1

X

Y

0 X

Y

0

บทที ่บทที ่บทที ่บทที ่4444 พาราโบลาพาราโบลาพาราโบลาพาราโบลา

1. 1. 1. 1. สมการของพาราโบลาสมการของพาราโบลาสมการของพาราโบลาสมการของพาราโบลา ในชีวิตประจําวัน นักเรียนจะเห็นเส�นโค�งท่ีเรียกว�า พาราโบลา ได�จากการโยนลูกบอลข้ึนไปในอากาศ

โดยเส�นทางการเคลื่อนท่ีของลูกบอลท่ีมีลักษณะเป+นเส�นโค�ง สะพานแขวนท่ีมีสายเคเบิลโยงอยู�ด�านบนระหว�าง

เสาสะพานก็มีลักษณะเป+นเส�นโค�งหงายข้ึน และเส�นทางการเคลื่อนท่ีของสายน้ําของน้ําพุท่ีเป/ดในช�วงเวลา

ต�างๆ ก็มีลักษณะเป+นเส�นโค�งคว่ํา

สมการท่ีอยู ในรูป y = ax� + bx + c เม่ือ x และ y เป�นตัวแปร a, b, c เป�นค าคงตัว และ a ≠ 0

เรียกว า สมการของพาราโบลา

https://goo.gl/gVukPh

https://goo.gl/r7Cd3x

พาราโบลาหงาย พาราโบลาควํ่า

2

แบบฝ�กหัด 4.1

1. จงหาค�า �, และ � จากสมการต�อไปนี้ เม่ือเปรียบเทียบกับสมการของพาราโบลาท่ีอยู�ในรูปท่ัวไป

� = ��� + � + � เม่ือ �, และ � เป%นค�าคงตัว

สมการของพาราโบลา a b c 1) y = x� + x � 6 2) y = �2x� 3) y = 9 + x� 4) 2y = 4x � x� 5) y = �x + 3��

6) y = � �x + ���

�

2. สมการในแต�ละข*อต�อไปนี้ เป%นสมการของพาราโบลาหรือไม�

สมการ สมการของพาราโบลา เป%น ไม�เป%น

1) y = x�

2) y = 3x � 5

3) y = x� + 2x � 1

4) y = �x + 1��

5) y = �6 � 2x � x�

6) y = 6

https://goo.gl/geqeMm https://goo.gl/WXLVYY

3

2. 2. 2. 2. พาราโบลาทีก่าํหนดดวยสมการ พาราโบลาทีก่าํหนดดวยสมการ พาราโบลาทีก่าํหนดดวยสมการ พาราโบลาทีก่าํหนดดวยสมการ y = ax� เมือ่ เมือ่ เมือ่ เมือ่ a ≠ 0 จากการสมการของพาราโบลา y = ax� + bx + c เม่ือกําหนดให� a ≠ 0, b = 0 และ c = 0

จะได� y = ax� ซ่ึงแยกพิจารณากราฟได� 2 ลักษณะ คือ กรณี a > 0 และ กรณี a < 0 ดังนี้

กรณี � > !

ตัวอย�างท่ี 1 จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x�

วิธีทํา เม่ือกําหนดค�า x และหาค�า y จากสมการ y = 3x� จะได�ดังในตาราง

x -2 -1 0 1 2

y = 3x�

นําคู�อันดับจากตารางมาเขียนกราฟได�ดังนี้

จงตอบคําถามต�อไปนี้

1. กราฟของสมการ y = x� มีลักษณะเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

..............................................................................................................................................................................

2. จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟ คือ.................................................................................................................

3. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..............................................................................................................................

4

4. ค�าตํ่าสุดหรือค�าสูงสุดของ y คือ.......................................................................................................................

กรณี � < !

ตัวอย�างท่ี 2 จงเขียนกราฟของสมการ y = �3x�

วิธีทํา เม่ือกําหนดค�า x และหาค�า y จากสมการ y = �3x� จะได�ดังในตาราง

x -2 -1 0 1 2

y = 3x�

นําคู�อันดับจากตารางมาเขียนกราฟได�ดังนี้

จงตอบคําถามต�อไปนี้

1. กราฟของสมการ y = x� มีลักษณะเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

..............................................................................................................................................................................

2. จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟ คือ.................................................................................................................

3. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..............................................................................................................................

4. ค�าตํ่าสุดหรือค�าสูงสุดของ y คือ......................................................................................................................

5

สรุป

กราฟของสมการ y = ax� เมือ่ a ≠ 0

https://goo.gl/AVrKDo

กรณี ลักษณะกราฟ จุดสูงสุด จุดต่ําสุด ค�าของ y

แกนสมมาตร สูงสุด ต่ําสุด

� > !

� < !

|a| ย่ิงมีคามาข้ึน ความกวางของกราฟ y = ax2 จะนอยลง

6

แบบฝ6กหัด 4.2

1. จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x� และ y = �# x� โดยใช�แกนคู�เดียวกัน แล�วตอบคําถามต�อไปนี้

1) กราฟท้ังสองมีเส�นตรงใดเป+นแกนสมมาตร

2) จุดตํ่าสุดของกราฟท้ังสองเป+นจุดใด

3) ค�าตํ่าสุดของ y ในสมการท้ังสองเป+นเท�าใด

วิธีทํา

ตอบ 1) กราฟท้ังสองมีเส�นตรง.......................................หรือแกน.................................เป+นแกนสมมาตร

2) จุดตํ่าสุดของกราฟท้ังสองคือ จุด.............................................................................................

3) ค�าตํ่าสุดของ y ในสมการท้ังสองเป+น.......................................................................................

x -2 -1 0 1 2

y = 3x�

y = 13 x�

7

2. จงเขียนกราฟของสมการ y = �4x� และ y = � �$ x� โดยใช�แกนคู�เดียวกัน แล�วตอบคําถามต�อไปนี้

1) กราฟท้ังสองมีเส�นตรงใดเป+นแกนสมมาตร

2) จุดตํ่าสุดของกราฟท้ังสองเป+นจุดใด

3) ค�าตํ่าสุดของ y ในสมการท้ังสองเป+นเท�าใด

ตอบ 1) กราฟท้ังสองมีเส�นตรง.......................................หรือแกน.................................เป+นแกนสมมาตร

2) จุดสูงสุดของกราฟท้ังสองคือ จุด.............................................................................................

3) ค�าสูงสุดของ y ในสมการท้ังสองเป+น.......................................................................................

x -2 -1 0 1 2

y = �4x�

y = � 14 x�

8

3333. . . . พาราพาราพาราพาราโบลาทีก่าํหนดดวยสมการ โบลาทีก่าํหนดดวยสมการ โบลาทีก่าํหนดดวยสมการ โบลาทีก่าํหนดดวยสมการ � = ��� � %�� + & เมือ่ เมือ่ เมือ่ เมือ่ � ≠ ! เราสามารถบอกพิกัดของจุดยอด แกนสมมาตร และ ค าตํ่าสุดหรือค าสูงสุดของสมการพาราโบลาได(

เนื่องจากสมการของพาราโบลาท่ีกําหนดด(วยสมการ y = a(x – h)2 + k เม่ือ a ≠ 0 เป�นสมการของพาราโบลา

ท่ีมี จุดยอดอยู ท่ีจุด (h, k)

แกนสมมาตรคือเส(นตรง x = h

ค าสูงสุดหรือค าตํ่าสุดของ y คือ k

ในกรณีท่ี a > 0 กราฟของพาราโบลาจะเป�นกราฟพาราโบลาหงาย

กรณีท่ี a < 0 กราฟของพาราโบลาจะเป�นกราฟพาราโบลาคว่ํา

ตัวอย+างท่ี 1 จงหาจุดยอด แกนสมมาตร และ ค าตํ่าสุดหรือค าสูงสุดของพาราโบลาท่ีมีสมการ y = (x – 2)2+7

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอย+างท่ี 2 จงหาจุดยอด แกนสมมาตร และ ค าตํ่าสุดหรือค าสูงสุดของพาราโบลาท่ีมีสมการ y = –3(x + 4)2 – 5 พร(อมท้ังวาดกราฟของสมการดังกล าว

วิธีทํา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… https://goo.gl/q1UyaT

9

พิจารณา

x y

นําข(อมูลจากตารางมาวาดกราฟได(ดังนี้

10

แบบฝ�กหัด 4.3

1. จงเขียนกราฟของสมการต�อไปนี้

1) y = �x + 1�� วิธีทํา พิจารณากราฟของสมการ y = �x + 1�� จะได�

1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

2. จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด...............................................................................................

3. แกนสมมาตร คือ .................................................................................................................

4. หาจุดต�างๆ ท่ีอยู�บนข�างเดียวกันของแกนสมมาตร ได�ดังตาราง

x

y = �x + 1��

เขียนกราฟของ y = �x + 1�� ได�ดังนี้

11

2) y = �x + 3�� � 2

วิธีทํา พิจารณากราฟของสมการ y = �x + 3�� � 2 จะได�

1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

2. จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด...............................................................................................

3. แกนสมมาตร คือ .................................................................................................................

4. หาจุดต�างๆ ท่ีอยู�บนข�างเดียวกันของแกนสมมาตร

x

y = �x + 3�� � 2

เขียนกราฟของสมการ y = �x + 3�� � 2 ได�ดังนี้

12

3) y = ��x � 1�� + 2

วิธีทํา พิจารณากราฟของสมการ y = ��x � 1�� + 2 จะได�

1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

2. จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด...............................................................................................

3. แกนสมมาตร คือ .................................................................................................................

4. หาจุดต�างๆ ท่ีอยู�บนข�างเดียวกันของแกนสมมาตร

x

y = ��x � 1�� + 2

เขียนกราฟของสมการ y = ��x � 1�� + 2 ได�ดังนี้

13

2. จงพิจารณาว�าพาราโบลา �(, ��, �) และ �* เป%นกราฟของสมการใดต�อไปนี้

1) y = ��x � 6�� � 1 2) y = �x + 4�� � 1 3) y = ��x � 4�� 4) y = �x + 2��

ตอบ c� เป+นกราฟของสมการ .................................................................................................

c� เป+นกราฟของสมการ .................................................................................................

c# เป+นกราฟของสมการ .................................................................................................

c$ เป+นกราฟของสมการ .................................................................................................

https://goo.gl/UAP7aB

14

3. นําสมการท่ีกําหนดให* เขียนใต*ภาพให*ถูกต*อง

15

4444. . . . พาราโบลาที่พาราโบลาที่พาราโบลาที่พาราโบลาที่กาํหนดดวยสมการ กาํหนดดวยสมการ กาํหนดดวยสมการ กาํหนดดวยสมการ � = ��� + � + � เมือ่ เมือ่ เมือ่ เมือ่ � ≠ ! ในการเขียนกราฟหรือหาพิกัดของจุดยอดของสมการของพาราโบลาท่ี กําหนดด(วยสมการ

y = ax2 + bx + c เม่ือ a , b และ c เป�นค าคงตัว เม่ือ a ≠ 0 นิยมเขียนสมการ y = ax2 + bx + c ให(อยู ใน

รูป y = a(x - h)2 + k โดยการจัดรูปโดยใช(วิธีทําเป�นกําลังสองสมบูรณB

ตัวอย างการจัดรูปสมการ y = ax2 + bx + c ให(อยู ในรูป y = a(x - h)2 + k โดยการจัดรูปโดยใช(วิธีทําเป�นกําลังสองสมบูรณB ดังนี้

ตัวอย+างท่ี 1 จงหาจุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุดของสมการ y = x� + 6x + 5

วิธีทํา

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

https://goo.gl/qfKp4E

16

ตัวอย+างท่ี 2 จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x� � 6x + 1 วิธีทํา เขียนสมการให(อยู ในรูป y = a�x � h�� + k ได(ดังนี้ y = 3x� � 6x + 1

= ................................................................................................................................................................

= ..............................................................................................................................................................

= ................................................................................................................................................................

= ................................................................................................................................................................

= ................................................................................................................................................................

พิจารณาสมการ y =.......................................................................................... จะได�

1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

2. จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด..............................................................................

3. แกนสมมาตร คือ ................................................................................................

4. หาจุดต�างๆ ท่ีอยู�บนข�างเดียวกันของแกนสมมาตร .

เขียนกราฟของสมการ............................................................................... ได�ดังนี้

x

17

แบบฝ6กหัด 4.4

1. จงเขียนกราฟของสมการต�อไปนี้

y = x� + 6x + 8 วิธีทํา เขียนสมการให�อยู�ในรูป y = a�x � h�� + k ได�ดังนี้

y = x� + 6x + 8 = ................................................................................................................................................................

= ..............................................................................................................................................................

= ................................................................................................................................................................

= ................................................................................................................................................................

= ................................................................................................................................................................

พิจารณาสมการ y =.......................................................................................... จะได�

1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

2. จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด...............................................................................

3. แกนสมมาตร คือ .................................................................................................

4. หาจุดต�างๆ ท่ีอยู�บนข�างเดียวกันของแกนสมมาตร

x

เขียนกราฟของสมการ............................................................................... ได�ดังนี้

18

2. จงพิจารณาสมการ � = ��� + .� � � และ � = ��� + /� � * แล*วตอบคําถามต�อไปนี้

โดยไม�ต*องเขียนกราฟ

สมการ � = ��� + .� � �

1) กราฟเป+นพาราโบหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

..............................................................................................................................................................................

2) จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป+นจุดใด

..............................................................................................................................................................................

3) ค�าตํ่าสุดหรือค�าสูงสุดของ y เป+นเท�าใด

..............................................................................................................................................................................

4) เส�นตรงใดเป+นแกนสมมาตร

..............................................................................................................................................................................

5) กราฟตัดแกน x ท่ีจุดใด

..............................................................................................................................................................................

สมการ � = ��� + /� � *

1) กราฟเป+นพาราโบหงายหรือพาราโบลาคว่ํา

..............................................................................................................................................................................

2) จุดตํ่าสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป+นจุดใด

..............................................................................................................................................................................

3) ค�าตํ่าสุดหรือค�าสูงสุดของ y เป+นเท�าใด

..............................................................................................................................................................................

4) เส�นตรงใดเป+นแกนสมมาตร

..............................................................................................................................................................................

5) กราฟตัดแกน x ท่ีจุดใด

..............................................................................................................................................................................