baustatik ii kolloquium 2, lösung...2020/03/06 · ki ki ki ik ik ik i ik k ik ik ik ki ki ki k ki...
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 1/13
Prof. Dr. Eleni Chatzi Professur für Strukturmechanik
Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG
BAUSTATIK II − KOLLOQUIUM 2, Lösung
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Thema: Verformungsmethode Vorzeichenkonvention:
Aufgabe 1, Lösung
Gegeben: System ( , , )l EI k und Einwirkung iM
Gesucht.: - Stab- und Kreuzsteifigkeiten allgemein
- Schnittkraftlinien infolge der Einwirkung iM für 1k = 4n = Verformungen qualitativ infolge iM : Momente qualitativ infolge iM : Das System ist 4-fach statisch unbestimmt. Mit der Kraftmethode müssten somit 4 ÜG eingeführt werden.
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 2/13
Prof. Dr. Eleni Chatzi Professur für Strukturmechanik
Institut für Baustatik und Konstruktion D-BAUG
Da das System unverschieblich ist (es braucht keine Festhaltekraft, um eine Verschiebung zu verhindern), ergibt sich mit der Verformungsmethode nur ein einziger unbekannter Knotendrehwinkel iϕ System unverschieblich → Stabdrehwinkel 0ψ = → Unbekannte: Knotendrehwinkel iϕ 1. Festeinspannmomente Da auf die Stäbe keine Lasten wirken und auch keine Verformungen aufgezwungen werden, gibt es keine Festeinspannmomente. 2. Stab- und Kreuzsteifigkeiten Stabsteifigkeiten ( 1)ik ik is M= ϕ = Kreuzsteifigkeiten ( 1)ik ik kt M= ϕ = Stab i – 1: 1n = - Stabsteifigkeit i1s : →
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 3/13
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Lösung mit Kraftmethode: GS und ÜG:
i i( 1) :M X =
i i ii i0
ii
2
i i1ii
2
1i i1 1i
1 ( 0)
1 1 1 113
23 31 1 3
23
0
f
f
f
X
l cEI l l
cl lEI EIl
EIX sc lLEI l
s t t
ϕ = ⋅ϕ = ϕ =
ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= + =
= = = =ϕ
+
= = =
Stab i – 2: 1n = - Stabsteifigkeit i2s , Kreuzsteifigkeit 2it : → GS und ÜG:
i i( 1) :M X =
i i ii
ii
i i2 2i i2 2iii
1
1 12 13 2 3
1 3
X
l lEI EI
EIX s t t sl
ϕ = ⋅ϕ =
ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= = = = = =ϕ
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 4/13
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Stab i – 3: 0n = → statisch bestimmt - Stabsteifigkeit i3s : i3 0s = Stab i – 4: 2n = - Stabsteifigkeit i4s , Kreuzsteifigkeit 4it : → GS und ÜG:
i i( 1) :M X =
4 4( 1) :M X =
i ii 4 i4
4 i 4i 4 44
ii
44
i4
10
1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 26 2 2 2 2 3 2 2 2
724 24
724 24
1 1 1 1 1 11 2 2 16 2 2 2 6 2 2 2
1
iX XX X
l lEI kEI
l lEI kEIl lEI kEI
l lEI kEI
l
ϕ = ⋅ϕ + ⋅ϕ =
ϕ = ⋅ϕ + ⋅ϕ =
ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= +
ϕ = +
ϕ = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
= −
i 4
i 4
2 12
7 124 24 12 12
7 012 12 24 24
lEI kEI
l l l lX XEI kEI EI kEIl l l lX XEI kEI EI kEI
+
+ ⋅ − + ⋅ = − + ⋅ + + ⋅ =
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 5/13
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( )
( )
4 4i i4 2
i i4 2
11614 1
7814 1
k kEIX t tl k k
k kEIX sl k k
⋅ += = = ⋅
+ +
⋅ += = ⋅
+ +
- Stabsteifigkeit 4is , Kreuzsteifigkeit i4t :
( )
( )
i i ii 4 i4
4 i 4i 4 44
4i 2
i4 4i 2
01
7 1814 1
11614 1
X XX X
k kEIsl k k
k kEIt tl k k
ϕ = ⋅ϕ + ⋅ϕ =ϕ = ⋅ϕ + ⋅ϕ =
⋅ +→ = ⋅
+ +
⋅ += = ⋅
+ +
Stab- und Kreuzsteifigkeiten in Abhängigkeit von k:
0k = 0.5k = 1k = 2k = 10k = k = ∞
i4EIsl
( )
28 7
14 1
k k
k k
⋅ +
+ + 0 3.64 4 4.36 5.64 8
4iEIsl
( )
28 7 1
14 1
k k
k k
⋅ +
+ + 0 2.18 4 7.27 23.57 56
i4 4iEIt tl
= ( )
216 1
14 1
k k
k k
⋅ +
+ + 0 1.45 2 2.91 7.30 16
3. Stabendmomente
( )( )
0
0ik ik ik i ik k ik ik ik
ki ki ki k ki i ki ki ki
M M s t s t
M M s t s t
= + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ψ
= + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ψ
i1 1 i i
i2 2 i i
2i 2i i i
i3 3i
i4 i4 i i
4i 4i i i
323
3
04 (für 1)
2 (für 1)
i
i
EIM slEIM sl
EIM tl
M MEIM s klEIM t kl
= ⋅ϕ = ⋅ϕ
= ⋅ϕ = ⋅ϕ
= ⋅ϕ = ⋅ϕ
= =
= ⋅ϕ = ⋅ϕ =
= ⋅ϕ = ⋅ϕ =
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 6/13
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4. Knotengleichgewicht
4
i i i1 i2 i3 i4 i1
0kk
M M M M M M M=
− = → + + + =∑
4i i i i i i
1
i i
3 3 4 172 2
217
kk
EI EI EI EIM Ml l l l
l MEI
== = ⋅ϕ + ⋅ϕ + ⋅ϕ = ⋅ϕ∑
→ ϕ = ⋅
5. Endgültige Stabendmomente
i1 i i
i2 i i
2i i i
i3 3i
i4 i i
4i i i
i i
3 2 32 17 17
3 2 617 17
3 2 617 17
0
4 2 817 17
2 2 417 17
Kontrolle: i.O.k
EI lM M Ml EI
EI lM M Ml EI
EI lM M Ml EI
M M
EI lM M Ml EI
EI lM M Ml EI
M M
= ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
= =
= ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
Σ =
6. Schnittkraftlinien M: Merke:
Momentenpfeil des Stabendmomentes (Vorzeichen der Verformungsmethode beachten!) dreht ums Stabende und „greift“ in der M-„Fläche“ an Beispiel:
Beim Bezeichnen der M-Flächen allgemeine Konvention verwenden.
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 7/13
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V: Zeichnung nach Berechnung nach allg. Konvention: +V ↑ ↓ Konvention Verformungsmethode: +V ↓ ↑
( )
i1 1
i1 ii1
i1i i1
i2 i2 2i
i2 2i ii2
i2i i2
i4 i4 4i
i4 4i ii4
i4i i4
0317
317
01217
1217
0
1217
1217
iV l MM MV
l l
MV Vl
V l M MM M MV
l l
MV Vl
V l M MM M MV
l l
MV Vl
⋅ + =
= − = −
= = −
⋅ + + =
+ = − = −
= = −
⋅ + + =
+= − = −
= = −
N: Berechnung von N mit der Konvention Verformungsmethode für +V ↓ ↑
i1 i3
ii4 i2 i4 i2
i2 i3 i1 i4
i ii2 i3
ii2 i3
0 ; 012017
03 12 017 179 statisch unbestimmt17
N VMN V N Vl
N N V VM MN N
l lMN N
l
= =
− = → = = −
− − + =
− + − =
− = →
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 8/13
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Lösung mit Kraftmethode (EA = konstant):
i i30
33
30 i3 30 3 33 3
33
i ii3 i2
9 9( 1)17 17
2 2( 1) ( 1)
9034
9 9;34 34
M Mll EA EA
l lEA EA
MX Xl
M MN Nl l
δ = − ⋅ ⋅ = −
δ = − ⋅ − ⋅ =
δδ = δ + ⋅δ = → = − =
δ
→ = − =
Aufgabe 2, Lösung
Gegeben: System ( , konstant)l EI = und Einwirkungen q und Q ql=
Gesucht: Schnittkraftlinien 3n =
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 9/13
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Verformungen qualitativ infolge q und Q: Momente qualitativ infolge q und Q: Das System ist 3-fach statisch unbestimmt. Da es unverschieblich ist (es braucht keine Festhaltekraft, um eine Verschiebung zu verhindern), ergibt sich mit der Verformungsmethode nur ein einziger unbekannter Knotendrehwinkel 2ϕ System unverschieblich → Stabdrehwinkel 0ψ = → Unbekannte: Knotendrehwinkel 2ϕ 1. Kondition «0» - Festeinspannmomente Stab 1-2:
012
2021
0
8
M
qlM
=
= −
Stab 2-3: keine Einwirkung → 0 0
23 32 0M M= =
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 10/13
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Stab 2-4:
2024
2042
8 8
8 8
Ql qlM
Ql qlM
= − = −
= =
2. Kondition «φ» - Stab- und Kreuzsteifigkeiten
Stab 1-2:
21 12 21 123 0EIs t t s
l= = = =
Stab 2-3:
23 23 32 323 0EIs t t s
l= = = =
Stab 2-4:
24 24
42 42
4 2
4 2
EI EIs tl l
EI EIs tl l
= =
= =
Momentpaar
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 11/13
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3. Stabendmomente
( )( )
0
0
0
0
ik ik ik
ki ki ki
ik ik ik i ik k ik ik ik
ki ki ki k ki i ki ki ki
M M M
M M M
M M s t s t
M M s t s t
ϕ
ϕ
= +
= +
= + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ψ
= + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ψ
12
221 2
23 2
322
24 2
242 2
0
3830
0
48
28
M
ql EIMl
EIMl
M
ql EIMl
ql EIMl
=
= − + ⋅ϕ
= + ⋅ϕ
=
= − + ⋅ϕ
= + ⋅ϕ
4. Knotengleichgewicht 2 21 23 240 0kM M M MΣ = → + + =
2 22 2 2 2
22
32
3 3 4 08 8
10 04
40
kql EI EI ql EIM
l l lql EI
lql
EI
Σ = − + ⋅ϕ + ⋅ϕ − + ⋅ϕ =
→ − + ⋅ϕ =
→ϕ =
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5. Endgültige Stabendmomente
122 2 2
21
223
322 2 2
24
2 2 242
2
0
3 28 40 40
340
0
48 40 40
2 78 40 40
Kontrolle: 0 i.O.k
M
ql ql qlM
qlM
M
ql ql qlM
ql ql qlM
M
=
= − + = −
=
=
= − + = −
= + =
Σ =
6. Schnittkraftlinien M:
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Kolloquium 2, Musterlösung Seite 13/13
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V: Zeichnung nach Berechnung nach allg. Konvention: +V ↑ ↓ Konvention Verformungsmethode: +V ↓ ↑
221 21
2121
12 21
02
222 40
1840
qlV l M
Mql qlVL
qlV V ql
⋅ − + =
= − =
= − = −
23 23
2323
32 23
0340
340
V l MM qlV
l
qlV V
⋅ + =
= − = −
= = −
( )24 24 42
24 4224
42 24
02
142 40
2640
lV l ql M M
M Mql qlVl
qlV V ql
⋅ − ⋅ + + =
+= − =
= − = −
N: Berechnung von N mit der Konvention Verformungsmethode für +V ↓ ↑
21
24 21 23 24
23 24 23
025040
14040
NqlN V V N
qlN V N
=
+ − = → = −
+ = → = −
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