coloriamo?coloriamo? tiziana calamoneri roma, 21 settembre 2009

Coloriamo?Coloriamo?Coloriamo?Coloriamo?

Tiziana CalamoneriTiziana Calamoneri

Roma, 21 Settembre 2009

Elenco dei coautori (in questa ricerca)

• Italiani:– S. Caminiti – I. Finocchi – E. Fusco – R. Petreschi– B. Sinaimeri– P. Vocca (U. di Lecce)

• Stranieri:– S. Olariu (Old Dominion Univ.)– G. Fertin (Univ. de Nantes)– A. Pelc (Univ. du Québec)– R.B. Tan (Utrecht & Oklahoma Univ.)

Un problema di colorazione (1)• Dato un grafo G, colorare tutti i suoi nodi in modo che

nodi adiacenti ricevano colori diversi e minimizzando il numero di colori.

• Teorema dei quattro colori (cong. 1852 Guthrie - studente di De Morgan; pubbl. 1879 Cayley)

data una carta geografica politica, sono sufficienti quattro colori per colorare ogni regione facendo in modo che regioni adiacenti non abbiano lo stesso colore. Due regioni sono dette adiacenti se hanno almeno un segmento di confine in comune.

Un problema di colorazione (2)

• regione della mappa nodo; • due regioni corrispondenti sono confinanti

arco.• Teorema dei quattro colori: I nodi di ciascun

grafo planare possono essere colorati utilizzando al massimo quattro colori, in modo tale che due nodi adiacenti non ricevano mai lo stesso colore.

Un problema di colorazione (3)

Altre applicazioni (1)

• Problemi di scheduling In un orario dei corsi, corsi tenuti dallo stesso docente o previsti per lo stesso anno non possono avere lo stesso orario. Minimo numero di ore.

• Corsi nodi• Restrizioni che forzano orari diversi archi• Orari colori

• Assegnazione di frequenze alle stazioni radio di una rete senza filiOgni stazione trasmette con una frequenza. Minimizzare il numero di frequenze evitando collisioni…Messaggi trasmessi con frequenze “simili” nella stessa area (collisioni dirette) o più messaggi in ricezione sulla stessa frequenza vengono persi (collisioni nascoste).

Altre applicazioni (2)

• Grafo dei conflitti:• antenne nodi

• possibili comunicazioni (e quindi conflitti) archi

• frequenze colori

• La semplice colorazione dei nodi non garantisce un risultato corretto.

• Generalizzazione del problema…

Altre applicazioni (3)

L(2,1)-etichettatura (1)

• Una L(2,1)-etichettatura di un grafo G è una funzione che assegna colori dall’insieme 0, … , ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori diversi e nodi adiacenti abbiano colori a distanza 2.

• Problema della L(2,1)-etichettatura: minimizzare

0 2 4 0 2 …0 2 4

4 2 0

0 2

3 1 4

=4

L(2,1)-etichettatura (2)

• Il problema della L(2,1)-etichettatura è, in generale, NP-arduo.

• Diverse vie di ricerca:– trovare classi di grafi per cui il problema si risolve

polinomialmente (ad es. grafi completi, alberi, griglie, ecc.)– trovare algoritmi di approssimazione per le altre classi– trovare limitazioni superiori ed inferiori al numero di colori

necessari

L(2,1)-etichettatura (3)

• Osservazione: +1

• Esistono grafi che richiedono ( (ad es. il grafo di incidenza di un piano proiettivo (n) di ordine n)

0

2

3

45

6

7

89

L(2,1)-etichettatura (4)

+2Griggs & Yeh ‘92)• Congettura: per ogni grafo +2-4 (Jonas ‘93) +Chang & Kuo ‘96 +Kràl’ & Skrekovski ‘03 +Gonçalves ‘08 Havet, Reed and Sereni ‘08 se >0, ma 0 è

circa 1069!!

• Applicazioni:– problemi di assegnazione di canali, dove il canale

è definito come frequenza, tempo, o codice di controllo, equivalente ad L(h,k) per valori opportuni di h e k

– assegnazione di canali in reti ottiche basate sui clusters equivalente a L(0,1) o L(1,1) a seconda del fatto che i clusters contengano uno o più nodi

– assegnazione di un codice di controllo nelle reti radio per evitare collisioni nascoste, equivalente a L(0,1)

L(h,k)-etichettatura

L(2,1)-etichettatura

h k

L(2,1)-etichettatura orientata (1)

• Generalizzazione della L(2,1)-etichettatura.

• Una L(2,1)-etichettatura orientata di un grafo orientato G è una funzione che assegna colori dall’insieme 0, … , ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori a distanza 1 e nodi adiacenti abbiano colori a distanza 2.

• Problema della L(2,1)-etichettatura orientata: minimizzare

• N.B. il minimo valore di può essere molto diverso che nel caso non orientato. Ad es. alberi…

0

44

222

L(2,1)-etichettatura orientata (2)

• Per alberi non orientati, ≤≤, ed è linearmente decidibile qual è il valore esatto (Chang & Kuo ‘96, Hasunama et al. 2008)

• Per alberi orientati, ≤ (Chang & Liaw ‘03)

0

0 0

4 4

Conclusioni (1)Nella vita reale ci sono tanti problemi che

possono essere modellati come un problema di colorazione.

Allora…

Conclusioni (2)… coloriamo!

Altre applicazioni (2)• Allocazione di registri

Le (molte) variabili in uso vanno assegnate ad un numero (limitato) di registri. Quando una variabile non è più usata, il suo registro può essere riallocato. Le variabili sono in conflitto se una è usata sia prima che dopo un’altra. Minimizzare il numero di variabili non memorizzate in registri.

• Variabili nodi• Conflitti tra variabili archi• Registri colori

• È immediato trovare mappe per le quali tre soli colori non sono sufficienti.

• Non è eccessivamente difficile dimostrare che bastano al più cinque colori.

• Per dimostrare che siano strettamente necessari almeno quattro colori:• 1879: Alfred Kempe. Prima dim.• 1880: Peter Tait. Dim. alternativa• 1890: Percy Heawood. Errore in Kempe• 1891: Julius Petersen. Errore in Tait• 1977: Kenneth Appel e Wolfgang Haken: dim.

Un problema di colorazione (3)

L(h,k)-etichettatura (1)

• Generalizzazione della L(2,1)-etichettatura.

• Una L(h,k)-etichettatura di un grafo G è una funzione che assegna colori dall’insieme 0, … , ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori a distanza k e nodi adiacenti abbiano colori a distanza h.

• Problema della L(h,k)-etichettatura: minimizzare