cfsd 2016 matematica - 2 v1

Curso preparatório para concurso bombeiros mg 2016

Disciplina: Matemática

Prof. Nicodemos

Material de aula em:

www.quimicaealgomais.blogspot.com.br

nicoquimica@yahoo.com.br

Edital bombeiros 2015, pag 30

Fatoração de Polinômios• Fatorar é encontrar os menores números primos e fatores em comum

fatoração por evidência:

x² + 2x → x * (x + 2)x² : x = x2x : x = 2

4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)4x³ : 2x² = 2x2x : 2x = 1

16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)16x² : 8 = 2x²8 : 8 = 1

Fatoração por Agrupamento

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:

2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.

2yx – x → x * (2y – 1)

–6y + 3 → –3 * (2y – 1)

2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)

Diferença entre dois quadrados

Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor

resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:

4x² – 16 → (2x + 4) * (2x – 4)

√4x² = 2x

√16 = 4

25x² – 100 → (5x + 10) * (5x – 10)

√25x² = 5x

√100 = 10

81x4 – 144 → (9x² + 12) * (9x² – 12)

√81x4 = 9x²

√144 = 12

Trinômio quadrado perfeito

Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:

x² + 18x + 81 → (x + 9)²

√x² = x

√81 = 9

(x + 9)² = (x + 9) * (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81

4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²

√4x² = 2x

√144 = 12

(2x + 12)² = (2x + 12) * (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144

Trinômio Soma e Produto

São as fatorações envolvendo trinômios do tipo x² + Sx + P, que podem ser

fatorados e escritos da seguinte forma (x + a) * (x + b). Nessa situação temos que Soma = a + b e Produto = a * b. Observe:

x² + 10x + 16 → (x + 8) * (x + 2)

Soma = 10

Produto = 16

Os números são 8 e 2, pois:

8 + 2 = 10

8 * 2 = 16

x² – 13x + 42 → (x – 6) * (x – 7)

Soma = –13

Produto = 42

Os números são –6 e –7, pois:

– 6 – 7 = – 13

(–6) * (–7) = 42

x² + 3x – 10 → (x – 2) * (x + 5)

Soma = 3

Produto = –10

Os números são 3 e –10, pois:

– 2 + 5 = 3

(–2) * 5 = – 10

x² – 2x – 63 → (x – 9) * (x + 7)

Soma = –2

Produto = – 63

Os números são –9 e 7, pois:

– 9 + 7 = – 2

(–9) * 7 = – 63

Multiplicação de binômios comum término comum

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Teorema do resto de um polinômioTodo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará

em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se, a

constante a for raiz do polinômio P(x).

Ex: Prove que o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x - 3

Para divisor igual a x – 3, a = 3.

P(3) = 34 – 4 . 33 + 4 . 32 – 4 . 3 + 3

P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3

P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3

P(3) = -27 + 36 – 12 + 3

P(3) = 9 – 12 + 3

P(3) = -3 + 3

P(3) = 0

Ex1 Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R

32 + 3 * 3 – 10 = R

9 + 9 – 10 = R

18 – 10 = R

Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Ex2 Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2

P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2

P(1) = 3 – 4

P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Ex3 Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio

P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3

24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6

16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6

– 8m = 6 – 38 + 3

– 8m = 9 – 38

– 8m = – 29

m = 29/8

Ex4 Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7

R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7

R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)

R = –3/8 + 2/8 + 80/8

R = 79/8

Divisão de polinômios – Briot Ruffini

Método da divisão por chave

f(x) = 2x4 – 2x2 + 3x +1 por x – 1

Assim o quociente da divisão é 2x3 + 2x2 + 0x1 + 3 e o resto é 4.

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

Cubo do Binômio

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Diferença de Cubos

Equação

Definição: é uma sentença matemática que exprime uma relação de igualdade e que contém, pelo menos, uma incógnita (representada por uma letra).

Incógnita: representa um ou um conjunto de valores desconhecidos.

Equação

Exemplos:

1092 xxx

03 2 yx

2317 xx

EquaçãoPrincípios aditivo e multiplicativo: aplicação na resolução de equações.

Exemplo:

Como resolver a

equação 3x + 5 = 11,

utilizando tais princípios?

Equação

Resolução

3x + 5 = 11

Equação do primeiro grauUma equação do primeiro grau, na incógnita x, é toda equação que pode ser escrita na forma:

em que a e b são valores reais, com a ≠ 0.

Exemplos:

a) b) x + 3 = –2x + 7

Equação do primeiro grau

Solução ou raiz: valor que, atribuído à incógnita, torna a sentença verdadeira.

Exemplo:

x = 3 é raiz da equação 5x + 2 = 17.

De modo geral:

é raiz da equação

Questão

Resolva as equações:

8237 xx

AplicaçãoOs funcionários de uma empresa foram submetidos a uma avaliação escrita interna que apresentou 50 questões. A cada questão certa, o funcionário ganhava 2,0 pontos e, a cada questão errada, ele perdia 0,5 ponto. Quantas questões acertou um funcionário que respondeu a todas as questões e alcançou 45 pontos?

Atividade

O funcionário de uma firma recebe um salário base de R$ 500,00sobre o qual é adicionado um valor referente às horas extrastrabalhadas no mês. Ele recebe R$ 10,00 por hora extra. Recebeainda um adicional de 5% sobre a soma do salário base com ovalor referente às horas extras trabalhadas. O descontoprevidenciário é de 8,5% sobre o salário total. Quantas horasextras ele deverá trabalhar num mês para receber R$ 1.000,00 desalário (líquido)?

Equações

Chamamos de equação toda sentença matemática

expressa por uma igualdade que contém um ou mais

termos desconhecidos representados por letras.

Exemplos:

a) 4x + 8 = 3x - 5

b) 3a - 4 = b + 1

c) 9y - 11 = - 2

d) x² - 3x + 2 = 0

e) sen x = 0,8660254

Exercícios1) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa,

denominada "bandeirada", e uma parcela que depende da distância

percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado

custa R$ 0,86, calcule:

a) a equação que determina o preço em função da distância;

b) o preço de uma corrida de 11 km;

c) a distância percorrida por um passageiro que pagou

R$ 21,50 pela corrida.

2) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal de R$ 5.000,00 mais

R$15,00 por camisa produzida. Cada camisa é vendida por R$

25,00. Para ter um lucro de R$ 4.000,00, quanto a fábrica deverá

produzir e vender mensalmente?

Sistemas

Método da Substituição

yx 72 xy

31)72.(2 xxx

Método da Adição

)2( 12

155 yy

Sistema é um conjunto, no caso, de equações do 1o grau.

Resolver um sistema é encontrar valores para as variáveis

que satisfaçam, simultaneamente, todas as equações.

Exercícios

1) Um taxista trocou uma nota de 50 reais por notas

de 2 reais e 5 reais num total de 19 notas.

Quantas notas de cada valor o taxista recebeu?

2) Um açougue vende dois tipos de carne: de 1ª a

R$ 12,00 o quilo e de 2ª a R$ 10,00 o quilo. Se

um cliente pagou R$ 105,00 por dez quilos de

carne, então determine a quantidade de carne de

1ª que ele comprou.

EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA

1) DEFINIÇÃO

• Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda equação que assume a forma:

ax² + bx + c = 0.

x é a incógnita.

a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

a é coeficiente do termo em x².

b é coeficiente do termo em x.

c é o coeficiente do termo independente de x.

Exemplos:

a) 3x² + 4x + 1 = 0 (incógnita x)

a = 3 b = 4 c = 1 (Equação completa)

b) p² - 5p + 6 = 0 (incógnita p)

a = 1 b = -5 c = 6 (Equação completa)

c) -5t² + 7t – 2 = 0 (incógnita t)

a = -5 b = 7 c = -2 (Equação completa)

d) 2y² - 10y = 0 (incógnita y)

a = 2 b = -10 c = 0 (Equação incompleta)

e) 4z² - 100 = 0 (incógnita z)

a = 4 b = 0 c = -100 (Equação incompleta)

f) 7m² = 0 (incógnita m)

a = 7 b = 0 c = 0 (Equação incompleta)

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,transforma-a numa sentença verdadeira.

Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px² - 2 = 0.

Solução:Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

Exemplo:

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e sejam x'e x'' asraízes reais dessa equação.

Observe as seguintes relações:

Soma das raízes (S)

Produto das raízes (P)

Exercícios:1) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

2) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idadesserá 72 anos?

3) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine onúmero de bicicletas e de carros.

4) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75.Quantos objetos há na caixa?

5) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados sãobrasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

6) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade debolas brancas?

7) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeirasrecebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duasprimeiras?

8) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo donúmero. Qual é esse número?

9) Resolva as equações :

a) x2 – 12x + 35 = 0

b) x2 + 6x + 5 = 0

c) x2 – 10x + 24 = 0

d) x2 – 14x = 0

e) x2 – 169 = 0

f) x2 – 5x = 0

g) x2 – 3x – 4 = 0

10) Uma mãe tem o triplo da idade de sua filha.Há dez anos, ela tinha sete vezes a idade da filha.Qual a idade da mãe e da filha?

11) Compramos 6 kg de chá e 4 kg de café porum preço total de 16,60 reais. Sabendo que 4 kg dechá mais 2 kg de café custam 9,40 reais, calcular opreço do kg de chá e o de café.

FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

• Uma equação do 2º grau, com uma incógnita, está na forma normal ou reduzida quando assume a forma geral ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.

• Exemplos:

a) x² - 7x + 10 = 0

b) y² - 81 = 0

c) -2t² + 5t – 2 = 0

d) -6m² + m = 0

• Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, com uma incógnita, que serão representadas na forma reduzida aplicando os princípios aditivo e multiplicativo das equações.

a) x² - 16 = 48

x² - 16 – 48 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.

x² - 64 = 0 - Forma reduzida.

b) y² + 2y = 3y + 1

y² + 2y – 3y – 1 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.

y² - y – 1 = 0 - Reduzindo os termos semelhantes.

y² - y – 1 = 0 - Forma reduzida.

c) (3m + 1)² = 7 – (m + 8)(m – 3)

9m² + 6m + 1 = 7 – m² - 5m + 24 - Eliminando os parênteses.

9m² + m² + 6m + 5m + 1 – 7 – 24 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.

10m² + 11m – 30 = 0 - Forma reduzida.

- Reduzindo ao mesmo denominador.

- Aplicando o princípio aditivo.

- Forma reduzida.

+ - -=

+ - = -

+ - - + =

2 . .( 4) 2.2( 4)

2 ( 4) 2 ( 4)

2 ² ² 4 4 16

2 ² ² 4 4 16 0

3 ² 8 16 0

x x x x x

x x x x

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU1º CASO: Equação do tipo ax² + bx = 0.

a) O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo. Determine esse número.

RESOLUÇÃO

Representando o número procurado por x obtemos a equação:

x² = 5x

x² - 5x = 0 - Forma reduzida.

x.(x – 5) = 0 - Fator comum em evidência.

Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois números precisa ser zero. Logo:

x = 0 - Uma raiz da equação.

x – 5 = 0 x = 5 - Outra raiz da equação.

As raízes da equação são 0 e 5.

Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos que o número procurado é o 5.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU

b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3m² - 21m = 0.

RESOLUÇÃO

3m² - 21m = 0

m.(3m – 21) = 0 - Fator comum em evidência.

m = 0 - Uma raiz da equação.

3m – 21= 0

m = 7 - Outra raiz da equação.

As raízes da equação são 0 e 7.

Resposta: Os números procurados são 0 e 7.

2º CASO: Equação do tipo ax² + c = 0.

a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é esse número?

RESOLUÇÃO

Representando o número procurado por x, obtemos a equação:

x² - 2 = 34

x² - 2 – 34 = 0

x² - 36 = 0

x² = 36

x = + = +6 , pois (+ )² = 36

x = - = - 6 , pois (- )² = 36

x = ± 6

As raízes da equação são -6 e 6. Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.

b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção: ?

RESOLUÇÃO

x² = 45 - Propriedade fundamental das proporções.

x = - ou x = +

x = ±

As raízes da equação são - e +

RESPOSTA: Os valores de x procurados são - e + .

3 5 3 5

c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ?

RESOLUÇÃO

m² + 9 = 0

m² = - 9

m = - ou m = +

Temos que: não representa um número real.

RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal equação.

- 9- 9

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

• Seja a equação do 2º grau na forma normal:

ax² + bx + c = 0, com a≠0.

• Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam,utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara:

• Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação erepresentado pela letra grega delta ( ). Assim:

b b² 4.a.cx

• Se (positivo), a equação do 2º grau terá duas raízes reais e diferentes : x’ ≠ x”.

• Se (nulo), a equação terá duas raízes reais e iguais: x’ = x”.

• Se (negativo) , a equação não terá raízes reais: e .

0 x' x"

a) Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0.

- Temos que: a=1, b=-5 e c=4.

- Calculando o discriminante da equação, obtemos:

- Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara:

- A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.

b² 4.a.c ( 5)² 4.1.4 25 16

b ( 5) 9 5 3x

2.a 2.1 2

5 3 8x 4

5 3 2x 1

b) Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0.

- Calculando o discriminante, obtemos:

- Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:

- A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.

6² 4.3.3 36 36

6 0 6 0p

c) Determine as raízes reais da equação: 4y² - 2y + 1 = 0.

- Calculando o discriminante da equação:

- Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos:

- Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de índice par de radicando negativo.

- Logo, a equação não tem raízes reais.

( 2)² 4.4.1 4 16

( 2) 12y

Inequação

São equações onde trocamos o sinal de = pelo sinais...

< , ≤ , > ou ≥.

(<) representa menor que (5 < 8, cinco menor que oito)

(>) representa maior que (7 > 2, sete maior que dois)

Trabalha a idéia de comparação entre equações.

Exercício:

As empresas ALFA e BETA alugam congeladores do mesmo tipo. A

empresa ALFA cobra R$ 350,00 fixos e R$ 10,00 por dia. A

empresa BETA cobra R$ 150,00 fixos e R$ 15,00 por dia. Após n

dias o valor cobrado pela empresa BETA passa a ser maior do que

o cobrado pela empresa ALFA. Determine o valor de n.

Inequação

Observe

O que podemos dizer delas

Primeira reta a = b

Segunda reta a > b

Terceira reta a < b

É um enunciado que contém

um dos símbolos < ou >.

Uma desigualdade que

contém uma ou mais

variáveis se chama

desigualdade condicional ou

inequação.

Inequação

Para resolver inequações

• Aplicamos a propriedade aditiva da desigualdade

• Exemplo: x + 3 < 7

x + 3 – 3 < 7-3

S = { x / x < 4 }

Inequação

Outra maneira de resolver

}/{ 4 xxS

Inequação

Exemplo 2

1973 x

7193 x

}4/.{. xxSC

197)5(3

InequaçãoExemplo 3

126303

InequaçãoExemplo 4

2484 x

8244 x

}4/.{. xxSC

248)5(4

Inequação

Exemplo 5

6284 xx

8624 xx

}1/.{. xxSC

6)2(28)2(4

Inequação

Exemplo 6

)4(124

48384 xx

}40/.{. xxSC

4)40(4

Inequação

Exemplo 7

32(8)3(8)

32242 XX

24322 XX

}.{. xSC

Inequação

Comprovação)3)4(2(

375.12

INEQUAÇÕES DE 1º GRAU

Resolva a inequação 2x + 8 > 0

2x + 8 > 0

2x > - 8

S = ] – 4 , + [

X > - 4

S = { x lR / x > - 4 }

(Reta cresc.)

INEQUAÇÕES DE 2º GRAU

Resolver a inequação X2 + 5x + 6 < 0

Concavidade para cima

x2 + 5x + 6 = 0

X = - 5 1

X’ = - 3 e x” = - 2x- 3 - 2

S = {x lR / -3 < x < - 2}

S = ] –3, – 2 [

SISTEMAS DE INEQUAÇÕES

Resolva o sistemaX2 – 36 > 0

X – 3 < 0

Conc. P/ cima

Reta crescente

X2 – 36 = 0

X2 = 36

X – 3 < 0

I- 6 6

I II- 6

S = { x lR / x < - 6 }

S = ] - , - 6 [

Inequação Produto e Inequação Quociente

Resolva a inequação (X2 – 25)(2x – 8) 0I II

X2 – 25 = 0

X2 = 25

X2 = 5

2x – 8 = 0

2X = 8

Estudo do sinal

I . II

-5 4 5

- -+ +

S = { x lR / - 5 x 4 ou x 5}

S = [– 5, 4] [5, + [

Resolva inequação x2 – 3x 0

x2 – 3x = 0

Igualar a zero

x(x – 3) = 0

x = 0 e x = 3

-0 3 x

x + 3 = 0

x = - 3

Estudo do sinal

I : II

-3 0 3

++ - +

- + + +

- + - +

S = { x lR / x < - 3 ou 0 x 3 }

S = ] – , - 3[ [0, 3 ]

Resolver a inequação x + 4 < - 2x – 1 X2 - 1

Separa-se a inequação em duas partes e forma-se um sistema

Ix + 4 < - 2x - 1

- 2x - 1 X2 - 1 II

x + 4 < - 2x - 1

x + 2x < - 1 - 4

x < - 5

-2x – 1 x2 – 1

-2x – X2 – 1 + 1 0

– x2 - 2x = 0 . ( - 1)

x2 + 2x = 0

x = 0 e x = - 2

x- 2 0

Fazendo a interseção

S = { x lR / x < - 5 }

S = ] – , - 5[

O conceito de função é um dos mais importantes em

toda a Matemática.

PASSOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES1.Resolve como uma equação normal, encontrando sua(s)raiz(es).

2.Insere a(s) raiz(es) na reta dos números reais (eixo x do planocartesiano) observando se o número pertence a equação (ainequação é ≥ ou ≤ e “a bolinha é fechada”) ou se o númeronão pertence (a inequação é > ou < e “a bolinha é aberta”).

3.Verifica se a função é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0)e traça o gráfico (reta ou parábola), observando em que parteela é positiva e em que parte ela é negativa.

4.Verifica o sinal da inequação e acha o conjunto solução

de acordo com esse sinal (≥ ou > é positivo; ≤ ou < é negativo).

Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0

x’ = -1 e x” = – 7/3

S = {- 7/3 < x < - 1}

Resolver a inequação – 2x² – x + 1 ≤ 0

x’ = -1 e x” = ½

S = {x ≤ - 1 ou x ≥ ½ }

INEQUAÇÃO PRODUTO

𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 > 0

𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 < 0

𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 ≥ 0

𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 ≤ 0

SEMPRE TERÁ O ZERO APÓS O

SINAL DA INEQUAÇÃO

INEQUAÇÃO PRODUTO

(2x + 6) (-3x + 12) > 0

1ª parte: 2x + 6 = 0

2x = -6

x = -3

2ª parte: -3x + 12 = 0

-3x = -12

−𝟑 +−

+ + + +

−+−

S = {𝒙 ∈ 𝑹 | − 𝟑 < 𝒙 < 𝟒}

INEQUAÇÃO PRODUTO

(2x + 6) (-3x + 12) < 0

1ª parte: 2x + 6 = 0

2x = -6

x = -3

2ª parte: -3x + 12 = 0

-3x = -12

−𝟑 +−

+ + + +

−+−

S = {𝒙 ∈ 𝑹 | 𝒙 < −𝟑 𝒐𝒖 𝒙 > 𝟒}

INEQUAÇÃO QUOCIENTE

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)> 0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)< 0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)≥ 0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)≤ 0

SEMPRE TERÁ O ZERO APÓS O

SINAL DA INEQUAÇÃO

𝑥 + 1

2𝑥 − 1≤ 0

1ª parte: x + 1 = 0

x = -1

−𝟏 +−

2ª parte: 2x - 1 ≠ 0

x ≠ 1/2

−−−−−−−

S = {𝒙 ∈ 𝑹 | − 𝟏 ≤ 𝒙 <𝟏

𝑥 + 1

2𝑥 − 1≥ 0

1ª parte: x + 1 = 0

x = -1

−𝟏 +−

2ª parte: 2x - 1 ≠ 0

x ≠ 1/2

−−−−−−−

S = {𝒙 ∈ 𝑹 | 𝒙 ≥ −𝟏 𝒐𝒖 𝒙 >𝟏

A idéia de função…• Toda vez que temos dois

conjuntos e algum tipo de

associação entre eles...

que faça corresponder a

todo elemento do primeiro

conjunto um único elemento

do segundo, ocorre uma

função.0

Temos várias maneiras para representar a idéia de função.

diagrama de setas gráficos

(plano cartesiano)

lei de formação

Como representar uma função

Algumas funções especiais:

crescente decrescente

que pode ser

o gráfico é uma reta

função do primeiro grau

com concavidade para cima com concavidade para baixo

o gráfico é uma parábola

função do segundo grau

Funções

A = {1, 2}; B = {2, 3, 4}

A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}

A x B = { (x, y) | x A e y B}

Produto Cartesiano

Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a

qual cada elemento x em um conjunto A está

associado a exatamente um elemento, chamado

f(x), em um conjunto B.

Definição de função

Não é função de A em B É função de A em B

Definição de função através de conjuntos

Não é função de A em B É função de A em B

Noção de função através de conjuntos

D(f) = A CD(f) = B

Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem

Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de

uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la

mais de uma vez.

Teste da reta vertical

D = {x IR| –3 x 4 e x 1} e Im = {y IR| –2 < y 3}

Domínio e imagem através do gráfico

Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero)

da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.

Interpretação geométrica das raízes de uma função

FUNÇÃO INJETORA

É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto Atêm imagens diferentes no conjunto B.

Ou seja, “x” diferente

tem “y” diferente !!!A B

Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal

interceptar seu gráfico em mais de um ponto.

Teste da reta horizontal para verificar

se uma função é injetora

FUNÇÃO SOBREJETORA

É quando o conjunto Imagem da função for igual aoconjunto contradomínio. (Im = CD)

Se M é o conjunto das mulheres

e H é o conjunto dos homens,

então não se pode ter homem

solteiro !!!M H

FUNÇÃO BIJETORAÉ uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.

Ou seja, homens

e mulheres com os

mesmos direitos !!1

Injetora: “x” diferente

tem “y” diferente

Sobrejetora: NÃO SOBRAM

elementos no contra domínio.

Não é injetora.

É sobrejetora

É injetora.

Não é sobrejetora

Injeção, sobrejeção e bijeção

É injetora

É sobrejetora

É bijetora

Injeção, sobrejeção e bijeção

Testando seus conhecimentos

1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ouainda nenhuma delas:

é injetora é sobrejetora

é bijetoranão é sobrejetora,

nem injetora

c) d)1

2) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ouainda nenhuma delas:

3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8] B, tal que f(x) = x² – 8x +7,observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem.

D(f) = [2;8]

Im(f) = [-9;7]

A função f écrescente

A função f é crescente

A função g é decrescente

Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b).

FUNÇÃO CRESCENTE:

Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos

onde a função é:

x-2 0 2 4 6

a) Decrescente: ]0, 4[

b) Crescente: ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[

Função crescente e Função decrescente

GRÁFICO PARA x 0 GRÁFICO COMPLETO

Os gráficos das funções pares são simétricos em relação

ao eixo das ordenadas.

Função Parf(-x) = (-x)4 - (-x)2 = x4 – x2 = f(x)

f(x) = x4 – x2

Função ímpar

Gráfico para x 0

Os gráficos das funções ímpares são simétricos em

relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.

Função ímpar

f(-x) = (-x)3 + (-x)5 = -(x3 + x5) = - f(x)

f(x) = x3 + x5

FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x)

Exemplo:

f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4

FUNÇÃO ÍMPAR: f(a) = - f(-a)

Exemplo:

f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³

Uma função é PAR quando ela é

simétrica em relação ao eixo y.

Função ÍMPAR é simétrica em

relação a origem.

f(x) = x²

f(x) = x³

4) a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar:

Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7

Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7

Logo f(x) = 2x³ + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)

ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)

b) Mostre que f(x) = 3x² é par:

Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3

Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3

Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)

ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráficode f(– x) será:

Resposta: E

f(x) = f(-x)

Lembre-se:Se

Então a função “f” é pare ela é simétrica ao eixo“y”.

Sejam f e g duas funções quaisquer.

Denomina-se função composta de g com f a função h

definida por h(x) = g(f(x)).

Esquema para a composição de funções

f -1(x)

FUNÇÃO INVERSA

A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento:

1) Isola “x”;

2) Troca “x” por “y” e vice versa.

O símbolo para a função inversa de f é f -1

e lê-se “função inversa de f”.

FUNÇÃO INVERSA

O símbolo “–1” em f-1 não é um expoente; f-1(x) não significa 1/f(x).

y ou f(x)y = x2 ou f(x) = x2

TESTE DA RETA HORIZONTAL

Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal.

EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa?

reta horizontal

FUNÇÃO INVERSA

Conclusão: a função f(x) = x2 não tem inversa.

Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à

bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).

Simetria das funções inversas

Como construir um Gráfico

y = f(x)

x2 x4x1 x5

x y = f(x)

Tabela Plotagem

Denomina-se função constante toda função

cuja lei é do tipo f(x) = b, em que b IR.

O gráfico é sempre

uma reta horizontal

que passa por (0, b).

Função constante

Função de 1º Grau

Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo:

a = taxa de variação da função(coeficiente angular);

b = ponto onde a reta toca o Eixo Y(coeficiente linear);

Y ),( yx

Retas• Coeficiente angular da reta R:

• Obs.:• Retas horizontais: a = 0• Retas verticais: Não tem a

horizontal variação

verticalvariação

12 yyy

12 xxx

),(P 111 yx

),(P 222 yx

• Equação da Reta:

Forma Ponto – Coeficiente angular

• A equação abaixo é a equação na forma ponto– coeficiente angular que passa pelo ponto (x1,y1) e tem coeficiente angular a.

• Exemplo 1

• Escreva uma equação para a reta que passapelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -3/2.

• x1 = 2

• y1 = 3

• a = -3/2

• Exemplo 2

• Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4).

• x1 = -2

• y1 = -1

• x2 = 3

• y2 = 4

• a = ?

)2(1)1(

retadaequaçãodaCálculo

angularecoeficientdoCálculo

Propriedades da Reta

É definida por um polinômio de 1° grau;

Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X

em apenas um ponto;

O sinal da taxa de variação a fornece a informação

sobre o crescimento ou decrescimento da função:

a < 0 função decrescente;

a > 0 função crescente;

Propriedades da Reta

Só tocam o eixo X uma vez.

Se a < 0, a função decresce.

Se a > 0, a função cresce.

Raízes da Função de 1º Grau

As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz,

que é justamente onde a reta (que representa a

função de 1º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a

função tem valor zero.

abxbaxbaxy 00

Denomina-se função polinomial do 1º grau toda

função cuja lei é do tipo f(x) = mx + b, em que m,

b IR e m 0.

Função do 1.º grau

m = tgα ⇔

y - yΔym = =

Δx x - x

Coeficiente angular da reta

y – y1 = m(x – x1)

Equação da reta de inclinação “m” que passa por (x1, y1)

Estudo do sinal da função do 1.º grau

Exercícios1) Dada a função y = 2x + 3 determine:

a) O gráfico

b) A interseção com o eixo x e com o eixo y.

2) O custo de um determinado produto é de R$10,00 fixo maisR$2,00 por unidade. Determine:

a) A equação que expressa o custo em função da quantidade.

b) O gráfico.

3) Dado o gráfico determine a sua respectiva função.

Função de 2º Grau

cbxax 2y

Uma função de 2º grau, também chamada de função

QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é

toda função real do tipo:

Desde que a ≠ 0;

Propriedades da Parábola É definida por um polinômio de 2o grau;

Pode possuir:

Duas raízes reais e distintas;

Duas raízes reais e iguais;

Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).

O sinal de a fornece a informação sobre a

concavidade da função:

a < 0 concavidade para baixo;

a > 0 concavidade para cima;

Propriedades da Parábola

Podem ter três tipos de raízes.

Se a < 0, a concavidade é para baixo.

Se a > 0, a concavidade é para cima.

Raizes da Função de 2º Grau

Para encontrar as raízes de funções de 2o Grau,

resolvemos a equação:

02 cbxax

Cuja solução pode ser dada pela fórmula deBhaskara:

acbcoma

Vértice da Parábola

Se a > 0, Se a < 0 ,

cbxaxy ²

1) Determine as raízes, o vértice e o gráfico das seguintes

funções :

a) y = x ² - 6x + 8

b) y = – x ² + 4x – 4

c) y = 2 x ² + 4x + 5

2) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma

parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t

segundos após o chute, seja dada por h = – t² +

6 t, determine a altura máxima atingida pela bola.

Função polinomial do 2.º grau (ou função

quadrática) é toda função cuja lei é da forma

f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, c IR e a 0.

Função do 2.º grau (quadrática)

Coordenadas do vértice

bV = ,

Crescimento e decrescimento da funçãoquadrática

> 0 = 0 < 0

Estudo do sinal da função do 2.º grau

Imagem da função quadrática

Im y IR / y Im y IR / y4a 4a

Denominamos função definida por partes toda

função definida com a aplicação de fórmulas

diferentes a diferentes partes do domínio.

Função definida por partes

0, se t 0H(t)

1, se t 0

Função por Partesy = x p/ x < 2

y = x2 p/ x > 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

Exercício

Determine o gráfico da função:

Função definida por partes

1, se x 0

y f(x) x , se 0 x 1

x, se x 1

Definição de módulo de um número real

x, se x 0x

x, se x 0

2f(x) x 4

Denominamos função exponencial toda função f: IRIR do tipo

f(x) = ax, definida para todo número real x, com a > 0 e a 1.

Função exponencial

O gráfico da função f(x) = ax passa pelo ponto (0,1).

A função é crescente se a > 1.

A função é decrescente se 0 < a < 1.

O domínio é IR;

O conjunto-imagem é IR*+ (reais positivos).

Função exponencial

xaLog b = x a =b

a > 0 e a 1Condições de

existência

Nomenclatura

b logaritmando

a base do logaritmo

x logaritmo

Definição de logaritmo

Propriedades operacionais dos logaritmos

I ) log (b.c) = log b+log c

bII) log = log b log c

II I ) log b =m.log b

(b > 0, 0 < a 1 e 0 < c 1)

Mudança de base

log blog b =

Seja a função exponencial f: IR IR*+ definida por y

= ax, com a > 0 e a 1. A sua inversa é chamada de

função logarítmica e é indicada por y = log a x.

Função logarítmica

A função f(x) = loga x passa pelo ponto (1,0).

A função é crescente se a > 1.

A função é decrescente se 0 < a < 1.

O domínio é IR*+ (Reais positivos).

O conjunto imagem é IR.

Função logarítmica

Função Exponencial

Definição

RDomínio

,0Im f

Imagem

xaxf 10 a

,0Im f

... ..

1624 y

1 2123 x

Representação Gráfica

1aCrescente

10 aeDecrescent

1 2123 x

1,5x2x4x10x0,25x0,5x

Equação Exponencial

171333 112 xxx

093109 xx

kxaa kx

5x 42 33 x

42 33 x

42 x 2x

63933 1212 xxx

18939 yyy

1897 y 27y

32 33 x

224 xx

02222 xx

022 yy

Inequação Exponencial

322 ) xa

64,08,0 ) 2 xc

093109 ) xxd

5x 21 99 x

1 , asekx

10 , asekx

64,08,0 2 x

648,0 2 x

88,0 2 x

8,08,0 2 x

09102 yy

093109 xx

0931032

xx x1 – – –

20 333 x

10100 2 x

11111 0 x

Verificação se 0 ou 1

são soluções

0232 xx

11 x 22 x

x1 – – –

Como 10 x

Supondo que

0232 xx

11 x 22 x

x1 – – –

2 1 xoux

Como 1x

Solução da inequação será

2/3 xRxS

321 SSSS

2 1/ xouxRxS

Exemplo 1

Uma aplicação da função exponencial – 1.º Exemplo

Considere uma população de bactérias em um meio nutriente

homogêneo. Suponha que colhendo amostras da população em

certos intervalos de tempo fique determinado que a população dobra

a cada uma hora. Se o número de bactérias no instante t for p(t),

onde t é medido em horas, e a população inicial for de p(0) = 1000

bactérias, então:

Após 1h p(1) = 2.p(0) = 2.1000 = 2000;

Após 2h p(2) = 2.p(1) = 2.2.1000 = 22.1000 = 4000;

Após 3h p(3) = 2.p(2) = 2.22.1000 = 23.1000 = 8000;

Após th p(t) = 2.p(t-1) = .... = 2t.1000 = 2t.1000.

Exemplo 1

• Portanto, a função exponencial para este caso é definida por:

p(t) = 2t.1000.

• Assim, se quisermos saber de quanto será a população de

bactérias após 10 horas, basta substituir 10 na equação:

p(10) = 210.1000 = 1024.1000 = 1.024.000 bactérias.

• Por outro lado, se a pergunta for: quanto tempo levará para a

população de bactérias chegar 128.000? Basta substituir p(t) por

128.000 e encontrar o valor de t.

128.000 = 2t.1000 128.000/1000 = 2t 27 = 2t,

portanto, t = 7 horas.

Exemplo 2

A importância do número “e”

• Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há

uma que é mais conveniente.

• Essa escolha leva em conta o coeficiente angular da reta tangente

ao gráfico da função exponencial.

• O que desejamos é um coeficiente angular exatamente m = 1, pois

facilitaria muito cálculos futuros.

• Para obtermos um coeficiente angular m = 1 para a reta tangente

à função exponencial, a base mais conveniente é o número “e”.

• O gráfico da função y = ex fica entre os gráficos das funções y = 2x

e y = 3x.

Exemplo 2

Gráfico de y = ex

Coeficiente angular: m = 1

Empréstimo de R$ 800,00 para pagar depois de 3 meses, àtaxa de 5% am.

tempo (meses)

Montante (R$)

y = 800 (1,05)t

y = 800 (1 + 0,05 . t)

882880

Exemplo 2

Exemplo 3

Crescimento da Indústria do turismo nos últimos 50 anos.

tempo (ano)

60 65 70

75 80 85 90 95

y = ax

Exemplo 4

Crescimento da população brasileira nos últimos 35 anos.

tempo (ano)

laçã

rasileir

70 80 90

y = 90 000 000 (1,018)t

y = k.ax

Exemplo 5

Depreciação de 15%, a cada ano, de um veículo com valor de R$ 35 000,00.

tempo (ano)

29 750

35 000

25 287

21 494

y = 35 000 (0,85)t

y = k.ax

0 < a 1

Proposta de Atividades Práticas

• A empresa e o lucro L(t) = 3000 (1,5)t

• A população de uma cidade P = P0.ei.n

• A planta cresce A = 40 (1,1)t

• A máquina desvaloriza D = K (0,8)t

• O líquido e seu PH

• O terremoto e a escala Richter

• A escala temperada da música e Bach

Logaritmos

xab logBase do logaritmo

Logaritmando Logaritmo

0a 01 b

Condição de Existência

xab log abx

Logaritmos

x8log2 82 x

38log2

Logaritmos

Consequência da definição

01log1 bP

1log2 bP b

b log3

cacaP bb loglog4

Logaritmos

Propriedades Operátórias

babaP ccc logloglog1

aP ccc logloglog2

anaP b

b loglog3

Logaritmos

Mudança de Base

loglog

cb loglog

loglog

Logaritmos

(UDESC 2006-1) Se , e ,

pode-se afirmar que:

3log ba 4log cax

ba log

ba log cb

baaa logloglog

43log c

1log c

Logaritmos

(UDESC 2007-2) A expressão que representa a

solução da equação 11x – 130 = 0 é:

13011x log

11130x log

11x log

11 130x log

clog a c b a

11 130x

11130log x

11130x log

Função Logarítmica

Definição

*: xxf blog

RDomínio

Imagem R

xxf 2log

1bCrescente

10 beDecrescent

y = ax

0 < a 1

y = 2 x

y = (1/2 )x

y = loga x

0 < a 1

y = log2 x

y = log1/2 x

Função Inversa

y = loga x

y = ax

y = xf(x) = ax

f -1(x) = loga x

Crescente

Função Inversa

y = loga x

y = ax

f(x) = ax

f -1(x) = loga x

0 < a 1

Decrescente

Exercício

(UDESC 2007-2) A expressão que representa a

inversa da função 3

1f x log x é:

1 3 1xf x

1 3 1f x x

1 3 1x

f x log

1y log x

1 3 1xf x

Equação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

53log2 x

xgxfxgxf bb loglog

295log 1 xx

95122 xxx

095 x5

01x 1 x

11x 2 x

01072 xx

21 x 51 x

xgxfxgxf bb loglog

8log4log3log 555 xx

03x 3 x

04 x 4 x

8log43log 55 xx

8122 xx

0202 xx 52 x0202 xx

Exercício

(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão

25log2

verdadeira é:

25log2

251016 2 xx

9102 xx

11 x 92 x5x

Exercício

(UDESC 2006-1) Se , então o valor de

x é: 3

52loglog 88 xx

52log8 xx

53 22 x

25 22 x

2232 x

Inequação Logarítmica

xgxf bb loglog

5log3log 22 x

3/ xRxS

xgxf bb loglog

2log82log3

282 xx

082 xC.E

4 xIII

34log3log 22 xx

8122 xx

22 2log43log xx

0202 xx

51 x42 x

x5– – – – – –

34log3log 22 xx

x5– – – – – –

03xC.E

43/ xRxS

0202 xx

Inversa

Funções inversas

• De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo,

veremos que a escolha mais conveniente é a “e”.

• A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax. Seu gráfico é a

reflexão de y = ax com relação a reta y = x.

• Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é

uma função de crescimento muito lento.

Exemplo

Uma aplicação da função logarítmica

• A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da

energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas

que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o

logaritmo decimal;

• Os valores desta escala são chamados de magnitudes;

• Durante um terremoto um sismógrafo registra essa

magnitude durante um certo intervalo de tempo;

Exemplo

• Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:

• Onde:

Ms: magnitude na escala Richter;

A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros);

f: freqüência da onda (medida em hertz).

30,3).(log10 fAM s

Exemplo

• Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude

A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse terremoto é:

• Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a destruição

total das construções de uma grande cidade.

• Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10 vezes

menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a cada grau a

menos, a energia liberada diminui 10 vezes.

• O valor acima é considerado moderado.

30,3100log

30,3)1,0.1000(log

30,3).(log

Exemplo

O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, noséculo XX.

Exemplo

Funções inversas

• A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos. Isso significa que

a metade de qualquer quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25

• Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa de 24 mg.

Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos,

então:

)24.(2)24.(

1....)(

Exemplo

Funções inversas

• Portanto, a função para este caso é:

• Como a função logarítmica inversa dessa função é:

• Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5

mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:

252.24)(

)ln24(ln2ln

25)(1 mmf

6,56693,0

225,39

)609,1178,3.(25)5(

)5ln24(ln2ln

)ln24(ln2ln

Funções Logaritmos Neperianos

Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o

logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,) tendo

o eixo y como assíntota vertical.

1) Construir o gráfico de y = lnx;

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Funções Logaritmos Neperianos

2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico

y = ln(x-2);

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