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Bioestatística
Aula 4
MEDIDAS SEPARATRIZESMEDIDAS DE DISPERSÃO
Profa. Alessandra Bussador
Quartis – dados não agrupados
•Dividem os dados ordenados em quatro partes:
Primeiro Quartil (Q1): valor que faz com que 25% das observações sejam menores e 75% sejam maiores que Q1
Segundo Quartil (Q2): é a MEDIANA – 50% das observações são menores que Q2 e 50% são maiores
Terceiro Quartil (Q3): valor que faz com que 75% das observações sejam menores e 25% sejam maiores que Q3
Dados não agrupados
Q1 = valor que corresponde à posição:
Q2 = valor que corresponde à posição:
Q3 = valor que corresponde à posição:
Regras usadas para obter os valores da separatriz
Se o ponto de posicionamento for um número inteiro, é só
usar o número correspondente àquela posição
Se o ponto de posicionamento estiver na metade entre 2
números inteiros, a média dos dois números à direita e à
esquerda será a separatriz
Se o ponto de posicionamento não for a metade do caminho
entre dois números inteiros, usamos o que estiver mais próximo.
Quartis•Os salários mensais para uma amostra de 12 administradores são:
•2.350 2.450 2.550 2.380 2.255 2.210•2.390 2.630 2.440 2.825 2.420 2.380
•Determine os três quartis.
Quartis•Os salários mensais para uma amostra de 12 administradores são:
•2.350 2.450 2.550 2.380 2.255 2.210•2.390 2.630 2.440 2.825 2.420 2.380
•Determine os três quartis.
2.210 2.550 2.255 2.350 2.380 2.380 2.390 2.420 2.440 2.450 2.630 2.825
Q1 = (N+1) /4 = (12+1)/4 = 13/4 = 3,25 = 3 -> 2.255Q2 = 2(N+1) /4 = 2*13/4 = 6,5 -> (2.380+2.390) / 2 -> 2.385Q3 = 3(N+1) /4 = 3*13/4 = 9,75 -> 2.450
Chamamos de decis os valores que dividem uma série em dez partes iguais.Portanto, temos nove decis, o primeiro tem 10% dos dados à sua esquerda e 90% à sua direita, o segundo tem 20% dos dados à sua esquerda e 80% à sua direita e assim por diante até o nono decil, que tem 90% dos dados à sua esquerda e 10% à sua direita.
1 decil (D1) P=0,10 (N+1)
2 decil (D2) P=0,20 (N+1)
3 decil (D3) P=0,30 (N+1)
4 decil (D4) P=0,40 (N+1)
5 decil (D5) P=0,50 (N+1)
6 decil (D6) P=0,60 (N+1)
7 decil (D7) P=0,70 (N+1)
8 decil (D8) P=0,80 (N+1)
9 decil (D9) P=0,90 (N+1)
Decis – dados não agrupados
Chamamos de percentis os noventa e nove valores que separam uma série em100 partes iguais. O cálculo dos percentis está relacionado com percentagem.
No quadro abaixo são mostrados alguns percentis:
Percentis – dados não agrupados
5 percentil (P5) P=0,05(n+1)
25 percentil (P25) P=0,25(n+1)
50 percentil (P50) P=0,50(n+1)
75 percentil (P75) P=0,75(n+1)
90 percentil (P90) P=0,90(n+1)
Para estimar a quantidade de água que seria necessária para abastecer uma cidade na próxima década, a prefeitura precisa descobrir a quantidade de água que uma amostra de famílias utiliza atualmente. As famílias da amostra utilizaram o seguinte volume de água, em milhares de litros:
•11,1 21,5 16,4 19,7 14,6 16,9 32,2 18,2
•13,1 23,8 18,3 15,5 18,8 22,7 14,0
•Encontre os três quartis e o 7 decil .
Exercícios Propostos:
Ache Q1, Q2,Q3 dos conjuntos amostrais:
A= {6,9,7,7,4,3,2,9,10,18}
B= {10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21}
C= {6,9,7,7,4,3,2,9,9,10,18}
D= {10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21,7}
E= {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
Exercícios Propostos:
Para dados em distribuição de frequências em classes, o cálculo é feito daseguinte maneira:
Li – limite inferior da classeh – amplitude da classeFi – frequência absolutaFac – frequência acumulada
Em que:
com k=1, 2, 3 para determinação dos quartis
com k=1, 2, ..., 9 para os calculos de decis, e
com k=1, 2,..., 99 para os percentis.
Medidas separatrizes – para dados em distribuição de frequência em classes
Medidas separatrizes – para dados em distribuição de frequência em classes
Considerando o exemplo da tabela abaixo, calcule o Q3 e D7
Classes Fi Fr % Fac Xi
0,5 – 0,8 4 0,25 25 4 0,65
0,8 – 1,1 4 0,25 25 8 0,95
1,1 – 1,4 7 0,4325 43,25 15 1,25
1,4 – 1,7 1 0,0625 6,25 16 1,55
total 16 1 100
Para o Q3:
P= 16/4 * 3 = 12 Fac>=12 i=3h = (1,4-1,1) = 0,3
Q3 = 1,1 + ((0,3)*(12-8)) / 7 = 1,27
Medidas de dispersão
As medidas de dispersão mostram a variabilidade de um conjunto de observações em relação à região central.
Essas medidas indicam se um conjunto de dados é homogêneo ou heterogêneo.
Além disso, mostram se a medida de tendência central escolhida representa bem o conjunto de dados que está sendo trabalhado pelo pesquisador.
Medidas de dispersão
Exemplo:
Considere as idades de três grupos de pessoas A, B, e C
A: 15, 15, 15, 15, 15
B: 13, 14, 15, 16, 17
C: 5, 10, 15, 20, 25
A média aritmética de todos os conjuntos é 15
A média é a mesma, mas o grau de homogeneidade entre eles é diferente, ou seja, a variação dos seus elementos em relação a média é bem distinta.
Medidas de dispersão
Exemplo:
Considere as idades de três grupos de pessoas A, B, e C
A: 15, 15, 15, 15, 15
B: 13, 14, 15, 16, 17
C: 5, 10, 15, 20, 25
O conjunto A não tem dispersão
O conjunto B tem certo grau de variabilidade
O conjunto C tem grande variabilidade
Medidas de dispersão
Amplitude total:
A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor.
É baseada em somente duas observações, sendo altamente influenciada pelos valores extremos; quanto maior a amplitude, maior a variabilidade
Conjunto A : 15 – 15 = 0
Conjunto B: 17 – 13 = 4
Conjunto C: 25 – 5 = 20
Medidas de dispersão
Variância
É uma medida de variabilidade que utiliza todos os dados. É calculada considerando o quadrado dos desvios em relação à média aritmética dos dados em estudo.
Xi = valor do conjunto dos dados
µ = média aritmética
N= número de observações
Medidas de dispersão
Variância – para amostra
O uso de (n-1) neste denominador é necessário para que a variância da amostra resultante forneça uma estimativa não induzida da variância da população
Medidas de dispersão
Desvio Padrão
O desvio padrão dá a ideia de distribuição dos desvios ao redor do valor da média. Para obtermos o desvio padrão basta que se extraia a raiz quadrada da variância.
Para saber se o desvio padrão está alto ou baixo, vamos compará-lo com o valor da média.Quanto maior o valor do desvio padrão em relação à média, maior então será a variação dos dados e MAIS HETEROGÊNEO é nosso conjunto de observações.
Medidas de dispersão
Desvio Padrão:
• quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;
• quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;
• o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.
Medidas de dispersãoCoeficiente de Variação (CV) - (desvio padrão / média
aritmética)
A partir do valor do coeficiente de variação, podemos verificar se o conjunto de dados É HOMOGÊNEO e também conseguimos saber se a média é uma boa medida pra representar o conjunto de dados.
O coeficiente de variação envolve cálculos percentuais, por isso é uma medida relativa:
Medidas de dispersãoCoeficiente de Variação (CV) – coeficiente de Pearson
Quanto à representatividade em relação a média, podemos dizer que quando o coeficiente de variação (CV) é ou está:
- Menor que 10%: significa que é um ótimo representante da média, pois existe uma pequena dispersão (desvio padrão) dos dados em torno da média
- Entre 10 a 20%: é um bom representante da média, pois existe uma boa dispersão dos dados em torno da média
Medidas de dispersãoCoeficiente de Variação (CV) – coeficiente de Pearson
- Entre 20% e 35%: é um razoável representante da média, pois existe uma razoável dispersão dos dados em torno da média
- Entre 35% a 50%: representa fracamente a média, pois existe uma grande dispersão dos dados em torno da média
- Acima de 50%: não representa a média, pois existe uma grandíssima dispersão dos dados em torno da média
Exercício
Calcule as medidas de dispersão para um grupo de indivíduos que tem as seguintes idades:
Calcule:• Média aritmética, a moda e a mediana
• Amplitude total, Variância, desvio padrão
• Coeficiente de variação (interprete)
18 19 20 21 21 22 24 24 25 27 30 33
Exercício
Considere os seguintes diâmetros (mm) dos eixos produzidos em certa fábrica de autopeças:
Calcule:• Média aritmética, a moda e a mediana
• Variância, desvio padrão
• Coeficiente de variação (interprete)• 3 quartil, 6 decil
93 94 96 100 96 102 89 87 105
Referências Bibliográficas• MARTINS, G. A. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Atlas, 2011.• PAGANO, M.. Princípios de Bioestatística. 2.ed. SÃO PAULO: Cengage Learning, 2011. • VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 2010
• BEIGUELMAN. B. Curso prático de bioestatística. Belo Horizonte: Funpec, 2002. • CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatistica: Princípios e Aplicações. PORTO ALEGRE: ARTMED,
2003.• MASSAD, E.; MENEZES, R. X.; SILVEIRA, P. S. P.; ORTEGA, N. R. S. Métodos quantitativos em
medicina. Barueri: Manole, 2004.• MOTTA, V. T., WAGNER, M. B. Bioestatística. Caxias do Sul: Educs, 2003.• RODRIGUES, P. C. Bioestatística. Rio de Janeiro: Eduff, 2003.
• BERQUÓ, E. S; GOTLIEB, S. L.D.; SOUZA, J. M. P. de. Bioestatística. São Paulo: EPU, 1981.• DORIA FILHO, U. Introdução à bioestatística: para simples mortais. São Paulo: Elsevier, 1999.
• __. Matemática e suas Tecnologias. Governo do estado de Pernambuco. Notas de aula. Ensino Fundamental.
• MORILHAS, Leandro. Estatística e Análise de Dados. Notas de aula. Fundação Instituto de Administração.
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