circuit rlc en régime libre oscillations électriques
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Circuit RLC en régime libreOscillations électriques
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t)
Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α
Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD
=⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0 ?
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0 ?
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC ⇐⇒ oscillations mécaniques d’un systèmesolide ressort avec frottements
Mécanique Electricité
k
O x
–
M (m)
L R
CuC(t)
Etude de la position x(t) Etude de la tension uC (t)
Frottements : α Résistance : R
PFD =⇒ x + α
mx + kmx = 0 Mailles =⇒uC (t) + R
L uC (t) + 1LC uC (t) = 0
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites :
2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL
et ω20 = 1
LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et
ω20 = 1
LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Equation différentielle du RLC
L R
Ci(t) uC(t)
R i(t)L di(t)dt
Loi des mailles
uC (t) + R i(t) + L di(t)dt = 0
=⇒ uC (t) + R C duC (t)dt + L d
dt
(C duC (t)
dt
)= 0
=⇒ L C uC (t) + R C uC (t) + uC (t) = 0
=⇒ uC (t) + RL uC (t) + 1
LC uC (t) = 0
Variables réduites : 2λ = RL et ω2
0 = 1LC
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans secondmembre
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒
r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables
(λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0)
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques
(λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0)
⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique
=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants
(λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0)
⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Résolution de l’équation différentielle :différents régimes
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0) ⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ� ω0) ⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Facteur de qualité et régimes
Q = ω02λ = 1
R
√LC
• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;
• Q = 12 =⇒ régime critique ;
• Q <12 =⇒ régime apériodique ;
Facteur de qualité et régimes
Q = ω02λ = 1
R
√LC
• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;
• Q = 12 =⇒ régime critique ;
• Q <12 =⇒ régime apériodique ;
Facteur de qualité et régimes
Q = ω02λ = 1
R
√LC
• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;
• Q = 12 =⇒ régime critique ;
• Q <12 =⇒ régime apériodique ;
Facteur de qualité et régimes
Q = ω02λ = 1
R
√LC
• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;
• Q = 12 =⇒ régime critique ;
• Q <12 =⇒ régime apériodique ;
Facteur de qualité et régimes
Q = ω02λ = 1
R
√LC
• Q >12 =⇒ régime pseudo-périodique ;
• Q = 12 =⇒ régime critique ;
• Q <12 =⇒ régime apériodique ;
Résolution de l’équation différentielle : solutions
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
• Les solutions r1, r2 de l’équation caractéristique permettent d’obtenir les solutionsde l’équation différentielle ;
• Selon le régime (donc le discriminant de l’équation caractéristique), r1,2 peuventêtre réelles ou complexes, ce qui donne différents types de solutions uC (t).
Résolution de l’équation différentielle : solutions
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
• Les solutions r1, r2 de l’équation caractéristique permettent d’obtenir les solutionsde l’équation différentielle ;
• Selon le régime (donc le discriminant de l’équation caractéristique), r1,2 peuventêtre réelles ou complexes, ce qui donne différents types de solutions uC (t).
Résolution de l’équation différentielle : solutions
uC (t) + 2λ uC (t) + ω20 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r2 + 2λ r + ω20 = 0
• Les solutions r1, r2 de l’équation caractéristique permettent d’obtenir les solutionsde l’équation différentielle ;
• Selon le régime (donc le discriminant de l’équation caractéristique), r1,2 peuventêtre réelles ou complexes, ce qui donne différents types de solutions uC (t).
Régime pseudo-périodique
t
uC
: λ = 1/4: λ = 1/2: λ = 1
TE
-E
uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)
avec ω =√ω2
0 − λ2
et E la tension initiale aux bornes ducondensateur.
T = 2πω
= 2π√ω2
0 − λ2
Régime pseudo-périodique
t
uC
: λ = 1/4: λ = 1/2: λ = 1
TE
-E
uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)
avec ω =√ω2
0 − λ2
et E la tension initiale aux bornes ducondensateur.
T = 2πω
= 2π√ω2
0 − λ2
Régime pseudo-périodique
t
uC
: λ = 1/4: λ = 1/2: λ = 1
TE
-E
uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)
avec ω =√ω2
0 − λ2
et E la tension initiale aux bornes ducondensateur.
T = 2πω
= 2π√ω2
0 − λ2
Régime pseudo-périodique
t
uC
: λ = 1/4: λ = 1/2: λ = 1
TE
-E
uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)
avec ω =√ω2
0 − λ2
et E la tension initiale aux bornes ducondensateur.
T = 2πω
= 2π√ω2
0 − λ2
Régime critique
t
uC
2 E e−1
1λ
E
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
Régime critique = premier régime apério-dique.
Obtention graphique de λ
D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :
à t = 1λ, uC = 2E e−1
où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.
Régime critique
t
uC
2 E e−1
1λ
E
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
Régime critique = premier régime apério-dique.
Obtention graphique de λ
D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :
à t = 1λ, uC = 2E e−1
où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.
Régime critique
t
uC
2 E e−1
1λ
E
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
Régime critique = premier régime apério-dique.
Obtention graphique de λ
D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :
à t = 1λ, uC = 2E e−1
où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.
Régime critique
t
uC
2 E e−1
1λ
E
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
Régime critique = premier régime apério-dique.
Obtention graphique de λ
D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :
à t = 1λ, uC = 2E e−1
où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.
Régime critique
t
uC
2 E e−1
1λ
E
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
Régime critique = premier régime apério-dique.
Obtention graphique de λ
D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :
à t = 1λ, uC = 2E e−1
où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.
Régime critique
t
uC
2 E e−1
1λ
E
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
Régime critique = premier régime apério-dique.
Obtention graphique de λ
D’après l’expression mathématique de la so-lution ci-dessus :
à t = 1λ, uC = 2E e−1
où E est la tension initiale aux bornes ducondensateur.
Régimes apériodiques
t
x: λ = 2: λ = 3: λ = 4
xm
uC (t) =A exp((−λ+
√λ2 − ω2
0
)t)
+B exp((−λ−
√λ2 − ω2
0
)t)
Pas d’oscillations électriques
Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand
Régimes apériodiques
t
x: λ = 2: λ = 3: λ = 4
xm
uC (t) =A exp((−λ+
√λ2 − ω2
0
)t)
+B exp((−λ−
√λ2 − ω2
0
)t)
Pas d’oscillations électriques
Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand
Régimes apériodiques
t
x: λ = 2: λ = 3: λ = 4
xm
uC (t) =A exp((−λ+
√λ2 − ω2
0
)t)
+B exp((−λ−
√λ2 − ω2
0
)t)
Pas d’oscillations électriques
Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand
Régimes apériodiques
t
x: λ = 2: λ = 3: λ = 4
xm
uC (t) =A exp((−λ+
√λ2 − ω2
0
)t)
+B exp((−λ−
√λ2 − ω2
0
)t)
Pas d’oscillations électriques
Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand
Régimes apériodiques
t
x: λ = 2: λ = 3: λ = 4
xm
uC (t) =A exp((−λ+
√λ2 − ω2
0
)t)
+B exp((−λ−
√λ2 − ω2
0
)t)
Pas d’oscillations électriques
Retour à l’équilibre d’autant plus lentque λ est grand
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