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REPUBLICABOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

U.E “NUESTRA SENORA DE LOURDES”

PROFESORA: VERUSKA LARA 1

AREA DE FORMACION: MATEMÁTICA DE 5TO AÑO

GUIA DE ESTUDIO. II LAPSO

UNIDAD DEAPRENDIZAJE 1: Coordenadas espaciales, vectores en el espacio, componentes, operaciones básicas y combinación lineal.

1) Coordenadas espaciales: es un conjunto de ternas ordenadas (x,y,z) de

números reales es decir:

R3 = [ (X, Y, Z) X€R, Y€R, Z€R

Grafica de coordenadas en el espacio

Coordenadas por punto: se representa por un conjunto de terna de números

reales (x,y,z) de notadas con la letra (P),se anota de la siguiente manera:

P= (X, Y, Z)

Representación grafica

Para graficar, el proceso es el siguiente:

I. Ubicar el valor del eje X correspondiente y a partir de el trazar una

paralela al eje Y

II. Colocar en el eje Y el valor correspondiente, luego trazar una paralela

al eje X

III. En el corte de estas dos paralelas subimos o bajamos al eje Z de

acuerdo al signo, trazamos en línea paralela al eje Z.

IV. Por último, ubicamos el punto sobre la línea trazada del eje Z.

Ejemplo 1

Graficar los siguientes puntos en el plano R3

P1= (3, 3,-2)

P2= (2, -5,3)

P3 = (-2, 5,4)

P4= (1, 6,0)




Actividad 1.- Representa los puntos en un sistemas de coordenadas

tridimensionales

a) P= (5,3,8)

b) P= (10,12,4)

c) P= (-5,4,9)

d) P= (6,-7,1)

e) P= (8,9,-10)

f) P= (-9,-5,-10)

Actividad 2.- Ubicar los siguientes puntos en el grafico de coordenadas

1.2) Vectores en el espacio

Vectores: es un segmento de recta orientado si posee magnitud, dirección y

sentido. El sentido lo proporciona la punta de la flecha que contiene el vector, la dirección viene dada por la recta y la magnitud es su medida.

Modulo: se calcula mediante la siguiente expresión :

Donde: Xi, Yj, Zk, son componentes

Componentes de un vector: existe una componente por cada eje y se

calcula con la resta de las coordenadas del punto de salida u origen. Para calcular los componente se expresa lo siguiente: Xcomp= X2 - X1

Ycomp= Y2 – Y1

Zcomp= Z2 - Z1 Vcomp= (Xcomp, Ycomp, Zcomp )

Representación grafica por componente

Fig1.- Representación de un vector 0P Fig 2.- Representación de un vector SR

Ejemplo 2 Graficar el siguiente vector CA z C C= (10, 9,10) A= (3,8.7) A y

x

Actividad 3.- Sean: B=(-5,-6,1) ; C= ( 10,9,10) ; D=( 10,9,10) Graficar: AB, BC, AC Hallar sus componentes




2. Operaciones básicas de vectores en el espacio

Suma de vectores

a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

Tenemos:

a+b= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

Resta de vectores

a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

Tenemos:

a-b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)

Ejemplo3

1. Para a = (1, −2, 3) y b = (3, −1, 4), halla: a) a + b b) 2 a+ b c) –a + 3 b

a) a+b == (1, −2, 3) + (3, −1, 4) = (4, –3, 7)

b) 2 a+ b == 2 · (1, −2, 3) + (3, −1, 4) = (2 + 3, –4 – 1, 6 + 4) = (5, –5, 10).

c) –a + 3 b= – (1, −2, 3) + 3 · (3, −1, 4) = (–1 + 9, 2 – 3, –3 + 12) = (8, –1, 9)

Multiplicación de vectores

a) Multiplicación Escalar.

b) a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

Tenemos:

a.b= (a1. b1, a2. b2, a3. b3)

Ejemplo4

Para a = (1, −2, 3) y b = (3, −1, 4), halla: a) a. b

a.b= (1.3, -2.-1, 3.4) = (3, 2, 12)

c) MULTIPLICACIÓN VECTORIAL

Hallar:

Tenemos:

d) Combinación lineal.

Se dice que un vector es combinación lineal de otras cuando exista valores numéricas

que multiplicados por ello el resultado se suma algebraicamente y al final se obtenga el

vector inicial.

Sea los vectores a , b, c , d , expresa:

1. a combinación lineal de resto

a = X.b +Y.c +Zd

ejemplo 5

Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)

Expresa d como combinación lineal del resto.

d= X.a +Y.b +Z.c

(2,-3,3)=X(-1,2,1) +Y(3,2,-4) +Z(1,-1,1)

(2,-3,3)=(-X, 2X, X) +(3Y,2Y, -4Y) +(Z, -Z ,Z)

(2,-3,3)=( -X , 3Y, Z) +(2X, 2Y, -Z) + (X, -4Y, Z)

Tenemos las siguientes ecuaciones:

1) 2= -X +3Y Z

2) -3= 2X +2Y –Z

3) 3= X -4Y +Z

Tomamos ecuación 1 y 2

2= -X +3Y Z

-3= 2X +2Y –Z

-1=X +5Y

Trabajando con las ecuaciones 2 y 3

-3= 2X +2Y –Z

3= X -4Y +Z

0= 3X -2Y

Tenemos las dos ecuaciones resultantes

2 -1=X +5Y

5 0= 3X -2Y




Nos queda

-5= 2X +10Y PARA HALLAR Y PARA OBTENER Z

0= 15X -10Y 0= 3X -2Y 2= -X +3Y +Z

-5= 17X 0= 3 (-17/5) -2Y 2= - (-17/5) +3 ( 51/10) + Z

X= -17/5 0= -51/5 -2Y 2= -17/5 + 153/10 +Z

51/5= - 2Y 2+17/5 – 153/10= Z

Y= 51/10 Z= -99/10

ACTIVIDAD 4.-

Sea a= ( -5, 4 ,7) b= ( 1, -3 , -5) c ( 4/3, -5/7 , 2/11)

Hallar:

1. a +b +c

2. 2c - 3a + 3/2 b

3. 3( c-a) +5b

4. bc – ab +cb

5. ac. bc

6. ax b

Actividad 5.

1. Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)

Expresa c como combinación lineal del resto.

2. Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)

Expresa b como combinación lineal del resto.

Unidad de aprendizaje 2.-Operaciones básicas de matrices. Determinantes de

2do y 3er orden.

Matrices: son agrupaciones matemáticas en las cuales intervienen

elementos ordenados en filas y columnas .Se denotan con paréntesis de

tamaño adecuado al número de fila.

Ejemplo

A= a b c

1 2 3

Orden de una matriz: se refiere al dato ubicado en la parte inferior

derecha de la matriz en el cual se coloca el numero de filas por el numero

de columnas.

M = a b c

d e f fxc

Cada elemento dentro de la matriz tiene una ubicación específica dada

por 2 subíndices que indican la fila y la columna.

Matriz cuadrada: es aquella que posee el mismo número de fila y

columna.

a b

A= c d 2x2

Operaciones básicas de matrices

a) Suma y resta de matrices: Para efectuar la suma y resta de matrices

es estrictamente necesario que posean el mismo orden. Una vez

verificado este se agruparan los términos que se correspondan en

posiciones similares efectuándose luego la operación.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Multiplicación de Matrices: es condición estricta que el numero de columnas

de la primera sea igual al número de filas de la segunda. La operación se




efectuara sumando algebraicamente los productos de cada fila por cada

columna generando un elemento a su vez y así sucesivamente hasta terminar

con las columnas, luego se continua con la siguiente fila hasta concluir.

Ejemplo 3

Multiplicación escalar de matrices: se define la multipl icación de

un número real por una matriz.

Ejemplo 4

Determinante de 2do y 3er orden:

a) Determinante de 2do orden:

= a 11 a 2 2 - a 12 a 2 1

Ejemplo 5

b) Determinante de 3er orden:

= a1 1 a2 2 a33 + a12 a23 a 3 1 + a1 3 a21 a3 2 - a 1 3 a2 2 a31 - a12 a21 a 3 3 - a1 1 a2 3 a32.

Ejemplo 6

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) ·

1 = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

La regla de Sarrus : es una uti l idad para calcular determinantes de

orden3 . Los términos con signo + están formados por los elementos de

la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su

correspondiente vértice opuesto .




Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal

secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente

correspondiente vértice opuesto .

Ejemplo 7

Actividad1

a) Calcula el valor del determinante de 3er orden

1. 2x -6x x/2 2. -5/3 4 10 3. 2√2 -8√2 √2/3

-8 1 3 6p 5p – 3 3-2p 5 -7 10

6 8 2 8 -7 -5 6 4 -7

b) Calcular el valor del determinante de 2do orden

1. 5 -3 2. -3/7 -9/11 3. 5x -6x

2a 11/4 -2/5 8/3 4/3 -7/4

c) Sea

-3 -1 5 3 -5 4 -3 11

A= 8 2 4 B= 8 9 C = -3 8 6

1 0 7 -2 10 7 -12 5

3 -5/8

D= -1/2 4/3

-10 -9

Hallar

1) 5/2 A +4/3 C

2) C -A

3) D+B

4) A.B

5) 3C.B

6) B .C

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