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U.E “NUESTRA SENORA DE LOURDES”
PROFESORA: VERUSKA LARA 1
AREA DE FORMACION: MATEMÁTICA DE 5TO AÑO
GUIA DE ESTUDIO. II LAPSO
UNIDAD DEAPRENDIZAJE 1: Coordenadas espaciales, vectores en el espacio, componentes, operaciones básicas y combinación lineal.
1) Coordenadas espaciales: es un conjunto de ternas ordenadas (x,y,z) de
números reales es decir:
R3 = [ (X, Y, Z) X€R, Y€R, Z€R
Grafica de coordenadas en el espacio
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Coordenadas por punto: se representa por un conjunto de terna de números
reales (x,y,z) de notadas con la letra (P),se anota de la siguiente manera:
P= (X, Y, Z)
Representación grafica
Para graficar, el proceso es el siguiente:
I. Ubicar el valor del eje X correspondiente y a partir de el trazar una
paralela al eje Y
II. Colocar en el eje Y el valor correspondiente, luego trazar una paralela
al eje X
III. En el corte de estas dos paralelas subimos o bajamos al eje Z de
acuerdo al signo, trazamos en línea paralela al eje Z.
IV. Por último, ubicamos el punto sobre la línea trazada del eje Z.
Ejemplo 1
Graficar los siguientes puntos en el plano R3
P1= (3, 3,-2)
P2= (2, -5,3)
P3 = (-2, 5,4)
P4= (1, 6,0)
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Actividad 1.- Representa los puntos en un sistemas de coordenadas
tridimensionales
a) P= (5,3,8)
b) P= (10,12,4)
c) P= (-5,4,9)
d) P= (6,-7,1)
e) P= (8,9,-10)
f) P= (-9,-5,-10)
Actividad 2.- Ubicar los siguientes puntos en el grafico de coordenadas
1.2) Vectores en el espacio
Vectores: es un segmento de recta orientado si posee magnitud, dirección y
sentido. El sentido lo proporciona la punta de la flecha que contiene el vector, la dirección viene dada por la recta y la magnitud es su medida.
Modulo: se calcula mediante la siguiente expresión :
Donde: Xi, Yj, Zk, son componentes
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Componentes de un vector: existe una componente por cada eje y se
calcula con la resta de las coordenadas del punto de salida u origen. Para calcular los componente se expresa lo siguiente: Xcomp= X2 - X1
Ycomp= Y2 – Y1
Zcomp= Z2 - Z1 Vcomp= (Xcomp, Ycomp, Zcomp )
Representación grafica por componente
Fig1.- Representación de un vector 0P Fig 2.- Representación de un vector SR
Ejemplo 2 Graficar el siguiente vector CA z C C= (10, 9,10) A= (3,8.7) A y
x
Actividad 3.- Sean: B=(-5,-6,1) ; C= ( 10,9,10) ; D=( 10,9,10) Graficar: AB, BC, AC Hallar sus componentes
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2. Operaciones básicas de vectores en el espacio
Suma de vectores
a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)
Tenemos:
a+b= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
Resta de vectores
a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)
Tenemos:
a-b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)
Ejemplo3
1. Para a = (1, −2, 3) y b = (3, −1, 4), halla: a) a + b b) 2 a+ b c) –a + 3 b
a) a+b == (1, −2, 3) + (3, −1, 4) = (4, –3, 7)
b) 2 a+ b == 2 · (1, −2, 3) + (3, −1, 4) = (2 + 3, –4 – 1, 6 + 4) = (5, –5, 10).
c) –a + 3 b= – (1, −2, 3) + 3 · (3, −1, 4) = (–1 + 9, 2 – 3, –3 + 12) = (8, –1, 9)
Multiplicación de vectores
a) Multiplicación Escalar.
b) a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)
Tenemos:
a.b= (a1. b1, a2. b2, a3. b3)
Ejemplo4
Para a = (1, −2, 3) y b = (3, −1, 4), halla: a) a. b
a.b= (1.3, -2.-1, 3.4) = (3, 2, 12)
c) MULTIPLICACIÓN VECTORIAL
Hallar:
Tenemos:
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d) Combinación lineal.
Se dice que un vector es combinación lineal de otras cuando exista valores numéricas
que multiplicados por ello el resultado se suma algebraicamente y al final se obtenga el
vector inicial.
Sea los vectores a , b, c , d , expresa:
1. a combinación lineal de resto
a = X.b +Y.c +Zd
ejemplo 5
Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)
Expresa d como combinación lineal del resto.
d= X.a +Y.b +Z.c
(2,-3,3)=X(-1,2,1) +Y(3,2,-4) +Z(1,-1,1)
(2,-3,3)=(-X, 2X, X) +(3Y,2Y, -4Y) +(Z, -Z ,Z)
(2,-3,3)=( -X , 3Y, Z) +(2X, 2Y, -Z) + (X, -4Y, Z)
Tenemos las siguientes ecuaciones:
1) 2= -X +3Y Z
2) -3= 2X +2Y –Z
3) 3= X -4Y +Z
Tomamos ecuación 1 y 2
2= -X +3Y Z
-3= 2X +2Y –Z
-1=X +5Y
Trabajando con las ecuaciones 2 y 3
-3= 2X +2Y –Z
3= X -4Y +Z
0= 3X -2Y
Tenemos las dos ecuaciones resultantes
2 -1=X +5Y
5 0= 3X -2Y
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Nos queda
-5= 2X +10Y PARA HALLAR Y PARA OBTENER Z
0= 15X -10Y 0= 3X -2Y 2= -X +3Y +Z
-5= 17X 0= 3 (-17/5) -2Y 2= - (-17/5) +3 ( 51/10) + Z
X= -17/5 0= -51/5 -2Y 2= -17/5 + 153/10 +Z
51/5= - 2Y 2+17/5 – 153/10= Z
Y= 51/10 Z= -99/10
ACTIVIDAD 4.-
Sea a= ( -5, 4 ,7) b= ( 1, -3 , -5) c ( 4/3, -5/7 , 2/11)
Hallar:
1. a +b +c
2. 2c - 3a + 3/2 b
3. 3( c-a) +5b
4. bc – ab +cb
5. ac. bc
6. ax b
Actividad 5.
1. Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)
Expresa c como combinación lineal del resto.
2. Sea a=(-1,2,1) b= (3,2,-4) c= (1,-1,1) d= ( 2, -3, 3)
Expresa b como combinación lineal del resto.
Unidad de aprendizaje 2.-Operaciones básicas de matrices. Determinantes de
2do y 3er orden.
Matrices: son agrupaciones matemáticas en las cuales intervienen
elementos ordenados en filas y columnas .Se denotan con paréntesis de
tamaño adecuado al número de fila.
Ejemplo
A= a b c
1 2 3
Orden de una matriz: se refiere al dato ubicado en la parte inferior
derecha de la matriz en el cual se coloca el numero de filas por el numero
de columnas.
M = a b c
d e f fxc
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Cada elemento dentro de la matriz tiene una ubicación específica dada
por 2 subíndices que indican la fila y la columna.
Matriz cuadrada: es aquella que posee el mismo número de fila y
columna.
a b
A= c d 2x2
Operaciones básicas de matrices
a) Suma y resta de matrices: Para efectuar la suma y resta de matrices
es estrictamente necesario que posean el mismo orden. Una vez
verificado este se agruparan los términos que se correspondan en
posiciones similares efectuándose luego la operación.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Multiplicación de Matrices: es condición estricta que el numero de columnas
de la primera sea igual al número de filas de la segunda. La operación se
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efectuara sumando algebraicamente los productos de cada fila por cada
columna generando un elemento a su vez y así sucesivamente hasta terminar
con las columnas, luego se continua con la siguiente fila hasta concluir.
Ejemplo 3
Multiplicación escalar de matrices: se define la multipl icación de
un número real por una matriz.
Ejemplo 4
Determinante de 2do y 3er orden:
a) Determinante de 2do orden:
= a 11 a 2 2 - a 12 a 2 1
Ejemplo 5
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b) Determinante de 3er orden:
= a1 1 a2 2 a33 + a12 a23 a 3 1 + a1 3 a21 a3 2 - a 1 3 a2 2 a31 - a12 a21 a 3 3 - a1 1 a2 3 a32.
Ejemplo 6
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) ·
1 = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63
La regla de Sarrus : es una uti l idad para calcular determinantes de
orden3 . Los términos con signo + están formados por los elementos de
la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su
correspondiente vértice opuesto .
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Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal
secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente
correspondiente vértice opuesto .
Ejemplo 7
Actividad1
a) Calcula el valor del determinante de 3er orden
1. 2x -6x x/2 2. -5/3 4 10 3. 2√2 -8√2 √2/3
-8 1 3 6p 5p – 3 3-2p 5 -7 10
6 8 2 8 -7 -5 6 4 -7
b) Calcular el valor del determinante de 2do orden
1. 5 -3 2. -3/7 -9/11 3. 5x -6x
2a 11/4 -2/5 8/3 4/3 -7/4
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c) Sea
-3 -1 5 3 -5 4 -3 11
A= 8 2 4 B= 8 9 C = -3 8 6
1 0 7 -2 10 7 -12 5
3 -5/8
D= -1/2 4/3
-10 -9
Hallar
1) 5/2 A +4/3 C
2) C -A
3) D+B
4) A.B
5) 3C.B
6) B .C