snama2019.kamindo.org · barisan dan kekonvergenan bagaimana archimedes menentukan luas lingkaran?...

Dari Barisan Bilangan ke Barisan FungsiWorksop Pembelajaran Matematika SNAMA 2019 @UPH

Oki Neswan

FMIPA - ITB

6 September 2019

Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 1 / 47

Garis Besar

Barisan bilangan real

De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarakPerumumannya

Barisan fungsi real

Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifatPerumuman

Garis Besar

De�nisi: motivasi dan gagasan

Kekonvergenan: konsep jarakPerumumannya

Barisan fungsi real

Garis Besar

De�nisi: motivasi dan gagasanKekonvergenan: konsep jarak

Perumumannya

Barisan fungsi real

Garis Besar

Barisan fungsi real

Garis Besar

Barisan fungsi real

Garis Besar

Barisan fungsi real

Membangun kekonvergenan

Masalah invarian/pewarisan sifatPerumuman

Garis Besar

Barisan fungsi real

Membangun kekonvergenanMasalah invarian/pewarisan sifat

Perumuman

Garis Besar

Barisan fungsi real

Barisan dan Kekonvergenan

Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?

Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.Secara natural isu kekonvergenan muncul.

De�nitionDiberikan himpunan tak hampa X . Barisan pada X adalah fungsif : N !X . Notasi: f (n) = xn dan f = (xn) . Barisan (xn) dikatakankonvergen jika terdapat y 2 X sehingga untuk tiap ε > 0 terdapatNε 2 N dengan

n > Nε ) jxn � x j < ε.

Matematika memilah atau mengklasi�kasi agar kita lebih memahamiAda kontras antara barisan

� n+2n

�dan

�� 54

�n�.

Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.

Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.Secara natural isu kekonvergenan muncul.

n > Nε ) jxn � x j < ε.

� n+2n

�dan

�� 54

�n�.

Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.

Secara natural isu kekonvergenan muncul.

n > Nε ) jxn � x j < ε.

� n+2n

�dan

�� 54

�n�.

Bagaimana Archimedes menentukan luas lingkaran?Usaha Archimedes ini menghasilkan barisan bilangan yang konvergendan erat hubungannya dengan π.Barisan juga muncul ketika kita harus melakukanhampiran/aproksimasi, membangun suatu objek dengan spesi�kasitertentu.Secara natural isu kekonvergenan muncul.

n > Nε ) jxn � x j < ε.

� n+2n

�dan

�� 54

�n�.

n > Nε ) jxn � x j < ε.

Matematika memilah atau mengklasi�kasi agar kita lebih memahami

Ada kontras antara barisan� n+2n

�dan

�� 54

�n�.

n > Nε ) jxn � x j < ε.

� n+2n

�dan

�� 54

�n�.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 3 / 47

Kekonvergenan

Matematika: klasi�kasi: konvergen vs divergen

De�nition (Kekonvergenan)

Barisan bilangan real (xn) dikatakan konvergen ke x jika untuk tiap ε > 0ada N 2 N sehingga

n � N =) jxn � x j < ε.

Notasi: limn!∞ xn = x dan x disebut limit dari barisan. Barisan (xn)disebut konvergen jika terdapat bilangan real x sehingga limn!∞ xn = x .

Kekonvergenan

Matematika: klasi�kasi: konvergen vs divergen

De�nition (Kekonvergenan)

Barisan bilangan real (xn) dikatakan konvergen ke x jika untuk tiap ε > 0ada N 2 N sehingga

n � N =) jxn � x j < ε.

Notasi: limn!∞ xn = x dan x disebut limit dari barisan. Barisan (xn)disebut konvergen jika terdapat bilangan real x sehingga limn!∞ xn = x .

De�nisi kekonvergenan melibatkan limit:

Membuktikan limit tetapi sudah tahu limitnya atau calon limitSulit bila kita tidak memiliki gambaran mengenai calon limit.

Diperlukan kriteria kekonvergenan yang tidak melibatkan limit

Membuktikan limit tetapi sudah tahu limitnya atau calon limit

Sulit bila kita tidak memiliki gambaran mengenai calon limit.

Kriteria Cauchy

De�nition

Barisan (xn) disebut barisan Cauchy jika memenuhi syarat jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga

n,m � N =) jxn � xm j < ε.

Syarat ini disebut kriteria Cauchy.

Theorem

Barisan bilangan real (xn) konvergen jikka (xn) barisan Cauchy.

Kriteria Cauchy memungkinkan kita untuk menguji kekonvergenantanpa harus mengetahui limitnyaPerhatikan bahwa pada kriteria Cauchy, jxn � xm j < ε untuk tiapn,m � N.

Bedakan dengan jxn � xn+k j < ε untuk tiap n � N ataulimn!∞ jxn � xn+k j = 0.

Kriteria Cauchy

De�nition

n,m � N =) jxn � xm j < ε.

Theorem

Kriteria Cauchy

De�nition

n,m � N =) jxn � xm j < ε.

Theorem

Kriteria Cauchy memungkinkan kita untuk menguji kekonvergenantanpa harus mengetahui limitnya

Perhatikan bahwa pada kriteria Cauchy, jxn � xm j < ε untuk tiapn,m � N.

Kriteria Cauchy

De�nition

n,m � N =) jxn � xm j < ε.

Theorem

Kriteria Cauchy

De�nition

n,m � N =) jxn � xm j < ε.

Theorem

Bedakan dengan jxn � xn+k j < ε untuk tiap n � N ataulimn!∞ jxn � xn+k j = 0.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 6 / 47

Kekonvergenan pada Ruang Metrik

Konvergen () jarak

ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat

ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .

De�nition (Kekonvergenan dalam metrik)

Barisan bilangan (xn) di X dikatakan konvergen ke x jika untuk tiapε > 0 ada N 2 N sehingga

n � N =) ρ (xn, x) < ε.

U � X disebut buka jika untuk tiap x 2 U ada ε > 0 sehinggaBx ,ε � U. Bx ,ε = fy : ρ (x , y) < εg .

Konvergen () jarak

ja� bj dapat dipandang sebagai jarak antara a dan b.

(X , ρ) disebut ruang metrik jika ρ : X � X ! R bersifat

n � N =) ρ (xn, x) < ε.

Konvergen () jarak

n � N =) ρ (xn, x) < ε.

Konvergen () jarak

ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .

ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .

n � N =) ρ (xn, x) < ε.

Konvergen () jarak

ρ (x , y) � 0 tiap x 2 X . ρ (x , y) = 0 jikka x = y .ρ (x , y) = ρ (y , x) , tiap x , y 2 X .

ρ (x , y) � ρ (x , z) + ρ (z , y) , tiap x , y , z 2 X .

n � N =) ρ (xn, x) < ε.

Konvergen () jarak

n � N =) ρ (xn, x) < ε.

Konvergen () jarak

n � N =) ρ (xn, x) < ε.

Konvergen () jarak

n � N =) ρ (xn, x) < ε.

Beberapa metrik

ρ (x , y) = jx � y j

ρ (~x ,~y) =q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2

ρ (~x ,~y) = max fjx1 � y1j , � � � , jxn � yn jgρ̄ (~x ,~y) = min fρ (~x ,~y) , 1g

Beberapa metrik

ρ (x , y) = jx � y j

ρ (~x ,~y) =q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2

Beberapa metrik

ρ (x , y) = jx � y j

ρ (~x ,~y) =q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2

ρ (~x ,~y) = max fjx1 � y1j , � � � , jxn � yn jg

ρ̄ (~x ,~y) = min fρ (~x ,~y) , 1g

Beberapa metrik

ρ (x , y) = jx � y j

ρ (~x ,~y) =q(x1 � y1)2 + � � �+ (xn � yn)2

Kekonvergenan pada Ruang Topologi

Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.

(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika

f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .

Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N

sehinggan � N =) xn 2 U.

Metrizable.

Topologi adalah gemetri yang lebih �plastis�, memberikan gagasanlebih mendasar yang membangun kekontinuan dan limit dan padaakhirnya �kedekatan�.(X , T ) dengan T koleksi himpunan-himpunan bagian dari X , disebutruang topologi jika

Metrizable.

f∅,Xg � T .

Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .

Metrizable.

f∅,Xg � T .Untuk tiap U,V 2 T , U \ V 2 T .

Untuk tiap T 0 � T berlaku [T 0U 2 T .Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N

Metrizable.

Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .

Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikgBarisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N

Metrizable.

Himpunan U � X disebut himpunan buka jika U 2 T .Ruang metrik juga ruang topologi denganT = fU : U buka dalam ruang metrikg

Barisan bilangan (xn) pada ruang topologi (X , T ) dikatakankonvergen ke x jika untuk tiap U 2 T yang memuat x ada N 2 N

Metrizable.

Metrizable.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 9 / 47

Kuratowski Closure Axioms

Lebih kentara tema limit dan kedekatannya.

Diberikan himpunan X dan P (X ) himpunan kuasa X . Operatortutupan (closure) adalah operator c : P (X )! P (X ) sehingga

c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .

Himpunan tutup adalah himpunan A sehingga c (A) = A. HimpunanA disebut buka jika A adalah komplemen dari suatu himpunan tutup.

c (∅) = ∅

Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .

c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .

Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .

c (∅) = ∅Untuk tiap A � X ,A � c (A) .Untuk tiap A � X , c (c (A)) = A.

Untuk tiap A,B � X , c (A[ B) = c (A) [ c (B) .

Basis dan Subbasis

De�nition

Misalkan (X , T ) adalah ruang topologi. Basis bagi topologi atas X adalahkoleksi B subset dari X , disebut elemen basis sehingga

1 Untuk tiap x , terdapat B 2 B yang memuat x .2 Jika x 2 B1 \ B2,B1 2 B,B2 2 B, maka terdapat B3 2 B sehinggax 2 B3 � B1 \ B2.

3 A � X buka dalam topologi yang dibangkitkan B jika dan hanya jikauntuk tiap x 2 A terdapat B 2 B sehingga x 2 B � A.

Subbasis bagi suatu topologi dari X adalah koleksi himpunan bagianX yang gabungannya adalah X .

Topologi yang dibangkitkan oleh subbasis S adalah T yangmerupakan koleksi semua gabungan dari irisan-irisan hingga darianggota S .

Barisan Fungsi: De�nisi

Pada barisan fungsi disepakati bahwa fungsi-fungsi dari X ! Y .Y X = ff : f : X ! Y g .

De�nition

Barisan fungsi adalah fungsi F :N ! Y X . Notasi: F (n) = fn.

F = (fn) = ffngn�n0 = ffn0 , fn0+1, fn0+2, . . .g

dengan fn adalah fungsi.

Disini hanya akan dibicarakan fungsi-fungsi real yang terde�nisi padahimpunan bagian dari R,

f 2 AR,A � R.

Konsep barisan fungsi menyelinap dalam mata kuliah kalkulusmaupun pendahuluan analisis real dalam nama deret pangkat.

Kekonvergenan dan Limit

Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.

Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.

Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.

Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.

Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.

Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.

Fokus kita adalah mengembangkan konsep kekonvergenan sebagaititik tolak dari segalanya dalam teori barisan fungsi.Kekonvergenan adalah tentang kelakuan akhir (end behavior)sehingga kita tidak terlalu mementingkan fungsi-fungsi awal.Kita mulai dari gra�knya dan hal yang menjadi dasar yaitu barisanbilangan real.

Paling natural untuk tiap x̂ 2 X , terbentuk barisan bilangan real(fn (x̂)) dan kita bisa bertanya apakah barisan (fn (x̂)) konvergen atautidak.

Mungkin ada x̂ sehingga (fn (x̂)) konvergen dan ada x̂ lain dengan(fn (x̂)) divergen. Himpun semua x̂ dengan (fn (x̂)) konvergen,terbentuk daerah kekonvergenan.

Barisan fungsi (fn) membangkitkan banyak barisan. Tiap x padadomain bersama ffng , diperoleh barisan bilangan real (fn (x)) .

Teori barisan fungsi jauh lebih kaya dibandingkan teori barisanbilanang real.

Kekonvergenan Barisan Fungsi

Telah disebutkan sebelumnya kita akan menggunakan gagasankekonvergenan barisan bilangan real konvergen ke suatu bilanganuntuk membangun suatu pengertian kekonvegenan barisan fungsi kesuatu fungsi.

Berikut adalah plot dari barisan�n sin xn

�, untuk n = 1..10 bersama

garis y = x . Tampak gra�k mendekati garis y = x walau tidakserentak.

Telah disebutkan sebelumnya kita akan menggunakan gagasankekonvergenan barisan bilangan real konvergen ke suatu bilanganuntuk membangun suatu pengertian kekonvegenan barisan fungsi kesuatu fungsi.

Tapi ini memberi cukup alasan untuk mengatakan bahwa barisan�n sin xn

�konvergen ke y = x .

garis y = x . Tampak gra�k mendekati garis y = x walau tidakserentak.Tapi ini memberi cukup alasan untuk mengatakan bahwa barisan�n sin xn

�konvergen ke y = x .

Kekonvergenan Per Titik

De�nition

Barisan fungsi (fn) disebut konvergen per titik pada D ke fungsif : D ! R jika untuk tiap x 2 D,

limn!∞

fn (x) = f (x) .

Fungsi f disebut limit dari (fn) pada D.

De�nition

Himpunan D disebut daerah kekonvergenan (fn) jika

D = fx : (fn (x)) adalah barisan konvergeng

Karena fokus kita adalah fungsi, kita ingin berbicara pada level fungsisebagai objek abstrak, maka kita menggunakan notasi yang tidakmerujuk pada titik.

f = limn!∞

Misalkan D : daerah kekonvegenan (fn) . Kadang-kadang kita inginmembicarakan limit pada subset M dari D. Notasi adalah

(fn) konvergen ke f pada M atau fn konvergen ke f pada M atau fn ! f pada M.

Karena fokus kita adalah fungsi, kita ingin berbicara pada level fungsisebagai objek abstrak, maka kita menggunakan notasi yang tidakmerujuk pada titik.

f = limn!∞

Misalkan D : daerah kekonvegenan (fn) . Kadang-kadang kita inginmembicarakan limit pada subset M dari D. Notasi adalah

(fn) konvergen ke f pada M atau fn konvergen ke f pada M atau fn ! f pada M.

Example (Barisan Geometri )

fn : R ! R dengan fn (x) = xn untuk tiap n 2 N. Barisan fungsi (fn)konvergen pada selang (�1, 1].

f (x) =�0, jika jx j < 11, jika x = 1

Example

fn : R ! R dengan fn (x) = x1n untuk tiap n 2 N. Barisan fungsi (fn)

konvergen pada selang [0,∞) pada fungsi

f (x) =�0, jika x = 01, jika x > 1

Sifat-sifat Kekonvergenan

Theorem (Sifat-sifat Kekonvergenan)

Misalkan (fn)! f pada M dan (gn)! g pada N dan a 2 R.

1 (afn)! af pada M \N.

2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .

Adanya sifat-sifat barisan bilangan yang diwariskan memberi sinyalbaiknya konsep kekonvergenan per titik ini. Apakah cukup baik?

1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.

3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .

1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.

4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .

1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.

5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .

1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .

6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .

1 (afn)! af pada M \N.2 (fn + gn)! f + g pada M \N.3 (fn � gn)! f � g pada M \N.4 (fn � gn)! f � g pada M \N.5 (fn/gn)! f /g pada M \N n fx : g (x) = 0g .6 (f gnn )! f g pada M \N \ fx : f (x) > 0g .

Komposisi

Kita menginginkan: Jika fn ! f pada M dan gn ! g pada N dengangn : M ! N tiap n 2 N, maka fn (gn)! f (g) pada M.

Misalkan fn (x) = arctan (nx) dan gn (x) = xn .

fn ! f dengan f (x) =

8<:�π2 , jika x < 0

0, jika x = 0π2 , jika x > 0

fn ! g dengan g (x) = 0

Tetapifn (gn (x)) = arctan (x) dan f (g (x)) = 0.

Theorem

1 Jika fn ! f pada M dan g : N ! M, maka fn (g)! f (g) pada N.

2 Jika fn ! f pada M dan g : M ! N, maka g (fn)! g (f ) pada N

Komposisi

Kita menginginkan: Jika fn ! f pada M dan gn ! g pada N dengangn : M ! N tiap n 2 N, maka fn (gn)! f (g) pada M.Misalkan fn (x) = arctan (nx) dan gn (x) = x

8<:�π2 , jika x < 0

0, jika x = 0π2 , jika x > 0

Theorem

Komposisi

8<:�π2 , jika x < 0

0, jika x = 0π2 , jika x > 0

Theorem

Komposisi

8<:�π2 , jika x < 0

0, jika x = 0π2 , jika x > 0

Theorem

Komposisi

8<:�π2 , jika x < 0

0, jika x = 0π2 , jika x > 0

Theorem

Komposisi

8<:�π2 , jika x < 0

0, jika x = 0π2 , jika x > 0

Theorem

Preservasi

Theorem

Diberikan (fn)! f pada M.

1 Jika fn genap [ganjil] untuk tiap n, maka f genap [ganjil]

2 Jika fn periodik dengan perioda p untuk tiap n, maka f periodikdengan perioda p

3 Jika fn monoton tak turun [naik] untuk tiap n, maka f monoton takturun [naik].

Sifat-sifat berikut tidak diawetkan: injektif, kontinu, monoton naik[turun], terturunkan, terintegral, terbatas.Lihat kembali barisan

�arctan

� xn

��, tiap n 2 N, arctan

� xn

�adalah

monoton naik, injektif, kontinu, mempunyai turunan, terintegral danmempunyai antiturunan pada R.

Untuk tiap n, fungsi fn (x) =� p

x , 0 � x < npn, x � n terbatas.tetapi

fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.

Preservasi

Theorem

1 Jika fn genap [ganjil] untuk tiap n, maka f genap [ganjil]2 Jika fn periodik dengan perioda p untuk tiap n, maka f periodikdengan perioda p

�arctan

� xn

�adalah

Preservasi

Theorem

�arctan

� xn

�adalah

Preservasi

Theorem

Sifat-sifat berikut tidak diawetkan: injektif, kontinu, monoton naik[turun], terturunkan, terintegral, terbatas.

Lihat kembali barisan�arctan

� xn

�adalah

Preservasi

Theorem

�arctan

� xn

�adalah

Preservasi

Theorem

�arctan

� xn

�adalah

fn !px pada [0,∞) yang tak terbatas.Oki Neswan (FMIPA - ITB) Dari Barisan Bilangan ke Barisan Fungsi 6 September 2019 22 / 47

� xn

�adalah

Kekonvergenan per titik �gagal�mengawetkan berbagai sifat penting.

Jika kita ingin membangun sebuah fungsi dengan sifat P, akan sangatbaik jika dibangun melalui barisan fungsi-fungsi sederhana dengansifat P dan diketahui bahwa sifat P diawetkan.

� xn

�adalah

� xn

�adalah

� xn

�adalah

Kekontinuan

Diberikan barisan fungsi kontinu (fn) yang konvergen ke f pada D

Misalkan a adalah titik dalam dari D.Dari kriteria kekontinuan via barisan, kita ketahui bahwa f kontinu di ajika nilai f di a sama dengan limitnya di a.

limx!a

f (x) = f (a), limx!a

�limn!∞

fn (x)�= limn!∞

fn (a)

, limx!a

�limn!∞

fn (x)�= limn!∞

�limx!a

fn (x)�

kesamaan terakhir karena fn kontinu.Pertukaran limit ekivalen dengan kekontinuan

Kekontinuan

Misalkan a adalah titik dalam dari D.

Dari kriteria kekontinuan via barisan, kita ketahui bahwa f kontinu di ajika nilai f di a sama dengan limitnya di a.

limx!a

�limn!∞

fn (x)�= limn!∞

fn (a)

, limx!a

�limn!∞

fn (x)�= limn!∞

�limx!a

fn (x)�

Kekontinuan

limx!a

�limn!∞

fn (x)�= limn!∞

fn (a)

, limx!a

�limn!∞

fn (x)�= limn!∞

�limx!a

fn (x)�

kesamaan terakhir karena fn kontinu.

Pertukaran limit ekivalen dengan kekontinuan

Kekontinuan

limx!a

�limn!∞

fn (x)�= limn!∞

fn (a)

, limx!a

�limn!∞

fn (x)�= limn!∞

�limx!a

fn (x)�

Pada contoh sebelumnya,

limx!0+ arctan (kx) = 0) limk!∞ limx!0+ arctan (kx) =limk!∞ 0 = 0.jika x > 0, mana limk!∞ arctan (kx) =

limx!0+ limk!∞ arctan (kx) = limx!0+π2 =

limx!0+ arctan (kx) = 0) limk!∞ limx!0+ arctan (kx) =limk!∞ 0 = 0.

jika x > 0, mana limk!∞ arctan (kx) =π2 )

limx!0+ arctan (kx) = 0) limk!∞ limx!0+ arctan (kx) =limk!∞ 0 = 0.jika x > 0, mana limk!∞ arctan (kx) =

Keterturunan

Kita memimpikan tidak hanya limit f terturunkan, tetapi juga f 0

dapat diperoleh dari limit turunan dari fn.

bahwa jika fn ! f dan fn mempunyai turunan, maka f juga punyaturunan dan f 0n ! f 0.Jadi kita pinya opsi: 1. menentukan limit dan menghitung turunannyaatau sebaliknya

f 0 = limn!∞

f 0n ,�limn!∞

fn�0= limn!∞

Pada contoh fn (x) = arctan (nx) , limit tidak terturunkan.

Example

Misalkan fn (x) =sin(n2x)

n , n 2 N. Jelas, fn ! 0. Tetapif 0n (x) = �n sin

�n2x

�9 f 0 = 0

Keterturunan

dapat diperoleh dari limit turunan dari fn.bahwa jika fn ! f dan fn mempunyai turunan, maka f juga punyaturunan dan f 0n ! f 0.

Jadi kita pinya opsi: 1. menentukan limit dan menghitung turunannyaatau sebaliknya

f 0 = limn!∞

f 0n ,�limn!∞

fn�0= limn!∞

Example

�n2x

�9 f 0 = 0

Keterturunan

dapat diperoleh dari limit turunan dari fn.bahwa jika fn ! f dan fn mempunyai turunan, maka f juga punyaturunan dan f 0n ! f 0.Jadi kita pinya opsi: 1. menentukan limit dan menghitung turunannyaatau sebaliknya

f 0 = limn!∞

f 0n ,�limn!∞

fn�0= limn!∞

Example

�n2x

�9 f 0 = 0

Keterturunan

f 0 = limn!∞

f 0n ,�limn!∞

fn�0= limn!∞

Example

�n2x

�9 f 0 = 0

Keterturunan

f 0 = limn!∞

f 0n ,�limn!∞

fn�0= limn!∞

Example

�n2x

�9 f 0 = 0

Pada contoh berikut, limit mempunyai turunan, sekalipun limit dari fntidak memiliki turunan.

Example

�n2x

�9 f 0 = 0

Keterintegralan

Situasi serupa juga muncul dalam hal keterintegralan. Kitamenginginkan untuk tiap [a, b] � MZ b

af (x) dx = lim

afn (x) dx ()

alimn!∞

fn (x) dx = limn!∞

afn (x) dx

atauZ x

af (t) dt = lim

afn (t) dt ()

alimn!∞

fn (t) dt = limn!∞

afn (t) dt

Sekalipun fn terintegral dan fn ! f pada M, tidak dijamin bahwaantiturunan Fn konvergen ke F .

Example

Misalkan fn : [0,∞)! R dengan

fn (x) =

8<:n2x , jika 0 � x � 1

n�n2x + 2n, jika 1

n < x <2n

0, jika x � 2n

Jelas fn ! f = 0 tetapiR ∞0 fn (x) dx = 1.

Kekonvergenan Seragam

Pada contoh pertama dan kedua, ada fenomena yang berulang.

Pada contoh pertama, limit kehilangan kekontinuan di x = 1 dan adaperbedaan laju kekonvergenan. Untuk jx j < 1, makin dekat x ke 1,laju ke 0 makin lambat.Pada contoh kedua, limit kehilangan keterturunan di x = 0, makinlambat fn menuju limitnya.

Maka kita perlu memperbaiki �cacat�ini.

De�nition

Diberikan barisan fungsi (fn) yang semua terde�nisi pada M. Barisan (fn)disebut konvergen seragam ke f pada M jikka untuk tiap ε > 0,terdapat Nsehingga

n � N dan x 2 M =) jfn (x)� f (x)j < ε.

Notasi: fn � f .

Beberapa Fakta

TheoremJika fn � f pada M, maka f ! f pada M.

Jadi kekonvergenan seragam lebih kuat dari pada kekonvergenan pertitik

Theorem

fn � f pada M jikka limn!∞ sup jfn (x)� f (x)j = 0 untuk tiap x 2 M.

Theorem

Jika terdapat barisan bilangan real (αn) konvergen ke 0 dan

jfn (x)� f (x)j < αn, tiap n 2 N, x 2 M,

maka fn � f .

Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit.

Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari. Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen. Abel (1826) memberi contoh penyangkal.Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.

Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit. Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari.

Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen. Abel (1826) memberi contoh penyangkal.Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.

Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit. Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari. Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen.

Abel (1826) memberi contoh penyangkal.Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.

Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit. Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari. Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen. Abel (1826) memberi contoh penyangkal.

Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.

Kekonvergenan seragam memainkan peranan penting dalam analisis,khususnya mengenai pertanyaan sekitar pertukaran proses limit. Tapihubungan ini baru mulai awal abad ke 19 disadari. Cauchy (1823) yakinbahwa deret fungsi kontinu yang konvergen dapat diintegralkan suku demisuku. Cauchy juga yakin bahwa deret fungsi kontinu yang konvergen,jumlahnya juga konvergen. Abel (1826) memberi contoh penyangkal.Weierstrass yang pertama kali pentingnya kekonvergenan seragam.

Latihan

Selidiki kekonvergenan barisan fungsi

1�ex4 + 1

n sin (nx)�

2 (nxe�nx )3�sin� xn

��4� x n1+x n

Bukti bahwa kekonvergenan seragam jauh labih kuat darikekonvergenan per titik:

TheoremDiberikan fn � f pada M dan gn � g pada N. Jika gn : N ! M tiap N,maka (fn � gn)� f � g pada N.

Dalam hal kekontinuan, keterturunan, dan keterintegralan,

Theorem

Diberikan barisan fungsi (fn) dan fungsi f .

1 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka f juga kontinu pada M.

2 Jika fn kontinu pada M dan fn � f pada M, maka untuk tiap [a, b] � M,berlaku Z b

af (x) dx = lim

Z bafn (x) dx .

3 Jika fn terturunkan pada M dan f 0n � g pada M, maka f terturunkan danf 0 = g . Selain itu fn � f pada M.

Theorem

af (x) dx = lim

Z bafn (x) dx .

Theorem

af (x) dx = lim

Z bafn (x) dx .

Theorem

af (x) dx = lim

Z bafn (x) dx .

Theorem

af (x) dx = lim

Z bafn (x) dx .

Theorem

af (x) dx = lim

Z bafn (x) dx .

Theorem

af (x) dx = lim

Z bafn (x) dx .

Pada bagian 3, fn � f tidak cukup. Lihat kembali contoh barisan

fungsi�sin(n2x)

�Bukti 2.Misalkan ε > 0. Terdapat N 2 N sehinggan � N, x 2 [a, b] =) jfn (x)� f (x)j < ε

b�a .��Z b

afn (x) dx �

af (x) dx

�� = ��Z b

a(fn (x)� f (x)) dx

��<

��Z b

b� adx�� = ε.

Theorem

Diberikan (fn) kontinu pada M dan fn � f pada M. Pilih a 2 M tetap.Untuk tiap x 2 M sehingga [a, x ] � M de�nisikan

Fn (x) =Z x

afn (t) dt dan F (x) =

af (t) dt.

Maka Fn � F pada M.

Kekonvergenan Cauchy

Konvergen Cauchy per titik (pointwise) dan konvergen Cauchyseragam

De�nitions

Misalkan (fn) adalah barisan fungsi.

1 (fn) disebut konvergen Cauchy per titik pada M jika untuk tiap ε > 0 dantiap x 2 M, terdapat Nx 2 N sehingga