bilangan kompleks dan pernyataan sinyal simus sudaryatno sudirham: bilangan kompleksdan fasor...
Post on 08-May-2018
240 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Bilangan Kompleks
dan Pernyataan Sinyal Simus
oleh: Sudaryatno Sudirham
1. Bilangan Kompleks
1.1. Definisi
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan
kompleks sebagai berikut [1]
Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari
bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan
),( yxz =
Kita namakan x bagian nyata (real part) dari z dan y bagian
khayal (imaginary part) dari z dan kita lambangkan
yzxz == Im Re
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari
pengertian tentang bilangan nyata.
Bilangan �yata. Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3
dan seterusnya; bilangan nyata rasional ¼, ½, ¾ dan seterusnya,
serta bilangan nyata irasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai
rasio bilangan bulat, seperti π yang nilainya adalah 3,14……., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya.
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu
sumbu yang disebut sumbu nyata, seperti diperlihatkan oleh Gb.1.1.
2 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
Gb.1.1. Posisi bilangan nyata di sumbu nyata.
Tinjaulah suatu fungsi xy = dengan x adalah bilangan bulat. Jika
kita plot nilai fungsi y, kita akan mendapatkan gambar seperti
Gb.1.2.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gb.1.2. Plot xy =
Pada Gb.1.2. ini sumbu mendatar adalah sumbu nyata di mana
bilangan-bilangan nyata di posisikan. Sumbu tegak juga merupakan
sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata yang merupakan nilai
y diposisikan. Bidang yang dibatasi oleh kedua sumbu–nyata ini
disebut bidang-nyata. Kita lihat di bidang-nyata ini bahwa kita
hanya dapat menggambarkan nilai y sampai pada x = 0, karena
untuk x < 0 kita tidak mendapatkan nilai y yang berupa bilangan
nyata.
Walaupun kita tidak mendapatkan nilai y yang nyata untuk x negatif,
namun x untuk x yang negatif dapat didefinisikan sebagai suatu
bilangan imajiner (khayal).
Jika didefinisikan bahwa
| | | | | | | |
-2 -1 0 1 2 3 4 5
m
3
j=−1 (1.1).
maka
dst. 10100
981
3 919
241414
j
j
j
j
=−
=−
=×−=−
=×−=×−=−
Sekarang kita dapat memandang j sebagai sebuah operator; artinya
jika j beroperasi pada bilangan nyata 5 misalnya, kita mendapatkan
bilangan imajiner j5 dan jika beroperasi pada bilangan nyata b kita
mendapatkan bilangan imajiner jb.
Sumbu tegak pada Gb.1.2. dapat diubah menjadi sumbu imajiner
untuk memosisikan bilangan imajiner sehingga sumbu-sumbu yang
membatasi bidang sekarang adalah sumbu nyata (diberi tanda Re)
dan sumbu imajiner (diberi tanda Im); bidang yang dibatasi oleh
kedua sumbu ini disebut bidang kompleks.
Jika setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-
kompleks (x,,y) dengan x adalah komponen nyata dan y adalah
komponen imajiner-nya sebagaimana dikatakan dalam pendefisian
bilangan kompleks yang diberikan di awal sub-bab ini.
1.2. Pernyataan Bilangan Kompleks
Jika setiap bilangan-nyata mempunyai satu nilai, maka suatu
bilangan-kompleks juga mempunyai satu nilai namun satu nilai ini
terdiri dari dua komponen yaitu komponen nyata dan komponen
imajiner. Jadi satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari
komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan
jbaz += (1.2)
dengan a bilangan nyata, b juga bilangan nyata, dan jb adalah
bilangan imajiner.
Perhatikan Gb.1.3. yang merupakan plot dari satu bilangan
kompleks z.
4 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
Gb.1.3. Representasi grafis bilangan kompleks.
Bentuk penulisan bilangan kompleks seperti (1.1) disebut bentuk
sudut siku. Sebutan ini mudah difahami jika kita melihat Gb.1.3 di
mana z merupakan sudut siku dari segitiga siku-siku dengan sisi a
dan jb.
Bilangan kompleks z juga dapat ditulis dengan cara lain, yaitu
dengan melihat panjang penggal garis yang menghubungkan titik
asal dengan z, yang dalam Gb.1.3. diberi nama ρ, dan sudut yang dibentuk oleh garis ini dengan sumbu nyata yang pada Gb.1.3.
diberi tanda θ. Dari Gb.1.3. jelas terlihat bahwa
θρ=θρ= sindan cos ba (1.3)
sehingga bilangan kompleks z dapat dituliskan sebagai
)sin(cos θ+θρ= jz (1.4)
Sudut θ disebut argumen (ditulis argz) dan penggal garis yang
menghubungkan titik z ke titik awal disebut modulus. Dari Gb.1.3.
jelas bahwa
=θ= −
a
bz
1tan arg (1.5)
sedangakan modulus z adalah ρ
22 modulus baz +=ρ= (1.6)
Dengan demikian maka (1.2) dapat ditulis sebagai
)sin(cos22 θ+θ+= jbaz (1.7)
jbaz +=•
Re
Im
a
jb
ρ
θ
5
CO�TOH:
1). Suatu bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk sudut siku
431 jz +=
Sudut dengan sumbu nyata adalah
o11 1,53)3/4(tan ≈=θ −
Pernyataan z1 dapat kita tuliskan
( )( )oo
oo221
1,53sin1,53cos5
1,53sin1,53cos43
j
jz
+=
++=
2). Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
( )oo2 20sin20cos10 jz +=
Pernyataan ini dapat kita tuliskan
( ))4,34,9)34,094,0(10
20sin20cos10oo
2
jj
jz
+=+≈
+=
Kesamaan Bilangan Kompleks. 22 ba +=ρ merupakan nilai
mutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. Dua atau lebih
bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda. Dua bilangan kompleks sama besar jika mereka mempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar, atau dengan kata lain memiliki bagian nyata dan bagian
imajiner yang sama besar..
�egatif dari Bilangan Kompleks. Nilai negatif dari suatu bilangan
kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya. Jadi jika
jbaz += maka jbaz −−=− . Perhatikan representasi grafis pada
Gb.1.4.
6 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
Gb.1.4. Negatif dari suatu bilangan kompleks.
CO�TOH:
1). Jika 641 jz += maka 6412 jzz −−=−=
2). Sudut dengan sumbu nyata
o11 3,56)4/6(tan ==θ −
ooo2 3,2361803,56 =+=θ
3). z1 dapat dinyatakan sebagai
( )( )oo
oo221
3,56sin3,56cos2,7
3,56sin3,56cos64
j
jz
+=
++=
( )( ) 696,383,055,02,7
)1803,56sin()1803,56cos(2,7oooo
1
jj
jz
−−=−−=
+++=−
Konjugat Bilangan Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan
kompleks z adalah bilangan kompleks z* yang memiliki komponen
nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif
dari komponen imajiner z.
jbazjbaz −=+= ∗ maka Jika (1.8)
Perhatikan Gb.1.5.
jbaz +=•
Re
Im
a
jb
jbaz −−=−
θo180+θ
ρ
ρ
•
7
Gb.1.5. Kompleks konjugat.
CO�TOH:
1). Jika 65 jz += maka 65 jz −=∗
2). Sudut dengan sumbu nyata
o1 2,50)5/6(tan ==θ −
o2,50−=θ∗
3). z dapat dinyatakan sebagai
( )( )oo
oo22
2,50sin2,50cos8,7
2,50sin2,50cos65
j
jz
+=
++=
( )oo 2,50sin2,50cos8,7 jz −=∗
4). Jika 65 jz −−= maka 65 jz +−=∗
jbaz +=•
Re
Im
ρ
θ
θ−
jb
jb−
a
jbaz −=• ∗
8 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
5). Jika 65 jz −= maka 65 jz +=∗
•−−= 65 jz
Re
Im
•+−=∗ 65 jz
65 jz −=•
Re
Im
65 jz +=• ∗
9
2. Operasi-Operasi Aljabar
Seperti halnya bilangan nyata, operasi aljabar juga dapat dilakukan
pada bilangan kompleks
2.1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Karena bilangan kompleks terdiri dari dua komponen maka operasi
penjumlahan harus dilakukan pada kedua komponen. Hasil
penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks
yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan
komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.
Demikian pula selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan
kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen
nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen
imajiner.
)()(
)()(
)()(
)()(
2121
221121
2121
221121
bbjaa
jbajbazz
bbjaa
jbajbazz
−+−=
+−+=−
+++=
+++=+
(2.1)
CO�TOH:
Jika 43dan 32 21 jsjs +=+= maka
11
)43()32(
75
)43()32(
21
21
j
jjss
j
jjss
−−=
+−+=−
+=
+++=+
10 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
2.2. Perkalian Bilangan Kompleks
Perkalian dua bilangan kompleks dialksanakan seperti halnya kita
melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan
perkalian komponen per komponen.
212121
21212121
221121
2
))(())((
bbajbaa
bbajbajbaa
jbajbazz
−+=
−++=
++=
(2.2)
Jika ∗= 12 zz maka ∗× 11 zz adalah
22
22
11
))((
ba
bjbajbaa
jbajbazz
+=
++−=
−+=× ∗
(2.3)
CO�TOH:
Jika 43dan 32 21 jzjz +=+= maka
186
12996
)43)(32())(( 21
j
jj
jjzz
+−=
−++=
++=
CO�TOH:
Jika 32dan 32 121 jzzjz −==+= ∗ maka
495
9664
)32)(32())(( 11
=+−=
++−=
−+=∗
jj
jjzz
Jadi perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya akan
menghasilkan bilangan nyata. Sifat ini akan kita manfaatkan dalam
melakukan pembagian bilangan kompleks.
11
2.3. Pembagian Bilangan Kompleks
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu
dikalikan dengan 1. Dalam mencari hasil bagi dua bilangan
kompleks, kita kalikan pembagian ini dengan 1 dan bilangan 1 ini
kita pilih sama dengan rasio konjugat bilangan kompleks pembagi
dengan dirinya sendiri. Dengan cara demikian kita akan
memperoleh suatu pembagian di mana bilangan pembaginya adalah
bilangan nyata.
22
22
12212121
22
22
22
11
2
1
)()(
ba
ababjbbaa
jba
jba
jba
jba
z
z
+
−++=
−
−×
+
+=
(2.3)
CO�TOH:
Jika 43dan 32 21 jzjz +=+= maka
25
1
25
18
43
)98()126(
43
43
43
32
222
1 jj
j
j
j
j
z
z+=
+
+−++=
−
−×
+
+=
2.4. Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar
Pernyataan bilangan kompleks bentuk sudut siku adalah seperti yang
kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kompleks, yaitu
jbaz += . Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui
relasi geometri sederhana. Relasi (1.3), (1.5), dan (1.6), yaitu
σ
ω=θω+σ=ρ
θρ=ωθρ=σ
−122 tandan
sindan cos
Memungkinkan pengubahan dari bentuk sudut siku ke bentuk polar
dan juga sebaliknya. Bentuk polar diturunkan dari fungsi
eksponensial kompleks yang akan kita lihat lebih dulu.
12 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
Fungsi Eksponensial Kompleks. Kita telah mengenal fungsi
eksponensial nyata. Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi
ekponensial xey =
merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata.
Jika z adalah bilangan kompleks θ+σ= jz maka didefinisikan
fungsi eksponensial kompleks
riil` aleksponensi fungsiadalah dengan
; )sin(cos)(
σ
σθ+σ θ+θ==
e
jeee jz
(2.4)
Melalui identitas Euler, θ+θ=θ sincos je j fungsi exponensial
kompleks (2.4) dapat kita tuliskan
θσ= jz eee (2.5)
Bentuk Polar. Relasi (2.5) memberikan memberikan jalan untuk
representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar
θρ= jez (2.6)
Modulus z (nilai absolut) adalah ρ, ditulis 22 || θ+σ=ρ=z dan
argumen z kita dituliskan juga sebagai ∠z. Perhatikan representasi
grafis Gb.2.1.
Gb.2.1. θρ= jez ; θ=∠= zzarg .
Re
Im
z •
θ
ρ
13
CO�TOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5.
Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya
∠z = 0,5 rad.
Bentuk sudut sikunya adalah:
8,48,8)48,088,0( 10
)5,0sin5,0(cos 10
jj
jz
+=+=
+=
CO�TOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4.
Modulus z adalah 543 || 22 =+=ρ=z
Argumennya adalah rad 93,03
4tan 1 ==θ=∠ −z .
Representasi polar adalah: z = 5e j0,93
Re
Im
93,05 jez =•
rad 93,0
5
Re
Im
5,05 jez =•
rad 5,010
14 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
CO�TOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks 02 jz +−= .
Modulus z adalah 204 || =+=ρ=z .
Argumen ( ) π±=−=θ − 2/0tan 1 tidak bernilai tunggal. Kita
harus berhati-hati menentukan argumennya. Di sini kita harus
memilih θ = π rad karena komponen imajiner 0 sedangkan
komponen nyata −2. Representasi polar adalah π= jez 2 .
CO�TOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks 20 jz −= .
Modulus z adalah 240 || =+=ρ=z .
Argumen ( ) 2/0/2tan 1 π−=−=θ − ; komponen imajiner 0
sedangkan komponen nyata −2.
Representasi polar adalah 2/2 π−= jez .
Re
Im
π= jez 2
2−•
Re
Im
2/2 π−= jez2j− •
15
2.5. Manfaat Bentuk Polar
Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks. Representasi polar
dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan
pembagian.
)(
2
1
2
1
2
1
)(21
2121
21
2
1
21
21
))((
θ−θθ
θ
θ+θ
θθ
ρ
ρ=
ρ
ρ=
ρρ=
ρρ=
j
j
j
j
jj
ee
e
z
z
e
eezz
(2.7)
CO�TOH:
Misalkan bilangan kompleks z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e
j0,4.
9,04,05,021 50510 jjj eeezz =×=
1,0
4,0
5,0
2
1 25
10 j
j
j
ee
e
z
z==
Konjugat Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks yang
dinyatakan dalam bentuk sudut siku, diperoleh dengan mengganti j
dengan −j seperti diperlihatkan secara grafis pada Gb.2.2.a; hal ini telah kita pelajari.
a) b)
Gb. 2.2. Bilangan kompleks konjugat.
Re
Im
Re
Im θρ=• jez
θ−∗ ρ=• jez
θ
θ−
θ+σ=• jz
θ+σ=• ∗ jz
16 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
Jika dinyatakan dalam bentuk polar, sudut argumen konjugat
berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya, seperti
diperlihatkan secara grafis oleh Gb.2.2.b.
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya
adalah sebagai berikut.
[ ] ( )( )
*
**
*
* atau ||*))((
2
1
2
1
2121
2
**
z
z
z
z
zzzz
ss|z|zzz
=
=
==
(2.7)
CO�TOH:
4,02
5,01 5dan 10 jj ezez ==
1). 25
100 10 10
22
5,05,011
=
=×=∗
−∗
zz
eezz jj
2). [ ] [ ] [ ]
9,04,05,0
9,09,04,05,021
505 10
0505 5 10
jjj
jjjj
eee
eeeezz
−−−
−∗∗∗
=×=
==×=
3).
[ ]
1,0
4,0
5,0
1,01,0
4,0
5,0
2
1
2 5
10
052 5
10
j
j
j
jj
j
j
ee
e
eee
e
z
z
−−
−
−∗∗∗
==
==
=
17
3. Bilangan Kompleks untuk Menyatakan Fugsi Sinus
Berikut ini kita akan melihat pemanfaatan bilangan kompleks untuk
menyatakan fungsi sinus. Tindakan demikian ini kita jumpai dalam
analisis rangkaian listrik.
3.1. Fungsi Sinus
Sinyal listrik sebagai fungsi waktu yang berbentuk sinusoidal
adalah
)sin( tAy ω= (3.1)
dengan A adalah amplitudo (simpangan maksimum), ω adalah frekuensi sudut fπ=ω 2 dengan f frekuensi siklus. Namun
pernyataan sinyal sinus sering dilakukan menggunakan fungsi
cosinus yaitu bentuk pernyataan yang dianggap normal:
)cos( θ−ω= tAy (3.2)
jika puncak pertama fungsi terjadi pada ωt > 0 dan θ disebut sudut fasa.
seperti terlihat pada Gb.3.1.
a) tAy ω= cos b) )cos( θ−ω= tAy
Gb.3.1. Fungsi sinusoidal dinyatakan dengan fungsi cosinus.
Dengan bentuk normal ini maka fungsi
)sin( tAy ω= dituliskan sebagai
)2/cos( π−ω= tAy
di mana θ = π/2 pada Gb.3.1.b.
0 0
yA
A−
0 0 tω tωθ
yA
A−
18 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
3.2. Fasor
Kita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk
( )θ+θ== θ sincos jAAez j (3.3)
Dengan pernyataan bilangan kompleks ini maka fungsi cosinus dan
sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitu
zAexA
zAeA
jx
j
dariimajiner komponen Imsin
dan , dari nyatakomponen Recos
==
==θ θ
(3.4)
Karena sinyal sinus dalam analisis rangkaian listrik dituliskan
dalam bentuk normal sebagai fungsi cosinus, dapat ditetapkan
bahwa hanya bagian riil dari bilangan kompleks Aejx saja yang
diambil untuk menyatakan sinyal sinus. Oleh karena itu sinyal sinus
y = Acos(ωt+θ) dapat kita tulis sebagai
tjj
tjjtj
eAe
eAeAetAy
ωθ
ωθθ+ω
=
==θ+ω=
Re Re )cos( )(
(3.5)
tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi.
Jika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruh sistem rangkaian, maka faktor e
jωt pada pernyataan fungsi sinus (3.5)
tidak perlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus
cukup dengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadi
θ=
θ+ω=
jAe
tAv
V
dengan dinyatakan
)cos( sinus sinyal
(3.6)
Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini disebut fasor
yang biasa dituliskan dengan huruf tebal dengan garis di atasnya.
Fasor ini merupakan bilangan kompleks dan dapat digambarkan
secara grafis seperti terlihat pada Gb.3.2. Gambar grafis seperti ini
disebut diagram fasor.
19
Gb.3.1. Fasor θ= jAeV
Jadi dengan notasi fasor, kita hanya memperhatikan amplitudo dan
sudut fasa dari suatu sinyal sinus, dengan pengertian bahwa
frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanya memperhatikan
amplitudo dan sudut fasa saja, maka fasor dapat kita tuliskan dengan
menyebutkan besarnya dan sudut fasanya. Pengertian ini ekivalen
dengan modulus dan argumen pada bilangan kompleks. Jadi
penulisan fasor dalam bentuk yang juga kita sebut bentuk polar
adalah
θ∠== θ AAe j VV sebagai ditulis (3.7)
Fasor θ∠= AV kita gambarkan dalam bidang kompleks, seperti
terlihat pada Gb.3.1.
Panjang fasor adalah nilai mutlak dari amplitudo A. Penulisan fasor
dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku, yaitu :
( ) sincos θ+θ=θ∠= jAAV (3.8)
Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah
ke bentuk polar
∠+=+= −
a
bbajba 122 tanV (3.9)
Transformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudut-
siku dan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasi-
operasi fasor yang akan kita lihat berikut ini, yang pada hakekatnya
sama seperti operasi aljabar pada bilangan kompleks yang sudah
kita pelajari.
|A|
θ
Im
Re
V
20 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
3.3. Operasi Fasor
Perkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasor
dituliskan dalam bentuk polar.
)(
maka dan Jika
21
21
θ+θ∠==
θ∠=θ∠=
AB
BA
BAC
BA (3.10)
)( maka
dan
menuliskan kita jika karena difahami,mudah ini Hal
21)( 2121
21
θ+θ∠===
==θ+θθθ
θθ
ABABeBeAe
BeAe
jjj
jj
C
BA
Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasor
dituliskan dalam bentuk polar.
)(
maka dan Jika
212
1
21
θ−θ∠=θ∠
θ∠==
θ∠=θ∠=
B
A
B
A
BA
B
AD
BA
(3.11)
)( maka
dan
menuliskan kita Jika difahami.mudah juga ini Hal
21)( 2121
2
1
21
θ−θ∠====
==
θ−θθ−θθ
θ
θθ
B
Ae
B
Aee
B
A
Be
Ae
BeAe
jjj
j
j
jj
D
BA
Penjumlahan dan Pengurangan Fasor. Operasi penjumlahan
ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan
fasor dalam bentuk sudut-siku.
21
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−
−∠−+−=
+−+=−=
+
+∠+++=
+++=+=
+=+=
−
−
21
211221
221
2211
21
211221
221
2121
2211
tan
tan
maka
dan Jika
aa
bbbbaa
jbajba
aa
bbbbaa
bbjaa
jbajba
BAD
BAC
BA
(3.12)
Jika fasor dinyatakan dalam bentuk polar, kita ubah dulu ke bentuk
sudut siku untuk mudah dijumlahkan / dikurangkan
( ) ( )
( ) ( )2121
2121
21
sinsincoscos
sinsincoscos
maka dan Jika
θ−θ+θ−θ=
−=
θ+θ+θ+θ=
+=
θ∠=θ∠=
BAjBA
BAjBA
BA
BAD
BAC
BA
(3.13)
Fasor �egatif dan Fasor Konjugat. Jika dituliskan dalam bentuk
sudut-siku, nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masing
komponen riil dan imajiner.
Gb.12.2. Fasor dan negatifnya serta konjugatnya
maka Jika 1111 jbajba −−=−+= AA
maka Jika 11*
11 jbajba −=+= AA
AA
∗A
θ
Im
Re
A−
22 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
Dalam bentuk polar,
( )( ) dan 180
180 maka
Jika
*o
o
θ−∠=−θ∠=
+θ∠=−
θ∠=
AA
A
A
A
A
A
(3.14)
Fasor Dengan Sudut Fasa 90o dan 0
o. Bentuk sudut-siku dari
fasor dengan sudut 90o dan 0
o adalah
0
; 90
; 90
o
o
o
CC
jBB
jAA
=∠=
−=−∠=
=∠=
C
B
A
(3.15)
CO�TOH:
)45500cos(10)( a). o1 −= ttv
Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan
bentuk sudut siku adalah
07,707,7 )45sin(10)45cos(10
atau 4510
oo1
o1
jj −=−+−=
−∠=
V
V
)30500cos(15)( b). o2 += ttv
Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan
bentuk sudut siku adalah
5,799,12)30sin(15)30cos(15
atau 3015
oo2
o2
jj +=+=
∠=
V
V
tti 1000cos4)( c). 1 −=
Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku
adalah
4)0sin(4)0cos(4atau 04 oo1
o1 −=−−=∠−= jII
23
)901000cos(3)( d). o2 −= tti
Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku
adalah
3)90sin(3)90cos(3atau 903 oo2
o2 jj −=−+−=−∠= II
213 e). III += dari c) dan d)
Fasor hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama.
Karena kedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama maka
fasornya dapat kita jumlahkan 34213 j−−=+= III .
Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk
polar menjadi
o1223 9,216 5
4
3tan)3()4( ∠=
−−
∠−+−= −I
*222
*111 ; f). IVIV == SS
ooo*111 4540)04()4510( −∠−=∠−×−∠== IVS
ooo*222 12045)903()3015( ∠=∠×∠== IVS
2
22
1
11 Z; Zg).
I
V
I
V==
; 455.204
4510 o
o
o
1
11 −∠−=
∠−
−∠==
I
VZ
o
o
o
2
22 605
903
3015−∠=
∠
∠==
I
VZ
24 Sudaryatno Sudirham: Bilangan Kompleksdan Fasor
3.3. Konsekuensi Pernyataan Sinyal Sinus dalam Fasor
Karakteristik piranti dalam rangkaian listrik dinyatakan oleh
hubungan antara arus dan tegangannya. Untuk resistor , induktor,
dan kapasitor hubungan tersebut adalah:
1
atau :Kapasitor
:Induktor
:Resistor
∫==
=
=
dtiC
vdt
dvCi
dt
diLv
Riv
CCC
C
LL
RR
(3.16)
R, L, dan C berturut-turut adalah resistansi, induktansi, dan
kapasitansi dari piranti yang bersangkutan. Relasi-relasi ini adalah
relasi di mana tegangan maupun arus merupakan fungsi waktu. Jika
tegangan dan arus dinyatakan dalam bentuk fasor maka harus
dilakukan penyesuaian pada relasi tegangan-arus elemen tersebut.
Resistor. Jika arus pada resistor adalah
)()cos()( θ+ω=θ+ω= tjRmRmR eItIti
maka tegangannya adalah
)()()( θ+ω== tjRmRR eRItRitv
Jika dinyatakan dalam fasor maka
RR RIV = (3.17)
Hubungan arus dan tegangan resistor ini mirip dengan hubungan
tegangan dan arus jika dinyatakan sebagai fungsi waktu.
Induktor. Untuk induktor, jika arus induktor adalah
)()cos()( θ+ω=θ+ω= tjLmLmL eItIti
maka tegangan induktor adalah
( ))(
)()( )(
)(θ+ω
θ+ωω=== tj
m
tjLmL
L eILjdt
eIdL
dt
tdiLtv
25
Dalam bentuk fasor,
LjZLX
ZjXLj
LL
LLLLLL
ω=ω=
==ω=
dan :dengan
IIIV (3.18)
Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan dan
arus induktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan
berbentuk linier dengan faktor proporsionalitas sebesar ZL = jXL ;
XL disebut reaktansi induktif , ZL disebut impedansi induktor.
Kapasitor. Untuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalah
)()cos()( θ+ω=θ+ω= tjCmCmC eVtVtv
maka arus kapasitor adalah
( ) )(
()( )(
)(θ+ω
θ+ωω=== tj
Cm
tjCmC
C eVCjdt
eVdC
dt
dvCti
yang dalam bentuk fasor dapat kita tuliskan sebagai
C
jZ
CX
ZjXC
j
Cj
Cj
CC
CCCCCCC
CC
ω−=
ω=
==ω
−=ω
=
ω=
dan 1
:dengan
1
atau
IIIIV
VI
(3.19)
Seperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan dan
arus kapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan
berupa hubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar ZC =
jXC ; XC kita sebut reaktansi kapasitif, ZC kita sebut impedansi
kapasitor.
Pembaca dapat mempelajari lebih lanjut analisis rangkaian listrik
dengan buku ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1” oleh Sudaryatno
Sudirham.
top related