cn_edo
Post on 06-Jul-2018
216 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 CN_edo
1/5
UCV-ING-DMA: SEMESTRE 2015-1 0258 CALCULO NUMERICO
Solución aproximada de ecuaciones diferenciales de primer orden
MÉTODO DE EULER
La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométricode la derivada de una función en un punto dado. Las aproximaciones al problema devalor inicial
′ = , = ≤ ≤
Están dadas por la fórmula de Euler + = ℎ, = 0 , 1 , . . . … … . ,Ejemplo 1
Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:
´ = 2 0 ≤ ≤ 0 , 50 = 1Aproximar y(0.5)
Solución Numérica: Aplicamos el método de Euler y para ello dividimos el intervalodado cinco parte y obtenemos un valor de h = 0,1 y por lo tanto, obtendremos laaproximación deseada en cinco pasos.
De esta forma, tenemos los siguientes datos:
Para i = 0 sustituimos en la fórmula de Euler y tenemos en un primer paso:
Aplicando nuevamente la fórmula de Euler para i = 1 tenemos en un segundo paso:
-
8/18/2019 CN_edo
2/5
Y así sucesivamente hasta obtener y5 Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
i xi yi
0 0 1,0000001 0,1 1,000000
2 0,2 1,020000
3 0,3 1,060800
4 0,4 1,124448
5 0,5 1,214404
Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: y(0,5)=1,214404
MÉTODO DE EULER MEJORADO
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamientoen la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
La fórmula es la siguiente:
donde
Apliquemos este método al ejemplo anterior, para aclarar el método veamos con detallelas primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientesdatos iniciales:
Aplicando la fórmula al problema dado tenemos que
-
8/18/2019 CN_edo
3/5
{
+ = ℎ =0,1, . . , = 2 +∗ = ℎ , +∗ = ℎ[2] + , +∗ = 2++∗ + = ℎ2 [ , + , +∗ ]
En nuestra primera iteración tenemos:
Nótese que el valor de ∗ coincide con el (Euler 1), y es el único valor que va acoincidir, pues para calcular ∗ se usará y no ∗.Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:
Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de . El proceso debeseguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
i xi yi y*i+1
0 0 1 11 0,1 1,010000 1,030200
2 0,2 1,040704 1,082332
3 0,3 1,093988 1,159627
4 0,4 1,173193 1,267048
5 0,5 1,283473 1,411820
-
8/18/2019 CN_edo
4/5
Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Eulermejorado es : y(0,5)=1,283473
La solución exacta de la ecuación diferencial del problema dado es es = , alevaluar en x = 0,5 se obtiene que y(0,5) = 1,284025
Con fines de comparación, calculamos el error relativo como
= | − |100% Error relativo %
Euler 5,42
Euler modificado 0,04
MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN
Probablemente uno de los procedimientos más difundidos, y a la vez, más exacto paraobtener soluciones aproximadas del problema del problema de valor inicial que se indica,sea el método de Runge Kutta de cuarto orden (RK4).
′ = , = ≤ ≤ Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran una exactitud del procedimiento de una serie
de Taylor, sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Los métodos de Runge Kuttade cualquier orden se deducen mediante el desarrollo de la serie de Taylor de la funciónf(t,y). Existen muchas versiones del método de RK de cuarto orden existen y una de lasversiones es:
+ = [ ] Donde: = ,
= , ℎ
3 = , ℎ 4 = ℎ , ℎ3 Ejemplo: Usando el método de RK4 estimar el valor de y(0,5) y comparar con lassoluciones anteriores.Para aplicar RK4 debemos calcular k1, k2 k3 y k4 y sustituir susvalor en yi+1, para nuestro ejemplo t = x (la variable independiente del problema)
-
8/18/2019 CN_edo
5/5
Para i = 0 tenemos en un primer paso:
= , = 2 ∗ ∗ = 2 ∗ 0 ∗ 1 = 0
=
ℎ2 ,
ℎ2 = 2 ∗
ℎ2 ∗
ℎ2 = 2 ∗ 00,05 ∗ 1 0 , 1 ∗ 0 =0,1
3 = ℎ2 , ℎ 2 = 2 ∗ ℎ2 ∗ ℎ 2 = 2 ∗ 00,05 ∗ 1 0 , 1 ∗ 0,12 =0,10050 4 = ℎ , ℎ3 = 2 ∗ ( ℎ ∗ ℎ3) = 2 ∗ 0 0 , 1 ∗ 10,1∗0,10050 =0,202010
= [ ]
= , [ ,, , ] =, El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en lasiguiente tabla:
i xi k1 k2 k3 k4 yi
0 0 0,000000 0,100000 0,100500 0,202010 1,000000
1 0,1 0,202010 0,306045 0,307606 0,416324 1,010050
2 0,2 0,416324 0,530813 0,533676 0,656507 1,0408113 0,3 0,656505 0,788900 0,793533 0,938822 1,094174
4 0,4 0,938809 1,098406 1,105588 1,284070 1,173511
5 0,5 1,284025 1,483049 1,493995 1,720110 1,284025
Error relativo %
Euler 5,42
Eulermodificado 0,04
RK4 0,00125407
top related