analytic geometry2555

แผนการจดการเรยนร 

ผลการเรยนร 

1.  หาระยะทางระหวางจดสองจด จดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบจดได 

2.  หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสนตงฉาก และนาไปใชได 

3.  เขยนความสมพนธทมกราฟเปนภาคตดกรวย เมอกาหนดสวนตางๆของภาคตดกรวยให และเขยนกราฟของความสมพนธนนได 

4.  นาความรเรองการเลอนแกนขนานไปใชในการเขยนกราฟได 

5.  นาความรเรองเรขาคณตวเคราะหไปใชแกปญหาได

กรอบการจดกจกรรมการเรยนการสอนและการประเมนผลตามสภาพจรง 

กลมสาระการเรยนร  คณตศาสตร 

คณตศาสตรเพมเตม รหสวชา ค31202  เรอง  เรขาคณตวเคราะห  ระดบชนมธยมศกษาปท  4  จานวน  25  ชวโมง 

ผลการเรยนร  ภาระงาน / กจกรรมหลก  ผลงาน / ชนงาน / คณลกษณะ  เกณฑการประเมน  มาตรฐานคณภาพทสงผล 1.  สรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาระยะทาง ระหวางจดสองจดจดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบ จดได 2.  หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง  เสนขนาน เสนตงฉาก และนาไปใชได 

1.  นกเรยนแตละกลมสรป ความคดรวบยอดเกยวกบ 

การหาระยะทางระหวางจด สองจด  จดกงกลาง  ระยะหาง ระหวางเสนตรงกบจดได 2.  นกเรยนแตละกลมสรป ความคดรวบยอดเกยวกบ การหาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสน ตงฉาก และนาไปใชได 

1.  สรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาระยะทาง ระหวางจดสองจด  จดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบ จดได 2.  หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสน ตงฉาก และนาไปใชได 

1.การสรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาระยะทาง ระหวางจดสองจดจดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบ จดได (KและP) 2.สรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาความชนของ เสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสนตงฉาก และนาไปใชได(KและP)

3.  เขยนความสมพนธทม กราฟเปนภาคตดกรวย เมอกาหนดสวนตางๆ ของภาคตดกรวยใหและ เขยนกราฟของ ความสมพนธนนได 

4. นาความรเรองการเลอน แกนขนานไปใชในการเขยน กราฟได 

5.นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

3.  นกเรยนแตละกลม สามารถสรปความคดรวม ยอดเกยวกบการเขยน ความสมพนธทมกราฟเปน ภาคตดกรวย เมอกาหนด สวนตางๆของภาคตด กรวยใหและเขยนกราฟ ของความสมพนธนนได 

4. นกเรยนทกคนสามารถนา ความรเรองการเลอนแกน ขนานไปใชในการเขยนกราฟ ได 

5.นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

3.  เขยนความสมพนธทม กราฟเปนภาคตดกรวย เมอ กาหนดสวนตางๆของภาค ตดกรวยใหและเขยนกราฟ ของความสมพนธนนได 

4. สามารถนาความรเรองการ เลอนแกนขนานไปใชในการ เขยนกราฟได 

5.นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

คณลกษณะ  ( A ) 1.  การทางานรวมกบผอน 2.  มเจตคตทดตอการเรยน 

การสอน 

3.สรปความคดรวมยอด เกยวกบการเขยนความสมพนธ ทมกราฟเปนภาคตดกรวย  เมอ กาหนดสวนตางๆของภาคตด กรวยใหและเขยนกราฟของ ความสมพนธนนได(KและP) 

4. นาความรเรองการเลอนแกน ขนานไปใชในการเขยนกราฟ ได(KและP) 

5.นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

(KและP)

เกณฑระดบคณภาพ  ( Rubrics ) 

เกณฑ ระดบคณภาพ 

4  ( ดเยยม )  3  ( ด )  2 ( พอใช )  1 ( ปรบปรง ) 1. สรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาระยะทาง ระหวางจดสองจดจดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบ จดได 

สรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาระยะทาง ระหวางจดสองจด  จดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบ จดไดถกตองครบถวน 

รอยละ  80 

สรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาระยะทาง ระหวางจดสองจดจดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบ จดได ถกตองครบถวน 

รอยละ  70 

สรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาระยะทาง ระหวางจดสองจดจดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบ จดได  ถกตองครบถวน 

รอยละ  65 

สรปความคดรวบยอด เกยวกบการหาระยะทาง ระหวางจดสองจดจดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบ จดได ถกตองครบถวน 

รอยละ  60 2.  หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสน ตงฉาก และนาไปใชได 

หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสน ตงฉาก และนาไปใชได 

ถกตองรอยละ  80 

หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสน ตงฉาก และนาไปใชได 

ไดถกตองรอยละ  70 

หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสน ตงฉาก และนาไปใชได 

ไดถกตองรอยละ  65 

หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสน ตงฉาก และนาไปใชได 

ไดถกตองรอยละ  60

3. เขยนความสมพนธทมกราฟ เปนภาคตดกรวย เมอกาหนด สวนตางๆของภาคตดกรวยให และเขยนกราฟของ ความสมพนธนนได 

เขยนความสมพนธทมกราฟ เปนภาคตดกรวย เมอกาหนด สวนตางๆของภาคตดกรวยให และเขยนกราฟของ ความสมพนธนนได 

ถกตองรอยละ  80 

เขยนความสมพนธทมกราฟ เปนภาคตดกรวย เมอกาหนด สวนตางๆของภาคตดกรวยให และเขยนกราฟของ ความสมพนธนนได 

ถกตองรอยละ  70 

เขยนความสมพนธทมกราฟ เปนภาคตดกรวย เมอกาหนด สวนตางๆของภาคตดกรวยให และเขยนกราฟของ ความสมพนธนนได 

ถกตองรอยละ  65 

เขยนความสมพนธทมกราฟ เปนภาคตดกรวย เมอกาหนด สวนตางๆของภาคตดกรวยให และเขยนกราฟของ ความสมพนธนนได 

ถกตองรอยละ  60 

4. นาความรเรองการเลอนแกน ขนานไปใชในการเขยนกราฟ ได 

นาความรเรองการเลอนแกน ขนานไปใชในการเขยนกราฟ ได 

ถกตองรอยละ  80 

นาความรเรองการเลอนแกน ขนานไปใชในการเขยนกราฟ ได 

ถกตองรอยละ  70 

นาความรเรองการเลอนแกน ขนานไปใชในการเขยนกราฟ ได 

ถกตองรอยละ  65 

นาความรเรองการเลอนแกน ขนานไปใชในการเขยนกราฟ ได 

ถกตองรอยละ  60 

5.นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

ถกตองรอยละ  80 

นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

ถกตองรอยละ  70 

นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

ถกตองรอยละ  65 

นาความรเรองเรขาคณต วเคราะหไปใชแกปญหาได 

ถกตองรอยละ  60

เกณฑระดบคณภาพ  (Rubrics) 

คณลกษณะ  :  การทางานรวมกบผอน 

พฤตกรรมบงช  1.  มปฎสมพนธรวมกบกลม  2.  แสดงความคดเหนสนใจความรสกและยอมรบฟงความคดเหนของผอน  3. ปฏบตงานตามทรบมอบหมาย 

เกณฑ ระดบคณภาพ 

4  ( ดเยยม )  3  ( ด )  2 ( พอใช )  1 ( ปรบปรง ) 

คณลกษณะ  :  การทางาน รวมกบผอน 

ปฏบตงานตามทไดรบ มอบหมายและขอตกลงของ กลมจนสาเรจ  มปฏสมพนธ รวมกบกลมดวยความเอาใจใส และแสดงความคดเหนโดย คานงถงความรสกของผอน และยอมรบความคดเหนของ ผอน 

ปฏบตงานตามทไดรบมอบหมาย และขอตกลงของกลมจนสาเรจ  ม ปฏสมพนธรวมกบกลมดวยความ เอาใจใสและแสดงความคดเหน โดยคานงถงความรสกของผอน และยอมรบความคดเหนของผอน บางประเดน 

ปฏบตงานตามทไดรบ มอบหมายและขอตกลงของ กลมจนสาเรจ  ม ปฏสมพนธรวมกบกลมดวย ความไมคอยเอาใจใสและไม แสดงความคดเหน 

ไมปฏบตงานตามทรบ มอบหมายและขอตกลงของ กลม    ขาดแสดงความคดเหน และไมยอมรบความคดเหน ของผอน

เกณฑระดบคณภาพ  ( Rubrics ) 

คณลกษณะ  :  ดานการมเจตคตทดตอการเรยนการสอน 

พฤตกรรมบงช  1.  มความสขกบการเรยน  2.  มความภาคภมใจในผลงาน  3.  เหนประโยชนหรอคณคาทไดรบจากการปฏบตงาน 

4.  มองเหนสงทจะนาไปใชในชวตประจาวน 

เกณฑ ระดบคณภาพ 

4  ( ดเยยม )  3  ( ด )  2 ( พอใช )  1 ( ปรบปรง ) 

คณลกษณะ  :  ดานการมเจต คตทดตอการเรยนการสอน 

นกเรยนแสดงความรสกท สะทอนตามพฤตกรรมบงช 

4 ขอ 

นกเรยนแสดงความรสกท สะทอนตามพฤตกรรมบงช 

3 ขอ 

นกเรยนแสดงความรสกท สะทอนตามพฤตกรรมบงช 

2 ขอ 

นกเรยนแสดงความรสกท สะทอนตามพฤตกรรมบงช 

1 ขอ

การสรปภาพรวมของผลการเรยนร 

นาผลการประเมนจากผลงานหรอคณลกษณะ  รวมกนแลวเทยบกบชวงคะแนนในการตดสนผลการเรยนรทคาดหวง 

ระดบคณภาพ  ชวงคะแนน 

4  13 – 16 

3  11 – 12 

2  9  -  10 

1  ตากวา 9 

การประกนผลการเรยนรและการประกนการสอน 

รายบคคล  ผเรยนมผลการเรยนรในผลการเรยนรทคาดหวง 

ระดบคณภาพ  ด  ขนไปถอวา  ผาน 

รายกลม  รอยละ  80  ของจานวนทไดระดบผลการเรยนร  ด  ขนไป   ถอวาผสอนประสบผลสาเรจในการสอน

แผนการจดการเรยนร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร  เรอง  เรขาคณตวเคราะห 

คณตศาสตรเพมเตม รหสวชา  ค 31202  ภาคเรยนท 2  ระดบชนมธยมศกษาปท 4 ชอหนวยการเรยนร  เรอง เรขาคณตวเคราะห  จานวน  25  คาบ 

ผลการเรยนร 

1.  หาระยะทางระหวางจดสองจด จดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบจดได 

2.  หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสนตงฉาก และนาไปใชได 

3.  เขยนความสมพนธทมกราฟเปนภาคตดกรวย เมอกาหนดสวนตางๆของภาคตดกรวย ใหและเขยนกราฟของความสมพนธนนได 

4.  นาความรเรองการเลอนแกนขนานไปใชในการเขยนกราฟได 

5.  นาความรเรองเรขาคณตวเคราะหไปใชแกปญหาได

3.  สาระการเรยนร 3.1  ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห 

3.1.1  ระยะทางระหวางจดสองจด 3.1.2  จดกงกลางระหวางจดสองจด 3.1.3  ความชนของเสนตรง 3.1.4  เสนขนาน 3.1.5  เสนตงฉาก 3.1.6  ความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรง 3.1.7  ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด 

3.2  ภาคตดกรวย 3.2.1  วงกลม 3.2.2  วงร 3.2.3  พาราโบลา 3.2.4  ไฮเพอรโบลา 3.2.5  การเลอนกราฟ 

4.  กจกรรมการเรยนร 

ชงโมงท 1 ครใหนกเรยนทาแบบทดสอบกอนเรยน เพอวดผลประเมนความรของนกเรยน 

ชวโมงท  2-9 

ขนนา 1 .  ครอธบายถงประโยชนของการวดผลกอนเรยนและแจงผลการประเมนใหนกเรยนทราบ 2.  แบงกลมนกเรยนคละความสามารถ  กลมละ  7  คน ขนสอน 3.  ครใหนกเรยนแตละกลมศกษาใบความร 4.  สรปผลทไดจากการทากจกรรมในใบความร 5.  ทาใบงานทครกาหนดให 6.  ครและนกเรยนรวมกนสรปความคดรวมยอดเกยวกบการหาระยะทางระหวางจดสองจด 

จดกงกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด 7.  ครและนกเรยนรวมกนสรปความคดรวมยอดเกยวกบ การหาคาความชน สมการเสนตรง 

เสนตงฉาก

ชวโมงท 10 ใหนกเรยนทาแบบทดสอบหลงเรยน แลแจงผลการสอบ เพอเปรยบเทยบกบคะแนนกอนเรยน 

ชวโมงท 11 ครใหนกเรยนทาแบบทดสอบกอนเรยน เพอวดผลประเมนความรของนกเรยน 

ชวโมงท  12-19 

ขนนา 1 .  ครอธบายถงประโยชนของการวดผลกอนเรยนและแจงผลการประเมนใหนกเรยนทราบ 2.  แบงกลมนกเรยนคละความสามารถ  กลมละ  7  คน 

ขนสอน

3.  ครใหนกเรยนแตละกลมศกษาใบความร 4.  สรปผลทไดจากการทากจกรรมในใบความร 5.  ทาใบงานทครกาหนดให 6.  ครและนกเรยนรวมกนสรปความคดรวมยอดเกยวกบภาคตดกรวย ในเรองของ วงกลมและ 

พาราโบลา 6.  ครและนกเรยนรวมกนสรปความคดรวมยอดเกยวกบภาคตดกรวย  ในเรองของ  วงร 

และไฮเพอรโบลา 

ชวโมงท 20 ใหนกเรยนทาแบบทดสอบหลงเรยน แลแจงผลการสอบ เพอเปรยบเทยบกบคะแนนกอนเรยน 

ชวโมงท 21 ครใหนกเรยนทาแบบทดสอบกอนเรยน เพอวดผลประเมนความรของนกเรยน 

ชวโมงท  22-24 

ขนนา 1 .  ครอธบายถงประโยชนของการวดผลกอนเรยนและแจงผลการประเมนใหนกเรยนทราบ 2.  แบงกลมนกเรยนคละความสามารถ  กลมละ  7  คน

ขนสอน 3.  ครใหนกเรยนแตละกลมศกษาใบความร 4.  สรปผลทไดจากการทากจกรรมในใบความร 5.  ทาใบงานทครกาหนดให 6.  ครและนกเรยนรวมกนสรปความคดรวมยอด เรองการเลอนแกนขนานไปใชในการเขยนกราฟ 7.  ครและนกเรยนรวมกนสรปความคดรวมยอดเกยวกบ  ความรเรองเรขาคณตวเคราะหไปใช 

แกปญหา ชวโมงท 25 

ใหนกเรยนทาแบบทดสอบหลงเรยน แลแจงผลการสอบ เพอเปรยบเทยบกบคะแนนกอนเรยน 4.  การวดผลประเมนผล

การวดผล  การประเมนผล 

1.  สงเกตจากการตอบคาถาม  1. 2.  สงเกตจากการรวมกจกรรม  2. 3.  ทาเอกสารแนะแนวทาง  3. 4.  ทาเอกสารฝกหด  4. 5.  ทาโจทยพเศษทายชวโมง  5. 6.  ทาแบบฝกหดเพมเตม  6. 

5.  สอการเรยนร -  เอกสารประกอบการเรยนร -  เอกสารแนะแนวทาง 

แหลงการเรยนร -  หองสมดคณตศาสตร -  คลนคคณตศาสตร -  คร  ,  รนพ  ,  เพอน  หรอผทมความรในเรองน

6.  บนทกหลงผลการจดการเรยนร 

ผลการเรยนร 1.  ดานความร 

............................................................................................................................................................ 

............................................................................................................................................................ 

............................................................................................................................................................ 

...................................................................................................................................................... 

........................................................................................................................................................ 2.  ดานทกษะ/กระบวนการ 

............................................................................................................................................................ 

........................................................................................................................................................ 

............................................................................................................................................................ 

............................................................................................................................................................ 

...................................................................................................................................................... 

...................................................................................................................................................... 3.  ดานคณลกษณะทพงประสงค 

............................................................................................................................................................ 

........................................................................................................................................................ 

...................................................................................................................................................... 

............................................................................................................................................................ 

...................................................................................................................................................... 

ปญหาทควรแกไข/พฒนา  วธดาเนนการแกไข/พฒนา  ผลการแกไข/พฒนา ............................................ .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. 

............................................ 

.................................................. 

.................................................. 

.................................................. 

.................................................. 

............................................ 

.................................................. 

.................................................. 

.................................................. 

.................................................. 

ลงชอ...........................................ผจดกจกรรมการเรยนร (นายอดม  วงศศรดา) 

ตาแหนง คร  ชานาญการพเศษ

สาระการเรยนร 

เรขาคณตวเคราะห 1.  ระบบพกดฉาก  ประกอบดวยเสนตรง สองเสนเสนหนงอยในแนวนอน เรยกวา 

แกน x  อกเสนหนงอยในแนวตงเรยกวาแกน y ทงสองเสนนตดกนเปนมมฉาก และเรยกจดตดวา จดกาเนด 

y 

ควอดรนตท  II  ควอดรนตท  I (­,+)  (+,+) 

x ควอดรนตท  III  ควอดรนตท  IV 

(­,­)  (+,­) 2.  การหาระยะทางระหวางจด 2 จด 

ถา P(x1,y1)  และ P(x2,y2)  เปนจด 2 จดในระนาบ ระยะทางระหวางจด P และจด Q หาไดโดย 

PQ  = √  (x2­x1) 2 + (y2­y1) 2 

3.  จดกงกลางระหวางสองจด ถา P(x1,y1)  และ P(x2,y2)  เปนจด 2 จดในระนาบและให M(x,y)  เปน จดกงกลางระหวาง P และ Q  เราสามารถหาจด M ไดดงน 

จดกงกลาง  M คอ  x1+x2 , y1+ y2 2  2

4.  สมการของเสนตรง  Q(x2,y2) 4.1 ความชน(slop)=tanθ=m 

Q(x1,y1) 

ความชน =   m  =  y2 ­ y1 x2 ­ x1 

4.2  สมการเสนตรงทผานจด (x1,y1)  และมความชนเทากบ m  คอ 

y ­ y1  =  m(x ­ x1) 

4.3  สมการเสนตรงทม y ­intercept  เทากบ b และมความชนเทากบ m  คอ 

y = mx + b 

4.4  จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขยนสมการเสนตรงใหมในรปของ 

Ax + By + C = 0 

ตวอยาง  จงหาความชนของเสนตรง  3x + 4y ­ 5 = 0 วธทา  4y = ­3x + 5 

y =  (­3/4)x +(5/4) ∴ ความชนคอ ­3/4 

4.5  เสนตรง l1  ขนานกบ l2  กตอเมอ m1=m2 

เสนตรง l1  ตงฉากกบ  l2  กตอเมอ m1m2 = ­1

5.  การหาระยะทางจากจดไปยงเสนตรง กาหนดให  l เปนเสนตรงทมสมการ  Ax + By + C = 0 และ P(x1,y1)  เปนทอยนอกเสน  l ดงรป 

P(x1,y1) d  l 

Ax + By + C = 0 

ถา d เปนระยะทางจากจด P  ไปยงเสนตรง l 

d  =  Ax1 + By1 + C √ A 2 + B 2 

ทดสอบความเขาใจ 

ขอ 1. เสนตรงซงตงฉากและแบงครงสวนของเสนตรงทเชอมจดระหวาง(­1,3) และ (5, 7)  คอกราฟขอใด 1.  2y + 3x ­ 8 = 0  2.  2y + 3x ­ 3 = 0 3.  2y + 3x ­ 16 = 0  4.  3y + 2x ­ 19 = 0 

ขอ 2. จงหาวาจด(1,1) , (4,4) , และ (9,­1) เปนจดยอดของสามเหลยมชนดใด 1.  รปสามเหลยมดานเทา  2. รปสามเหลยมหนาจว 3.  รปสามเหลยมมมฉาก  4.  รปสามเหลยมมมฉากหนาจว 

เฉลย ขอ 1. ตอบ 3  ขอ 2. ตอบขอ 3

ภาคตดกรวย 

1.  วงกลม (circle)  คอ  เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงอยหางจากจดคงทจดหนง เปนระยะทางคงทเสมอ เรยกจดคงทวา จดศนยกลางของวงกลม  ระยะทางคงท เรยกวา รศม (r ) สมการวงกลม 

ถาวงกลมมจดศนยกลางอยทจดกาเนด และรศมเทากบ r สมการวงกลมคอ  x 2 + y 2 = r 2 

ถาวงกลมมจดศนยกลางอยทจด(h,k)  และรศมเทากบ r สมการวงกลมคอ  (x­h) 2 + (y­k) 2 + r 2 

สมการวงกลมในรปทวไป คอ x 2 + y 2 +Ax + By + C = 0 

2.  พาราโบลา  คอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงในเซตดงกลางจะอยหางจากจดคงท จดหนงเทากบอยหางจากเสนคงทเสนหนงเสมอ 

จดคงทเรยกวาจด โฟกส เสนคงทเรยกวา  ไดเรกทรกซ เสนทลากผานโฟกสและตงฉากกบไดเรกทรกซ เรยกวา แกนของพาราโบลา จดทเกดจากพาราโบลาตดกบแกนของพาราโบลา เรยกวา จดยอด 

สมการ  y 2 = 4cx  สมการ  y 2 = ­4cx 

ไดเรกทรกซ  ไดเรกทรกซ 

o  F(c,0)  F(­c,0)    o 

x = ­c  x  = c

1 2 

2 

2 

2

= + b y 

a x 

1 2 

2 

2 

2

= + b x 

a y 

สมการ  x 2 = 4cy  สมการ  x 2 = ­4cy ไดเรกทรกซ y = c 

F(0,c) o 

o F(0,­c) 

ไดเรกทรกซ  y = ­c 

สมการ พาราโบลาซงมจดยอดอยทจด (h,k) หลกพจารณาเชนเดยวกบวงกลม คอ  แทน x ดวย x­h 

แทน y ดวย y­k 3.  วงร คอ เซตของจดซงผลบวกของระยะทางจากจดในเซตไปยงจดคงท 2 จดมคาคง 

ตวเสมอ ขอควรจา 

ผลบวกของระยะทางจากจดบนวงรไปยงจดคงทสองจดมคาเทากบ  2a Y 

V /  F /  O      F           V X  (­a,0)  (­c,0)  (c,0)        (a,0) 

สมการวงรทมจดศนยกลางอยทจดกาเนด กรณโฟกสอยบนแกน x 

กรณโฟกสอยบนแกน y

สมการ วงรซงมจดยอดอยทจด (h,k) หลกพจารณาเชนเดยวกบวงกลม คอ  แทน x ดวย x­h 

แทน y ดวย y­k 

ความสมพนธ  a 2 = b 2 + c 2 

4.  ไฮเปอรโบลา คอ เซตของจดซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆ ในเซตนไปยงจด คงทสองจดมคาคงตวเสมอ 

ผลตางของระยะทางจากจดบนไฮเปอรโบลาไปยงจดคงทสองจดมคาเทากบ 2a y 

B(0,b) 

F /  v /  o    v  F (­c,0)    (­a,0)     (a,0)  (c,0) 

B / (0,­b) 

ความสมพนธ  c 2 = a 2 + b 2

1 144 169 

2 2

= +  x y 

สมการ ไฮเปอรโบลาซงมจดยอดอยทจด (h,k) หลกพจารณาเชนเดยวกบวงกลม คอ  แทน x ดวย x­h 

แทน y ดวย y­k ทดสอบความเขาใจ ขอ 1. วงรวงหนงมสมการ  จดโฟกสจดหนงของวงรนคอ 

1.  (0,0)  2.  (0,5)  3.  (5,0)  4.(0,13) เฉลย  ขอ 1. ตอบขอ 2 

ลงชอ………………………………..ผจดทา (นายอดม  วงศศรดา) คร  ชานาญการพเศษ