1

ล าดบอนนตและอนกรมอนนต

1.ล าดบอนนต

1.1 ความหมายของล าดบ

บทนยาม

ล าดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} หรอมโดเมนเปน {1, 2, 3, …, n, …}

เรยกล าดบทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} วาล าดบจ ากด (finite sequence)และเรยกล าดบทมโดเมน

เปนเซต {1, 2, 3, …, n, …} วา ล าดบอนนต (infinite sequence)

1.2 รปแบบการก าหนดล าดบ

แบบท 1 ก าหนดล าดบโดยเขยนแจงแจงสมาชกทงหมดของล าดบ

แบบท 2 ก าหนดล าดบโดยเขยนพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบพจนทวไปของล าดบ

แบบท 3 การก าหนดพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบสตรการหาพจนถดไปจากพจนกอนหนา

การก าหนดล าดบแบบนเรยกอกอยางวา การก าหนดโดยใชความสมพนธเวยนเกด

แบบท 4 การก าหนดล าดบโดยการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ

2

1.3 ล าดบเลขคณต

บทนยาม

ให 1 2 3, , ,...a a a เปนล าดบทมผลตางทไดจากการน าพจนท 1n ลบดวยพจนท n แลวมคาคงท

เสมอ ล าดบดงกลาวนเรยกวา ล ำดบเลขคณต และเรยกผลตางทมคาคงตวนวา ผลตำงรวม

ถา 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เปนล าดบเลขคณต และม d เปนผลตางรวม ซง 1n nd a a แลวพจนท

n ของล าดบเลขคณตหาไดดงน

1a = 1a 2a = 1a d 3a = 2a d = 1 2a d 4a = 3a d = 1 3a d 5a = 4a d = 1 4a d . . . na = 1na d = 1 ( 1)a n d ดงนนจะไดวา

1 จงเขยนสพจนถดไปของล าดบเลขคณต -1, 6, 13, …

3

2 จงหาพจนท 40 ของล าดบเลขคณต 1, 5, 9, 13, …

3 จงหาพจนทวไปของล าดบเลขคณต 6, 2, -2, -6, …

4 จงหาพจนแรกของล าดบเลขคณตทม 4 26a และ 9 61a

4

5 ก าหนดล าดบเลขคณต 1,4,7,10,13,… จงอธบายวา 12,345 อยในล าดบนหรอไม

1.4 ล าดบเรขคณต

บทนยาม 3 1 2 3, , ,...a a a เปน ล ำดบเรขำคณต กตอเมอ 1n

n

a

a

เปนคาคงททกคาของจ านวนนบ n

โดยเรยกคาคงทนวา อตราสวนรวม

ถา 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เปนล าดบเรขาคณต และม r เปนอตราสวนรวม ซง 1n

n

ar

a

แลวพจนท

n ของล าดบเรขาคณต หาไดดงน

1a = 1a 2a = 1a r 3a = 2a r = 1a r r = 2

1a r 4a = 3a r = 2

1a r r = 3

1a r 5a = 4a r = 3

1a r r = 4

1a r . . . na = 1na r = 1

1

na r ดงนนจะไดวา

5

1 จงเขยนสพจนแรกของล าดบเรขาคณตทม 1

3

4a และ 4r

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

2 จงเขยนพจนท 7 ของล าดบเรขาคณต 4, 20, 100, ...

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3 การศกษาการก าจดสารพษชนดหนงจากโรงงานอตสาหกรรมโดยการฝงไวใตดนและปลอยใหสลายตวเองตามธรรมชาต พบวาในแตละปสารพษดงกลาวจะสลายตว โดยมน าหนกลดลงครงหนงของจากน าหนกเดม และเปนทยอมรบกนวาปรมาณสารพษดงกลาวทต ากวา 1 กรม จงจะถอวาปลอดภย อยากทราบวาจะตองฝงสารพษชนดนทมน าหนก 1 กโลกรมไวนานเทาใด จงจะถอวา ดนบรเวณทมวฃสารพษมความปลอดภย

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

6

แบบฝกหด 1.1

1. จงหาหาพจนแรกของล าดบ na ทก าหนดใหโดยใชความสมพนธเวยนเกดตอไปน

(1) 1a = 0 และ

na = n-1a + n – 1 เมอ n 2

(2) 1a = 0 และ na = n-1a + n – 1 เมอ n 2 (3) 1a = 0 และ na = n-1a + n – 1 เมอ n 2 (4) 1a = 2 และ na = n-1a + n-22a เมอ n 3 (5) 1a = 2, 2a = 0 และ na = n-1a + n-2a เมอ n 3

7

2. จงบอกวาล าดบทก าหนดใหตอไปน ล าดบใดเปนล าดบเลขคณต ล าดบใดเปนล าดบเรขาคณต พรอม ทงบอกผลตางรวม หรออตราสวนรวมของล าดบนน ๆ ดวย

(1) 7, 9, 11, 13, …, (2n + 5) (2) – – –

–

(3) 4, 2, 0, –2, …, (6 – 2n)

3. จงหาพจนทวไปของล าดบเลขคณตตอไปน (1) –2, 4, 10, …

(2) 1 1 1, , ,...

6 6 2

8

(3) 2711 ,16,...

2

4. ถา p, 5p, 6p + 9 เปนสามพจนเรยงกนในล าดบเลขคณต จงหาคาของ p และเขยนล าดบนตอไปอก สพจน

5. ถาผลบวกของสามพจนแรกของล าดบเลขคณตคอ 12 และผลบวกของก าลงสามของแตละพจนนนคอ 408 จงหาล าดบน

9

6. จงหาพจนท n ของล าดบเรขาคณตตอไปน (1) –3, –6, –12, …

(2) 10, –5, 2

5, …

(3) 1 5 25, , ,...

4 4 4

10

1.5 ลมตของล าดบ

ในหวขอนจะกลาวถงสมบตประการหนงของล าดบ โดยจะพจารณาพจนท n ของล าดบ เมอ n มคา มากขนโดยไมมทสนสด

(1) พจารณากราฟของล าดบ n n

1a

2 1 ในรป 1.1 ก

n

na

รป 1.1 ก จากกราฟในรป 1.1 ก จะเหนวา ถา n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว na มคาลดลงและเขาใกล 0

แตจะไมเทากบ 0 เสนประทปรากฏในรป 1.1 ก เปนเสนทใชเพอแสดงใหเหนแนวของจด แตไมใชสวน หนงของกราฟ (2) พจารณากราฟของล าดบ na = 2 ในรป 1.1 ข

รป 1.1 ข

จากกราฟในรป 1.1 ข จะเหนวา na มคาเปน 2 เสมอส าหรบทกคาของ n

11

เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานนแลว เรยก L วา ลมตของล าดบ (limit of a sequence) และกลาววาล าดบนนมลมตเทากบ L

ดงนน ในตวอยางขางตนจะเหนวา ล าดบ n n

1a

2 มลมตเทากบ 0 และล าดบ na 2 มลมตเทากบ 2

เรยกล าดบอนนตทมลมตวา ล าดบลเขา (convergent sequence)

(3) พจารณากราฟของล าดบ n

n

1a 1+

n

ในรป 1.1 ค

n 1

na 0

รป 1.1 ค

จากกราฟในรป 1.1 ค จะเหนวา แนวของจดในกราฟจะเขาใกลเสนทบทปรากฏ ซงหมายความวา

เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n มคาเขาใกล 1 แตจะไมเทากบ 1 ดงนน n

n

1a 1+

n

เปน

ล าดบลเขาและมลมตเทากบ 1 (4) พจารณากราฟของล าดบ na 2n – 1 ในรป 1.1 ง

รป 1.1 ง

จากกราฟในรป 1.1 ง จะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบจะมคา

12

มากขนและไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง จงกลาวไดวาล าดบ na 2n – 1ไมมลมต ล าดบนจงไมใชล าดบลเขา เรยกล าดบอนนตทไมใชล าดบลเขาวา ล าดบลออก (divergent sequence)

(5) พจารณากราฟของล าดบ n 1

na –1

ในรป 1.1 จ

รป 1.1 จ

จากกราฟในรป 1.1 จ เมอ n เปนจ านวนค พจนท n เปน 1 และเมอ n เปนจ านวนค พจนท n เปน -1 ดงนน เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบน จงไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง ล าดบ

n 1

na –1

จงไมมลมต ดงนน ล าดบนจงเปนล าดบลออก และจากลกษณะของกราฟทขนแลลงสลบกนโดยไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนงเชนน จะเรยกล าดบลออกนวา ล าดบแกววงกวด (oscillating sequence)

จากทกลาวมาขางตน จงอาจกลาวถงลมตของล าดบไดดงน 1. ล าดบทจะน า มาพจารณาลมตนนตองเปนล าดบอนนต 2. ถากลาววา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน na หมายถง เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด

พจนท n ของล าดบจะมคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L จ านวนเดยวเทานน กลาวไดวา L เปน ลมตของล าดบทมพจนท n เปน na และเขยนแทนดวยสญลกษณ n

n lim a L

(อานวา ลมตของล าดบ na

เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด เทากบ L)3. ล าดบอนนตทมลมตเรยกวา ล าดบลเขา สวนล าดบอนนตทไมมลมตเรยกวา ล าดบลออก 4. การพจารณาวาล าดบใดจะมลมตหรอไมนน อาจท าไดโดยการพจารณากราฟของล าดบ เมอ n

มคามากขนโดยไมมทสนสด

1 จงพจารณาวา ล าดบ n

1a

n เปนล าดบลเขาหรอลออก ถาเปนล าดบลเขา ใหบอกดวยวาลมตของล าดบน

เปนเทาใด

13

2 จงหาลมตของล าดบตอไปน

(1) n 2

1a

n

(2) 3

na n

ทฤษฎบท ให r เปนจ านวนจรงบวกใด ๆ จะไดวา

rn

1lim 0

n

และ r

n lim n

หาคาไมได

3 จงหาลมตของล าดบตอไปน

(1) n

n

1a

2

14

(2) n

n

5a

4

(3) n

na 2

ทฤษฎบท ให r เปนจ านวนจรง

ถา r 1 แลว n

n lim r 0

ถา r 1 แลว n

n lim r 0

หาคาไมได

ทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบทกลาวมาแลวและทจะกลาวถงตอไป จะน าไปใชโดยไมมการ พสจน

ทฤษฎบท ให n n na , b , t เปนล าดบของจ านวนจรง A, B เปนจ านวนจรง และ C เปนคาคงตวใด ๆ โดยท n

n lim a A

และ nn lim b B

จะไดวา (1) ถา nt c แลว n

n n lim t lim c

(2) n nn n lim ca c lim a cA

(3) n n n nn n n lim a b lim a lim b A B

(4) n n n nn n n lim a b lim a lim b AB

(5) lim n

(5) ถา nb 0 ทกจ านวนเตมบวก n และ B ≠ 0 แลว n

n n

n n n

n

lim aa Alim

b lim b B

15

4 จงหาลมตของล าดบ na = 5

5 จงหาลมตของล าดบ n

5a

n

6 จงหาลมตของล าดบ 2

n 2

1 3na

n

ทฤษฎบท ให na เปนล าดบของจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 และให m เปนจ านวนเตมท

มากกวาหรอเทากบ 2 ถา nn lim a L

แลว mm mn n

n n lim a lim a L

9 จงหาลมตของล าดบ n

4n-1a

n+1

16

แบบฝกหด 1.2

1. จงเขยนกราฟเพอตรวจสอบดวาล าดบใดเปนล าดบลเขา หรอลออก

(1) n

na sin

2

(2) n

1 na sin

n 2

(3) n

na sin

2

(4) n

1 na sin

n 2

17

2.จงใชทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบเพอตรวจสอบวาล าดบในแตละขอเปนล าดบลเขาหรอลออก

(1) n

8a

3n (2)

n

n n

8a

7

2. อนกรมอนนต

2.1 ผลบวกของอนกรมอนนต ผลบวกของพจนทกพจนของล าดบจ ากด 1 2 3 na , a , a , . . ., a สามารถเขยนไดในรป

1 2 3 na +a a , . . ., +a เรยกผลบวกของพจนทกพจนทไดจากล าดบจ ากดวา อนกรมจ ากด (finite series) เรยก 1a วา พจนท 1ของอนกรม เรยก 2a วา พจนท 2 ของอนกรม เรยก na วา พจนท n ของอนกรม

อนกรมอนนต (infinite series) คอ อนกรมทไดจากการบวกพจนทกพจนของล าดบอนนต ถาให

1 2 3 na , a , a , . . ., a ... เปนล าดบอนนต จะได 1 2 3 na +a a , . . ., +a ... เปนอนกรมอนนต ตวอยางของอนกรม ผลบวกของอนกรมอนนต บทนยาม ก าหนด 1 2 3 na +a a , . . ., +a ... เปนอนกรมอนนต ให

1 1

2 1 2

3 1 2 3

n 1 2 3 n

S a

S a a

S a a a

S a a a a

เรยก nS วา ผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม เมอ n เปนจ านวนเตมบวก เรยกล าดบอนนต 1 2 3 nS ,S ,S ,...,S ,... วา ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม

18

บทนยาม ก าหนดอนกรมอนนต 1 2 3 na +a a , . . ., +a ... ให 1 2 3 nS ,S ,S ,...,S ,... เปนล าดบของ

ผลบวกยอยของอนกรมน ถาล าดบ nS เปนล าดบลเขา โดย nn

lim S S

เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะ

กลาววาอนกรม 1 2 3 na +a a , . . ., +a ... เปน อนกรมลเขา (convergent series) เรยก S วาผลบวกของอนกรม ถาล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม 1 2 3 na +a a , . . ., +a ... เปน อนกรมลออก (divergent series)

จากบทนยามดงกลาว การแสดงวาอนกรมอนนตใดจะเปนอนกรมลเขาหรอลออกท า ไดดงน

1. พจารณาล าดบของผลบวกยอยของอนกรม และห าสตรผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม เรยกวา nS

2. พจารณาลมตของล าดบ nS ถา nn

lim S S

เมอ S เปนจ านวนจรง จะไดวาอนกรมนนเปน

อนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ S ถาล าดบ nS ไมมลมต จะไดวาอนกรมนนเปนอนกรมลออก 1 อนกรม 2 + 6 + 10 + … + (4n – 2 ) + … เปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาลเขาใหหาผลบวกของอนกรม

2 อนกรม n

3 3 3 3... ...

10 100 1000 10 เปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาลเขาใหหาผลบวกของอนกรม

19

ทฤษฎบท ก าหนดใหอนกรมเรขาคณตม 1a เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวม

ถา r 1 แลวอนกรมนเปนอนกรมลเขา และม 1a

1 rเปนผลบวกของอนกรม

ถา r ≥ 1 แลวอนกรมนเปนอนกรมลออก

3 อนกรม n-1

316+12 9 . . . +16 ...

4

เปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาลเขาใหหาผลบวกของอนกรม

แบบฝกหด 2.1 1. จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรมตอไปน

(1)n-1

1 1 1 1 1... ...

2 6 18 2 3

(2)

n-14 2

3 2 ... 3 ...3 3

20

(3) n-11 5 25 1

... 5 ...2 2 2 2 (4)

n-1

n

11 1 1... ...

2 4 8 2

2. อนกรมในขอ 1 อนกรมใดบางทเปนอนกรมลเขาและมผลบวกเปนเทาใด

21

3. จงหาผลบวกของอนกรมn+1

n+1

4 1 8 1 16 1 2 1... ...

9 27 81 3

2.2 สญลกษณแทนการบวก (Sigma notation)

สญลกษณแทนการบวกจะใชอกษรกรก (อานวา ซกมา) เปนสญลกษณแทนการบวกโดยท n

1 2 3 n i

i = 1

a a a . . . a a

และ 1 2 3 i

i = 1

a a a . . . a

ซง n

i

i = 1

a อานวา การบวก Ia เมอ i = 1 ถง i = n

และ i

i = 1

a

อานวา การบวก Ia เมอ i มคาตงแต 1 ขนไป

เชน

22

ตวแปร i ทปรากฏในสญลกษณn

i

i = 1

a หรอ i

i = 1

a

เรยกวา ดชน ซงจะก าหนดพจนแรกและพจน

สดทายของอนกรม เชน

(1) 5

2

i = 1

i แทน

(2) 4

k = 1

2k-1 แทน

(3) n

n= 1

1

2

แทน

(4) i = 1

i+3

แทน

(5)

1 จงแสดงวา 10

i = 1

3=30

2 จงหาคาของ 4

2

i = 1

i -i+1

3 จงเขยน 2 3 4 52x 4x 6x 8x 10x โดยใชสญลกษณ

สมบตของ ทควรทราบ มดงน

1. n

i = 1

c = nc เมอ c เปนคาคงตว

2. n n

i i

i = 1 i = 1

ca = c a เมอ c เปนคาคงตว

3. n n n

i i i i

i = 1 i = 1 i = 1

a b = a b

23

สตรการหาผลบวกของอนกรมบางอนกรม

1. n

i = 1

n n+1i =

2

2. n2

i = 1

n n+1 2n+1i =

6

3. 2 2

n n3

i = 1 i = 1

n n+1i = i

2

4 จงหา 5

2

i = 1

i = i

5 ถา 1+2+3+4+…+n = 153 แลวจงหา n

6 จงหาผลบวกของ 20 พจนแรกของอนกรม n

2

i = 1

i = 2i+5

24

แบบฝกหด 2.2

1. จงเขยนแทนสญลกษณตอไปนใหอยในรปการบวก

(1) 4

i = 1

2i (2) 52

i = 1

i+2

(3) 4

i = 1

10 2i (4) 20

2

i = 1

i +4

2. จงหาคาของ

(1) 5

i = 1

3i (2) 50

i = 1

8

25

3. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมตอไปน (1) 12 + 23 + 34 + 45 + ...+ n(n +1) + ...

(2) 147 + 258 + 369 + ...+ n(n + 3)(n + 6) + ...

(3) 1(2 + 3) + 4(4 + 3) + 9(6 + 3) +16(8 + 3) + ... + n2(2n + 3) + ...

26

4. จงหาคาของ (1) 123 + 234 + 345 + ...+ n(n +1)(n + 2) + ...+101112

(2) 12 + 23 + 34 + ...+ n(n +1) + ...+ 99100

(3) ผลบวกของจานวนเตมบวกทงหมดระหวาง 1 ถง 100 ทหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3

27

5. จงหาผลบวก n พจน และผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมตอไปน

(1)

n

i = 1

1

i i+1

(2)

n

i = 1

1

2i-1 2i+1

28

ความนาจะเปน

1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

1.1 หลกการนบ

1 หลกการบวก ถาการท างานหนงมวธการท า k วธ คอ วธท 1 ถงวธท k โดยท

การท างานวธท 1 มวธท า 1n วธ

การท างานวธท 2 มวธท า 2n วธ

.

.

.

การท างานวธท k มวธท า kn วธ

แลว จ านวนวธการท างานนเทากบ 1 2 ... kn n n วธ

1 จากกรงเทพฯ ไปเชยงใหม มวธการเดนทางได 3 วธ คอ ทางรถยนต ทางรถไฟ และทางเครองบน และจากเชยงใหมไปแมฮองสอน มวธการเดนทางได 2 วธ คอ ทางรถยนตและทางเครองบน จงหาวาในการเดนทางจากกรงเทพฯ ถงแมฮองสอนโดยหยดแวะทเชยงใหมมวธการเดนทางกวธ

29

2.หลกการคณ ถาการท างานอยางหนงประกอบดวยการท างาน k ขนตอน คอ ขนตอนท

1 ถงขนตอนท k ตามล าดบ โดยท การท างานขนตอนท 1 มวธท า 1n วธ

การท างานขนตอนท 2 มวธท า 2n วธ

.

.

.

การท างานขนตอนท k มวธท า kn วธ

แลว จ านวนวธการท างานนเทากบ 1 2 ... kn n n วธ

3 บรษทผลตเสอผาส าเรจรปแหงหนงผลตเสอ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถาจะจดแตงตวใหกบหนเพอน าไปโชวหนารานจะสามารถแตงเปนชดตาง ๆ กนไดกชด

30

4 สมาคมแหงหนงมสมาชก 50 คน ถาตองการเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวย นายกสมาคม อปนายกสมาคม เลขาธการ และเหรญญก ต าแหนงละ 1 คน โดยทกรรมการคนเดยวกนจะท าหนาทไดเพยงต าแหนงเดยวเทานน จะมวธเลอกคณะกรรมการไดกวธ

5 ตองการสรางจ านวนทมสามหลกจากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 7 และ 8 โดยทแตละหลกใชเลขโดดไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกจ านวน

31

6 จ านวนเตมบวกหาหลกทเปนจ านวนคและแตละหลกใชเลขโดดไมซ ากนมทงหมด กจ านวน

แบบฝกหด 1

1. จงหาจ านวนเสนทางจาก X ไป Y ในทศตามลกศรของแผนภาพตอไปน

X

A B C

D E F G

Y

32

2. ในรปตอไปน AD และ FC เปนสวนของเสนตรงซงตงฉากกนทจด C

(1) จงหาจ านวนของรปสามเหลยมมมฉาก XCY โดยทจด X และ Y ไดมาจาก A , B , D , E , F

(2) จงหาจ านวนของรปสามเหลยมโดยมจดยอด 3 จด จาก A , B , C , D , E , F

A B C D

E

F

33

3. จงหาจ านวนวธทแตกตางกนทงหมด ในการวางรปสเหลยมขนาน 2 1 ตารางหนวย จ านวน 9 รป เพอปกคลมรป

ตอไปน

34

4. ก าหนดจด 1 2 1 2 3 1 2 3, , , , , , ,a a b b b c c c บนดานของรปสามเหลยม ABC ดงรป จงหาจ านวนรปสามเหลยมทมจด

ดงกลาวเปนจดยอด

A B

C

35

5. จงหาจ านวนวธสรางค าซงประกอบดวยอกษรภาษาองกฤษ 5 ตว โดยทตวอกษร 2 ตวทตดกนตองแตกตางกน โดยค าท

สรางอาจมความหมายหรอไมมความหมายกได

6. ก าหนด 1,2,3,...,100U จงหาจ านวนสบเซตทงหมดของ U ทมสมาชก 2 ตว ,a b โดยท 7a b

36

7. วธสรางจ านวนสามหลกทมคามากกวา 300 จากเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 โดยเลขโดดในแตละหลกไมซ ากน ม

ทงหมดกวธ

8. ขอสอบประเภทใหเลอกตอบวาจรงหรอเทจชดหนงม 10 ขอ นกเรยนทท าขอสอบนจะมวธตอบขอสอบชดนไดแตกตาง

กนกวธ สมมตวาตองตอบค าถามทกขอโดยไมมการเวน

37

2. วธเรยงสบเปลยน (Permutation)

1. จงหาคาของ

1) 1! = …………………………………………………………………………………

2) 2! = …………………………………………………………………………………

3) 3! = …………………………………………………………………………………

4) 4! = …………………………………………………………………………………

5) 5! = …………………………………………………………………………………

2. จงหาคาของ 4!6!

8!

……………………………………………… ………………………………………………

……………………………………………… ………………………………………………

……………………………………………… ………………………………………………

……………………………………………… ………………………………………………

……………………………………………… ………………………………………………

2.1 วธเรยงสบเปลยนเชงเสน (Linear permutation)

(1)วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด

บทนยาม 1 ถา แฟกทอเรยล คอ เขยนแทนดวยสญลกษณ

ทฤษฎบท 1 จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ สงซงแตกตางกนทงหมด โดยจดเรยงคราว

ละ สง ( ) เทากบ วธ โดยท

38

3. มหนงสอทแตกตางกน 6 เลม ตองการน ามา 4 เลม เพอจดเรยงเปนแถวบนชนจะจดไดกวธ

4. ถาตองการสลบตวอกษรในค าวา HYPERBOLA จะสลบไดกวธเมอตองการให H และ Y อยตดกน

5. มหนงสอคณตศาสตรแตกตางกน 6 เลม และหนงสอเคมแตกตางกน 4 เลม จะมวธกวธทจะจดหนงสอเหลานบนชนวางหนงสอ โดยท

1) หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน

39

2) หนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน

แบบฝกหด 2.1

1. จงหาคาของ

1) 7,3P 2)

8,4P 3) 20,2P

…………………………………… ………………………………… ……………………………………...

…………………………………… ………………………………… ……………………………………...

…………………………………… ………………………………… ……………………………………...

…………………………………… ………………………………… ……………………………………...

…………………………………… ………………………………… ……………………………………...

2. ถา ,4 1,218n nP P แลว n มคาเทากบเทาใด

40

3. จงพสจนวา ,1 ,1 ,1n m n mP P P ส าหรบทก ,m n

4. จะสรางจ านวนทมสหลกจากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 , 9 ไดทงหมดกจ านวน โดยทแตละจ านวนนนตองไมมเลขโดดใน

หลกใดซ ากนเลย

5. ในทท างานแหงหนงมต าแหนงทตางกนวางอย 5 ต าแหนง โดยทเปนต าแหนงส าหรบชาย 3 ต าแหนง และต าแหนง

ส าหรบหญง 2 ต าแหนง มผมาสมครเขาท างานเปนชาย 6 คน หญง 5 คน จะมวธจดคนทมาสมครเขาท างานไดกวธ

41

6. จงหาจ านวนวธทจะจดชาย 6 คน และหญง 3 คน ยนเรยงแถวหนากระดานโดยทไมมหญงสองคนใดยนตดกน

7. จ านวนคมมากกวา 300 แตนอยกวา 900 มทงหมดกจ านวน โดยทเลขโดดในแตละหลกไมซ ากน

8. มหนงสอทแตกตางกน 8 เลม ในจ านวนนเปนหนงสอคณตศาสตร 3 เลม ถาตองการจดหนงสอเปนแถวยาวแถวเดยว

จะจดไดกวธโดยทหนงสอคณตศาสตรอยแยกกนทกเลม

42

9. จะจดคน 5 คน ยนเปนแถวเพอถายรป โดยจะถายทละกคนกได จะมภาพทแตกตางกนทงหมดกภาพ

10. มหนงสอเคม 3 เลมตางกน หนงสอคณตศาสตร 2 เลมตางกน และหนงสอภาษาองกฤษ 4 เลมตางกน จะจดวางบน

ชนหนงสอไดกวธ

(1) ถาไมมเงอนไขเพมเตม

(2) ถาหนงสอคณตศาสตรวางในต าแหนงหวแถวและหางแถว

(3) ถาหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน

43

11. มเกาอ 6 ตว เรยงกนเปนแถวตรง มคน 3 คน คอ กรวกา ขนษฐา และภาวด จงหาวธทเปนไปไดทงหมดทจะจดใหคน

ทงสามนงเกาอ 6 ตวน โดยทกรวกา ขนษฐา และภาวดนงไมตดกน

(2.) วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด

ทฤษฎบท ถามสงของอย สง ในจ านวนนม

สงทเหมอนกนเปนกลมท 1

สงทเหมอนกนเปนกลมท 2

.

.

.

สงทเหมอนกนเปนกลมท

โดยท แลวจะไดวา จ านวนวธเรยงสบเปลยนกลมของสงของ สง

เทากบ

44

1.จงหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรจากค าวา MATHEMATICS ทแตกตางกน โดยไมค านงถงความหมาย

2. มหนงสออย 10 เลม เปนหนงสอคณตศาสตร (เหมอนกนทกเลม) จ านวน 6 เลม และเปนหนงสอภาษาองกฤษ (เหมอนกนทกเลม) จ านวน 4 เลม จงหาจ านวนวธจดหนงสอทง 10 เลม วางบนชนหนงสอโดยใหหนงสอทอยหวแถวและทายแถวเหมอนกน

แบบฝกหด 2.2

1. มหนงสอคณตศาสตร 3 เลม หนงสอภาษาองกฤษ 2 เลม และหนงสอภาษาไทย 4 เลม ถาถอวาหนงสอวชาเดยวกนไม

แตกตางกนแลวจะจดเรยงหนงสอทงหมดบนชนวางหนงสอไดกวธ

45

2. มหลอดไฟสขาว 4 หลอด สแดง 5 หลอด และสน าเงน 6 หลอด ตองการน าหลอดไฟทงหมดไปประดบตามรวในแนว

เสนตรงจะประดบไดกวธทแตกตางกนเมอหลอดไฟสเดยวกนไมตางกน

3. จ านวนวธจดเรยงตวอกษรในค าวา ENTRANCE ซงตวอกษร E ไมอยตดกนเทากบเทาใด

4. ถาน าเลขโดด 0 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 มาสรางเปนจ านวนทมคามากกวาหนงลานจะมทงหมดกจ านวน

5. มลกบอล 6 ลก เปนสแดง 1 ลก สขาว 1 ลก สเหลอง 1 ลก และสด า 3 ลก ทกลกมขนาดเทากน เลอก ลกบอล 4 ลก

มาจดเรยงเปนแถวตรงไดทงหมดกวธ

46

6. ตองการสรางจ านวน 6 หลก โดยการน าเลขโดด 6 ตว คอ 0 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 มาจดเรยง จะสรางจ านวน 6 หลก

ดงกลาวไดทงหมดกจ านวน โดยท

1) จ านวนทสรางมคาอยระหวาง 400,000 ถง 500,000

2) จ านวนทสรางมคามากกวา 500,000

3) จ านวนทสรางมคามากกวา 400,000 และเปนจ านวนค

47

2.2 วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม (Circular permutation)

8. จะจดนกเรยน 10 คน ใหนงรอบโตะกลม ซงม 10 ทนงไดทงหมดกวธ

9. มนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 6 คน ตองการจดคนทงหมดใหนงรอบ โตะกลม ซงม 12 ทนง โดยทนกเรยนชายกบนกเรยนหญงตองนงสลบกนจะจดไดทงหมดกวธ

10. มชาย 5 คน และหญง 4 คน ตองการจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยไมมหญงสองคนใดยนตดกนจะมวธการจดทงหมดกวธ

ทฤษฎบท 3 จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน สง เทากบ

วธ

48

แบบฝกหด 2.3

1. นกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 3 คน นงรอบโตะกลมซงม 6 ทนง โดยทนกเรยนชายนงตดกนหมดและนกเรยน

หญงนงตดกนหมด จะมวธนงทงหมดกวธ

2. พอ แม และลกอก 4 คน ไปรบประทานอาหารทรานอาหารแหงหนง ถาโตะอาหารเปนแบบวงกลม ซงม 6 ทนง แลว

สมาชกครอบครวนจะนงไดทงหมดกวธ เมอ

1) ไมมขอก าหนดเพมเตม

2) พอและแมตองนงตดกน

3) พอและแมตองนงตรงกนขามกน

4) พอและแมตองนงไมตดกน

49

3. ถาตองการใหเดกชาย 4 คน และเดกหญง 3 คน นงเปนวงกลม โดยไมใหเดกหญงนงตดกน จะจดไดทงหมดกวธ

4. มธงของชาตตาง ๆ กน 5 ผน ชาตละ 1 ผน และธงไทยขนาดไมเทากน 2 ผน น ามาจดประดบรอบวงเวยนโดยไมใหธง

ไทยอยตดกน จะมวธจดทงหมดกวธ

3 วธจดหม (Combination)

1. จงหาจ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน มทงหมดกวธ

ทฤษฎบท 4 จ านวนวธของสงของทแตกตางกน สง โดยเลอกคราวละ สง

( ) เทากบ หรอ โดยท

50

2. ถาตองการเลอกกรรมการนกเรยน 9 คน ซงประกอบดวยนกเรยนชาย 5 คน และนกเรยนหญง 4 คน จากผสมครทเปนนกเรยนชาย 20 คน และนกเรยนหญง 15 คน จะเลอกไดกวธ

3. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก ลกบอลแตละลกแตกตางกน เปนลกบอลสขาว 5 ลก สแดง 3 ลก และสด า 2 ลก ตองการหยบลกบอล 3 ลก พรอมกนจากกลองใบนจะหยบไดกวธ โดยท

1) หยบไดลกบอลสใดกได

2) หยบลกบอลสขาวทง 3 ลก

3) หยบไดลกบอลสแดงทง 3 ลก

51

4) หยบไดลกบอลสขาว 2 ลก และสด า 1 ลก

5) หยบไดลกบอลสด าอยางนอย 1 ลก

6) หยบไดลกบอลสแดงอยางมาก 2 ลก

แบบฝกหด 3

1. ตองการเลอกกรรมการชดหนงประกอบดวยนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 2 คน และคร 1 คน จากนกเรยนชาย 20

คน นกเรยนหญง 25 คน และคร 7 คน จะเลอกกรรมการไดทงหมดกวธ

52

2. ในการเลอกกรรมการ 3 คน จากสมาชกสโมสร 20 คน ซงมสมชายเปนสมาชกสโมสรแหงน จะมวธคดเลอกไดกวธ โดยท

1) สมชายไดรบการคดเลอกเปนกรรมการ

2) ใน 20 คน ม 2 คน เปนสามภรรยากน จะถกเลอกเปนกรรมการทง 2 คนไมได

3. ก าหนดจด 10 จด บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนง ถาตองการลากสวนของเสนตรงเชอมจดทง 10 น จะมสวนของ

เสนตรงทเชอมจดเหลานมากทสดกเสน

4. กลองใบหนงมลกบอลทแตกตางกน 11 ลก เปนลกบอลสแดง 5 ลก สขาว 3 ลก และสน าเงน 3 ลก

ถาตองการหยบลกบอลพรอมกน 3 ลก จากกลองใบน จงหาจ านวนวธการหยบ โดยท

1) ไดลกบอลครบทกส

53

2) ไดลกบอลสแดงอยางนอย 1 ลก

3) ไดลกบอลสน าเงนอยางนอย 1 ลก แตไมไดสขาว

5. จ านวนวธทจะเลอกผแทน 3 คน จากกลมคน 9 คน ประกอบดวยชาย 4 คน และหญง 5 คน เขารวมในคณะกรรมการ

ชดหนง โดยตองมชายอยางนอย 1 คน จะมวธการเลอกทงหมดกวธ

6. ในการเลอกกรรมการ 5 คน จากผสมคร 11 คน ซงมอดมพรและเกศราภรณรวมอยดวย จงหาจ านวนวธเลอกกรรมการ

ซงอดมพรและเกศราภรณจะถกเลอกพรอมกนไมได

54

7. ถาตองการเลอกผลไม 3 ชนด จากผลไม 6 ชนด คอ สม ชมพ มงคด ละมด มะมวง และนอยหนา โดยม

ขอแมวาส าหรบมงคดและละมดนน ถาเลอกจะตองเลอกทงสองชนด จะมวธเลอกทงหมดกวธ

8. ก าหนดจด 6 จด บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนง จงหาจ านวนวธทจะสรางรปหลายเหลยมบรรจภายในวงกลมโดยใช

จดเหลานเปนจดยอดมม

4 ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem)

1. จงกระจาย 2 4(2 3 )x y โดยใชทฤษฎบททวนาม

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

ทฤษฎบท ถา และ แลวจะไดวา

55

2. จงกระจาย 5(2 )x y โดยใชทฤษฎบททวนาม ………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3.จงหาสมประสทธของ 4 4x y ในการกระจายของ 10(3 4 )x y ………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

4.จงแสดงวาส าหรบ n จะได ... 20 1 2

nn n n n

n

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกหด 4 1. จงใชทฤษฎบททวนามในการกระจาย

1) 2 5(2 )x y

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2)

7

23x

y

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3) 5(2 3 )x y

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

4)

4

3

2

x

y

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

56

2. จงหาสมประสทธของ 6 4x y จากการกระจาย 10(2 3 )x y

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาสมประสทธของ 5 16x y จากการกระจาย 2 13( 2 )x y

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหาสมประสทธของ 9 14x y จากการกระจาย 3 2 10( 3 )x y

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหาสมประสทธของ 7x จากการกระจาย 10(2 3)x

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

6. จงหาพจนทไมม x จากการกระจาย 6

2 3

4

x

x

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

57

5. ความนาจะเปนและกฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

5.1 การทดลองสม (Random experiment)

5.2 ปรภมตวอยาง (Sample space)

ปรภมตวอยาง หรอ แซมเปลสเปซ คอ เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดจากการทดลองสม แตละ

สมาชกของปรภมตวอยางหรอผลการทดลอง เรยกวา จดตวอยาง (Sample point หรอ Outcome)

5.3 เหตการณ (Event)

เหตการณ (Event) คอ สบเซตของปรภมตวอยาง

บทนยาม 2 การทดลองสม คอ การทดลองหรอการกระท าใด ๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง

แตไมสามารถบอกไดอยางถกตองแนนอนวาในแตละครงททดลองผลทเกดขนจะเปนอะไรในบรรดาผลลพธท

อาจจะเปนไปไดเหลาน

58

แบบฝกหด 5.1

1. กลองใบหนงมลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 2 ลก โดยทลกบอลทกลกแตกตางกน หยบลกบอลออกมา 2 ลก โดยการหยบ

มเงอนไขวาใหหยบทละ 1 ลก และใหคนลกแรกลงไปกอนทจะหยบลกทสอง จงหา

1) ปรภมตวอยาง

2) เหตการณทไดลกบอลทงสองลกเปนสขาว

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

2. จากการทดลองโยนเหรยญหนงอน 3 ครง จงหา

1) ปรภมตวอยางของการโยนเหรยญและสนใจการขนหนาของเหรยญ

……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

2) เหตการณทออกหวอยางนอยหนงครง

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3) เหตการณทออกหวเพยงหนงครง

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

4) เหตการณทออกหวสามครง

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

5) เหตการณทไมออกหวเลย

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3. การโยนเหรยญอนหนงกบทอดลกเตาลกหนงพรอมกน จงหา

1) เหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเปนจ านวนค

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

59

2) เหตการณทลกเตาขนแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3) เหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเปนจ านวนค

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

4. โยนเหรยญ 3 เหรยญ หนงครง ผลลพธทสนใจ คอ หนาของเหรยญทงสามเหรยญทขน จงหา

1) ปรภมตวอยาง

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

2) E1 ซงแทนเหตการณทเหรยญทงสามเหรยญขนหนาเหมอนกน

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3) E2 ซงแทนเหตการณทเหรยญขนหนาหวอยางนอยสองเหรยญ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

4) E3 ซงแทนเหตการณทมเหรยญขนหนากอยมากกวาขนหนาหว

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

5) 1 2E E = ……………………………………………………………………………...

6) 1 3E E = ……………………………………………………………………………...

7) 2 3E E = ……………………………………………………………………………...

8) 1 2E E = ……………………………………………………………………………...

9) 1 3E E = ……………………………………………………………………………...

10) 2 3E E = ……………………………………………………………………………...

60

11) 1E = ……………………………………………………………………………...

12) 2E = ……………………………………………………………………………...

13) 3E = ……………………………………………………………………………...

5.4 ความนาจะเปน (Probability)

สมบตความนาจะเปน

1. โยนเหรยญหนงเหรยญ 3 ครง จงหาความนาจะเปนของเหตการณทเหรยญจะขนหวทงหมด หรอกอยทงหมด

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

บทนยาม 3 ถา S แทนปรภมตวอยางของการทดลองสมอยางหนง ซงแตละจดตวอยางของการทดลองม

โอกาสเกดขนเทา ๆ กน และ แทนเหตการณความนาจะเปนของเหตการณ เขยนแทนดวย ซง

เมอ แทน จ านวนสมาชกในเหตการณ

แทน จ านวนสมาชกในปรภมตวอยาง

61

2.ในการทอดลกเตาหนงลก 2 ครง จงหาความนาจะเปนทผลรวมของแตมจากการทอดลกเตา 2 ครง เทากบ 6

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3. สมหยบไพ 3 ใบ จากไพส ารบหนง ซงม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนของเหตการณทไดไพหมายเลขเดยวกนทงสามใบ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

5.5 กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

ก าหนดให S เปนปรภมตวอยาง ซงเปนเซตจ ากด และ A , B เปนเหตการณใด ๆ จะไดวา

1. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

2. ถา A B แลว ( ) ( ) ( )P A B P A P B

3. ( ) 1 ( )P A P A

4. ( ) ( ) ( )P A B P A P A B

4. ในการทอดลกเตาสองลกพรอมกน จงหา

1) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกขนหนาเหมอนกน หรอ ผลรวมของแตมมากกวา 10

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

2) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกขนหนาเหมอนกน หรอ ผลรวมของแตมเทากบ 7

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3) ค ว า ม น า จ ะ เ ป น ข อ ง เ ห ต ก า ร ณ ท ล ก เ ต า ท ง ส อ ง ล ก ข น ห น า ไ ม เ ห ม อ น ก น

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

62

4) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกขนหนาเหมอนกน แตผลรวมของแตมไมมากกวา 10

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

5. ก าหนดให A และ B เปนเหตการณ โดยท ( ) 0.6P A , ( ) 0.4P B และ ( ) 0.2P A B จงหา ( )P A B

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

แบบฝกหด 5.1

1. กลองใบหนงมลกบอล 30 ลก เปนลกบอลสแดง 10 ลก สเขยว 10 ลก และสเหลอง 10 ลก ถาหยบลกบอลครงละ 1

ลก 3 ครง โดยหยบแลวไมใสคน จงหาความนาจะเปนทจะไดลกบอลสแดง 2 ลก และสเหลอง 1 ลก ตามล าดบ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

2. มคน 10 คน ซงใน 10 คนน มปารม และภผารวมอยดวย ถาจดคน 10 คน นงเปนวงกลม จงหาความนาจะเปนทปารม

และภผาจะนงตดกน

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงหมายเลข 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองใบน 3 ใบพรอมกน จงหาความนาจะ

เปนทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

63

4. นกเรยนชาย 4 คน นกเรยนหญง 4 คน ยนเรยงแถวหนากระดาน จงหาความนาจะเปนทนกเรยนชายและนกเรยนหญง

จะยนสลบกน

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

5. กลองใบหนงมลกแกวขนาดเดยวกน 13 ลก เปนสแดง 6 ลก สขาว 4 ลก และสเหลอง 3 ลก โดยทลกแกวทกลก

แตกตางกน ถาสมหยบลกแกวออกมา 3 ลก จงหาความนาจะเปนทจะไดลกแกวสตางกนทง 3 ลก

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

6. นกเรยนคนหนงมหนงสอคณตศาสตร 3 เลม หนงสอเคม 2 เลม และหนงสอฟสกส 1 เลม โดยทหนงสอทกเลมแตกตาง

กน ถานกเรยนคนนสมหยบหนงสอไปโรงเรยนอยางนอย 1 เลม จงหาความนาจะเปนทจะได

1) หนงสอคณตศาสตร

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

2) หนงสอเคม

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3) หนงสอฟสกส

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

4) หนงสอครบทกวชา

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

7. ชายคนหนงมเสออย 5 ตว เปนเสอสขาว 3 ตว สฟา 2 ตว และมกางเกงขายาว 4 ตว เปนกางเกงสขาว 1 ตว สเทา 3 ตว

ถาชายคนนแตงตวออกจากบานโดยไมเจาะจงแลว จงหาความนาจะเปนทชายคนนจะสวมเสอและกางเกงสตางกน

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

64

8. ตะกราใบหนงมสม มงคด และมะมวงรวมกน 10 ลก โดยทจ านวนสมเปนสองเทาของจ านวนมงคด และมมะมวงอย 1

ลก โดยทผลไมทกลกแตกตางกน ถาหยบผลไมอยางไมเจาะจงจากตะกราใบนจ านวน 3 ลก จงหาความนาจะเปนทจะหยบ

ไดผลไมชนดละ 1 ลก

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

9. ถาความนาจะเปนทนายธงชยจะสอบผานวชาคณตศาสตรและวชาภาษาองกฤษเปน 0.6 และ 0.5 ตามล าดบ และความ

นาจะเปนทจะผานอยางนอย 1 วชา เปน 0.8 จงหาความนาจะเปนทนายธงชยจะผานทงสองวชาน

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

10. มนกเรยนกลมหนงจ านวน 120 คน ในจ านวนนพบวามนกเรยนทชอบวชาคณตศาสตร 60 คน มนกเรยนทชอบเรยน

วชาภาษาองกฤษ 50 คน และมนกเรยนทชอบเรยนทงสองวชา 20 คน ถาสมเลอกนกเรยนจากกลมนมา 1 คน แลวจงหา

ความนาจะเปนทนกเรยนคนทเลอกมาจะ

1) ชอบเรยนอยางนอย 1 วชา

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

2) ไมชอบเรยนทงสองวชา

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3) ชอบเรยนวชาคณตศาสตรแตไมชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

65

66