หนังสือเรียนสาระความรู้พืน...

หนงสอเรยนสาระความรพ�นฐาน

รายวชา คณตศาสตร พค��

ระดบมธยมศกษาตอนปลาย (ฉบบปรบปรง พ.ศ. ��)

หลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษาข�นพ�นฐาน

พทธศกราช ��

สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย

สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

กระทรวงศกษาธการ

หามจาหนาย หนงสอเรยนเลมน� จดพมพดวยเงนงบประมาณแผนดนเพ�อการศกษาตลอดชวตสาหรบประชาชน

ลขสทธ� เปนของ สานกงาน กศน. สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ เอกสารทางวชาการลาดบท� �/��

หนงสอเรยนสาระความรพ�นฐาน

รายวชา คณตศาสตร พค�� ระดบมธยมศกษาตอนปลาย ฉบบปรบปรง พ.ศ. ��

ลขสทธ� เปนของ สานกงาน กศน. สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

เอกสารทางวชาการลาดบท� 8/2555

คานา

กระทรวงศกษาธการไดประกาศใชหลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษา

ข�นพ�นฐาน พทธศกราช �� เม�อวนท� �� กนยายน พ.ศ. �� แทนหลกเกณฑและวธการจด

การศกษานอกโรงเรยน ตามหลกสตรการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช �� ซ�งเปนหลกสตรท�

พฒนาข�นตามหลกปรชญาและความเช�อพ�นฐานในการจดการศกษานอกโรงเรยนท�มกลมเปาหมาย

เปนผใหญมการเรยนรและส�งสมความรและประสบการณอยางตอเน�อง

ในปงบประมาณ �� กระทรวงศกษาธการไดกาหนดแผนยทธศาสตรในการขบเคล�อน

นโยบายทางการศกษาเพ�อเพ�มศกยภาพและขดความสามารถในการแขงขนใหประชาชนไดมอาชพ

ท�สามารถสรางรายไดท�ม �งค�งและม�นคง เปนบคลากรท�มวนย เป� ยมไปดวยคณธรรมและจรยธรรม

และมจตสานกรบผดชอบตอตนเองและผอ�น สานกงาน กศน. จงไดพจารณาทบทวนหลกการ

จดหมาย มาตรฐาน ผลการเรยนรท�คาดหวง และเน�อหาสาระ ท�ง � กลมสาระการเรยนร ของ

หลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช �� ใหมความสอดคลอง

ตอบสนองนโยบายกระทรวงศกษาธการ ซ�งสงผลใหตองปรบปรงหนงสอเรยน โดยการเพ�มและ

สอดแทรกเน�อหาสาระเก�ยวกบอาชพ คณธรรม จรยธรรมและการเตรยมพรอม เพ�อเขาสประชาคม

อาเซยน ในรายวชาท�มความเก�ยวของสมพนธกน แตยงคงหลกการและวธการเดมในการพฒนา

หนงสอท�ใหผเรยนศกษาคนควาความรดวยตนเอง ปฏบตกจกรรม ทาแบบฝกหด เพ�อทดสอบ

ความรความเขาใจ มการอภปรายแลกเปล�ยนเรยนรกบกลม หรอศกษาเพ�มเตมจากภมปญญาทองถ�น

แหลงการเรยนรและส�ออ�น

การปรบปรงหนงสอเรยนในคร� งน� ไดรบความรวมมออยางดย�งจากผทรงคณวฒในแตละ

สาขาวชา และผเก�ยวของในการจดการเรยนการสอนท�ศกษาคนควา รวบรวมขอมลองคความรจาก

ส�อตาง ๆ มาเรยบเรยงเน�อหาใหครบถวนสอดคลองกบมาตรฐาน ผลการเรยนรท�คาดหวง ตวช�วด

และกรอบเน�อหาสาระของรายวชา สานกงาน กศน.ขอขอบคณผมสวนเก�ยวของทกทานไว ณ

โอกาสน� และหวงวาหนงสอเรยนชดน� จะเปนประโยชนแกผเรยน คร ผสอน และผเก�ยวของในทก

ระดบ หากมขอเสนอแนะประการใด สานกงาน กศน. ขอนอมรบดวยความขอบคณย�ง

สารบญ

หนา

คานา 3

สารบญ 4

คาแนะนาการใชหนงสอ 5

โครงสรางวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย 6

บทท� 1 จานวนและการดาเนนการ 7

บทท� 2 เลขยกกาลงท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะ 21

บทท� 3 เซต 35

บทท� 4 การใหเหตผล 59

บทท� 5 อตราสวนตรโกณมตและการนาไปใช 71

บทท�6 การใชเคร�องมอและการออกแบบผลตภณฑ 95

บทท� 7 สถตเบ�องตน 120

บทท� 8 ความนาจะเปน ��

บทท� � การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ ��

คาแนะนาการใชแบบเรยน

หนงสอเรยนสาระความรพ�นฐาน รายวชา คณตศาสตร (พค 31001) ระดบมธยมศกษา

ตอนปลาย เปนหนงสอเรยนท�จดทาข�น สาหรบผเรยนท�เปนนกศกษานอกระบบ

ในการศกษาหนงสอเรยนสาระความรพ�นฐาน รายวชา คณตศาสตร ผเรยนควร

ปฏบตดงน�

1. ศกษาโครงสรางรายวชาใหเขาใจในหวขอสาระสาคญ ผลการเรยนรท�คาดหวงและ

ขอบขายเน�อหา

2. ศกษารายละเอยดเน�อหาของแตละบทอยางละเอยด และทากจกรรมตามท�กาหนด

แลวตรวจสอบกบแนวตอบกจกรรมท�กาหนด ถาผเรยนตอบผดควรกลบไปศกษา

และทาความเขาใจในเน�อหาน�นใหมใหเขาใจกอนท�จะศกษาเร�องตอไป

3. ปฏบตกจกรรมทายเร�องของแตละเร�อง เพ�อเปนการสรปความรความเขาใจของ

เน�อหาในเร�องน�น ๆ อกคร� ง และการปฏบตกจกรรมของแตละเน�อหาในแตละเร�อง

ผเรยนสามารถนาไปตรวจสอบกบครและเพ�อน ๆ ท�รวมเรยนในรายวชาและระดบ

เดยวกนได

แบบเรยนเลมน�ม 9 บท คอ

บทท� 1 จานวนและการดาเนนการ

บทท� 2 เลขยกกาลงท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะ

บทท� 3 เซต

บทท� 4 การใหเหตผล

บทท� 5 อตราสวนตรโกนมตและการนาไปใช

บทท� 6 การใชเคร�องมอและการออกแบบผลตภณฑ

บทท� 7 สถตเบ�องตน

บทท� 8 ความนาจะเปน บทท� � การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

โครงสรางรายวชาคณตศาสตร

ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

สาระสาคญ มความรความเขาใจเก�ยวกบจานวนและตวเลข เศษสวน ทศนยมและรอยละ

การวด เรขาคณต สถต และความนาจะเปนเบ�องตน

ผลการเรยนรท�คาดหวง

1. ระบหรอยกตวอยางเก�ยวกบจานวนและตวเลข เศษสวน ทศนยมและรอยละ

การวด เรขาคณต สถต และความนาจะเปนเบ�องตนได

2. สามารถคดคานวณและแกโจทยปญหาเก�ยวกบจานวนนบเศษสวน ทศนยม

รอยละ การวด เรขาคณตได

บทท� 1 จานวนและการดาเนนการ

บทท� 2 เลขยกกาลงท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะ

บทท� 3 เซต

บทท� 4 การใหเหตผล

บทท� 5 อตราสวนตรโกนมตและการนาไปใช

บทท� 6 การใชเคร�องมอและการออกแบบผลตภณฑ

บทท� 7 สถตเบ�องตน

บทท� 8 ความนาจะเปน

บทท� � การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

ส�อการเรยนร

1. ใบงาน

2. หนงสอเรยน

บทท� 1

จานวนและการดาเนนการ

สาระสาคญ

1. โครงสรางของจานวนจรงประกอบไปดวย จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ และ

จานวนเตม

2. สมบตของจานวนจรงท�เก�ยวกบการบวกและการคณ ประกอบไปดวยสมบตปด

สมบตการเปล�ยนกลม สมบตการสลบท� การมอนเวอรส การมเอกลกษณและสมบต

การแจกแจง

3. สมบตการเทากนจะใชเคร�องหมาย “=” แทนการมคาเทากน

4. สมบตการไมเทากนจะใชเคร�องหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥”

5. คาสมบรณใชสญลกษณ “ | |” แทนคาสมบรณซ�ง

x ถา x >0

x 0 ถา x = 0

- x ถา x < 0

1. แสดงความสมพนธของจานวนตาง ๆ ในระบบจานวนจรงได

2. อธบายความหมายและหาผลลพธท�เกดจากการบวก การลบ การคณ การหารจานวน

จรงได

3. อธบายสมบตของจานวนจรงท�เก�ยวกบการบวก การคณ การเทากน การไมเทากน

และนาไปใชได

4. อธบายเก�ยวกบคาสมบรณของจานวนจรงและหาคาสมบรณของจานวนจรงได

เร�องท� � ความสมพนธของระบบจานวนจรง

เร�องท� � สมบตของการบวก การลบ การคณ และการหารจานวนจรง

เร�องท� � สมบตการไมเทากน

เร�องท� � คาสมบรณ

เร�องท� � ความสมพนธของระบบจานวนจรง

�.�. โครงสรางของจานวนจรง

จานวนจรง ( Real number ) ประกอบดวยจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ

�. จานวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดวย จานวนเตม ทศนยมซ�า และเศษสวน

1. จานวนเตม ซ�งแบงเปน � ชนด คอ

�.� จานวนเตมบวก (I+) หรอจานวนนบ (N)

I+ = N = {1, 2, 3, …}

�.� จานวนเตมศนย มจานวนเดยว คอ {0}

�.� จานวนเตมลบ (I-)

I- = {-1, -2, -3, …}

2. เศษสวน เชน 4

33 , -

5 เปนตน

�. ทศนยมซ�า เชน 6.0 , 21.0 , 235.0

2. จานวนอตรรกยะ ( Irrational Number ) คอจานวนท�ไมใชจานวนตรรกยะ เขยนไดในรป

ทศนยมไมซ�า เชน 2 มคาเทากบ 1.414213…

3 มคาเทากบ 1.7320508…

มคาเทากบ 3.14159265…

0.1010010001… มคาประมาณ 1.101

จานวนจรง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

จานวนท�เขยนใน

รปของกรณฑ

หรอเรยกวา

รากหรอรต

ทศนยม

ไมรจบไมซ�า

จานวนเตม ทศนยมซ�า เศษสวน

จานวนนบหรอ

จานวนเตมบวก

ศนย จานวน

เตมลบ

แบบฝกหดท� �

�.จานวนท�กาหนดใหตอไปน�จานวนใดเปนจานวนนบ จานวนเตม จานวนตรรกยะ หรอ

จานวนอตรรกยะ

ขอ จานวนจรง จานวนนบ จานวนเตม จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

1) 1,0,2,3

�) 4

5,12,3,

�) �.��,�.��...,-�� ,

�) �.��...,

�) 5.7,2

�) 2

1,12,3,9,

12,17,25

2. จงพจารณาวาขอความตอไปน� เปนจรงหรอเทจ

1) 0.001001001001…เปนจานวนตรรกยะ

2) 0.110110110110… เปนจานวนตรรกยะ

3) 0.767667666766667… เปนจานวนตรรกยะ

4) 0.59999…. เปนจานวนตรรกยะ

5) 0 เปนจานวนจรง

6) จานวนท�เขยนไดในรปทศนยมซ�าไมเปนจานวนตรรกยะ

��

2. สมบตการบวก การลบ การคณ และการหารจานวนจรง

สมบตของจานวนจรง คอ การนาจานวนจรงใด ๆ มากระทาตอกนในลกษณะ เชน

การบวก การลบ การคณ การหาร หรอกระทาดวยลกษณะพเศษท�กาหนดข�น แลวมผลลพธท�

เกดข�นในลกษณะหรอทานองเดยวกน สมบตท�ใชในการบวก การลบ การคณ และการหาร มดงน�

2.1 สมบตการเทากนของจานวนจรง กาหนด a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

สมบตการสะทอน a = a

สมบตการสมมาตร ถา a = b แลว b = a

สมบตการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c

สมบตการบวกดวยจานวนท�เทากนท�งสองขาง ถา a = b แลว a + c = b + c

สมบตการคณดวยจานวนท�เทากนท�งสองขาง ถา a = b แลว bcac

�.� สมบตการบวกและการคณในระบบจานวนจรง เม�อกาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงใดๆ

�.�.� สมบตการบวก

สมบตปด ถา a R และ b R แลว ba R

สมบตการสลบท� ba = ab

สมบตการเปล�ยนกลม )( cba = cba )(

สมบตการมเอกลกษณการบวก คอ 0 aaa 00 สมบตการมอนเวอรสการบวก

a มอนเวอรสการบวก คอ a และ

a มอนเวอรสการบวก คอ a

จะได 0)()( aaaa

น�นคอจานวนจรง a จะม a เปน

อนเวอรสของการบวก

�.�.� สมบตการคณ

สมบตปด ถา a R และ b R แลว ab R

สมบตการสลบท� ab = ba

สมบตการเปล�ยนกลม )(bca = cab)(

สมบตการมเอกลกษณการบวก คอ 1 1. a = a .1 = a

สมบตการมอนเวอรสการคณ

(ยกเวน � เพราะ 0

1 ไมมความหมาย)

a มอนเวอรสการคณ คอ a

1 และ

1 มอนเวอรสการคณ คอ a

��

จะได a 111

aa ; 0a

น�นคอ จานวนจรง a จะม a

1 เปน

อนเวอรสการคณ

สมบตการแจกแจง acabcba )(

cabaacb )(

จากสมบตของจานวนจรงสามารถใชพสจนทฤษฎบทตอไปน�ได

ทฤษฎบทท� 1 กฎการตดออกสาหรบการบวก

เม�อ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

ถา a + c = b + c แลว a = b

ถา a + b = a + c แลว b = c

ทฤษฎบทท� 2 กฎการตดออกสาหรบการคณ

เม�อ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b

ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c

ทฤษฎบทท� 3 เม�อ a เปนจานวนจรงใด ๆ

a · 0 = 0

0 · a = 0

(-1)a = -a

a(-1) = -a

ทฤษฎบทท� 5 เม�อ a, b เปนจานวนจรงใด ๆ

ถา ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

a(-b) = -ab

(-a)b = -ab

(-a)(-b) = ab

��

การลบและการหารจานวนจรง

• การลบจานวนจรง

บทนยาม เม�อ a, b เปนจานวนจรงใด ๆ

a - b = a + (-b)

น�นคอ a - b คอ ผลบวกของ a กบอนเวอรสการบวกของ b

• การหารจานวนจรง

บทนยาม เม�อ a, b เปนจานวนจรงใด ๆ เม�อ b ≠ 0

a = a( 1b )

น�นคอ b

a คอ ผลคณของ a กบอนเวอรสการคณของ b

��

�. ใหผเรยนเตมชองวางโดยใชสมบตการเทากน

1. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..……………

2. ถา a = b แลว -�a = …………………………………………………………………..…

3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….…………

4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..………

5. ถา 22 112 xxx แลว 2

1x .……………………………………………

6. ถา yx2

3 แลว 2x = ………………………………………………………….…………

7. ถา xx 212 แลว 21x = ……………………………………………….….………

8. ถา baab แลว ab2

1 = ……………………………………………….………….

2. กาหนดให a , b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปน� เปนจรงตาม

สมบตใด

1) 3 + 5 = 5 + 3

2) (1+2)+3 = 1+(2+3)

3) (-9)+5 = 5 +(-9)

4) (8 X 9) เปนจานวนจรง

5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5

6) 2(a+b) = 2a +2b

7) (a + b) + c = a+( b + c)

8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a

9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6)

10) c(a +b) = ac +bc

3 . เซตท�กาหนดใหในแตละขอตอไปน� มหรอไมมสมบตปดของการบวกหรอสมบตปดของการคณ

1) { 1 , 3 , 5 }

2) { 0 }

3) เซตของจานวนจรง

4) เซตของจานวนตรรกยะ

5) เซตของจานวนท�หารดวย 3 ลงตว

��

4. จงหาอนเวอรสการบวกของจานวนจรงในแตละขอตอไปน�

1) อนเวอรสการบวกของ 8

2) อนเวอรสการบวกของ - 5

3) อนเวอรสการบวกของ - 0.567

4) อนเวอรสการคณของ 23

��

3. สมบตการไมเทากน

ใหผเรยนทบทวนเร�องสมบตการเทากนในเร�องท�ผานมาเพ�อเปนความรเพ�มเตม สวนใน

เร�องน� จะเนนเร�องสมบตการไมเทากนเทาน�น

ประโยคคณตศาสตรจะใชสญลกษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทากน เรยกการไมเทากน

วา “อสมการ” (Inequalities)

บทนยาม a < b หมายถง a นอยกวา b

a > b หมายถง a มากกวา b

กาหนดให a, b, c เปนจานวนจรงใด ๆ

1. สมบตการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c

2. สมบตการบวกดวยจานวนท�เทากน ถา a > b แลว a + c > b+ c

3. จานวนจรงบวกและจานวนจรงลบ

a เปนจานวนจรงบวก กตอเม�อ a > 0

a เปนจานวนจรงลบ กตอเม�อ a < 0

4. สมบตการคณดวยจานวนเทากนท�ไมเทากบศนย

กรณท� � ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc

กรณท� � ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc

5. สมบตการตดออกสาหรบการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b

6. สมบตการตดออกสาหรบการคณ

กรณท� � ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b

กรณท� � ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b

บทนยาม

a ≤ b หมายถง a นอยกวาหรอเทากบ b

a ≥ b หมายถง a มากกวาหรอเทากบ b

a < b < c หมายถง a < b และ b < c

a ≤ b ≤ c หมายถง a ≤ b และ b ≤ c

��

ชวง (Interval)

ชวง หมายถง เซตของจานวนจรงท�เปนสวนใดสวนหน�งของเสนจานวน

3.1 ชวงของจานวนจรง กาหนดให a, b เปนจานวนจรง และ a < b

1. ชวงเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }

2. ชวงปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. ชวงคร� งเปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ชวงคร� งเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b}

5. ชวง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}

6. ชวง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}

7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a}

8. ชวง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

��

แบบฝกหดท� 3

�. ใหผเรยนบอกสมบตการไมเทากน (เม�อตวแปรเปนจานวนจรงใดๆ)

1. ถา x 3 แลว 2x 6 ………………………………………………………………..

2. ถา y7 แลว -�y < 14 ………………………………………………………………..

3. ถา x+1 6 แลว x+2 7 …………………………………………………………..

4. ถา y+3 5 แลว y 2 ………………………………………………………………

5. ถา x 7 และ � y แลว xy ……………………………………………………….

6. ถา a 0 แลว a+1 0 +1 ………………………………………………………….

7. ถา b 0 แลว b + (-2) 0+(-2) ……………………………………………………

8. ถา c -2 แลว (-1)c (-1)(-2) …………………………………………………….

�. จงใชเสนจานวนแสดงลกษณะของชวงของจานวนจรงตอไปน�

1) (�,�)

�) [3,6]

3) [-1,5)

4) (-1,4]

��

5) (2, )

6) (- ,4)

7) (0,8)

8) [-5,4)

-� -� -3 -2 -1 0 1 2 3 4

��

4. คาสมบรณ

คาสมบรณของจานวนจรง หมายถง ระยะหางจากจดศนยบนเสนจานวน พจารณาคา

สมบรณของ � และ -�

– 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6

� อยหางจาก � � หนวย คาสมบรณของ � คอ �

-� อยหางจาก � � หนวย คาสมบรณของ -� คอ �

น�นคอ คาสมบรณของจานวนจรงใด ๆ ตองมคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ

บทนยาม กาหนดให a เปนจานวนจรง

4.1 สมบตของคาสมบรณ

1. | x | = | -x |

2. | xy | = | x||y |

4. | x - y | = | y - x |

5. | x |2 = x2

6. | x + y | ≤ | x | +| y |

6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y |

6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y |

7. เม�อ a เปนจานวนจรงบวก

| x | < a หมายถง -a < x < a

| x | ≤ a หมายถง -a ≤ x ≤ a

8. เม�อ a เปนจานวนจรงบวก

| x | > a หมายถง x < -a หรอ x > a

| x | ≥ a หมายถง x ≤ -a หรอ x ≥ a

��

1) X 2

-2 x หรอ -2x เซตคาตอบของอสมการ คอ ...........................................................................................................

2) X < 3

-3 < X < 3

เซตคาตอบของอสมการ คอ..............................................................................................................

�) 4 -X < 3

จะได -� < X – 4 < 3

- 3 + 4 < X < 3 + 4

1 < X < 7

เซตคาตอบของอสมการ คอ.............................................................................................................

�) 3 X- 2

จะได � – X - 3 หรอ � – X 3

- X -3 -2 หรอ - X - 3 -2

- X -5 หรอ –X 1

- X 5 หรอ X -1

เซตคาตอบของอสมการ คอ.............................................................................................................

��

บทท� �

เลขยกกาลงท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะ

1. อานวา a ยกกาลง n โดยม a เปนฐาน และ n เปนเลขช�กาลง

2. อานวา กรณฑท� n ของ a หรออานวา รากท� n ของ a

3. จานวนจรงท�อยในรปเลขยกกาลงท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะจะมความสมพนธกบ

จานวนจรงท�อยในรปของกรณฑหรอ ราก ( root ) ตามความสมพนธดงตอไปน�

และ

4. การบวก ลบ คณ หาร จานวนท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะโดยใชบทนยามการบวก

ลบ คณ หาร เลขยกกาลงของจานวนเตม

1. อธบายความหมายและบอกความแตกตางของจานวนตรรกยะและอตรรกยะได

2. อธบายเก�ยวกบจานวนจรงท�อยในรปเลขยกกาลงท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะ และ

จานวนจรงในรปกรณฑได

3. อธบายความหมายและหาผลลพธท�เกดจากการบวก การลบ การคณ การหาร จานวนจรงท�

อยในรปเลขยกกาลงท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะ และจานวนจรงในรปกรณฑได

เร�องท� � จานวนตรรกยะและอตรรกยะ

เร�องท� � จานวนจรงในรปกรณฑ

เร�องท� � การบวก การลบ การคณ การหาร จานวนท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะและ

จานวนจรงในรปกรณฑ

��

เร�องท� 1 จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

1.1 จานวนตรรกยะ หมายถง จานวนท�เขยนแทนในรปเศษสวน b

a เม�อ a และ b เปนจานวนเตม

และ 0b ตวอยาง จานวนท�เปนจานวนตรรกยะ เชน จานวนเตม , เศษสวน , ทศนยมซ�า เปนตน

1.2 จานวนอตรรกยะ หมายถง จานวนท�ไมสามารถเขยนใหอยในรปของเศษสวนb

a เม�อ a และ b

เปนจานวนเตมและ b 0 จานวนอตรรกยะประกอบดวยจานวนตอไปน� เปนทศนยมแบบไมซ�า เชน

1.235478936... 5.223322233322223333...

ความแตกตางระหวางจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

จานวน ความแตกตาง

จานวนเตม เศษสวน ทศนยม คาทางพชคณต

ตรรกยะ ม ม

- ทศนยมรจบ

- ทศนยมรจบแบบซ�า

- คาทางพชคณตท�หาคาได

ลงตว หรอไดคาตอบเปน

เศษสวน

อตรรกยะ ไมม ไมม

- ทศนยมไมรจบ - คาทางพชคณตท�มคา

เฉพาะ เชน

e,,5,3,2 เปนตน

1.3 เลขยกกาลงท�มเลขช�กาลงเปนจานวนเตม

นยามเลขยกกาลง an หมายถง a a a a…………….. a

n ตว

เม�อ a เปนจานวนใด ๆ และ n เปนจานวนเตมบวก

เรยก an วาเลขยกกาลง ท�ม a เปน ฐาน และ n เปนเลขช�กาลง

เชน 54 = 5 5 5 5 = 625

ถา ba, เปนจานวนจรงใด m และ n เปนจานวนเตมบวก จะไดกฎของการยกกาลง ดงน�

กฎขอท� � nm ba = nma

กฎขอท� � nab)( = nnba

กฎขอท� � nma = mna

��

กฎขอท� � เม�อ 0x

a = 1 ถา nm

= nma ถา nm

1 ถา mn

กฎขอท� � เม�อ 0y

นยาม 10 a เม�อ a เปนจานวนจรงใด ๆ ท�ไมเทากบศนย

นยาม n

1 เม�อ a เปนจานวนจรงใด ๆ ท�ไมเทากบศนยและ n เปนจานวนเตมบวก

��

�. จงบอกฐานและเลขช�กาลงของเลขยกกาลงตอไปน�

1) 36 ฐานคอ.....................................เลขช�กาลงคอ.................................

�) 51.2 ฐานคอ.................................เลขช�กาลงคอ.................................

�) 05 ฐานคอ.................................เลขช�กาลงคอ...................................

ฐานคอ.....................................เลขช�กาลงคอ.................................

�. จงหาคาของเลขยกกาลงตอไปน�

1) 54 = ……………………….

�) 4

= ………………………..….

3) 31.2 = ………………………….

4) 63 = ………………………….

�. จงทาใหอยในรปอยางงายและเลขช�กาลงเปนจานวนเตม

1) 42a = ………………………….

= ………………………….

4) 351.1 = ………………………….

5) 52 x = ………………………….

��

เร�องท� � จานวนจรงในรปกรณฑ

การเขยนเลขยกกาลงเม�อเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะสามารถทาไดโดยอาศยความรเร�อง รากท� n

ของจานวนจรง a ( ซ�งเขยนแทนดวยสญลกษณ a ) และมบทนยามดงน�

ตวอยาง

n ba กตอเม�อ ban

3 82 กตอเม�อ 823

5 2433 กตอเม�อ 24335

ลองทาด

9 = 3 3 3 เปนรากท� 2 ของ 9

3 8 = ………….………………………..

4 81 = ……………………………………

5 32 = …………………………………….

สมบตของรากท� n ของจานวนจรง เม�อ n เปนจานวนเตมบวกท�มากกวา 1

�. nn aa1

2.) n na = | |

3) n ab = nn ba

a , 0b

นยาม ให n เปนจานวนเตมบวกท�มากกวา 1

a และ b เปนจานวนจรง

a เปนรากท� n ของ b กตอเม�อ ban

เม�อ 0a

เม�อ 0a และ n เปนจานวนค�

เม�อ 0a และ n เปนจานวนค

��

ตวอยาง � �� = 16 และ (-2)4 = 16

� เปนรากท� � ของ �� เพราะ �� = 16

-� เปนรากท� � ของ �� เพราะ (-2)4 = 16

รากท� � ของ �� คอ � และ -�

ตวอยาง � �� = �

� เปนรากท� � ของ � เพราะ �� = 8

แต -� ไมใชเปนรากท� � ของ � เพราะ (-2)3 = -8

รากท� � ของ � คอ �

หมายเหต �. เคร�องหมาย “ ” เรยกวา เคร�องหมาย กรณฑ เขยน “n” วาเปนอนดบท�

�. เม�อ a เปนจานวนจรงใด ๆ จานวนจรงท�เขยนในรป n a เรยก กรณฑ เชน 33 64,25,5

นยาม ให a เปนจานวนจรง และ n เปนจานวนเตมบวกท�มากกวา � จะเรยก n a วา รากท� n ของ a

หรอ กรณฑอนดบท� n ของ a

โดยท� �. ถา n เปนจานวนคแลว a ตอง 0

�. ถา n เปนจานวนค�แลว a เปนจานวนจรง

��

�. จงหาคาของรากท� n ของจานวนจรงตอไปน�

1) 25 = ……………………….

2) 64 = ……………………….

3) 5 243 = ……………………….

4) 3 125 = ……………………….

27 = ……………………….

6) 4 16 = ……………………….

7) 3 125 = ……………………….

8) 64 = ……………………….

9) 3 8 = ……………………….

10) 4 16 = ……………………….

�. จงเขยนจานวนตอไปน� ใหอยในรปอยางงาย โดยใชสมบตของ รากท� n

�) 25 = ……………………..………… 2) 3 32 = ………………….………..

3) 33 ( 2) = ……………………………. 4) 55 ( 2) =……………….………..

5) 2( 3) = ………………..…………… 6) 44 ( 2) =………………………..

7) 200 = …………………………… 8) 75 = …………………..……….

9) 3 240 = …………………………… 10) 45 = …………………..……….

11) 5 15 = …………….……………. 12) 3 381 32 = …………………….

4 = ……………………. 14) 3

5 = …………………………..

��

เร�องท� 3 การบวก การลบ การคณ การหาร จานวนท�มเลขช�กาลงเปนจานวนตรรกยะและ

จานวนจรงในรปกรณฑ

3.1 การบวก และการลบจานวนท�อยในรปกรณฑ

สมบตของการบวกจานวนจรง ขอหน�งท�สาคญและมการใชมาก คอ สมบตการแจกแจงในการ

บวก พจนคลาย ดงตวอยาง

1) xxxx 85353 สมบตของการแจกแจง

2) aaaa 53838

ดวยวธการเชนน� เราสามารถนามาใชในเร�องการบวก การลบ ของจานวนท�อยในรปกรณฑท�

เรยกวา “พจนคลาย” ซ�งเปนกรณฑอนดบเดยวกน จานวนท�อยภายในเคร�องหมายกรณฑเปนจานวน

เดยวกน เราทราบวา 2323 และ 2525

ดงน�น 25232523

253 (สมบตการแจกแจง)

ตวอยางท� � จงหาคาของ 32712

วธทา 32712 = 33934

= 33332

= 3132

วธทา 1254520 = 5255954

= 555352

= 5532

วธทา 845182203 = 2253232523

= 22532656

= 22265356

= 2853

��

3.2 การคณ และการหารจานวนท�อยในรปกรณฑ

การคณ

จากสมบตขอท� � ของรากท� n ท�กลาววา nnn baab เม�อ n a และ n b เปนจานวนจรง

ตวอยางท� � )25()83( = 2583

��

การหาร

ใชสมบตขอ � ของรากท� n ท�กลาววา

a เม�อ b 0

หรอใชสมบตขอ � ของรากท� n ท�กลาววา

หรอใชสมบตท�วาดวยการคณตวเศษและตวสวนดวยจานวนเดยวกน

��

จงทาจานวนตอไปน�ใหอยในรปอยางงาย

�) 28x

�) 4 256

�) 3 68y

�) 5 32

�) 32283

�) 521053

�) 33 2 42 aa

�) 33 454

��

3.2 เลขยกกาลงท�มกาลงเปนจานวนตรรกยะ

ตวอยางท� �

บทนยาม เม�อ a เปนจานวนจรง n เปน จานวนเตมท�มากกวา � และ

a มรากท� n จะไดวา

nn aa 1

บทนยาม ให a เปนจานวนเตมท� n > 0 และ n

m เปนเศษสวนอยางต�าจะไดวา

��

�. จงทาจานวนตอไปน� ใหอยในรปอยางงาย

�) 28x

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

�) 3 27

……………………………………………………………………………………………………………

3) 2( 2 8 18 32)

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

27(64)

……………………………………………………………………………………………………………

��

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

��

บทท� �

เซต

1. เซต โดยท�วไปหมายถง กลม คน สตว ส�งของ ท�รวมกนเปนกลม โดยมสมบตบางอยาง

รวมกน และบรรดาส�งท�งหลายท�อยในเซตเราเรยกวา “ สมาชก” ในการศกษาเร�องเซตจะ

ประกอบไปดวย เซต เอกภพสมพทธ สบเซตและเพาเวอรเซต

2. การดาเนนการบนเซต คอ การนาเซตตาง ๆ มากระทารวมกนเพ�อใหเกดเปนเซตใหม ซ�ง

ทาได 4 วธคอ การยเน�ยน การอนเตอรเซคช�น ผลตางระหวางเซต และการคอมพลเมนต

3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชวยใหการพจารณาเก�ยวกบเซตไดงายข�นโดยใชหลกการคอ

3.1 ใชรปส�เหล�ยมผนผาแทนเอกภพสมพทธ “U”

3.2 ใชวงกลมหรอวงรแทนเซตตาง ๆ ท�เปนสมาชกของ “U” และเขยนภายในส�เหล�ยมผนผา

1. อธบายความหมายเก�ยวกบเซตได

2. สามารถหายเน�ยน อนเตอรเซกช�น ผลตางของเซต และคอมพลเมนต ได

3. เขยนแผนภาพแทนเซตและนาไปใชแกปญหาท�เก�ยวกบการหาสมาชกของเซตได

เร�องท� � เซต

เร�องท� � การดาเนนการของเซต

เร�องท� � แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกปญหา

��

เร�องท� � เซต (Sets)

1.1 ความหมายของเซต

เซต หมายถง กลมส�งของตาง ๆ ไมวาจะเปน คน สตว ส�งของหรอนพจนทางคณตศาสตร

ซ�งระบสมาชกในกลมได

ยกตวอยาง เซต เชน

1) เซตของวทยาลยเทคนคในประเทศไทย

2) เซตของพยญชนะในคาวา “คณธรรม”

3) เซตของจานวนเตม

4) เซตของโรงเรยนระดบมธยมศกษาในจงหวดสกลนคร

เรยกส�งตาง ๆ ท�อยในเซตวา “สมาชก” ( Element ) ของเซตน�น เชน

1) วทยาลยเทคนคดอนเมองเปนสมาชกเซตวทยาลยเทคนคในประเทศไทย

2) “ร” เปนสมาชกเซตพยญชนะในคาวา “คณธรรม”

3) 5 เปนสมาชกของจานวนเตม

4) โรงเรยนดงมะไฟวทยาเปนสมาชกเซตโรงเรยนระดบมธยมศกษาในจงหวด

สกลนคร

�.� วธการเขยนเซต

การเขยนเซตเขยนได � แบบ

�. แบบแจกแจงสมาชกของเซต โดยเขยนสมาชกทกตวของเซตลงในเคร�องหมายวงเลบ

ปกกาและใชเคร�องหมายจลภาค (,) ค�นระหวางสมาชกแตละตวน�น

ตวอยางเชน A = {�, �, �, �, �}

B = { a, e, i, o, u}

C = {...,-�,-�,�,�,�,...}

�. แบบบอกเง�อนไขของสมาชกในเซต โดยใชตวแปรแทนสมาชกของเซต และบอก

สมบตของสมาชกในรปของตวแปร

ตวอยางเชน A = { x | x เปนจานวนเตมบวกท�มคานอยกวาหรอเทากบ �}

B = { x | x เปนสระในภาษาองกฤษ}

C = {x | x เปนจานวนเตม}

สญลกษณเซต

โดยท�ว ๆ ไป การเขยนเซตหรอการเรยกช�อของเซตจะใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพ

ใหญไดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปนตน ท�งน� เพ�อความสะดวกในการอางองเม�อเขยนหรอกลาวถงเซต

น�น ๆ ตอไป สาหรบสมาชกในเซตจะเขยนโดยใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพเลก

��

มสญลกษณอกอยางหน�งท�ใชอยเสมอ ๆในเร�องเซต คอสญลกษณ ( Epsilon)

แทนความหมายวา อยใน หรอ เปนสมาชก

เชน กาหนดให เซต A มสมาชกคอ 2 , 3 , 4 , 8 , 10

ดงน�น 2 เปนสมาชกของ A หรออยใน A เขยนแทนดวย 2 A

10 เปนสมาชกของ A หรออยใน A เขยนแทนดวย 10 A

ใชสญลกษณ แทนความหมาย “ไมอย หรอไมเปนสมาชกของเซต เชน

5 ไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย 5 A

7 ไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย � A

1.3 ชนดของเซต

1.3.1 เซตวาง ( Empty Set or Null Set )

ตวอยาง เชน A = { x | x เปนช�อทะเลทรายในประเทศไทย }

ดงน�น A เปนเซตวาง เน�องจากประเทศไทยไมมทะเลทราย

B = { x | x I+ และ x + 2 = x }

ดงน�น B เปนเซตวาง เน�องจากไมมจานวนเตมบวกท�นามาบวกกบ 2 แลวได

ตวมนเอง เซต B จงไมมสมาชก

ขอสงเกต

1. การเรยงลาดบของแตละสมาชกไมถอเปนส�งสาคญ

เชน A = { a , b , c }

B = { b , c , a }

ถอวาเซต A และเซต B เปนเซตเดยวกน

2. การนบจานวนสมาชกของเซต จานวนสมาชกท�เหมอนกนจะนบเพยงคร� งเดยว

ถงแมจะเขยนซ�า ๆ กน หลาย ๆ คร� ง

เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มจานวนสมาชก 4 ตว คอ 0 , 1 , 2 , 3

เปนตน

บทนยาม

เซตวาง คอ เซตท�ไมมสมาชก ใชสญลกษณ หรอ { } แทนเซตวาง

( เปนอกษรกรก อานวา phi)

ขอสงเกต 1. เซตวางมจานวนสมาชก เทากบศนย ( ไมมสมาชกเลย )

2. 0 Ø

3. { 0 } ไมเปนเซตวาง เพราะมจานวนสมาชก 1 ตว

��

�.�.� เซตจากด ( Finite Set )

บทนยาม

เซตจากด คอ เซตท�สามารถระบจานวนสมาชกในเซตได

ตวอยางเชน A = { 1 , 2 , {3} } มจานวนสมาชก 3 ตว หรอ n(A) = 3

B = { x | x เปนจานวนเตมและ 1 ≤ x ≤ 100 } มจานวนสมาชก 100 ตว

หรอ

n(B) = 100

C = { x | x เปนจานวนเตมท�อยระหวาง 0 กบ 1 } ดงน�น C เปนเซตวาง

มจานวนสมาชก 0 ตว หรอ n(C) = 0

D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มจานวนสมาชก 99 ตว หรอ n(D) = 99

E = { x | x เปนวนในหน�งสปดาห } มจานวนสมาชก 7 ตว หรอ n(E) = 7

หมายเหต จานวนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย n(A)

�.�.� เซตอนนต ( Infinite Set )

ตวอยางเชน A = { -1 , -2 , -3 , … }

B = { x | x = 2n เม�อ n เปนจานวนนบ }

C = { x | x เปนจานวนจรง }

T = { x | x เปนจานวนนบ }

ตวอยาง จงพจารณาเซตตอไปน� เซตใดเปนเซตวาง เซตจากดหรอเซตอนนต

เซต เซตวาง เซตจากด เซตอนนต

1. เซตของผท�เรยนการศกษานอกโรงเรยน

ปการศกษา �� /

2. เซตของจานวนเตมบวกค� /

3. เซตของสระในภาษาไทย /

4. เซตของจานวนเตมท�หารดวย 10 ลงตว /

5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / /

บทนยาม

เซตอนนต คอ เซตท�ไมใชเซตจากด ( หรอเซตท�มจานวนสมาชกไมจากด น�นคอ

ไมสามารถนบจานวนสมาชกไดแนนอน )

��

�.�.� เซตท�เทากน ( Equal Set )

เซตสองเซตจะเทากนกตอเม�อท�งสองเซตมสมาชกอยางเดยวกน และจานวนเทากน

บทนยาม เซต A เทากบเซต B เขยนแทนดวย A = B หมายความวา สมาชกทกตวของเซต A

เปนสมาชกทกตวของเซต B และสมาชกของเซต B เปนสมาชกทกตวของเซต A

ถาสมาชกตวใดตวหน�งของเซต A ไมเปนสมาชกของเซต B หรอสมาชกบางตวของเซต B

ไมเปนสมาชกของเซต A เซต A ไมเทากบเซต B เขยนแทนดวย A ≠ B

ตวอยางเชน A = { 0 , { 1,2 } }

B = { { 2 ,1 } , 0 }

ดงน�น A = B

ตวอยาง กาหนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

B = { x | x เปนจานวนเตมบวกเลขคท�นอยกวา 10 }

วธทา A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

พจารณา B เปนจานวนเตมบวกคท�นอยกวา 10

จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 }

ตวอยาง กาหนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 }

วธทา พจารณา x2 - 8x + 15 = 0

( x – 3 ) (x – 5 ) = 0

X = 3 , 5

C = { 3 , 5 }

แต A ≠ C เพราะ 2 A แต 2 C

B C เพราะ 2 B แต 2 C

��

�.�.� เซตท�เทยบเทากน ( Equivalentl Sets )

เซตท�เทยบเทากน คอ เซตท�มจานวนสมาชกเทากนและสมาชกของเชตจบคกนไดพอด

แบบหน�งตอแบบหน�ง สญลกษณ เชต A เทยบเทากบเชต B แทนดวย A ↔ B

บทนยาม เซต A เทยบเทากบเซต B เขยนแทนดวย A ~ B หรอ A ↔ B หมายความวา

สมาชกของ A และสมาชกของ B สามารถจบคหน�งตอหน�งไดพอด

ตวอยางเชน A = { 1 , 2 , 3 }

B = { 4 , 5 , 6 }

จะเหนวา จานวนสมาชกของเซต A เทากบจานวนสมาชกของ B

ดงน�น A ↔ B

C = { xy , ab }

D = { 0 , 1 }

ดงน�น C ~ D เพราะจานวนสมาชกเทากน

ตวอยาง จงพจารณาเซตแตละคตอไปน�วาเซตคใดเทากน หรอเซตคใดเทยบเทากน

1) A = { x / x เปนจานวนเตม x2 – 10x + 9 = 0 }

B = { 1 , 9 }

2) C = { a , { b, c } , d }

D = { 1 , 2 , { 3 } }

3) E = { 1 , 4 , 7 }

F = { 4 , 1 , 7 }

วธทา

1) A = B และ A B เพราะมจานวนสมาชกเทากน และสมาชกเหมอนกนทกตว

2) C D แต C D เพราะมจานวนสมาชกเทากน แตสมาชกแตละคไมเหมอนกนทกตว

3) E = F และ E F เพราะมจานวนสมาชกเทากน และสมาชกเหมอนกนทกตว

�.�.� เอกภพสมพทธ

1. ถา A = B แลว A B

2. ถา A B แลว A ไมจาเปนตองเทากบ B

��

บทนยาม

เอกภพสมพทธ คอ เซตท�กาหนดข�นโดยมขอตกลงกนวาจะไมกลาวถง ส�งอ�นใด

นอกเหนอไปจากสมาชกของเซตท�กาหนด ใชสญลกษณ U แทน เอกภพสมพทธ

ตวอยางเชน กาหนดให U เปนเซตของจานวนนบ

และ A = x | 42 x จงเขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชก

ตอบ A = 2

กาหนดให U เปนเซตของจานวนนบ

และ A เปนจานวนค

ตอบ A = 2,4,6,8,10

ขอสงเกต ถาไมมการกาหนดเอกภพสมพทธ ใหถอวาเอกภพสมพทธน�นเปนเซตของจานวนจรง

��

1. จงเขยนเซตตอไปน�แบบแจกแจงสมาชก

1) เซตของจงหวดในประเทศไทยท�มช�อข�นตนดวยพยญชนะ “ส”

2) เซตของสระในภาษาองกฤษ

3) เซตของจานวนเตมบวกท�มสามหลก

4) เซตของจานวนคบวกท�มคานอยกวา 20

5) เซตของจานวนเตมลบท�มคานอยกวา – 120

6) { x|x เปนจานวนเตมท�มากกวา 5 และนอยกวา 15 }

7) { x|x เปนจานวนเตมท�อยระหวาง 0 กบ 0 }

2. จงบอกจานวนสมาชกของเซตตอไปน�

1) A = {3456}

2) B = {a,b,c,de,fg,hij,}

3) C = { x|x เปนจานวนเตมบวกท�อยระหวาง �� ถง �� }

4) D = { x|x เปนจานวนเตมบวกท�นอยกวา � }

3. จงเขยนเซตตอไปน�แบบบอกเง�อนไข

1) K = { 2,�,�,�}

2) P = { 1,�,�,...}

3) H = { 1,�,�,��,��,...}

�. จงพจารณาเซตตอไปน� เปนเซตวางหรอเซตจากดหรอเซตอนนต

1) เซตของสระในภาษาไทย

2) เซตของจานวนเตมท�อยระหวาง 21 และ 300

3) A = { x | x เปนจานวนเตมและ x 0 }

4) B = { x | x เปนจานวนเตมคท�นอยกวา 2 }

5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 }

6) A = { x | x เปนจานวนนบท�นอยกวา 1 }

7) E = { x | x เปนจานวนเฉพาะ 1 x 3 }

8) F = { x | x เปนจานวนเตม 4 x 5 }

9) B = { x | x เปนจานวนนบ x2 + 3x + 2 = 0 }

10) D = { x | x เปนจานวนเตมท�หารดวย 5 ลงตว }

��

�. เซตตอไปน� เซตใดบางท�เปนเซตท�เทากน

�) A = { 2,�,�,�,�� }

B = {x| x เปนจานวนคบวก � ถง �� }

2) D = { 7,��,��,��,......��}

E = {x|x = 7r และ r เปนจานวนนบท�มคานอยกวา �� }

�) F = { x|x =3n และ n และ n }

G = { 3,�,�}

4) Q = {4}

H = { x|x เปนจานวนเตมและ 162x }

��

เร�องท� � การดาเนนการของเซต

การดาเนนการท�สาคญของเซตท�จาเปนตองรและทาความเขาใจใหถองแทม � ชนด ไดแก

1. การยเนยนของเซต

2. การอนเตอรเซคช�นของเซต

3. คอมพลเมนทของเซต

4. ผลตางของเซต

�.� การยเนยนของเซต ใชสญลกษณ “ ”

บทนยาม A B = { x | x A x B } เรยกวา ผลบวก หรอผลรวม (union)

ของ A และ B

ตวอยาง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7}

จะได A B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}

ตวอยาง 2. ถา M = {x | x เปนจานวนเตมบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได M L = M

ตวอยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b}

จะได W Z = {a , s , d , f , p , k , b}

ตวอยาง � A ={1,2,3} , B= {3,4,5}

จะได A B = {1,2,3,4,5}

�.2 การอนเตอรเซคชน ใชสญลกษณ “ ”

บทนยาม A B = { x|x A xB } เรยกวา ผลตด หรอผลท�เหมอนกน

(Intersection) ของ A และ B

ตวอยาง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7}

จะได A B = {1 , 3}

ตวอยาง 2. ถา M = {x | x เปนจานวนเตมบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได M L = L

��

ตวอยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b}

จะได ZW = { }

�.3 คอมพลเมนตของเซต ใชสญลกษณ “ /

บทนยาม ถา U เปนเอกภพสมพทธ คอมพลเมนตของ A คอ เซตท�ประกอบดวยสมาชก

ท�อยใน แตไมอยใน A เขยน A แทนคอมพลเมนทของ A

ดงน�น A = { x | x A }

ตวอยาง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2}

จะได = {1, 3,4, 5}

ตวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจานวนค}

จะได = { x |x U และ x เปนจานวนค� }

�.� ผลตางของเซต ใชสญลกษณ “ – ”

บทนยาม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คอ เซตท�ประกอบดวยสมาชกของเซต A ซ�ง

ไมเปนสมาชกของเซต B ผลตางระหวางเซต A และ B เขยนแทนดวย A – B ซ�ง A - B = { x | x A

ตวอยาง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7}

จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}

��

ตวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจานวนคบวก}

จะได U – C = {x|x เปนจานวนค�บวก}

สมบตของเซตท�ควรทราบ

ให A,B และ C เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U สมบตตอไปน� เปนจรง

�) กฎการสลบท�

�) กฎการเปล�ยนกลม

CBACBA

�) กฎการแจงแจง

CABACBA

�) กฎเอกลกษณ

�) UAA

�) U และ U

�) AA

�) AAA และ AAA

�) BABA

��) A และ AA

��

�) ถา A = { 0,�,�,�,�,�}, และ B { 1,�,�,� } จงหา

�) A B ……………………………. 2). B A …………………………..……

�). A B ............................................. �). B A ……………………………..…

�). A – B……………………..…………. �). B – A……………………………….….

�). กาหนดให U = { 1,�,�, ... ,�� }

A = { 2,�,�,�,�� }

B = { 1,�,�,�,�}

C = { 3,�,�,�,� }

จงหา

1. A B ………………………………………………………………………………………

2. B C ………………………………………………………………………………………

3. B C …………………………………………………………………………………….…

4. A C ..………………………………………………………………………………..……

5. C ..………………………………………………………………………………..………….

6. AC ………………………………………………………………………………..……..

7. BC ..………………………………………………………………………………..……

8. (A ……………………………………………….…………………………………

��

เร�องท� � แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกปญหา

3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร

การเขยนแผนภาพแทนเซตชวยใหเขาใจเก�ยวกบความสมพนธระหวางเซตชดเจนย�งข�น เรยก

แผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน-ออยเลอร เพ�อเปนเกยรตแกนกคณตศาสตรชาวองกฤษ จอหน

เวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนกคณตศาสตรชาวสวส เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler

พ.ศ. 2250-2326) ซ�งเปนผคดแผนภาพเพ�อแสดงความสมพนธระหวางเซต

การเขยนแผนภาพของเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler) เพ�อแสดงความสมพนธระหวางเซตนยม

เขยนรปส�เหล�ยมมมฉากแทนเอกภพสมพทธ (U) และใชรปวงกลม วงร หรอรปปดใด ๆ แทนเซต

ตาง ๆ ซ�งเปนสบเซตของ U ลกษณะตาง ๆ ของการเขยนแผนภาพ มดงน�

ซ�งแผนภาพเวนน-ออยเลอร เม�อนามาใชกบการดาเนนการบนเซตแลวน�นจะทาใหผเรยนเขาใจ

ในเร�องการดาเนนการบนเซตมากข�น ดงตวอยางตอไปน�

ยเนยน (Union) สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเหนกรณตาง ๆ ของเซตใหมท�เกด

จาก ไดจากสวนท�แรเงา ดงน�

(ระบายพ�นท�ของท�งสองเซตไมวาจะมพ�นท�ซ�ากนหรอไมซ�ากน)

��

อนเตอรเซกชน (intersection)

สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเหนกรณตาง ๆ ของเซตใหมท�เกดจาก

ไดจากสวนท�แรเงา ดงน�

คอมพลเมนต (Complement)

กาหนดให เซต A เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U คอมพลเมนตของ A คอ เซตท�ประกอบดวย

สมาชกของเอกภพสมพทธ (U) แตไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย (อานวา เอไพรม) และ

เพ�อใหมองภาพไดชดข�นอาจใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอรแสดงการคอมพลเมนตของเซต A ได ดงน�

A คอ สวนท�แรเงา

ผลตาง (Relative Complement or Difference)

สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเหนกรณตาง ๆ ของเซตใหมท�เกดจาก A - B

ไดจากสวนท�แรเงา ดงน� (ระบายสเฉพาะพ�นท�ของเซต A ท�ไมใชพ�นท�ของเซต B)

��

�.� การหาจานวนสมาชกของเซตจากด

ถาเซต A และ B ไมมสมาชกรวมกนจะได

ถาเซต A และ B มสมาชกบางตวรวมกนจะได

พจารณาจากรป ตวเลขในภาพแสดงจานวนสมาชกเซต

จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18

2) n (A B) = 6 4) n (A B) = 28

5) n ( A/ ) = 12 6) n ( B / ) = 10

7) n (A B)/ = 22 8) n ( A/ B/ ) = 22

ตวอยางท� 3 กาหนดให A มสมาชก 15 ตว B มสมาชก 12 ตว A B

มสมาชก 7 ตว จงหาจานวนสมาชกของ A B

วธทา

n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A B ) = 7

จากสตร n ( A B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A B) = 15 + 12 – 7 = 20

ดงน�น จานวนสมาชกของ A B เทากบ 20 ตว

n (A B) = n (A) + n (B)

n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

��

ตวอยางท� 4 กาหนดให A และ B เปนสบเซตของ U โดยท� U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }

ถา n (A/ B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A B) /

วธทา

จาก n ( U ) = 10 , n (A/ B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6

n (A B) = n (A B/) n ( A B) = 10 – 5 = 5

n (A) = 10 – 3 = 7

n ( A B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A B)

n ( A B ) = 7 + 6 – 5 = 8

n ( A B) / = 10 - 8 = 2

ถาเซต A เซต B และเซต C มสมาชกบางตวรวมกน

ตวอยางท� 5 พจารณาจากรป ตวเลขในภาพแสดงจานวนสมาชกของเซต

จะได

1) n (U) = 60

2) n (A) = 26

3) n (B C) = 7

4) n (A C) = 8

5) n (A B C ) = 3

n (A B C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A B) – n (B C) - n (A C) + n (A B C)

��

�.� การนาเซตไปใชในการแกปญหา

การแกปญหาโจทยโดยใชความรเร�องเซต ส�งท�นามาใชประโยชนมากกคอ การเขยนแผน

ภาพเวนน - ออยเลอร และนาความรเร�องสมาชกของเซตจากด ดงท�จะศกษารายละเอยดตอไปน�

ตวอยางท� 1 บรษทแหงหน�งมพนกงาน 80 คน พบวา พนกงาน 18 คนมรถยนต พนกงาน 23 คน

มบานเปนของตวเอง และพนกงาน 9 คน มบานของตวเองและรถยนต

จงหา

1) จานวนพนกงานท�งหมดท�มรถยนตหรอมบานเปนของตวเอง

2) จานวนพนกงานท�ไมมรถยนตหรอบานของตวเอง

วธทา ให A แทนเซตของพนกงานท�มรถยนต

B แทนเซตของพนกงานท�มบานเปนของตวเอง

เขยนจานวนพนกงานท�สอดคลองกบขอมลลงในแผนภาพไดดงน�

1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A B) = 9

พจารณา n (A B) = n(A) + n(B) - n (A B) = 18 + 23 – 9 = 32

ดงน�น จาวนพนกงานท�มรถยนตหรอมบานของตวเองเปน 32 คน

2) เน�องจากพนกงานท�งหมด 80 คน

น�นคอ พนกงานท�ไมมรถยนตหรอบานของตวเอง = 80 - 32 = 48 คน

ดงน�น พนกงานท�ไมมรถยนตหรอบานของตวเองเปน 48 คน

��

ตวอยางท� 2 ในการสารวจเก�ยวกบความชอบของนกศกษา 100 คน พบวานกศกษาท�ชอบเรยน

คณตศาสตร 52 คน นกศกษาท�ชอบเรยนภาษาไทย 60 คน นกศกษาท�ไมชอบเรยน

คณตศาสตรและไมชอบเรยนภาษาไทยม 14 คน จงหานกศกษาท�ชอบเรยนคณตศาสตร

และภาษาไทย

วธทา แนวคดท� 1 ให A แทนเซตของนกศกษาท�ชอบเรยนคณตศาสตร

B แทนเซตของนกศกษาท�ชอบเรยนภาษาไทย

จาก n (A) = 52 , n(B) = 60

n ( A/ B/ ) = 14 = n ( A B )/ [A/ B/ = ( A B ) / ]

n ( A B ) = 100

n ( A B ) = n(A) + n(B) - n (A B)

100 – 14 = 52 + 60 - n (A B)

86 = 52 + 60 - n (A B)

n (A B) = 112 - 86 = 26

ดงน�น จานวนนกศกษาท�ชอบเรยนคณตศาสตรและภาษาไทย ม 26 คน

แนวคดท� 2

ให x แทนจานวนนกศกษาท�ชอบเรยนคณตศาสตรและภาษาไทย

จากแผนภาพเขยนสมการไดดงน�

( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14

112 - x = 86

x = 112 - 86 = 26

ดงน�น จานวนนกศกษาท�ชอบเรยนคณตศาสตรและภาษาไทย ม 26 คน

��

ตวอยางท� 3 นกศกษาสาขาหน�งม 1,000 คน มนกศกษาเรยนภาษาองกฤษ 800 คน เรยน

คอมพวเตอร 400 คน และเลอกเรยนท�งสองวชา 280 คน อยากทราบวา

1) มนกศกษาก�คนท�เรยนภาษาองกฤษเพยงวชาเดยว

2) มนกศกษาก�คนท�เรยนคอมพวเตอรเพยงวชาเดยว

3) มนกศกษาก�คนท�ไมไดเรยนวชาใดวชาหน�งเลย

4) มนกศกษาก�คนท�ไมไดเรยนท�งสองวชาพรอมกน

วธทา ให U แทนเซตของนกศกษาท�งหมด

A แทน เซตของนกศกษาท�เรยนวชาภาษาองกฤษ

B แทน เซตของนกศกษาท�เรยนวชาคอมพวเตอร

A B แทน เซตของนกศกษาท�เรยนท�งสองวชา

n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A B) = 280

เขยนแผนภาพไดดงน�

1) นกศกษาท�เรยนภาษาองกฤษเพยงวชาเดยวมจานวน 800 - 280 = 520 คน

2) นกศกษาท�เรยนคอมพวเตอรเพยงวชาเดยวมจานวน 400 - 280 = 120 คน

3) นกศกษาท�ไมไดเรยนวชาใดวชาหน�งเลย คอสวนท�แรเงาในแผนภาพซ�งมจานวน

เทากบ 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

��

�) นกศกษาท�ไมเรยนท�งสองวชาพรอมกน คอ นกศกษาท�เรยนวชาใดวชาหน�งเพยงวชา

เดยว รวมกบนกศกษาท�ไมเรยนวชาใดเลย คอ สวนท�แรเงาในแผนภาพ ซ�งมจานวน

เทากบ 1,000 - 280 = 720 หรอ 520 + 120 + 80 = 720 คน

ตวอยางท� � ในการสารวจผใชสบ 3 ชนด คอ ก , ข , ค พบวามผใชชนด ก. 113 คน,

ชนด ข. 180 คน, ชนด ค. 190 คน, ใชชนด ก . และ ข. 45 คน, ชนด ก.

และ ค. 25 คน, ชนด ข. และ ค. 20 คน, ท�ง 3 ชนด 15 คน, ไมใชท�ง 3

ชนด 72 คน จงหาจานวนของผเขารบการสารวจท�งหมด

วธทา

ให A แทนผใชสบชนด ก.

B แทนผใชสบชนด ข.

C แทนผใชสบชนด ค.

จาก n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A B) – n (B C)

- n ( A C ) + n (A B C)

โดยท� n (A) = 113

n (B) = 180

n (C) = 190

n (A B) = 45

n (A C) = 25

n (B C) = 20

n (A B C) = 15

n (A B C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A B) – n (B C) -

n (A C) + n (A B C)

n (A B C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

��

จานวนผท�ใชสบ ก. หรอ ข. หรอ ค. = 408 คน

จานวนผท�ไมใชท�ง 3 ชนด = 72 คน

ดงน�น จานวนของผเขารบการสารวจท�งหมด 408 + 72 = 480 คน

ให A แทนผใชสบชนด ก.

B แทนผใชสบชนด ข.

C แทนผใชสบชนด ค.

จานวนผท�ใชสบ ก. หรอ ข. หรอ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130

= 408 คน

จานวนผท�ไมใชท�ง 3 ชนด = 72 คน

ดงน�น จานวนของผเขารบการสารวจท�งหมด 408 + 72 = 480 คน

��

�. จงแรเงาแผนภาพท�กาหนดใหเพ�อแสดงเซตตอไปน�

2. จากแผนภาพท�กาหนดให

จงหาคา

�) A

�) UA B

��

3. จากแผนภาพ

กาหนดให U , A, B และ AB เปนเซตท�มจานวนสมาชก �� ,��,��, และ � ตามลาดบ

จงเตมจานวนสมาชกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปน�

เซต

จานวนสมาชก

�. จากการสอบถามผเรยนชอบเลนกฬา �� คน พบวา ชอบเลนปงปอง �� คน ชอบเลนแบตมนตน

�� คน ชอบเลนฟตบอล �� คน ชอบท�งฟตบอลและปงปอง �� คน ชอบท�งฟตบอลและ

แบตมนตน �� คน ชอบท�งปงปองและแบดมนตน �� คน ชอบท�งสามประเภท � คน

จงหาวานกศกษาท�ชอบเลนกฬาประเภทเดยวมก�คน

��

บทท� �

การใหเหตผล

1. การใหเหตผลแบบอปนยเปนการสรปผลภายหลงจากคนพบความจรงท�ไดจากการสงเกต

หรอการทดลองหลาย ๆ คร� งจากทก ๆ กรณยอยแลวนาบทสรปมาเปนความรแบบท�วไปเรา

เรยกขอสรปแบบน�วา “ ขอความคาดการณ”

2. การใหเหตผลแบบนรนยไมไดคานงถงความจรงหรอความเทจแตจะคานงเฉพาะขอสรปท�

ตองสรปออกมาไดเทาน�น

1. อธบายและใชการใหเหตผลแบบอปนยและนรนยได

2. บอกไดวาการอางเหตผลสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรได

เร�องท� � การใหเหตผล

เร�องท� � การอางเหตผลโดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

��

เร�องท� 1 การใหเหตผล

การใหเหตผลมความสาคญ เพราะการดาเนนชวตของคนเราตองข�นอยกบเหตผลไมวาจะเปน

ความเช�อ การโตแยง และการตดสนใจ เราจาเปนตองใชเหตผลประกอบท�งส�น อกท�งยงเปนพ�นฐานท�

สาคญในการหาความรของศาสตรตาง ๆ อกดวย การใหเหตผล แบงเปน � ประเภท ไดแก การให

เหตผลแบบอปนย และการใหเหตผลแบบนรนย

1.1 การใหเหตผลแบบอปนย ( Inductive Reasoning )

การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง การสรปผลภายหลงจากการคนพบความจรงท�ไดจาก

การใชสงเกต หรอการทดลองมาแลวหลาย ๆ คร� ง จากทก ๆ กรณยอย ๆ แลวนาบทสรปมาเปน

ความรแบบท�วไป หรออกนยหน�ง การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง การใหเหตผลโดยยดความ

จรงสวนยอยท�พบเหนไปสความจรงสวนใหญ

ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนย

�. มนษยสงเกตพบวา : ทก ๆวนดวงอาทตยข�นทางทศตะวนออก และตกทางทศตะวนตก

จงสรปวา : ดวงอาทตยข�นทางทศตะวนออก และตกทางทศตะวนตกเสมอ

2. สนทร พบวา ทกคร� งท�คณแมไปซ�อกวยเต�ยวผดไทยจะมตนกยชายมาดวยทกคร� ง

จงสรปวา กวยเต�ยวผดไทยตองมตนกยชาย

3. ชาวสวนมะมวงสงเกตมาหลายปพบวา ถาปใดมหมอกมาก ปน�นจะไดผลผลตนอย

เขาจงสรปวาหมอกเปนสาเหตท�ทาใหผลผลตนอย ตอมามชาวสวนหลายคนทดลอง

ฉดน� าลางชอมะมวง เม�อมหมอกมาก ๆ พบวาจะไดผลผลตมากข�น

จงสรปวา การลางชอมะมวงตอนมหมอกมาก ๆ จะทาใหไดผลผลตมากข�น

��

4. นายสมบต พบวา ทกคร� งท�ทาความดจะมความสบายใจ

จงสรปผลวา การทาความดจะทาใหเกดความสบายใจ

ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนยทางคณตศาสตร

1. จงใชการใหเหตผลแบบอปนยสรปผลเก�ยวกบผลบวกของจานวนคสองจานวน

�+� = 2 (จานวนค)

�+� = 6 (จานวนค)

�+� = 10 (จานวนค)

�+� = 14 (จานวนค)

�+�� = 18 (จานวนค)

สรปผลวา ผลบวกของจานวนคสองจานวนเปนจานวนค

2. 1111 = 121

11111 = 12321

11111111 = 1234321

1111111111 = 123454321

3. (1 9) + 2 = 11

(12 9) + 3 = 111

(123 9) + 4 = 1111

(1234 9) + 5 = 11111

1) ขอสรปของการใหเหตผลแบบอปนยอาจจะไมจรงเสมอไป

2) การสรปผลของการใหเหตผลแบบอปนยอาจข�นอยกบประสบการณของผสรป

3) ขอสรปท�ไดจากการใหเหตผลแบบอปนยไมจาเปนตองเหมอนกน

ตวอยาง 1. กาหนด จานวน 2, 4, 6 , a จงหา จานวน a

จะได a = 8

�. กาหนด จานวน 2, 4, 6 , a จงหา จานวน a

จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 10

3. กาหนด จานวน 2, 4, 6 , a จงหา จานวน a จะได a = 22

เพราะวา 6 = (2 4)-2 และ 22 = (4 6)-2

��

4) ขอสรปของการใหเหตผลแบบอปนยอาจ ผดพลาดได

ตวอยาง ให F(n) = n2 - 79n + 1601

ทดลองแทนคาจานวนนบ n ใน F(n)

n = 1 ได F(1) = 1523 เปนจานวนเฉพาะ

F(n) = n2 - 79n + 1601

แทนคา n ไปเร�อยๆ จนกระท�งแทน n = 79 ได F(79) เปนจานวนเฉพาะ

จากการทดลองดงกลาว อาจสรปไดวา n2 - 79n + 1601 เปนจานวนเฉพาะ สาหรบทกจานวนนบ

แต F(n) = n2 - 79n + 1601

F(80) = 802 - (79)(80) + 1601

= 1681

= (41)(41)

F(80) ไมเปนจานวนเฉพาะ

��

จงเตมคาตอบลงในชองวางตอไปน�

1) �,�,�,��, , ,��, ��, ,

2) �,�,��, ,�� , ,

3) �,��,��,��, ,

4) ถา �� 9 = 111111111

12345679 18 = 222222222

�� 27 = 333333333

12345679 =

12345679 = 999999999

5) ถา � = 2

2+4 = 6

2+4+6 = 12

2+4+6+8 = 20

2+4+6+8+ = 30

2+4+ +8+ + 12 =

2+ + +8+ 12+14 =

2+ + +8+ +12+14+ =

��

1.2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive reasoning)

เปน การนาความรพ�นฐานท�อาจเปนความเช�อ ขอตกลง กฏ หรอบทนยาม ซ�งเปนส�งท�ร

มากอนและยอมรบวาเปนจรง เพ�อหาเหตผลนาไปสขอสรป

การใหเหตผลแบบนรนย ไมไดคานงถง ความจรงหรอความเทจ แตจะคานงถง เฉพาะ

ขอสรปท�ตองออกมาไดเทาน�น

พจารณากระบวนการการใหเหตผลแบบนรนย จากแผนภาพดงน�

ตวอยางการใหเหตผลแบบนรนย

1. เหต 1) จานวนคหมายถงจานวนท�หารดวย 2 ลงตว

2) 10 หารดวย2 ลงตว

ผล 10 เปนจานวนค

2. เหต 1) คนท�ไมมหน� สนและมเงนฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปนเศรษฐ

2) คณมานะไมมหน� สนและมเงนฝากในธนาคาร 11 ลานบาท

ผล คณมานะเปนเศรษฐ

��

3. เหต 1) นกกฬาการแจงทกคนจะตองมสขภาพด

2) เกยรตศกด� เปนนกฟตบอลทมชาตไทย

ผล เกยรตศกด� มสขภาพด

จากตวอยางจะเหนวาการยอมรบความรพ�นฐานหรอความจรงบางอยางกอน แลวจงหาขอสรป

จากส�งท�ยอมรบแลวน�น ซ�งเรยกวา ผล การสรปผลจะถกตองกตอเม�อเปนการสรปผลไดอยาง

สมเหตสมผล(valid) เชน

เหต 1) เรอทกลาลอยน� า

2) ถงน� าพลาสตกลอยน� าได

ผล ถงน� าพลาสตกเปนเรอ

การสรปผลจากขางตนไมสมเหตสมผล แมวาขออางหรอเหตท�งสองขอจะเปนจรง แตการท�เรา

ทราบ วา เรอทกลาลอยน� าไดกไมไดหมายความวาส�งอ�นๆ ท�ลอยน� าไดจะตองเปนเรอเสมอไป ขอสรปใน

ตวอยางขางตนจงเปนการสรปท�ไมสมเหตสมผล

�. เหตเปนจรง และ ผลเปนจรง

เหต แมงมมทกตวม 6 ขา

และสตวท�ม 6 ขา ทกตวมปก

ผล ดงน�นแมงมมทกตวมปก

�. เหตเปนเทจ และ ผลเปนเทจ

เหต ถานายดาถกลอตเตอร�รางวลท�หน�ง

นายดาจะมเงนมากมาย

แตนายดาไมถกลอตเตอร�รางวลท�หน�ง

ผล ดงน�นนายดามเงนไมมาก

�. เหตอาจเปนจรงและผลอาจเปนเทจ

�. ผลสรปสมเหตสมผลไมไดประกนวาขอสรปจะตองเปนจรงเสมอไป

��

จงตรวจสอบผลท�ไดวาสมเหตสมผลหรอไม

�) เหต �. คนทกคนท�เปนไขหวดตองไอ

�. คนช�อมนไอ

ผล มนเปนไขหวด

�) เหต �. ชาวนาทกคนเปนคนอดทน

�. นายมเปนชาวนา

ผล นายมเปนคนอดทน

�) เหต �. สตวมปกจะบนได

�. นกกระจอกเทศเปนสตวมปก

ผล นกกระจอกเทศบนได

�) เหต �. จานวนเตมท�หารดวย � ลงตว จะหารดวย � ลงตว

�. �� หารดวย � ลงตว

ผล �� หารดวย � ลงตว

�) เหต �. สตวเล�ยงลกดวยนมบางชนดไมมขา

�. งไมมขา

ผล งเปนสตวเล�ยงลกดวยนม

��

เร�องท� 2 การอางเหตผลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร

ออยเลอร เปนนกคณตศาสตรชาวสวสเซอรแลนด มชวตอยระหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาได

คนพบวธการตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชรปปด เชน วงกลม ซ�งเปนวธการท�งาย และรวดเรว โดย

มหลกการดงน�

1. เขยนวงกลมแตละวงแทนเซตแตละเซต

2. ถาม � เซตสมพนธกนกเขยนวงกลมใหคาบเก�ยวกน

3. ถาเซต � เซตไมสมพนธกนกเขยนวงกลมใหแยกหางจากกน

แผนผงแสดงการตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชแผนภาพเวนน- ออยเลอร

��

ขอความ หรอเหตและผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ท�ใชในการใหเหตผลม � แบบ ดงน�

��

ตวอยาง การตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลโดยใชแผนภาพ

�. เหต 1 : คนทกคนเปนส�งท�มสองขา

2 : ตารวจทกคนเปนคน

ผลสรป ตารวจทกคนเปนส�งท�มสองขา

จากเหต 1 จากเหต 2

แผนภาพรวม

จากแผนภาพจะเหนวา วงของ " ตารวจ " อยในวงของ " ส�งม 2 ขา " แสดงวา " ตารวจทกคนเปน

คนมสองขา " ซ�งสอดคลองกบผลสรปท�กาหนดให ดงน�น การใหเหตผลน�สมเหตสมผล

2. เหต 1 : สนขบางตวมขนยาว

� : มอมเปนสนขของฉน

ผลสรป มอมเปนสนขท�มขนยาว

ดงน�น ผลสรปท�วา มอมเปนสนขท�มขนยาว ไมสมเหตสมผล

��

จงตรวจสอบผลท�ไดวาสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

1) เหต �. ถาฝนตก แคทลยากไมออกนอกบาน

�. ฝนตก

ผล แคทลยาไมออกนอกบาน

�) เหต �. ถาสมชายขยนเรยนแลวเขาสอบเขาเกษตรได

�. สมชายสอบเขาเกษตรไมได

ผล สมชายไมขยนเรยน

�) เหต �. ถาอากาศช�นแลวอณหภมจะลด

�. ถาอณหภมลด แลวเกดหมอก

3. อากาศช�น

ผล จะเกดหมอก

�) เหต �. a เปนจานวนบวก หรอเปนจานวนลบ

�. a ไมเปนจานวนบวก

ผล a เปนจานวนลบ

�) เหต �. แมวบางตวมสองขา

�. นกยงทกตวมสองขา

ผล นกบางตวเปนแมว

��

บทท� 5

อตราสวนตรโกณมตและการนาไปใช

1. ถารปสามเหล�ยมคใดคลายกน อตราสวนของดานท�อยตรงขามมมท�เทากนจะเทากน

2. ในรปสามเหล�ยมมมฉากทกรป อตราสวนความยาวดาน 2 ดาน จะถกกาหนดคาตางๆไวดงน�

2.1 คาไซนของมมใด (sine) จะเทากบอตราสวนระหวางความยาวของดานตรงขามมม

น�น กบความยาวของดานตรงขามมมฉาก

2.2 คาโคไซนของมมใด (cosine) จะเทากบอตราสวนระหวางความยาวดานประชตมม

กบความยาวดานตรงขามมมฉาก

2.3 คาแทนเจนตของมมใด (tangent) จะเทากบ อตราสวนระหวางความยาวของดานตรง

ขามมมกบความยาวของดานประชตมมน�นๆ

3. นอกจากอตราสวนตรโกณมตหลก 3 คาน� แลว สวนกลบของ sine , cosine และ tangent เรยกวา

cosecant , secant และ cotangent ตามลาดบ

4. อตราสวนตรโกณมตของมม 30,45 และ 60 องศา มคาเฉพาะของแตละอตราสวน สามารถ

พสจนได

5. การแกปญหาโจทยท�เก�ยวของ จะทาโดยการเปล�ยนปญหาโจทยใหเปนประโยคสญลกษณ และ

ใชอตราสวนตรโกณมตในการชวยหาคาตอบโดยเฉพาะการนาไปใชแกปญหาเก�ยวกบการวดระยะทาง

และความสง

1. อธบายการหาคาอตราสวนตรโกณมตได

2. หาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 030 , 045 และ 060 ได

3. นาอตราสวนตรโกณมตไปใชแกปญหาเก�ยวกบระยะทาง ความสง และการวดได

เร�องท� � อตราสวนตรโกณมต

เร�องท� � อตราสวนตรโกณมตของมม 30, 45 และ 60 องศา

เร�องท� � การนาอตราสวนตรโกณมต ไปใชแกปญหาเก�ยวกบระยะทาง ความสง และการวด

��

เร�องท� � อตราสวนตรโกณมต

เปนแขนงหน�งของคณตศาสตร วาดวยการวดรปสามเหล�ยมตาง ๆ โดยหาความสมพนธ

ระหวางดาน มม และพ�นท�ของรปสามเหล�ยม มความสาคญตอวชาดาราศาสตร การเดนเรอ และงาน

สารวจใชในการคานวณสงสงของภเขา และหาความกวางของแมน� า มประโยชนมากสาหรบวชา

วทยาศาสตร วศวกรรมศาสตร และการศกษาเก�ยวกบวตถ ซ�งมสภาพเปนคล�น เชน แสง เสยง

แมเหลกไฟฟาและวทย

ความรเดมท�ตองนามาใชในบทเรยนน�

1. สมบตสามเหล�ยมคลาย

พจารณารปสามเหล�ยมสองรปท�มขนาดของมมเทากน 3 ค ดงน�

ถารปสามเหล�ยม � รป มมมเทากนมมตอมมท�ง � ค แลว สามเหล�ยม � รปน� จะคลายกน ดงรป

รปท� � รปท� �

จากรป

A = X , B = Y , C = Z

ดงน�น รปสามเหล�ยม ABC คลายกบรปสามเหล�ยม XYZ และจากสมบตการคลายกนของ รป

สามเหล�ยมจะไดผลตามมาคอ

AB หรอ

เม�อ a,b,c เปนความยาวของดาน AB, BC และ AC ตามลาดบในสามเหล�ยม ABC

x,y,z เปนความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลาดบในสามเหล�ยม XYZ

��

จาก y

a จะไดวา

b จะไดวา

a จะไดวา

น�นคอ ถามรปสามเหล�ยมสองรปคลายกน อตราสวนของความยาวของดานสองดานของรป

สามเหล�ยมรปหน�ง จะเทากบอตราสวนของความยาวของดานสองดานของรปสามเหล�ยมอกรปหน�ง โดย

ท�ดานของรปสามเหล�ยมท�หาความยาวน�นจะตองเปนดานท�สมนยกนอยตรงขามกบมมท�เทากน

ในทานองเดยวกน ถารปสามเหล�ยมท�งสองเปนรปสามเหล�ยมมมฉาก ซ�งมมมท�ไมเปนมมฉาก

เทากนสมมตวาเปนมม A เทากบมม X ดงรป

พบวา รปสามเหล�ยมสองรปน�คลายกน ( มมมเทากนมมตอมม ท�ง � ค )

ดงน�นจะไดวา ,z

สรป ไมวารปสามเหล�ยมดงกลาวจะมขนาดใหญหรอเลกกตาม ถารปสามเหล�ยม

ท�งสองรปคลายกนแลว อตราสวนความยาวของดานสองดานของรปสามเหล�ยมรปหน�ง

จะเทากบอตราสวนของความยาวของดานสองดานของรปสามเหล�ยมอกรปหน�งท�สมนย

กนเสมอ ( ดานท�กลาวถงน�ตองเปนดานท�อยตรงขามกบมมท�เทากน )

��

2. สมบตสามเหล�ยมมมฉาก

ถาให ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก ท�มมมฉากท� C และม a , b , c เปนความยาวของดานตรง

ขามมม A , B และ C ตามลาดบ

ดาน AB เปนดานท�อยตรงขามมมฉากยาว c หนวย เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก

ดาน BC เปนดานท�อยตรงขามมม A ยาว a หนวย เรยกวา ดานตรงขามมม A

ดาน AC เปนดานท�อยตรงขามมม B ยาว b หนวย เรยกวา ดานประชดมม A

ถา ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก ซ�งมมม เปนมมฉาก

c แทนความยาวดานตรงขามมมฉาก

a และ b แทนความยาวของดานประกอบมมฉาก

จะไดความสมพนธระหวางความยาวของดานท�งสามของรปสามเหล�ยมมมฉากดงตอไปน�

เม�อ a แทนความยาวของดานตรงขามมม A

b แทนความยาวของดานตรงขามมม B

c แทนความยาวของดานตรงขามมม C

222 bac

��

ขอควรรเก�ยวกบ ทฤษฎบทปทาโกรส

ปทาโกรสไดศกษาคนควาเก�ยวกบความสมพนธระหวางดานตรงขามมมฉากและดานประกอบมม

ฉากของสามเหล�ยมมมฉาก ซ�งเปนทฤษฎบทท�เกาแกและมช�อเสยงท�สดบทหน�ง ไดแกทฤษฎบทปทา

โกรส ซ�งมใจความวา

ในสามเหล�ยมมมฉากใดๆ พ�นท�ของส�เหล�ยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก

จะเทากบผลบวกของพ�นท�ส�เหล�ยมจตรสบนดานประกอบมมฉาก

ตวอยาง จงเขยนความสมพนธระหวางความยาวของดานของรปสามเหล�ยมมมฉากตอไปน� ตามทฤษฎบท

ของปทาโกรส

��

วธทา พจารณาความสมพนธระหวางความยาวดานของรปสามเหล�ยมมมฉากตามทฤษฎบทปทาโกรส

222 35 a

2592 a

162 a ดงน�น 4a

222 1312 a

1691442 a

252 b ดงน�น 5b

อตราสวนตรโกณมต

ถาให ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉากท�มมมฉากท� C และม a , b , c เปนความยาวของดานตรง

ขามมม A , B และ C ตามลาดบ

อตราสวนตรโกณมต คอ อตราสวนท�เกดจากความยาวของดานของรปสามเหล�ยมมมฉาก

��

�. อตราสวนของความยาวของดานตรงขามมม A ตอความยาวของดานตรงขามมมฉาก หรอ c

เรยกวา ไซน (sine) ของมม A

2. อตราสวนของความยาวของดานประชด มม A ตอความยาวของดานตรงขามมมฉาก หรอ c

เรยกวา โคไซน (cosine) ของมม A

3. อตราสวนของความยาวของดานตรงขามมม A ตอความยาวของดานประชด มม A หรอ b

เรยกวา แทนเจนต (tangent) ของมม A

เรยกอตราสวนท�งสามน�วา อตราสวนตรโกณมตของ A เม�อ A เปนมมแหลมในรปสามเหล�ยม

มมฉากหรออาจสรปไดวา

sin A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

A มมมดานตรงขาความยาวของ

cos A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

A มมดานประชดความยาวของ

tan A = A มมดานประชดความยาวของ

ตวอยาง กาหนดรปสามเหล�ยมมมฉาก ABC

มมม C เปนมมฉาก มความยาวดานท�งสาม ดงรป จงหาคาตอไปน�

1. sin A, cos A และ tan A

2. sin B, cos B และ tan B

วธทา กาหนด ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก มมม C เปนมมฉาก จากทฤษฎบทปทาโกรส จะได

วา 222 BCACAB

แทนคา AC = 8 , BC = 6

ดงน�น 222 68 AB

36642 AB

1002 AB

22 101010 หรอAB น�นคอ AB = 10

��

(1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพจารณาท�มม A

sin A = 5

มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

cos A = 5

tan A = 4

(2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพจารณาท�มม B

sin B = 5

B มมมดานตรงขาความยาวของ

cos B = 5

B มมดานประชดความยาวของ

tan B = 3

B มมดานประชดความยาวของ

B มมมดานตรงขาความยาวของ

ขอสงเกต ถา ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉากท�มมม C เปนมมฉากแลวจะไดวา

1. 0000 9090180ˆ180ˆˆ CBA

2. sin A = cos B

3. cos A = sin B

��

1. จากรปสามเหล�ยมมมฉากท�กาหนดใหตอไปน� จงเขยนความสมพนธของความยาวของรปสามเหล�ยม

มมฉากโดยใชทฤษฎบทปทาโกรส และหาความยาวของดานท�เหลอ

2. กาหนด ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก ม 90ˆ C และความยาวของดานท�งสาม ดงรป

จงหา 1) sin A , cos A และ tan A

2) sin B , cos B และ tan B

��

3. จงหาวาอตราสวนตรโกณมตท�กาหนดใหตอไปน� เปนคาไซน(sin) หรอโคไซน(cos) หรอแทนเจนต

(tan) ของมมท�กาหนดให

4. กาหนด ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก โดยมมม C เปนมมฉาก มดาน AB = 10 และ AC = 8

จงหา 1 ) ความยาวดาน BC

2) sin A , cos A และ tan A

�. กาหนดใหรปสามเหล�ยม ABC โดยมมม C เปนมมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม

B และมม C ตามลาดบ

(1) ถา cot A = 3 และ a = 5 จงหาคา b,c

(2) ถา cos B = 5

3 และ a = 9 จงหาคา tan A

1).........................A = c

2).........................B = a

3).........................A = c

4).........................A = c

��

เร�องท� � การหาคาอตราสวนตรโกณมตของมม �� ,45 , 60 องศา

การหาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 60 องศา

พจารณารปสามเหล�ยมดานเทา ABD มดานยาวดานละ � หนวย ดงน�

จากรปสามเหล�ยมดานเทา ABD ลาก AC แบงคร� ง มม A เสนแบงคร� งมม A จะต�งฉากกบ BD ท�

จด C โดยใชหลกของสมบตของสามเหล�ยมคลาย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนวย ดงรป และ

จาก

รปสามเหล�ยมมมฉาก ABC ใชคณสมบตของปทาโกรสไดดงน�

222 BCACAB

222 12 BC

214 BC

142 BC

300 300 300

��

จะไดวา ดาน BC = 3

ดงน�น Sin 2

Tan 31

ในทานองเดยวกน

การหาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 30 องศา

ดงน�น Sin 2

��

สรป อตราสวนของตรโกณมตท�สาคญ ดงน�

น�นคอ sin 2

1300 cos

3300 tan

1450 cos

1450 tan 1

3600 cos

1600 tan 3

��

เกรดความร การใชน�วมอชวยในการจาคาตรโกณมตของมมพ�นฐาน

การจาคาตรโกณมตพ�นฐานโดยใชน�วมอ ตองใชมอซาย

วธการน� ใชจาคาตรโกณมตของมมพ�นฐานกลาวคอ มข�นตอนดงตอไปน�

1. แบมอซายออกมา มองเลขมมจบคกบน�วเรยงจากซายไปขวา เปนมม

องศา

2. เม�อตองการหาคาตรโกณมตของมมใดใหงอน�วน�น สมมตวาหา cos กจะตรงกบน�วช� กงอน�วช�

เกบไว

3. ถอกฎวา "sin-ซาย(ออกเสยงคลายกน) cos-ขวา(ออกเสยง /k/ เหมอนกน)" เม�อหาคาของฟงกชนใด

ใหสนใจจานวนน�วมอฝ�งท�สอดคลองกบฟงกชนน�น

o เพ�อจะหาคา นาจานวนน�วมอดานท�สนใจตดรากท�สองแลวหารดวยสอง (หรออาจจาวาม

เลขสองตวใหญๆอยบนฝามอ เม�ออานกจะเปน รากท�สองของจานวนน�วมอดานท�สนใจ

หารฝามอ) สาหรบ cos �� กจะไดวามน�วมอเหลออยทางดานขวาอกสามน�ว (กลาง นาง

กอย) กจะได cos��= สาหรบฟงกชนตรโกณมตอ�นกใชสมบตของฟงกชนน�นกบ sin

และ cos เชน tan=sin/cos

��

คาโดยประมาณของไซน โคไซน และแทนเจนต (ถงทศนยมตาแหนงท� 3 ) หาไดจากตาราง

ตอไปน� โดยท�คาของไซน โคไซน และแทนเจนต ของมมท�มคาอยระหวาง 00 และ 090 จะมคาอย

ระหวาง 0 และ 1

��

ตวอยาง จงหาคาของ a, b จากรปสามเหล�ยมท�กาหนดใหตอไปน�

วธทา AB

BC032sin

แทนคา 530.032sin 0 และ BC = a , AB = 10

ดงน�น 10

530.0a

น�นคอ

530.010a

3.5a จงหาคาตอไปน�

45tan45cos

45sin.1

0000 60cos30cos60sin30sin.2 2020 30sin30cos.3

0200002 30cos60tan45tan60sin230tan.4 00202020 30sin30cos30tan

445tan60cos.5

วธทา

45tan45cos

45sin.1 = 1

1 = 1 - 1 = 0

0000 60cos30cos60sin30sin.2 =

2020 30sin30cos.3 =

0200002 30cos60tan45tan60sin230tan.4 =

00202020 30sin30cos30tan3

445tan60cos.5 =

��

อตราสวนตรโกณมตอ�นๆ

อตราสวนของความยาวของดานของรปสามเหล�ยมมมฉากท�เรยกวา ไซน โคไซน และ

แทนเจนต เรยกวาอตราสวนตรโกณมต (Trigonometric ratio) ซ�งเปนหลกเบ�องตนในคณตศาสตรแขนง

หน�ง ท�เรยกวา ตรโกณมต (Trigonometry) หมายถงการวดเก�ยวกบรปสามเหล�ยม

มอตราสวนตรโกณมตอก 3 อตราสวน ซ�งกาหนดดวยบทนยาม ดงน�

1. ซแคนตของมม A เขยนแทนดวย secant A หรอ sec A คอสวนกลบของ cos A เม�อ

cos A 0 น�นคอ sec A = Acos

1 เม�อ 0cos A

2. โคซแคนตของมม A เขยนแทนดวย cosecant A หรอ cosec A คอสวนกลบของ sin A เม�อ

sin A 0 น�นคอ cosec A = Asin

1เม�อ 0sin A

3. โคแทนเจนตของมม A เขยนแทนดวย cotangent A หรอ cot A คอสวนกลบของ tan A เม�อ

tan A 0 น�นคอ cotangent A = Atan

1เม�อ 0tan A

��

1. จงหาคาตอไปน�

1) 0000 60cos30cos60sin30sin

2) 2020 60cos60sin

3) 045tan1

2. จงหาคาอตราสวนตรโกณมตตอไปน�จากตาราง

1) 020sin

2) 038sin

3) 050cos

4) 052cos

5) 077tan

6) 089tan

3. ให ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก มมม C เปนมมฉาก ดงรป

จงหา cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B

�. จงหาคา a, b หรอ c จากรปสามเหล�ยมตอไปน�

��

5. กาหนดใหรปสามเหล�ยม ABC โดยมมม C เปนมมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม

B และมม C ตามลาดบ

(1) ถา cot A = 3 และ a = 5 จงหาคา b,c

(2) ถา cos B = 5

��

เร�องท� � การนาอตราสวนตรโกณมตไปใชแกปญหาเก�ยวกบหาระยะทางและความสงและ

การวด

อตราสวนตรโกณมตมประโยชนมากในการหาความยาว ระยะทางหรอสวนสงโดยท�ทราบคามมใด

มมหน�ง และความยาวของดานใดดานหน�งของรปสามเหล�ยมมมฉาก แลวจะสามารถหาดานท�เหลอได

เสนระดบสายตา คอ เสนท�ขนานกบแนวพ�นราบ

มมกม คอ มมท�แขนขางหน�งของมม อยต �ากวาระดบสายตา

มมเงย คอ มมท�แขนขางหน�งอยสงกวาเสนระดบสายตา

��

ตวอยางท� 1 สมพรยนอยหางจากบานหลงหน�งเปนระยะทาง 100 เมตร เขาเหนเคร�องบน เคร�องหน�ง

บนอยเหนอหลงคาบานพอด และแนวท�เขามองเปนมมเงย 60 องศา จงหาวาเคร�องบน อยสงจาก

พ�นดนก�เมตร

วธทา Tan 60 =

น�นคอ ความยาวของดานตรงขามมม 3100600

จะเหนไดวา ความสงของเคร�องบนอยหางจากพ�นดน 3100

ตวอยางท� 2 บนไดยาว 50 ฟต พาดอยกบกาแพง ปลายบนไดถงขอบกาแพงพอด ถาบนไดทามม 060

กบกาแพง จงหาวาบนไดอยหางจากกาแพงเทาไร

ความยาวของดานตรงขามมม ��

ความยาวของดานประชดมม ��

ความยาวของดานตรงขามมม ��

��

วธทา COS 600 =

จะได ความยาวของดานประชดมม 2

ดงน�น ระยะระหวางบนไดกบกาแพงเทากบ 25 ฟต

ตวอยางท� 3 สมพรยนอยบนหนาผาสงชนแหงหน�ง ซ�งสงจากระดบผน� าทะเล 50 เมตร เม�อเขาทอดสายตา

ไปยงเรอลาหน�งกลางทะเล มมท�แนวสายตาทากบเสนระดบมขนาด 30 องศา เรอลาน�อยหางจากฝ�ง

โดยประมาณก�เมตร

วธทา

ให A เปนตาแหนงท�สมพรยนอย

AC แทนระยะความสงจากน� าทะเลของหนาผา คอ 50 เมตร

BC เปนระยะท�เรออยหางจากฝ�ง

จาก AD // BC จะได 030ˆˆ BADABC

ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก

ดงน�น BC

AC030tan

732.150350 BC

6.86BC

ความยาวของดานประชดมม

ความยาวของดานตรงขามมมฉาก ความยาวของดานประชดมม

��

1. ตนไมตนหน�งทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสนตรงท�ลากผานปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทา

มม 30 องศา กบเงาของตนไม จงหาความสงของตนไม

2. วนยตองการหาความสงของเสาธงโรงเรยน จงทามมขนาด 45 องศา เพ�อใชในการเลงไปท�ยอดเสาธง

ถาในขณะท�เลงน�นเขามองไปท�ยอดเสาธงไดพอด เม�อกาวไปอยท�จดซ�งอยหางโคนเสาธง 16 เมตร วนยม

ความสง 160 เซนตเมตร จงหาวาเสาธงสงประมาณก�เมตร

4. จดพลข�นไปในแนวด�ง โดยกาหนดจดสงเกตการณบนพ�นดนหางจากตาแหนงท�จดพล 1 กโลเมตร

ในขณะท�มองเหนพลทามม 60 องศา กบพ�นดน พลข�นไปสงเทาใด และอยหางจากจดสงเกตการณ

เปนระยะทางเทาใด

��

บทท� 6

การใชเคร�องมอและการออกแบบผลตภณฑ

1. การเลอกใชเคร�องมอตาง ๆ ในการสรางรปเรขาคณต

2. ในชวตประจาวน การออกแบบวสดหรอครภณฑ อาคารท�พกอาศย หรออาคารสานกงานตาง ๆ

จะเก�ยวของกบรปแบบ การเล�อนขนาน การหมน และการสะทอน

3. การมบรรจภณฑของสนคาท�ด สวยงาม นาสนใจ จะมสวนชวยในการการเพ�มมลคาของสนคาน�น

ๆ ได

1. สรางรปเรขาคณตโดยใชเคร�องมอได

2. วเคราะหและอธบายความสมพนธระหวางรปตนแบบ และรปท�ไดจากการเล�อนขนาน การ

สะทอนและการหมนได

3. นาสมบตเก�ยวกบการเล�อนขนาน การหมน และการสะทอนจากการแปลงทางเรขาคณตศาสตร

และทางเรขาคณต ไปใชในการออกแบบ งานศลปะได

เร�องท� � การสรางรปทางเรขาคณตโดยใชเคร�องมอ

เร�องท� � การแปลงทางเรขาคณต

เร�องท� � การออกแบบเพ�อการสรางสรรคงานศลปะโดยใชการแปลงทางคณตศาสตร และ

ทางเรขาคณต

��

เร�องท� � การสรางรปเรขาคณตโดยใชเคร�องมอ

�.� รปเรขาคณตสองมต สามารถสรางไดโดยใชสนตรง เชน ไมบรรทด ฟตเหลก ไมฉาก ไม

ท เพ�อวดความยาว ใชไมโปรแทรกเตอร เพ�อวดมม หรอขนาดของมม ใชวงเวยน เพ�อประกอบการ

สรางเสนโคงท�แทนความยาวรอบวงกลม หรอชวยในการสรางมมท�มขนาดท�ตองการ

สมบตตาง ๆ ของรปเรขาคณตและความสมพนธระหวางรปเรขาคณต

เพ�อใหนกศกษามความเขาใจในการสรางรปเรขาคณตสองมต ผเรยนควรทบทวนสมบตตาง ๆ

ของรปเรขาคณตสองมตและสามมตดงน�

�. รปส�เหล�ยมผนผา

�. มมมท�งส�เปนมมฉาก

2. ดานท�อยตรงขามกนยาวเทากนสองคและขนานกน

�. เสนทแยงมมแบงคร� งกนและกน

�. พ�นท�ของส�เหล�ยมผนผา = ความยาวของดานกวาง x ความยาวของดานยาว

�. ความยาวรอบรปของส�เหล�ยมผนผา

= ( � x ความยาวของดานกวาง ) + ( � x ความยาวของดานยาว )

2. รปส�เหล�ยมจตรส

�. มมท�งส�เปนมมฉาก

�. ดานท�งส�ยาวเทากน

�. เสนทแยงมมแบงคร� งซ�งกนและกน และต�งฉากกน

�. พ�นท�ของรปส�เหล�ยมจตรส = ความยาวดาน x ความยาวดาน หรอ 2

1 ผลคณของ

ความยาวเสนทแยงมม

��

�. รปส�เหล�ยมดานขนาน

�. มดานตรงกนยาวเทากนและขนานกนสองค

�. เสนทแยงมมแบงคร� งกนและกน แตยาวไมเทากน

�. พ�นท�ของรปส�เหล�ยมดานขนาน = ความยาวฐาน X สวนสง

�. รปส�เหล�ยมขนมเปยกปน

�. มดานตรงขามกนขนานกนสองค

�. ดานท�งส�ยาวเทากน

�. เสนทแยงมมแบงคร� งซ�งกนและกน และต�งฉากกน

�. พ�นท�รปสามเหล�ยมขนมเปยกปน = ความยาวฐาน x สวนสง หรอ 2

1 ผลคณของความยาว

ของเสนทแยงมม

��

5. รปส�เหล�ยมรปวาว

�. มดานประชดกนยาวเทากน � ค

�. เสนทแยงมมสองเสนต�งฉากกน

�. เสนทแยงมมแบงคร� งซ�งกนและกน แตยาวไมเทากน

�. พ�นท�ของรปส�เหล�ยมรปวาว = 2

1 ผลคณของความยาวของเสนทแยงมม

6. รปส�เหล�ยมคางหม

�. มดานขนานกน � ค

�. พ�นท�ของรปส�เหล�ยมคางหม = 2

1 ผลบวกของความยาวของดานคขนาน สวนสง

�. รปวงกลม

�. ระยะทางจดศนยกลางไปยงเสนรอบวงเปนระยะท�เทากนเสมอ เรยกวา รศมของวงกลม

�. เสนผานศนยกลางยาวเปน � เทาของรศม

�. พ�นท�วงกลม = 2r

�. ความยาวเสนรอบรปของวงกลม 2 r

��

1.2 รปเรขาคณตสามมต

รปเรขาคณต สามมตสามารถแสดงรปรางซ�งมท�งความกวาง ความยาว ความสง หรอความ

หนา ตวอยางรปทรงเรขาคณตสามมต เชน

ปรซม เปนรปสามมตท�มหนาตดหวทายเทากนและขนานกนและผวดานขางเปนรปส�เหล�ยม เชน

ปรซมสามเหล�ยม ปรซมส�เหล�ยม ปรซมหาเหล�ยม

พระมด เปนรปเรขาคณตสามมตท�มยอดแหลม ผวดานขางเปนรปสามเหล�ยม

พระมดฐานส�เหล�ยม พระมดฐานสามเหล�ยม

ตวอยางรปเรขาคณตสามมตท�พบเหนในชวตประจาวน เชน ตเยน เปนรปทรงส�เหล�ยมมมฉาก

หรอปรซมส�เหล�ยม ปลากระปอง เปนรปทรงกระบอก ไอศกรม เปนรปกรวยกลม เปนตน

รปเรขาคณตท�พบในชวตประจาวนโดยเฉพาะรปเรขาคณตสามมตและสองมต มความสมพนธ

กนอยางมาก ซ�งตองใชการสงเกตหาความสมพนธ การจาแนก การเปรยบเทยบภาพท�มองเหนจะ

สามารถอธบายขนาด ตาแหนง ระยะทาง และใชการคาดเดารปรางของส�งท�กาหนดให เม�อมการเปล�ยน

ตาแหนงหรอมมมองในดานตาง ๆ

สงเอยง

��

1.3 การคล�รปเรขาคณตสามมต ภาพท�ไดจะเปนภาพของรปเรขาคณตสองมต เชน การคล�รปปรซม

ทรงส�เหล�ยมมมฉาก

การคล�รปพระมด ฐานส�เหล�ยม

�.� การตดขวางรปเรขาคณตสามมต

เม�อนารปเรขาคณตสองมตมาตดขวางรปเรขาคณตสามมตในแนวตาง ๆ กน ภาพท�เกดข�นจะ

มลกษณะตาง ๆ กน เชน

กรวยกลม เม�อตดดวยระนาบในแนวขนานกบฐานกรวย จะไดภาพสองมตเปนรปวงกลม

กรวยกลม เม�อตดดวยระนาบในแนวต�งฉากกบฐานกรวย จะไดภาพเปนรปพาลาโบลา

กรวยกลม เม�อตดดวยระนาบท�ไมขนานกบฐานและไมต�งฉากกบฐาน จะไดภาพเปนวงร

��

1.5 มมมองของรปเรขาคณตสามมต

รปเรขาคณตท�พบเหนในชวตประจาวนมรปรางและส�งท�มองเหนจากการเปล�ยนมมมองแตละ

ดานแตกตางกน เชน

�.� รปเรขาคณตสามมตท�เกดจากการหมนรปเรขาคณตสองมต

�) รปสามเหล�ยมหนาจ�ว ABC มแกน EF เปนแกนสมมาตร ถานารปสามเหล�ยมหนาจ�ว

ABC หมนรอบแกนสมมาตร EF จะเหนเปนรปเรขาคณตสามมต “กรวยกลม”

�) แผนกระดาษแขงรปวงกลม เปนรปเรขาคณตสองมต ถาใชเสนผานศนยกลาง yy

เปนแกนหมนรปเรขาคณตสามมตท�เกดจากการหมนจะเหนเปนลกษณะ “ทรงกลม”

รปเรขาคณต

��

3) กระดาษรปส�เหล�ยมผนผา เปนรปเรขาคณตท�มแกนสมมาตรสองแกน

�.� การเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมต

การเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมตอยางงายอาจใชข�นตอนดงในตวอยางตอไปน�

�. การเขยนภาพของทรงกระบอก

ข�นท� � เขยนวงรแทนหนาตดท�เปนวงกลม และเขยนสวนของเสนตรงสองเสน แสดงสวนสงของ

ทรงกระบอก ดงรป

ข�นท� � เขยนวงรท�มขนาดเทากบวงรท�ใชในข�นท� � แทนวงกลมซ�งเปนฐานของทรงกระบอกและเขยน

เสนประแทนเสนทกตรงสวนท�ถกบง

จะเหนเปนทรงกระบอก

��

2. การเขยนภาพของปรซม

ข�นท� � เขยนทรงกระบอกตามวธการขางตน

ข�นท� � กาหนดจดบนวงรดานบนเพ�อใชเปนจดยอดของรปส�เหล�ยมท�เปนฐานของปรซมตามตองการ

แลวลากสวนของเสนตรงเช�อมตอจดเหลาน�น

ข�นท� � เขยนสวนสงของปรซมจากจดยอดของรปเหล�ยมท�ไดในข�นท� � มาต�งฉากกบวงรดานลาง

ข�นท� � เขยนสวนของเสนตรงเช�อมจดบนวงรท�ไดในข�นท� � และลบรอยสวนโคงของวงร จะไดรป

หลายเหล�ยมท�เปนฐานของปรซม แลวเขยนเสนประแทนดานท�ถกบง

3. การเขยนภาพของทรงส�เหล�ยมมมฉาก

ข�นท� � เขยนรปส�เหล�ยมมมฉาก � รป

ข�นท� � เขยนรปส�เหล�ยมมมฉากขนาดเทากนกบรปในข�นท� � อก � รป ใหอยในลกษณะท�ขนานกน

และเหล�อมกนประมาณ �� องศา ดงรป

��

ข�นท� � ลากสวนของเสนตรงเช�อมตอจดใหไดทรงส�เหล�ยมมมฉาก

ข�นท� � เขยนเสนประแทนดานท�ถกบง

สาหรบการเขยนภาพของกรวย ทรงกลม และพระมดกสามารถเขยนไดโดยใชวธการเดยวกน

กบขางตนซ�งมข�นตอนดงน�

�. การเขยนภาพของกรวย �. การเขยนภาพของทรงกลม

�. การเขยนภาพของพระมดฐานหกเหล�ยม

นอกจากจะใชวธการดงกลาวขางตนในการเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมตแลว อาจใช

กระดาษท�มจดเหมอนกระดานตะป (Geoboard) หรอกระดาษจดไอโซเมตรก (Isometric dot paper)

ชวยในการเขยนภาพน�น ๆ

กระดาษท�มจดเหมอนกระดานตะป กระดาษจดไอโซเมตรก

��

การเขยนภาพของรปเรขาคณตสองมตบนกระดาษท�มจดเหมอนกระดานตะป ดงตวอยาง

นอกจากน� ยงนยมเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมตบนกระดาษจดไอโซเมตรก ภาพของรป

เรขาคณตสามมตท�เขยนอยในลกษณะน� เรยกวา ภาพแบบไอโซเมตรก

การเขยนภาพแบบไอโซเมตรกบนกระดาษจดไอโซเมตรกจะเขยนสวนของเสนตรงท�เปนดาน

กวาง ดานยาว ตามแนวของจดซ�งเอยงทามมขนาด �� องศา กบแนวนอนและเขยนสวนของเสนตรงท�

เปนสวนสง ตามแนวของจดในแนวต�ง ดงตวอยาง

��

1. กาหนดมมส�เหล�ยมมมฉากดงรป

ก. ส�เหล�ยม ABCD เปนรปส�เหล�ยมชนดใด

ข. EDB ˆ มขนาดก�องศา

ค. ส�เหล�ยม BDEG เกดจากการใชระนาบตดทรงส�เหล�ยมมมฉากตามแนวใด

ง. สามเหล�ยม BDE เก�ยวของกบ ส�เหล�ยม BDEG อยางไร

2. จงเขยนรปคล�ของทรงสามมตตอไปน�

��

3. จงเขยนรปทรงสามมตจากมมมองภาพดานบน ภาพดานหนา ภาพดานขางท�กาหนดให

��

เร�องท� 2 การแปลงทางเรขาคณต

เปนคาศพทท�ใชเรยกการดาเนนการใด ๆ ทางเรขาคณต ท�งในสองมตและสามมต เชน การเล�อน

ขนาน การหมน การสะทอน

�.� การเล�อนขนาน ( Translation )

การเล�อนขนานตองมรปตนแบบ ทศทางและระยะทางท�ตองการเล�อนรป การเล�อนขนานเปนการ

แปลงท�จบคจดแตละจดของรปตนแบบกบจดแตละจดของรปท�ไดจากการเล�อนรปตนแบบไปในทศทาง

ใดทศทางหน�งดวยระยะทางท�กาหนด จดแตละจดบนรปท�ไดจากการเล�อนขนานจะหางจากจดท�สมนย

กนบนรปตนแบบเปนระยะทางเทากน การเล�อนในลกษณะน� เรยกอกอยางหน�งวา “สไลด (slide)” ดง

ตวอยางในภาพท� 1 และภาพท� 2

ภาพท� �

��

�.2 การหมน (Rotation)

การหมนจะตองมรปตนแบบ จดหมนและขนาดของมมท�ตองการในรปน�น การหมนเปนการ

แปลงท�จบคจดแตละจดของรปตนแบบกบจดแตละจดของรปท�ไดจากการหมน โดยท�จดแตละจดบนรป

ตนแบบเคล�อนท�รอบจดหมนดวยขนาดของมมท�กาหนด จดหมนจะเปนจดท�อยนอกรปหรอบนรปกได

การหมนจะหมนทวนเขมนาฬกาหรอตามเขมนาฬกากได โดยท�วไปเม�อไมระบไวการหมนรปจะเปนการ

หมนทวนเขมนาฬกา

บางคร� งถาการหมนตามเขมนาฬกา อาจใชสญลกษณ -x๐

หรอ ถาการหมนทวนเขมนาฬกา อาจใชสญลกษณ x๐

2.3 การสะทอน ( Reflection )

การสะทอนตองมรปตนแบบท�ตองการสะทอนและเสนสะทอน (Reflection line หรอ

Mior line) การสะทอนรปขามเสนสะทอนเสมอนกบการพลกรปขามเสนสะทอนหรอการดเงาสะทอน

บนกระจกเงาท�วางบนเสนสะทอน การสะทอนเปนการแปลงท�มการจบคกนระหวางจด แตละจดบนรป

ตนแบบกบจดแตละจดบนรปสะทอน โดยท�

1. รปท�เกดจากการสะทอนมขนาดและรปรางเชนเดม หรอกลาววารปท�เกดจากการสะทอน

เทากนทกประการกบรปเดม

2. เสนสะทอนจะแบงคร� งและต�งฉากกบสวนของเสนตรงท�เช�อมระหวางจดแตละจดบนรป

ตนแบบกบจดแตละจดบนรปสะทอนท�สมนยกน น�นคอระยะระหวางจดตนแบบและเสนสะทอนเทากบ

ระยะระหวางจดสะทอนและเสนสะทอน

จากรป เปนการหมนรปสามเหล�ยม ABC ใน

ลกษณะทวนเขมนาฬกา โดยมจด O เปนจดหมน

ซ�งจดหมนเปนจดท�อยนอกรปสามเหล�ยม ABC

รป CBA เปนรปท�ไดจากการหมน 90๐ และ

จะไดวา ขนาดของมม AAO เทากบ 90๐

BBO เทากบ 90๐ CCO เทากบ 90๐

��

ตวอยาง

จากรป รปสามเหล�ยม CBA เปนรปสะทอนของรปสามเหล�ยม ABC ขามเสนสะทอน m

รปสามเหล�ยม ABC เทากนทกประการกบรปสามเหล�ยม CBA สวนของเสนตรง AA ต�งฉากกบเสน

สะทอน m ท�จด P และระยะจากจด A ถงเสน m เทากบระยะจากเสน m ถงจด A ( AP AP )

��

1. ใหเขยนภาพท�เกดจากการเล�อนขนานจากรปตนแบบและทศทางท�กาหนดให

ก. ข.

2. ใหเขยนภาพการเล�อนขนานโดยกาหนดภาพตนแบบ ทศทางและระยะทางของการเล�อน

ขนานเอง ก.

��

แบบฝกหด (ตอ)

ขอ 3

B(- C(-

A/(2,-

B/(1,- C

C/(0,-

ภาพ พกดของตาแหนงท�กาหนดให

) , (C

) , (A

) , (B

) , (C

��

คาช�แจง จงพจารณารปท�กาหนดใหแลว

- เขยนรปสะทอน

- เขยนเสนสะทอน

- บอกจดพกดของจดยอดของมมของรปสามเหล�ยมท�เกดข�นจากการสะทอน

- บอกจดพกดบางจดบนเสนสะทอนท�ได

��

แบบฝกหดท� � 1.

ใหเตมรปสามเหล�ยม CBA ท�

เกดจากการหมนสามเหล�ยม ABC

เพยงอยางเดยว โดยหมนทวนเขม

นาฬกา 90๐ และใชจด (0 , 0)

เปนจดหมน

ใหเตมรปส�เหล�ยม OXYZ ท�เกด

จากการหมนส�เหล�ยม OXYZ

��

ใหเตมสวนของเสนตรง BA ท�

เกดจากการหมนสวนของเสนตรง

AB เพยงอยางเดยว โดยหมนตาม

เขมนาฬกา 90๐ และใชจด (-2, -2)

(-2,-2)

นาฬกา 90๐ และใชจด (-4 , -2)

(-4 , -2)

��

เร�องท� � การออกแบบเพ�อการสรางสรรคงานศลปะโดยใชการแปลงทางคณตศาสตรและ

ทางเรขาคณต

ในชวตประจาวน การออกแบบวสด ครภณฑตาง ๆ เชน ลายพมพผา จะเก�ยวของกบรปแบบทาง

เรขาคณต ตวอยางเชน

1. การใชรปส�เหล�ยม

�. การใชรปส�เหล�ยมกบสามเหล�ยม

�. การใชส�เหล�ยมกบวงกลม

��

�. การใชรปส�เหล�ยม สามเหล�ยม และหกเหล�ยม

ตวอยาง กจกรรมท�รวมคณตศาสตรกบศลปะไดอยางสวยงาม โดยใชการแปลงทางเรขคณต เชน การ

หมน การสะทอน หรอการเล�อนขนาน

��

4. การออกแบบโดยใชการแปลงทางเรขาคณต

การออกแบบผลตภณฑและบรรจภณฑของสนคามความจาเปนตองใหมรปแบบท�สวยงาม ม

ความพอเหมาะกบผลตภณฑ เพ�อความประหยด และการใชประโยชนใหเกดสงสดดงตวอยางตอไปน�

ตวอยางท� 1 ลกบอลขนาดเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร จะบรรจในกลองทรงส�เหล�ยมไดพอด เม�อ

ใชกลองมความจเทาใดและใชวสดทากลองท�มพ�นผวเทาใด

วธทา

ลกบอลมขนาดเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร

กลองทรงส�เหล�ยมตองมขนาด เปนกลองลกบาศก

ยาวดานละ 14 เซนตเมตร

ปรมาตรของกลองลกบาศก = (ความยาวดาน)�

= 14x14x14 ลกบาศกเซนตเมตร

= 2,744 ลกบาศกเซนตเมตร

พ�นท�ผวกลองทรงลกบาศก = 6 x พ�นท�ผวของกลองหน�งดาน

= 6 x (14 x 14)

= 1,176 ตารางเซนตเมตร

ตวอยางท� 2 กระดาษรปส�เหล�ยมผนผากวาง 10 เซนตเมตร ยาว 14 เซนตเมตร ถาตดมมท�งส�ออก เปนรป

ส�เหล�ยมจตรสยาวดานละ 2 เซนตเมตร จากน�นพบตามรอยตดใหเปนรปทรงส�เหล�ยม จงหาวารปทรงน�จะ

มความจเทาไร

วธทา

��

ฐานของกลองพบไดกวาง 10 – 2 – 2 = 6 เซนตเมตร

ฐานของกลองมความยาว 14 – 2 – 2 = 10 เซนตเมตร

มความสงของกลอง 2 เซนตเมตร

ความจของกลอง = ความยาวดานกวาง x ความยาวดานยาว x สวนสง

= 6 x10 x 2

= 120 ลกบาศกเซนตเมตร

��

บทท� 7

สถตเบ�องตน สาระสาคญ

1. ขอมลสถต หมายถง ตวเลขหรอขอความท�แทนขอเทจจรงของลกษณะท�เราสนใจ

2. ระเบยบวธการทางสถต จะประกอบไปดวย การเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การ

วเคราะหและการตความของขอมล

3. การเกบรวบรวมขอมล หมายถง กระบวนการกระทาเพ�อจะใหไดขอมลท�ตองการศกษาภายใต

ขอบเขตท�กาหนด

4. การนาเสนอขอมลท�เกบรวบรวมมา จะม 2 แบบ คอ การนาเสนออยางเปนแบบแผนและการ

นาเสนออยางไมเปนแบบแผน

5. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เปนการหาคากลางดวยวธตาง ๆ กน เพ�อใชเปนตวแทนของ

ขอมลท�งชด คากลางท�นยมใชม 3 วธ คาเฉล�ยเลขคณต คามธยฐานและคาฐานนยม

1. อธบายข�นตอนการวเคราะหขอมลเบ�องตน และสามารถนาผลการวเคราะหขอมลเบ�องตนไปใช

ในการตดสนใจได

2. เลอกใชคากลางท�เหมาะสมกบขอมลท�กาหนดและวตถประสงคท�ตองการได

3. นาเสนอขอมลในรปแบบตางๆรวมท�งการอานและตความหมายจากการนาเสนอขอมลได

เร�องท� � การวเคราะหขอมลเบ�องตน

เร�องท� � การหาคากลางของขอมลโดยใชคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐานและฐานนยม

เร�องท� � การนาเสนอขอมล

��

เร�องท� 1 การวเคราะหขอมลเบ�องตน

ความหมาย

คาวา “สถต” เปนเร�องท�มความสาคญและจาเปนอยางย�งตอการตดสนใจหรอวางแผน ซ�งแตเดม

เขาใจวา สถต หมายถง ขอมลหรอขาวสารท�เปนประโยชนตอการบรหารงานของภาครฐ เชน การ

จดเกบภาษ การสารวจผลผลต ขอมลท�เก�ยวของกบประชากร จงมรากศพทมาจากคาวา “State” แต

ปจจบนสถต มความหมายอย 2 ประการ คอ

1. ตวเลขท�แทนขอเทจจรงท�มการแปรเปล�ยนไปตามปรมาณส�งของท�วดเปนคาออกมา เชน

สถตเก�ยวกบจานวนนกเรยนในโรงเรยน จานวนนกเรยนท�มาและขาดการเรยนในรอบเดอน ปรมาณ

น� าฝนในรอบป จานวนอบตเหตการเดนทางในชวงปใหมและสงกรานต เปนตน

2. สถตในความหมายของวชาหรอศาสตรท�ตรงกบภาษาองกฤษวา “Statistics” หมายถง

กระบวนการจดกระทาของขอมลต�งแตการเกบรวบรวมขอมล การวเคราะหขอมล การนาเสนอขอมล

และการตความหรอแปลความหมายขอมล เปนตน

การศกษาวชาสถตจะชวยใหผเรยนมความรความเขาใจในระเบยบวธสถตท�เปนประโยชนใน

ชวตประจาวน ต�งแตการวางแผน การเลอกใช และการปฏบตในการดาเนนงานตาง ๆ รวมท�งการ

แกปญหาในเร�องตาง ๆ ท�งในวงการศกษาวทยาศาสตร การเกษตร การแพทย การทหาร ธรกจตาง ๆ

เปนตน กจการตาง ๆ ตองอาศยขอมลสถตและระเบยบสถตตาง ๆ มาชวยจดการ ท�งน� เน�องจากการ

ตดสนใจหรอการวางแผน และการแกปญหาอยางมหลกเกณฑจะทาใหโอกาสท�จะตดสนใจเกดความ

ผดพลาดนอยท�สดได

นอกจากน�หลกวชาทางสถตยงสามารถนาไปประยกตใชกบการจดเกบรวบรวมขอมล เพ�อความ

จาเปนท�ตองนาไปใชงานในดานตางๆ โดยเฉพาะอยางย�งทาใหทราบขอมล และทาความเขาใจกบ

ขาวสารและรายงานขอมลทางวชาการตาง ๆ ท�นาเสนอในรปแบบของตาราง แผนภม แผนภาพ กราฟ

ซ�งผอานหากมความรความเขาใจในเร�องของสถตเบ�องตนแลว จะทาใหผอานสามารถรและเขาใจใน

ขอมลและขาวสารไดเปนอยางด

1.1 ชนดของขอมล อาจแบงไดเปนดงน�

1. ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative data) เปนขอมลท�แสดงถง คณสมบต สภาพ สถานะ

หรอความคดเหน เชน ความสวย ระดบการศกษา เพศ อาชพ เปนตน

2. ขอมลเชงปรมาณ (Qualitative data ) เปนขอมลท�เปนตวเลข เชน ขอมลท�เกดจากการ

ช�ง ตวง หรอ คาของขอมลท�นาปรมาณมาเปรยบเทยบกนได เชน ความยาว น� าหนก สวนสง สถตของ

คนงานแยกตามเงนเดอน เปนตน

��

นอกจากน� ยงมขอมลซ�งสามารถแยกตามกาลเวลาและสภาพภมศาสตรอกดวย

แหลงท�มาของขอมล โดยปกตขอมลท�ไดมาจะมาจากแหลงตาง ๆ อย � ประเภท คอ

- ขอมลปฐมภม ( Primary data ) หมายถง ขอมลท�รวบรวมมาจากผใหหรอแหลงท�

เปนขอมลโดยตรง เชน การสารวจนบจานวนพนกงานในบรษทแหงหน�ง

- ขอมลทตยภม ( Secondary data ) หมายถง ขอมลท�รวบรวมหรอเกบมาจาก

แหลงขอมลท�มการรวบรวมไวแลว เชน การคดลอกจานวนสนคาสงออกท�การทาเรอไดรวบรวมไว

1.2 การเกบรวบรวมขอมล

การเกบรวบรวมขอมลในทางสถตจะมวธการเกบรวบรวมขอมลได � วธ ตาม

ลกษณะของการปฏบต กลาวคอ

�) วธการเกบขอมลจากการสารวจ การเกบรวบรวมขอมลวธน� เปนท�ใชกนอยาง

แพรหลาย โดยสามารถทาไดต�งแตการสามะโน การสอบถาม / สมภาษณจากแหลงขอมลโดยตรง

รวมท�งการเกบรวบรวมขอมลท�เกดเหตจรง ๆ เชน การเขาไปสารวจผมงานทาในตาบล หมบาน การ

แจงนบนกทองเท�ยวท�เขามาในจงหวด หรออาเภอ การสอบถามขอมลคนไขท�นอนอยในโรงพยาบาล

เปนตน วธการสารวจน�สามารถกระทาไดหลายกรณ เชน

�.� การสอบถาม วธท�นยม คอ การสงแบบสารวจหรอแบบขอคาถามท�

เหมาะสม เขาใจงายใหผอานตอบ ผตอบมอสระในการตอบ แลวกรอกขอมลสงคน วธการสอบถามอาจ

ใชส�อทางไปรษณย ทางโทรศพท เปนตน วธน�ประหยดคาใชจาย

�.� การสมภาษณ เปนวธการรวบรวมขอมลท�ไดคาตอบทนท ครบถวน

เช�อถอไดด แตอาจเสยเวลาและคาใชจายคอนขางสง การสมภาษณทาไดท�งเปนรายบคคลและเปนกลม

�) วธการเกบขอมลจากการสงเกต เปนวธการรวบรวมขอมลโดยการบนทกส�งท�

พบเหนจรงในขณะน�น ขอมลจะเช�อถอไดมากนอยอยท�ผรวบรวมขอมล สามารถกระทาไดเปนชวง ๆ

และเวลาท�ตอเน�องกนได วธน� ใชควบคไปกบวธอ�นๆ ไดดวย

3) วธการเกบขอมลจากการทดลอง เปนการเกบรวบรวมขอมลท�มการทดลอง

หรอปฏบตอยจรงในขณะน�นขอดท�ทาใหเราทราบขอมล ข�นตอน เหตการณท�ตอเน�องท�ถกตองเช�อถอได

บางคร� งตองใชเวลาเกบขอมลท�นานมาก ท�งน�ตองอาศยความชานาญของผทดลอง หรอผถกทดลองดวย

จงจะทาใหไดขอมลท�มความคลาดเคล�อนนอยท�สด

อน�ง การเกบรวบรวมขอมล ถาเราเลอกมาจากจานวนหรอรายการของขอมลท�

ตองการเกบมาท�งหมดทกหนวยจะเรยกวา “ประชากร” ( Population ) แตถาเราเลอกมาเปนบางหนวย

และเปนตวแทนของประชากรน�น ๆ เราจะเรยกวา กลมตวอยางหรอ “ ตวอยาง” ( Sample )

��

1.3 การวเคราะหขอมล

การวเคราะหขอมล เปนการแยกขอมลสถตท�ไดมาเปนตวเลขหรอขอความจากการรวบรวม

ขอมลใหเปนระเบยบพรอมท�จะนาไปใชประโยชนตามความตองการ ท�งน� รวมถงการคานวณหรอหา

คาสถตในรปแบบตาง ๆ ดวย มวธการดาเนนงานดงน�

1.3.1 การแจกแจงความถ� ( Frequency distribution ) เปนวธการจดขอมลของสถตท�มอย หรอ

เกบรวบรวมมาจดเปนกลมเปนพวก เพ�อความสะดวกในการท�นามาวเคราะห เชน การวเคราะหคาเฉล�ย

คาความแปรปรวนของขอมล เปนตน การแจกแจงความถ�จะกระทากตอเม�อมความประสงคจะวเคราะห

ขอมลท�มจานวนมาก ๆ หรอขอมลท�ซ� า ๆ กน เพ�อชวยในการประหยดเวลา และใหการสรปผลของ

ขอมลมความรดกมสะดวกตอการนาไปใชและอางอง รวมท�งการนาไปใชประโยชนในดานอ�น ๆ ตอไป

ดวย

สวนคาวา “ตวแปร” ( Variable ) ในทางสถต หมายถง ลกษณะบางส�งบางอยางท�เราสนใจจะ

ศกษาโดยลกษณะเหลาน�นสามารถเปล�ยนคาได ไมวาส�งน�นจะเปนขอมลเชงปรมาณหรอคณภาพ เชน

อายของนกศกษาการศกษาทางไกลท�วดออกมาเปนตวเลขท�แตกตางกน หากเปนเพศมท�งเพศชายและ

หญง เปนตน

การแจกแจงความถ�แบงออกเปน � แบบคอ

1. การแจกแจงความถ�ท�วไป

2. การแจกแจงความถ�สะสม

3. การแจกแจงความถ�สมพทธ

4. การแจกแจงความถ�สะสมสมพทธ

1. การแจกแจงความถ�ท�วไป จดแบบเปนตารางได � ลกษณะ

�) ตารางการแจกแจงความถ�แบบไมจดเปนกลม เปนการนาขอมลมาเรยงลาดบจากนอยไปหา

มาก หรอมากไปหานอย แลวดวาจานวนในแตละตวมตวซ� าอยก�จานวน วธน� ขอมลแตละชวงช�นจะ

เทากนโดยตลอด และเหมาะกบการแจกแจงขอมลท�ไมมากนก

ตวอยางท� 1 คะแนนการสอบวชาคณตศาสตรของนกศกษา �� คน คะแนนเตม �� คะแนน มดงน�

12 9 10 14 6

13 11 7 9 10

7 5 8 6 11

4 10 2 12 8

10 15 9 4 7

��

เม�อนาขอมลมานบซ�า โดยทาเปนตารางมรอยขดเปนความถ� ไดดงน�

หรออาจนาเสนอเปนตารางเฉพาะคะแนนและความถ�ไดอก ดงน�

คะแนน ( x ) � � � � � � � � � �� รวม

ความถ� ( f ) � � � � � � � � � � � � � � � ��

�) การแจกแจงความถ�แบบจดเปนกลม การแจกแจงความถ�แบบจดเปนกลมน� เรยกวาจดเปน

อนตรภาคช�น เปนการนาขอมลมาจดลาดบจากมากไปหานอย หรอนอยไปหามากเชนกน โดยขอมล

แตละช�นจะมชวงช�นท�เทากน การแจกแจงแบบน� เหมาะสาหรบจดกระทากบขอมลท�มจานวนมาก

ตวอยางท� � อายของประชากรในหมบานหน�งจานวน �� คน เปนดงน�

��

คะแนน รอยขด ความถ�

��

รวม ��

��

เม�อนาขอมลมาทาเปนตารางแจกแจงความถ�แบบจดเปนกลม ไดดงน�

�. การแจกแจงความถ�ท�เปนอนตรภาคช�น มคาเรยกความหมายของคาตาง ๆ ดงตอไปน�

�.� อนตรภาคช�น ( Class interval ) หมายถง ขอมลท�แบงออกเปนชวง ๆ เชน อนตรภาค

ช�น ��-�� , �� -�� ,��–�� ,��-�� เปนตน

�.�. ขนาดของอนตรภาคช�น หมายถง ความกวาง � ชวงของขอมลในแตละช�น จาก ��-��

หรอ ��-�� จะมคาเทากบ ��

�.� จานวนของอนตรภาคช�น หมายถง จานวนชวงช�นท�งหมดท�ไดแจกแจงไวในท�น� ม ��

ช�น

�.� ความถ� ( Frequency ) หมายถง รอยขดท�ซ�ากน หรอจานวนขอมลท�ซ�ากนในอนตรภาค

ช�นน�น ๆ เชน อนตรภาคช�น ��-�� มความถ�เทากบ �� หรอมผท�มอายในชวง ��-�� มอย �� คน

1.4 การแจกแจงความถ�สะสม

ความถ�สะสม ( Commulative frequency ) หมายถง ความถ�สะสมของอนตรภาคใด ท�เกด

จากผลรวมของความถ�ของอนตภาคน�น ๆ กบความถ�ของอนตรภาคช�นท�มชวงคะแนนต�ากวาท�งหมด

( หรอสงกวาท�งหมด )

ตวอยางท� � ขอมลสวนสง (เซนตเมตร) ของพนกงานคนงานโรงงานแหงหน�ง จานวน �� คนมดงน�

142 ��

164 ��

152 ��

��

เม�อนามาแจกแจงความถ�ไดดงน�

หมายเหต ความถ�สะสมของอนตรภาคช�นสดทายจะเทากบผลรวมของความถ�ท�งหมดและส�งท�ควรทราบ

ตอไปไดแก ขดจากดลาง ขดจากดบนและจดก�งกลางช�น

�.� การแจกแจงความถ�สมพทธ

ความถ�สมพทธ ( Relative frequency ) หมายถง อตราสวนระหวางความถ�ของอนตรภาค

ช�นน�นกบผลรวมของความถ�ท�งหมด ซ�งสามารถแสดงในรปจดทศนยม หรอรอยละกได

ตวอยางท� 4 การแจกแจงความถ�สมพทธของสวนสงนกศกษา

หมายเหต ผลรวมของความถ�สมพทธตองเทากบ � และคารอยละความถ�สมพทธตองเทากบ �� ดวย

��

�.� การแจกแจงความถ�สะสมสมพทธ

ความถ�สะสมสมพทธ ( Relative commulative frequency ) ของอนตภาคใด คอ

อตราสวนระหวางความถ�สะสมของอนตรภาคช�นน�นกบผลรวมของความถ�ท�งหมด

ตวอยางท� 5 การแจกแจงความถ�สะสมสมพทธของสวนสงนกศกษา

1.7 ขดจากดช�น ( Class limit )

หมายถง ตวเลขท�ปรากฏอยในอนตรภาคช�น แบงเปนขดจากดบน และขดจากดลาง

( ดตารางในตวอยางท� � ประกอบ)

�.� ขดจากดบนหรอขอบบน ( Upper boundary ) คอ คาก�งกลางระหวางคะแนนท�มาก

ท�สดในอนตรภาคช�นน�นกบคะแนนนอยท�สดของอนตรภาคช�นท�ตดกนในชวงคะแนนท�สงกวา เชน

อนตรภาคช�น �� -��

ขอบบน = 5.1492

150149

น�นคอ ขดจากดบนของอนตรภาคข�น �� – �� คอ ��.�

�.� ขดจากดลางหรอขอบลาง ( Lower boundary ) คอ คาก�งกลางระหวางคะแนนท�

นอยท�สดในอนตรภาคช�นน�นกบคะแนนท�มากท�สดของอนตรภาคช�นท�อยตดกนในชวงคะแนนท�ต �า

กวา เชน ตวอยางอนตรภาคช�น �� – ��

ขอบลาง = 5.1392

139140

น�นคอ ขดจากดลางของอนตภาคข�น �� – �� คอ ��.�

��

* ** *

ตวอยางท� 6 การแจกแจงความถ�ของสวนสงนกศกษา

ความสง (ซม.) ความถ� ความถ�สะสม ขดจากดลาง ขดจากดบน จดก�งกลางช�น

�� – ��

��

��.�

รวม ��

�.� จดก�งกลางช�น ( Mid point )

เปนคาหรอคะแนนท�อยระหวางกลางของอนตรภาคช�นน�น ๆ เชน อนตรภาคช�น �� -��

จดก�งกลางของอนตรภาคช�นดงกลาว 154.52

159150 เปนตน

นอกจากน� ยงสามารถแสดงการแจกแจงความถ�ของขอมลโดยใชฮสโทแกรม (Histogram )

รปหลายเหล�ยมของความถ� (Frequency polygon ) เสนโคงของความถ� (Frequency curve )

��

1. จงเขยนขอมลสถตท�เก�ยวของกบบคคลในครอบครว เชน เพศ อาย สถานภาพ อาชพ

2. จงยกตวอยางขอมลเชงคณภาพและเชงปรมาณมาอยางละ 5 ชนด

3. จงพจารณาวาขอมลตอไปน� เปนขอมลเชงคณภาพ หรอขอมลเชงปรมาณ

- พนกงานในรงงานแหงหน�งถกสอบถามถงสขภาพรางกายในขณะปฏบตงาน

คณภาพ ปรมาณ

เพราะวา................................................................................................................

- นกศกษาจานวนหน�งท�ถกสอบถามถงคาใชจายในการไปพบกลมท�หองสมด

เพราะวา................................................................................................................

4. ขอมลปฐมภมตางจากขอมลทตยภมอยางไร จงอธบายและยกตวอยาง

5. ขอมลตอไปน�ควรใชวธใดในการรวบรวม (ตอบไดหลายคาตอบ)

5.1 การใชเวลาวางของนกศกษา

�.� รายไดของคนงานในสถานประกอบการ

�.� น� าหนกของเดกอาย �-� ป ในหมบาน

�.� ผลของการใชส�อการเรยนการสอน � ชนดท�แตกตาง

�.� การระบาดของโรคท�เปนอนตรายตอมนษย

�. จงบอกขอดขอเสยของการเกบรวบรวมขอมลโดยวธการสมภาษณ

7. ขอมลการสารวจอาย ( ป ) ของคนงานจานวน �� คนในโรงงานอตสาหกรรมแหงหน�งเปนดงน�

��

33 28 30 24 26 45 38 22 40 46

20 31 18 27 25 42 21 30 25 27

26 50 31 19 53 22 28 36 24 23

21 29 37 32 38 31 36 28 27 41

กาหนดความกวางของอนตรภาคช�นเปน 8

1. จงสรางตารางแจกแจงความถ�

�. จงหาขดจากดช�นท�แทจรงและจดก�งกลางช�น

�. จงหาความถ�สะสม ความถ�สมพทธ และความถ�สะสมสมพทธ

�. จงหาพสยของขอมลชดน�

�. จงหาจานวนคนงานท�มอายต �ากวา �� ป

��

เร�องท� 2 การหาคากลางของขอมล โดยใชคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

การหาคากลางของขอมลท�เปนตวแทนของขอมลท �งหมดเพ�อความสะดวกในการสรปเร�องราว

เก�ยวกบขอมลน �นๆ จะชวยทาใหเกดการวเคราะหขอมลถกตองดข �น การหาคากลางของขอมลมวธหา

หลายวธ แตละวธมขอดและขอเสย และมความเหมาะสมในการนาไปใชไมเหมอนกน ข �นอยกบ

ลกษณะขอมลและวตถประสงคของผใชขอมลน �นๆ คากลางของขอมลท�สาคญ ม 3 ชนด คอ

1. คาเฉล�ยเลขคณต (Arithmetic mean)

2. มธยฐาน (Median)

3. ฐานนยม (Mode)

การหาคากลางของขอมลทาไดท�งขอมลท�ไมไดแจกแจงความถ�และขอมลท�แจกแจงความถ�

2.1. คาเฉล�ยเลขคณต (Arithmetic mean)

คาเฉล�ยเลขคณตของขอมลไดจากการหารผลบวกของขอมลท�งหมดดวยจานวนขอมล แทนดวย

สญลกษณ x

การหาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลท�ไมแจกแจงความถ�

ให x1 , x2 , x3 , …, xn เปนขอมล N คา

หรอ n

ตวอยาง จากการสอบถามอายของนกเรยนกลมหน�งเปนดงน� 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17

�) จงหาคาเฉล�ยเลขคณตของอายนกเรยนกลมน�

2) เม�อ 3 ปท�แลว คาเฉล�ยเลขคณตของอายนกเรยนกลมน� เปนเทาใด

�) วธทา

คาเฉล�ยเลขคณตของนกเรยนกลมน� คอ 15.75 ป

��

�) วธทา

เม�อ 3 ปท�แลว 11 13 11 14 13 11 15 14

อายปจจบน 14 16 14 17 16 14 18 17

เม�อ 3 ปท�แลว คาเฉล�ยเลขคณตของอายของนกเรยนกลมน� คอ 12.75 ป

การหาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลท�แจกแจงความถ�

ถา f1 , f2 , f3 , … , fk เปนความถ�ของคาจากการสงเกต x1 , x2 , x3 ,…. , xk

ตวอยาง จากตารางแจกแจงความถ�ของคะแนนสอบของนกเรยน 40 คน ดงน� จงหาคาเฉล�ยเลขคณต

คะแนน จานวนนกเรยน (f) x fx

11 – 20

21 – 30

31 – 40

41 – 50

51 - 60

40 Nf 1450fx

��

วธทา

= ��.��

คาเฉล�ยเลขคณต = 36.25

สมบตท�สาคญของคาเฉล�ยเลขคณต

2)( มคานอยท�สด เม�อ M = x หรอ 2

i xx ≤ 2

เม�อ M เปนจานวนจรงใดๆ

4. minmin xxx

5. ถา yi = axi + b , I = 1, 2, 3, ……., N เม�อ a , b เปนคาคงตวใดๆแลว

y = a x + b

คาเฉล�ยเลขคณตรวม (Combined Mean)

ถา เปนคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดท� 1 , 2 , … , k ตามลาดบ

ถา N1 , N2 , … , Nk เปนจานวนคาจากการสงเกตในขอมลชดท� 1 , 2 ,… , k ตามลาดบ

��

ตวอยาง ในการสอบวชาสถตของนกเรยนโรงเรยนปราณวทยา ปรากฏวานกเรยนช�น ม.6/1 จานวน 40

คน ไดคาเฉล�ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 70 คะแนน นกเรยนช�น ม.6/2 จานวน 35 คน ได

คาเฉล�ยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 68 คะแนน นกเรยนช�น ม.6/3 จานวน 38 คน ไดคาเฉล�ยเลข

คณตของคะแนนสอบเทากบ 72 คะแนน จงหาคาเฉล�ยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนท�ง 3 หอง

รวมกน

วธทา x รวม =

= 383540

(38)(72)(35)(68)(40)(70)

= 70.05

2.�. มธยฐาน (Median)

มธยฐาน คอ คาท�มตาแหนงอยก�งกลางของขอมลท�งหมด เม�อไดเรยงขอมลตามลาดบ ไมวาจาก

นอยไปมาก หรอจากมากไปนอย แทนดวยสญลกษณ Md

การหามธยฐานของขอมลท�ไมไดแจกแจงความถ�

หลกการคด

1) เรยงขอมลท�มอยท�งหมดจากนอยไปมาก หรอมากไปนอยกได

�) ตาแหนงมธยฐาน คอ ตาแหนงก�งกลางขอมลท�งหมด ดงน�นตาแหนงของมธยฐาน = 2

เม�อ N คอ จานวนขอมลท�งหมด

�) มธยฐาน คอ คาท�มตาแหนงอยก�งกลางของขอมลท�งหมด

ตวอยาง กาหนดใหคาจากการสงเกตในขอมลชดหน�ง มดงน�

5, 9, 16, 15, 2, 6, 1, 4, 3, 4, 12, 20, 14, 10, 9, 8, 6, 4, 5, 13 จงหามธยฐาน

วธทา เรยงลาดบขอมล 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 20

ตาแหนงมธยฐาน = 2

= 10.5

คามธยฐานอยระหวางตาแหนงท� �� และ ��

��

คาของขอมลตาแหนงท� �� คอ � และตาแหนงท� �� คอ �

ดงน�น คามธยฐาน = 2

86 = 7

การหามธยฐานของขอมลท�จดเปนอนตรภาคช�น

ข�นตอนในการหามธยฐานมดงน�

(1) สรางตารางความถ�สะสม

(�) หาตาแหนงของมธยฐาน คอ 2

N เม�อ N เปนจานวนของขอมลท�งหมด

(�) ถา 2

N เทากบความถ�สะสมของอนตรภาคช�นใด อนตรภาคช�นน�นเปนช�น มธยฐาน และ

มมธยฐานเทากบขอบบน ของอนตรภาคช�นน�น ถา 2

N ไมเทาความถ�สะสมของอนตรภาคช�นใดเลย

อนตรภาคช�นแรกท�มความถ�สะสมมากกวา 2

N เปนช�นของมธยฐาน และหามธยฐานไดจากการเทยบ

บญญตไตรยางค หรอใชสตรดงน� จากขอมลท�งหมด N จานวน ตาแหนงของมธยฐานอยท� 2

เม�อ Lo คอ ขดจากดลางของอนตรภาคช�นท�มมธยฐานอย

lf คอ ความถ�สะสมกอนถงช�นท�มมธยฐานอยของคะแนนต�ากวาท�อยช �นตดกน

fm คอ ความถ�ของช�นท�มมธยฐานอย

i คอ ความกวางของอนตรภาคช�นท�มมธยฐานอย

N คอ จานวนขอมลท�งหมด

��

2.� ฐานนยม (Mode)

การหาฐานนยมของขอมลท�ไมแจกแจงความถ�

ใชสญลกษณ Mo คอคาของขอมลท�มความถ�สงสด หรอคาท�มจานวนซ� า ๆ กนมากท�สด แทน

ดวยสญลกษณ Mo

หลกการคด

- ใหดวาขอมลใดในขอมลท�มอยท�งหมด มการซ� ากนมากท�สด (ความถ�สงสด) ขอมลน�นเปน

ฐานนยมของขอมลชดน�น

หมายเหต

- ฐานนยมอาจจะไมม หรอ มมากกวา 1 คากได

��

ส�งท�ตองร

1. ถาขอมลแตละคาท�แตกตางกน มความถ�เทากนหมด เชน ขอมลท�ประกอบดวย 2 , 7 , 9 ,

11 , 13 จะพบวา แตละคาของขอมลท�แตกตางกน จะมความถ�เทากบ 1 เหมอนกนหมด ในท�น� แสดงวา

ไมนยมคาของขอมลตวใดตวหน�งเปนพเศษ ดงน�น เราถอวา ขอมลในลกษณะดงกลาวน� ไมมฐานนยม

2. ถาขอมลแตละคาท�แตกตางกน มความถ�สงสดเทากน 2 คา เชน ขอมลท�ประกอบดวย

2, 4, 4, 7, 7, 9, 8, 5 จะพบวา 4 และ 7 เปนขอมลท�มความถ�สงสดเทากบ 2 เทากน ในลกษณะ

เชนน� เราถอวา ขอมลดงกลาวมฐานนยม 2 คา คอ 4 และ 7

3. จากขอ 1, 2, และตวอยาง แสดงวา ฐานนยมของขอมล อาจจะมหรอไมมกไดถามอาจจะ

มมากกวา 1 คากได

การหาฐานนยมของขอมลท�มการแจกแจงความถ�

กรณขอมลท�มการแจกแจงความถ�แลว

การหาฐานนยมจากขอมลท�แจกแจงความถ�แลว อาจนาคาของจดก�งกลางอนตรภาคช�นของขอมล

ท�มความถ�มากท�สดมาหาจดก�งกลางช�นท�หาคาได จะเปนฐานนยมทนท แตคาท�ไดจะเปนคาโดยประมาณ

เทาน�น หากใหไดขอมลท�เปนจรงมากท�สดตองใชวธการคานวณจากสตร

diLoMo

เม�อ Mo = ฐานนยม

Lo = ขดจากดลางจรงของคะแนนท�มฐานนยมอย

1d ผลตางของความถ�ระหวางอนตรภาคช�นท�มความถ�สงสดกบความถ�ของช�นท�มคะแนนต�ากวาท�

อยตดกน

2d ผลตางของความถ�ระหวางอนตรภาคช�นท�มความถ�สงสดกบความถ�ของช�นท�มคะแนนสงกวาท�

อยตดกน

i = ความกวางของอนตรภาคช�นท�มฐานนยมอย

��

ตวอยาง จากตารางคะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกศกษา �� คน จงหาคาฐานนยม

จากสตร

diLoMo

Lo = 69.5 , 1d 45 – 22 = 23 , 2d 45 – 30 = 15 และ i = ��.� – ��.� = 10

จะได 55.751523

23105.69

ฐานนยมของคะแนนสอบวชาวทยาศาสตร มคาเปน ��.��

ความสมพนธระหวางคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

นกสถตพยายามหาความสมพนธระหวางคากลางท�งสาม

ฐานนยม = ตวกลางเลขคณต – � (ตวกลางเลขคณต – มธยฐาน ) หรอ

Mo = Mdxx 3

ถาแสดงดวยเสนโคงความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ�คากลาง และการกระจายของ

ขอมล ไดดงน�

ขอมลมการแจกแจงเปนโคงปกต ขอมลมการแจกแจงเบขวา ขอมลมการแจกแจงเบซาย

��

1. จงหาคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของน� าหนกเดก �� คน ซ�งมน� าหนกเปนกโลกรมดงน�

��

�. รายไดพเศษตอเดอนของพนกงานในโรงงานแหงหน�ง เปนดงน�

รายได (บาท) ความถ� (f)

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 - 169

170 – 174

จงหาคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม

��

เร�องท� � การนาเสนอขอมลสถต

การนาเสนอขอมลสถตสามารถกระทาได � ลกษณะใหญ ๆ ดงน�

�.�. การนาเสนออยางไมเปนแบบแผน ( Informal presentation ) เปนการนาเสนอขอมลท�ไม

จาเปนตองมกฎเกณฑอะไรมากนก มการนาเสนอในลกษณะน�อย � วธ คอ การนาเสนอในรปขอความ

หรอบทความและการนาเสนอในรปขอความก�งตาราง ดงตวอยาง

ตวอยาง การนาเสนอในรปขอความ / บทความ

จากการสารวจการใชโทรศพทผานดาวเทยมไทยคมท�วประเทศในป �� พบวา มอยตามหองสมด

ประชาชนจานวน �� แหง มอยตามบานผเรยนจานวน �� แหง และมอยท�ศนยการเรยนชมชนอก

�,�� แหง รวมท�งส�นมโทรศพทผานดาวเทยมท�งหมด �,�� แหง

ตวอยาง การนาเสนอในรปขอความก�งตาราง

จากการสารวจสามะโนประชากรท�วางงานตลอดท�วประเทศในป �� ปรากฏวามผวางงานดงน�

ภาคกลาง ��,�� คน

ภาคเหนอ ��,�� คน

ภาคใต ��,�� คน

ภาคตะวนออก ��,�� คน

ภาคตะวนตก �,�� คน

ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ ��,�� คน

รวมท�งส�น ��,�� คน

�.�. การนาเสนออยางเปนแบบแผน ( Formal presentation ) เปนการนาเสนอขอมลท�ม

กฎเกณฑและตองปฏบตตามมาตรฐานท�กาหนดไวเปนแบบแผน การนาเสนอวธการน� เปนลกษณะ

ตาราง แผนภม แผนภาพ และกราฟตาง ๆ

�.�.� การนาเสนอโดยใชตาราง

เปนการนาขอมลมาจดเรยงใหอยในรปของแถวหรอหลก ตามลกษณะท�สมพนธกน อยใน

ตาแหนงท�เก�ยวของกน ทาใหสะดวกในการเปรยบเทยบ รวบรดตอการนาเสนอ องคประกอบท�วไป

ของตารางจะมดงน�

��

องคประกอบตารางสถต ตารางสถตโดยท�วไปประกอบดวย

�. หมายเลขตาราง (table number) ช�อเร�อง (title)

หมายเหตคานา (prefatory note)

หวข�ว

(Stub head)

หวสดมภ

(Column head)

ตวข�ว

(stub entries)

ตวเร�อง

(body)

หมายเหตลาง (footnote)

หมายเหตแหลงท�มา ( source note)

�. หมายเลขตาราง เปนตวเลขท�แสดงลาดบท�ของตาราง ใชในกรณท�มตารางมากกวาหน� งตารางท�ตอง

นาเสนอ

2. ช�อเร�อง เปนขอความท�อยตอจากหมายเลขตาราง ช�อเร�องท�ใช แสดงวาเปนเร�องเก�ยวกบอะไร ท�ไหน

เม�อไร

�. หมายเหตคานา เปนขอความท�อยใตช�อเร� อง เปนสวนท�ชวยใหรายละเอยดในตารางมความชดเจน

ย�งข�น

�. ตนข�ว ประกอบดวย หวข�ว และตนข�ว ซ�งหวข�วจะอธบายเก�ยวกบ ตวข�ว สวนตวข�ว จะแสดงขอมล

ท�อยในแนวนอน

�. หวเร�อง ประกอบดวย หวสดมภ และตวเร� อง ซ�งหวสดมภใชอธบายขอมลแตละสดมภ ตามแนวต�ง

ตวเร�อง ประกอบดวย ขอมลท�เปนตวเลขโดยสวนใหญ

�. หมายเหตแหลงท�มา บอกใหทราบวาขอมลในตารางมาจากท�ใด ชวยใหผอานไดคนควาเพ�มเตม

ตวอยาง ตารางแสดงจานวนประชากรของประเทศไทยปตาง ๆ จาแนกตามเพศ ( สานกงานสถต

แหงชาต )

พ.ศ. จานวนประชากร

ชาย หญง รวม

7,��,��

�,��,��

��,��,��

�,��,��

��,��,��

��

3.2.2 แผนภมรปภาพ ( Pictogram) เปนแผนภมท�ใชรปภาพแทนตวเลขของขอมล เชนรปภาพ

คน � คน แทนจานวนคน �� คน ถามคน �� คน จะมรปภาพคน � รป และภาพคนท�ไมสมบรณอกคร� ง

รปการนาเสนอขอมลในรปภาพทาใหดงดดความสนใจมากข�น

ตวอยาง ตอไปน� เปนตวอยางแผนภมรปภาพ ซ�งแสดงปรมาณท�ไทยสงสนคาออกไปขายยงประเทศบรไน

ระหวางป ��-��

= 100 ลานบาท

�� 250

2527 234

2528 360

2529 360

2530 450

2531 550

ท�มา : กรมศลกากร

จากขอมลขางตน แสดงวาในป �� ไทยสงสนคาไปขายยงประเทศบรไน �� ลานบาท ในป

�� สงสนคาไปขาย �� ลานบาท เปนตน

3.2.3 แผนภมรปวงกลม คอ แผนภมท�แสดงใหเหนถงรายละเอยดสวนยอย ๆ ของขอมลท�นามา

เสนอ การนาเสนอขอมลในลกษณะน� จะเสนอในรปของวงกลมโดยคานวณสวนยอย ๆ ของขอมลท�จะ

แสดงท�งหมด หลงจากน�นแบงพ�นท�ของรปวงกลมท�งหมดออกเปน �� สวน หลงจากน�นกหาพ�นท�ของ

แตละสวนยอย ๆ ท�จะแสดง

��

ตวอยาง แผนภมรปวงกลมแสดงการเปรยบเทยบงบประมาณดานตาง ๆ ท�ใชในสถานศกษา

( ยกเวนเงนเดอน – คาจาง )

3.2.4 แผนภมแทง (Bar chart) การนาเสนอขอมลโดยใชแผนภมแทง เปนการนาเสนอขอมล

โดยใชรปส�เหล�ยมผนผา รปส�เหล�ยมผนผาอาจเรยงในแนวต�ง หรอแนวนอนกได ซ�งส� เหล�ยมผนผาแตละ

รปจะมความกวางเทาๆกนทกรป สวนความยาวของส�เหล�ยมผนผาข�นอยกบขนาดของขอมล นยมเรยกรป

ส�เหล�ยมผนผาในแตละรปวา “แทง” (bar) ระยะหางระหวางแทงใหพองาม และเพ�อใหจาแนกลกษณะท�

แตกตางกนของขอมลในแตละแทงใหชดเจน และสวยงามจงไดมการแรเงา หรอระบายส และเขยนตวเลข

กากบไวบนตอนปลายของแตละแทงดวยกได

3.2.4. 1 แผนภมแทงเชงเด�ยว (Simple bar chart)

ตวอยาง การเสนอขอมลโดยใชแผนภมแทงเชงเด�ยว

แผนภมแสดงจานวนท�อยอาศยเปดตวใหมในเขตกทม. และปรมณฑล

81,657

58,497

113,150

253,159

142,053

46,909 41,300

100000

150000

200000

250000

300000

2534 2535 2536 2537 2538 2539 2540

จานวนท�อยอาศย

��

3.2.4.2แผนภมแทงเชงซอน (Multiple bar chart) ขอมลสถตท�จะนาเสนอดวยแผนภมแทงตอง

เปนขอมลประเภทเดยวกนและหนวยของตวเลขเปนหนวยเดยวกนและควรใชเปรยบเทยบขอมล 2 ชด

หรอมากกวา � ชดกได ซ�งอาจเปนแผนภมในแนวต�งหรอแนวนอน กไดส�งท�สาคญตองมกญแจ (Key)

อธบายวาแทงใดหมายถงขอมลชดใดไวท�ดวย ดตวอยางจากรปท� 3

แผนภมแทงแสดงสนทรพย หน� สนและทนของสหกรณออมทรพยมหาวทยาลยเกษตรศาสตร

�.2.5 การนาเสนอขอมลโดยใชกราฟเสน

การนาเสนอขอมลท�มลกษณะเปนกราฟเสนน�น ลกษณะของกราฟอาจจะเปนเสนตรงหรอไมกได

จดสาคญของการนาเสนอโดยใชกราฟเสนกเพ�อจะใหผอานมองเหนแนวโนมการเพ�มข�นหรอลดลงของ

ขอมล เชนขอมลท�เก�ยวกบเวลา ถาเรานาเสนอโดยใชกราฟเสน เรากสามารถจะมองเหนลกษณะของ

ขอมลในชวงเวลาตาง ๆ วามการเปล�ยนแปลงในลกษณะท�เพ�มข�นหรอลดลงมากนอยเพยงใด นอกจากน�

กราฟเสนยงทาใหเรามองเหนความสมพนธระหวางขอมล(ถามขอมลหลาย ๆ ชด) และสามารถนาไปใช

ในการคาดคะเน หรอพยากรณขอมลน�นไดอกดวย

โดยท�วไป การนาเสนอขอมลโดยใชกราฟเสนกจะมลกษณะเชนเดยวกบตาราง กลาวคอ เราตอง

บอก หมายเลขภาพ ช�อภาพ แหลงท�มาของขอมล และท�สาคญตองบอกใหทราบวาแกนนอนและแกนต�ง

ใชแทนขอมลอะไรและมหนวยเปนอยางไร

��

3.2.5.1 กราฟเชงเด�ยว คอ กราฟท�แสดงลกษณะของขอมลเพยงชดเดยว เชน ขอมล

เก�ยวกบปรมาณสนคาท�นาเขาจากประเทศสงคโปร ขอมลเก�ยวกบปรมาณน� าฝนประจาเดอนตาง ๆ ป

พ.ศ. �� เปนตน

ตวอยาง ตารางแสดงปรมาณสนคาท�นาเขาจากประเทศสงคโปร

ป ปรมาณสนคานาเขา (ลานบาท)

��

��,��

ท�มา : กรมศลกากร

จงเสนอขอมลดงกลาวโดยใชกราฟเชงเด�ยว

วธทา จากขอมลดงกลาวเราสามารถนามาเขยนเปนกราฟเสนไดดงน�

ปรมาณสนคาท�นาเขาจากประเทศสงคโปร ปพ.ศ. �� – ��

2000025000

2526 2527 2528 2529 2530 2531

ปพ.ศ.

(ลาน

บาท

��

3.2.5.2 กราฟเชงซอน กราฟเชงซอนเปนการนาเสนอขอมลในลกษณะเดยวกบแผนภมแทง

เชงซอน กลาวคอเปนการนาเสนอเพ�อเปรยบเทยบใหเหนถงความแตกตางระหวางขอมลต�งแต � ชดข�น

ไป เชนการเปรยบเทยบระหวาง จานวนอบตเหตทางอากาศ กบจานวนอบตเหตทางเรอ จานวนคนเกดกบ

จานวนคนตาย เปนตน

ตวอยางท� �� ตารางแสดงราคาขาวสาล และราคาแปงขาวสาลท�ประเทศไทยส�งเขามาต�งแตป �� –

��

ป ราคาขาวสาล(บาท/ตน) ราคาแปงขาวสาล(บาท/ตน)

��

�,��

ท�มา : วารสารเศรษฐกจ ธนาคารกรงเทพ จากด ฉบบเดอนมถนายน �� ปท� �� เลมท� �

วธทา จากขอมลดงกลาวสามารถนามาเขยนกราฟเสนไดดงน�

กราฟแสดงราคาขาวสาล และราคาแปงขาวสาลท�ประเทศไทยส�งเขามาต�งแตป �� – ��

ขาวสาลแปงสาล

��

1. กาหนดใหวา จานวนคนไข (คนไขใน) ของโรงพยาบาลอาเภอแหงหน�งในป �� และ �� ซ�ง

ไดมากจากการสารวจของโรงพยาบาลเปนดงน� พ.ศ. �� มเพศชาย �,�� คน หญง �,�� คน ป

�� มเพศชาย �,�� หญง �,�� คน จงนาเสนอขอมล

ก. ในรปบทความ

……………………………………………………………………………………………………….

ข. ในรปบทความ / ขอความก�งตาราง

……………………………………………………………………………………………………….

2. จากขอมลท�นาเสนอในรปตาราง รอยละของนกศกษาระดบมธยมศกษาตอนตนของสถาบนการศกษา

แหงหน�ง ไดผลการเรยนใน � วชาหลกในป �� มดงน�

หมวดวชา รอยละของระดบผลการเรยน

� � � � �

คณตศาสตร

ภาษาไทย

วทยาศาสตร

สงคมศกษา

�.��

รวม ��.�� 13.67

จากตารางจงตอบคาถามตอไปน�

�. หมวดวชาใดท�นกศกษาไดระดบผลการเรยน � มากท�สดและไดระดบ � นอยท�สดและคดเปน

รอยละเทาไร

�. นกศกษาสวนใหญไดระดบผลการเรยนใด

�. ระดบผลการเรยนท�นกศกษาจานวนมากท�สดไดรบ

�. ระดบผลการเรยนท�นกศกษาจานวนนอยท�สดไดรบ

�. กลาวโดยสรปถงผลการเรยนของสถาบนแหงน� เปนอยางไร

��

�. ตารางแสดงปรมาณผลตยางพาราของประเภทตาง ๆ ในป พ.ศ. �� และป พ.ศ. �� ดงน�

ประเทศ ปรมาณการผลต ( ลานตน )

ป �� ป ��

มาเลเซย

อนโดนเซย

ไทย

เวยดนาม

ลาว

�.�

จงเขยน

�. แผนภมแทงแสดงการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆในป ��

�. แผนภมแทงและการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆในป �� และในป ��

�. แผนภมวงกลมแสดงการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆ ในป ��

4. จงเขยนกราฟแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสตวน� าจดและสตวน� าเคมท�จบไดต�งแต พ.ศ. �� ถง พ.ศ.

��

พ.ศ. ปรมาณท�จบได ( พนตน )

สตวน�าจด สตวน�าเคม

��

�,��

��

�.3 สถตกบการตดสนใจ

ในชวตประจาวนของแตละบคคล จะมการตดสนใจเก�ยวกบการดาเนนชวตในแตละเร�อง แตละ

เหตการณอยตลอดเวลา การเลอกหรอการตดสนใจท�จะเลอกวธการตางๆ ยอมตองอาศยความเช�อ ความร

และประสบการณ สามญสานก ขาวสาร ขอมลตางๆ มาประกอบการเลอกหรอการตดสนใจดงกลาว

เพ�อใหสามารถดารงชวตอยางถกตอง และมโอกาสผดพลาดนอยท�สด

ตวอยางเชน การตดสนใจท�เกดจากการเลอกในส�งตาง ๆ ท�เกดข�น

จะเหนไดวา การเลอกตดสนใจจะทาเร�องใดๆ จาเปนตองมขอมลในการตดสนใจในการเลอกทา

ส�งน�น ๆ ใหดท�สด ขอมลท�มอยหรอหามาได หรอขอมลท�วเคราะหเบ�องตนแลว ยงเรยกวา “ สารสนเทศ

หรอขาวสาร” (Information) จะชวยใหการตดสนใจดย�งข�น

หลกในการเลอกขอมลมาใชประกอบการตดสนใจ จะตอง

- เช�อถอได

- ครบถวน

- ทนสมย

ถาขอมลท�มอยไมสามารถนามาประกอบการตดสนใจได อาจทาใหเปนสารสนเทศเสยกอน ซ�ง

ผใชจะตองเลอกวธวเคราะหขอมลท�เหมาะสมกบคาตอบท�ตองการไดรบเสยกอน น�นคอ วธวเคราะห

ขอมลและเปนตวกาหนดขอมลท�จาเปนตองใช

��

ตวอยาง ขอมลและสารสนเทศ

ทกวนน�สถตถกนามาใชประโยชนหลายๆดาน หลายสาขา และมสวนเก�ยวของกบชวตประจาวน

ของมนษยมากข�น ทกวงการ ท�งสวนท�เปนขอความ ตาราง รปภาพ ปายประกาศ และเอกสารทางวชาการ

ตางๆ เปนตน โดยเฉพาะหนวยงานท�ทางานดานนโยบายและการวางแผน จะตองใชสถตท�งขอมล และ

สารสนเทศเพ�อจดทา นโยบาย วางแผนงาน เพ�อใชเปนเคร� องมอสนบสนนในการตดสนใจตางๆ ของ

หนวยงานท�งภาครฐและเอกชน

ในสวนของภาครฐบาลตองอาศยสถตในการวดภาพรวมทางดานเศรษฐกจ เชน การหาผลตภณฑ

มวลรวมของประเทศ การบรโภค การออม การลงทน ตลอดจนการวดการเปล�ยนแปลงคาของเงนเปนตน

นอกจากน� ยงอาศยวธการทางสถตชวยอธบายเก�ยวกบทฤษฏทางเศรษฐศาสตร การทดสอบสมมตฐาน

ตางๆโดยพยายามพยากรณและคาดคะเนแนวโนมภาวะเศรษฐกจของประเทศ

ในดานธรกจการคาตวเลขสถตมประโยชนเปนเคร�องมอชวยรกษาและปรบปรงคณภาพการผลต

ใชเปนเคร�องมอในการคดเลอกและยกฐานะของคนงาน หรอใชเปนเคร�องมอในการควบคมเพ�อใหใช

วตถดบอยางประหยด มการคาดคะเนความตองการของลกคาในอนาคต ซ�งการตดสนใจเก�ยวกบการคา

การขายตองอาศยสถตท�งส�น

สาหรบในดานสงคมและการศกษา ในวงการสาธารณสขตองใชขอมลสถตเพ�อการดแลรกษา

สขภาพ การประมวลผล และคาดการณแนวโนมการระวงสขภาพ ตองอาศยขอมลทางสถตประกอบการ

ตดสนใจ สวนในดานการศกษาสถตจะชวยในการวางนโยบายและแผนการจดการศกษาท�งในระดบชาต

และระดบทองถ�น นอกจากน�สถตยงชวยตดตาม วดผลและประเมนผลการจดการเรยนการสอนและการ

บรหารจดการอกดวย

��

1. การเลอกขอมลมาใชประกอบการตดสนใจตองอาศยหลกการใดบาง

2. ขอมล ตางกบ สารสนเทศ อยางไร จงอธบายพรอมยกตวอยางประกอบดวย

��

บทท� 8

ความนาจะเปน

1. การนบจานวนผลลพธท�งหมดท�เกดจากการกระทา หรอการทดลองใดๆ ตองอาศยกฎเกณฑการ

นบจงจะทาใหงายและสะดวก รวดเรว

2. ความนาจะเปน คอ จานวนท�แสดงใหทราบวาเหตการณใดเหตการณหน� ง มโอกาสเกดข�นมาก

หรอนอยเพยงใด ส�งท�จาเปนตองทราบทาความเขาใจ คอ

- การทดลองสม (Random Experiment)

- แซมเปลสเปซ (Sample Space)

- เหตการณ (Event)

3. ความนาจะเปนของเหตการณใดๆ เปนการเปรยบเทยบจานวนสมาชกของเหตการณน�นๆ กบ

จานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ ซ�งเปนคาท�จะชวยในการพยากรณหรอการตดสนใจได

1. หาจานวนผลลพธท�อาจเกดข� นของเหตการณ โดยใชกฎเกณฑเบ�องตนเก�ยวกบการนบและ

แผนภาพตนไมอยางงายได

2. อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณและหาความนาจะเปนของ

เหตการณท�กาหนดใหได

3. นาความรเก�ยวกบความนาจะเปนไปใชในการคาดการณและชวยในการตดสนใจ

เร�องท� � กฎเบ�องตนเก�ยวกบการนบและแผนภาพตนไม

เร�องท� � ความนาจะเปนของเหตการณ

เร�องท� � การนาความนาจะเปนไปใช

��

�. กฎเบ�องตนเก�ยวกบการนบและแผนภาพตนไม

ในชวตประจาวนของคนเรามการกระทาหรอการทดลองหลายอยางท�สามารถมวธการท�จะเกด

ผลลพธไดหลายวธ การหาจานวนรปแบบหรอจานวนวธท�อาจเกดข�นไดจากการนบท�งหมด โดยมกฎ

เบ�องตนเก�ยวกบการนบจากการทางานดงน�

�. �. การทางานท�ม 2 อยางหรอสองข�นตอน

ถางานอยางแรกมวธทาได n1 วธ และในแตละวธทางานอยางแรกมวธท�จะทางานอยางท�สองได

n2 วธ แลวจานวนวธท�ทางานท�งสองอยางเทากบ n1

n2 วธ

สามารถเขยนแผนผงการทางานไดดงน�

งานอยางท� 1 งานอยางท� 2

นบได n1 วธ × n2

วธ

จานวนวธทางานท�งสองอยาง = n1 × n2

วธ

เพ�อความเขาใจใหงายข�นสามารถแจกแจงผลการนบแตละวธไดโดยใช แผนภาพตนไม ดงตวอยาง

ตอไปน�

ตวอยางท� � โยนเหรยญ � อนพรอมกน � คร� ง เกดผลลพธไดท�งหมดก�วธ

วธทา โยนเหรยญ � อนพรอมกน 1 คร� ง เปนการทางาน � อยาง

เหรยญท� 1 เหรยญท� �

จดได 2 × 2

งานแรก การเกดของเหรยญท� 1 เกดได 2 วธ คออาจเกดหว (H ) หรอ อาจเกดกอย (T )

กได และในแตละวธท�เกดเหรยญท� 1 ยงมวธเกดเหรยญท� 2 ไดอก

งานท� 2 การเกดของเหรยญท� 2 เกดได 2 วธ คออาจเกดหว (H) หรออาจเกดกอย (T )

ดงน�น การโยนเหรยญ 2 อนพรอมกน 1 คร� ง เกดได = 2 ×2 = 4 วธ

��

การโยนเหรยญ � เหรยญพรอมกน เปนการทางานท�ม � อยางหรอ � ข�นตอน สามารถแสดง

เหตการณท�เกด โดยใชแผนภาพตนไมไดดงน�

เหรยญท� 1 เหรยญท� 2 เหตการณท�เกดข�น

น�นคอ โยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน 1 คร� ง เกดได 4 วธ คอ HH, HT, TH, TT ตอบ ตวอยางท � ชายคนหน�งมเส�อเช�ตตางกน � ตว

และกางเกงขายาวตางกน � ตว

วธทา เราสามารถใชแผนภาพตนไมชวยในการหาวธท�งหมดท�เปนไปไดแสดงไดดงแผนภาพ

ขางลางน�

จากแผนภาพตนไมจะพบวาการแตงกายของชายคนน�ท�แตกตางกนนบไดท�งหมด �� วธ

��

ตวอยางท� 3 โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 คร� ง เกดไดท�งหมดก�วธ

วธทา โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน � คร� ง เปนการทางาน � อยาง

ลกท� 1 ลกท� �

จดได 6 × 6

งานอยางแรก การเกดของลกเตาลกท� 1 ซ�งม 6 หนา เกดได 6 วธ คออาจหงายหนา 1 ,

2, 3 …., หรอ 6 )

โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 คร� ง เกดได = 6 ×6 = 36 วธ

สามารถแจกแจงผลลพธ ไดดงน�

( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6)

( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6)

( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6)

( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6)

( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6)

( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) ตอบ 36 วธ

�. �. การทางานท�ม 3 อยางหรอสามข�นตอน

การนบจะมแนวคดในทานองเดยวกน แตจานวนข�นตอนในการเขยนแผนภาพตนไม หรอ

การหาผลคณคารทเซยน จะม 3 งานหรอ � ข�นตอนท�ตองทาตอเน�องกน ดงตวอยางตอไปน�

ตวอยางท� 4 บรษทรถยนตแหงหน�งผลตตวถงรถยนตออกมา 2 แบบ มเคร�องยนต 2 ขนาด และส

ตาง ๆ กน 3 ส ถาตองการแสดงรถยนตใหครบทกแบบ ทกขนาด และทกส จะตองใชรถยนตอยาง

นอยท�สดก�คน

��

วธท� 1 โดยใชแผนภาพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผลดงน�

การทางานม � ข�นคอ

ข�นท� 1 ข�นท� � ข�นท� �

ตวถง เคร�อง ส ผลงาน

ดงน�น จะตองมรถยนตแสดงอยางนอย 12 คน จงจะครบทกแบบทกสทกขนาด

วธท� 2 โดยใชผลคณคารทเซยน

ให A เปนเซตของตวถงรถยนต A = { ถ1, ถ2

B เปนเซตของเคร�องยนต B = { ค1, ค2

C เปนเซตของสตาง ๆ B = { ส1 , ส2

, ส3 }

นาตวถงและเคร�องยนตมาประกอบกนไดดงน�

A × B = { (ถ1 , ค1) , (ถ1 , ค2) , (ถ�,ค�) , (ถ2 , ค2)}

n(AxB) = n(A) x n(B) = 4 แบบ

นาตวถงกบเคร�องท�ประกอบแลวมาทาสตาง ๆ

( A × B ) × C = { (ถ1 , ค1, ส1 ), (ถ1 , ค1, ส2 ), (ถ1 , ค1, ส3 ), (ถ1 , ค2, ส1 ), (ถ1 , ค2, ส2 ), (ถ1 , ค2, ส3 ),

(ถ2 , ค1, ส1 ), (ถ2 , ค1, ส2 ), (ถ2 , ค1, ส3 ), (ถ2 , ค2, ส1 ), (ถ2 , ค2, ส2 ), (ถ2 , ค2, ส3 )}

N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C)

= n(A) x n(B) x n(C)

= 2 x 2 x 3 = 12

ดงน�น ตองใชรถยนตแสดงอยางนอย 12 คน

��

เม�อพจารณาแผนภาพตนไมและวธการของผลคณคารทเซยนแลว พบวา สามารถหาจานวนวธ

หรอจานวนรปแบบในการทางานไดเชนเดยวกน จากหลกการของท�งสองวธ จงสามารถนามาสรางเปน

กฎเบ�องตนเก�ยวกบการหาจานวนวธในการทางานอยางใดอยางหน�งได โดยสรปเปนกฎไดดงน�

สรปข�นตอนในการใชกฎการนบแกโจทยปญหา

1. พจารณาวางานหรอเหตการณท�โจทยกาหนดมาน�นคออะไร จดแบงออกเปนก�ข�นตอนท�ตอเน�องกน

2. พจารณาเง�อนไขตาง ๆ ท�กาหนดมาในแตละข�นตอน บนทกไว

3. หาจานวนวธท�สามารเลอกทางานไดในแตละข�น โดยตองเร�มจากข�นท�มเง�อนไขมากท�สดกอนแลวจง

พจารณาข�นอ�น ๆ ท�มเง�อนไขรองลงมา ตามความสาคญ

4. นาจานวนวธท�ไดในแตละข�นตอนคณกน จะไดจานวนรปแบบหรอจานวนวธท�อาจเกดข�นไดท�งหมด

ตวอยางท� 4 ในการเลอกต�งกรรมการชดหน�งจะประกอบไปดวย ประธาน รองประธาน เหรญญก และ

เลขา โดยกรรมการแตละคนจะดารงตาแหนงไดเพยงตาแหนงเดยวเทาน�น ถามผสมครท�งหมด 6 คน

เปนชาย 2 คน เปนหญง 4 คน ผลการเลอกต�งกรรมการชดน� จะมไดท�งหมดก�แบบตางกน โดยท�

1. ไมมเง�อนไขเพ�มเตม

2. กาหนดใหประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญง

3. กรรมการตองเปนหญงลวน ๆ

วธทา มผสมคร 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญง 4 คน ใหเลอกกรรมการ 4 ตาแหนง ประธาน รอง

ประธาน เหรญญก เลขา

1) ไมมเง�อนไขเพ�มเตม แตละคนเปนไดตาแหนงเดยว

ตาแหนงประธาน เลอกได 6 วธ

ตาแหนงรองประธาน เลอกได 5 วธ

ตาแหนงเหรญญก เลอกได 4 วธ

ตาแหนงเลขา เลอกได 3 วธ

ดงน�น จานวนวธในการเลอกกรรมการม = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธ

2) กาหนดประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญง

ตาแหนงประธานเปนชาย เลอกได 2 วธ

ตาแหนงเลขาท�เปนหญง เลอกได 4 วธ

ตาแหนงเหรญญก (คนท�เหลอ) เลอกได 4 วธ

ตาแหนงรองประธาน เลอกได 3 วธ (คนท�เหลอสดทาย )

��

3) กรรมการตองเปนผหญงลวน ๆ

ตาแหนงประธานเปนชาย เลอกได 2 วธ

ตาแหนงเลขาเปนหญง เลอกได 4 วธ

ตาแหนงรองประธาน เลอกได 4 วธ ( เฉพาะหญงท�เหลอ )

ตาแหนงเหรญญก เลอกได 3 วธ ( เฉพาะหญงท�เหลอ )

ตวอยางท� � จากอกษรในคาวา “ PHYSIC” นามาสรางคาใหมประกอบดวย 3 อกษร ตางกน

( ไมสนใจความหมายของคาเหลาน�น) โดยท�

2. ตองเปนพยญชนะท�งหมด

วธทา อกษรในคาวา PHYSIC เปนสระ 1 ตวและพยญชนะ 5 ตว รวมท�งหมด 6 ตวอกษร

อกษรตวท�

1. สรางคาประกอบดวย 3 ตวอกษร สรางได = 6 × 5 × 4 = 120 วธ

2. มเง�อนไขวาตองเปนพยญชนะท�งหมด สรางได = 5 × 4 × 3 = 60 วธ

ตวอยางท� �

หองประชมแหงหน�งม 3 ประต จงหาวธในการเดนเขา - ออกหองประชม โดยมเง�อนไขตางกน

ดงน�

1. จานวนวธในการเดนเขา

2. จานวนวธในการเดนเขา - ออก

3. จานวนวธในการเดนเขา - ออก โดยไมซ�าประตกน

4. จานวนวธในการเดนเขา - ออก โดยใชประตเดม

วธทา ประตหองประชมม 3 ประต หมายเลข 1 2 และ 3

การเดน

1. จานวนวธเดนเขาหองประชม = 3 วธ

2. จานวนวธการเดน เขา - ออก = 3 × 3 = 9 วธ ( ใชประตซ�าได)

3. จานวนวธการเดนเขา - ออก โดยไมซ�าประตกน = 3 × 2 = 6 วธ

เขา ออก

��

4. จานวนวธการเดนเขา - ออก โดยใชประตเดม = 3 × 1 = 3 วธ

ตวอยางท� 7

ครมหนงสอ 5 เลมแตกตางกน ตองการแจกใหนกเรยน � คน จงหาจานวนวธแจกหนงสอโดยท�

2. ไมมใครไดหนงสอเกน 1 เลม

วธทา การแจกหนงสอตองพจารณาการแจกทละเลม

หนงสอเลมท�

1. ไมมเง�อนไข (แจกซ�าได ) ดงน�นแจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธ

2. ไมมใครไดเกน 1 เลม แปลวา ไมมใครไดซ�า ไดแลวจะไมแจกใหอก

ดงน�น จะมวธแจกหนงสอ = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วธ

1 2 3 4

��

1. โยนเหรยญ � เหรยญ � คร� ง จงหาจานวนท�เหรยญจะข�นหนาตางๆ โดยวธเขยนแผนภมตนไม

�. ในการทดสอบวชาคณตศาสตร ประกอบดวย โจทยแบบปรนย � ตวเลอก จานวน � ขอ

โจทยแตละขอ มคาตอบท�ถกตองเพยงหน�งตวเลอกเทาน�น แลวจานวนวธการตอบคาถามท�เปนไปได

ท�งหมดมก�วธ

3. มนกเรยน � คน ยนเขาแถวเพ�อซ�ออาหารกลางวนของรานหน�ง จงหาวาจานวนวธท�ยนเขาแถวท�

แตกตางกน มท�งหมดก�วธ

4. มชาย � คน หญง � คน ตองการจดคแขงขนระหวางชาย � คน หญง � คนในการแขงขนกฬา

เทนนส มจานวนท�งหมดก�วธ

5. เพ�อน � คน นกกนไปรบประทานอาหารเยนท�ภตตาคารและ ซ�อของท�หางสรรพสนคา โดยเลอกท�

จะไปรบประทานอาหารและซ�อของ ซ�งมภตตาคาร � แหง และมหางสรรพสนคา � แหง ท�งสาม

คนน�จะมวธเลอกกระทาดงกลาวไดท�งหมดก�วธ

�. บรษทแหงหน�งเปดรบสมครพนกงานเขาทางาน โดยพจารณาจากเง�อนไขคอ เพศชาย หญงระดบอาย

ม � ระดบ และมสาขาวชาชพ �� ประเภท แลวบรษทน� จะมวธการจาแนกผสมครไดท�งหมดก�วธ

�. จากการสมภาษณรบคนเขาทางานจานวน � คน จะมวธจะคดเลอกไดพนกงานหน�งคนจากผเขา

สมภาษณท�งหมด

�. จงเขยนแผนภาพตนไมเพ�อแสดงผลท�เกดข�นจากการโยนเหรยญ � เหรยญ � คร� ง จงหาจานวนวธท�

แตกตางกนในการโยนเหรยญคร� งน� โดยท�

1. ไมมหนาหวเลย �. มหนาหวเพยง � คร� ง

�. มหนาท�ง � คร� ง �. มหนาหวเพยง � คร� ง

�. มหนาหว � คร� ง

��

�. ความนาจะเปนของเหตการณ

ในชวตประจาวนมกพบกบการคาดคะเน หรอการประมาณเหตการณ หรอโอกาส เพ�อใชในการ

ตดสนใจ โอกาสท�เหตการณน�น จะเกดไดมมากนอยเพยงใด ข�นอยกบอตราสวนระหวางจานวนสมาชก

ของเหตการณน�น กบจานวนคร� งของการทางานผเรยนจงตองทราบ และทาความเขาใจ กบคาเหลาน�

1. การทดลองสม (Random Experiment) คอ การทดลองท�ไมสามารถระบผลลพธไดอยางแนนอน แต

บอกไดวาผลลพธของการทดลองน�นมโอกาสเกดอะไรข�นไดบาง

ตวอยางท� 1 การทดลองโยนลกเตา � ลก � คร� ง แตมท�จะเกดข�นได คอ แตม �, �, �, �, � หรอ �

ซ�งไมสามารถบอกไดวาจะเปนแตมอะไรใน � แตมน�

ดงน�นผลลพธท�งหมดท�จะเกดข�นคอแตม �, �, �, �, �, �

ตวอยางท� 2 การหยบลกปงปอง � ลก จากกลอง ซ�งม � ลก � ส ลกปงปองท�หยบไดอาจจะเปน ลกปงปอง

สขาว ฟา แดง เขยว หรอสม

ดงน�นผลลพธท�งหมดท�จะเกดข�นคอ ลกปงปองสขาว ฟา แดง เขยว หรอสม

ตวอยางท� 3 จงเขยนผลท�อาจจะเกดข�นไดท�งหมดในการโยนเหรยญบาท � เหรยญ และเหรยญหาสบ

สตางค � เหรยญ

วธทา

ในการโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ ผลท�อาจเกดข�นคอหวหรอกอย ถาให H แทน หว และ

ให T แทน กอย

ในการหาผลท�อาจเกดข�นไดท�งหมดจากการโยนเหรยญบาทและเหรยญหาสบสตางคอยางละ 1

เหรยญ อาจใชแผนภาพชวยไดดงน�

��

ฉะน�น ถาเราใชคอนดบเขยนผลท�งหมดท�อาจเกดข�นไดโดยใหสมาชกตวหน�งของคอนดบแทนผล

ท�อาจเกดข�นจากเหรยญบาท สมาชกตวท�สองของคอนดบแทนผลท�อาจเกดข�นจากเหรยญหาสบ

สตางค จะได

ผลท�งหมดท�อาจจะเกดข�นได คอ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T)

2. แซมเปลสเปซ (Sample Space ) เปนเซตท�มสมาชกประกอบดวยส�งท�ตองการ ท�งหมด จากการ

ทดลองอยางใดอยางหน�ง ( บางคร� งเรยกวา Universal Set ) เขยนแทนดวย S

เชน ตวอยางท� 4 ในการโยนลกเตาถาตองการดวาหนาอะไรจะข�นมาจะได

ผลลพธท�อาจจะเกดข�นไดคอ ลกเตาข�นแตม 1 หรอ 2 หรอ 3 หรอ 4 หรอ 5 หรอ 6

ดงน�นแซมเปลสเปซท�ได คอ S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

ตวอยางท� � จากการทดลองสมโดยการทดลองทอดลกเตา 2 ลก

1. จงหาแซมเปลสเปซของแตมของลกเตาท�หงายข�น

วธทา 1. เน�องจากโจทยสนใจแตมของลกเตาท�หงายข�น ดงน�นเราตองเขยนแตมของลกเตาท�มโอกาส

ท�จะหงายข�นมาท�งหมด และเพ�อความสะดวกให (a , b) แทนผลลพธท�อาจจะเกดข�น โดยท�

a แทนแตมท�หงายข�นของลกเตาลกแรก

b แทนแตมท�หงายข�นของลกเตาลกท�สอง

ดงน�นแซมเปลสเปซของการทดลองสมคอ

S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

��

3. เหตการณ (event) คอ เซตท�เปนสบเซตของ Sample Space หรอเหตการณท�เราสนใจ จากการทดลองสม

ตวอยางท� 7 ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 คร� ง ถาผลลพธท�สนใจคอ จานวนแตมท�ได จะได

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถาให E1 เปนเหตการณท�ไดแตมซ�งหารดวย 3 ลงตว จะได E1 = {3, 6}

E2 เปนเหตการณท�ไดแตมมากกวา 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6}

ตวอยางท� 8 ถงใบหน�งมลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 2 ลก หยบลกบอลออกจากถง 2 ลก จงหา

1. แซมเปลสเปซของสของลกบอล และเหตการณท�จะไดลกบอลสขาว

2. แซมเปลสเปซของลกบอลท�หยบมาได และเหตการณท�จะไดลกบอลเปนสขาว 1 ลก สแดง

1 ลก

วธทา 1. เน�องจากเราสนใจเก�ยวกบสของลกบอล และลกบอลมอยสองสคอสขาวและสแดง

ดงน�น แซมเปลสเปซ S = {ขาว, แดง}

สมมตให B เปนเหตการณท�จะไดลกบอลสขาว

ดงน�น B = {ขาว}

2. เน�องจากเราสนใจแซมเปลสเปซของลกบอลแตละลกท�ถกหยบข�นมา

ดงน�นแซมเปลสเปซ S คอ

S = {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2}

ให C เปนเหตการณท�ผลลพธเปนลกบอลสขาว 1 ลก และ สแดง 1 ลก

ดงน�น เหตการณ C คอ

C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2}

หมายเหต ข แทน ขาว และ ด แทน แดง

ตวอยางท� 10 โยนเหรยญบาท � เหรยญ � คร� ง จงหาผลลพธของเหตการณท�จะออกหวอยางนอย

� คร� ง การหาผลลพธท�งหมดท�อาจจะเกดข�นจากการโยนเหรยญบาท � เหรยญ � คร� ง

โดยใชแผนภาพตนไม ดงน�

��

ผลลพธท�งหมดท�อาจจะเกดข�นจากการทดลองสม ม � แบบ คอ HH, HT, TH และ TT

น�นคอผลลพธของ เหตการณท�จะออกหวอยางนอย � คร� ง ม � แบบ คอ HH, HT และ TH

�. ความนาจะเปนของเหตการณ

ความนาจะเปนของเหตการณ คอ จานวนท�แสดงใหทราบวาเหตการณใดเหตการณหน�งมโอกาส

เกดข�น มากหรอนอยเพยงใด

ความนาจะเปนของเหตการณใด ๆ เทากบอตราสวนของจานวนเหตการณท�เราสนใจ (จะใหเกดข�น

หรอไมเกดข�นกได) ตอจานวนผลลพธท�งหมดท�อาจจะเกดข�นได ซ�งมสตรในการคดคานวณดงน�

ความนาจะเปนของเหตการณ =

เม�อผลท�งหมดท�อาจจะเกดข�นจากทดลองสมแตละตวมโอกาสเกดข�นไดเทาๆ กน

กาหนดให E แทน เหตการณท�เราสนใจ

P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณ

n(E) แทน จานวนสมาชกของเหตการณ

n(S) แทน จานวนสมาชกของผลลพธท�งหมดท�อาจจะเกดข�นได

ดงน�น P( E ) = )(

ตวอยางท� 1 มลกปงปอง 4 ลก เขยนหมายเลขกากบไวดงน� คอ 0, 1, 2, 3 ถาสมหยบมา 2 ลก จงหาความ

นาจะเปนท�จะไดผลรวมของตวเลขมากกวา 3

วธทา ให S เปนแซมเปลสเปซ

S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) }

จะได n(S) = 6

E เปนเหตการณหรอส�งท�โจทยอยากทราบ

E = {(1, 3),(2, 3)}

จะได n (E) = 2

น�นคอ จากสตรขางบนคอ Sn

EnEp )( แทนคาได

ความนาจะเปนท�จะไดผลรวมของตวเลขมากกวา 3 เทากบ 3

จานวนผลลพธของเหตการณท�เราสนใจ

จานวนผลลพธท�งหมดท�อาจจะเกดข�นได

��

1. สมาชกทกตวในเหตการณ E ตองเปนสมาชกในอยในแซมเปลสเปซ S

ดงน�น 0 ≤ n(E)≤n(S)

2. ถา E เปนเหตการณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S จะไดวา

2.1 0≤P(E)≤1

2.2 ถา P(E)=1 หมายถงเหตการณน�นตองเกดข�นแนนอน

ถา P(E)=0 หมายถงเหตการณน�นตองไมเกด

2.3 ถา S เปนแซมเปลสเปซ จะไดวา P(S)=1

��

1. จากการทดลองสมตอไปน� จงเขยนแซมเปลสเปซและเหตการณท�สนใจในการทดลองน�นๆ

(1) ไดหวสองเหรยญจากการโยนเหรยญสองอนหน�งคร� ง

(2) ไดผลรวมของแตมบนหนาลกเตาท�งสองเปน � หรอ � จากการโยนลกเตาสองลกหน�ง

คร� ง

(3) หยบไดสลากหมายเลข � หรอ � หรอ � หรอ � จากสลาก �� ใบซ�งเขยนหมายเลข � ถง

�� กากบไว

(4) ไดนกเรยนท�ถนดมอซายในหองเรยนท�ทานเรยนอย

(5) ไดสลากท�มรางวลจากการจบสลากท�ประกอบดวยสลากท�มรางวล � ใบ และไมม

รางวล � ใบ

(6) ไดคาตอบจากครอบครว � ครอบครววามจกรเยบผาใชท�งสามครอบครว

(7) ไดลกบอลสขาว � ลก สดา � ลก ในการหยบลกบอล � ลก จากกลองซ�งบรรจลกบอลส

ขาว � ลก และสดา � ลก

(8) ไดแตมท�เหมอนกนหรอไดแตม � จากลกเตาลกใดลกหน�งในการทอดลกเตาพรอมกน

สองลก

(9) ไดหวและแตมท�มากกวา � จากการโยนเหรยญหน�งเหรยญและทอดลกเตาหน�งลก

หน�งคร� ง

(10) ไดสท�ชอบคอ สฟาหรอสชมพจากการสอบถามนางสาวสชาดาถงสของกระดาษ

เชดหนาท�ชอบสองสจากสท�งหมด � ส คอ ขาว ฟา ชมพ เขยว และเหลอง

1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

1 = { 0, 2, 4, 6, 8 }

2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 }

3 ={ 2, 3, 4, 5 }

และ 4 = { 1, 6, 7 }

จงหาสมาชกของ S ท�อยในเหตการณตอไปน�

(1) 1 3 (�) 1 2

(�) 3 (�) 2)43

(�) 3S (�) 3)21

��

2. จากเหตการณ 1 ,2 , 3 ในขอ � จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตการณตอไปน�

(�) 1 2 (�) 2)31

(�) )21 (�) 3)21

3. ในการสารวจอายของผปวยแผนกเดก (อายไมเกน �� ป ) ของโรงพยาบาลแหงหน�ง

ถา 1 เปนเหตการณท�ผปวยมอายต�งแต � ถง � ป

2 เปนเหตการณท�ผปวยมอายนอยกวา � ป

และ 3 เปนเหตการณท�ผปวยมอายมากกวา � ป

จงหา (�) 1 2 (�) 231

(�) 1 2 (�) 2 3

4 ในการจบสลาก � ใบ จากสลาก �� ใบ ซ�งมเลข � ถง � กากบอย ถาสนใจเลขท�เขยนกากบไวในสลากใบ

ท�จบได โดยให

1 เปนเหตการณท�เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนค

2 เปนเหตการณท�เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนค�

3 เปนเหตการณท�เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนเฉพาะ

4 เปนเหตการณท�เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนท�หารดวย � ลงตว

จงเขยนเหตการณตอไปน� ในรป 1 , 2 , 3 หรอ 4 พรอมท�งแจกแจงสมาชกเม�อ

(1) เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนคหรอค�หรอจานวนเฉพาะ

(2) เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนเฉพาะท�หารดวย � ลงตว

(3) เลขท�เขยนกากบไวไมเปนจานวนค� และไมเปนจานวนท�หารดวย � ลงตว

(4) เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนคท�เปนจานวนเฉพาะ

��

�. การนาความนาจะเปนไปใช

การนาความนาจะเปนไปใช ตองการใหผท�ศกษาทราบวาเหตการณตางๆน�นมโอกาสจะเกดข�น

มาก หรอนอยเพยงใด เพ�อชวยในการประกอบการตดสนใจ เชน

ตวอยางท� 1 ไพสารบหน�งม 52 ใบ แบงเปน 2 ส 4 ชนด คอ สแดง ไดแกโพแดงกบขาวหลามตด

สดา ไดแก โพดากบดอกจก แตละชนดม 13 ใบ จงหาความนาจะเปนท�หยบมา 1 ใบแลวไดโพดาหรอส

แดง

วธทา S = ไพท�งหมดม 52 ใบ หยบมาทละ 1 ใบจะได 52 วธ

ดงน�น n(S) = 52

E = ไพโพดาม 13 ใบ และไพสแดงม 26 ใบ

ดงน�น n(E) = 13 + 26 = 39

จากสตร Sn

ความนาจะเปนท�หยบไพ 1 ใบแลวไดโพดาหรอสแดง เทากบ 4

สรปไดวา ไพ � ใบ แลวไดไพโพดา หรอโพแดงมโอกาสเกดข�น �� % ถอวามโอกาสเปนไปไดสง

ตวอยางท� 2 ในการหยบสลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซ�งมเลข 0 - 9 กากบอย จงหาความนาจะเปนท�จะ

หยบไดเปนจานวนเฉพาะสลากมเลข � เลข � เลข � เลข �

วธทา S = สลากม 10 ใบ หยบมาทละ 1 ใบ จงหยบได 10 วธ

S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}

n(S)=10

E = สลากท�เปนจานวนเฉพาะ

E ={2,3,5,7,}

n(E)=4

จากสตร Sn

ความนาจะเปนท�จะหยบไดเปนจานวนจาเพาะ เทากบ 5

สรปไดวา ความนาจะเปนท�จะหยบไดเปนจานวนจาเพาะ มโอกาสเกดข�น �� % ถอวามโอกาส

เกดข�นนอย

��

ตวอยางท� 3 ในการทอดลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 คร� ง จงหาโอกาสท�ผลรวมของแตมเปน 13

วธทา ลกเตา 2 ลกจะมผลรวมสงสดคอ 6 + 6 = 12

โจทยตองการทราบผลรวมของแตมท�จะเปน 13 จงเปนเหตการณท�เปนไปไมได

โอกาสท�ผลรวมของแตมเปน 13 เทากบ 0

สรปไดวา โอกาสท�จะทอดลกเตา � ลกแลวผลรวมของแตมเปน �� น�น ไมมโอกาสเกดข�นเลย

��

1. ในการโยนลกเตา � ลก � คร� ง จงหาความนาจะเปนของเหตการณ และสรปถงโอกาสท�จะเกดข�นวา

มมากหรอนอยเพยงใด

�) ไดแตม �

�) ไดแตมค

�) ไดแตมมากกวา �

�) ไดแตมนอยกวา �

�) ไดแตมมากกวา �

�) ไดแตมมากกวา � หรอเปนแตมค�

�) ไดแตมมากกวา � และเปนแตมค�

.............................................................................................................................................................

�. ทอดลกเตา � ลกสองคร� ง ความนาจะเปนท�จะไดแตมรวมเปน � ในคร� งแรกและไดแตมรวมเปน ��

ในคร� งท� � เทากบเทาใด

.............................................................................................................................................................

3. ชางกอสรางกลมหน�งม �� คน ประกอบดวย ชางปน � คน และชางไม � คน ถาตองการเลอกชาง

� คน จากกลมน� ความนาจะเปนท�จะไดชางปน � คน และชางไม � คน เทากบเทาใด

.............................................................................................................................................................

�. กลองใบหน�งบรรจหลอดไฟสแดง � หลอดซ�งเปนหลอดด � หลอดและหลอดไฟสน� าเงน � หลอด

ซ�งเปนหลอดด � หลอด ในการสมหยบหลอดไฟคร� งละ � หลอด � คร� ง แบบไมใสคน ความนาจะ

เปนท�จะไดหลอดไฟสเดยวกน และเปนหลอดดท�งสองคร�ง มคาเทากบเทาใด

.............................................................................................................................................................

5. กลองใบหน�งมลกบอลสแดง � ลก และสขาวจานวนหน�ง โดยท�จานวนวธการหยบลกบอล � ลก

เปนลกบอลสเหมอนกน เทากบ � ถาสมหยบลกบอลพรอมพน � ลก แลวความนาจะเปนท�จะไดลก

บอลสขาวท�ง � ลกเทากบเทาใด

.............................................................................................................................................................

��

บทท� �

การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

การประกอบอาชพในสงคมและในกลมประชาคมอาเซยนน�น มหลากหลายสาขาอาชพท�งในดาน

อตสาหกรรม เกษตรกรรม พณชยกรรม ความคดสรางสรรค และการบรหารจดการ อาชพในวงการ

ดงกลาวลวนมการใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรเขาไปเก�ยวของเกอบทกกลมอาชพ ซ�งผเรยน

สามารถนาความรและทกษะท�ไดเรยนคณตศาสตรในระดบมธยมศกษาตอนปลายมาประยกตใช

1. สามารถวเคราะหงานอาชพในสงคมและกลมประชาคมอาเซยนท�ใชทกษะทางคณตศาสตร

2. มความสามารถในการเช�อมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรกบงานอาชพได

เร�องท� � ลกษณะ ประเภทของงานอาชพท�ใชทกษะทางคณตศาสตร

เร�องท� � การนาความรทางคณตศาสตรไปเช�อมโยงกบงานอาชพในสงคมและ

ประชาคมอาเซยน

��

เร�องท� � ลกษณะ ประเภทของงานอาชพท�ใชทกษะทางคณตศาสตร

�.� กลมอาชพเกษตรกรรม ไดแก อาชพ การทานา ทาไร การปลกผก การเล�ยงสตว ประมง ฯลฯ

(�) ลกษณะงานเบ�องตนท�ใชทกษะทางคณตศาสตร

�. การสารวจของตลาดท�จะปลกพชเกษตรกรรม

2. การเตรยมพ�นท�ดน ซ�งข�นอยกบความกวาง ความยาวของพ�นท�วา

ผประกอบการใชพ�นท�ก�ไร ก�งาน ก�ตารางวา ในการทาแปลง ขดรอง

เพ�อใชเปนพ�นท�นา � สวน พ�นท�ปลกผก � สวน บอน� า � สวน

การเล�ยงสตว � สวน พ�นท�อยอาศย � สวน เปนตน

�. การเตรยมเมลดพนธขาว ผก และพชพนธอ�น ๆ

�. การเตรยมปยวาใชขนาดก�กโลกรมตอไร

�. การรดน� า พรวนดน ซ�งตองกาหนดวา รดน� าวนละ � คร�ง ในปรมาณมากนอย

เทาไร

�. การฉดยาฆาแมลงโดยใชสารกาจดศตรพชทางชวภาพ เชน สะเดา และ

สมนไพรอ�น ๆ เปนตน ใชความรเร�องอตราสวน สดสวน เพ�อผสมยากาจด

ศตรพชกบน� ากอนฉดพน

�. การเกบเก�ยวผลผลต ซ�งตองใชทกษะการคานวณระยะเวลาต�งแตการปลก

จนถงระยะการเกบเก�ยวผลผลต

- การตรวจสอบความช�นของวสดและสถานท�เกบผลผลต

- การคานวณพ�นท�ในการเกบรกษาผลผลต

�. การจาหนายผลผลต ซ�งตองใชทกษะการจดทาบญชรบ – จาย

การจดบนทกจานวนผลผลตท�ได

�. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

��

(�) เคร�องมอและเทคโนโลยท�ใช

�. เคร�องคดเลข

�. สมดบนทกรายรบ รายจายหรอคอมพวเตอรโนตบค

�. สมดจดบนทกระยะเวลาการเจรญเตบโตต�งแตการปลกจนถง

การเกบเก�ยวผลผลต

(�) ความรทางคณตศาสตรท�ใช

�. การวดความยาว การหาพ�นท�

�. อตราสวนในการผสมปยตอความกวางความยาวของพ�นท�ดน

�. การช�งผลผลตท�ได

�. การกาหนดราคาขายตอกโลกรม

�. การบวก ลบ คณ หาร เร�อง คาจางแรงงานและอ�น ๆ

�. การทาบญชรายรบ รายจายประจาวน

7. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

�.� กลมอาชพอตสาหกรรม ไดแก อาชพพนกงานในโรงงานอตสาหกรรมตางๆ ไดแก อตสาหกรรม

หองเยน ถวยชามอปกรณเซรามค ผาขนหน กระดาษและส�งพมพ สแตนเลส เหลก พลาสตก ปนซเมนต ฯลฯ

(�) ลกษณะงานเบ�องตนท�ใชทกษะคณตศาสตร

�. การคานวณเงนรายไดประจาวน

2. การคานวณเงนคาทางานลวงเวลา

�. การคานวณเงนกและดอกเบ�ยคงท�หรอดอกเบ�ยทบตน

4. การทาบญชรายรบ – รายจายประจาวน

�. การจดทาบญชพสด (การจดซ�อ การเบกจายพสด)

��

�. การสารวจและวจยการตลาด

�. เคร�องคอมพวเตอร

�. เคร�องจกรอตสาหกรรมในแตละสาขาอตสาหกรรม

�. เคร�องบรรจภณฑลงกลองหรอแพคเปนพลาสตกหอหม

(�) ความรและทกษะทางคณตศาสตรท�ใช

�. การคานวณเงนรายไดประจาสปดาห ประจาเดอนโดยหกวนลาหยด

�. การคานวณเงนคาทางานลวงเวลาเปนจานวนช�วโมงตอคาจางรายช�วโมง

�. การคานวณเงนกและดอกเบ�ย (ดอกเบ�ยคงท�, ดอกเบ�ยทบตน)

�. การทาบญชรบ – จายประจาวน

�.� กลมอาชพพาณชยกรรม ไดแก อาชพคาขาย ผประกอบการรานอาหารและเคร�องด�ม

ผประกอบการขายปลกและขายสง ธรกจการซ�อขายอสงหารมทรพย ธรกจการซ�อขายหนในตลาด

หลกทรพย อาชพการทาบญช การตลาด เปนตน

�. การจดเตรยมสถานท� การคานวณการจดวางโตะ เกาอ� หรอวสดอปกรณใน

การขาย

�. การจดซ�อวตถดบในการคาขายปลกหรอขายสง

��

�. การจาหนายสนคา การคานวณราคาสนคาตอหนวย การทอนเงน

�. การจดทาบญชรบ – จายประจาวน

�. การฝากเงน การถอนเงน การออมเงน

�. การประชาสมพนธในงานธรกจคาขายหรอพาณชยกรรม ซ�งตองใชทกษะใน

การคานวณขนาดของปายโฆษณา ขนาดตวอกษร ขนาดและจานวนแผนพบ

หรอใบปลวโฆษณา

�. เคร�องเกบเงน – ทอนเงน

�. เคร�องไมโครเวฟ

�. เคร�องป�นน� าผลไม

�. การคานวณขนาดของพ�นท�ใชสอยเพ�อจดวาง โตะ เกาอ�หรอวสด อปกรณในการขาย

�. การคานวณปรมาณการจดซ�อวตถดบในแตละวน

�. การคานวณในการจดซ�อพสด

�. การคานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสมพนธหรอแผนพบ แผนปลวโฆษณา

�.� กลมอาชพดานความคดสรางสรรค ไดแก ธรกจโฆษณา ธรกจการออกแบบตกแตงท�อยอาศย

สานกงานและสวนหยอม การจดดอกไมและแจกนประดบ ธรกจการทาพวงหรด การจดกระเชาของขวญ เปนตน

��

�. การจดเตรยมขนาด ปรมาตร รปทรงของพ�นท�หรอช�นงานในการจดทาธรกจ

ซ�งตองใชการวดความกวาง ความยาว ความสงของพ�นท�หรอช�นงาน

การออกแบบรปทรงโดยใชรปเรขาคณตสามมต

�. การคานวณปรมาณของวสดอปกรณในการใชประดษฐสรางสรรคช�นงาน

หรอการจดตกแตงสวนหยอม

�. การคานวณเพ�อกาหนดราคาขายสนคา

�. การจดทาบญชรบ – จาย ประจาวน

�. การประชาสมพนธในอาชพธรกจทกประเภท ซ�งตองใชทกษะในการคานวณ

เปนพ�นฐานในการจดทาแผนปายประชาสมพนธหรอแผนพบ แผนปลว

�. โปรแกรมสาเรจรปในการออกแบบสนคา

�. การคานวณพ�นท�ผว ปรมาตรของพ�นท�หรอออกแบบรปทรงท�ใชใน

การทางานอาชพ

�. การคานวณปรมาณของวสด อปกรณท�ใชประดษฐ สรางสรรค ช�นงาน

�. การคานวณตนทนและกาไร เพ�อกาหนดราคาขายสนคา

��

�.� กลมอาชพบรหารจดการและการบรการ ไดแก อาชพกลมงานบรการและการทองเท�ยว

งานบรการรกษาความปลอดภย บรการดแลทารกและเดก บรการดแลผสงอาย บรการสนทนาการและ

การกฬา เปนตน

�. การสารวจพ�นท�ในการใหบรการ การคานวณระยะทางในการใหบรการ

�. การจดซ�อวสด อปกรณในการใหบรการ

�. การรบสมครและกาหนดเงนเดอนตามตาแหนงงานของเจาหนาท�ใน

การใหบรการ

�. การจดทาตารางเวลา การอยเวร - ยามของเจาหนาท�ประจาสานกงาน

�. การจดทากาหนดการทองเท�ยวและการใหบรการ รวมท�งกาหนดราคาขาย

บรการในแตละพ�นท�

�. การคานวณการใชน� ามนเช�อเพลงของยานพาหนะท�ใหบรการ

�. การจดทาบญชพสด และการเบกจายพสด

�. การจดทาแผนปายโฆษณา ประชาสมพนธการใหบรการ

��. การจดทาสรปรายงานและการนาเสนอขอมล

��. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

�. เคร�องออกกาลงกาย

�. อปกรณในการเตรยมอาหาร น� าด�ม นมแกทารกเดกและผสงอาย

�. ยานพาหนะในการใหบรการ

�. แผนท�ของสถานท�หรอจดท�ใหบรการ

��

�. การคานวณพ�นท�และการวดระยะทาง

�. การคานวณปรมาณของวสด อปกรณท�จาเปนตองจดซ�อ จดหาเพ�อใหบรการ

�. การคานวณเงนเดอนและกาหนดตาแหนงงานของเจาหนาท�

�. การจดทาตารางการปฏบตงาน

�. การคานวณการใชเช�อเพลงรถยนตตอระยะทางท�ใหบรการ

�. การจดทาบญชเบ�องตน

7. การใชสถตในการจดทาสรปรายงานหรอนาเสนอขอมล

เร�องท� � การนาความรทางคณตศาสตรไปเช�อมโยงกบงานอาชพในสงคมและประชาคมอาเซยน

ในการนาความรคณตศาสตรไปเช�อมโยงกบงานอาชพท�ง � กลมงานอาชพท�งกลมงานอาชพ

เกษตรกรรม กลมงานอาชพอตสาหกรรม กลมงานอาชพพาณชยกรรม กลมงานอาชพความคดสรางสรรค

และกลมงานอาชพดานบรหารจดการและบรการท�ตองนาทกษะความรทางคณตศาสตรมาใชทกกลม

อาชพ เชน การจดทาบญชรายรบ – รายจายประจาวน ประจาเดอน การคานวณเงนคาจาง การคานวณ

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา เปนตน กลมอาชพทกกลมอาชพอาจจะใชทกษะความรคณตศาสตรตางกน

ออกไป ดงน�น ในบทน�จะนาเสนอตวอยางท�เปนทกษะทางคณตศาสตรท�ใชกนมากเทาน�น

�.� ทกษะการจดทาบญชรบ - จายประจาวน

ตวอยางท� � การจดทาบญชรายรบ – รายจายประจาวนของเกษตรกรปลกผก

วนท� �� ตลาคม �� จายคาเมลดพนธและปย �,�� บาท คาน� า คาไฟ �� บาท

จายคาอาหาร �� บาท ไดรบเงนจากการขายผก �,�� บาท

วนท� �� ตลาคม �� จายคาอาหาร �� บาท จายคาโทรศพท �� บาท

จายคาน� ามนรถยนต �,�� บาท ไดรบเงนจากการขายผก �,�� บาท

วนท� �� ตลาคม �� จายคาหนงสอ �� บาท จายคาอาหาร �� บาท จายคาน� าด�ม �� บาท

จายคาเส�อผา �,�� บาท ไดรบเงนจากการขายผก �,�� บาท

วนท� �� ตลาคม �� จายคาอาหาร �� บาท จายคาบตรชมภาพยนตร �� บาท

จายคาถงพลาตก �� บาท ไดรบเงนจากการขายผก �,�� บาท

��

วน เดอน ป รายการรบ จานวนเงน

วน เดอน ป รายการจาย จานวนเงน

บาท สต. บาท สต.

�� ต.ค. ��

รบเงนจากการขายผก

�,��

�� ต.ค. ��

คาเมลดพนธและปย

คาน� า คาไฟฟา

คาอาหาร

คาโทรศพท

คาน� ามนรถยนต

คาหนงสอ

คาน� าด�ม

คาเส�อผา

คาบตรชมภาพยนตร

คาถงพลาสตก

�,000

รวม ��,�� - รวม �,�� -

ยอดคงเหลอยกไป �,�� -

�.� ทกษะการคานวณเงนคาจาง

ตวอยางท� � พเยาวเปนพนกงานทาความสะอาดของบรษทแหงหน�ง ซ�งกาหนดเวลาทางานวนจนทร

ถงวนเสารไดรบคาจางเปนรายวน ๆ ละ �� บาท พเยาวมสทธไดรบคาจางในวนหยด

ตามประเพณและวนหยดพกผอนประจาปโดยไมตองทางาน ในเดอนตลาคม พเยาวมา

ทางานทกวนในวนทางานตามเวลาทางานปกต และวนท� � ตลาคมตรงกบวนจนทรใน

เดอนน�มวนหยดตามประเพณ � วน คอ วนท� �� ตลาคม อยากทราบวาในเดอนน�พเยาว

ไดรบคาจางเทาไร

��

วธทา

เดอนตลาคม

อาทตย จนทร องคาร พธ พฤหส ศกร เสาร

� � � � � �

� � � ��

��

เดอนตลาคม พเยาวไดรบคาจางในวนทางาน �� วน และมสทธไดรบคาจางในวนหยดตาม

ประเพณ � วน และไดรบคาจางวนละ �� บาท

ดงน�น พเยาวไดรบคาจางในเดอนตลาคม = (26 + 1) 320

= 8,640 บาท

�.� ทกษะการคานวณเงนคานายหนาและเงนปนผล

ตวอยางท� � นายสญชยเปนตวแทนขายเคร�องไฟฟา ซ�งมราคา �,�� บาทใหกบบรษทแหงหน�ง

บรษทคดคานายหนา ��% อยากทราบวา สญชยตองสงเงนใหบรษทเทาไร

วธทา บาเหนจตวแทนในการขาย = 4,500100

10 = 450 บาท

ดงน�น สญชยตองสงเงนใหบรษท = 4,500 – 450 = 4,050 บาท

ตวอยางท� � ภทรามหนปรมสทธของบรษทจาหนายเคร�องใชไฟฟาแหงหน�ง จานวน �� หน มลคา

หนละ �� บาท อตราเงนปนผล ��% ส�นปเขาจะไดรบเงนปนผลท�งส�นเทาไร

วธทา เงนปนผลตอหนของหนปรมสทธ = อตราเงนปนผล มลคาหนปรมสทธ

= 10% 100

10 100

= 10 บาท

ภทรามหนปรมสทธจานวน �� หน

ดงน�น ภทราจะไดรบเงนปนผลท�งส�น = 150 10

= 1,500 บาท

��

�.� ทกษะการใชสถตในการสรปรายงานหรอนาเสนอขอมล

ตวอยางท� � การสรปรายงานการดาเนนงานโครงการอบรมคอมพวเตอรสาหรบพนกงาน

ผลการดาเนนงาน

บรษทน� ามนแหงหน�งไดจดทาโครงการอบรมคอมพวเตอรสาหรบพนกงาน โดยดาเนนการเปน

� รน ดงน�

รนท� โปรแกรมอบรม วนท�อบรม จานวนผเขาอบรม

การใชโปรแกรมไมโครซอฟท Excel

การใชโปรแกรม PhotoShop

การใชโปรแกรมไมโครซอฟท Access

5 – 9 ก.ย. ��

�� – �� ก.ย. ��

��

เม�อดาเนนการอบรมและมการประเมนผลการอบรมโดยผจดการอบรมไดดาเนนการทดสอบ

ความร ความเขาใจแกพนกงาน โดยใชแบบทดสอบกอนและหลงการอบรม เพ�อตรวจสอบความกาวหนา

วา ภายหลงการอบรมพนกงานไดรบความรเพ�มข�นจากชวงกอนเขารบการอบรมมากนอยเพยงใด โดย

พจารณาจากคะแนนเฉล�ยของผเขารบการอบรมในแตละรน ซ�งสรปข�นตอนการคานวณและผลการ

ดาเนนการไดดงน�

�. นาแบบทดสอบวดความร ความเขาใจในเน�อหาการอบรมใหผเขาอบรมท�ง �� คน

ตรวจใหคะแนนของผเขาอบรมแตละคนวาไดคนละก�คะแนน ซ�งแตละรน แบบทดสอบจะมคะแนนเตม

�� คะแนน เทากนท�ง � รน แลวนามากรอกคะแนนเปนรายบคคลต�งแตคนท� � – �� ลงในแบบบนทก

คะแนน เพ�อคานวณคาเฉล�ยของคะแนน ( x ) ในแตละรน ดงน�

คนท�

คะแนนกอนการอบรม

(คะแนนเตม �� คะแนน)

คะแนนหลงการอบรม

(คะแนนเตม �� คะแนน)

โปรแกรมรน

ท� �

� � � � ��

� ��

� � � � ��

� � � ��

��

� ��

� � � � ��

�� คะแนนรวม

ของท�ง �� คน ��

คานวณคะแนน

เฉล�ยโดยนา

คะแนนรวม

หารดวยจานวน

คนท�งหมด คอ

�� คน

( x ) = 85 10

คะแนน

เฉล�ย =

�.� คะแนน

( x ) = 68 10

คะแนน

เฉล�ย =

( x ) = 79 10

คะแนน

เฉล�ย =

( x ) = 152 10

= 15.2

คะแนน

เฉล�ย =

15.2 คะแนน

( x ) = 129 10

= 12.9

คะแนน

เฉล�ย =

( x ) = 137 10

= 13.7

คะแนน

เฉล�ย =

คานวณรอยละ

ของคะแนน

เตม �� คะแนน

1008.5

= 42.50 %

1006.8

= 34.00 %

1007.9

= 39.50 %

10015.2

= 76.00 %

10012.9

= 64.50 %

10013.7

= 68.50 %

�. นาคะแนนเฉล�ยท�คานวณไดและผลการคานวณวา คะแนนเฉล�ยน�นคดเปนรอยละเทาไรของคะแนนเตม

จากขอ � มากรอกลงในตารางสรปรายงาน ดงน�

โปรแกรมการอบรม

คะแนนเฉล�ย ( x )

จากคะแนนเตม �� คะแนน

คะแนนเฉล�ย ( x )

จากคะแนนเตม �� คะแนน

กอนการอบรม คดเปนรอยละ

ของคะแนนเตม หลงการอบรม

คดเปนรอยละ

ของคะแนนเตม

รนท� � การใชโปรแกรม

ไมโครซอฟท Excel

PhotoShop

ไมโครซอฟท Access

�.��

��.��

จากตาราง พบวา เม�อพจารณาจากคะแนนเฉล�ยของผเขารบการอบรมหลงการอบรมท�ง � รน

จะเหนไดวา มคะแนนเฉล�ยเพ�มข�นจากคะแนนเฉล�ยกอนการอบรมทกรน กลาวคอ แสดงวา ผเขารบการ

อบรมสวนใหญไดรบความร ความเขาใจเพ�มมากข�นในเน�อหาท�บรษทไดจดอบรมใหพนกงาน และพบวา

รนท� � ไดคะแนนเฉล�ยมากท�สด คอ ไดคะแนนเฉล�ย ��.�� คะแนน คดเปนรอยละ ��.�� ของคะแนนเตม

รองลงมา คอ รนท� � ไดคะแนนเฉล�ย ��.�� คะแนน คดเปนรอยละ ��.�� ของคะแนนเตม สวนรนท� � น�น

ไดคะแนนเฉล�ยนอยท�สด คอ ไดคะแนนเฉล�ย ��.�� คะแนน คดเปนรอยละ ��.�� ของคะแนนเตม

��

�.� ทกษะการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

ตวอยาง นายโชคไดรบเงนเดอน ๆ ละ ��,�� บาท ส�นปสามารถหกคาใชจายไดรอยละ �� ของเงนได

พงประเมน แตไมเกน ��,�� บาท หกคาลดหยอนผมเงนได ��,�� บาท หกคาเบ�ยประกนชวต

��,�� บาท หกดอกเบ�ยเงนกยมเพ�อซ�อบาน ��,�� บาท ส�นปนายโชคย�นแบบแสดงรายการ

ภาษเงนไดบคคลธรรมตองชาระภาษหรอไม ถาชาระตองชาระภาษเปนเงนเทาไร

วธทา

เงนไดพงประเมนของนายโชค = 28,000 �� = 336,�� บาท

หก คาใชจาย รอยละ �� ของเงนไดพงประเมน แตไมเกน ��,�� บาท

คาใชจาย 336,000100

40 = ��,�� บาท

แตคาใชจายของนายโชคคานวณได ��,�� บาท แตสามารถหกไดแค ��,�� บาทเทาน�น

หก คาลดหยอนผมเงนได ��,�� บาท

คาเบ�ยประกนชวต ��,�� บาท

ดอกเบ�ยเงนกยมเพ�อซ�อบาน ��,�� บาท

รวมหกคาลดหยอนได = ��,�� + ��,�� + ��,�� = ��,�� บาท

เงนไดสทธของนายโชค = เงนไดพงประเมน – (คาใชจาย + หกคาลดหยอน)

= ��,�� – (��,�� + ��,��)

= ��,�� บาท

ตามตารางอตราการเสยภาษเงนไดบคคลธรรมดา เงนไดสทธ � – ��,�� บาท ไมตองเสยภาษ

สวนท�เกน ��,�� – ��,�� บาท เสยภาษ ��%

นายโชคมเงนไดสทธท�ตองเสยภาษ = ��,�� – ��,�� =��,�� บาท

= ��,�� 100

10 = �,�� บาท

นายโชคเสยภาษ �,�� บาท

ตารางอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา

ข�นเงนไดสทธต�งแต

เงนไดสทธ

จานวนสงสด

ของข�น

เงนไดสทธ

แตละข�น

อตราภาษ

รอยละ ภาษเงนได

ภาษในแตละ

ข�นเงนได

ภาษสะสม

สงสดของข�น

� ถง ��,��

เกน ��,�� ถง ��,��

เกน ��,�� ถง �,��,��

เกน �,��,�� ถง �,��,��

เกน �,��,�� บาทข�นไป

��,��

�,��,��

..........

..............

ยกเวน

��,��

�,��,��

รวม

��

�.� การคานวณในการจดทาแผนปายโฆษณาเพ�อประชาสมพนธการใหบรการ

ตวอยาง ทาแผนโฆษณาเชญชวนการทองเท�ยวในจงหวด โดยมขนาดแผนโฆษณาท�ทาดวยแผนไวนล

มขนาดกวาง �.� เมตร ยาว �.� เมตร ทางรานคดคาออกแบบ �� บาท คาจดทาตารางเมตรละ

�� บาท จะตองจายเงนท�งหมดเทาไร

วธทา พ�นท�แผนไวนลท�ใชโฆษณา = กวาง ยาว

= 1.2 1.5 = �.� ตารางเมตร

คาจดทา = 1.8 250 = 450 บาท

จะตองจายเงนท�งหมด = คาจดทา + คาออกแบบ

= 450 + 400 = 850 บาท

��

1. ศภางคเปนพนกงานของโรงงานเยบเส�อผาสาเรจรปแหงหน�ง ซ�งกาหนดเวลาทางานตามปกตวนละ

� ช�วโมง ไดรบเงนเดอน ๆ ละ �,�� บาท จงหาวา ศภางคมรายไดวนละเทาไร และศภางคมรายได

ช�วโมงละเทาไร

___________________________________________________________________________________

�. สภาพเปนพนกงานของโรงงานผลตเคร�องปรบอากาศแหงหน�ง ซ�งกาหนดเวลาทางานวนจนทรถง

วนศกรไดรบคาจางเปนรายวน ๆ ละ �� บาท สภาพมสทธไดรบคาจางในวนหยดตามประเพณและ

วนหยดพกผอนประจาปโดยไมตองทางานในเดอนธนวาคม สภาพมาทางานทกวนในวนทางานตาม

เวลาทางานปกตและวนท� � ธนวาคม ตรงกบวนอาทตยในเดอนน�มวนหยดตามประเพณ � วน คอ

วนท� �, �� และ �� จงหาวาในเดอนธนวาคมน� สภาพไดรบคาจางเทาไร

___________________________________________________________________________________

��

3. ธดาเปนพนกงานของบรษทแหงหน�ง ซ�งกาหนดเวลาทางานวนจนทรถงวนศกร เวลาทางานปกตต�งแต

เวลา ��.�� – ��.�� น. หยดพกระหวางเวลา ��.�� – ��.�� น. ธดามรายไดเดอนละ ��,�� บาท

ในเดอนสงหาคม วนท� � ตรงกบวนจนทรและในเดอนน�มวนหยดตามประเพณ � วน คอ วนท� ��

สงหาคม ธดามสทธไดรบคาจางในวนหยดทกประเภทโดยไมตองทางาน ในเดอนน� ธดามาทางาน

ทกวน ทางานตามเวลาทางานปกต ถานายจางใหธดามาทางานในวนหยดตามประเพณ � วน ไดรบ

คาจางอก � เทา และทางานในวนเสารไดรบคาจางเพ�มเปน � เทาของคาจางปกตอก � วน ระหวาง

เวลา ��.�� – ��.�� น. จงหาคาทางานในวนหยดท�งหมดและรายไดท�งหมดของธดาในเดอนสงหาคมน�

___________________________________________________________________________________

�. จงทาบญชรายรบ – จายของตวเองใน � สปดาห

บญชรายรบ – จายของ ...................................................

��

�. นางอญชลเปนตวแทนขายเคร�องครวท�มราคา ��,�� บาท ใหกบบรษทแหงหน�ง บรษทคดคานายหนา

��% อยากทราบวานางอญชลไดเงนคานายหนาเทาไร

___________________________________________________________________________________

�. พจมานถอหนปรมสทธของบรษทผลตกระเบ�องแหงหน�ง จานวน �,�� หน มลคาหนละ �� บาท

อตราเงนปนผล �% เม�อส�นปพจมานจะไดเงนปนผลท�งหมดเทาไร

___________________________________________________________________________________

��

�. สภทราเปนพนกงานบรษทผลตแชมพสระผมแหงหน�งไดรบมอบหมายจากบรษทใหทาการสารวจ

ความนยมของสขวดท�ใชบรรจแชมพสาหรบกลมเปาหมายวยรน จานวน �� คน สภทราจะดาเนนการ

อยางไรต�งแตการสารวจจนถงการนาเสนอขอมล

___________________________________________________________________________________

�. ศกด� มรายไดเดอนละ ��,�� บาท ส�นปสามารถหกคาใชจายไดรอยละ �� ของเงนไดพงประเมน แต

ไมเกน ��,�� บาท สามารถหกคาลดหยอนผมเงนได ��,�� บาท หกคาเบ�ยประกนชวต ��,�� บาท

หกคาเบ�ยประกนสขภาพของมารดาของนายศกด� ��,�� บาท ส�นปนายศกด� ย�นแบบแสดงรายการ

ภาษเงนไดบคคลธรรมดาตองชาระภาษหรอไม ถาชาระภาษเปนเงนเทาไร

___________________________________________________________________________________

��

�. แผนไวนลโฆษณาเชญชวนการบรจาคชวยเหลอผประสบภย มขนาดกวาง �.�� เมตร ยาว �.� เมตร

ทางรานคดคาออกแบบ �� บาท คาจดทาตารางเมตรละ �� บาท จะตองจายเงนท�งหมดเทาไร

___________________________________________________________________________________

��

เฉลยแบบฝกหด

��

เฉลย บทท� 1

ระบบจานวนจรง

�.จานวนท�กาหนดใหตอไปน�จานวนใดเปนจานวนนบ จานวนเตม จานวนตรรกยะ หรอจานวนอตรรก

ยะ

ขอ จานวนจรง จานวนนบ จานวนเตม จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

1 1,0,2,3

7,9 � 0, 1, -9 -9,

25 ,0 ,1 2

5,12,3,

77,5 3 , 12 3, 12

77 ,3 ,12 ,

� �.��,�.��...,-�� -13 2.01, 0.666, …,-13

� �.��... 2.3030030003...

� 5.7,2

6, -7, 5 ,

1,12,3,9,

12,17,25

25, 3 , 12 25, -17, 3

25, -17, 5

9 , 3, 12

�. จงพจารณาวาขอความตอไปน� เปนจรงหรอเทจ

1) จรง

2) จรง

3) เทจ

4) จรง

5) จรง

6) เทจ

��

�. ใหผเรยนเตมชองวางโดยใชสมบตการเทากน

9. ถา a = b แลว a +5 = b + 5

10. ถา a = b แลว -�a = -3b

11. ถา a + 4 = b + 4 แลว a = b

12. ถา a +1 = b +2 และ b + 2 = c - 5 แลว a +1 = c + 5

13. ถา 22 112 xxx แลว 121 22 xxx

14. ถา yx2

3 แลว 2x = 3y

15. ถา xx 212 แลว 21x = 122 xx

16. ถา baab แลว ab2

1 = )(

2. กาหนดให a , b และ c เปนจานวนจรงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปน� เปนจรงตามสมบตใด

1) 3 + 5 = 5 + 3 สมบตการสลบท�ของการบวก

2) (1+2)+3 = 1+(2+3) สมบตการเปล�ยนกลมของการบวก

3) (-9)+5 = 5 +(-9) สมบตการสลบท�ของการบวก

4) (8 9) เปนจานวนจรง สมบตปดของการคณ

5) 5 3 = 15 = 3 5 สมบตการสลบท�ของการคณ

6) 2(a+b) = 2a +2b การแจกแจง

7) (a + b) + c = a+( b + c) สมบตการเปล�ยนกลมของการบวก

8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a สมบตการสลบท�ของการบวก

9) 4 (5 + 6) = (4 5) + (4 6) การแจกแจง

10) c(a +b) = ac +bc การแจกแจง

3 . เซตท�กาหนดใหในแตละขอตอไปน� มหรอไมมสมบตปดของการบวกหรอสมบตปดของการคณ

1) { 1 , 3 , 5 } มสมบตปดการบวก, การคณ

2) { 0 } มสมบตปดการบวก

3) เซตของจานวนจรง ม

4) เซตของจานวนตรรกยะ ม

5) เซตของจานวนท�หารดวย 3 ลงตว ม

��

4. จงหาอนเวอรสการบวกของจานวนในแตละขอ

1) อนเวอรสการบวกของ 8 คอ -8

2) อนเวอรสการบวกของ - 5 คอ �

3) อนเวอรสการบวกของ - 0.567 คอ �.��

4) อนเวอรสการคณของ 23 คอ 23

คอ 35

��

�. ใหผเรยนบอกสมบตการไมเทากน (เม�อตวแปรเปนจานวนจรงใดๆ)

9. ถา x 3 แลว 2x 6 สมบตการคณดวยจานวนเทากบท�ไมเทากบศนย

10. ถา y7 แลว -�y -14 สมบตการคณดวยจานวนเทากบท�ไมเทากบศนย

11. ถา x+1 6 แลว x+2 7 สมบตการบวกดวยจานวนท�เทากน

12. ถา y+3 5 แลว y 2 สมบตการตดออกสาหรบการบวก

13. ถา x 7 และ � y แลว xy สมบตการถายทอด

14. ถา a 0 แลว a+1 0 +1 สมบตการบวกดวยจานวนท�เทากน

15. ถา b 0 แลว b + (-2) 0+(-2) สมบตการบวกดวยจานวนท�เทากน

16. ถา c -2 แลว (-1)c (-1)(-2) สมบตการคณดวยจานวนเทากนท�ไมเทากบศนย

�. จงใชเสนจานวนแสดงลกษณะของชวงของจานวนจรงตอไปน�

1) (�,�)

�) [3,6]

3) [-1,5)

4) (-1,4]

5) (2, )

��

6) (- ,4)

7) (0,8)

8) [-5,4)

��

เซตคาตอบคาตอบของอสมการ คอ { x | x -� หรอ x �}

-3 < x < 3

เซตคาตอบคาตอบของอสมการ คอ { x | -3 < x <3}

เซตคาตอบคาตอบของอสมการ คอ { x |1< x <7}

5 X หรอ 1 X

5X หรอ 1X

เซตคาตอบคาตอบของอสมการ คอ {x|x 5 หรอ x -1}

5 – x < 0 หรอ 5 – x > 0

-x < -5 -x > -5 x > 5 x < 5

0 5 – x 0 -5 -x -5 5 x 5

-1 2x – 9 1 -1 + 9 2x 1 + 9 8 2x 10 4 x 5

-8 < 3x – 4 < 8 - 8 +4 < 3x < 8 +4 -4 < 3x < 12

4 < x < 4

0 6 – 3x 0 -6 -3x -6 2 x 0

|2 – 4x < 0 หรอ 12 – 4x > 0

-4x < -12 หรอ – 4x > -12

x > 3 หรอ x < 3

��

เลขยกกาลง แบบฝกหดท� �

�. จงบอกฐานและเลขช�กาลงของเลขยกกาลงตอไปน�

1) ฐานคอ � เลขช�กาลงคอ �

�) ฐานคอ �.� เลขช�กาลงคอ -�

�) ฐานคอ -� เลขช�กาลงคอ �

4) ฐานคอ 2

1 เลขช�กาลงคอ �

�. จงหาคาของเลขยกกาลงตอไปน�

1) - �,��

�) 625

3) 1.728

�. จงทาใหอยในรปอยางงายและเลขช�กาลงเปนจานวนเตม

2. 625,1555 612

4. 151.1

5. 10x

��

�. จงหาคาของรากท� n ของจานวนจรงตอไปน�

8) 864 ไมเปนจานวนจรง

10) 2164 ไมเปนจานวนจรง

�. จงเขยนจานวนตอไปน� ใหอยในรปอยางาย โดยใชสมบตของ รากท� n

�) 25 = 5 2) 3 32 = 2

3) 33 ( 2) = (-2) 4) 55 ( 2) = (-2)

5) 2( 3) = (-3) 5) 44 ( 2) = (-2)

6) 200 = 10 2 7) 75 = 35

8) 3 240 = 3 302 9) 45 = 53

10) 5 15 = 3575 11) 3 381 32 = 3 126

2 13) 3

��

�. จงทาจานวนตอไปน�ใหอยในรปอยางงาย

�) 2x 2

�) 4

�) 22y

�) (-2)

�) 2924226

�) 52531053 = 56503

= 30215

�) aa 283 3

�) 683423 333

�. จงทาจานวนตอไปน� ใหอยในรปอยางงาย

�) 28x

วธทา 28x = xx 222

= 2 x 2

�) 3 27

วธทา 3 27

3) 2( 2 8 18 32)

วธทา 2( 2 8 18 32) = 22423222

= 2210

= 2002100

��

27(64)

วธทา 65

27(64)

วธทา 6

( 8) (27)

วธทา

( 8) (27)

��

เฉลย แบบฝกหด

บทท� � เซต

�. จงเขยนเซตตอไปน�แบบแจกแจงสมาชก

1) { สมทรสาคร,สมทรสงคราม,สพรรณบร,สรนทร,สราษฏรธาน,สมทรปราการ,สงขลา,สระแกว,

สระบร,สงหบร}

2) { a,e,i,o,u }

3) { 100,101,…,999}

4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18}

5) { -121,-122,-123,….}

6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14}

7) { }

�. จงบอกจานวนสมาชกของเซตตอไปน�

�. จงเขยนเซตตอไปน�แบบบอกเง�อนไข

1) { x | x เปนจานวนเตมคและ 2 x 8 }

2) { x | x เปนจานวนเตมบวก }

3) { x | x = 2x เปนจานวนเตมซ�ง x = 1,2,3,… }

�. จงพจารณาเซตตอไปน� เปนเซตวางเรอเซตจากดหรอเซตอนนต

�) เซตจากด

�) เซตอนนต

�) เซตวาง

��

��) เซตอนนต

�. เซตตอไปน� เซตใดบางท�เปนเซตท�เทากน

1) A = B

2) D = E

3) F G

4) Q = H

�) ถา A = { 0,�,�,�,�,�}, และ B { 1,�,�,� } จงหา

�) A B = { 0,�,�,�,�,�} 2). B A = { 0,1,�,�,� ,5}

�). A B = { 1,�,�,� } �). B A = { 1,�,�,� }

�). A – B = {0,5} �). B – A =

�). กาหนดให U = { 1,�,�,..,�� }

A = { 2,�,�,�,�� }

B = { 1,�,�,�,�}

C = { 3,�,�,�,� }

จงหา

9. A B = { }

10. B C = { 1,3,4,5,6,7,9}

11. B C = { 3,5,7}

12. A C = { 4,6}

13. C = { 1,2,8,9,10}

14. AC = { 2,8,10 }

15. BC = {1,9}

16. ( A = { 1,�,�,�,�}

��

�. จงแรเงาแผนภาพท�กาหนดใหเพ�อแสดงเซตตอไปน�

��

2. จากแผนภาพท�กาหนดให

จงหาคา

�. A ={ 6,7,8}

2. BA = {1,2,3,6,7,8}

�. UBA = { 4,5,6,7,8}

4. BA = { 6,7,8}

��

ฟตบอล

3. จากแผนภาพ

กาหนดให U , A, B และ AB เปนเซตท�มจานวนสมาชก �� ,��,��, และ � ตามลาดบ จงเตม

จานวนสมาชกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปน�

เซต A - B B - A A B A B ( A B

จานวนสมาชก 34 19 6 19 + 41 = 60 34 + 41 = 75 34 + 6 + 19 = 59

�. จากการสอบถามผเรยนชอบเลนกฬา �� คน พบวา ชอบเลนปงปอง �� คน ชอบเลนแบตมนตน �� คน

ชอบเลนฟตบอล �� คน ชอบท�งฟตบอลและปงปอง �� คน ชอบท�งฟตบอลและแบตมนตน �� คน ชอบ

ท�งปงปองและแบดมนตน �� คน ชอบท�งสามประเภท � คน จงหาวานกศกษาท�ชอบเลนกฬาประเภทเดยวม

ก�คน

วธทา A = เลนฟตบอล �� คน

B = เลนแบดมนตน �� คน

C = เลนปงปอง �� คน

จานวนนกศกษาท�ชอบเลนกฬาประเภทเดยว = 23 + 17 + 12 = 52 คน

40-6 =34

25-6 =19

100-34-6-19 = 41

แบดมนตน

ปงปอง

��

การใหเหตผล

จงเตมคาตอบลงในชองวางตอไปน�

6) �, �, �, ��, , , 49 , 64, ,

7) 2, �, ��, , 52 , ,

8) 5, 10, 30, 120, ,

9) �� = 444444444

45 = 555555555

81 = 999999999

10) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72

��

�� ,��

��

�. จงตรวจสอบผลท�ไดวาสมเหตสมผลหรอไม

�) สมเหตสมผล

�) ไมสมเหตสมผล

�. จงตรวจสอบผลท�ไดวาสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

ฝนตก

ไมออกนอกบาน

แคทลยา

จากเหตท� � และ � สรปไดวา สมเหตสมผล

��

จากเหตท� � และ � จะเหนไดวา ผลท�จะเกดข�นมไดหลาย ผลดวยกน สรปไดวา ไมสมเหตสมผล

จะเหนไดวา จากเหตการณท�ง � เหต ผลสรปท�ไดน�น สมเหตสมผล

คนขยนเรยน

สมชาย สมชาย

สมชาย

��

จะเหนไดวา จากเหตท� � และ � ผลท�ไดน�น สมเหตสมผล

จะเหนไดวา จากเหตท� � และ � ผลท�จะเกดข�นมไดหลาย ผลดวยกน สรปไดวา ไมสมเหตสมผล

จานวนบวก จานวนลบ

สตว � ขา สตว � ขา

��

ตรโกณมต แบบฝกหดท� 1

1. จากรปสามเหล�ยมมมฉากท�กาหนดใหตอไปน� จงเขยนความสมพนธของความยาวของรปสามเหล�ยมมมฉาก

โดยใชทฤษฎบทปทาโกรส และหาความยาวของดานท�เหลอ

วธทา 222 2425 a

= 625 – 576

วธทา 222 912 c

= 144 +81

a = 15

��

2. กาหนด ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก ม 090ˆ C และความยาวของดานท�งสาม ดงรป

จงหา 1) sin A , cos A และ tan A

sin A =

5 sin B = 13

cos A = 13

12 cos B = 13

tan A = 12

5 tan B = 5

3. จงหาวาอตราสวนตรโกณมตท�กาหนดใหตอไปน� เปนคาไซน(sin) หรอโคไซน(cos) หรอแทนเจนต(tan) ของ

มมท�กาหนดให

1. sin A

2. Btan

3. cos A

4. cos B

��

4. กาหนด ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก โดยมมม C เปนมมฉาก มดาน AB = 10 และ AC = 8

จงหา 1 ) ความยาวดาน BC

วธทา 222 810 AB A

= 100 - 64

= 36 10 8

2) sin A = 10

cos A = 10

8 B a C

tan A = 8

3) sin B = 10

cos B = 10

tan B = 6

��

5. กาหนดใหรปสามเหล�ยม ABC โดยมมม C เปนมมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม B และ

มม C ตามลาดบ

(1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c B

วธทา BC

ACA cot =

35b A C

จากทฤษฏบทปทาโกรส AB2 = AC2 + BC2 b

c2 = b2 + a2

= 22 5)35(

= 2575

(2) ถา cos B = 5

วธทา

cos a = c

ac = 15

จากทฤษฎบทปทาโกรส

AB2 = AC2 + BC2

หรอ c2 = b2 + a2

152 = 62 + 92

b2 = 225 – 81

b = 12

ดงน�น tan A = 4

��

1. จงหาคาตอไปน�

1) 0000 60cos30cos60sin30sin

2) 2020 60cos60sin

3) 045tan1

011 2 2. จงหาคาอตราสวนตรโกณมตตอไปน�จากตาราง

1) 020sin = 0.342

2) 038sin = 0.616

3) 050cos = 0.643

4) 052cos = 0.616

5) 077tan = 4.331

6) 089tan = 57.290

3. ให ABC เปนรปสามเหล�ยมมมฉาก มมม C เปนมมฉาก ดงรป

cos B = 13

sin B = 13

tan B = 12

sec B = 12

วธทา AB2 = AC2 + BC2

= 52 + 122

= 25 + 144

AB = B

��

cosec B = 5

cot B = 5

4. จงหาคา a, b หรอ c จากรปสามเหล�ยมตอไปน�

จาก c

3230cos 0

c = 43

จาก c

a030sin

ดงน�น a = 2 และ c = 4

��

จาก 8

45sin 0 b

จาก a

b045tan

a = 24

ดงน�น a = 24 และ 24b

จาก DCB ˆ ม DCB ˆ = 090

CD045sin

CD045tan

��

จาก ABC ม BCA ˆ = 090

BC060sin

AC060cos

3b ดงน�น a = 3 , 3b และ 32c

��

1. ตนไมตนหน�งทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสนตรงท�ลากผานปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทามม 30

องศา กบเงาของตนไม จงหาความสงของตนไม

��

2. วนยตองการหาความสงของเสาธงโรงเรยน จงทามมขนาด 45 องศา เพ�อใชในการเลงไปท�ยอดเสาธง ถา

ในขณะท�เลงน�นเขามองไปท�ยอดเสาธงไดพอด เม�อกาวไปอยท�จดซ�งอยหางโคนเสาธง 16 เมตร วนยมความสง

160 เซนตเมตร จงหาวาเสาธงสงประมาณก�เมตร

��

3. จดพลข�นไปในแนวด�ง โดยกาหนดจดสงเกตการณบนพ�นดนหางจากตาแหนงท�จดพล 1 กโลเมตร ในขณะท�

มองเหนพลทามม 60 องศา กบพ�นดน พลข�นไปสงเทาใด และอยหางจากจดสงเกตการณเปนระยะทางเทาใด

��

การใชเคร�องมอและการออกแบบผลตภณฑ

1. กาหนดมมส�เหล�ยมมมฉากดงรป

ก. ผนผา

ข. 90 องศา

ค. แนวทแยง

ง. สามเหล�ยม BDE 2 รปประกอบกบเปน ส�เหล�ยม BDEG

2. จงเขยนรปคล�ของทรงสามมตตอไปน�

��

3. จงเขยนรปทรงสามมตจากมมมองภาพดานบน ภาพดานหนา ภาพดานขางท�กาหนดให

��

1. ใหเขยนภาพท�เกดจากการเล�อนขนานจากรปตนแบบและทศทางท�กาหนดให

ก. ข.

2. ใหเขยนภาพการเล�อนขนานโดยกาหนดภาพตนแบบ ทศทางและระยะทางของการเล�อนขนานเอง ก.

��

A/(2,-

B/(1,- C

ภาพ พกดของตาแหนงท�กาหนดให

3)- , 5(C

) 3- , 5-(A

) 5- , 3-(B

2)- , 0(C

��

คาช�แจง จงพจารณารปท�กาหนดใหแลว

- เขยนรปสะทอน

- เขยนเสนสะทอน

- บอกจดพกดของจดยอดของมมของรปสามเหล�ยมท�เกดข�นจากการสะทอน

- บอกจดพกดบางจดบนเสนสะทอนท�ได

��

แบบฝกหดท� � 1.

2,2)(A (-4,6)B (-5,4)C

��

ใหเตมรปส�เหล�ยม O/X/Y/Z/ ท�เกด

จากการหมนส�เหล�ยม OXYZ

��

ใหเตมสวนของเสนตรง BA ท�

เกดจากการหมนสวนของเสนตรง

AB เพยงอยางเดยว โดยหมนตาม

เขมนาฬกา 90๐ และใชจด (-2, -2)

(1,-5)A (4,-8)B

��

นาฬกา 90๐ และใชจด (-4 , -2)

��

เฉลย

บทท� 7 สถต

�. จงเขยนขอมลสถตท�เก�ยวของกบบคคลในครอบครว เชน เพศ อาย สถานภาพ อาชพ

ตอบ อายเฉล�ยของคนในครอบครว ��.� ป อาชพ : รบราชการ, ลกจาง, ทางานอสระ

�. จงยกตวอยางขอมลเชงคณภาพและเชงปรมาณมาอยางละ 5 ชนด

ตอบ ขอมลเชงปรมาณ �. จานวน รถยนตในกรงเทพมหานคร

�. จานวนบตรในครอบครว

�. น� าหนกเฉล�ยของนกศกษา กศน.บานแพว

�. จานวนคนงานแยกตามเงนเดอน

�. จานวนของผเขารวมประชมท�มอาย �� ไปข�นไป

ขอมลเชงคณภาพ �. สถานภาพของผเขารวมอบรม

�. รายช�อจงหวดท�มนกศกษาท�เขาสอบ

�. โรคท�มผปวยมารกษามากท�สดในเดอนมกราคม �� ลาดบ

�. กลมเลอดของคนในโรงงาน

�. ศาสนาครสตท�คนในประเทศไทยนบถอ

�. จงพจารณาวาขอมลตอไปน� เปนขอมลเชงคณภาพ และขอมลเชงปรมาณ

- พนกงานในรงงานแหงหน�งถกสอบถามถงสขภาพรางกายในขณะปฏบตงาน

เปน ขอมลเชงคณภาพ เพราะคาตอบจะไมใหตอบออกมาเปนตวเลข

- นกศกษาจานวนหน�งท�ถกสอบถามถงคาใชจายในการไปพบกลมท�หองสมด

เปน ขอมลเชงปรมาณ เพราะคาใชจายเปนขอมลทางตวเลข สามารถนามาเปรยบเทยบกนได

�. ขอมลปฐมภมตางจากขอมลทตยภมอยางไร จงอธบายและยกตวอยาง

ตอบ ขอมลปฐมภมเปนขอมลท�เราตองเกบ หรอสารวจจากแหลงท�เปนขอมลโดยตรง ฯลฯ

ขอมลทตยภมเปนขอมลเกบจากแหลงขอมลท�มการเกบรวบรวมไวกอนแลว

��

�. ขอมลตอไปน�ควรใชวธใดในการรวบรวม (ตอบไดหลายคาตอบ)

ตอบ

1 สารวจ สมภาษณ ใชแบบสอบถาม

� สารวจ สมภาษณ ใชแบบสอบถาม

� ใชแบบสอบถาม ขอมลจากสาธารณสขชมชนไปช�งน� าหนกเดกในหมบานทละคน

�. แบบสอบถาม ทดลอง

� ขอมลจากสาธารณสข

6. จงบอกขอดขอเสยของการเกบรวบรวมขอมลโดยวธการตาง ๆ

ตอบ ขอด 1. ถกตองแมนยา

�. ไดขอมลเชงลก

�. ความสมบรณครบถวนของขอมล

�. ตรงความตองการของผใช

ขอเสย

1. ตองใชเวลา

2. มคาใชจายเปนปจจบน

3. การเกบขอมลอาจบนทกคาดเคล�อน

7. ขอมลการสารวจอาย ( ป ) ของคนงานจานวน �� คนในโรงงานอตสาหกรรมแหงหน�งเปนดงน�

��

33 28 30 24 26 45 38 22 40 46

20 31 18 27 25 42 21 30 25 27

26 50 31 19 53 22 28 36 24 23

21 29 37 32 38 31 36 28 27 41

กาหนดความกวางของอนตรภาคช�นเปน 8

��

1. จงสรางตารางแจกแจงความถ�

คะแนน รอยขด ความถ�

16 – 23 //// //// 9

24 – 31 //// //// //// //// // 22

32 – 39 //// //// 10

40 – 47 //// 5

48 – 55 //// 4

�. จงหาขดจากดช�นท�แทจรงและจดก�งกลางช�น

คะแนน ความถ� ขดจากดบน ขดจากดลาง จดก�งกลางช�น

16 – 23 9 ��.� ��.� ��.�

24 – 31 22 ��.� ��.� ��.�

32 – 39 10 ��.� ��.� 33.5

40 – 47 5 ��.� ��.� 43.5

48 – 55 4 ��.� ��.� 51.5

�. จงหาความถ�สะสม ความถ�สมพทธ และความถ�สะสมสมพทธ

คะแนน ความถ� ความถ�

สมพทธ

ความถ�สะสม ความถ�สะสม

สมพทธ

16 – 23 9 �.�� .��

24 – 31 22 �.�� .��

32 – 39 10 �.� �� .��

40 – 47 5 �.� �� .��

48 – 55 4 �.��

�. จงหาพสยของขอมลชดน�

53 – 18 = 35

�. จงหาจานวนคนงานท�มอายต �ากวา �� ป

44 คน

��

1. จงหาคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของน� าหนกเดก �� คน ซ�งมน� าหนกเปนกโลกรม ดงน�

��

คาเฉล�ย 95.4720

มธยฐาน ��

ตาแหนงของมธยฐาน = 5.102

ฐานนยม �� และ ��

�. ตารางแสดงรายไดพเศษตอวนของลกจางในสานกงานแหงหน�ง

รายได (บาท) จานวน (f) จดกลาง (x) fx ความถ�สะสม

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 - 169

170 – 174

��

80f 500,12fx

1. คาเฉล�ยเลขคณต ( x ) =

500,12

= ��.��

รายไดพเศษตอวนเฉล�ย ��.�� บาท

��

2. มธยฐาน : 402

N มธยฐานอยในข�น �� – ��

อนตรภาคช�นท�มมธยฐานอยคอ �� – ��

จากสตร

iLoMd2

เม�อ N = 80 , i = 50, Lo = 154.5 , 37lf , fm = 25

10.15525

374056.154

มธยฐานของรายไดพเศษตอวนมคาเปน ��.�� บาท

3. ฐานนยม : ฐานนยมอยในช�น �� – ��

จากสตร

diLoMo

เม�อ Lo = 149.5, d1 = 34 – 25 = 9, d2 = 34 – 2 = 32, I = 5

5.150329

955.149

ฐานนยมของรายไดพเศษตอวน มคาเปน ��.� บาท

��

1. กาหนดใหวา จานวนคนไข (คนไขใน) ของโรงพยาบาลอาเภอแหงหน�งในป �� และ �� ซ�งไดมาก

จากการสารวจของโรงพยาบาลเปนดงน� พ.ศ. �� มเพศชาย �,�� คน หญง �,�� คน ป �� มเพศ

ชาย �,�� หญง �,�� คน จงนาเสนอขอมล

ก. ในรปบทความ

ผลจากการสารวจจานวนคนไขในโรงพยาบาลแหงหน�ง ในป �� และ �� มดงน�

ป �� มจานวนคนไข ท�งหมด �,�� แบงเปน ชาย �,�� คน หญง �,�� คน และในป �� มจานวน

ท�งหมด ��,�� คน แบงเปน ชาย �,�� หญง �,�� คน

ข. ในรปบทความ / ขอความก�งตาราง

ผลจากการสารวจจานวนคนไขในโรงพยาบาลแหงหน�ง ในป �� และ �� มดงน�

พ.ศ. �� มเพศชาย �,�� คน หญง �,�� คน

พ.ศ. �� มเพศชาย �,�� หญง �,�� คน

2. จากขอมลท�นาเสนอในรปตาราง รอยละของนกศกษาระดบมธยมศกษาตอนตนของสถาบนการศกษาแหง

หน�ง ไดผลการเรยนใน � วชาหลกในป �� มดงน�

หมวดวชา ระดบผลการเรยน

� � � � �

คณตศาสตร

ภาษาไทย

วทยาศาสตร

สงคมศกษา

�.��

รวม ��.�� 13.67

จากตารางจงตอบคาถามตอไปน�

�. หมวดวชาใดท�นกศกษาไดระดบผลการเรยน � มากท�สดและไดระดบ � นอยท�สดและคดเปน

รอยละเทาไร

ตอบ วชาท�ไดระดบผลการเรยน � มากท�สด คอวชาสงคมศกษา คดเปนรอยละ �.�� และไดระดบ �

นอยท�สด คอวชาสงคมศกษา คดเปนรอยละ �.��

��

�. นกศกษาสวนใหญไดระดบผลการเรยนใด ตอบ ผลการเรยน �

�. ระดบผลการเรยนท�นกศกษามจานวนมากท�สดไดรบตอบ ผลการเรยน � วชาคณตศาสตร

�. ระดบผลการเรยนท�นกศกษามจานวนนอยท�สดไดรบตอบ ผลการเรยน � วชาคณตศาสตร

�. กลาวโดยสรปถงผลการเรยนของสถาบนแหงน� เปนอยางไร

ตอบ สถาบนแหงน�นกศกษาสวนใหญจะมระดบผลการเรยนอยท� เกรด � และเกรด � ทกวชา วชาท�ม

นกศกษาสอบไมผาน (ไดเกรด �) มากท�สด คอ คณตศาสตร รองลงมาเปนวทยาศาสตร ภาษาไทย และสงคม

ศกษา

�. ตารางแสดงปรมาณผลตยางพาราของประเภทตาง ๆ ในป พ.ศ. �� และป พ.ศ. �� ดงน�

ประเทศ ปรมาณการผลต ( ลานตน )

ป �� ป ��

ไทย

ลาว

�.�

จงเขยน

�. แผนภมแทงแสดงการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆ ในป ��

มาเลเซย อนโดน�เซย ไทย เวยดนาม ลาว

ยางพารา

��

�. แผนภมแทงแสดงการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆ ในป �� และในป ��

มาเลเซย อนโดนเซย ไทย เวยดนาม ลาว

พ.ศ.2544

พ.ศ.2545

�. แผนภมวงกลมแสดงการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของแตละประเทศในป ��

ไทย

ลาว

4. จงเขยนกราฟแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสตวน� าจดและสตวน� าเคมท�จบไดต�งแต พ.ศ. �� ถง พ.ศ.

��

พ.ศ. ปรมาณท�จบได ( พนตน )

สตวน�าจด สตวน�าเคม

��

�,��

��

กราฟแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสตวน�าจดและสตวน�าเคมท�จบไดต�งแตพ.ศ. �� – ��

สตวน �าจด

สตวน �าเคม

1. การเลอกขอมลมาใชประกอบการตดสนใจตองอาศยหลกการใดบาง

1. เช�อถอได

�. ครบถวน

�. ทนสมย

2. ขอมล ตางกบ สารสนเทศ อยางไร จงอธบายพรอมยกตวอยางประกอบดวย

ขอมล หมายถง ขอเทจจรง หรอเหตการณท�เก�ยวของกบส�งตาง ๆ เชน บคคล ส�งของ

สถานท� ฯลฯ ขอมลเปนเร�องเก�ยวกบเหตการณท�เกดข�นอยางตอเน�อง ขอมลตองถกตองแมนยา ครบถวนข�นอย

กบผดาเนนการท�ใหความสาคญของความรวดเรวของการเกบขอมล

สารสนเทศ เกดจากการนาขอมล ผานระบบการประมวลผล คานวณ วเคราะหและแปลความหมายเปน

ขอความท�สามารถนาไปใชประโยชนได

��

ความนาจะเปน

1. โยนเหรยญ � เหรยญ � คร� ง จงหาจานวนท�เหรยญจะข�นหนาตางๆ โดยวธเขยนแผนภมตนไม

�. ในการทดสอบวชาคณตศาสตร ประกอบดวย โจทยแบบปรนย � ตวเลอก จานวน � ขอ โจทยแตละขอม

คาตอบท�ถกตองเพยงหน�งตวเลอกเทาน�น แลวจานวนวธการตอบคาถามท�เปนไปไดท�งหมดมก�วธ

ม � � � � � = 1,024 วธ

3. มนกเรยน � คน ยนเขาแถวเพ�อซ�ออาหารกลางวนของรานหน�ง จงหาวาจานวนวธท�ยนเขาแถวท�แตกตางกน

มท�งหมดก�วธ

ตอบ � � � � � = 120 วธ

4. มชาย � คน หญง � คน ตองการจดคแขงขนระหวางชาย � คน หญง � คนในการแขงขนกฬาแทนนสม

จานวนท�งหมดก�วธ

ตอบ 6 5 = 30 วธ

5. เพ�อน � คน นดกนไปรบประทานอาหารเยนท�ภตตาคารและ ซ�อของท�หางสรรพสนคา โดยเลอกท�จะไป

รบประทานอาหารและซ�อของ ซ�งมภตตาคาร � แหง และมหางสรรพสนคา � แหง ท�งสามคนน�จะมวธเลอก

กระทาดงกลาวไดท�งหมดก�วธ

ตอบ 5 4 = 20 วธ

��

�. บรษทแหงหน�งเปดรบสมครพนกงานเขาทางาน โดยพจารณาจากเง�อนไขคอ เพศชาย หญงระดบอายม �

ระดบ และมสาขาวชาชพ �� ประเภท แลวบรษทน� จะมวธการจาแนกผสมครไดท�งหมดก�วธ

ตอบ ม � X 6 X 10 = 60 วธ

�. จากการสมภาษณรบคนเขาทางานจานวน � คน จะมวธจะคดเลอกไดพนกงานหน�งคนจากผเขาสมภาษณ

ท�งหมด

ตอบ 8 วธ

�. จงเขยนแผนภาพตนไมเพ�อแสดงผลท�เกดข�นจากการโยนเหรยญ � เหรยญ � คร� ง จงหาจานวนวธท�

แตกตางกนในการโยนเหรยญคร� งน� โดยท�

1. ไมมหนาหวเลย �. มหนาหวเพยง � คร� ง

�. มหนาท�ง � คร� ง �. มหนาหวเพยง � คร� ง

�. มหนาหว � คร� ง

ตอบ

1 (T,T,T,T) = 1 วธ

2. (H,T,T,T),(T,H,T,T),(T,T,H,T),(T,T,T,H) = 4 วธ

3. (H,H,T,T),(H,T,H,T),(H,T,T,H),(T,H,H,T)(T,H,T,H) (T,T,H,H) = 6 วธ

4. (H,H,H,T)(H,H,T,H) (H,T,H,H) (T,H,H,H) = 4 วธ

5. (H,H,H,H) = 1 วธ

คร�งท� � คร�งท� � คร�งท� � คร�งท� � เหตการณ

��

2. จากการทดลองสมตอไปน� จงเขยนแซมเปลสเปซและเหตการณท�สนใจในการทดลองน�นๆ

(1) ไดหวสองเหรยญจากการโยนเหรยญสองอนหน�งคร� ง

ผลท�เกดข�นท�งหมด (H,H) , (H,T) ,(T,H) ,(T,T)

เหตการณท�สนใจ = (H,H) = 4

(2) ไดผลรวมของแตมบนหนาลกเตาท�งสองเปน � หรอ � จากการโยนลกเตาสองลกหน�งคร� ง

ผลท�เกดข�นท�งหมด {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

เหตการณท�สนใจ = (1,1) (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) ,(5,1)

(3) หยบไดสลากหมายเลข � หรอ � หรอ � หรอ � จากสลาก �� ใบซ�งเขยนหมายเลข � ถง ��

กากบไว

ผลท�เกดข�นท�งหมด 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

เหตการณท�สนใจ = 5, 6, 7, 8

(4) ไดนกเรยนท�ถนดมอซายในหองเรยนท�ทานเรยนอย

ตอบ อยในดลยพนจของผสอน

(5) ไดสลากท�มรางวลจากการจบสลากท�ประกอบดวยสลากท�มรางวล � ใบ และไมมรางวล � ใบ

ผลท�เกดข�นท�งหมด รางวลท� ถ�, ถ�, ถ�, ผ�, ผ�, ผ�, ผ�, ผ�, ผ�, ผ�

เหตการณท�สนใจ คอโอกาสท�ถกรางวล = ถ�, ถ�, ถ�

(6) ไดคาตอบจากครอบครว � ครอบครววามจกรเยบผาใชท�งสามครอบครว

ผลท�เกดข�นท�งหมด มมม, มมไม, มไมม, มไมไม, ไมมม, ไมมไม, ไมไมม, ไมไมไม

เหตการณท�สนใจ คอมเคร�องซกผาท�ง � ครอบครว มมม

(7) ไดลกบอลสขาว � ลก สดา � ลก ในการหยบลกบอลทละลกแบบไมใสคน � ลก จากกลองซ�ง

บรรจลกบอลสขาว � ลก และสดา � ลก ให ข แทนบอลสขาว และ ด แทนบอลสดา

ผลท�เกดข�นท�งหมด คอ ขคข, ขขค, ขคข, ขคค, คขข, ดขด, ดดข

เหตการณท�สนใจ คอ ขคข, ขขค, ขคข, คขข

(8) ไดแตมท�เหมอนกนหรอไดแตม � จากลกเตาลกใดลกหน�งในการทอดลกเตาพรอมกนสองลก

��

ผลท�เกดข�นท�งหมด {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

เหตการณท�สนใจ = (1,1) (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) ,(6,6)

(9) ไดหวและแตมท�มากกวา � จากการโยนเหรยญหน�งเหรยญและทอดลกเตาหน�งลก หน�งคร� ง

ผลท�เกดข�นท�งหมด (H,1) ,(H,2), (H,3),(H,4),(H,5),(H,6)

(T,1) ,(T,2), (T,3),(T,4),(T,5),(T,6)

เหตการณท�สนใจ = (H,5),(H,6)

(10) ไดสท�ชอบคอ สฟาหรอสชมพจากการสอบถามนางสาวสชาดาถงสของกระดาษเชดหนาท�

ชอบสองสจากสท�งหมด � ส คอ ขาว ฟา ชมพ เขยว และเหลอง

ผลท�เกดข�น ขาว, ฟา, ชมพ, เขยว, เหลอง

เหตการณท�สนใจ ฟา, ชมพ

�. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

1 = { 0, 2, 4, 6, 8 }

2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 }

3 ={ 2, 3, 4, 5 }

และ 4 = { 1, 6, 7 }

จงหาสมาชกของ S ท�อยในเหตการณตอไปน�

(2) 1 3

= {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8,} (�) 1 2

(�) 3 = {0, 1, 6, 7, 8, 9} (�) 243 = {1}

(�) 3S = {0, 1, 6, 7, 8} (�) 321

2. จากเหตการณ 1, 2

, 3 ในขอ � จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตการณตอไปน�

(�)1 2 = {0, 2, 4, 6, 8}

(�) 21 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

(�) 231

��

3. ในการสารวจอายของผปวยแผนกเดก (อายไมเกน �� ป ) ของโรงพยาบาลแหงหน�ง

ถา 1 เปนเหตการณท�ผปวยมอายต�งแต � ถง � ป

2 เปนเหตการณท�ผปวยมอายนอยกวา � ป

และ 3 เปนเหตการณท�ผปวยมอายมากกวา � ป

จงหา (�)1 2

เปนเหตการณท�ผปวยมอายนอยกวา � ป

(�) 1 2

เปนเหตการณท�ผปวยท�อายต�งแต � ป ถงอายนอยกวา � ป

(�) 231 เปนเหตการณท�ผปวยมอายต�งแตเกดจนตาย

(�) 2 3

เปนเหตการณท�ผปวยอายนอยกวา � ป และอายมากกวา � ป

5 ในการจบสลาก � ใบ จากสลาก �� ใบ ซ�งมเลข � ถง � กากบอย ถาสนใจเลขท�เขยนกากบไวในสลากใบท�จบ

ได โดยให

1 เปนเหตการณท�เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนค

2 เปนเหตการณท�เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนค�

3 เปนเหตการณท�เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนเฉพาะ

4 เปนเหตการณท�เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนท�หารดวย � ลงตว

จงเขยนเหตการณตอไปน� ในรป 1, 2

, 3 หรอ 4

พรอมท�งแจกแจงสมาชกเม�อ

(5) เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนคหรอค�หรอจานวนเฉพาะ

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(6) เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนเฉพาะท�หารดวย � ลงตว

= { 3 }

(7) เลขท�เขยนกากบไวไมเปนจานวนค� และไมเปนจานวนท�หารดวย � ลงตว

= {0, 2, 4, 6, 8} {1, 2, 4, 5, 7, 8}

(8) เลขท�เขยนกากบไวเปนจานวนคท�เปนจานวนเฉพาะหรอจานวน

��

1. ในการโยนลกเตา � ลก � คร� ง จงหาความนาจะเปนของเหตการณ และสรปถงโอกาสท�จะเกดข�นวามมาก

หรอนอยเพยงใด

�. ไดแตม �

E แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลก หงายแตม �

167.06

1)( EP

เหตการณน�มโอกาสเกดข�นนอยมาก

4. ไดแตมค

E แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลกไดแตมค

3)( EP

เหตการณน�มโอกาสเกดข�นและไมเกดข�นเทา ๆ กน หรอมโอกาสเกดรอยละ ��%

5. ไดแตมมากกวา �

E แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลก ไดแตมมากกวา �

2)( EP

เหตการณน�มโอกาสเกดนอย

6. ไดแตมนอยกวา �

E แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลก ไดแตมนอยกวา �

6)( EP

เหตการณน�มโอกาสเกดข�นแนนอน

7. ไดแตมมากกวา �

E แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลก ไดแตมมากกวา �

6)( EP

8. ไดแตมมากกวา � หรอเปนแตมค�

E1 แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลก ไดแตมมากกวา � หรอแตมค�

E2 แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลก ไดแตมค�

3)( 21 EEP

เหตการณน�มโอกาสเกดข�น ��%

��

�. ไดแตมมากกวา � และเปนแตมค�

E1 แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลก ไดแตม > 3

E2 แทนเหตการณท�โยนลกเตา � ลก ไดแตมค�

166.06

1)( 21 EEP

เหตการณน�มโอกาสเกดข�นนอยมาก

�. ทอดลกเตา � ลกสองคร� ง ความนาจะเปนท�จะไดแตมรวมเปน � ในคร� งแรกและไดแตมรวมเปน �� ใน

คร� งท� � เทากบเทาใด

E1 แทนการทอดลกเตา � ลก ไดแตมรวมเปน �

E2 แทนการทอดลกเตา � ลก ไดแตมรวมเปน ��

166.06

3)( 21 EEP

เหตการณน�มโอกาสเกดนอยมาก

3. ชางกอสรางกลมหน�งม �� คน ประกอบดวย ชางปน � คน และชางไม � คน ถาตองการเลอกชาง � คน

จากกลมน� ความนาจะเปนท�จะไดชางปน � คน และชางไม � คน เทากบเทาใด

�. กลองใบหน�งบรรจหลอดไฟสแดง � หลอดซ�งเปนหลอดด � หลอและหลอดไฟสน� าเงน � หลอด ซ�งเปน

หลอดด � หลอด ในการสมหยบหลอดไฟคร� งละ � หลอด � คร� ง แบบไมใสคน ความนาจะเปนท�จะได

หลอดไฟสเดยวกน และเปนหลอดดท�งสองคร� ง มคาเทากบเทาใด

5. กลองใบหน�งมลกบอลสแดง � ลก และสขาวจานวนหน�ง โดยท�จานวนวธการหยบลกบอล � ลก เปนลก

บอลสเหมอนกน เทากบ � ถาสมหยบลกบอลพรอมพน � ลก แลวความนาจะเปนท�จะไดลกบอลสขาวท�ง �

ลกเทากบเทาใด

��

การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ แบบฝกหดท� 1

�. ศภางคไดรบเงนเดอน ๆ ละ �,�� บาท

กาหนดเวลาทางานตามปกตวนละ � ช�วโมง

ดงน�น ศภางคจะมรายไดวนละ 30

9,000 = 300 บาท

และศภางคมรายไดช�วโมงละ 8

300 = 37.50 บาท

เดอนธนวาคม

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31

เดอนธนวาคม สภาพไดรบคาจางในวนทางาน �� วน

และมสทธไดรบคาจางในวนหยดตามปกต � วน

และไดคาจางวนละ �� บาท

ดงน�น สภาพไดรบคาจางเดอนธนวาคม = (19 + 3) 370

= 8,140 บาท

��

เดอนสงหาคม

� � � � � �

� � � ��

��

ธดามรายไดเดอนละ ��,�� บาท ทางานวนละ � ช�วโมง

คาจางท�ไดรบช�วโมงละ = 308

12,000

= 50 บาท

ธดามสทธไดรบคาจางในวนหยดทกประเภท จงไดรบคาจาง เม�อมาทางานในวนหยดตามประเพณ

อก � เทา ทางานในวนหยดตามประเพณ � วน ๆ ละ � ช�วโมง

ดงน�น ทางานในวนหยดคดเปน � ช�วโมง

ธดาไดรบคาจางในวนหยด = 1 50 8

= 400 บาท

ทางานวนเสาร ซ�งเปนวนหยดประจาสปดาห จะไดรบคาทางานในวนหยด � เทา ของคาจางใน

วนทางาน

ทางานวนเสาร � วน ๆละ � ช�วโมง = 4 3

= 1� ช�วโมง

ดงน�น จะไดรบคาจางในวนเสาร = 2 50 12

= 1,200 บาท

จะไดรบคาทางานในวนหยดท�งส�น = 400 + 1,200

= 1,600 บาท

และจะไดรบคาจางท�งหมดของเดอนสงหาคม = 1�,�� + �,��

= 13,600 บาท

��

บญชแสดงรายรบ – รายจายของ...................................

ใน � สปดาห

� พ.ย. �� รบเงนคาจางจากการ

ทางาน � สปดาห

วนละ �� บาท เปนเงน

�,�� - � พ.ย. ��

� พ.ย. ��

10 พ.ย. ��

�� พ.ย. ��

คารถประจาทาง

คารถ

คาน� า คาไฟฟา

คารถ

คาหนงสอ

คารถ

คาเส�อผา

คารถ

��

รวมรายรบ �,�� - รวมรายจาย �,�� -

ยอดคงเหลอยกไป �� -

��

�. คานายหนาในการขาย = 45,000100

= 13,500 บาท

ดงน�น อญชลไดเงนคานายหนา ��,�� บาท

�. เงนปนผลตอหนของหนปรมสทธ = อตราเงนปนผล มลคาหนปรมสทธ

= 5% 160

= 160100

= � บาท

แตพจมานมหนปรมสทธท�งหมด �,�� หน

ดงน�น พจมานจะไดเงนปนผลท�งส�น = � 1,500 = ��,�� บาท

7. สภทราไดดาเนนการ ดงน�

�. สมกลมตวอยางวยรน จานวน �� คน

�. สอบถามกลมตวอยางท�ง �� คน เร�องสของขวดบรรจแชมพไดขอสรปดงน�

ส ความถ�

สฟา

สชมพ

สขาว

��

รวม ��

�. เน�องจากเปนการสารวจความนยมของกลมตวอยาง ถาเปนคาสถตท�ใช คอ คาฐานนยม (Mode)

จากแบบฝกหด คาฐานนยม คอ สชมพ เพราะกลมตวอยางนยมมากท�สด (ความถ� = ��)

�. นาขอมลจากขอ � มานาเสนอโดยใชแผนภมแทง

สฟา สชมพ สขาว

สฟา

สชมพ

สขาว

��

8. วธทา นายศกด� มเงนไดพงประเมน = ��,�� = ��,�� บาท

หก คาใชจายไดรอยละ �� ของเงนไดพงประเมนแตไมเกน ��,�� บาท

คาใชจาย 300,000100

40 = ��,�� บาท

แตคาใชจายของนายศกด� คานวณได ��,�� บาท แตสามารถหกไดแค ��,�� บาทเทาน�น

หก คาลดหยอน

ผมเงนได ��,�� บาท

คาเบ�ยประกนชวต ��,�� บาท

คาเบ�ยประกนสขภาพของมารดานายศกด� ��,�� บาท

รวมหกคาลดหยอนได = ��,�� + ��,�� + ��,�� = 100,000 บาท

เงนไดสทธของนายศกด� = เงนไดพงประเมน – (หกคาใชจาย + หกคาลดหยอน)

= ��,�� – (��,�� + ��,��)

= ��,�� บาท

ตามตารางอตราการเสยภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เงนได � – ��,�� บาท ไมตองเสยภาษเงนได

นายศกด� ไมตองเสยภาษ เพราะมเงนไดสทธ ��,�� บาท ไดรบการยกเวนภาษ แตตองย�นแบบ

แสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา (ภ.ง.ด. ��)

�. วธทา พ�นท�แผนไวทลท�ใชโฆษณา = กวาง ยาว

= 0.9 1.8 = 1.62 ตารางเมตร

คาจดทา = �.�� = �� บาท

จะตองจายเงนท�งหมด = คาจดทา + คาออกแบบ

= �� + �� = �� บาท

��

คณะผจดทา

ท�ปรกษา

1. นายประเสรฐ บญเรอง เลขาธการ กศน.

2. ดร.ชยยศ อ�มสวรรณ รองเลขาธการ กศน.

3. นายวชรนทร จาป รองเลขาธการ กศน.

4. ดร.ทองอย แกวไทรฮะ ท�ปรกษาดานการพฒนาหลกสตร กศน.

5. นางรกขณา ตณฑวฑโฒ ผอานวยการกลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผเขยนและเรยบเรยง

1. นายไชโย มวงบญม ขาราชการบานาญ

2. นางสาวกรณา ตตยรตนาภรณ ขาราชการบานาญ

ผบรรณาธการ และพฒนาปรบปรง

1. นายชมพล หนสง ขาราชการบานาญ

2. นายไชโย มวงบญม ขาราชการบานาญ

3. นางสาวสรนธร นาคคม สานกงาน กศน. จ.สมทรสาคร

4. นางสาวบบฮารา สะมท สานกงาน กศน. จ.สมทรสาคร

5. นายสรพงษ ม�นมะโน กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

6. นางพรทพย กลารบ ขาราชการบานาญ

คณะทางาน

�. นายสรพงษ ม�นมะโน กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

�. นายศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

�. นางสาววรรณพร ปทมานนท กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

4. นางสาวศรญญา กลประดษฐ กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

�. นางสาวเพชรนทร เหลองจตวฒนา กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผพมพตนฉบบ

นางสาวเพชรนทร เหลองจตวฒนา กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผออกแบบปก

นายศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

��

คณะผพฒนาและปรบปรงคร�งท� �

ท�ปรกษา 1. นายประเสรฐ บญเรอง เลขาธการ กศน.

2. ดร.ชยยศ อ�มสวรรณ รองเลขาธการ กศน.

3. นายวชรนทร จาป รองเลขาธการ กศน.

�. นางวทน จนทรโอกล ผเช�ยวชาญเฉพาะดานพฒนาส�อการเรยนการสอน

5. นางชลพร ผาตนนนาท ผเช�ยวชาญเฉพาะดานเผยแพรทางการศกษา

6. นางอญชล ธรรมวธกล หวหนาหนวยศกษานเทศก

7. นางศทธน งามเขตต ผอานวยการกลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผพฒนาและปรบปรงคร�งท� � 1. นางจารพร พทธวรยากร ศนยเทคโนโลยทางการศกษา

�. น.ส.วรวรรณ เบญจนรตน ขาราชการบานาญ สานกงาน กศน.

�. นางพรรณทพา ชนชชวาล กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

�. น.ส.เบญจวรรณ อาไพศร กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

�. นางสาวปยวด คะเนสม กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

หนังสือเรียนสาระความรู้พืน...

Documents

สรุป...

รายงานโครงงาน จัดท...

วิชา คณิตศาสตร์ โดย...

การวิเคราะห์การจัดการเรียน...

รายละเอียดของหลั...

km.streesp.ac.thkm.streesp.ac.th/files/140514099433958_14061514145700.docx ·...

สรุปรายงานผลการนิเทศปลายปี...

ข้อมูลพื้นฐาน...

รายงานข...

หลักสูตรธุรกิจกาแฟโบราณsukho.nfe.go.th/mst04/download/909090.d… ·...

km.streesp.ac.thkm.streesp.ac.th/files/1410181414083446_15062517174818.doc ·...

แบบวัดระดับความพร้อมในการ...

การประดับธงอาเซียนในการจัด...

การวิเคราะห์การจัดการเรียนรู้...

kham.ac.thkham.ac.th/kham2013/files/manual_plan2559-new.docx ·...

องค์กรแห งการเรียนรู...

บทบำทหน้ำที่ของ ครู...

หนังสือเรียนสาระการพัฒนา...

วิชา วิชาสามัญ...

ผลการจัดการเรียนรู้แบบ...