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UCV-ING-DMA: SEMESTRE 2015-1 0258 CALCULO NUMERICO

Solución aproximada de ecuaciones diferenciales de primer orden

MÉTODO DE EULER 

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométricode la derivada de una función en un punto dado. Las aproximaciones al problema devalor inicial

′ = , =   ≤ ≤  

Están dadas por la fórmula de Euler + = ℎ,   = 0 , 1 , . . . … … . ,Ejemplo 1

Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:

´ = 2 0 ≤ ≤ 0 , 50 = 1Aproximar y(0.5) 

Solución Numérica: Aplicamos el método de Euler y para ello dividimos el intervalodado cinco parte y obtenemos un valor de h = 0,1 y por lo tanto, obtendremos laaproximación deseada en cinco pasos.

De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Para i = 0 sustituimos en la fórmula de Euler y tenemos en un primer paso:

Aplicando nuevamente la fórmula de Euler para i = 1 tenemos en un segundo paso:

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Y así sucesivamente hasta obtener y5  Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

i xi yi

0 0 1,0000001 0,1 1,000000

2 0,2 1,020000

3 0,3 1,060800

4 0,4 1,124448

5 0,5 1,214404

Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: y(0,5)=1,214404

MÉTODO DE EULER MEJORADO 

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamientoen la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

donde

Apliquemos este método al ejemplo anterior, para aclarar el método veamos con detallelas primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientesdatos iniciales:

Aplicando la fórmula al problema dado tenemos que

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{

+ = ℎ =0,1, . .  , = 2 +∗ = ℎ ,  +∗ = ℎ[2]  + , +∗ = 2++∗  + = ℎ2 [  , + , +∗ ] 

En nuestra primera iteración tenemos:

Nótese que el valor de ∗  coincide con el   (Euler 1), y es el único valor que va acoincidir, pues para calcular ∗ se usará   y no ∗.Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de   (Euler 1) y el de . El proceso debeseguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

i xi yi y*i+1

0 0 1 11 0,1 1,010000 1,030200

2 0,2 1,040704 1,082332

3 0,3 1,093988 1,159627

4 0,4 1,173193 1,267048

5 0,5 1,283473 1,411820

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Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Eulermejorado es : y(0,5)=1,283473

La solución exacta de la ecuación diferencial del problema dado es es =   , alevaluar en x = 0,5 se obtiene que y(0,5) = 1,284025

Con fines de comparación, calculamos el error relativo como

= | − |100% Error relativo %

Euler 5,42

Euler modificado 0,04

MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN  

Probablemente uno de los procedimientos más difundidos, y a la vez, más exacto paraobtener soluciones aproximadas del problema del problema de valor inicial que se indica,sea el método de Runge Kutta de cuarto orden (RK4).

′ = , =   ≤ ≤  Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran una exactitud del procedimiento de una serie

de Taylor, sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Los métodos de Runge Kuttade cualquier orden se deducen mediante el desarrollo de la serie de Taylor de la funciónf(t,y). Existen muchas versiones del método de RK de cuarto orden existen y una de lasversiones es:

+ = [  ] Donde: = ,  

=   , ℎ   

3 =   , ℎ   4 = ℎ , ℎ3 Ejemplo: Usando el método de RK4 estimar el valor de y(0,5) y comparar con lassoluciones anteriores.Para aplicar RK4 debemos calcular k1, k2 k3 y k4 y sustituir susvalor en yi+1, para nuestro ejemplo t = x (la variable independiente del problema)

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Para i = 0 tenemos en un primer paso:

= , = 2 ∗ ∗ = 2 ∗ 0 ∗ 1 = 0 

=

ℎ2 ,

ℎ2   = 2 ∗

ℎ2 ∗

ℎ2 = 2 ∗ 00,05 ∗ 1 0 , 1 ∗ 0 =0,1

 

3 = ℎ2 , ℎ 2   = 2 ∗ ℎ2 ∗ ℎ 2 = 2 ∗ 00,05 ∗ 1 0 , 1 ∗ 0,12 =0,10050 4 = ℎ , ℎ3 = 2 ∗ ( ℎ ∗ ℎ3) = 2 ∗ 0 0 , 1 ∗ 10,1∗0,10050 =0,202010 

= [  ] 

= , [ ,, , ]   =, El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en lasiguiente tabla:

i xi k1 k2 k3 k4 yi

0 0 0,000000 0,100000 0,100500 0,202010 1,000000

1 0,1 0,202010 0,306045 0,307606 0,416324 1,010050

2 0,2 0,416324 0,530813 0,533676 0,656507 1,0408113 0,3 0,656505 0,788900 0,793533 0,938822 1,094174

4 0,4 0,938809 1,098406 1,105588 1,284070 1,173511

5 0,5 1,284025 1,483049 1,493995 1,720110 1,284025

Error relativo %

Euler 5,42

Eulermodificado 0,04

RK4 0,00125407