยางท 22 จงหาผลหารของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย และท าใหตวสวนไมตดกรณฑ

1) 9

3

วธท า

2) 4 108

3

วธท า

กรณท 2 สวนทมกรณฑ 2 พจนบวกกน

เชน c

a b หรอ c

a b

สามารถแกโดยใชหลกการ ผลตางก าลงสอง 2 2a b a b a b ซงเรยก a b กบ a b วาเปนคสงยค (conjugate) :ซงกนและกน

ตวอยางท 23 จงท าใหจ านวนตอไปนอยในรปอยางงาย และท าใหตวสวนไมตดกรณฑ

1) 2

3 1

วธท า

2) 2 7 3

7 3

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

25

3) 3 2 3 2 2

3 2 3 2

วธท า

5) 10 5 3

3 10 5

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

26

แบบฝกหด 3

1. จงท าใหเปนผลส าเรจ

1) 3 32 4 2) 3 37 49

3) 3 39 18 4) 64

2

5) 6

6

256

2 6)

3

3

80

2

7) 4 4

4 4

60 28

189 45 8)

4 4

4 4

12 54

20 250

9) 12 84 81a b 10) 6 12 1864a b

11) 3 210a b× 2ab 12) 3 2 4 3 4 33ab c× 2a bc × 6a b c

2. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปตวสวนไมตดกรณฑ

1) 2

5 3

2) 2

3 1

3) 1 3

23 4) 7 6 3 5

4 6 5

5) 2 3 10

6 5

6) 2 3

2 3

7) 6 3

3 2 2 3 8) 2 1 2 1

2 1 2 1

9) 6 3

2 6

10)

3

2

3a 10x 1 7a

5 21a 6 3x

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

27

4. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

จากนยามจะเหนวา 1

na เปนคาหลกของรากท n ของ a และจะไดวา 1

n

na a

ตวอยางท 24 …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………

เชน …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………

หมายเหต จากบทนยามของ m

na ถา 0m แลว a ตองไมเปน 0 เชน

ให 0, 1a m และ 2n

จะได 1

1 11

2 21

0 0 00

m

na

ซง 1

0 ไมนยามในทางคณตศาสตร

บทนยาม เมอ เปนจ านวนจรง เปนจ านวนเตมทมากกวา และ มรากท

บทนยาม ให เปนจ านวนจรง และ เปนจ านวนเตมท และ เปนเศษสวนอยางต า

จะไดวา

และ เปนจ านวนค

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

28

ตวอยางท 25 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปเลขยกก าลง

1) 9 ................................................................ 5) 3 =.....................................................................

2) 5 23 .............................................................. 6) 24 5x y =..............................................................

3) 45

1

16 ........................................................... 7) 6 57x =.................................................................

4) 6

5 2n ......................................................... 8) 6 57x =.................................................................

ตวอยางท 26 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1) 1

416 ……………………………………………………. 4) 3

2xy ………………………………………………….……..

2) 5

1

38

......................................................... 5) 3

7x y ...............................................................

3) 3

45 ................................................................ 6) 3

2 5(4x y) ...............................................................

4) 7

57 ................................................................ 8) 2

3(3xy) .................................................................

ตวอยางท 27 จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

1) 2

1

3125

วธท า

3) 3 1

2 48 4

วธท า

2) 1 1

3 21 25

8 4

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

29

4)

1 1

82 4

1 1

63 6

(2a b )

(4a b )

วธท า

5)

31 1 1

23 6 3

1 21

6 32

8 a b c

2a b c

วธท า

แบบฝกหด 4

1. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปเลขยกก าลง

1) 3 23 2) 64n 3) 41

256 4) 3 3 1

n

x

2. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1) 1

39 2) 5

27 3) 4

1

57

4) 7

3 5 29x y

3. จงท าเปนรปอยางงาย

1) 3

4625

81

2) 1 2

2 31 343

144 64

3)

3 5

42 4

1 2

93 9

(9a b )

(3a b )

4)

3 51 3

5 64 4

1 2 2 1

3 3 5 4

(8a b c )

(4a b c )

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

30

4.1 สมบตของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

ให a และ b เปนจ านวนจรง m และ n เปนเลขชก าลงทเปนจ านวนตรรกยะ จะไดวา

1. m n m na a a

2. mm ma b a b

3. n

m mna a

4. m

m n

n

aa

a

เมอ 0a

5. n n

n

a a

b b

เมอ 0b

ตวอยางท 28 ใหนกเรยนยกตวอยางเลขยกก าลงใหตรงกบสมบตของเลขยกก าลงในแตละขอ

สมบต ตวอยาง

1. m n m na a a

2. mm ma b a b

3. n

m mna a

4. m

m n

n

aa

a

เมอ 0a

5. n n

n

a a

b b

เมอ 0b

ตวอยางท 29 จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

1) 1 1

2 218 50

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

31

2) 1 1

2 33 3

วธท า

3) 2 3

3 28 9

วธท า

ตวอยางท 30 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย (ก าหนดใหตวแปรทกตวเปนจ านวนจรงบวก)

1) 1 1

3 25 2a a b

วธท า

2)

31 1

2 2

1

32

a b

a

วธท า

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

32

3)

43 5

4 2

62 5

3 6

a b

a b

วธท า

ตวอยางท 31 จงหาคาของ

1) 2

1

3125

............................................................................. .................................................................

2) 6

1 1

3 610 10

............................................................................................................................. .............

3) 2 1 2

03 2 327 25 8 7

..................................................................................................................

..................................................................................................... ................

4) 11 1

0 33 23 0.125 27 9

…………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………..

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

33

Worksheet 3 เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

1. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1) 1

38 = ………………………………………….…………………………….………….…………

2) 1

464 = ……………………………………………….………………….……….…………………

3) 3

4( 5) = …………………………….……………………………………………….….……………

4) 1

5( 243) = …………………………….……………………………………...………………………..

5) 2

3(27) =…………………………….………………………………..…………………...…………..

6) 3

416 =…………………………….……………………..………………………….…..…….……

7) 3

2(144) =…………………………….…………………………………………..…………….……… 2. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปเลขยกก าลง

1) 3 26 = …………………………….…….…………………………..…………………………….

2) 41

256 = …………………………….…………………………………..………..…..…………….

3) 34 64 = ……………………………….……………………………..………..……….…..………

4) 3 512 = …………………………….…………………………..……………...………….……….

5) 3 125 = …………………………….……………………………………………………….………

6) 51

32 = …………………………….…………………………………………..…….….…………

3. จงหาคาจ านวนตอไปน

1) 3

4(81) =…………………………….………..……………………………………………………..

2) 2

5(1024) = …………………………….……………………………………………………………….

3) 1

4 6( 8) = …………………………….……………………………………………………………….

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

34

4. จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

1) 2

327

64

2) 3

4625

81

3) 2

5243

32

4) 3

4256

625

5) 1 2

2 31 343

144 64

6)

3 51 3

5 64 4

1 2 2 1

3 3 5 4

(8a b c )

(4a b c )

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

35

6. การแกสมการทอยในรปเลขยกก าลง

การแกสมการทอยในรปเลขยกก าลง สามารถท าไดโดยการปรบฐานของเลขยกก าลงใหเทากนหรอ

การปรบเลขชก าลงของเลขยกก าลงใหเทากน โดยใชสมบตตางๆ ของเลขยกก าลงมาชวยในการปรบใหเทากน

ดงนยามตอไปน

สมบตเลขยกก าลงเพมเตม

1. n m

m mn na a a

2. 1 n

na

a

และ 1n

nb

b

3. n n

a b

b n

ตวอยางท 32 จงหาคา x ทท าใหสมการตอไปนเปนจรง

1) x2 4 2) x 12

8

3) x2 1 4) x2 4

5) x 13

81 6) x5 125

7) x7 49 8) x2 5 x

ถา โดยท และ

แลว

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

36

ตวอยางท 33 จงหาคา x ทท าใหสมการตอไปนเปนจรง

1) 210 0.0001x

วธท า

2) 16 1024x

วธท า

3) 1 3 8

4 3

9 2

x

วธท า

4) 22x x 1

327

4) 81 729x