capitulo 5 anualidades ic
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7/21/2019 Capitulo 5 Anualidades IC
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
CAPITULO V:
ANUALIDADE ! E"IE UNI#O"$E
%
UNIVE"IDAD DEL &UIND'O#ACULTAD DE IN(ENIE"'A
P"O("A$A ACAD)$ICO:
IN(ENIE"'A CIVIL
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
De*inici+n de anualidades
"enta o pago
Periodo de renta
Condiciones para ,ue una serie de pagos sea una anualidad
Clases de anualidades
Anualidades encidas
C.lculo de alor *uturo V# / alor presente VP de la anualidad 0A1
C.lculo del alor peri+dico 0"1
C.lculo del n2mero de pagos 0n1
C.lculo de la tasa de inter3s 0i1
Anualidades anticipadas / di*eridas
Anualidades perpetuas
ANUALIDADES SERIES UNIFORMES
4
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
DEFINICIN DE ANUALIDAD:
Una anualidades una sucesi+n o con5untode pagos6 dep+sitos o retiros6generalmente iguales6 ,ue se reali7an en
perodos iguales de tiempo6 con inter3scompuesto8 El nom9re o t3rmino anualidadno implica ,ue las rentas tengan ,ue seranuales6 sino ,ue se da a cual,uiersecuencia de pagos6 iguales en todos loscasos8
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Anualidades:
En matem.ticas *inancieras6 anualidadsigni*ica pagos ;ec;os a interalos iguales detiempo6 ,ue pueden ser anuales6 semestrales6
trimestrales6 9imensuales6 mensuales odiarios8
Cuando en un pas ;a/ relatia esta9ilidad
econ+mica6 es *recuente ,ue se e*ect2enoperaciones mercantiles a tra3s de pagosperi+dicos6 con inter3s compuesto6 como enlas anualidades8
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
En las anualidades6 cuando se 9usca *ormar uncapital6 se denomina fondos + imposiciones/cuando se trata de cancelar una deuda6 se ledenomina amortizaciones8
El estudio de las anualidades es de muc;aimportancia en *inan7as6 entre otras ra7ones6por,ue esel sistema de amortizacinms comn
en los cr!ditos comerciales" #ancarios $ de%i%ienda&
Anualidades:
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Anualidad:
Este sistema de pagos permite ,ue el*inanciador6 cada e7 ,ue reci9e el pago dela cuota6 recupere parte del capital
prestado8
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Para ,ue un con5unto de pagos se considere una anualidadde9e cumplir con las siguientes condiciones:
1. Todos los pagos deben ser iguales.
2. Todos los pagos deben ser peridicos.
3. Todos los pagos son llevados al principio o al finalde la serie, a la misma tasa, a un valor
equivalente; es decir, la anualidad debe tener unvalor presente y un valor futuro e-ui%alente.
4. El nmero de pagos debe ser igual al nmero deper!odos.
C)NDICI)NE. *A'A /UE UNA .E'IE DE*A+). .EA UNA ANUALIDAD:
?
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
CLA.E. DE ANUALIDADE.:
eg2n la modalidad de pago6 las clases de anualidadesm.s comunes6 son las siguientes:
a8 Anualidad Vencida: e caracteri7a por ,ue los
pagos se reali7an al *inal de cada perodo8E"emplo: el pago de un cr3dito en la compra deelectrodom3sticos6 una iienda + un carro8
98 Anualidad Anticipada:e caracteri7a por ,ue lospagos se ;acen al comien7o del perodo8E"emplo:el pago de arrendamientos8
@
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Clases de anualidades:
c8 Anualidad Di*erida: En 3stas el primer pagoaparece posteriormente al primer perodo8E"emplo: los cr3ditos con perodo de gracia como
los ,ue mane5a el ICETE8
d8 Anualidad Perpetua: Es a,uella donde no eBisteel 2ltimo pago6 o a,uella cu/o pla7o no tiene *in8
E"emplo: los *ondos constituidos para premios +9ecas6 como el caso del Premio No9el8
@
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
ANUALIDAD 0ENCIDA:
En las anualidades encidas sus principalescaractersticas son:
%8 Los pagos o cuotas son iguales8
48 Los periodos son iguales88 La tasa de inter3s no cam9ia8
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
+'1FICA DE LA ANUALIDAD 0ENCIDA:
Donde: ': Pagos Peri+dicosA: Valor Presente de la Anualidad VPA
n: N2mero de Pagos o Cuotas
0F: Valor #uturo de la Anualidad V#AF
V#
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
El Valor Presente de este tipo de anualidad (R)que implica la suma de todos esos fujosactualizados al momento 0 se dene como:
Anualidad %encida:
%G
+n
n
ii
iRA
)1(*1)1(*
+
+=
i
iRA
n+=
)1(1*
n
i
R
i
R
i
RA
)1(
1*...
)1(
1*
)1(
1*2
+
++
+
+
+
=
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Como contrapartida al valor presente del fujo setiene, el Valor Futuro de una anualidad (VF) queimplica la suma de todos esos fujos llevados alperiodo n y se dene como:
Anualidad %encida:
%%
i
iRVF
n 1)1(*
+=
Rn
iRn
iRVF ++
+++= ...1
)1(*)1(*
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Clculo del 0alor Futuro 20F3 $ el 0alor
*resente de la Anualidad 2A3:Con los conocimientos preios o9tenidos en inter3scompuesto se puede proceder de la siguiente *orma:
%4
Donde: ': Pagos Peri+dicos
A: Valor Presente de la Anualidadn: N2mero de Pagos o Cuotas
0F: Valor #uturo de la Anualidad
Anualidad %encida:
i
iRVF
n 1)1(*
+=
i
iRA
n+=
)1(1*
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Solucin:
R !"#$%&'j "* (nominal)n + - # (./mero de cuotas restantes)0a tasa de1e coincidir con el periodo: i j 2 mi &," 2 + &,& mensual
Respuesta: El valor presente a pa3ar 4oy para podercancelar el valor del cr5dito es de !%$6%6&,$6%
E4emplo 5:
%
7ace meses la empresa 89C adquiri uncr5dito por el cual cancela cuotasmensuales i3uales de !"#$%&', a una
tasa del "* nominal, considerando queel plazo total del cr5dito es de + meses%;Cu
0,73$14.735.34015,0
)015,01(1*065.897
19
=
+
=
A
i
iRA
n+
=)1(1
*
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Solucin:R !+&%&&&
j +&* converti1le trimestre vencidon + cuotasi j 2 m &,+& 2 &,& ?rimestral
@ero la tasa que se requiere es mensual, por lo tanto:
(Ai)n (Ai+)n+ ( A &,&) ( A ?EB)+
espejando: ?EB (,&)2+- &,&'6#'6'"
Respuesta: El valor presente a depositar 4oy para poderrealizar retiros mensuales de !+&%&&&%&& durante + aDos es
de !+%6'%,6% %>
E4emplo 6: ;Cu
,43$2.365.1156810,01639635
)6810,016396351(1*000.12024
=+
=
A
i
iRA
n+
=)1(1
*
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
i lo que se quiere es 4allar el valor de los pa3os ocuotas i3uales, se despeja R en las ormulas de valorpresente y valor uturo, as=:
Clculo del pa7o peridico 2'3:
%?
Anualidad %encida:
i
iRVF
n 1)1(*
+=
i
iRA
n+
=)1(1
*
1)1(*+
=n
i
iVFR
ni
iAR
+
=
)1(1
*
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Solucin:
8 !%&&&%&&& - !+%&&&%&&& !+%&&&%&&&i &,&+ mensual (0a tasa de inter5s coincide con el periodomensual)
n + cuotas
Respuesta: El valor de cada una de las cuotas mensuales(R) ser< de !"&%&'6,#%
%@
E4emplo 8: ;Cu
4$180.063,9)0121,01(1
0121,0*000.000.2
)1(1
*
12 =
+
=
+
=ni
iAR
ni
iAR
+
=
)1(1
*
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
G3ualmente, de las ormulas de valor presente yvalor uturo, se despeja n, y se utiliza la rmulase3/n los datos conocidos:
i se conoce 8
i se conoce VF
Clculo del nmero de pa7os 2n3:
%
Anualidad %encida:
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
ANUALIDADE. AN(ICI*ADA. 9 DIFE'IDA.:
EBisten situaciones en las ,ue el primer pago se;ace o se reci9e al *inali7ar el primer periodo6mientras ,ue el alor *uturo se encuentra en la
misma *ec;a ,ue el 2ltimo pago6 pero estasituaci+n no siempre se cumpleH cuando ello nose da6 se ;a9la de anualidades anticipadas"caracterizadas por-ue el primer pa7o apareceal principio de cada per,odo / de anualidadesdiferidas" donde el pa7o aparece despu!s delprimer per,odo8
%F
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Anualidades anticipadas $ diferidas:
En las anualidades de este tipo + cual,uiera ,ueconseren las caractersticas de las encidas menosque los pagos coincidan con las fec#as estipuladas6los c.lculos se ;acen ;allando el alor *uturo V#+ el alor presente A / 3ste como 2nico alor sellear. o traer. en el tiempo a tra3s de las*+rmulas conocidas en inter3s compuesto8
%F
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades 4G
O9sere ,ue si se ;alla el alor presente por medio de la *+rmula deanualidad se u9icara en el perodo m6 es decir6 un perodo antes delprimer pagoH por lo cual es necesario traer el alor presente 0A1 alperodo 8
Este %alor se trae con la frmula modificada de inter!scompuesto al per,odo " es decir -ue se aplica la si7uiente
frmula:
Anualidades anticipadas $ diferidas:
G
m
n
ii
iRA
++
= )1(*)1(1
*
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
En caso contrario6 o sea6 cuando muc;as eces el alor *uturo ,ue
interesa 0V#1 se encuentra en uno o arios perodos despu3s del2ltimo pago:
*ara ;allar el 0F es necesario lle%ar la frmula ;asta elper,odo n
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades 44
Anualidades anticipadas $ diferidas:
En el caso de ,ue el primer pago coincida con el c.lculo del alorpresente 0A16 sencillamente el eBponente 2=m3 se toma i7ual a2536 donde la *+rmula se simpli*ica6 as:
m
n
ii
iRA
++
=
)1(*
)1(1
*
1)1(*)1(1
* ii
iRA
n
++
=
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Solucin: @ara poder comparar las dos opciones, se de1enu1icar en una misma ec4a% @ara la opcin H1I se conoce el valorpresente, por lo tanto, se pueden traer a valor presente lospa3os realizados en la opcin HaI%
R !&&%&&&8 >n +i &,+& ?E8
4
E4emplo >:
En este caso ,ue el primer pago coincide con el
c.lculo del alor presente 0A16 aplicamos: 0-m1 %
El Ing. Prez tiene dos posibilidades para arrendarsu vivienda por un ao:a% Co1rar mensualmente !&&%&&& (pa3oanticipado)%1% Co1rar !%&&%&&& al inicio del contrato%Considerando que am1os ne3ocios rentan al+&* E8, ;Cu
1)1(*)1(1
* ii
iRA
n
++
=
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Como el inter5s HiI no concuerda con el per=odo mensual,aplicamos el c
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
8 !"%&&&%&&&
n + pa3osj "* converti1le semestrali > i j 2 m &," 2 + &, emestralR >
Solucin: la tasa no concuerda con el per=odo mensual, por
tanto, aplicando el c
E4emplo ?: Despu3s de ;a9er negociado el arrendamientoanual de una 9odega6 la empresa AJC Ltda86tuo ,ue pagar por anticipado K%8GGG8GGGH sila empresa negoci+ 9uscando o9tenerrendimientos e,uialentes al % conerti9lesemestralmente6 MCu.l *ue el alor del canonmensual de arrendamiento e,uialente
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
Con la tasa equivalente 4allada se reemplaza en larmula:
Respuesta: El valor mensual del canon dearrendamiento equivalente ser=a de !%'+%6&',$'%
4?
.olucin E4emplo ?:
En este caso ,ue el alor presente 0A1 coincidira con el c.lculo
del primer pago6 aplicamos: 0-m1 %
mnii
iAR
++
=
)1(*))1(1(
*
,76$1.621.306
)20.014466591(*))20.014466591(1(
20.01446659*000.000.18112
=
++
=
R
R
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
R !&&%&&& 1imestralesn 6' cuotas 1imestrales (' aDos)m + 1imestres (depsitos no eectuados en + aDos)
ja &, nominal trimestre anticipado
Solucin:@rimero por conversin de tasas de nominal a peridica:
ia ja2 m &,2 &,&+$ trimestre anticipado
e3undo se pasa de una tasa peridica anticipada avencida:i ia 2 ( J ia) &,&+$ 2 ( - &,&+$) &,&+"+$$'6
?rimestral 4@
E4emplo @: MCu.nto se de9er. tener en un *ondo ,uerenta al %% nominal trimestre anticipado6 enun perodo total de a=os6 si se ;an enido
;aciendo dep+sitos 9imestrales de K
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
?ercero, por tasas equivalentes de trimestre a 1imestre, setiene:
(Ai)n (Ai+)n+ ( A &,&+"+$$'6) ( A ?E9)'
?E9 &,&"$'&&$
@or /ltimo se aplica la ormula:
Respuesta: En el ondo se de1er
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades 4F
ANUALIDADE. *E'*E(UA.:
EBisten algunas situaciones en las cuales se desea o9tener un pagoconstante a tra3s del tiempo6 es decir6 ,ue ntiende a in*inito6 pore5emplo6 algunos premios como el No9el + un legado para algunaso9ras de 9ene*icencia8
*erpetuidad corresponde a un per!odo de tiempo lo
suficientemente grande para considerar los flu"os finalescomo poco relevantes dado que al descontarlos al a$o%&' son insignificantes.
i
iRA
n+
=)1(1
*i
RA =
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
upon3amos que un empresario decide ju1ilarse a los & aDos yreci1ir una renta vitalicia de !%&&&%&&& mensuales 4asta que se
muera%0a tasa de inter5s planteada es del * mensual y la empresa,que le dar< la renta, de1e suponer una Hlar3a vidaI para elempresario (suponen podr=a lle3ar a los #& tal vez a los #aDos de edad)%
;Cu
En ri3or, usando la rmula de valor presente de una
anualidad vencida (no perpetua) se tendr=a que:
i vive #& aDos: 8! #%$"%",+& (K)
i vive # aDos: 8! #$%'"&%6#,'& (K)
K8m1os valores muy cercanos a los !&& Billones%G
E4emplo @:
000.000.500$01,0
000.000.5===
i
RA
i
iRA
n+
=)1(1
*
-
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Economa para Ingenieros- Capitulo V: Anualidades
BIBLIOGRAFA
$e7a Oro7co6 ;onn/ de es2s8 Matemticas Financieras Aplicadas6Ecoe Ediciones6 Cuarta Edici+n6 Jogot.6 ulio de 4G%%8
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Tercera Edici+n6 $3Bico6 4GGF8 #l+re7 Uri9e6 uan Antonio8 Matemticas Financieras Empresariales6
Ecoe Ediciones6 Primera Edici+n6 Jogot.6 Agosto de 4GG8
Donne/s J86 Omar A86 Ca9al C86 Claudia C86 Ec;eerr/ $6 8 #ernando6Ingeniera Econ+mica8 #ussion Creatia8 Primera edici+n6 Armenia
4GG?8 4
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Economa para Ingenieros Capitulo V: Anualidades >
ECONOMA PARA INENIERO!
"RACIA! POR !# A$ENCI%N&
Ing. Ana Mar'a (ern)ndez Arenasa*+ernandez,uni-uindio.edu.o
mailto:amhernandez@uniquindio.edu.comailto:amhernandez@uniquindio.edu.co
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