clase_12 - gumbel
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-
DISTRIBUCIN GUMBEL
Tambin llamada Distribucin Extrema tipo I. La funcin
de probabilidades viene dado por:
Donde:
, : Parmetro de la funcin Gumbel.
Para muestras grandes: N > 100
Para muestras pequeas: N 100
y; y: Se obtienen de la Tabla 2, en funcin del nmero
de datos N
-
Tabla 2: Distribucin Gumbel
Valores de y y y para muestras pequeas
N y y
10 0,4952 0,9496
15 0,5128 1,0206
20 0,5236 1,0628
25 0,5309 1,0914
30 0,5362 1,1124
35 0,5403 1,1285
40 0,5436 1,1413
45 0,5463 1,1518
50 0,5485 1,1607
55 0,5504 1,1682
60 0,5521 1,1747
65 0,5535 1,1803
70 0,5548 1,1854
75 0,5559 1,1898
80 0,5569 1,1938
85 0,5578 1,1974
90 0,5586 1,2007
95 0,5593 1,2037
100 0,5600 1,2065
-
Ejemplo 3:
Resolver el Ejemplo 1 considerando que el registro de
caudales se ajusta a la distribucin de probabilidades
Gumbel.
Sabemos que:
Qm = 4232,00 m3/s S = 1629,96 m3/s
Como N = 30 se trata de una muestra pequea, debemos
hallar: y; y
De la Tabla 2: y = 0,5362 y = 1,1124
Luego:
a. P(Q 7460 m3/s) = ?
Reemplazando en la expresin para el clculo de la
funcin de probabilidades de Gumbel:
Por lo tanto, P(Q7460) = 1 0,9369 = 0,0631 = 6,31%
Luego: T = 1/P = 1/0,0631 16 aos
-
b. Q60 = ? Q100 = ?
Sabemos que:
Para: T = 60 P = 0,9833
Despejando:
Q60 = 9449,3 m3/s
Del mismo modo: T = 100 aos; P= 0,9900
Despejando:
Q100 = 10 208,4 m3/s
DISTRIBUCIN PEARSON III
El factor de frecuencia K para la distribucin Pearson III,
se obtiene de las Tablas 3 y 4, considerando la
probabilidad y el coeficiente de asimetra (Ag).
Donde:
N: Nmero de datos anuales del registro de caudales
mximos instantneos.
-
Qm: Promedio de los caudales mximos instantneos.
S: Desviacin estndar de los caudales mximos
instantneos.
Se cumple la relacin de Ven Te Chow:
Donde:
El valor de K tambin se puede calcular aplicando el
siguiente procedimiento:
Donde: 0 < P 0,5
Luego, la expresin (2):
Se calcula:
(3)
-
Finalmente, calculamos K aplicando la expresin (4):
Ejemplo 4:
Resolver el Ejemplo 1 considerando que el registro de
caudales se ajusta a la distribucin de probabilidades
Pearson III.
Del registro de caudales mximos instantneos:
Ao Q
(m3/s)
Ao Q
(m3/s)
Ao Q
(m3/s)
1965 3706 1975 2367 1985 4240
1966 4060 1976 4819 1986 2849
1967 2350 1977 3919 1987 6267
1968 6000 1978 6900 1988 2246
1969 4744 1979 3505 1989 7430
1970 6388 1980 7061 1990 5971
1971 2675 1981 3220 1991 3747
1972 3130 1982 2737 1992 5468
1973 2298 1983 5565 1993 3682
1974 4972 1984 2414 1994 2230
Calculamos el coeficiente de asimetra: Ag = 0,5
Adems: Qm = 4232,00 m3/s S = 1629,96 m3/s
-
Tabla 3: Valores de K
Coeficiente de Asimetra positivo
Coefic.
Asimetria
Ag
-
Tabla 4: Valores de K
Coeficiente de Asimetra negativo
Coefic.
Asimetria
Ag
-
a. P(Q 7460 m3/s) = ?
Calculamos el factor de frecuencia para este caudal:
De la Tabla 3, para Ag= 0,5:
P(%) K
2 2,311
4 1,910
Interpolando, para K = 1,98 hallamos: P= 3,65%= 0,0365
Luego: T = 1/0,0365 27 aos
b. Q60 = ? Q100 = ?
Sabemos que:
Para: T = 60 P = 1/T = 0,0167 = 1,67%
De la Tabla 3, para Ag= 0,5:
P(%) K
2 2,311
1 2,686
Interpolando, para P = 1,67% hallamos: K60= 2,43
Del mismo modo, podemos hallar el valor de K60
aplicando las expresiones (1), (2), (3) y (4) anteriores:
-
P = 1/T = 1/60 = 0,0167
W = 2,8609 Z60 = 2,13
X = Ag/6 = 0,5/6 = 0,083 Finalmente: K60 = 2,42
Reemplazando:
Del mismo modo, T = 100 P = 1/T = 0,01 = 1%
De la Tabla 3, para Ag= 0,5 K100 = 2,686
Reemplazando:
DISTRIBUCIN LOG PEARSON III
La aplicacin es similar al caso anterior, solamente cambia
la variable Q por Y:
Y = Ln Q
El factor de frecuencia K para la distribucin Log Pearson
III, tambin se obtiene de las Tablas 3 y 4, considerando la
probabilidad y el coeficiente de asimetra (Ag). En este
caso:
-
Donde:
: Promedio de los valores Y.
: Desviacin estndar de los valores Y.
Se cumple la relacin de Ven Te Chow para la variable Y:
Donde:
Ejemplo 5:
Resolver el Ejemplo 1 considerando que el registro de
caudales se ajusta a la distribucin de probabilidades Log
Pearson III.
A partir del registro de caudales original:
Ao Q
(m3/s)
Ao Q
(m3/s)
Ao Q
(m3/s)
1965 3706 1975 2367 1985 4240
1966 4060 1976 4819 1986 2849
1967 2350 1977 3919 1987 6267
1968 6000 1978 6900 1988 2246
1969 4744 1979 3505 1989 7430
1970 6388 1980 7061 1990 5971
1971 2675 1981 3220 1991 3747
1972 3130 1982 2737 1992 5468
1973 2298 1983 5565 1993 3682
1974 4972 1984 2414 1994 2230
-
calculamos la variable Y = Ln Q:
Ao Qmax Ao Qmax Ao Qmax
1965 8.2177 1975 7.7694 1985 8.3523
1966 8.3089 1976 8.4803 1986 7.9547
1967 7.7622 1977 8.2736 1987 8.7431
1968 8.6995 1978 8.8393 1988 7.7169
1969 8.4646 1979 8.1619 1989 8.9133
1970 8.7622 1980 8.8623 1990 8.6947
1971 7.8917 1981 8.0771 1991 8.2287
1972 8.0488 1982 7.9146 1992 8.6067
1973 7.7398 1983 8.6243 1993 8.2112
1974 8.5116 1984 7.7890 1994 7.7098
Adems:
Calculamos el coeficiente de asimetra: Ag = 0,0
a. P(Q 7460 m3/s) = ?
Y = Ln 7460 = 8,92
Calculamos el factor de frecuencia para este caudal:
De la Tabla 3, para Ag= 0,0:
P(%) K
4 1,751
10 1,282
-
Interpolando, para K = 1,64 hallamos: P= 5,42%= 0,0542
Luego: T = 1/0,0542 19 aos
b. Q60 = ? Q100 = ?
Sabemos que:
Para: T = 60 P = 1/T = 0,0167 = 1,67%
De la Tabla 3, para Ag= 0,0:
P(%) K
1 2,326
2 2,054
Interpolando, para P = 1,67% hallamos: K60= 2,144
Reemplazando:
Luego:
Y60 = Ln Q60 = 9,12 Q60 = 9136,2 m3/s
Del mismo modo, T = 100 P = 1/T = 0,01 = 1%
De la Tabla 3, para Ag= 0,0 K100 = 2,326
-
Reemplazando:
Luego:
Y100 = Ln Q100 = 9,19 Q100 = 9798,7 m3/s
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