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REPUBLICABOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

U.E “NUESTRA SENORA DE LOURDES”

PROFESORA: VERUSKA LARA 1

AREA DE FORMACION: MATEMÁTICA DE 5TO AÑO

GUIA DE ESTUDIO. II LAPSO

UNIDAD DEAPRENDIZAJE 1: Coordenadas espaciales, vectores en el espacio, componentes, operaciones básicas y combinación lineal.

1) Coordenadas espaciales: es un conjunto de ternas ordenadas (x,y,z) de

números reales es decir:

R3 = [ (X, Y, Z) X€R, Y€R, Z€R

Grafica de coordenadas en el espacio

Coordenadas por punto: se representa por un conjunto de terna de números

reales (x,y,z) de notadas con la letra (P),se anota de la siguiente manera:

P= (X, Y, Z)

Representación grafica

Para graficar, el proceso es el siguiente:

I. Ubicar el valor del eje X correspondiente y a partir de el trazar una

paralela al eje Y

II. Colocar en el eje Y el valor correspondiente, luego trazar una paralela

al eje X

III. En el corte de estas dos paralelas subimos o bajamos al eje Z de

acuerdo al signo, trazamos en línea paralela al eje Z.

IV. Por último, ubicamos el punto sobre la línea trazada del eje Z.

Ejemplo 1

Graficar los siguientes puntos en el plano R3

P1= (3, 3,-2)

P2= (2, -5,3)

P3 = (-2, 5,4)

P4= (1, 6,0)

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Actividad 1.- Representa los puntos en un sistemas de coordenadas

tridimensionales

a) P= (5,3,8)

b) P= (10,12,4)

c) P= (-5,4,9)

d) P= (6,-7,1)

e) P= (8,9,-10)

f) P= (-9,-5,-10)

Actividad 2.- Ubicar los siguientes puntos en el grafico de coordenadas

1.2) Vectores en el espacio

Vectores: es un segmento de recta orientado si posee magnitud, dirección y

sentido. El sentido lo proporciona la punta de la flecha que contiene el vector, la dirección viene dada por la recta y la magnitud es su medida.

Modulo: se calcula mediante la siguiente expresión :

Donde: Xi, Yj, Zk, son componentes

Componentes de un vector: existe una componente por cada eje y se

calcula con la resta de las coordenadas del punto de salida u origen. Para calcular los componente se expresa lo siguiente: Xcomp= X2 - X1

Ycomp= Y2 – Y1

Zcomp= Z2 - Z1 Vcomp= (Xcomp, Ycomp, Zcomp )

Representación grafica por componente

Fig1.- Representación de un vector 0P Fig 2.- Representación de un vector SR

Ejemplo 2 Graficar el siguiente vector CA z C C= (10, 9,10) A= (3,8.7) A y

x

Actividad 3.- Sean: B=(-5,-6,1) ; C= ( 10,9,10) ; D=( 10,9,10) Graficar: AB, BC, AC Hallar sus componentes

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2. Operaciones básicas de vectores en el espacio

Suma de vectores

a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

Tenemos:

a+b= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

Resta de vectores

a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

Tenemos:

a-b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)

Ejemplo3

1. Para a = (1, −2, 3) y b = (3, −1, 4), halla: a) a + b b) 2 a+ b c) –a + 3 b

a) a+b == (1, −2, 3) + (3, −1, 4) = (4, –3, 7)

b) 2 a+ b == 2 · (1, −2, 3) + (3, −1, 4) = (2 + 3, –4 – 1, 6 + 4) = (5, –5, 10).

c) –a + 3 b= – (1, −2, 3) + 3 · (3, −1, 4) = (–1 + 9, 2 – 3, –3 + 12) = (8, –1, 9)

Multiplicación de vectores

a) Multiplicación Escalar.

b) a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

Tenemos:

a.b= (a1. b1, a2. b2, a3. b3)

Ejemplo4

Para a = (1, −2, 3) y b = (3, −1, 4), halla: a) a. b

a.b= (1.3, -2.-1, 3.4) = (3, 2, 12)

c) MULTIPLICACIÓN VECTORIAL

Hallar:

Tenemos:

d) Combinación lineal.

Se dice que un vector es combinación lineal de otras cuando exista valores numéricas

que multiplicados por ello el resultado se suma algebraicamente y al final se obtenga el

vector inicial.

Sea los vectores a , b, c , d , expresa:

1. a combinación lineal de resto

a = X.b +Y.c +Zd

ejemplo 5

Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)

Expresa d como combinación lineal del resto.

d= X.a +Y.b +Z.c

(2,-3,3)=X(-1,2,1) +Y(3,2,-4) +Z(1,-1,1)

(2,-3,3)=(-X, 2X, X) +(3Y,2Y, -4Y) +(Z, -Z ,Z)

(2,-3,3)=( -X , 3Y, Z) +(2X, 2Y, -Z) + (X, -4Y, Z)

Tenemos las siguientes ecuaciones:

1) 2= -X +3Y Z

2) -3= 2X +2Y –Z

3) 3= X -4Y +Z

Tomamos ecuación 1 y 2

2= -X +3Y Z

-3= 2X +2Y –Z

-1=X +5Y

Trabajando con las ecuaciones 2 y 3

-3= 2X +2Y –Z

3= X -4Y +Z

0= 3X -2Y

Tenemos las dos ecuaciones resultantes

2 -1=X +5Y

5 0= 3X -2Y

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Nos queda

-5= 2X +10Y PARA HALLAR Y PARA OBTENER Z

0= 15X -10Y 0= 3X -2Y 2= -X +3Y +Z

-5= 17X 0= 3 (-17/5) -2Y 2= - (-17/5) +3 ( 51/10) + Z

X= -17/5 0= -51/5 -2Y 2= -17/5 + 153/10 +Z

51/5= - 2Y 2+17/5 – 153/10= Z

Y= 51/10 Z= -99/10

ACTIVIDAD 4.-

Sea a= ( -5, 4 ,7) b= ( 1, -3 , -5) c ( 4/3, -5/7 , 2/11)

Hallar:

1. a +b +c

2. 2c - 3a + 3/2 b

3. 3( c-a) +5b

4. bc – ab +cb

5. ac. bc

6. ax b

Actividad 5.

1. Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)

Expresa c como combinación lineal del resto.

2. Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)

Expresa b como combinación lineal del resto.

Unidad de aprendizaje 2.-Operaciones básicas de matrices. Determinantes de

2do y 3er orden.

Matrices: son agrupaciones matemáticas en las cuales intervienen

elementos ordenados en filas y columnas .Se denotan con paréntesis de

tamaño adecuado al número de fila.

Ejemplo

A= a b c

1 2 3

Orden de una matriz: se refiere al dato ubicado en la parte inferior

derecha de la matriz en el cual se coloca el numero de filas por el numero

de columnas.

M = a b c

d e f fxc

Cada elemento dentro de la matriz tiene una ubicación específica dada

por 2 subíndices que indican la fila y la columna.

Matriz cuadrada: es aquella que posee el mismo número de fila y

columna.

a b

A= c d 2x2

Operaciones básicas de matrices

a) Suma y resta de matrices: Para efectuar la suma y resta de matrices

es estrictamente necesario que posean el mismo orden. Una vez

verificado este se agruparan los términos que se correspondan en

posiciones similares efectuándose luego la operación.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Multiplicación de Matrices: es condición estricta que el numero de columnas

de la primera sea igual al número de filas de la segunda. La operación se

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efectuara sumando algebraicamente los productos de cada fila por cada

columna generando un elemento a su vez y así sucesivamente hasta terminar

con las columnas, luego se continua con la siguiente fila hasta concluir.

Ejemplo 3

Multiplicación escalar de matrices: se define la multipl icación de

un número real por una matriz.

Ejemplo 4

Determinante de 2do y 3er orden:

a) Determinante de 2do orden:

= a 11 a 2 2 - a 12 a 2 1

Ejemplo 5

b) Determinante de 3er orden:

= a1 1 a2 2 a33 + a12 a23 a 3 1 + a1 3 a21 a3 2 - a 1 3 a2 2 a31 - a12 a21 a 3 3 - a1 1 a2 3 a32.

Ejemplo 6

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) ·

1 = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

La regla de Sarrus : es una uti l idad para calcular determinantes de

orden3 . Los términos con signo + están formados por los elementos de

la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su

correspondiente vértice opuesto .

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Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal

secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente

correspondiente vértice opuesto .

Ejemplo 7

Actividad1

a) Calcula el valor del determinante de 3er orden

1. 2x -6x x/2 2. -5/3 4 10 3. 2√2 -8√2 √2/3

-8 1 3 6p 5p – 3 3-2p 5 -7 10

6 8 2 8 -7 -5 6 4 -7

b) Calcular el valor del determinante de 2do orden

1. 5 -3 2. -3/7 -9/11 3. 5x -6x

2a 11/4 -2/5 8/3 4/3 -7/4

c) Sea

-3 -1 5 3 -5 4 -3 11

A= 8 2 4 B= 8 9 C = -3 8 6

1 0 7 -2 10 7 -12 5

3 -5/8

D= -1/2 4/3

-10 -9

Hallar

1) 5/2 A +4/3 C

2) C -A

3) D+B

4) A.B

5) 3C.B

6) B .C